Objašnjeno na primerima iz prirode, a ne samo suvoparne definicije i obrasci

1. MATEMATI ˇCKE METODE FIZIKE 1 i 2
bilješke za pripremu ispita
Denis Žoljom
Fiziˇcki odsjek Prirodoslovno - matematiˇckog fakulteta Sveuˇcilišta u Zagrebu,
Bijeniˇcka 32, 10 000 Zagreb, Hrvatska

2. PREDGOVOR
Ovo su bilješke za pripremu ispita, kolegija mmf1 i mmf2 koje drži profesor Sunko. Odluˇcio
sam digitalizirati svoje pripreme, iz meni nepoznatog razloga - vrlo vjerojatno jer nisam imao
ništa pametnoga za raditi, ali sam imao vremena.
Ovo nikako nije skripta!! Ovo je samo podsjetnik i služi kao pomo´c pri pripremi ispita.
Kada sam ja pripremao ispit iz mmf-a (1 i 2) ispunio sam par bilježnica riješenih zadataka (stari
rokovi etc.), te sam ispunio jednu veliku bilježnicu, pokušavaju´ci si objasniti teoriju. Nisam
išao bezumno štrebati, jer profesor Sunko vrlo lako shvati da li je nešto nauˇceno ili naštrebano.
Uostalom, smatram da nema smisla nešto štrebati, pogotovo ako ´ce vam kasnije koristiti u
studiju (a definivno bude). Tako ¯der, ukoliko štrebate uskratiti ´cete se ’Aha efekataT M
’ (a to
stvarno ne želite XD). Isto tako, imajte na umu da mi se tu i tamo mogla potkrasti greška (nitko
nije savršen, kako bi rekao profesor Babi´c :D) pa bi štrebanjem nauˇcili grešku, a to ne bi bilo
dobro.
Nemojte distribuirati bez mog pitanja i nikako si nemojte printati i nositi na predavanje! Ne
bih htio imati problema s profesorom. Ovo nije skripta, samo pomo´c, ako negdje zapnete. Ko-
ristio sam, osim knjiga, moje bilješke s predavanja. Tako ¯der nije sve objašnjeno u super detalje,
za to koriste knjige koje ´cu navesti u bibliografiji, a koje su meni uvelike pomogle u shva´canju
kolegija. Nadam se da ´ce ipak biti neke koristi od ovoga :D
U Zagrebu 2010.
Denis Žoljom
Napomena: Sve komentare, uoˇcene greške i prijedloge s namjerom poboljšanja ovog teksta
šaljite na mail.
Ovaj tekst nije recenziran.
Literatura
[1] G. B. Arfken, H. J. Weber, Mathematical Methods for Physicist, sixth ed., Elsevier Acade-
mic Press
[2] T. Needham, Visual Complex Analysis, Oxford University Press
[3] R. Courant, J. Fritz, Introduction to Calculus and Anylysis, Volume One, Interscience Pu-
blishers
[4] W. E. Boyce, R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Pro-
blems, John Wiley & Sons, Inc.

3. Sadržaj
1 Matematiˇcke Metode Fizike 1 1
1.1 Kompleksna analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Kompleksna ravnina i kompleksni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Funkcije kompleksne varijable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Limes, kontinuiranost, analitiˇcnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 Kompleksna integracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.5 Operativna formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.6 Ocjena integrala - ML inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.7 Cauchy-Goursat teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.8 Osnovni teorem integralnog raˇcuna za analitiˇcke funkcije . . . . . . . . 11
1.1.9 Cauchy integralna formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.10 Liouvilleov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.11 Nizovi i redovi u C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.12 Iskaz Bolzano-Weierstrasovog teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.13 Heine-Borel teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.14 Redovi u C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.15 Testovi apsolutne konvergencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.16 Nizovi i redovi potencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.17 Abelov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.18 Taylorov teorem (razvoj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.19 Laurentov teorem (razvoj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.20 Teorem o jedinstvenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.21 Teorem o nultoˇckama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Singulariteti analitiˇcke funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.1 Klasifikacija izoliranih singulariteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.2 Reziduumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Obiˇcne diferencijalne jednadžbe (ODJ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.1 Teorem o egzistenciji i jedinstvenosti rješenja Cauchyjevog problema . 29
1.3.2 Princip superpozicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.3 Op´ce rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda . . . . . . . . . . . 30
1.3.4 Linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima . . . . 31
1.3.5 Metoda neodre ¯denih koeficijenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.6 Metoda varijacije konstanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.7 Frobenius metoda rješavanja diferencijalne jednadžbe drugog reda . . . 36
1.3.8 Op´ci postupak dobivanja drugog rješenja u Frobenius metodi . . . . . . 40
1.3.9 Formalno dobivanje drugog rješenja u Frobenius metodi . . . . . . . . 41
1.4 Gama funkcija i asimptotski redovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.4.1 Gama funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.4.2 Svojstva Gama funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.4.3 Asimptotske metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.4.4 Laplaceova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.4.5 Izvod Stirlingove formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
i

4. 2 Matematiˇcke Metode Fizike 2 55
2.1 Fourierova analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1.2 Fourierovi redovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.1.3 Skup mjere nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.1.4 Spuštanje okomice ili metoda najmanjih kvadrata . . . . . . . . . . . . 60
2.1.5 Klasiˇcan Fourierov red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1.6 Riemann-Lebesgueova lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1.7 Inverziona formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.1.8 Princip lokalizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.1.9 Jordanov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.1.10 Prostor kvadratno sumabilnih nizova (redova) - ℓ2
. . . . . . . . . . . . 70
2.1.11 Besselova nejednakost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.1.12 Riesz-Fischerov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.1.13 Integracija Fourierovih redova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.1.14 Diferencijacija Fourierovih redova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.1.15 Fourierovi transformati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.1.16 Moderan zapis Fourierovog transformata . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.1.17 Konvolucija i Dirac delta funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.1.18 Alternativni iskaz slabe konvergencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.2 Parcijalne diferencijalne jednadžbe (PDJ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.2.1 Valna jednadžba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.2.2 Jednadžba difuzije i jednadžba kontinuiteta . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.2.3 Laplaceova i Poissonova jednadžba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.2.4 Fourierova jednadžba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.2.5 Kvalitativna analiza valne jednadžbe i d’Alambertova formula . . . . . 85
2.3 Specijalne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.3.1 Uvod i Helmholtzova amplitudna jednadžba . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.3.2 Legendreova jednadžba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.3.3 Eksplicitno rješavanje Legendreove diferencijalne jednadžbe . . . . . . 92
2.3.4 Operativno dobivanje Legendreovih polinoma - Rodriguesova formula . 93
2.3.5 Integralne reprezentacije i funkcija izvodnica Legendreovih polinoma . 95
2.3.6 Relacije ortogonalnosti za Legendreov polinom . . . . . . . . . . . . . 96
2.3.7 Pridružene Legendreove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.3.8 Rodriguesova formula za pridružene Legendreovu funkciju . . . . . . . 99
2.3.9 Integralna reprezentacija i relacije ortogonalnosti pridružene Legendre-
ove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.3.10 Kugline funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.3.11 Weierstrassov teorem o kompletnosti polinoma . . . . . . . . . . . . . 100
2.3.12 Sturm-Liouvilleov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.3.13 Besselove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.3.14 Besselova jednadžba indeksa µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.3.15 Svojstva, funkcija izvodnica i integralna reprezentacija Besselove funk-
cije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.3.16 Svojstva Neumannove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.3.17 Sferne Besselove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
ii

5. 2.3.18 Modificirane Besselove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.3.19 Asimptotsko ponašanje modificiranih Besselovih funkcija . . . . . . . 115
Popis slika
1 Kompleksna ravnina [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Zapis kompleksnog broja z [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Linijski (kompleksan) integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Iterirani trokuti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5 Udaljenost toˇcke na n-tom trokutu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6 Slika uz osnovni tm integralnog raˇcuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7 Konveksan put u S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8 Slika uz Cauchy integralnu formulu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
9 Slika uz Abelov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
10 Slika uz Taylorov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11 Slika uz Laurentov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12 Graf gama funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
13 Krivulja kompleksne integracije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
14 Usporedba asimptotskog i Taylorovog razvoja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
15 Asimptotsko proširenje e−x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
16 Karakteristiˇcna funkcija χI(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
17 Spuštanje okomice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
18 Slika uz Riemann-Lebesgueovu lemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
19 Graf Dirichletove jezgre za n=19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
20 Slika uz princip lokalizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
21 Step funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
22 Funkcija sinc(2x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
23 Fourierov transformat sinc(2x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
24 Model napete žice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
25 Prikaz prvih 4 Legendreovih polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
26 Slika Besselove funkcije prve vrste i njene envelope . . . . . . . . . . . . . . . 106
27 Slika Neumannove funkcije prve vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
28 Prve tri Besselove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
29 Prve tri Neumannove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
30 Sferna Besselova funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
31 Sferna Neumannova funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
32 Prve tri sferne Besselove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
33 Prve tri sferne Neumannove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
34 Modificirana Besselova funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
35 Modificirana Neumannova funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
iii

6. 1 Matematiˇcke Metode Fizike 1
1.1 Kompleksna analiza
1.1.1 Kompleksna ravnina i kompleksni brojevi
Brojeve proširujemo, tako da proširimo naˇcin na koji se oni raˇcunaju. Znamo da postoje više
skupova brojeva - prirodni N, cijeli Z, racionalni Q, realni R i na kraju, oni koji su nama od
najve´ce važnosti, kompleksni C.
Za nas je dosta bitno da je skup algebarski kompletan i topološki kompletan (sadrži limese
svih svojih konvergentnih nizova). O tome ne´cu u detalje. Da bi mogli vršiti operacije nad kom-
pleksnim brojevima moramo ih znati prikazati. Za to nam služi kompleksna ravnina. Gauss je
rekao: zamislimo si dvodimenzionalnu ravninu i možemo pravila za raˇcunanje s kompleksnim
brojevima primjeniti na raˇcunanje pomicanja pravca u ravnini.
Time smo na lak naˇcin uveli pojam udaljenosti (nešto što znamo iz svakodnevnog života).
Pojam udaljenosti nam daje i pojam okoline (koja nam treba da bi mogli baratati limesima).
d : (x, y) → d(x, y) ∈ R (1.1)
Gauss je kompleksne brojeve modelirao parom realnih brojeva. Ako je z = a + ib → (a, b).
Tako ¯der znamo da svaka norma na vektorsku funkciju prirodno inducira funkciju udaljenosti.
Slika 1: Kompleksna ravnina [2]
Operacije nad kompleksnim brojevima:
Zbrajanje:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) (1.2)
Množenje:
(x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2) (1.3)
1

7. Naravno, oˇcekujemo da nam vrijede pravila za zbrajanje i množenje u R. Postojanje inverza
i neutralnih elemenata se podrazumijeva (ne´cu i´ci u detalje s aksiomatikom).
Da bi lakše predoˇcili množenje i dijeljenje u kompleksnoj ravnini, koristimo polarni zapis
kompleksnog broja.
x = r cos θ, y = r sin θ, z = x + iy
z = r(cos θ + i sin θ)
(1.4)
Pri ˇcemu je r apsolutna vrijednost ili modul od z dan formulom:
|z| =
√
x2 + y2 (1.5)
Slika 2: Zapis kompleksnog broja z [2]
Kut θ = arctan(y/x) je kut u smjeru od pozitivne x-osi od ishodišta O do z na slici 2 u
smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
S polarnim zapisom nam je lakše potencirati, ali i korjenovati:
z1z2 = r1r2[cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]
z1/z2 = r1/r2[cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2)]
zn
= rn
[cos(nθ) + i sin(nθ)]
n
√
z = n
√
r
[
cos
θ + 2kπ
n
+ i sin
θ + 2kπ
n
]
; k = 0, 1, · · · , n − 1
(1.6)
Kod va ¯denja korjena pojavljuje nam se višeznaˇcnost n - Riemmanove plohe, etc.
Tako ¯der se ˇcesto koristi eksponencijalna notacija:
ez
= ex+iy
= ex
(cos θ + i sin θ) = ex
eiθ
(1.7)
2

8. Svojstva funkcije udajljenosti:
1. 0 ≤ d(z1, z2) < ∞ ∀z1, z2 ∈ C - norma mora dati nešto (< ∞)
2. d(z1, z2) = 0 ⇒ z1 = z2 - nema razliˇcitih brojeva ˇcija je me ¯dusobna udaljenost 0
3. d(z1, z2) = d(z2, z1) - simetriˇcna funkcija
4. d(z1, z2) ≤ d(z1, z3) + d(z2, z3) odnosno |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| - apsolutna vrijednost sume ne
može biti ve´ca od sume apsolutne vrijednosti.
Napomena: Ja sam preskoˇcio dio o rezovima, zato se mora i´ci na predavanja :D.
1.1.2 Funkcije kompleksne varijable
Prvo ´cemo definirati neke bitnije geometrijske likove koji pomažu kod razumijevanja.
Jediniˇcna kružnica: |z| = 1.
Kružnica radijusa r s ishodištem u toˇcki a: |z − a| = r, katkad i |z − z0| = ε. To je skup svih
z ˇcija udaljenost |z − a| od centra a iznosi r.
Unutrašnjost je dana nejednadžbom: |z−a| < r - otvoren disk (kugla), dok unutrašnjost plus
rub (kružnica) su dane nejednadžbom: |z − a| ≤ r - zatvoren disk. Sve što je > r je van te kugle.
Otvorenu kružnicu još zovemo okolinom od a (ε okolina od z0). a ima beskonaˇcno mnogo
okolina, po jednu za svaku vrijednost r(ε) > 0. Po definiciji, a je toˇcka svake od tih okolina.
Otvoreni kružni vjenac: r1 < |z − a| < r2, zatvoren - r1 ≤ |z − a| ≤ r2.
Skup toˇcaka je bilo koja kolekcija konaˇcno mnogo ili beskonaˇcno mnogo toˇcaka.
Skup S je otvoren, ako svaka toˇcka u S ima okolinu koja se u potpunosti sastoji od toˇcaka
koje se nalaze u S.
Skup je povezan, ako bilo koje dvije toˇcke tog skupa možemo povezati isprekidanom lini-
jom koja se sastoji od konaˇcno mnogo segmenata ravnih linija, ˇcije toˇcke pripadaju S.
Skup S je zatvoren, ako mu je komplement otvoren. Otvoreni i povezani skup se nazivaju
domenom.
Podsjetimo se: Realna funkcija f definirana u skupu S ∈ R (interval) je pravilo koje sva-
kom x ∈ S pridruži realni broj f(x), nazvan vrijednost f u x.
U kompleksnoj ravnini S je skup kompleksnih brojeva S ∈ C.
Funkcija f definirana u S je pravilo koje pridruži svakom z ∈ S kompleksni broj w, koji se
naziva vrijednost od f u z. Pišemo:
w = f(z) (1.8)
3

9. U ovom sluˇcaju z varira u S i naziva se kompleksna varijabla. Skup S je domena definicije
f ili jednostavno, domena od f.
Skup svih vrijednosti funkcije f se naziva raspon (prostor) f. w je kompleksan pa možemo
pisati:
w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) (1.9)
1.1.3 Limes, kontinuiranost, analitiˇcnost
Funkcija f(z) ima limes L kako se z približava toˇcki z0:
lim
z→z0
f(z) = L (1.10)
Odnosno:
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀z z0, |z − z0| < δ ⇒ | f(z) − L| < ε (1.11)
Geometrijski bi to znaˇcilo da za svaki z z0 u δ disku vrijednost funkcije f leži u ε disku.
Ova definicija limesa je veoma sliˇcna onoj u R, samo se ovdje z može približavati z0 iz bilo
kojeg smjera.
Ako limes postoji, jedinstven je.
Funkcija f(z) je neprekinuta (kontinuirana) u z = z0, ako je f(z) definirana i
lim
z→z0
f(z) = f(z0) (1.12)
odnosno:
∀ε > 0, ∃δ > 0 : |z − z0| < δ ⇒ | f(z) − f(z0)| < ε (1.13)
Derivacija kompleksne f-je f u toˇcki z0 je f′
(z0) i definirana je:
f′
(z0) = lim
∆z→0
f(z0 + ∆z) − f(z0)
∆z
(1.14)
ukoliko limes postoji, ili:
f′
(z0) = lim
∆z→z0
f(z) − f(z0)
z − z0
(1.15)
Analitiˇcnost:
Funkcija f(z) je analitiˇcka u toˇcki z = z0, ako je f(z) analitiˇcka u okolini toˇcke z0, tj.:
∃ε > 0 : f je diferencijabilna u z ˇcim|z − z0| < ε (1.16)
Analitiˇcnost f(z) u z0 znaˇci da f(z) ima derivaciju u svakoj toˇcki u nekoj okolini z0 (nju
ukljuˇcuju´ci). Nju tako ¯der karakteriziraju Cauchy-Riemannovi uvijeti.
Teorem 1. Ako je f(z) analitiˇcka, parcijalne derivacije u i v postoje i zadovoljavaju Cauchy-
Riemannove uvjete.
4

10. Dokaz.
f′
(z0) = lim
∆z→0
f(z0 + ∆z) − f(z0)
∆z
(1.17)
∆z možemo pustiti u 0 po bilo kojem putu. Proizvoljno možemo izabrati da ide po horizontali
(∆x → 0) ili vertikali (∆y → 0).
∆z = ∆x + i∆y ⇒ z + ∆z = x + ∆x + i(y + ∆y)
f′
(z) = lim
∆z→0
[u(x + δx, y + ∆y) + iv(x + ∆x, y + ∆y)] − [u(x, y) + iv(x, y)]
∆x + i∆y
(1.18)
Ako pustimo zasebno ∆x → 0 i ∆y → 0 imamo:
f′
(z) =
∂u
∂x
+ i
∂v
∂x
i f′
(z) =
∂v
∂y
− i
∂u
∂y
(1.19)
Postojanje f′
(z) implicira postojanje ove ˇcetiri parcijalne derivacije. Izjednaˇcavanjem real-
nih i imaginarnih dijelova imamo:
∂u
∂x
=
∂v
∂y
,
∂v
∂x
= −
∂u
∂y
(1.20)
C-R uvjeti su fundamentalni, jer nisu samo nužan nego i dovoljan uvijet da bi funkcija bila
analitiˇcka:
Neka je f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Ako su u i v diferencijabilne u (x, y) kao funkcije dvije
varijable i ako vrijede C-R uvjeti, onda je f diferencijabilna u toˇcki z = x + iy.
1.1.4 Kompleksna integracija
. . .
. . .
z
z0
z1
z2
zi-1
zi
zi∆
Slika 3: Linijski (kompleksan) integral
Definirajmo bitnije pojmove:
5

11. Put integracije, γ ∈ C, je neprekidna funkcija: γ : [a, b] ⊂ R → C; γ : t ∈ [a, b] → γ(t) ∈
C.
Integral kompleksne funkcije po putu γ se definira kao:
∫
γ
f(z)dz = lim
∆z→0
n−1∑
i=0
f(zi)∆zi (1.21)
Pri ˇcemu je ∆zi = γ(ti+1) − γ(ti) razlika puta po tetivi.
|∆zi| = |zi − zi−1| → 0, kako i → 0. |∆zi| ne može prije´ci duljinu luka krivulje γ od zi−1 do
zi, a |zi − zi−1| → 0 jer je duljina luka glatke krivulje neprekidna funkcija od t(z), a znamo da je
nužan kriterij konvergencije da op´ci ˇclan teži u 0 kako i → 0 (vidi sliku 3).
1.1.5 Operativna formula
Neka je γ po dijelovima gladak put, z=z(t), pri ˇcemu je a ≤ t ≤ b. Neka je f(z) neprekidna f-ja
na γ, tada je:
∫
γ
f(z)dz =
∫ b
a
f (γ(t)) ˙γ(t)dt (1.22)
Dokaz.
∫
γ
f(z)dz =
∫
γ
(u + iv)(dx + idy) =
∫
γ
[udx + iudy + ivdx − vdy] =
=
∫
γ
[udx − vdy] + i[vdx + udy] =
∫
γ
(udx − vdy) + i
∫
γ
(vdx + udy) =
=
∫ b
a
(
u
dx
dt
− v
dy
dt
)
dt + i
∫ b
a
(
v
dx
dt
+ u
dy
dt
)
dt =
=
∫ b
a
u
(
dx
dt
+ i
dy
dt
)
dt + i
∫ b
a
v
(
dx
dt
+ i
dy
dt
)
dt =
=
∫ b
a
u˙γ(t)dt + i
∫ b
a
v˙γ(t)dt =
∫ b
a
(u + iv)˙γ(t)dt =
∫ b
a
f(γ(t))˙γ(t)dt
(1.23)
Primjeri:
1.
γ
dz
z
= 2πi, z = reiθ
, po jediniˇcnoj kružnici (r=1)
dz = izdθ, θ ∈ [0, 2π]
∫ 2π
0
1
z
izdθ = i
∫ 2π
0
dθ = 2πi
(1.24)
6

12. 2.
γ
(z − z0)m
dz =
z = z0 + reiθ
→ (z − z0)m
= (z0 + reiθ
− z0)m
= rm
emiθ
dz = ireiθ
dθ
γ
(z − z0)m
dz =
∫ 2π
0
rm
eimθ
ireiθ
dθ =
= ir(m+1)
[∫ 2π
0
cos(m + 1)θdθ + i
∫ 2π
0
sin(m + 1)θdθ
]
γ
(z − z0)m
dz =
{
2πi, m = −1
0, m ∈ Z {−1}
(1.25)
1.1.6 Ocjena integrala - ML inequality
Neka je γ po dijelovima gladak put u S ⊂ C; f : S → C neprekidna funkcija. Tada je:
∫
γ
f(z)dz ≤ ℓ(γ) · max
z∈γ
| f(z)|
ℓ(γ) =
∫ b
a
√
x′(t)2 + y′(t)2dt
(1.26)
Dokaz.
A =
∫ b
a
f(z)dz →
∫ b
a
(
f(x) −
A
b − a
)
dz = 0
|A| = Ae−iθ
→ |
∫
γ
f(z)dz| ≤ |A| − A je iznos puta
|
∫
γ
f(z)dz| =
∫
γ
e−iθ
f(z)dz =
∫ b
a
e−iθ
f(γ(t)) · ˙γ(t)dt ≤
≤
∫ b
a
|e−iθ
f(γ(t)) · ˙γ(t)|dt ≤
∫ b
a
| f(γ(t))| · |˙γ(t)|dt ≤
≤ max |f(γ(t))| ·
∫ b
a
|˙γ(t)|dt ≤ ℓ(γ(t)) · max |f(γ(t))|
(1.27)
Neprekinutost f-je nam daje i ogrtaniˇcenje - maksimum.
7

13. 1.1.7 Cauchy-Goursat teorem
Teorem 2. Neka je S otvoren, konveksan skup i f : S → C analitiˇcka na C ( f ∈ H(C )). Neka
je γ zatvoren, po dijelovima gladak put u S. Tada je
∫
γ
f(z)dz = 0 → f(z)dz = 0
Dokaz. Dokaz radimo na tri djela. Prvo pokazujemo da je f′
neprekidna, odnosno da je inte-
gral potpunog diferencijala 0. Zatim dokazujemo da prva tvrdnja vrijedi i za rub trokuta. Te na
kraju, preko konveksnosti pokazujemo da postoji F t.d je F′
(z) = f(z) - primitivna funkcija.
1. dio
Neka je f′
(z) neprekidna funkcija. Rastavljamo po glatkim djelovima:
∫
γ
f′
(z)dz =
∑
i
∫
γi
f′
(z)dz = |koristimo operacionu formulu|
=
∑
i
∫
ti−1
f′
(γ(t))γ′
(t)
d
dt ( f(γ(t)))
dt = |Leibnitzovo pravilo za raˇcunanje odre ¯denih integrala|
= f(γ(b)) − f(γ(tn−1)) − . . . − f(γ(t2)) − f(γ(a)) = f(γ(b)) − f(γ(a)) = 0
jer je poˇcetak jednak kraju
(1.28)
2. dio
Uzmimo pozitivno orijentirani trokut (slika 4). Ukupna duljina puta C je L.
C C1
C3C2
C4
Slika 4: Iterirani trokuti
Podijelimo veliki trokut na simetrale stranica i napravimo novi trokut (stranicu smo smanjili
na pola) i tako sa daljnjim trokutima kao na slici. Svaki trokut (C1,C2,C3,C4) je pozitivno
orijentiran (smjer suprotno od kazaljke na satu). Ako sumiramo integrale po 4 puta, integrali
po segmentima puta unutrašnjosti C se poništavaju u parovima:
∫
C
f(z)dz =
4∑
k=1
∫
Ck
f(z)dz (1.29)
Izabiremo trokute kao da imamo silazni red (koji konvergira u toˇcku). Radimo ocjenu integrala
uz jednu nejednakost:
∫
C
f(z)dz ≤
4∑
k=1
∫
Ck
f(z)dz ≤ 4
∫
C1
f(z)dz (1.30)
8

14. Koja se lako pokaže geometrijski. Radimo iterativno → dijelimo na manje i manje trokute
po istom principu. Pri tom nam relacija (1.30) mora vrijediti (što je priliˇcno logiˇcno). Tako ¯der
Cn su putevi maksimalne duljine, te je gornja relacija oˇcita.
∫
Cn
f(z)dz ≤ 4
∫
Cn+1
f(z)dz , {n=1,2,. . .}
∫
C
f(z)dz ≤ 4n
∫
Cn
f(z)dz ≤, {n < 4n
, ∀n ∈ Z}
≤ 4n
l(Cn) max
z∈C
| f(z)|
(1.31)
Pri ˇcemu je l(Cn) duljina ruba n-tog trokuta. Pošto svaki put prepolovimo stranicu tokuta
ona iznosi: L
2n .
Treba nam pomo´cni teorem koji ne´cemo dokazivati:
Teorem 3. Imamo silazni niz zatvorenih skupova ˇciji radijus teži nuli. Presjek takvih skupova
(trokuta) je neprazan i sastoji se od 1 toˇcke
∩
n∈N
In =: {z0} (1.32)
Tako ¯der se može to pokazati iz Heine-Borel teorema.
max
z∈C
|f(z)| je udaljenost toˇcke z na n-tom trokutu do z0 nije ve´ca od pola okolice tog trokuta
kao što vidimo na slici 5:
|z − z0| < δ (1.33)
z
z0
Slika 5: Udaljenost toˇcke na n-tom trokutu
Pošto je toˇcno z0 toˇcaka u kojoj je funkcija analitiˇcka imamo, iz uvjeta derivabilnosti u z0:
f(z) − f(z0)
z − z0
− f′
(z0) < ε {uz uvjet (1.33)}
|f(z) − f(z0) − f′
(z0)(z − z0)| < ε|z − z0|
∫
Cn
f(z)dz =
∫
Cn
[
f(z) − f(z0) − f′
(z − z0)
pravac - nema utjecaja na podint. funkciju
]
max
z∈C
| f(z)| = ε(z − z0) = ε
L
2n
za n-ti trokut
(1.34)
9

15. slijedi:
. . .
∫
C
f(z)dz ≤ 4n
·
L
2n
· ε
L
2n
≤ εL2
(1.35)
Po ocjeni integrala, poˇcetni integral je manji od εL2
, gdje je ε proizvoljno mali broj. Integral
po svim trokutima je 0 pa se suma ne mijenja. Vrijedi:
∫
C
f(z)dz =
n∑
i=1
∫
Ci
f(z)dz (1.36)
Proširenje je mogu´ce zbog (1.28).
3. dio
Koristimo ˇcinjenicu iz 2. djela da je integral po rubu trokuta jednak 0 (rub trokuta ∂△ ili C).
Vidimo sa slike 6:
z
z0a
Slika 6: Slika uz osnovni tm integralnog raˇcuna
∫
[a,z0]
f(z)dz +
∫
[z0,z]
f(f)dz +
∫
[z,a]
f(z)dz = 0 =
∫
∂△(a,z0,z)
f(z)dz
F(z0) =
∫
[a,z0]
f(z)dz; F(z) =
∫
[z,a]
f(z)dz
F(z0) +
∫
[z0,z]
f(z)dz − F(z) = 0 ⇒ F(z) − F(z0) =
∫
[z,z0]
f(z)dz
minus jer smo okrenuli granice integr. Ideja je:
∫ z
z0
dz = z − z0
(1.37)
10

16. Raˇcunamo derivaciju:
F′
(z0) = lim
z→z0
F(z) − F(z0)
z − z0
= f(z0), iz def. derivacije:
F(z) − F(z0)
z − z0
− F′
(z0) ≤ ε
∫
[z,z0]
f(z)dz
z − z0
− f(z0) =
∫
[z,z0]
[f(z) − f(z0)]dz
z − z0
= {ocjena int.} =
=
1
|z − z0|
z∫
z0
[f(z) − f(z0)]dz ≤
1
|z − z0|
· l(γ) max
γ
|f(z) − f(z0)| ≤
≤ {l(γ) → |z − z0|} ≤
1
|z − z0|
· |z − z0| max
γ
| f(z) − f(z0)| < ε
(1.38)
jer je f(z) neprekidna funkcija naša F′
(z0) je sigurno < ε pa po definiciji je
F′
(z0) = f(z0) (1.39)
Tako ¯der koristimo ˇcinjenicu da je skup S konveksan (možemo ga povezati ravnom linijom)
Konaˇcno: ∫
γ
f(z)dz =
∫
γ
F′
(z)dz =
∫
γ
dF = 0 (1.40)
Komentar:
Pokazali smo da je F′
(z) = f(z), koristili ˇcinjenicu da integral po rubu velikog trokuta mo-
žemo razdjeliti na sumu integrala po rubu konaˇcnog broja malih trokuta unutar velikog trokuta.
I na kraju smo iz 1. dijela vidjeli da je integral totalnog diferencijala jednak nuli.
Zakljuˇcak: Linijski integral po zatvorenoj krivulji je jednak 0.
1.1.8 Osnovni teorem integralnog raˇcuna za analitiˇcke funkcije
Teorem 4. Neka je S ∈ C podruˇcje i f ∈ H(S ); f : S → C. Tada postoji funkcija
F(z) =
∫
γ
f(ζ)dζ, γ : [a, b] → S, po dijelovima gladak put u S, γ(b) = z (1.41)
i vrijedi
F′
(z0) = f(z0), ∀z0 ∈ S (1.42)
Dokaz. Dokaz je u biti 3. dio CG-teorema (uz koji je bitna slika 7), no to je bilo za konveksan
skup. Ukoliko nemamo konveksan skup, nego recimo skup u obliku "kifle", tada put možemo
prekriti kuglama koje se preklapaju (one imaju konaˇcan radijus). Ostatak slijedi.
11

17. γ(a)
γ(b)=z
Slika 7: Konveksan put u S
1.1.9 Cauchy integralna formula
Teorem 5. Neka je S ∈ C podruˇcje i neka je f ∈ H(S ). Tada ∀z ∈ S vrijedi:
f(z) =
1
2πi γ
f(ζ)
ζ − z
dζ (1.43)
γ - zatvoren Jordanov put oko z (nepresjecaju´c)
Dokaz. Dokaz radimo po principu desna - lijeva strana=0.
C
Rz
γ
Slika 8: Deformiramo put u kružnicu - smijemo zbog analitiˇcnosti
Ocjenimo integral i pokažimo da je on 0.
1
2πi γ
f(ζ)
ζ − z
dζ − f(z) =
1
2πi γ
f(ζ)
ζ − z
dζ −
2πi
2πi
f(z) =
=
{
proširili smo s
2πi
2πi
, jer je2πi =
∫
γ
dz
z
}
=
1
2πi γ
f(ζ) − f(z)
ζ − z
dζ =
1
2π γ
f(ζ) − f(z)
ζ − z
dζ ≤
≤
1
2π
· ℓ(γ) ·
1
|ζ| − z
· max | f(ζ) − f(z)| ≤
≤
1
2π
· 2πR ·
1
|ζ − z|
R
· max |f(ζ) − f(z)| < ε
(1.44)
Pošto je f analitiˇcka pa i neprekidna, gornja tvrdnja vrijedi. Ocjena integrala nam je poka-
zala da je sam integral manji od proizvoljno malog broja ε.
12

18. Napomena: Izvod dokaza o klasi C∞
ne´cu ovdje pokazati. Ima u scanu od kuda sam prepi-
sival. Dokaz je poduži, i zgodan je za provježbat. Još jedan razlog da idete na predavanje i da
sami izvodite stvari : ).
1.1.10 Liouvilleov teorem
Teorem 6. Ako je f ∈ H(C) te ako je | f(z)| ome ¯dena ∀z ∈ C, onda je i f konstantna.
Dokaz. Ako je funkcija ome ¯dena znaˇci da vrijedi:
∃M : |f(z)| ≤ M (1.45)
Koriste´ci Cauchy integralnu formulu i ocjenu integrala možemo pokazati sljede´ce:
f′
(z) =
1
2πi
∫
γ
f(ζ)
(ζ − z)2
dζ
1
2πi
∫
γ
f(ζ)
(ζ − z)2
dζ ≤
1
2π
· ℓ(γ)
2π|ζ−z|
· max |f(ζ)|
M
·
1
|ζ − z|2
≤
M
R
; R = |ζ − z|
(1.46)
M je fiksan, a pošto je f cijela funkcija nejednakost vrijedi za svaki R pa možemo R uzeti
po volji velikim, što znaˇci da je:
f′
(z) = 0 ⇒ f(z) = const. (1.47)
Napomena: Izostavljen osnovni teorem algebre. Njega možete sami izvest, veoma je lagan
i koristi gornji teorem.
1.1.11 Nizovi i redovi u C
Definicija 1. Niz je preslikavanje n ∈ N → zn ∈ C, pri ˇcemu je {zn} kodomena (niz).
Gomilište niza imamo ako:
∀ε > 0, ∀N > 0 : ∃n > N ⇒ |zn − z| < ε (1.48)
Limes niza imamo ako:
∀ε > 0, ∃N > 0 : ∀n > N ⇒ |zn − z| < ε (1.49)
Geometrijska interpretacija bi bila da su svi ˇclanovi zn sa n > N unutar otvorenog diska
radijusa ε, dok samo njih konaˇcno mnogo leži van diska.
Konvergentan niz je i ograniˇcen - nužan uvjet konvergencije:
lim
n→∞
an = 0 (1.50)
13

19. Ako je niz konvergentan, konvergentan je i njegov podniz i to u istom limesu.
Ako niz ima gomilište, postoji podniz kojem je to gomilište limes.
Ako niz ima konvergentni podniz, limes tog podniza je barem gomilište tog niza.
Skup S je kompaktan, ako svaki niz {zn} ⊂ S ima konvergentan podniz {znk
} ⊂ S t.d je:
lim
k→∞
znk
∈ S (1.51)
Skup S je ograniˇcen, ako ∃R > 0 t.d. je
∪
(O, R) nadskup od S →
∪
(O, R) ⊃ S (otvorena
kugla).
1.1.12 Iskaz Bolzano-Weierstrasovog teorema
Svaki {zn} podskup ograniˇcenog skupa S ima bar jedno gomilište.
Dokaz možete napraviti sami.
1.1.13 Heine-Borel teorem
Teorem 7. Skup S ⊂ C je kompaktan ako i samo ako je ograniˇcen i zatvoren.
Podteorem 1. Neka je S ⊂ C zatvoren i neka je {zn} ⊂ S , {zn} ima gomilište u z. Tada je z ∈ S
Dokaz. Dokazujemo podteorem tako da predpostavimo suprotno. z S → z ∈ C S otvoren
skup → ∃(z, R) ⊂ C S ⇒ (z, R) ∩ S = ∅. Ako je z gomilište, u svakoj okolini z mora biti ∞
gomilišta, no z ∈ S pa imamo kontradikciju.
Dokaz. Sada idemo dokazati Heine-Borelov teorem. Dokazati ´cemo ga u dva koraka.
AKO:
Neka je {zn} niz u S . Neka je S ograniˇcen i zatvoren. Po B-W teoremu, ako imamo ogra-
niˇcen niz on mora imati bar jedno gomilište. Dakle, može se konstruirati konvergentan podniz
ˇciji je limes u S po uvjetu kompaktnosti.
SAMO AKO:
NIJE OGRANI ˇCEN: možemo konstruirati nizove bez gomilišta → ne´cemo mo´ci na´ci ko-
nvergentan podniz ˇciji ´ce limes biti iz skupa u kojem je konstruiran prvobitni niz. Propada nam
kompaktnost.
NIJE ZATVOREN: ¯S S = ∂S ∅, odnosno C S je zatvoren i presjek ruba i skupa nije
prazan. Znaˇci da je z ∈ ∂S koji nisu u skupu. Konstruiramo li niz koncentriˇcnih kružnica oko z
(radimo nizove), z ´ce biti limes tog niza → ali konvergentni niz teži u toˇcku koja nije u skupu -
propada kompaktnost.
Ovime smo kontradikcijom pokazali da vrijedi Heine-Borelov teorem.
Napomena: Ovdje sam ispustio dokaze o nužnosti konvergencije nizova, to se može na´ci u
scaniranoj verziji ili možete samo dokazati.
14

20. 1.1.14 Redovi u C
Definicija 2. Neka je {zn} niz u C. Neka je
sn =
n∑
k=1
zk (1.52)
Niz {sn} zove se red.
Definicija 3. Ako postoji lim
n→∞
sn = S , kažemo da je red konvergentan i S se zove suma reda:
S =
n∑
k=1
zk = z1 + z2 + . . . zn (1.53)
Geometrijski red
zn = qn
, Sn =
n∑
k=0
qk
=
1 − qn+1
1 − q
(1.54)
Konvergira za |q| < 1 i tada vrijedi:
n∑
k=0
qk
=
1
1 − q
(1.55)
Divergira za |q| > 1.
Red je apsolutno konvergentan ako je red
∑
|zn| konvergentan.
1.1.15 Testovi apsolutne konvergencije
1.USPOREDBA:
Ako red
∑
ak < ∞ i|zk| < ak, ∀k > N, onda red
∑
|zk| konvergira.
Dokaz. Iz kontrukcije reda: Sn =
∑n
k=1 ak, S ′
n =
∑n
k=1 |zn|. S ′
n ≤ Sn < ∞, ak > 0
2.CAUCHY-KORJENSKI:
Ako je n
√
|zn| ≤ a < 1, ∀n > N, onda je
∑
|zn| < ∞, u obrnutom sluˇcaju divergira.
Dokaz. Koristimo test usporedbe. Neka je n
√
|zn| ≤ a
/n
→ |zn| ≤ an
< 1n
= 1. Sumiramo:
∑
|zn| ≤
∑
an
- imamo geometrijski red koji konvergira za |a| < 1. Jedino moramo paziti
ukoliko imamo harmonijski red (koji je divergentan).
3.OMJEROM:
Ako red
∑
zk, zk 0 ima svojstvo da ∀k > N
zk+1
zk
≤ a < 1 (1.56)
onda on konvergira apsolutno, inaˇce divergira za ≥ a > 1
15

21. Dokaz.
zk+1
zk
≤ a < 1 ⇒ |zk+1| ≤ |zk|a, za k > N posebno
|zN+2| ≤ |zN+1|a, |zN+3| ≤ |zN+2|a ≤ |zN+1|a2
. . .
op´cenito : |zN+p| ≤ |zN+1|ap−1
, pošto je a < 1
|zN+1| + |zN+2| + |zN+3| + . . . ≤ |zN+1|(1 + a + a2
+ . . .) ≤
≤ |zN+1|
1
1 − a
, a < 1 pa konvergira po testu usporedbom
(1.57)
1.1.16 Nizovi i redovi potencija
Definicija 4. Red potencija pišemo kao
fk(z) = ak(z − z0)k
, ak ∈ C (1.58)
Definicija 5. Red funkcija fn(z) konvergira uniformno nekoj funkciji f, ako brzina konvergencije
fn(z) do f(z) ne ovisi o z.
Kažemo da red funkcija fn(z) konvergira uniformno ka f(z) ako
∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀z ∈ S ⊂ C, ∀n > N ⇒ | fn(z) − f(z)| < ε (1.59)
N može ovisiti samo o ε, dok kod konvergencije po toˇckama N može ovisiti i o ε i z Uni-
formna konvergencija implicira i konvergenciju po toˇckama. Obrat ne vrijedi.
1.1.17 Abelov teorem
z
|z|
z0
|z |0
ρ
uniformno
i apsolutnoapsolutno
Slika 9: Slika uz Abelov teorem
16

22. Teorem 8. Red
∑
akzk
(red potencija oko 0, z0 = 0) konvergira za neki z0 0. Red konvergira:
aspolutno ∀z: |z| < |z0| - otvorena kugla i uniformno ∀z: |z| ≤ ρ < |z0| - zatvorena kugla.
red konvergira apsolutno na kružnici(kugli) radijusa z, uniformno i apsolutno na zatvorenoj
kugli unutar otvorene kugle.
Dokaz. Pretpostavka: red
∞∑
k=1
akzk
je konvergentan. To znaˇci da mu op´ci ˇclan, po nužnom krite-
riju konvergencije, mora i´ci u 0.
lim
k→∞
akzk
= 0 (1.60)
To pak znaˇci da je red ograniˇcen. Odnosno:
∀A > 0, ∃N > 0 : k > N ⇒ |akzk
0| < A (1.61)
Znamo da je red konvergentan ako niz parcijalnih suma ima konaˇcnu granicu. Nadalje:
∞∑
k=1
|akzk
| ≤
∞∑
k=1
akzk
0 ·
(
z
z0
)k
≤
∞∑
k=1
|akzk
0| ·
z
z0
k
< A
∞∑
k=1
z
z0
k
< ∞
|z|k
< |z0|k
→ |z| < |z0| − ∞ geom. red koji konvergira apsolutno u tom podruˇcju
(1.62)
Usporedbom s geometrijskim redom to doista konvergira apsolutno.
Za dokaz uniformne konvergencije nam je potreban Weierstrassov M-test:
Teorem 9. Red
∑
fn(z) konvergira uniformno i apsolutno u podruˇcju S ∈ C, ako postoji niz
{Mn} ⊂ R, Mn > 0, ∀n takav da:
∑
Mn konvergira i fn(z) < Mn, ∀z ∈ S .
Uzimamo proizvoljni z1 iz kružnog vjenca:
Mn =
|z1|n
|z0|n
(1.63)
Red
∑
Mn konvergira jer je |z1| < |z0|, a kako je |z| ≤ |z1| vrijedi i |anzn
| < Mn pa je po
Weierstrasovom M-testu i unuformno konvergentan.
1.1.18 Taylorov teorem (razvoj)
Teorem 10. Neka je f ∈ H(
∪
(a, R)). Tada ∀z ∈
∪
(u, R) vrijedi prikaz
f(z) =
∞∑
n=0
f(n)
(a)
n!
(z − a)n
(1.64)
pri ˇcemu je f(n)
(a) n-ta derivacija funkcije f u toˇcki a. Razvoj je jedinstven i uniformno konver-
gentan na svim kompaktima unutar
∪
.
17

23. ξ
r
r
z
C
R
Slika 10: Slika uz Taylorov teorem
Dokaz. f(z) je analitiˇcka po izriˇcaju teorema unutar kružnice CR (vidi sliku 10). Uvijek mo-
žemo konstruirati novu kružnicu Cr unutar CR i tada možemo primjeniti Cauchyjevu integralnu
formulu:
f(z) =
1
2πi
∫
Cr
f(ζ)
ζ − z
dζ =
1
2πi
∫
Cr
f(ζ)
(ζ − a) − (z − a)
dζ =
=
1
2πi
∫
Cr
f(ζ)
ζ − a
·
1
1 −
z − a
ζ − a
geom. red
dζ =
1
2πi
∫
Cr
f(ζ)
ζ − a
·
∞∑
n=0
(
z − a
ζ − a
)n
dζ =
=
∞∑
n=0
(z − a)n 1
2πi
∫
Cr
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ =
(1.65)
Uspore ¯duju´ci s formulom za n-tu derivaciju:
f(n)
(z) =
n!
2πi
f(ζ)
(ζ − z)n+1
dζ (1.66)
Dobili smo upravo formulu iz iskaza Taylorovog teorema.
Jedinstvenost dokazujemo tako da pišemo razvoj derivacija. Možemo tako raditi jer je funk-
cija analitiˇcna, pa se može derivirati ˇclan po ˇclan.
18

24. f(z) =
∞∑
n=0
cn(z − a)n
= c0 · 1 + c1(z − a) + c2(z − a)2
+ · · ·
z=a
= c0
f′
(z) =
∞∑
n=1
cn · n(z − a)n−1
= c1 · 1 + c2 · 2(z − a) + · · ·
z=a
= c1 · 1
f′′
(z) =
∞∑
n=0
cn · n(n − 1)(z − a)n−2
= c2 · 2 · 1 + c3 · 3 · 2 · (z − a) + · · ·
z=a
= c2 · 2 · 1
...
f(n)
(z) =
∞∑
k=n
1 · k(k − 1)(k − 2) · · · (k − (n − 1))ck(z − a)k−n
z=a
=
= n(n − 1)(n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1cn = n! · cn
(1.67)
1.1.19 Laurentov teorem (razvoj)
Teorem 11. Neka je f ∈ S, S = {z|R1 < |z − a| < R2} prsten (slika 11). Tada f možemo pisati
kao
f(z) =
∞∑
n=−∞
cn(z − a)n
(1.68)
Pri ˇcemu je
cn =
1
2πi
∫
Cr
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (1.69)
Cr bilo koja kružnica oko a radijusa R1 < r < R2. Razvoj je uniformno konvergentan na svakom
kompaktu u S i jedinstven za dani prsten.
r
z
ζ
a R
R
1
2
Cr
C1
C2
Slika 11: Slika uz Laurentov teorem
Dokaz. Pošto ne znamo kako se funkcija ponaša unutar kružnice (|ζ − a| < R1), možemo tu
kružnicu obuhvatiti dvjema kružnicama koje idu u suprotnom smjeru, ili izrežemo a okolinu.
19

25. Malo smanjimo R2, a pove´camo R1 i uklonili smo "sumnjivi dio". Sada možemo koristiti Ca-
uchyjevu integralnu formulu, uz poznavanje krivulja C1 i C2:
C1 : |z − a| > |ζ − a|, C2 : |z − a| < |ζ − a| (1.70)
Bitno je uoˇciti orijentaciju krivulja C1 i C2
f(z) =
1
2πi C2
f(ζ)
ζ − z
dζ +
1
2πi C1
f(ζ)
ζ − z
dζ
=
1
2πi C2
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi C1
f(ζ)
ζ − z
dζ
=
1
2πi C2
f(ζ)
(ζ − a) − (z − a)
dζ −
1
2πi C1
f(ζ)
(ζ − a) − (z − a)
dζ
=
1
2πi C2
f(ζ)
ζ − a
·
dζ
1 − z−a
ζ−a
+
−1
2πi C1
f(ζ)
z − a
·
−dζ
1 − ζ−a
z−a
=
1
2πi
∞∑
n=0
(z − a)n
C2
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ +
1
2πi
∞∑
m=0
1
(z − a)m+1
C1
f(ζ)(ζ − a)m
dζ
(1.71)
Pomaknemo indeks zadnje sume:
m + 1 = −n ⇒ m = −(n + 1) (1.72)
Pa imamo
f(z) =
1
2πi
∞∑
n=0
(z − a)n
C2
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ +
1
2πi
−∞∑
n=−1
1
(z − a)n
C1
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (1.73)
Oba integrala imaju isti oblik, no ne idu po istoj kružnici. Naša podintegralna funkcija je
analitiˇcka na podruˇcju integracije pa je svejedno idemo li po C1 ili C2. Zato možemo te krivulje
zamijeniti s Cr, r ∈ ⟨R1, R2⟩
f(z) =
∞∑
n=−∞
(z − a)n
·
1
2πi Cr
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ
cn
=
∞∑
n=−∞
cn(z − a)n
(1.74)
Jedinstvenost pokazujemo izravnim raˇcunom (traženje koeficijenta cn):
f(z) =
∞∑
n=−∞
cn(z − a)n
/
·
1
(z − a)m+1
f(z)
(z − a)m+1
=
∞∑
n=−∞
cn
(z − a)m−n+1
/ ∫
Cr
∫
Cr
f(z)
(z − a)m+1
dz =
∞∑
n=−∞
cn
∫
Cr
dz
(z − a)m−n+1
(1.75)
Integral na desnoj strani je jednak 2πi ukoliko je m=n, a 0 inaˇce (nešto poput Kronecker delte).
∫
Cr
f(z)
(z − a)m+1
dz = 2πicm ⇒ cm =
1
2πi
∫
Cr
f(z)
(z − a)m+1
dz (1.76)
I upravo smo dobili koeficijente koje smo tražili.
20

26. Analitiˇcke funkcije imaju ˇcvrstu unutarnju strukturu i daje nam lijepa svojstva koja možemo
koristiti.
1.1.20 Teorem o jedinstvenosti
Teorem 12. Neka je S podruˇcje i f, g ∈ H(S ). Neka je A skup
A =
{
z ∈ S | f(z) = g(z)
}
(1.77)
Ako skup ima gomilište u S, tada je f(z) = g(z).
1.1.21 Teorem o nultoˇckama
Teorem 13. Neka je S podruˇcje, f ∈ H(S ) i
Nf =
{
z ∈ S | f(z) = 0
}
(1.78)
skup nultoˇcaka od f. Ako Nf ima gomilište u S, tada je f(z) = 0, ∀z ∈ S .
Dokaz. Prvo treba pokazati da, ako je a ∈ S gomilište Nf (f(a)=0), onda je i samo nultoˇcka.
Funkcija f je analitiˇcka i neprekidna pa vrijedi:
lim
k→∞
f(zk) = f(lim
k→∞
zk) (1.79)
Postoji niz u skupu kojem je to gomilište limes:
∃{zk} ⊂ Nf , t.d. lim
k→∞
zk = a ⇒ lim
k→∞
f(zk) = f(a) = 0 (1.80)
a je gomilište, a f(zk) niz samih nula za svaki k. Dakle f(a) = 0.
Toˇcka a se nalati u podruˇcju analitiˇcnosti pa oko a možemo razviti Taylorov red:
f(z) =
∞∑
n=0
cn(z − a)n
, f(a) = 0
f(z) = c0 + c1(z − a) + c2(z − a)2
+ . . .
f(a) = c0 = 0
(1.81)
Možda su svi cn = 0, ali to je trivijalno i nebi imali što dokazati. Zato izaberemo da red
poˇcne od nekog m ≥ 1 umjesto od 0, t.d.
cm > 0, ci = 0, i < m (1.82)
Znaˇci tada nam je prikaz f(z):
f(z) =
∞∑
n=m
cn(z − a)n
, izluˇcimo (z − a)m
= (z − a)m
∞∑
n=m+1
cn(z − a)n−m
= (z − a)m
g(z)
(1.83)
21

27. Dobili smo prikaz nove funkcije g(z) preko Taylorovog reda koja nije 0 u a. Vrijedi g(a) =
cm 0. g(z) je isto analitiˇcka funkcija jer je prikazana preko Taylorovog reda (a znamo da
bismo to mogli napraviti f-ja mora biti analitiˇcka).
f(z) = (z − a)m
g(z) (1.84)
Po definiciji neprekidnosti
∀ε > 0, ∃δ > 0 : |z − a| < δ ⇒ |g(z) − g(a)| < ε (1.85)
Vrijedi za svaki ε pa izaberemo takav da ne´ce zahvatiti nulu. a je gomilište nultoˇcaka, znaˇci
da možemo na´ci neki b unutar δ okoline takav da je f(b) = 0 (b a)
f(b) = 0 = (b − a)m
g(b), g(b) − g(a) 0 (1.86)
Imamo izravnu kontradikciju. Ne postoji niti jedan cm 0, svi su 0 za n ≥ 0, te je tada
f(z) = 0 svugdje
Korolar 1. Neka je S podruˇcje, f ∈ H(S ), f(a) = 0 za neki a ∈ S . Tada se f može pisati kao
f(z) = (z − a)m
g(z), (1.87)
gdje je m ≥ 1 prirodni broj i g(a) 0, na jedinstven naˇcin. m se naziva kratnost nultoˇcke a.
Dokaz.
(z − a)m
g(z) = (z − a)k
h(z), g(0) h(0) 0 → m = k (1.88)
Pretpostavimo suprotno: ∃m, k sa istim svojstvom
(z − a)m
g(z) = (z − a)k
h(z), g(0) h(0) 0 (1.89)
Ako je m k jedan je sigurno ve´ci. Izaberemo m>k (suprotna pretpostavka)
(z − a)m−k
g(z) = h(z), z = a ⇒ 0 · g(z)
0
= h(z)
0
(1.90)
I imamo kontradikciju, što znaˇci da je m jedinstven.
22

28. 1.2 Singulariteti analitiˇcke funkcije
Definicija 6. Singularitetom funkcije f(z), f ∈ H(S ), S ∈ C zove se toˇcka a ∈ ∂S t.d. ne
postoji okolina
∪
(a, ε) i sunkcija g(z) analitiˇcka na S ⊂
∪
(a, ε) sa svojstvom g(z) = f(z),
∀z ∈
∪
(a, ε) (ne možemo raditi analitiˇcko produljenje).
Definicija 7. Izolirani singularitet funkcije f, je toˇcka a t.d. je funkcija analitiˇcka na otvorenoj
kugli s ishodištem u a i radijusom ε, osim u a.
f ∈ H (∪(a, ε) {a}) , ε > 0 (1.91)
1.2.1 Klasifikacija izoliranih singulariteta
1.UKLONJIVI:
∃M > 0 : | f(z)| ≤ M, ∀z ∈ ∪(a, ε) (1.92)
z → a u proizvoljno malnom okruženju, no funkcija ostaje ome ¯dena na kugli. Postoji
lim
z→a
f(z) i funkcija g(z) sa svojstvom
g(z) =



f(z), z ∈ ∪(a, ε) {a}
lim
z→a
f(z), z = a (1.93)
koja je analitiˇcka na ∪(a, ε). Oko uklonjivog singulariteta možemo konstruirati prsten 0 <
|z − a| < R i razviti funkciju f(z) u Laurentov red.
f(z) =
1
2πi C2
f(ζ)
ζ − z
dζ +
1
2πi C1
f(ζ)
ζ − z
dζ (1.94)
Po ocjeni integrala:
1
2π C1
f(ζ)
ζ − z
dζ ≤ ℓ(C1)
2πr1
max
f(ζ)
ζ − z
M
1
2π
< M · r1 (1.95)
Kako r1 smanjujemo integral je manji od proizvoljno malog broja (0). Ostaje nam samo
regularan dio Laurentovog razvoja (pozitivne potencije), dok je glavni dio jednak nuli.
2.POLOVI:
∀M > 0, ∃δ > 0 : |z − a| < δ ⇒ | f(z)| > M (1.96)
Funkcija je neome ¯dena i ide u beskonaˇcnost kako se približava singularitetu.
a je pol funkcije f(z) u sluˇcaju kada je a nultoˇcka funkcije g(z) sa svojstvom
g(z) =
1
f(z)
,
1
f(z)
<
1
M
= ε (1.97)
ako f(z) ima pol u a, g(z) ima uklonjivi singularitet u a i g(a) = 0.
23

29. g(z) = (z − a)m
h(z), h(a) 0
f(z) =
1
g(z)
=
1
(z − a)m
1
h(z)
=
1
(z − a)m
∞∑
n=0
cn(z − a)n
=
∞∑
k=−m
dk(z − a)k (1.98)
Što je upravo Laurentov razvoj s konaˇcno mnogo negativnih potencija, najnegativnija po-
tencija je red pola.
3.BITNI:
Bitni singularitet nije ni pol ni uklonjiv, ali je izoliran. Kako se funkcija približava bitnom
singularitetu poˇcinje oscilirati ("divljati"). Funkcija ima beskonaˇcno mnogo negativnih poten-
cija.
Primjeri:
f(z) =
1 − z2
1 + z
− uklonjiv pol u z=-1
f(z) =
1
z
− pol 1. reda u z=0
f(z) = ez
− za z → ∞ "divlja" : ez
= ex
divergira
· eiy
oscilira
(1.99)
1.2.2 Reziduumi
Definicija 8. Neka je f ∈ H (∪(a, ε) {a}), S ∈ C podruˇcje. Reziduum funkcije f u toˇcki a je
integral
Res( f(z), a) =
1
2πi C
f(z)dz (1.100)
gdje je C rub kugle oko a.
Definicija 9. neka je f(z) analitiˇcka na zatvorenom Jordanovom putu γ te unutar podruˇcja Pγ
ome ¯denog tim putem ima konaˇcan broj izoliranih singulariteta.
f(z) ∈ H(Pγ {a1, . . . , ak}). (1.101)
Tada je
∫
γ
f(z)dz = 2πi
k∑
i=1
Res(f(z), ai) (1.102)
24

30. Definicija 10. Operativna formula.
Ako je
f(z) =
∞∑
k=−∞
ck(z − a)k
(1.103)
Laurentov razvoj oko izoliranog singulariteta a, tada je
Res(f(z), a) = c−1 (1.104)
∫
C
f(z)dz =
∫
C
∞∑
k=−∞
ck(z − a)k
dz =
∞∑
k=−∞
ck
∫
C
(z − a)k
dz =
∞∑
k=−∞
ck2πiδk,−1 = 2πic−1 (1.105)
Dokaz. Stiš´cemo put integracije oko singulariteta. Uzimamo bilo koji ai i napravimo razvoj
oko njega:
f(z) =
∞∑
k=−∞
ck(z − a)k
= φi(z)
glavni
+ ψi(z)
regularni
(1.106)
Konstruiramo:
F(z) = f(z) −
n∑
i=1
φi(z) (1.107)
Sve glavne dijelove oduzima od f(z). F(z) ∈ H(Pγ) jer nema glavnog dijela Laurentovog
razvoja i nema singulariteta pa po Cauchy-Goursat teoremu:
∫
γ
F(z)dz = 0 =
∫
γ
f(z)dz −
n∑
i=1
∫
γ
φi(z)dz = 0
∫
γ
f(z)dz = 2πi
n∑
i=1
c−1(i)
∫
γ
f(z)dz = 2πi
n∑
i=1
Res( f(z), ai)
(1.108)
25

31. 1.3 Obiˇcne diferencijalne jednadžbe (ODJ)
Definicija 11. Neka je F : I → R funkcija n + 2 varijavle. Neka je y = x → y(x) n puta
derivabilna, y : I → R. Diferencijalan jednadžba n-tog reda je izraz
F(x, y(x), y′
(x), . . . , y(n)
(x)) = 0 (1.109)
za koji se zahtjeva da vrijedi ∀x ∈ I.
Rješenje diferencijalne jednadžbe je n puta diferencijabilna funkcija y t.d. je
F(x, y(x), y′
(x), . . . , y(n)
(x)) = 0, ∀x ∈ I (1.110)
Definicija 12. Linearna diferencijalna jednadžba je jednadžba oblika
n∑
i=0
ai(x)y(i)
(x) = f(x) (1.111)
homogena u sluˇcaju da je f(x) = 0.
Definicija 13. Cauchyjev problem ili problem poˇcetnih vrijednosti, je na´ci rješenje DJ
n∑
i=0
ai(x)y(i)
(x) = f(x) (1.112)
koje zadovoljava poˇcetne uvjete
y(x0) = α0, y′
(x0) = α1, . . . , y(n−1)
(x0) = αn−1, x0 ∈ I; α0, . . . , αn−1 ∈ R (1.113)
Definicija 14. Standardni oblik DJ je
y(n)
(x) +
n−1∑
i=0
ai(x)y(i)
(x) = f(x) (1.114)
ai(x) su neprekidne na I.
Diferencijalne jednadžbe se ˇcesto zapisuju pomo´cu matrica:


y1(x) y2(x) · · · yn(x)
y′
1(x) y′
2(x) · · · y′
n(x)
...
...
...
...
y(n−1)
1 (x) y(n−1)
2 (x) · · · y(n−1)
n (x)


·


C1
C2
...
Cn


= 0 (1.115)
U tu svrhu dobro je definirati neke nove pojmove koji ´ce nam biti od velike koristi.
Definicija 15. Neka su y1, . . . , yn : I → R (n-1) puta derivabilne funkcije. Wronskijan
(determinanta Wronskog) se zove determinanta
W(y1, . . . , yn; x) =
y1(x) · · · yn(x)
· · ·
...
...
y(n−1)
1 (x) · · · y(n−1)
n (x)
(1.116)
Ako su y1, . . . , yn linearno zavisne na I onda je W ≡ 0, ∀x ∈ I.
26

32. Definicija 16. Singularne toˇcke diferencijalne jednadžbe su one u kojima poˇcetni koeficijent u
DJ (uz najstariju potenciju) išˇcezava.
Singularne toˇcke narušavaju jedinstvenost rješenja.
Napomena: Kod y1, . . . se podrazumijeva ovisnost o varijabli x, ali zbog jednostavnosti se
taj dio izostavlja (ne zaboravlja).
Teorem 14. Neka su y1, . . . , yn rješenja jednadžbe
y(n)
(x) + an−1(x)y(n−1)
(x) + · · · + a0(x)y(x) = 0 (1.117)
gdje su ai(x) neprekidne funkcije na I. Tada za bilo koji x0 ∈ I vrijedi
W(y1, . . . , yn; x) = W(y1, . . . , yn; x0)e
−
∫ x
x0
an−1(s)ds
(1.118)
ako je koeficijent uz drugu najstariju derivaciju jednak 0, tada je e0
= 1 i Wronskijan je kons-
tanta.
Napomena: DJ nema poˇcetni koeficijent uz sebe (an(x)) da bi bili sigurni da nam ne´ce
išˇceznuti.
Dokaz. Deriviramo Wronskijan. Determinante se deriviramo tako da deriviramo svaki redak
W(y1, . . . , yn; x) =
y1 · · · yn
y′
1 · · · y′
n
· · ·
...
...
y(n−1)
1 · · · y(n−1)
n
W′
(y1, . . . , yn; x) =
y′
1 · · · y′
n
y′
1 · · · y′
n
· · ·
...
...
y(n−1)
1 · · · y(n−1)
n
0
+
y1 · · · yn
y′′
1 · · · y′′
n
y′′
1 · · · y′′
n
· · ·
...
...
y(n−1)
1 · · · y(n−1)
n
0
+ · · ·
0
+
+
y1 · · · yn
y′
1 · · · y′
n
· · ·
...
...
y(n−2)
1 · · · y(n−2)
n
y(n)
1 · · · y(n)
n
= y(n)
n + an−2y(n−2)
n + · · · + a1y′
n + a0yi =
= −an−1y(n−1)
i , ∀x ∈ {1, . . . , n}
(1.119)
Ukoliko imamo dva linearno zavisna retka u determinanti, ona je nula. Zato nam sve deri-
vacije propadaju osim zadnje.
Dodavaju´ci zadnjem retku gornje determinante a0 puta prvi redak, do an−2 puta zadnji.
vrijednost determinante za derivaciju je nepromijenjena i imamo
27

33. W′
(x) = −an−1W(x) (1.120)
Tu diferencijalnu jednadžbu lako riješimo separacijom varijabli (znak ’ je prostorna deriva-
cija d/dx)
W′
(x) = −an−1W(x)
W′
(x)
W(x)
= −an−1
d(ln W(x)) = −an−1dx
ln W
x
x0
= −
∫ x
x0
an−1(s)ds
ln
(
W(x)
W(x0)
)
= −
∫ x
x0
an−1(s)ds
W(x) = W(x0)e
−
∫ x
x0
an−1(s)ds
(1.121)
Linearni diferencijalni operator
L(y) =


(
d
dx
)n
+ an−1(x)
(
d
dx
)n−1
+ · · · + a0(x)

 y (1.122)
Rješenja homogene diferencijalne jednadžbe ˇcine linearan prostor.
Primjer:
eax
=
∞∑
n=0
an
n!
xn
(1.123)
L shvatimo kao polinom ⇒ x ↔ d
dx
.
ea d
dx =
∞∑
n=0
an
n!
(
d
dx
)n
(1.124)
Razvijemo u Taylorov red
ea d
dx f(x) =
∞∑
i=0
an
n!
dn
f(x)
dxn
=
∞∑
n=0
fn
(x)
n!
an
=
=
∞∑
n=0
fn
(x)
n!
(a + x − x)n
= f(a + x)
(1.125)
Dobili smo operator translacije.
ea d
dx f(x) = f(x + a) (1.126)
28

34. 1.3.1 Teorem o egzistenciji i jedinstvenosti rješenja Cauchyjevog problema
Teorem 15. Rješenje diferencijalne jednadžbe
Ln(y) = y(n)
(x) + an−1(x)y(n−1)
(x) + · · · + a0y(x) = 0, x ∈ I ⊂ R (1.127)
gdje si ai neprekidne na I, koje zadovoljavaju poˇcetne uvjete
y(x0) = α0, . . . ; y(n−1)
(x0) = αn−1, x0 ∈ I, αi ∈ R (1.128)
postoji i jedinstveno je
Konstruiramo niz funkcija koji ima limes - taj limes je ujedno i rješenje.
lim
n→∞
yn(x) = y(x) (1.129)
Korolar 2. Prostor jednadžbe Ln(y) = 0 je n-dimenzionalni vektorski prostor
Dokazujemo tako da pokažemo da postoji izomorfizam izme ¯du vektorskog prostora i rješe-
nja DJ.
Dokaz imate u scanu ili na predavanjima.
Dokaz. Dokaz o jedinstvenosti i postojanju pokazujemo tako da jednu DJ n-tog reda svedemo
na n-vezanih DJ nižeg reda.
y1 ≡ y, y2 ≡y′
1 = y′
, . . . , yn = y(n−1)
y′
n = −an−1yn − an−2yn−1 − . . . − a0y1
(1.130)
To možemo zapisati u matriˇcnoj notaciji
d
dx


y1
...
yn


=


0 1 · · · 0
...
...
... 0
−a0 · · · · · · −an−1




y1
...
yn


(1.131)
Što se isto može pisati u skra´cenoj notaciji kao
d
dx
Y = AY (1.132)
Nastavimo:
d
dx
W = AW (1.133)
Gdje su A i W m × n matrice. Ako prije ¯demo s varijable x na t imamo:
x = t ⇒ dx = dt ⇒
dt
dx
= 1 ⇒
d
dx
=
d
dt
·
dt
dx
(1.134)
29

35. d
dt
W(t) = A(t)W(t) + B(t)
/ ∫
W
t
t0
=
∫ t
t0
[AW + B]dt′
W(t) = W(t0) +
∫ t
t0
[AW + B]dt′
(1.135)
U ovu diferencijalnu jednadžbu smo eksplicitno ugradili poˇcetne uvjete. Gledamo n-ti stu-
pac. Ako n konvergira brzo, rješenje je W∞.
Wn(t) = W(t0) +
∫ t
t0
[A(t′
)Wn−1(t′
) + B(t′
)]dt′
(1.136)
Da bismo mogli govoriti o konvergenciji treba nam udaljenost - norma. To se rješava itera-
tivno.
∃ lim
n→∞
Wn(t′
) = W∞(t′
) (1.137)
kako n → ∞ Wn i Wn−1 su sve bliže, znaˇci postoji limes pa postoji i rješenje - riješili smo
egzistenciju.
Jedinstvenost dokazujemo da pretpostavimo postojanje drugog rješenje, no automatski imamo
kontradikciju jer bi nam rebala još jedna norma, a ako smo u jednom v.p. imamo samo jednu
normu.
1.3.2 Princip superpozicije
Princip superpozicije je veoma bitan u fizici. Ukoliko imamo nehomogenu linearnu diferenci-
jalnu jednadžbu, op´ce rješenje ´ce biti suma homogenog i partikularnog rješenja.
Tako ¯der, za homogenu jednadžbu vrijedi da je bilo koja linearna kombinacija rješenja po-
novo rješenje.
1.3.3 Op´ce rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda
y′
(x) + p(x)y(x) = 0, ∀x ∈ I ⊂ R (1.138)
p(x) i f(x) su neprekidne na I. Ovu jednadžbu rješavamo separacijom varijabli.
y(x) = y(x0)e
−
∫ x
x0
p(s)ds
(1.139)
Za nehomogenu jednadžbu imamo
y′
(x) + p(x)y(x) = f(x), ∀x ∈ I ⊂ R (1.140)
uz
u(x) = e−q(x)
, q(x) =
∫ x
x0
p(s)ds, v(x) = u(x)
∫ x
x0
f(t)
u(t)
dt (1.141)
30

36. y(x) = v(x) + y(x0)u(x) (1.142)
Partikularno rješenje je svako rješenje DJ koje se dobiva iz op´ceg za svaku konstantu.
1.3.4 Linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima
y′′
(x) + α1y′
(x) + α0y(x) = 0 (1.143)
Pretpostavljamo rješenje oblika
y(x) = eax
(1.144)
pretpostavili smo takvo rješenje, jer ´ce nam ono, ukoliko se derivira, dati originalnu funkciju
(do na konstantu, ali nam vrijedi princip superpozicije 1.3.2 pa je i to rješenje).
Ono što je nama bitno je da imamo jednadžbu, koju možemo provjeriti. Pogotovo ako su
nam zadani poˇcetni uvjeti. Tada znamo (po teoremu 15) da nam, ukoliko bi uvrstili rješenja u
homogenu DJ, rješenje mora dati nulu.
y′
(x) = aeax
, y′′
(x) = a2
eax
(1.145)
To uvrstimo u originalnu diferencijalnu jednadžbu
(a2
+ α1a + α0) eax
= 0 (1.146)
Pošto nam je eksponencijalni ˇclan uvijek razliˇcit od nule, da bi nam jednadžba 1.146 bila
ispunjena mora vrijediti
a2
+ α1a + α0 = 0 ⇒ (a − a1)(a − a2) = 0 (1.147)
To je karakteristiˇcna jednadžba. Prodiskutirajmo mogu´ca rješenja (a1, a2) te jednadžbe.
Ukoliko je a1 a2 - jednostruke nultoˇcke imamo:
y1(x) = ea1x
, y2(x) = ea2x
(1.148)
Ukoliko je a1 = a2 - jedno rješenje se name´ce samo od sebe, dok je drugo u malo drugaˇcijoj
formi.
Uvjet koji mora biti ispunjen je da imamo dva linearno nezavisna rješenja y1(x) i y2(x) koja
´ce zadovoljavati uvjet da je L(y) = 0.
L =
d2
dx2
+ α1
d
dx
+ α0 (1.149)
u našem sluˇcaju.
Pretpostavimo sljede´ce
y(x, a) = eax
(1.150)
31

37. L(y(x, a)) = (a2
+ α1a + α0) eax
= (a − a1)(a − a2) eax
= (a − a1)2
eax
(1.151)
Da bi nam vrijedilo L(y(x, a)) = 0 mora vrijediti a = a1. To je bilo priliˇcno razumljivo i
trivijalno. Pošto nam je a = a1 nultoˇcka kratnosti 2 možemo pokušati na´ci drugo rješenje tako
da deriviramo y(x, a) po a i vidimo da li ´ce nam vrijediti uvjet L(y(x, a)) = 0.
L
(
d
da
y(x, a)
)
= 2(a − a1)eax
+ (a − a1)2
xeax
(1.152)
što je isto nula za a = a1 pa zadovoljava naš uvjet.
Time smo utvrdili da je i derivacija po nultoˇcki rješenje:
y1(x) = y(x, a1), y2(x) =
∂y(x, a)
∂a a=a1
= xea1x
(1.153)
Formalno:
Teorem 16. Jednadžba
y(n)
(x) + an−1(x)y(n−1)
(x) + · · · + a0(x)y(x) = 0 (1.154)
ima n-linearno nezavisnih rješenja



eλ1 x
, xeλ1 x
, · · · , xn1−1
eλ1x
eλ2 x
, xeλ2 x
, · · · , xn2−1
eλ2x
...,
... ,
... ,
...
eλk x
, xeλk x
, · · · , xnk−1
eλk x
(1.155)
gdje su λ1, . . . , λk svi razliˇciti korjeni karakteristiˇcnog polinoma:
F(λ) = λn
+ αn−1λn−1
+ · · · + α1λ + α0 = (λ − λ1)n1
(λ − λ2)n2
· . . . · (λ − λk)nk
(1.156)
a n su njihove kratnosti.
Dokaz. Pokazati ´cemo da su forme zbilja rješenja i da su linearno nezavisna.
y(x) = xm
eajx
, 0 ≤ m ≤ nj − 1, j = 1, . . . , k (1.157)
y su rješenja jednadžbe.
L =
(
d
dx
)n
+ αn−1
(
d
dx
)n−1
+ · · · + α1
d
dx
+ α0 (1.158)
Pitamo se (tj. trebamo dokazati)
L(xm
eajx
)
?
= 0 (1.159)
32

38. Možemo fakorizirati:
(
d
dx
− a1
)n1
(
d
dx
− a2
)n2
· . . . ·
(
d
dx
− ak
)nk
(1.160)
Znaˇci imamo:
L(xm
eaj x
) =
(
d
dx
− aj
)nj [
xm
eaj x
+ ajxm
eaj x
− ajxm
eaj x
]
=
(
d
dx
− aj
)nj
xm
eajx
(1.161)
Zanima nas djelovanje te forme
(
d
dx
− aj
)nj
xm
eajx
= mxm−1
eaj x
+ ajxm
eajx
− ajxm
eaj x
=
= mxm−1
eaj x
(1.162)
Forma 1.161 u biti skida potencije. Pošto je nj − 1 ≥ m 1.161 se može derivirati do 0. ˇCime
smo pokazali da vrijedi 1.159 i y(x) = xm
eaj x
su zbilja rješenja.
Sada idemo pokazati da su linearno nezavisna.
Tvrdimo:
k∑
j=1
jm−1∑
m=0
cjm
xm
Pj(x)
eaj x
= 0
lin. nez
====⇒ cjm
= 0 (1.163)
odnosno
k∑
j=1
Pj(x)eaj x
= 0 → Pj(x) = 0 − polinomi (1.164)
To ´cemo dokazati matematiˇckom indukcijom.
Baza:
k = 1 P1(x)ea1x
= 0 ⇒ P1(x) = 0 (1.165)
Korak:
33

39. k = n
k+1∑
j=1
Pj(x)eaj x
= 0 →
k∑
j=1
Pj(x)eaj x
+ Pk+1(x)eak+1 x
= 0
/
: eak+1
0
k∑
j=1
Pj(x)ea′
j x
+ Pk+1(x) = 0
a′
j = aj − ak−1 0
k∑
j=1
Qj(x)ea′
j x
= 0
(1.166)
Qj(x) je derivirani polinom koji se ne mijenja (deg Qj(x) = deg Pj(x)). To vrijedi samo ako
je Qj(x) = 0.
Pretpostavka koraka:
Qj(x) ≡ 0, j = 1, . . . , k (1.167)
no to znaˇci, pošto su Qj iPj istog stupnja, da je i Pj(x) ≡ 0 pa iz koraka imamo:
Pk+1(x)eak+1x
= 0 ⇒ Pk+1 = 0, ∀k (1.168)
1.3.5 Metoda neodre ¯denih koeficijenata
L1(y) = y(n)
(x) + αn−1y(n−1)
(x) + · · · + α1y(x) + α0 = f(x) (1.169)
f(x) je i samo rješenje pripadne homogene jednadžbe (Ln(y) = 0) sa konstantnim koefici-
jentima.
L2(y) = y(m)
(x) + βm−1y(m−1)
(x) + · · · + β1y(x) + β0 = 0 (1.170)
αi, βi ∈ R
L2(L1(y)) = L2(f) = 0 (1.171)
Homogena DJ reda m + n. L21(y) = 0 - baza u prostoru rješenja. Rješenja od L21:
y1, y2, . . . , yn, yn+1, . . . , ym+n (1.172)
L1(yn+i) = qi(x) 0, i = 1, . . . , m (1.173)
qi su rastav ym+n koji su rješenje za q
L2(qi) = 0, i = 1, . . . , m → f =
m∑
k=1
ckqk(x); f =
m∑
k=1
ckL1(yn+k) (1.174)
34

40. f = L1


m∑
k=1
ckyn+k

 → rješenje nehomogene jednadžbe
yp(x) =
m∑
k=1
ckyn+k(x) → namještamo rješenje da ogovara poˇcetnoj jednadžbi
(1.175)
Metoda neodre ¯denih koeficijenata zahtjeva da napravimo poˇcetnu pretpostavku oko forme
partikularnog rješenja, ali s koeficijentima koji nisu odre ¯deni.
Zatim zamjenimo izraz koji smo pretpostavili u poˇcetnu jednadžbu i pokušavamo odrediti
koeficijente, na naˇcin da zadovolje jednadžbu. Ako smo uspjeli u tome, tada smo našli rješenje
DJ i možemo ga koristiti za partikularno rješenje. Ukoliko ne možemo odrediti koeficijente, to
upu´cuje da ne postoji rješenje u pretpostavljenoj formi. U tom sluˇcaju možemo podesiti poˇcetnu
pretpostavku i pokušati ponovo.
Glavna prednost metode neodre ¯denih koeficijenata je ta da je vrlo lako izravno raˇcunati, jed-
nom kad imamo pretpostavku o partikularnom rješenju. Glavni nedostatak je taj da je korisna
ve´cinom za DJ za koje na jednostavan naˇcin možemo zapisati formu partikularnog rješenja una-
prijed. Zbog tog razloga, ova se metoda obiˇcno koristi samo za probleme u kojima homogena
jednadžba ima konstantne koeficijente i kojima je nehomogeni dio ograniˇcen na relativno male
klase funkcija. Na primjer, izabiremo samo nehomogene ˇclanove koji se sastoje od polinoma,
eksponencijalnih funkcija, sinusa i kosinusa.
Unatoˇc ovom ograniˇcenju, metoda neodre ¯denih koeficijenata je korisna za rješavanje pro-
blema koji imaju veliku važnost (npr. jednadžbe koje vode na pojave kao što je rezonancija)[4].
1.3.6 Metoda varijacije konstanti
L(y) = y(n)
(x) + αn−1y(n−1)
(x) + · · · + α1y(x) + α0 = f(x) (1.176)
x ∈ I f(x) je neprekidna na I ⊂ R
Iz konstrukcije karakteristiˇcnog polinoma znamo rješenja homogene jednadžbe
y1(x), . . . , yn(x) (1.177)
koja su linearno nezavisna rješenja → L(y) = 0.
Partikularna rješenja ´ce biti u obliku
yp(x) = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x) + · · · + Cn(x)yn(x) (1.178)
gdje su Ci n puta derivabilne funkcije na I.
Sve nam je proizvoljno. Kako to ograniˇciti?
Neka nam je zbroj prvih derivacija Ci = 0
35

41. y′
p(x) = C′
1y1
=0
+C1y′
1 + C′
2y2
=0
+C2y′
2 + · · · + C′
nyn
=0
+Cny′
n
y′′
p (x) = C′
1y′
1
=0
+C1y′′
1 + C′
2y′
2
=0
+C2y′′
2 + · · · + C′
ny′
n
=0
+Cny′′
n
deriviramo koliki nam je stupanj diferencijalne jednadžbe
y(n)
p (x) = C1(x)L(y1) + C2(x)L(y2) + · · · + Cn(x)L(yn)+
+ C′
1(x)L(y(n−1)
1 (x)) + C′
2(x)L(y(n−1)
2 (x)) + · · · + C′
n(x)L(y(n−1)
n (x)) = f(x)
→
∑
C(n)
(x) = 0
(1.179)
n-ta derivacija je zadana nehomogenoš´cu. Možemo to napisati u obliku matriˇcne jednadžbe:


y1(x) y2(x) · · · yn(x)
y′
1(x) y′
2(x) · · · y′
n(x)
...
...
...
...
y(n−1)
1 (x) y(n−1)
2 (x) · · · y(n−1)
n (x)


W


C′
1(x)
C′
2(x)
...
C′
n(x)


=


0
0
...
f(x)


(1.180)
Rješenje je jedinstveno jer je W 0. Imamo n linearno nezavisnih jednadžbi. C′
odredimo
iz sustava, a daljnjom se integracijom dobije
Ci(x) =
∫ x
C′
i (s)ds (1.181)
C ne možemo dobiti iz algebarske jednadžbe jer su namješteni tako da C′
i išˇceznu. Oni
zavise o poˇcetnim uvjetima, odnosno rješavaju specifiˇcan Cauchyjev problem.
Sustav 1.180 je Cramerov, što znaˇci da ima jedno rješenje. Postavljenjem homogene jed-
nadžbe možemo namjestiti koeficijente da izraˇcunamo integral 1.181. A znamo da postoje in-
tegrali elementarnih funkcija koji ne´ce dati elementarne funkcije.
Tada je
yp(x) = y1(x)
∫ x
x0
C′
1(s)ds + y2(x)
∫ x
x0
C′
2(s)ds + · · · + yn(x)
∫ x
x0
C′
n(s)ds
y(x) = yH(x) + yP(x)
(1.182)
1.3.7 Frobenius metoda rješavanja diferencijalne jednadžbe drugog reda
Teorem 17. Imamo diferencijalnu jednadžbu drugog reda oblika
y′′
(z) + p(z)y′
(z) + q(z)y(z) = 0 (1.183)
Neka je
y(z) =
∞∑
n=0
cn(z − z0)n
(1.184)
36

42. analitiˇcka funkcija. Ukoliko bi tražili rješenje u tom obliku imali bi pre restriktivnu formu
(samo pozitivni ˇclanovi), no ukoliko bi proširili do −∞ imali bi preširoku formu. Želimo što
kompaktnije rješenje problema. Zato zapišemo rješenja kao
y(z) =
∞∑
n=0
cn(z − z0)n+λ
, λ ∈ R (1.185)
Ako je λ ∈ Q imamo algebarski rez.
Ako je λ ∈ R imamo logaritamski rez.
Kada se možemo nadati da ´ce nam uvrštavanje takve forme dati korisno rješenje? Za to nam
služi Fuchsov teorem. On garantira postojanje rješenja.
Teorem 18. Rješenje jednadžbe 1.183 nema bitni singularitet u z0 onda i samo onda kad p(z)
ima u z0 najviše pol 1. reda, a u q(z) najviše pol 2. reda.
Takav singularitet se zove regularni singularitet.
Primjer 1. :
y′′
+
4
z
y′
+
2
z2
y = 0 (1.186)
Pretpostavimo rješenje oblika:
y(z) =
∞∑
n=0
cnzn+λ
(1.187)
Tada su derivacije:
y′
(z) =
∞∑
n=0
cn(n + λ)zn+λ−1
, y′′
(z) =
∞∑
n=0
cn(n + λ)(n + λ − 1)zn+λ−2
(1.188)
Imamo
∞∑
n=0
cn(n + λ)(n + λ − 1)zn+λ−2
+ 4
∞∑
n=0
cn(n + λ)zn+λ−2
+ 2
∞∑
n=0
cnzn+λ−2
= 0
∞∑
n=0
cn[(n + λ)(n + λ − 1) + 4(n + λ) + 2]zn+λ−2
= 0
(1.189)
Uvjet da je suma jednaka nuli je da svi koeficijenti išˇcezavaju. Za n=0 imamo indicijalni
polinom (jednadžbu):
c0[λ(λ − 1) + 4λ + 2] = 0
/
: c0 0
λ2
+ 3λ + 2 = 0
λ1 = −1 λ2 = −2
(1.190)
37

43. Za λ1 ≥ λ2 → λ1 − λ2 = −1 + 2 = 1
cn[(n + λ)(n + λ − 1) + 4(n + λ) + 2] = 0, n > 0, c0 0, cn = 0 (1.191)
Fuchsov teorem nam garantira postojanje rješenja, no sam izgled ovisi o korjenima indici-
jalne jednažbe.
• Ako su dva korjena jednaka, možemo na´ci samo jedno rješenje Frobenius metodom tako
da uvrstimo pretpostavljeno rj. u jednadžbu. Drugo nalazimo derivacijom.
• Ako se dva korjena razlikuju za ne cijeli broj ( Z), možemo na´ci dva lin. nezavisna
rješenja direktnim uvrštavanjem.
• Ako se dva korjena razlikuju za cijeli broj, ve´ci od ta dva ´ce dati rješenje. Drugo može, ali
i ne mora, dati rješenje, ovisno o ponašanju koeficijenata. Npr. za jednadžbe harmoniˇckog
oscilatora na´ci ´cemo dva rješenja, dok za Besselovu dobijemo samo jedno rješenje [1].
Ukoliko nam sume nisu istog indeksa ne´cemo imati samo koeficijent cn nego i druge koefi-
cijentte poput cn+2. U tom sluˇcaju moramo riješiti rekurziju.
Rješenja naše jednadžbe su:
y1(z) =
∞∑
n=0
c0z−1
= c0z−1
y2(z) =
∞∑
n=0
c0z−2
= c0z−2
y(z) = A1y1(z) + A2y2(z)
(1.192)
Primjer 2. :
y′′
−
y′
z
+
y
z2
= 0 (1.193)
Pretopstavimo rješenje, deriviramo ga i zapišemo sumu
∞∑
n=0
cn[(n + λ)(n + λ − 1) − (n + λ) + 1]zn+λ−2
= 0 (1.194)
Indicijalna jednadžba (polinom):
c0[λ(λ − 1) − λ + 1] = 0
/
: c0 0
λ2
− 2λ + 1 = 0 ⇒ (λ − 1)2
= 0
λ1,2 = 1
(1.195)
Prvo rješenje dobijemo uvrštavanjem u sumu:
38

44. y1(z) =
∞∑
n=0
cnzn+1
(1.196)
Drugo rješenje možemo probati dobiti ppreko metode varijacije konstanti
y′′
+ a1(z)y′
+ a0(z)y = 0 = L(y); L(y1) = 0 (1.197)
y2(z) = C(z)y1(z)
y′
2(z) = C′
(z)y1(z) + C(x)y′
1(z)
y′′
2 (z) = C′′
(z)y1(z) + C′
(z)y′
1(z) + C′
(z)y′
1(z) + C(z)y′′
1 (z)
L(y1) = Cy′′
1 + Cy′
1 + Cy
(1.198)
L(y2) =C′′
y1 + 2C′
y1 + Cy′′
1 + a1C′
y1 + a1Cy′
1 + a0Cy1 = 0
⇔ C L(y1)
=0
+C′′
y1 + 2C′
y′
1 + a1C′
y1 = 0
⇔ C′′
y1 + 2C′
y′
1 + a1C′
y1 = 0 → zamjenimo C′
= g
⇔ g′
y1 + 2gy′
1 + a1gy1 = 0 ⇒ y1g′
+ (2y1 + a1y1)g = 0
y1 = z, y′
1 = 1, a1 = −
1
z
⇔ zg′
+
(
2 +
(
−
1
z
)
· z
)
g = 0
⇔ zg′
+ g = 0
/
separacija varijabli
⇔ g =
const.
z
⇒ C′
=
1
z
⇒ C = ln z
(1.199)
y2(z) = C(z) · y1(z) = y1(z) ln z = z ln z (1.200)
Logaritam se ne može razviti oko nule jer divergira u nuli.
Operativno:
y(z, λ) → uvrstimo u L (1.201)
L =
(
d
dz
)n
+ λn−1
(
d
dz
)n−1
+ · · · + λ0
L(y(z, λ)) =
[
d(n)
dz(n)
(y(z, λ)) + λn−1
d(n−1)
dz(n−1)
(y(z, λ)) + · · · + λ0y(z, λ)
]
L(y(z, λ)) =
∞∑
n
zn+λ
[cn, λ]
rekurzija
+c0 [λ(λ − 1) + p0λ + q0]
I(λ) indicijalni polinom
zλ
(1.202)
39

45. Nakon rješavanja rekurzije svi komadi uz zn+λ
propadaju
y(z) =
∑
cn(λ1,2)zn+λ1,2
(1.203)
Da bi indicijalni polinom nestao, u njega uvrstimo korjene tog polinoma.
L(cn(λ) zn+λ
) = c0 I(λ)
(λ−λ1)2
zλ
(1.204)
Derivacijom po λ dobijemo nešto što nam daje nula.
y2 =
∂
∂λ λ=λ1
∞∑
n=0
cn(λ)zn+λ
(1.205)
1.3.8 Op´ci postupak dobivanja drugog rješenja u Frobenius metodi
Drugo rješenje nam ovisi o indicijalnom polinom, odnosno o korjenima indicijalne jednadžbe..
1. λ1 − λ2 Z - rješiva rekurzija za λ1 i λ2
y1(z) = y(z, λ1), y2(z) = y(z, λ2) (1.206)
Imamo linearno nezavisna rješenja.
2. λ1 − λ2 ∈ Z
a) λ1 = λ2 - prvo rješenje direktno u sumu.
y1(z) = y1(z, λ1) =
∞∑
n=0
cn(λ1)zn+λ1
(1.207)
Drugo rješenje na ¯demo deriviranjem - jer imamo dvostruku kratnost nultoˇcke.
y2(z) = L
(
∂y(z, λ)
∂λ
)
λ=λ1
=
∂
∂λ


∞∑
n=0
cn(λ) zn+λ

 =
=


∞∑
n=0
cn(λ) zn+λ

 ln z +
∞∑
n=1
∂cn(λ1)
∂λ
zn+λ1
(1.208)
Druga suma ne poˇcinje od nule jer deriviranje konstante daje nulu koja ne pridonosi sumi.
Znaˇci imamo:
y1(z) = y(z, λ1), y2(z) = y1(z) ln z +
∞∑
n=1
c′
n(λ1) zn+λ1
(1.209)
b) λ1 − λ2 = m ∈ N, m 0
40

46. Prvo rješenje ponovo dobijemo direktnim uvrštavanjem u sumu. Možemo imati dva pods-
luˇcaja:
1. n=m → sluˇcajno nam išˇcezne desna strana (0 · cm = 0)
y = c0zλ
(polinom m-1 supnja) + cmzλ
(Taylor), n ≥ m + 1 (1.210)
2. 0 · cm 0 - desna strana ne išˇcezne. Odaberemo c0 = λ − λ2, c0 = c0(λ) - koji se pokrati
sa nultoˇckom u nazivniku (uklonjivi singularitet).
y1(z) = y1(z, λ)
λ=λ1
=
∞∑
n=0
cn zn+λ1
y2(z) =
∂y(z, λ)
∂λ λ=λ2
= zλ2
∞∑
n=0
cn(λ2)zn
ln z + zλ2
∞∑
n=0
∂cn(λ)
∂λ λ=λ2
zn
(1.211)
Pri ˇcemu nam je
c0 = λ − λ2, c0 = 0 za λ = λ2, no c′
0 0 → c′
0 = 1 (1.212)
1.3.9 Formalno dobivanje drugog rješenja u Frobenius metodi
y′′
(z) + p(z)y′
(z) + q(z)y(z) = 0 (1.213)
y(z) =
∞∑
n=0
cn zn+λ
, y′
(z) =
∞∑
n=0
cn(n + λ) zn+λ−1
,
y′′
(z) =
∞∑
n=0
cn(n + λ)(n + λ − 1) zn+λ−2
,
p(z) =
∞∑
m=0
am zm−1
, q(z) =
∞∑
m=0
bm zm−2
(1.214)
p(z) i q(z) su u ovakvoj formi, da bi zadovoljili uvjete Fuchsovog teorema (18).
p(z)y′
(z) =
∞∑
n=0
∞∑
m=0
cnam(n + λ)zm−1+n+λ−1
=
=
∞∑
n=0
∞∑
m=0
cnam(n + λ)zm+n+λ−2
, m = k − n; k = n + m =
= zλ−2
∞∑
k=0


k∑
n=0
(n + λ)cn
jedan koeficijent
ak−n

 zk
(1.215)
Množenje dva reda potencija i skupljanje ˇclanova ´ce napraviti novi red. Ta operacija se zove
konvolucija:
41

47. k∑
n=0
dkak−n → (d ∗ a)k (1.216)
Izvuˇcemo najstariji ˇclan u sumi (n=k)
p(z)y′
(z) = zλ−2
∞∑
k=0
[(k + λ)cka0 + Ak] zk
;
Ak =
k−1∑
n=0
(n + λ)cnak−n
(1.217)
q(z)y(z) =
∞∑
n=0
∞∑
m=0
cnbm zm+n+λ−2
=
= zλ−2
∞∑
k=0


k∑
n=0
cnbk−n

 zk
=
= zλ−2
∞∑
k=0
[ckb0 + Bk] zk
Bk =
k−1∑
n=0
cnbk−n
(1.218)
Najstariji ˇclanovi ostaju u rekurziji. Pišemo DJ, uz gornje relacije, samo sa istim indeksom
sumacije:
L(y(z, λ)) =
∞∑
n=0
cn(n + λ)(n + λ − 1) zn+λ−2
+
∞∑
n=0
[(n + λ)cna0 + Ak] zn+λ−2
+
+
∞∑
n=0
(cnb0 + Bn) zn+λ−2
(1.219)
Raspišemo prvi ˇclan u sumi: n=0 (kada je 0 najstariji koeficijent, mla ¯dih nema)
L(y(z, λ)) = [c0λ(λ − 1) zλ−2
+ λc0a0 zλ−2
+ c0b0 zλ−2
]+
+
∞∑
n=1
{
[(n + λ)(n + λ − 1) + (n + λ)a0 + b0]cn + An + Bn
Cn
}
zn+λ−2
=
= [(λ − 1)λ + λa0 + b0]c0 zλ−2
+
+
∞∑
n=1
{
[(n + λ)(n + λ − 1) + (n + λ)a0 + b0]
I(n+λ)
cn + An + Bn
}
zn+λ−2
(1.220)
Gdje je k ≤ n − 1. Pišemo rekurziju:
42

48. I(n + λ)cn + An + Bn = 0; An(λ), Bn(λ) (1.221)
cn = f(cn−1, . . . , co, λ); cn → cn(λ) (1.222)
L(y(z, λ)) = [λ(λ − 1) + a0λ + b0]
I(λ)
c0 zλ−2
(1.223)
Rekurzija ’uništi’ sumu pa nam ostaje
I(λ) = (λ − λ1)(λ − λ2) (1.224)
Mogu´ce komplikacije:
1. λ1 − λ2 Z
(n + λ − λ1)(n + λ − λ2) cn
0
= −
n−1∑
k=0
[(k + λ1)an−k + bn−k]ck
λ = λ1 (n + 0)(n + λ1 − λ2)cn = −
n−1∑
k=0
[(k + λ1)an−k + bn−k]ck
(1.225)
Imamo rješivu rekurziju za λ = λ1 i λ = λ2
y1(z) = y(z, λ1), y2(z) = y(z, λ2) (1.226)
dva linearno nezavisna rješenja.
Ako je cn(λ1) = cn+m(λ1) ponovo imamo lin. nezavisno rješenje jer se razlikuju u ekspo-
nentu: zn+λ1
= zn+m+λ2
.
2. λ1 − λ2 = m ∈ N, m = 0
a) λ1 = λ2
(n + λ1 − λ1)(n + λ1 − λ2)cn = n2
cn = −
n−1∑
k=0
[(k + λ1)an−k + bn−k]ck, n ≥ 1 (1.227)
Drugo rješenje:
L(y(z, λ)) = (λ − λ1)2
c0 zλ−2
(1.228)
Trebamo homogenu dif. jednadžbu, zato drugo rj. tražimo derivacijom i izvrjednjavanjem
u korjenu indicijalne jednadžbe.
43

49. L
(
∂y(z, λ)
∂λ
)
λ=λ1
= 2(λ − λ1)c0 zλ−2
λ=λ1
+ ((λ − λ1))2
c0 zλ−2
ln z
λ=λ1
=
= 0 + 0 = 0
(1.229)
y1(z) =
∞∑
n=0
cn(λ1) zn+λ1
y2(z) =
∂
∂λ


∞∑
n=0
cn(λ1) zn+λ1

 =


∞∑
n=0
cn(λ1) zn+λ1

 ln z +
∞∑
n=1
c′
n(λ1) zn+λ1
=
= y1(z) ln z +
∞∑
n=1
c′
n(λ1) zn+λ1
(1.230)
b) λ1 − λ2 = m ∈ Nm m 0
(n + λ − λ1)(n + λ − λ2)cn = −
n−1∑
k=0
[(k + λ)an−k + bn−k]ck (1.231)
λ = λ1 ⇒n(n + λ1 − λ2
m
)cn = −
n−1∑
k=0
[(k + λ1)an−k + bn−k]ck; n ≥ 1
λ = λ2 ⇒n(n + λ2 − λ1
−m
)cn = −
n−1∑
k=0
[(k + λ2)an−k + bn−k]ck; n ≥ 1
(1.232)
Pogledajmo podsluˇcajeve:
ı) n=m - desna strana propada konspiracijom (pomak u indeksu); 0·cm = 0 (cm proizvoljan).
y = c0 zλ
(polinom m-1 stupnja) + cm zλ
(Taylor)
(n − m)ncn = −
n−1∑
k=0
[(k + λ2)an−k + bb−k]ck; n ≥ m + 1 (1.233)
Što je rješiva rekurzija za proizvoljan cn.
ıı) 0 · cm 0 - desna strana ne išˇcezava, što znaˇci da c0 može biti proizvoljan:
c0 = λ − λ2; c0 = c0(λ)
(n + λ − λ1)(n + λ − λ2)cn = −
n−1∑
k=0
[(k + λ)an−k + bb−k]ck; i < n; ci = di (λ − λ2)
c0
(1.234)
44

50. Što dobijemo rekurzijom za n=m?
(m + λ − λ1)(m + λ − λ2)cm =

−
n−1∑
k=0
[(k + λ)an−k + bn−k]dk

 (λ − λ2) (1.235)
m = λ1 − λ2
(λ − λ2)

λ1 − λ2 + λ − λ2 +
n−1∑
k=0
. . .

 = 0 ⇒ 0 = 0 (1.236)
λ − λ2 → svi ci = di(λ − λ2) = 0, i = 0, . . . , m − 1
L(y(z, λ)) = c0I(λ)zλ−2
= c0(λ − λ1)(λ − λ2)zλ−2
= (λ − λ1)(λ − λ2)2
zλ−2
(1.237)
Zbog kvadratne nultoˇcke možemo derivirati i imamo rješenje s logaritmom.
L
(
∂y(z, λ)
∂λ
)
λ=λ1
= 0 (1.238)
y(z, λ) =
∞∑
n=0
cn(λ)zn+λ
y1(z) = y(z, λ1)
y2(z) = y1(z) ln z +
∞∑
n=0
c′
n(λ)zn+λ2
(1.239)
45

51. 1.4 Gama funkcija i asimptotski redovi
1.4.1 Gama funkcija
Teorem 19. Funkcija
Γ(z) =
∫ ∞
0
tz−1
e−t
dt (1.240)
postoji za ℜ(z) > 0 (desna plouravnina)
Kako je uop´ce došlo do gama funkcije? Pokušalo se na neki naˇcin generalizirati, odnosno
zapisati faktorijele u zatvorenoj formi.
∫ ∞
0
tn
e−t
dt = n
∫ ∞
0
tn−1
e−t
dt = n(n − 1)! = n! (1.241)
4 2 2 4
10
5
5
10
z
Slika 12: Graf gama funkcije
Dokaz. Γ(z) napišemo kao sumu dva integrala:
Γ(z) =
∫ 1
0
tz−1
e−t
dt
F(z)
+
∫ ∞
1
tz−1
e−t
dt
G(z)
(1.242)
F(z) je analitiˇcka na poluravnini Re(z) > 0, ima rez na realnoj osi. Da bi izbjegli taj rez
razvijemo tu funkciju u Taylorov red.
F(z) =
∫ 1
0
tz−1
∞∑
n=0
(−1)n
n!
tn
dt =
∞∑
n=0
(−1)n
n!
∫ 1
0
tz+n−1
dt =
= lim
ε→0
∞∑
n=0
(−1)n
n!
∫ 1
ε
tz+n−1
dt
(1.243)
Integral divergira za n=-z pa smo donju granicu zamijenili s ε.
46

52. ∫ 1
ε
tn+z−1
dt =
tn+z
n + z
1
ε
= lim
ε→0
[
1
n + z
−
εn+z
n + z
0
]
=
∞∑
n=0
(−1)n
n!
·
1
n + z
, ℜz > 0
(1.244)
testom usporedbe vidimo da
1
n + z
< 1 (1.245)
Ako usporedimo s
∞∑
n=0
(−1)n
n!
= e−1
(1.246)
što konvergira.
G(z) je cijela funkcija - analitiˇcka na cijelom C.
Teorem 20. Neka je △ trokut u C i GN(z) =
∫ N
1
tz−1
e−t
dt.
∫
∂△
GN(z)dz (1.247)
integral po rubu trokuta:
∫
∂△GN(z)dz =
∫ N
1
(∫
∂△
tz−1dz
)
e−t
dt = 0 (1.248)
po C-G teoremu. t ∈ [1, N].
Postoji primitivna funkcija G(z) t.d. je G′
(z) = GN(z), ∀z ∈ C, po osnovnom teoremu o
analitiˇckim funkcijama.
Teorem 21. Funkcija
Γ(z) =
∞∑
n=0
(−1)n
n!
1
n + z
+
∫ ∞
1
tz−1
e−t
dt (1.249)
je analitiˇcka za z ∈ C {0, −1, −2, . . .}, a u toˇckama z = −k, k ∈ N ∪ {0} ima polove 1. reda
sa reziduumima
Res(Γ(z), −k) =
(−1)k
k!
(1.250)
47

53. Dokaz.
∞∑
n=m
(−1)n
n!
·
1
n + z
<
∞∑
n=m
(−1)n
n!
< e (1.251)
Kada je |m + z| > 1, n > m pove´cavamo m dok se to ne dogodi. Za razvoj oko z=-n
c−1 =
(−1)n
n!
(1.252)
Formalno:
lim
z→−k
(z + k)
∞∑
n=0
(−1)n
n!
·
1
n + z
=
(−1)k
k
+ lim
z→−k
(z + k)
∞∑
n=0
n k
(−1)n
n!
(1.253)
1.4.2 Svojstva Gama funkcije
Γ(z + 1) = zΓ(z)
Γ(z)Γ(1 − z) =
πz
sin(πz)
Γ(k + 1) = k!
Γ
(
1
2
)
=
√
π
Γ
(
n +
1
2
)
=
(2n − 1)!!
2n
√
π, n ∈ N
Γ(z) 0, ∀z ∈ C
(1.254)
Idemo dokazati neka svojstva:
Dokaz. Γ(z + 1) = zΓ(z)
Γ(z) =
∫ ∞
0
tz−1
e−t
dt, Γ(z + 1) =
∫ ∞
0
tz
e−t
dt
Γ(z + 1) =
∫ ∞
0
tz
e−t
dt =
tz
= u
/′
, e−t
dt = dv
/ ∫
ztz−1
dt = du, −e−t
= v
=
= −
−tz
et
∞
0
+ z
∫ ∞
0
tz−1
e−t
dt
Γ(z)
(1.255)
Koliko iznosi prvi dio?
48

54. lim
t→∞
−tz
et
= L’Hospital = lim
t→∞
(−ztz−1
)
et
= L’H =
= lim
t→∞
(−z(z − 1)tz−2
)
et
= i tako z puta =
= lim
t→∞
(−z!tz−z
)
et
= −z! lim
t→∞
1
et
= −z! ·
1
∞
= 0
(1.256)
Odnosno:
lim
t→0
−tz
et
=
0
1
= 0 (1.257)
Vidimo da prvi dio nestaje pa je Γ(z + 1) = zΓ(z)
Dokaz. Γ(z)Γ(1 − z) = πz
sin(πz)
Γ(z) =
∫ ∞
0
tz−1
e−t
dt =
t = x2
dt = 2xdx
=
=
∫ ∞
0
x2z−2
e−x2
2xdx = 2
∫ ∞
0
x2z−1
e−x2
dx
Γ(1 − z) =
∫ ∞
0
t−z
e−t
=
t = y2
dt = 2ydy
=
=
∫ ∞
0
y−2z
e−y2
2ydy = 2
∫ ∞
0
y1−2z
e−y2
dy
(1.258)
Tada nam je
Γ(z)Γ(1 − z) = 4
∫ ∞
0
dx
∫ ∞
0
x2z−1
y1−2z
e−(x2+y2)
dy (1.259)
Vrijedi kad je istovremeno ℜ(z) > 0 i ℜ(1 − z) > 0 ⇒ ℜ(z) < 1.To znaˇci da nam z mora
biti na vertikalnoj traci izme ¯du 0 i 1: 0 < ℜ(z) < 1, ∀z ∈ ⟨0, 1⟩.
Radi jednostavnosti prebacimo se u polarni koordinatni sustav:
x = r cos θ, y = r sin θ, x2
+ y2
= r2
, θ ∈ ⟨0, π/2⟩, r ∈ ⟨0, ∞⟩ (1.260)
Element površine u polarnom koordinatnom sustavu je 1/2rdθ odnosno:
∫ ∞
0
∫ ∞
0
dxdy →
∫ π/2
0
∫ ∞
0
rdrdθ (1.261)
49

55. Γ(z)Γ(1 − z) = 4
∫ π/2
0
dθ
∫ ∞
0
r2z−1
(cos θ)2z−1
r1−2z
(sin θ)1−2z
e−r2
rdr =
= 4
∫ π/2
0
dθ
∫ ∞
0
(cos θ)2z−1
(sin θ)1−2z
e−r2
rdr =
=
∫ ∞
0
r e−r2
dr =
∫ ∞
0
xn
e−ax2
dx =
Γ
(
1+1
2
)
2 · 1(1+1)/2
=
Γ(1)
2
=
1
2
=
= 2
∫ π/2
0
(cos θ)2z−1
(sin θ)1−2z
dθ =
=
t = sin2
θ
/′
sin θ =
√
t cos θ =
√
1 − t
dt = 2 sin θ cos θdθ dt = 2
√
t
√
1 − tdθ dt = 2
√
t(1 − t)dθ
=
= 2
∫ 1
0
(1 − t)
1
2 (2z−1)
t
1
2 (1−2z)
·
dt
2
√
t(1 − t)
=
=
∫ 1
0
(1 − t)z−1
t−z
dt =
1 − t = u
1+u
t = 1 − u
1+u
t = 1
1+u
/′
dt = − 1
(1+u)2 du
=
=
∫ 0
∞
( u
1 + u
)z−1
·
(
1
1 + u
)−z (
−
du
(1 + u)2
)
=
=
∫ ∞
0
uz−1
1 + u
du →
wz−1
1 + w
ln(w)dw
(1.262)
γ
Γ
-1
Slika 13: Krivulja kompleksne integracije
Imamo pol 1. reda u -1.
f(z)dz = 2πi
∑
k
Res(f, ak) =
∫ ∞
0
uz−1
1 + u
du
I
+
∫
Γ
+
∫
γ
=0
−
∫ ∞
0
uz−1
e2πi(z−1)
1 + u
du
= I(1 − e2πi(z−1)
)
(1.263)
50

56. Reziduum:
Res( f, −1) = lim
w→−1
[
(w + 1) ·
wz−1
1 + w
]
= (−1)z−1
(1.264)
I =
2πi(−1)z−1
1 − e2πi(z−1)
=
π
sin(πz)
(1.265)
U zadnjem smo koraku pomnožili s e−πi(z−1)
dolje smo dobili sinus, a gore možemo raspisati
sin/cos i dobijemo konaˇcni rezultat nakon malo raspisivanja.
1.4.3 Asimptotske metode
Konvergentni red nije uvijek korisan, jer je konvergencija u biti koncept koji se odnosi na
ponašanje ˇclanova reda na kraju tog reda, to jest kako j → ∞.
To što red konvergira nam ništa ne govori o tome kako´ce se brzo ˇclanovi smnanjiti u ve-
liˇcini. Kada se ˇclanovi smanjuju brzo, ako uzmemo samo prvih nekoliko ˇclanova, a znamo da
ako uzmemo još ˇclanova, da ´ce nam se razvoj pogoršati (postoji nopt), možemo dobiti dobru
aproksimaciju sume ukoliko se zanemare ˇclanovi poslije nopt.
Jedini problem kod asimptotskih redova je da ne možemo biti apsolutno sigurni koliko
nam je odgovor toˇcan. Zato nam treba usporedba s nekom drugom reprezentacijom oˇcekivanog
odgovora.
No asimptotski razvoj može biti jedini naˇcin dobivanja analitiˇckog rješenja teškog pro-
blema.
Teorem 22. Niz funkcija φj(z) je asimptotski u odnosu na toˇcku z0 ako vrijedi
lim
z→z0
φj+1(z)
φj(z)
= 0, ∀j (1.266)
Teorem 23. Funkcija ima asimptotski prikaz oko toˇcke z0
f(z) ≈ a1φ1(z) + a2φ2(z) + · · · (1.267)
ako je niz φj(z) asimptotski oko z0 i ako vrijedi:
lim
z→z0
f(z) − sn(z)
φn(z)
= 0, ∀n ∈ N (1.268)
gdje je
sn(z) =
n∑
k=1
akφk(z) (1.269)
parcijalna suma
Kod asimptotskog razvoja razvoj vrijedi samo u nekom rasponu z oko z0 (što smo bliže z0
treba nam manje ˇclanova). Nemamo kontrolu nad apsolutnom toˇcnoš´cu (slika 14).
51

57. nn opt
ASIMPTOTSKI
TAYLOR
Slika 14: Usporedba asimptotskog i Taylorovog razvoja
1.4.4 Laplaceova metoda
Teorem 24. Neka funkcija f(x) ima jedinstveni globalni maksimum u x0. Tada ´ce vrijednost
f(x0) biti ve´ca od ostalih vrijednosti f(x). Ako tu funkciju pomnožimo sa velikim brojem M,
razlika izme ¯du M f(x0) i M f(x) ´ce rasti eksponencijalno za funkciju eM f(x)
.
Stoga samo u okolini x0 ´ce do´ci bitni doprinosi integralu koji se mogu aproksimirati. Jedini
dodatni uvjet koji imamo za funkciju f(x) je da mora biti najmanje dva puta diferencijabilna.
Primjer:
ψ(x) =
∫ ∞
−∞
e−x cosh(u)
du = razvijemo kosinus hiperbolni =
=
∫ ∞
−∞
e−x(1+1
2 u2
)du = e−x
∫ ∞
−∞
e−1
2 u2
du =
√
2π
x
e−x
(1.270)
Ovaj primjer možemo i toˇcnije riješiti. Razvijemo kosinus hiperbolni i proglasimo taj razvoj
promjenom varijable.
ψ(x) = e−x
∫ ∞
−∞
e−x(cosh(u)−1)
du =
cosh(u) − 1 = t2
/′
du = 2tdt
sinh(u)
sinh(u)du = 2tdt
=
= e−x
∫ ∞
−∞
e−xt2
·
2tdt
sinh(u)
= e−x
∫ ∞
−∞
e−xt2
·
2tdt
√
t2(t2 + 2)
=
= 2e−x
∫ ∞
−∞
e−xt2
·
dt
√
t2 + 2
= 2e−x
∫ ∞
−∞
e−xt2
·
dt
√
2
√
1 + t2
2
=
=
√
2e−x
∫ ∞
−∞
e−xt2
·
dt
√
1 + t2
2
= 2e−x
√
2
∫ ∞
0
e−xt2
·
dt
√
1 + t2
2
=
(1.271)
52

58. Sada
(
1 +
t2
2
)1/2
(1.272)
razvijemo kao (1 + x)1/2
:
(
1 +
t2
2
)1/2
=
∞∑
k=0
(
−1/2
k
) (
t2
2
)k
(1.273)
ψ(x) =
√
2e−x
∞∑
k=0
(
−1/2
k
) ∫ ∞
−∞
(
t2
2
)k
e−xt2
dt ≃
≃
√
2π
x
širina
e−x
visina
(
1 −
1
8
x +
9
128
x2
− · · ·
) (1.274)
Pri ˇcemu smo se koristili ˇcinjenicom da je integral gausijana
∫ ∞
−∞
e−x2
dx =
√
π (1.275)
Izraz u zagradi je korekcija (što više ˇclanova uzmemo to nam je preciznija procjena).
1.4.5 Izvod Stirlingove formule
Stirlingova aproksimacija se ˇcesto koristi za raˇcunanje velikih faktorijela
z! ≃
(z
e
)z √
2πz (1.276)
Odnosno za prirodni logaritam
ln N! ≃ N(ln N − 1) + ln
√
2πN (1.277)
Stirlingova formula se izvodi preko Laplaceove metode
x! = Γ(x + 1) =
∫ ∞
0
tx
e−t
dt = tx
= ex ln t
=
=
∫ ∞
0
ex ln t−t
dt =
x
(
− t
x
+ ln t
)
t
x
= τ
τx = t dt = xdτ
x(−τ + ln τ + ln x) t ∈ ⟨0, ∞⟩, τ ∈ ⟨0, ∞⟩
=
=
∫ ∞
0
ex(−τ+ln τ+ln x)
xdτ =
∫ ∞
0
xex(−τ+ln τ)
xx
dτ =
= xx+1
∫ ∞
0
e
x (−τ + ln τ)
f(τ)
dτ
(1.278)
f(τ) je fukcija s lijepim maksimumom, pa možemo koristiti Laplaceovu metodu i razviti ju:
53

59. f(τ) = −1 −
1
2
(τ − 1)2
+ · · · (1.279)
x! ≃ xx+1
∫ ∞
0
ec(−1−1
2 (τ−1)2+··· )dτ ≃
≃ xx+1
e−x
∫ ∞
−∞
e−1
2 x(τ−1)2
dτ ≃
≃
( x
e
)x √
2πx
(1.280)
Funkciju e−x
možemo proširiti do −∞ jer nema asimptotski razvoj u −∞.
Slika 15: Asimptotsko proširenje e−x
54

60. 2 Matematiˇcke Metode Fizike 2
2.1 Fourierova analiza
2.1.1 Uvod
Fourierovi redovi i Fourierova analiza su nastali radi objašnjavanja problema raspodjele tem-
perature u materijalima (tako je Joseph Fourier došao do svog otkri´ca). Do danas Fourierova
analiza igra važnu ulogu u analizi signala, statistici, teoriji vjerojatnosti,kriptografiji, numeriˇc-
koj analizi i drugim podruˇcjima.
Da bi shvatili neke koncepte bitne u Fourierovoj analizi moramo se prebaciti u apstraktne
vektorske prostore, u kojima su funkcije toˇcke u vektorskom prostoru.
Skalarni produkt
(f, g) =
1
|I|
∫
I
f(x) · g(x)dx (2.1)
Ako smo u kompleksnom vektorskom prostoru (Hilbrtov prostor) skalarni produkt je defi-
niran kao:
(f, g) =
1
|I|
∫
I
f∗
(z) · g(z)dz (2.2)
Svojstva:
(f, g) = (g, f)
(α f + βg, h) = α(f, h) + β(g, h)
( f, f) ≥ 0
( f, f) = 0 ⇔ f = 0
(2.3)
Norma
||f|| =
√
( f, f) =
√∫
I
| f|2, ∀f ∈ L2
(2.4)
Jaka norma
f, g ∈ L2
⇒ d(f, g) = || f − g|| =
√
( f, g)(f, g) =
√∫
I
(f − g)2 (2.5)
Norma nam daje metriku prostora (udaljenost).
55

61. Schwarzova nejednakost
Teorem 25.
|( f, g)| ≤ || f|| · ||g|| → |( f, g)| ≤
√
(f, f)(g, g) (2.6)
Dokaz. Uzimamo proizvoljan t:
||t f − g|| ≤ 0, t ∈ R ⇒ ||t f − g||2
≥ 0 (2.7)
Raspišemo:
(t f − g, t f − g) ≥ 0
t( f, t f − g) − (g, t f − g) ≥ 0
t(t f − g, f) − (t f − g, g) ≥ 0
t[t( f, f) − (g, f)] − t(f, g) + (g, g) ≥ 0
t2
( f, f) − t(f, g) − t(f, g) + (g, g) ≥ 0
(2.8)
Pošto je t proizvoljan, izaberemo
t =
(f, g)
( f, f)
0 (2.9)
( f, g)2
(f, f)
− 2
(f, g)
(f, f)
+ (g, g) ≥ 0
/
· (f, f)
−( f, g)2
+ (g, g)(f, f) ≥ 0
(f, g)2
≤ (g, g)(f, f)
/ √
|(f, g)| ≤
√
(f, f)(g, g) = || f|| · ||g||
(2.10)
Nejednakost trokuta
Teorem 26.
|| f + g|| ≤ || f|| + ||g|| (2.11)
Dokaz. Svedemo na Schwarzovu nejednakost:
||f + g||2
= (f + g, f + g) = (f, f + g) + (g, f + g) =
= (f + g, f) + (f + g, g) = (f, f) + 2(f, g) + (g, g) ≤
≤ (f, f) + 2
√
( f, f)(g, g) + (g, g) ≤ || f||2
+ 2||f|| · ||g|| + ||g||2
= (||f|| + ||g||)2
|| f + g|| ≤ || f|| + ||g||
(2.12)
56

62. Pitagorin pouˇcak
Teorem 27.
||f + g||2
= ||f||2
+ ||g||2
(2.13)
Dokaz. Treba nam uvjet okomitosti:
( f, g) = 0 (2.14)
ako su f i g okomiti tada vrijedi
|| f + g||2
= ( f + g, f + g) = ( f, f) + 2(f, g)
=0
+(g, g) = || f||2
+ ||g||2
(2.15)
Udaljenost f i g (d(f, g)) je ukupno kvadratno odstupanje - varijanca u statistici
d(f, g) = ||f − g|| =
√
(f, g)( f, g) =
√∫
I
[f − g]2 (2.16)
U svakim toˇckama napravimo razliku, kvadriramo je i sumiramo pa na kraju korjenujemo.
Mjera svih odstupanja u jednom broju (kvadrat osigurava pozitivnost podkorjenskog izraza).
Kompletnost baze u vektorskom prostoru
Svaki vektor u vektorskom prostoru možemo zapisati kao sumu umnoška komponenta i
baza:
⃗x =
n∑
i=1
xi ˆei =
n∑
i=1
ˆei (⃗x, ˆei) (2.17)
Kompletnost znaˇci da baza razapinje vektorski prostor.
1· =
n∑
i=1
ˆei (ˆei, ·) (2.18)
Diracova (bra-ket) notacija
Bra-ket notacija je standardna notacija za opis kvantnih stanja u teoriji kvantne mehanike
koja se sastoji od uglastih zagrada i vertikalnih crta. Tako ¯der se koristi za oznaˇcavanje apstrak-
tnih vektora i linearnih funkcionala u matematici.
Zove se tako jer je unutarnji (skalarni) produkt dva stanja dan bracketom ⟨ϕ|ψ⟩, koji se sas-
toji od lijevog dijela, ⟨ϕ|, koji se naziva bra, i desnog |ψ⟩, koji se naziva ket. Notaciju je uveo
1939. Paul Dirac po kome je i dobila naziv.
Svaki vektor ("ket")
57

63. ⃗ψ =


a1
a2
...
an


= |ψ⟩ (2.19)
prati dualni linearni operator ("bra")
⃗ϕ =
(
b∗
1 b∗
2 · · · b∗
n
)
= ⟨ϕ| (2.20)
Koji je u biti konjugirani i transponirani ket.
Tada skalarni produkt možemo pisati kao
⃗ψ · ⃗ϕ =
n∑
i=1
⃗ψi
⃗ϕi = ⟨ϕ|ψ⟩ (2.21)
Dok je
n∑
i=1
|ei⟩⟨ei| = 1 (2.22)
jediniˇcna matrica.
2.1.2 Fourierovi redovi
Fourierov razvoj je u biti razvoj "nekakvih" funkcija po bazi sin/cos - sinusi i kosinusi su nam
vektori u bazi koji razapinju tu bazu u vektorskom prostoru. Tada svaku funkciju možemo
prikazati preko sume sinusa i kosinusa, npr:
f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1

An
∼xi
cos(nx)
∼ˆei
+Bn sin(nx)

 (2.23)
Definicija 17. Neka je f : I → R, tada je
L1
(I) =
{
f : I → R |
∫
I
|f| < ∞
}
(2.24)
prostor integrabilnih funkcija.
L2
(I) =
{
f : I → R |
∫
I
|f|2
< ∞
}
(2.25)
prostor kvadratno integrabilnih funkcija (Hilbertov prostor).
Funkcija je toˇcka u apstraktnom v.p., sinusi i kosinusi su baze tog v.p. pa promatramo ko-
nvergenciju u tom vektorskom prostoru.
Kada kažemo da je funkcija integrabilna mislimo u smislu Lebesguea, ne Riemanna. Kod
Riemannovih integrala su nam bitne Darbouxove sume, dok su Lebesgueovi integrali integrali
u obliku skupa.
58

64. Definicija 18. Ortogonalna funkcija je ona ˇciji je skalarni produkt jednak nuli
( f, g) = 0 ⇒ f ⊥ g (2.26)
Na simetriˇcnom intervalu sve parne funkcije su okomite na neparne, zato je njihov integral
jednak nuli.
Definicija 19. Karakteristiˇcna funkcija (slika 16):
χI(x) =
{
1, x ∈ I
0, x I
(2.27)
1
0 a b
Slika 16: Karakteristiˇcna funkcija χI(x)
Definicija 20. Mjera, na skupu, je naˇcin na koji pridružujemo svakom prikladnom podskupu
broj. Intuitivno tumaˇceno kao veliˇcina podskupa (generalizacija duljine, površine, volumena
. . .).
∫
4
χI(x) = |a − b| (2.28)
2.1.3 Skup mjere nula
Definicija 21. Skup mjere nula je takav dio R pravca koji se da pokriti intervalima proizvoljno
male duljine (ε).
A = {1} ⊂
[
1 −
ε
2
, 1 +
ε
2
]
= Iε, ∀ε > 0 (2.29)
∫
4
χI <
∫
4
χIε
= ε (2.30)
d( f, g) = || f − g|| → d( f, g) = 0 → f = g, osim na skupu mjere nula (2.31)
Napomena: na predavanju je profesor išao u detalje sa ovim konceptom. Davao je primjere
kao što su Cantorov skup itd. Ja ne´cu i´ci toliko u detalje.
59

65. 2.1.4 Spuštanje okomice ili metoda najmanjih kvadrata
Kada imamo vektor (recimo da smo u (R3
), možemo ga rastaviti na komponente - okomite ⃗x⊥
i paralelne ⃗x∥.
Pitamo se: po ˇcemu je ⃗x⊥ jedinstven od svih ostalih?
Slika 17: Spuštanje okomice
⃗x⊥ je minimalna udaljenost od ⃗x i njegove projekcije na ravninu:
|⃗x⊥| = min
x
|⃗x − ⃗x∥| (2.32)
Mi želimo da naša udaljenost aproksimiranih funkcija (originalne i razvijene u red) bude
minimalna, tj. da nam konstruira minimalnu udaljenost (jaka norma).
fN =
N∑
k=1
ck ˆek; f, ˆek ∈ L2
(I) (2.33)
d(fN, f) je minimalna kad je projekcija f na ˆek, ck = (ˆek, f) optimalan izbor.
Dokaz.
d( fN, f)2
= || fN − f||2
= ( fN − f, fN − f) = (fN, fN) − 2(fN, f) + (f, f) =
=
N∑
k=1
N∑
l=1
ckcl (ˆek, ˆel)
δkl
−2
N∑
k=1
ck(ˆek, f) + (f, f) =
=
N∑
k=1
c2
k − 2
N∑
k=1
ck(ˆek, f) + ( f, f)
(2.34)
Uvjet da imamo minimum je da nam je derivacija jednaka nuli:
∂
∂ck
d( fN, f)2
= 0 ⇒ 2ck − 2(ˆek, f) = 0 → ck = (ˆek, f) (2.35)
60

66. Teorem 28. L2
(I) je beskonaˇcno dimenzionalan vektorski prostor.
Ono što nama treba, pogotovo u kvantnoj mehanici, je da su nam integrali konaˇcni. U kvant-
noj mehanici vjerojatnost nalaženja ˇcestice izražavamo preko kvadratno integrabilnih funkcija.
Da bi mogli uop´ce imati vjerojatnost integral nam ne smije divergirati.
Kako dobiti konaˇcno ako znamo da je skup realnih brojeva beskonaˇcan. Znamo da je skup
realnih brojeva neprebrojiv, ali skup racionalnih brojeva jest, a znamo da se svaki realni broj
može prikazati preko racionalnog.
Dokaz. ∃n linearno nezavisnih funkcija na L2
(I), ∀n ∈ N. Podjelimo I na n podintervala
I = I1 ∪ I2 ∪ · · · ∪ In (2.36)
koji se ne presjecaju: Ii ∩ Ij = ∅, ∀i j.
Mi tvrdimo da su karakteristiˇcne funkcije tih podintervala linearno nezavisne.
n∑
i=1
ciχi = 0 ⇒ ci = 0, ∀i = 1, . . . , n (2.37)
Pretpostavimo suprotno. ci 0 tada je:
χj(x) = −
1
cj
n∑
i j
ciχi(x) (2.38)
Što ako je x ∈ Ij? Izvrjednimo ga (znamo svojstva karakteristiˇcne funkcije):
1 = −
1
cj
n∑
i j
ci · 0 = 0 ⇒ 1 = 0 (2.39)
Imamo kontradikciju.
Znaˇci karakteristiˇcne funkcije su linearno nezavisne pa postoji n linearno nezavisnih funk-
cija na L2
(I) i pošto je n proizvoljan, n → ∞ i L2
(I) je beskonaˇcno dimenzionalan.
Lebesgueova mjera je standardan naˇcin da pridružimo duljinu, površinu ili volumen pod-
skupovima Euklidskog prostora. Lebesgueova mjera ∞ je mogu´ca no nisu svi podskupi Rn
Lebesgue mjerljivi (Cantor). Skup Q je skup mjere 0 iako je gust u R.
2.1.5 Klasiˇcan Fourierov red
Neka je f ∈ L1
(−π, π), konstruiramo:
an =
1
π
∫ π
−π
f(x) cos(nx)dx, bn =
1
π
∫ π
−π
f(x) sin(nx)dx, a0 =
1
π
∫ π
−π
f(x)dx
an = (cos(nx), f(x)), bn = (sin(nx), f(x))
(2.40)
Konstruiramo red
61

67. ˜f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
(
an cos(nx) + bn sin(nx)
)
(2.41)
˜f(x) je Fourierov red funkcije f.
Teorem 29. Jaka norma:
|| ˜fN − f|| −−−−→
N→∞
0 (2.42)
za ˜fN parcijalne sume
Smanjuje se udaljenost ˜fN i f.
Kompletna baza - kovergencija u srednjem.
( f, g) =
1
π
∫ π
−π
f(x)g(x)dx; (cos(nx), cos(mx)) = δmn; n, m ≥ 1 (2.43)
Kao što sam ve´c naglasio, funkcije promatramo kao toˇcke (ili vektore) u apstraktnom vek-
torskom prostoru, ˇcija su baza sinusi i kosinusi.
Što je u biti znaˇcenje jake norme?
Imamo funkciju f. Želimo tu funkciju razviti u Fourierov red. Red parcijalnih suma je ˜fN
(gdje je u biti ˜f F. red), kada je || ˜fN − f|| −−−−→
N→∞
0, kažemo da ˜fN konvergira u f (tj. da je ˜f = f).
Odnosno naša udaljenost d( ˜f, f) je minimalna i to je najoptimalniji izbor (spuštanje oko-
mice). Postigli smo da je udaljenost aproksimiranih funkcija od originalne funkcije minimalna.
Primjer koji smo radili na predavanju je bio razvoj kosinusa u bazi polinoma. Dobili smo
d(f, ˜fN) = 0, 003 što je veoma dobra aproksimacija.
Razlika izme ¯du ˜fN i f smije postojati samo na skupu mjere nula.
Trigonometrijske funkcije cos(mx), m ≥ 0 i sin(mx), m ≥ 1 tvore potpun ortogonalni skup
u L2
(−π, π).
Za naše izbore ak i bk je || ˜f − f|| minimalna. Funkcija mora biti periodiˇcna s periodom 2π.
Integrali ak i bk postoje samo ako je f ∈ L1
.
Nužan, ali ne i dovoljan, uvjet da Fourierova suma konvergira je da op´ci ˇclan teži u nulu.
2.1.6 Riemann-Lebesgueova lema
Lema 1. Ako je f ∈ L1
(a, b) onda je
lim
m→∞
∫ b
a
f(x) sin(mx)dx = 0
lim
m→∞
∫ b
a
f(x) cos(mx)dx = 0



lim
m→∞
∫ b
a
f(x)eimx
dx = 0 (2.44)
uvjet konvergencije je da op´ci ˇclan teži u nulu.
62

68. +
a b
-1
1
1/m
-
Slika 18: Slika uz Riemann-Lebesgueovu lemu
1/m - mjera širine jedne oscilacije - trne za sve ve´ci broj oscilacija. 1 - maksimalna visina.
Možemo pretpostaviti da je f(x) = const. Pa je lako pokazati npr. da, ako je
f(x) = χI (2.45)
integral je kao neka linearna kombinacija integrala karakteristiˇcne funkcije. Na konaˇcnom
intervalu sve kvadratno integrabilne funkcije su i integrabilne (obrat ne vrijedi).
Prostor L2
je topološki kompletan s obzirom na normu induciranu skalarnim produktom
(jaku normu). Operativno: Cauchyjevi nizovi u L2
imaju limes u L2
.
2.1.7 Inverziona formula
Zanima nas vrijedi li:
f = F −1{
F ( f)
}
(2.46)
Uzmemo parcijalnu sumu F. reda:
Sn(x) =
a0
2
+
n∑
k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) (2.47)
uvrstimo
ak =
1
π
∫ π
−π
f(t) cos(kt)dt, bk =
1
π
∫ π
−π
f(t) sin(kt)dt, a0 =
1
π
∫ π
−π
f(t)dt (2.48)
Imamo:
Sn(x) =
a0
2
+
n∑
k=1
1
π


∫ π
−π
(
cos(kx) cos(kt) + sin(kx) sin(kt)
cos(k(x−t))
)
f(t)dt


=
a0
2
+
n∑
k=1
1
π
∫ π
−π
cos(k(x − t)) f(t)dt
(2.49)
f(t) je periodiˇcna funkcija, što znaˇci da možemo "besplatno" pomicati interval po periodu
unutar integrala - ne´ce utjecati na konaˇcni rezultat.
Radimo zamjenu
63

69. t − x = t′
→ t = t′
+ x, dt′
= dt (2.50)
Sn(x) =
1
2π
∫ π
−π
f(t)dt +
n∑
k=1
1
π
∫ π
−π
f(t) cos(k(x − t))dt =
=
1
π
∫ π
−π
f(t)


1
2
+
n∑
k=1
cos(k(x − t))

 dt = zamjena varijable =
=
1
π
∫ π
−π
f(t′
+ x)
[
1
2
+
n∑
k=1
cos(kt′
)
Dn(t′)
]
dt′
(2.51)
Imamo Dirichletovu jezgru
Dn(t) =
1
2
+
n∑
k=1
cos kt (2.52)
0.5 1.0 1.5 2.0
t0
5
10
15
20
Dn t
Slika 19: Graf Dirichletove jezgre za n=19
Mathematica kod (za one koji se žele "igrati" s grafovima):
Manipulate[ Plot[1/2 + Sum[Cos[k t], {k, 1, n}], {t, 0, 10},
PlotRange -> {{0, 2}, {-4.5, 20}},PlotLabel -> "D_n(t)",
AxesLabel -> {"t", ""} ], {n, 0, 20, 1}]
Vratimo se našoj parcijalnoj sumi:
Sn(x) =
1
π
∫ π
−π
Dn(t)f(x + t)dt (2.53)
Ono što smo mi ustvari napravili je pomak ishodišta (što je legitimno zbog periodiˇcnosti
f(t)).
Zanima nas da li ´ce Fourierov red u ∞ dati originalnu funkciju.
64

70. Sn(x) =
1
π
∫ π
0
Dn(t)[ f(x + t) + f(x − t)]dt (2.54)
Jer je Dn(t) parna funkcija (što se možete uvjeriti tako da u Mathematici stavite t da vam
ide i u -x smjeru i pomaknete PlotRange).
Za n → ∞ Sn(x) → f(x) (isto možete pokazati za funkcije u Mathematici).
Primjer:
f(t) = 1, Sn(x) = 1 (2.55)
1 =
1
π
∫ π
0
Dn(t)[1 + 1]dt =
1
π
Dn(t)2dt =
π
2
=
∫ π
0
Dn(t)dt
(2.56)
Dobili smo normu Dirichletove jezgre.
Teorem 30. Neka je f ∈ L1
(−π, π). Tada S n(x)
niz
→ S (x)
broj
kad n → ∞, ∀x ∈ (−π, π) ako i samo
ako ∫ π
0
g(x, t)Dn(t)dt −−−→
n→∞
0 (2.57)
gdje je
g(x, t) = f(x + t) + f(x − t) − 2S (x) (2.58)
Dokaz.
Sn(x) − S (x) =
1
π
∫ π
0
Dn(t)[f(x + t) + f(x − t) − 2S (x)]st (2.59)
2s(x) smo ubacili u integral jer znamo normu Dirichletove jezgre.
Dn(t) =
1
2
+
n∑
k=1
cos(kt) → cos(kt) =
eikt
+ e−ikt
2
(2.60)
Suma je u biti suma geometrijskog reda.
Koristimo pojam neodre ¯dene sume: Ako ∃Bk t.d. Ak = Bk − Bk−1 tada možemo re´ci da je Bk
neodre ¯dena suma za Ak (možemo izraˇcunati sumu izme ¯du bilo koje dvije granice).
b∑
k=a
Ak = Aa + Aa+1 + · + Ab−1 + Ab =
= Ba − Ba−1 + Ba+1 − Ba + · · · + Bb + Bb−1 =
= Bb − Bb−1
(2.61)
65

71. Iskoristimo tu ˇcinjenicu gore pa imamo:
2 sin
1
2
x cos(kx) = sin
(
k +
1
2
)
x − sin
(
k −
1
2
)
x
2 sin
x
2
n∑
k=1
cos(kx) = sin
(
n +
1
2
)
x − sin
x
2
/
+ sin
x
2
2 sin
x
2
[
1
2
+
n∑
k=1
cos(kx)
Dn(x)
]
= sin
(
n +
1
2
)
x
(2.62)
pa je
Dn(t) =
sin
(
n + 1
2
)
t
2 sin t
2
(2.63)
t 2mπ, m ∈ Z
Tada naš kriterij za Sn(x) = S (x) za n → ∞ postaje
1
π
∫ π
0
sin
(
n + 1
2
)
t
2 sin t
2
g(x, t)dt −−−→
n→∞
0 (2.64)
po Riemann-Lebesgueovoj lemi (2.1.6).
Stoga je
Sn(x) − S (x) = 0 ⇒ Sn(x) = S (x) za n → ∞ (2.65)
x je fiksan pa to konvergira po toˇckama.
Ono što nas sljede´ce zanima je da li je
g(x, t)
2 sin(t/2)
(2.66)
integrabilna funkcija?
2.1.8 Princip lokalizacije
Teorem 31. Neka je f ∈ L1
(−π, π) s periodom 2π i x ∈ (−π, π). Tada S n(x) → S (x) kada
n → ∞ ako i samo ako za neki r ∈ (0, π] vrijedi
∫ r
0
g(x, t)Dn(t) −−−→
n→∞
0 (2.67)
r je proizvoljno malen ( 0) i konaˇcan. Dovoljna nam je samo mala r okolina toˇcke x. Da
bi nam Sn(x) konvergirao po toˇckama S (x) treba konvergirati u (x − r, x + r) → |x − x0| < r
66