2. 이차방정식이
란?
I. 이차방정식과 그 해
II. 이차방정식의 풀이
III.이차방정식의 근의 공식
IV.이차방정식의 활용
3. 1. 이차방정식이
란?
▶ (X에 관한 이차식) = 0의 꼴로 정리되는 방정식
a가 0이 아닐때 ax²+bx+c=0 (a,b,c는 상수) 형태로 표시되는 방정
식
2. 이차방정식의
해
▶ 해(근) : 식을 참이 되게 하는 x의 값
▶ 이차방정식의 해를 구하는 것을 이차방정식을 푼다 라고
한다
For example!
이차방정식 해 또는 근
x²+5x+6=0 x=-2 or x=-
3
5. 1.인수분해를 이용한 풀이
▶ 주어진 방정식을 (일차식) x (일차식) = 0 의 꼴로 인수분해하
여 푼다.
ax²+ bx + c = 0 a(x-p)(x-q)=0 x=p 또는 x=q
▶ 중근 : 이차방정식의 두 근이 중복되어 있을 때 이 근을 중근
이라 한다.
(x-p)(x-q)=0 에서 X²+5X+6=0 의 해를 구하시오 해는 x=p(중근)이다.
예문 p와q가 같을 때 이 식의
풀이 X²+5X+6=0 이 식의 좌변을 인수분해하면
(X+2)(X+3)=0 이므로 X+2=0 또는 X+3=0,
따라서 구하는 해는 X=-2 , X=-3 이다.
6. 2. 완전 제곱식을 이용한 풀이
▶ 완전제곱식이란?
- 정수에 대해서는 다른 정수의 제곱으로 이루어져 있는 정수를, 다항식
에 대해서는
어떤 다항식의 제곱으로 되어 있는 다항식이다.
▶ ax²+ bx +c = 0 꼴의 이차방정식에서 (x-p)²= q 꼴로 바꿔서
x p q
양변에 루트를 씌워주면 가 된다. 좌변에서 p를 우변으로
x p q
이항해주면 라는 해를 구할 수 있다.
예문 X²+8X+13 = 0 의 해를 구하시오
풀이 X²+8X+13=0 의 좌변을 완전 제곱식으로 만들면
(X+4)²-16+13=0 이 되고 정리하면 (X+4)²=3 이 된다.
양변에 루트를 씌워주면 X 4 이 되어서
3
이 이차방정식의 해는 X 4 이다.
3
8. 이차방정식의 근의 공
식★
▶ 이차방정식의 근의
공식
ax 2
bx c 0a 0 의근은
2
b b 4ac
x 이다
2a
9. ▶ 근의 공식 유
도 ax 2 bx c 0
상수항 c를 이항한 다음 양변을 a로
나누면, 2 b c
x x
a a
b c
x2 2 x
2a a
2
b
양변에 을더하면
,
2a
2 2
2 b b b c
x 2 x
2a 2a 2a a
2
b b2 4a c
즉, x
2a 4a 2
b b2 4a c
그러므로
x
2a 2a
b b2 4a c
따라서
x
2a
10. 예문 x 2
3x 1 0 의 해를 구하여라
풀이
ax 2 bx c 0 의 꼴에서 a=1, b=3, c=1 값을 얻을 수 있다
b b 2 4ac 대입 3 9 4
x x
2a 2
3 5
x
2
11. ▶ 계수가 분수,소수일 때 양변에 적당한 수를 곱
하여 정수로 고친 후 푼다.
- 계수가 분수이면 분모의 최소공배수를 곱한
다.
- 계수가 소수이면 10의 거듭제곱을 곱한다.
▶ 괄호가 있을 때 괄호를 풀어 정리한 후 푼다.
▶ 인수분해를 이용하거나 근의 공식을 이용한다.
12. 이차방정식의
활용
1. 근과 계수의 관계
▶ ax²+bx+c=0 의 식에서 해가
x=p, x=q라고 할 때,
b
( p q)
a
c
pq
a
13. 예문 3x 2 7 x 8 의 두 근을 p, q라고 할 때, 3p, 3q를 두 근으로 하는 이
0
차방정식을 구하여라.
풀이
7 8
3 x 7 x 8 0에서 p q
2
, pq 이고 ,
3 3
3 p, 3q를 두 근으로하는 이차방정식은
2 2
x (3 p 3q ) 3 pq 0
3 p 3q 7, 9 pq 24이므로
2
x 7 x 24 0
14. 2. 응용문제 푸는 순서
ⅰ. 문제를 잘 읽고 구하고자 하는 것, 중요한 조건
등을 파악한다.
ⅱ. 구하고자 하는 것을 x로 놓고 방정식을 세운다.
ⅲ. 방정식을 푼다.
ⅳ. 구한 근 중에서 문제의 뜻에 맞는 것만을 답으
로 한 다.
15. FOR
EXAMPLE
지면에서 위로 똑바로 쏘아 올린 물체의 t초 후의 높이가 지면으로부터
(40t-8t²)m라고 한다. 이 물체의 높이가 32m가 되는 것은 쏘아 올린 지 몇
초 후인지 구하여라.
풀이
물체를 쏘아 올린 지 t초 후의 높이가 32m라 하면
40t-8t²=32이고
8t²-40t+32=0 (좌변을 우변으로 이항)
32m
t²-5t+4=0 (양변 5로 나누기)
(t-1)(t-4)=0 (인수분해)
그러므로 t=1 또는 t=4이다.
따라서 이 물체의 높이가 32m가 되는 것은 쏘아 올린 지 1초와 4초이
다.
