Przykładowy projekt ramy statycznie niewyznaczalnej wykonanany metodą przemieszczeń. Projekt zawiera kompletne obliczenia wraz z komentarzami i rysunkami. Projekt podobny do zadań wykonywanych na Politechnice Wrocławskiej. Chcesz wygenerować własny projekt? Odwiedź: www.gruparectan.com www.facebook.com/rectanbudownictwo lub napisz pod adres: gruparectan@gmail.com Zakres: Mechanika Ogólna, Wytrzymałość Materiałów, Mechanika Budowli.

1. www.gruparectan.com
Strona :1
1. Metor
Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń
Rys. Schemat konstrukcji
.................................................................................................................................................................
2. Ustalenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności układu
Węzły o nieznanych obrotach :
Przemieszczenia nieznane :
/rectanbudownictwo

2. Strona :2
układ jest : 3 krotnie kinematycznie niewyznaczalny
ϕ = węzły - podporowe - przeguby
3. Przyjęcie układu podstawowego
Współrzędne węzłów do obliczenia zależności kątowych łańcucha kinematycznego
Węzeł 0 x=[0.000]m , y=[0.000]m
Węzeł 2 x=[2.000]m , y=[0.000]m
Węzeł 3 x=[2.000]m , y=[3.000]m
Węzeł 4 x=[6.000]m , y=[0.000]m
Węzeł 5 x=[6.000]m , y=[3.000]m
.................................................................................................................................................................
Układ równań kanonicznych
.................................................................................................................................................................
z uwagi na uogólnienie wzoru współczynniki wyrazów wolnych nazywać będziemy w dalszej części jako 'b'

3. Strona :3
Rys. Układ podstawowy metody przemieszczeń
.................................................................................................................................................................
4. Obliczenie zależności kątowych obrotu cięciw prętów układu potrzebnych
do wyznaczenia macierzy sztywności dla stanu stan z3 Δ=1
Wystarczające do obliczeń łańcuchy kinematyczne
łańcuch : 0-2 : 2-4 :
łańcuch : 0-2 : 2-3 :
łańcuch : 3-2 : 2-0 :
łańcuch : 3-2 : 2-4 :
łańcuch : 5-4 :
Wybieram węzeł przesuwany 3
Z węzłem tym powiązany jest pręt 3-2
Przyjmuję przesuw cięciwy pręta o Δ =0 jednostek - znak przyjęto w odniesieniu do pręta

4. Strona :4
jest to wektor prostopadły do cięciwy pręta. Jego rzut na oś X ( lub oś Y w zależności od kierunku
przesunięcia) będzie miał wartość jednostkową. Wartość można obliczyć dzieląc wartość jednostkową
przez sin kąta pręta
węzeł powiązany z tym prętem przesunie się wtedy o wartość jednostkową
Kąt obrotu cięciwy pręta wyniesie Ψ =0 jednostek
Węzeł przemieści się wtedy o dx= 0.000 dy= 1.000
Przyjęte przemieszczenie i kąt podstawiam do łańcuchów kinematycznych, jako wiadome
Obliczenia zaczynam od łańcucha o najmniejszej liczbie niewiadomych - 0-2 : 2-3 :
.................................................................................................................................................................
Łańcuch obliczany : 0-2 : 2-3 :
Po obliczeniu równania
.................................................................................................................................................................
Łańcuch obliczany : 0-2 : 2-4 :

5. Strona :5
Po obliczeniu równania
.................................................................................................................................................................
Łańcuch obliczany : 5-4 :
Po obliczeniu równania
Rys. Łańcuch kinematyczny stan z3 Δ=1
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
5. Stan z1

6. Strona :6
Rys. Stan z1
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
6. Stan z2

7. Strona :7
Rys. Stan z2
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
7. Stan z3

8. Strona :8
Rys. Stan z3
.................................................................................................................................................................
8. Stan P
q pręt =0-2
P pręt =4-5
P pręt =2-3

9. Strona :9
Rys. Stan P
.................................................................................................................................................................
9. Współczynniki Macierzy Sztywności i Wyrazów Wolnych
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................

10. Strona :10
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
Suma współczynników od przesunięcia jest pokazana ze znakiem przeciwnym. Tak podstawiane są do
macierzy. Składniki sumowania pokazane są ze znakami takimi jak na wykresach.
Dla typowego zadania o dwóch węzłach i jednym przesuwie zapis wygląda jak powyżej.
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
Układ równań kanonicznych
.................................................................................................................................................................
Po rozwiązaniu układu otrzymano :
10. Siły sprężyste rotacyjne

11. Strona :11
.................................................................................................................................................................
11. Siły sprężyste translacyjne
.................................................................................................................................................................
12. Obliczenie Momentów przywęzłowych
zgodnie ze wzorem :
.................................................................................................................................................................

12. Strona :12
.................................................................................................................................................................
Rys. Wykres M
.................................................................................................................................................................
13. Obliczenie Sił Tnących
.................................................................................................................................................................

13. Strona :13
Rys. Siły Tnące 0-2
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................

14. Strona :14
Rys. Siły Tnące 2-4
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................

15. Strona :15
Rys. Siły Tnące 4-5
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................

16. Strona :16
Rys. Siły Tnące 2-3
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................

17. Strona :17
Rys. Wykres T
.................................................................................................................................................................
14. Obliczenie sił Normalnych
Aby Węzeł był w równowadze to suma jego składowych sił i reakcji rzutowana na oś X i oś Y musi być równa zero
to suma sił prętowych rzutowana na oś X w Węźle
to suma reakcji podporowych rzutowana na oś X w Węźle - jeżeli istnieje
to suma odziaływania zewnętrznego rzutowana na oś X w Węźle - jeżeli jest przyłożona
to suma sił prętowych rzutowana na oś Y w Węźle

18. Strona :18
to suma reakcji podporowych rzutowana na oś Y w Węźle - jeżeli istnieje
to suma odziaływania zewnętrznego rzutowana na oś Y w Węźle - jeżeli jest przyłożona
.................................................................................................................................................................
Obliczenia rozpoczynamy od Węzła, dla którego liczba niewiadomych sił w Prętach jest najmniejsza i wynosi
maksymalnie 2
W równaniach dla uproszczenia zapisu szukane pręty przyjmiemy, jako A i B
.................................................................................................................................................................
Wybrano Węzeł =4
Rzutowanie na oś X

19. Strona :19
Rzutowanie na oś Y
Układ równań
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
Wybrano Węzeł =2

20. Strona :20
Rzutowanie na oś X
Rzutowanie na oś Y
Układ równań
.................................................................................................................................................................
Rys. Wykres N

21. Strona :21
.................................................................................................................................................................
15. Obliczenie Reakcji Podporowych
Aby Węzeł był w równowadze to suma jego składowych sił i reakcji rzutowana na oś X i oś Y musi być równa zero
to suma sił prętowych rzutowana na oś X w Węźle
to suma reakcji podporowych rzutowana na oś X w Węźle - jeżeli jest istnieje
to suma odziaływania zewnętrznego rzutowana na oś X w Węźle - jeżeli jest przyłożona
to suma sił prętowych rzutowana na oś Y w Węźle
to suma reakcji podporowych rzutowana na oś Y w Węźle - jeżeli jest istnieje
to suma odziaływania zewnętrznego rzutowana na oś Y w Węźle - jeżeli jest przyłożona
.................................................................................................................................................................
W równaniach dla uproszczenia zapisu szukane reakcje przyjmiemy, jako A i B
.................................................................................................................................................................
Wybrano Węzeł =0

22. Strona :22
Rzutowanie na oś X
Rzutowanie na oś Y
równanie
lub równanie
.................................................................................................................................................................

23. Strona :23
.................................................................................................................................................................
Wybrano Węzeł =3
Rzutowanie na oś X
Rzutowanie na oś Y
równanie
lub równanie
.................................................................................................................................................................

24. Strona :24
.................................................................................................................................................................
Wybrano Węzeł =5
Rzutowanie na oś X
Rzutowanie na oś Y
Układ równań

25. Strona :25
.................................................................................................................................................................
Rys. Reakcje podporowe
.................................................................................................................................................................
16. Sprawdzenie Reakcji Podporowych - Moment
Sprawdzenia poprawności wyznaczenia reakcji podporowych dokonamy w punkcie [-1;-1] w naszym układzie XY
(Punkt musi być tak dobrany, aby wszystkie siły i reakcje brały udział w obliczaniu Sumy Momentów )
W punkcie tym Suma Momentów od wszystkich sił i reakcji powinna wynosić M=0
suma wszystkich momentów od składowych reakcji i obciążeń siłowych w punkcie, w którym Moment = 0

26. Strona :26
17. Sprawdzenie Reakcji Podporowych Rzut X
18. Sprawdzenie Reakcji Podporowych Rzut Y

27. Strona :27
19. Ocena Wyników Obliczeń
Z uwagi na spełnione warunki :
Ocena : obliczenia prawidłowe
.................................................................................................................................................................
Wydruk Metor
Copyright © 2014 Grupa Rectan
www.gruparectan.com