2. Девиз урокаДевиз урока
Кто такой учёный?Кто такой учёный?
Определение.Определение.
Тот, кто ночами, забыв про кровать.Тот, кто ночами, забыв про кровать.
Усердно роется в книжной груде.Усердно роется в книжной груде.
Чтобы ещё кое-что узнатьЧтобы ещё кое-что узнать
Из того, что знают другие люди.Из того, что знают другие люди.
(П. Хейне – американский экономист,(П. Хейне – американский экономист,
доктор философии)доктор философии)
3. Математики о производной.Математики о производной.
« Слова« Слова «производная»«производная» ии
«произошло»«произошло» имеют похожиеимеют похожие
части слова, да и смысл похож:части слова, да и смысл похож:
производная происходит отпроизводная происходит от
исходной функции (переложив наисходной функции (переложив на
отношения человека: исходнаяотношения человека: исходная
функция -функция - «мама»,«мама», еёеё
производная -производная - «дочь»«дочь»).).
ПроизводнаяПроизводная - часть- часть
математической науки, одно из еёматематической науки, одно из её
звеньев. Нет этого звена -звеньев. Нет этого звена -
прерваны связи между многимипрерваны связи между многими
понятиями.»понятиями.»
4. Что называетсяЧто называется
производной?производной?
Производной функции в даннойПроизводной функции в данной точкеточке
называется предел отношенияназывается предел отношения
приращения функции в этой точке кприращения функции в этой точке к
приращению аргумента, когдаприращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится кприращение аргумента стремится к
нулю.нулю.
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=′
→∆
)()(
lim)( 00
0
6. Исследуя функции, можноИсследуя функции, можно
встретить случаи, когдавстретить случаи, когда
функция определена, но нефункция определена, но не
дифференцируема. Что это?дифференцируема. Что это?
Почему так происходит?Почему так происходит?
Можно ли этому найтиМожно ли этому найти
объяснения?объяснения?
7. Взгляд из детства.Взгляд из детства.
Всем с детства известно такоеВсем с детства известно такое
явление, как движение мяча,явление, как движение мяча,
падающего на пол и упругопадающего на пол и упруго
отскакивающего от него.отскакивающего от него.
Это явление можно объяснить сЭто явление можно объяснить с
помощью законов физики.помощью законов физики.
Попробуем переложить всё этоПопробуем переложить всё это
на математический язык.на математический язык.
8. При отскоке от пола (приПри отскоке от пола (при h=0)h=0) направление движениянаправление движения
мяча меняется (и функция достигает минимума), однакомяча меняется (и функция достигает минимума), однако
в эти моменты скорость мяча не равна нулю,в эти моменты скорость мяча не равна нулю,
касательную к графикукасательную к графику hh провести нельзя.провести нельзя.
На графике скорости мяча мы видим: в момент отскокаНа графике скорости мяча мы видим: в момент отскока
скорость мяча однозначно найти нельзя - графикскорость мяча однозначно найти нельзя - график
скорости в эти моменты имеет разрывы.скорости в эти моменты имеет разрывы.
(Производная в этих точках не существует).(Производная в этих точках не существует).
9. Примеры функций,Примеры функций,
имеющих особыеимеющих особые
точки.точки.
Все функции вида у =Все функции вида у = ||f(x)f(x)||, при, при f(x)=0f(x)=0
имеют особые точки - точки излома.имеют особые точки - точки излома.
Частный случай: у =Частный случай: у = ||хх||,,
гдегде х=0 - особая точка.х=0 - особая точка.
10. Геометрический смыслГеометрический смысл
производнойпроизводной состоит в том,состоит в том,
что значение производнойчто значение производной
функциифункции y=f(x)y=f(x) в точкев точке xx
равно угловомуравно угловому
коэффициенту касательной ккоэффициенту касательной к
графику функции в точке сграфику функции в точке с
абсциссойабсциссой xx00
αtgkxf ==′ )(
13. Точка движется прямолинейно по законуТочка движется прямолинейно по закону
Вычислите скорость движения точки:Вычислите скорость движения точки:
а) в момент времениа) в момент времени t;t;
б) в момент времениб) в момент времени tt=2с.=2с.
Решение.Решение.
а)а)
б)б)
.32)( 3
tttS −=
)/(2132*6)2(
36)32()()(
2
23
смV
ttttStV
=−=
−=′−=′=
14. Найдите скорость и ускорение для точки,Найдите скорость и ускорение для точки,
движущейся по законудвижущейся по закону
а) в момент времениа) в момент времени t;t;
б) в момент времениб) в момент времени tt=3с.=3с.
Решение.Решение.
:32)( 2
++= tttS
)/(2)3(
)/(823*2)3()
2)()()(
22)32()()()
2
2
смa
смVб
tStVta
ttttStVа
=
=+=
=′′=′=
+=′++=′=
15. Проблемная задачаПроблемная задача
Две материальные точки движутся прямолинейноДве материальные точки движутся прямолинейно
по законампо законам
В какой момент времени скорости их равны, т.е.В какой момент времени скорости их равны, т.е.
.325,0)(
,165,2)(
2
2
2
1
−+=
+−=
tttS
tttS
?),()( 00201 −= ttVtV
