Funcio continua

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Funcio continua

  1. 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 8
  2. 2. CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 8.6 * 1º BCS
  3. 3. CONTINUIDAD GRÁFICA <ul><li>Una función se dice que es continua en todo su dominio cuando podamos ser capaces de dibujarla de un solo trazo continuo, sin levantar el lápiz del papel. </li></ul><ul><li>Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 </li></ul>1 - 1 0 y=x+1 Función continua en R 1 - 1 0 y=e x Función continua en R - 1 0 1 y=x – x 3 Función continua en R
  4. 4. CONTINUIDAD GRÁFICA <ul><li>Una función se dice que es continua en todo su dominio cuando podamos ser capaces de dibujarla de un solo trazo continuo, sin levantar el lápiz del papel. </li></ul><ul><li>Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 </li></ul>1 - 1 0 y=2 – x 2 Función continua en R 0 1 y=log x Función continua en R + -3 -2 -1 0 1 y= √(1 – x) F. continua en (-oo, 1]
  5. 5. <ul><li>Ejemplo 7 </li></ul><ul><li>Función continua en R, excepto en x=2 </li></ul><ul><li>En x=2 hay una discontinuidad, pues la función no existe en dicho punto. </li></ul><ul><li>x=2 no forma parte del dominio de la función. </li></ul>CONTINUIDAD GRÁFICA 1 2 x 2 – 3.x + 2 y = --------------- x – 2 <ul><li>Ejemplo 8 </li></ul><ul><li>Función continua en R, excepto en x=1 </li></ul><ul><li>En x=1 hay una discontinuidad, pues en ese punto su valor es 0. </li></ul><ul><li>x=1 forma parte del dominio de la función. </li></ul>4 -2 -1 0 1 2 4 – x 2 , si x<>1 y = 0 , si x=1
  6. 6. <ul><li>Ejemplo 9 </li></ul><ul><li>Función continua en R, excepto en x=0 </li></ul><ul><li>En x=0 la función existe y vale 1. </li></ul><ul><li>Pero a la izquierda de 0 la función vale 1 (y=1) y a la derecha del 0 la función vale 0 (y=0). </li></ul><ul><li>Hay una discontinuidad en x=0, un salto finito. </li></ul>CONTINUIDAD GRÁFICA 1 0 x + 1 , si x ≤0 y = – x , si x>0 <ul><li>Ejemplo 10 </li></ul><ul><li>Función continua en R, excepto en x=0 </li></ul><ul><li>En x=0 hay una discontinuidad, pues en ese punto no existe la función y a la izquierda del 0 su valor baja hasta – oo. </li></ul><ul><li>x=0 no forma parte del dominio. </li></ul>-2 -1 0 1 2 x 2 – 2 , si x<0 y = log x , si x>0
  7. 7. CONTINUIDAD DE FUNCIONES <ul><li>Una función y=f(x) se dice que es continua en un punto x=a, cuando se cumplen tres condiciones: </li></ul><ul><li>1) Existe la función en ese punto, existe f(a). </li></ul><ul><li>Es decir, ‘a’ forma parte del dominio de la función. </li></ul><ul><li>2) Existe el límite de la función en dicho punto, lím f(x) </li></ul><ul><li> x  a </li></ul><ul><li>Si la función en dicho punto está troceada, el límite por la derecha debe coincidir con el límite por la izquierda para que exista dicho límite. </li></ul><ul><li>3) El valor de la función en dicho punto coincide con el límite: </li></ul><ul><li>f(a) = lím f(x) </li></ul><ul><li>x  a </li></ul><ul><li>Como aun no se ha dado el concepto y el cálculo de límites, más adelante se volverá a este esquema para estudiar la continuidad de una función en un punto. </li></ul>
  8. 8. TIPOS DE DISCONTINUIDADES <ul><li>Para estudiar la continuidad de una función hay que hacerlo en todo su dominio de definición . En aquellos puntos singulares del dominio o en aquellos puntos que no pertenezcan al dominio de la función, estudiaremos detenidamente la función y determinaremos el tipo de discontinuidad que pueda presentar. </li></ul><ul><li>1) EVITABLE , que es cuando no existe la función en dicho punto, pero sí el límite. </li></ul><ul><li>2) DE 1ª ESPECIE , cuando el valor de la función en dicho punto no coincide con el límite. </li></ul><ul><li>3) DE 2ª ESPECIE SALTO FINITO , cuando no existe el límite, al no coincidir el límite derecho con el izquierdo. </li></ul><ul><li>4) DE 2ª ESPECIE SALTO INFINITO , cuando uno de los límites derecho o izquierdo, o los dos, son más o menos infinito. </li></ul>
  9. 9. Ejemplo 1 <ul><li>x – 4 , si x < 2  Función lineal </li></ul><ul><li>Sea f(x) = </li></ul><ul><li>- 2 , si x ≥ 2  Función constante </li></ul><ul><li>A la izquierda de x=2 ( función lineal ) es continua. </li></ul><ul><li>A la derecha de x=2 ( función constante) es continua. </li></ul><ul><li>Miramos si es continua en el punto x=2 </li></ul><ul><li>1) f(2) = 2 – 4 = – 2 </li></ul><ul><li>Es decir, x = 2 es un punto del dominio de la función. </li></ul><ul><li>2) Lím f(x) = 2 – 4 = -2 Lím f(x) = -2 </li></ul><ul><li> x  2- x  2+ </li></ul><ul><li>El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego existe dicho límite y vale - 2. </li></ul><ul><li>3) f(2) = lím f(x)  - 2 = - 2 </li></ul><ul><li>x  2 </li></ul><ul><li>La función es también continua en x = 2. Es continua en R </li></ul>
  10. 10. Ejemplo 2 <ul><li>x 2 – 9 , si x < 3  Función cuadrática </li></ul><ul><li>Sea f(x) = </li></ul><ul><li>x - 3 , si x > 3  Función lineal </li></ul><ul><li>A la izquierda de x=3 ( función cuadrática ) es continua. </li></ul><ul><li>A la derecha de x=3 ( función lineal) es continua. </li></ul><ul><li>Miramos si es continua en el punto x=3 </li></ul><ul><li>1) f(3) = NO existe. </li></ul><ul><li>Es decir, x=3 no es un punto del dominio de la función. </li></ul><ul><li>2) Lím f(x) = 3 2 – 9 = 0 Lím f(x) = 3 – 3 = 0 </li></ul><ul><li> x  3- x  3+ </li></ul><ul><li>El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego existe dicho límite y vale 0. </li></ul><ul><li>3) f(3) <> lím f(x) , al no existir f(3) </li></ul><ul><li>x  3 </li></ul><ul><li>La función en x=3 presenta una DISCONTINUIDAD EVITABLE. </li></ul>
  11. 11. Ejemplo 3 <ul><li>x 2 – 2 , si x ≤ 1  Función cuadrática </li></ul><ul><li>Sea f(x) = </li></ul><ul><li>e x , si x > 1  Función exponencial </li></ul><ul><li>A la izquierda de x=1 ( función cuadrática ) es continua. </li></ul><ul><li>A la derecha de x=1 ( función exponencial) es continua. </li></ul><ul><li>Miramos si es continua en el punto x=1 </li></ul><ul><li>1) f(1) = 1 2 – 2 = 1-2= -1 </li></ul><ul><li>Es decir, x=1 es un punto del dominio de la función. </li></ul><ul><li>2) Lím f(x) = 1 2 – 2 = 1 – 2=- 1 Lím f(x) = e 1 = e </li></ul><ul><li> x  1- x  1+ </li></ul><ul><li>El límite por la izquierda NO coincide con el límite por la derecha, luego NO existe límite. </li></ul><ul><li>3) No se puede cumplir al no existir límite. </li></ul><ul><li>La función en x=1 presenta una DISCONTINUIDAD de 2ª ESPECIE CON SALTO FINITO. </li></ul>
  12. 12. Ejemplo 4 <ul><li>x 2 – 2 , si x ≤ 1  Función cuadrática </li></ul><ul><li>Sea f(x) = </li></ul><ul><li>ln (x – 1) , si x > 1  Función logarítmica </li></ul><ul><li>A la izquierda de x=1 ( función cuadrática ) es continua. </li></ul><ul><li>A la derecha de x=1 ( función logarítmica) es continua. </li></ul><ul><li>Miramos si es continua en el punto x=1 </li></ul><ul><li>1) f(1) = 1 2 – 2 = 1-2= -1 </li></ul><ul><li>Es decir, x=1 es un punto del dominio de la función. </li></ul><ul><li>2) Lím f(x) = 1 2 – 2 = 1 – 2=- 1 Lím f(x) = ln (1 – 1) = ln 0+ = - oo </li></ul><ul><li> x  1- x  1+ </li></ul><ul><li>El límite por la izquierda NO coincide con el límite por la derecha, luego NO existe límite. </li></ul><ul><li>3) f(1) <> lím f(x) , al no existir límite. </li></ul><ul><li>x  1 </li></ul><ul><li>La función en x=1 presenta una DISCONTINUIDAD de 2ª ESPECIE CON SALTO INFINITO. </li></ul>
  13. 13. Ejemplo 5 <ul><li>Hallar el valor de k para que la función sea continua en todo R </li></ul><ul><li>x 2 – 2 , si x ≤ 2 </li></ul><ul><li>Sea f(x) = </li></ul><ul><li>x – k , si x > 2 </li></ul><ul><li>A la izquierda de x=2 ( función cuadrática ) es continua. </li></ul><ul><li>A la derecha de x=1 ( función lineal ) es continua. </li></ul><ul><li>Miramos si es continua en el punto x=2 </li></ul><ul><li>1) f(2) = 2 2 – 2 = 4-2= 2 </li></ul><ul><li>Es decir, x=2 es un punto del dominio de la función. </li></ul><ul><li>2) Lím f(x) = 2 2 – 2 = 4 – 2 = 2 Lím f(x) = 2 - k </li></ul><ul><li> x  2- x  2+ </li></ul><ul><li>Para que exista el límite ambos límites laterales deben ser iguales: 2 = 2 – k  Luego, en este caso k debe ser 0. </li></ul><ul><li>3) Si k = 0 f(2) = lím f(x) , pues 2 = 2 </li></ul><ul><li>x  2 </li></ul><ul><li>Si k = 0, la función también es continua en x=2, y por tanto en todo R. </li></ul>

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