La bibbia del calcolo mentale rapido.pdf

La bibbia del
calcolo mentale
rapido
di Danilo Lapegna
Trasforma il tuo cervello in un calcolatore elettronico e
trionfa in qualunque sfida!
ESTRATTO GRATUITO
Nuova edizione GEM

I - Il tuo migliore “ritorno sull’investimento” di sempre ...............1
II - 5 strategie per migliorarti la vita grazie alla matematica.........2
Gioca a “modellare quantitativamente”....................................................................................5
Misura laddove nessun altro lo farebbe ....................................................................................5
Migliora la qualità dei tuoi “strumenti di misura” quotidiani ................................................6
Laddove i numeri “non perdonano”, rendili tuoi alleati ........................................................8
Ragiona più spesso in termini di costi-benefici .......................................................................9
III - Tre passi fondamentali..........................................................12
1 - Mantieni l’atteggiamento giusto.........................................................................................12
2 - Alleati con la tua memoria ..................................................................................................15
3 - Rinforza e potenzia le tue basi ...........................................................................................19
Le proprietà fondamentali delle operazioni aritmetiche ......................................................20
Dividere o moltiplicare per 10, 100, 1000 e altre potenze di 10 .........................................22
Le tavole dell’addizione e della moltiplicazione da 0 a 9......................................................24
Tavola delle addizioni 0 + 0 / 9 + 9 .......................................................................................25
Tavola delle moltiplicazioni 0 x 0 / 9 x 9 ...............................................................................25
IV - Moltiplicare istantaneamente con le dita ..............................28
V - Matematica e saggezza Hindu ...............................................33
VI - Comporre, scomporre e BlackJack........................................39
Ricerca di decine e quadrati......................................................................................................39
Prestiti ..........................................................................................................................................40
Scomposizione............................................................................................................................42
VII - La colonna magica...............................................................47
VIII - Cenni di teoria dei giochi ...................................................53
IX - Spacca, semplifica e risparmia ..............................................64
Scomposizione in addendi........................................................................................................65
Scomposizione in fattori ...........................................................................................................66
Scomposizione in espressioni...................................................................................................70
X - Il mondo dei “numeri d’oro” ..................................................78

φ ....................................................................................................................................................79
3.....................................................................................................................................................81
9.....................................................................................................................................................82
11 ..................................................................................................................................................85
37 ..................................................................................................................................................88
143 ................................................................................................................................................89
666 ................................................................................................................................................89
1089..............................................................................................................................................91
2025, 3025, 9801.........................................................................................................................91
3367..............................................................................................................................................92
6174..............................................................................................................................................92
37.037...........................................................................................................................................93
142.857.........................................................................................................................................93
12.345.679....................................................................................................................................94
1.016.949.152.542.372.881.355.932.203.389.830.508.474.576.271.186.440.677.966 .......94
XI - Moltiplicazione rapida dall’inferno .......................................96
Moltiplicazione x11....................................................................................................................99
Moltiplicazione x12..................................................................................................................101
XII - Verticalmente e in croce......................................................111
XIII - Quella prodigiosa connessione .........................................115
Numeri di due cifre, in cui le decine (o le unità) sono uguali tra loro, mentre le altre, se
sommate, danno 10..................................................................................................................115
Numeri compresi tra 11 e 19..................................................................................................118
Numeri equidistanti da un intero...........................................................................................118
Numeri vicini a una potenza di 10 ........................................................................................120
Una tabellina riepilogativa, e qualche esercizio....................................................................124

XIV - Moltiplicazione grafica cinese...........................................128
XV - La croce scorrevole .............................................................136
XVI - Viaggi, sconti ed elezioni ..................................................148
Arrotondamento, nichilismo, ed errori “catastrofici” ........................................................151
“Condanna” della virgola e scomposizione in espressioni................................................155
Scomposizione in addendi......................................................................................................157
Scomposizione “in percentuali” ............................................................................................160
Sfrutta questi metodi per svolgere moltiplicazioni rapide senza virgola! ........................162
I decimali del viaggiatore ........................................................................................................162
Come triplicare il proprio capitale.........................................................................................164
Sconfiggiamo un ultimo “mostro”........................................................................................167
XVII - Risposte multiple e giochi d’azzardo...............................174
Valore atteso, e due modi per prevedere i fenomeni del mondo......................................176
Dadi, monete, e altre “eredità” del secolo scorso ...............................................................179
Negazioni, coincidenze e mutue esclusioni..........................................................................181
Casinò e risposte multiple.......................................................................................................182
Quando insistere per “ruotare il tamburo”? ........................................................................186
XVIII - Stima e prova del 9..........................................................192
Stima: arrotondamento con zeri ............................................................................................194
Stima: sostituzione con frazioni.............................................................................................195
Prova del 9 per addizione e sottrazione................................................................................196
Prova del 9 per la moltiplicazione .........................................................................................198
Prova del 9 per la divisione.....................................................................................................199
XIX - 10 strategie per i quadrati… e una per salvarti la vita.......203
1 - Imparare i quadrati base....................................................................................................205
2 - Sfruttare la tecnica di moltiplicazione dei numeri tra 11 e 19 .....................................206
3 - Strategia per i numeri che finiscono per “1”..................................................................207
4 - Strategia per i numeri che finiscono per “5”..................................................................208
5 - Strategia per i numeri che finiscono per “25”................................................................208
6 - Strategia per i numeri che iniziano per “5” ....................................................................209
7 - Sfruttare la tecnica di moltiplicazione degli equidistanti da un intero .......................210

8 - Sfruttare la vicinanza con un altro quadrato..................................................................211
9 - Sfruttare la tecnica di moltiplicazione mentale per numeri di due e tre cifre ...........212
10 - Sfruttare la tecnica di moltiplicazione per numeri vicini a una potenza di 10........214
XX - Radice quadrata, cubica e… tredicesima!..........................219
Individuare un quadrato non perfetto ..................................................................................220
Approssimare rapidamente la radice quadrata: due modi..................................................220
Trucchi per la radice cubica e la radice quinta.....................................................................222
La radice tredicesima?..............................................................................................................225
XXI - Strumenti dal mondo dei numeri......................................228
Stimare, con Gauss ..................................................................................................................229
Un calendario mentale.............................................................................................................230
Capire quando dire di sì ..........................................................................................................231
Peso ideale, o quasi ..................................................................................................................233
Incontri ravvicinati ipotetici ...................................................................................................233
Mazzi di carte cosmici.............................................................................................................234
Risparmiare e stare meglio, con la regola del 33%..............................................................237
Gestire il caos............................................................................................................................238
Conclusioni..................................................................................240
Ma c’è di più… ............................................................................241
L'autore .......................................................................................248
Bibliografia e approfondimenti...................................................249
Appendice: Tabella dei numeri primi dà 2 a 5000.......................250
Disclaimer ...................................................................................254

I - Il tuo migliore “ritorno
sull’investimento” di sempre
Sempre più professori, studiosi e ricercatori, come il Prof. Jo
Boaler della Stanford University, il Dr. Keith Devlin, noto come
“The Math Guy” su NPR, e la Prof.ssa Carol Dweck, autrice di
“Mindset: The New Psychology of Success”, concordano ormai con il
fatto che il tradizionale metodo scolastico di insegnamento della
matematica, si tratti essa di aritmetica, algebra o analisi, presenti
moltissimi problemi strutturali. Secondo loro, e molti altri nel
campo dell'educazione matematica, come il Prof. Paul Lockhart,
autore di “A Mathematician's Lament”, e il Prof. Conrad Wolfram,
fondatore di Computer-Based Math, questo metodo nella
maggioranza dei casi non aiuta gli studenti a navigare la materia in
un modo che risulti abbastanza interessante, approfondito o che
sia di valore per affrontare il mondo.
Se poi, nello specifico, vogliamo parlare di un caso come quello
dell’Italia, è ormai sempre più evidente che le mancanze dei nostri
programmi scolastici sono la principale causa del diffondersi virale
di un vero e proprio analfabetismo matematico, unito spesso a un
discreto odio per tutto quanto abbia a che fare con numeri,
polinomi e operazioni aritmetiche.

Se dovessi, in particolare, fare un riassunto dei problemi che
sembrano chiaramente emergere dalla nostra istruzione
matematica, potrei dire che:
Viene incentivata troppo poco la creatività individuale:
spesso a scuola infatti si tende a insegnare che “il metodo è quello
e basta” e, come tale, ogni cosa deve essere sempre calcolata allo
stesso modo, senza mai discuterne la procedura precostituita. È
una scuola che, per usare una frase magari banale ma sicuramente
vera, offre troppe risposte anziché insegnare a farsi domande, e questo non
può che produrre automi, per coloro che decidono di
“abbracciarne” il meccanismo, e totale alienazione per coloro che
comprensibilmente lo rifiutano.
Proprio perché tuttavia sono consapevole dell’enorme potere
“trasformativo” ed educativo del farsi le giuste domande, ho
pensato di congegnare questo libro con lo scopo di “sfasciare
definitivamente”, e del tutto, questa visione chiusa e limitante della
materia, e fare il possibile per trasformarla in una vera e propria sfida
strategica, profondamente creativa, intellettualmente stimolante e, mi sentirei
di dire, per questo spesso anche incredibilmente divertente.
Viene demonizzato (o almeno, viene data poca importanza
a) il concetto di “trucco” matematico: come detto nel punto
precedente, le procedure matematiche “standard” sono
mascherate da unica via possibile, arrivando a nascondere alla
conoscenza “comune” la verità che diversi tipi di operazioni
aritmetiche, algebriche o analitiche sono calcolabili attraverso veri
e propri “stratagemmi”; dei, come mi piace chiamarli, “hacks” che
per i meno puristi potrebbero assumere la connotazione di “vile
trucco”, ma in realtà sono semplicemente delle “scorciatoie”
rapide, efficaci, e spesso intriganti con cui giungere al risultato.
Chiaro che “adottare delle scorciatoie” offre sempre la sua lista di
pro e contro, ma qui il punto non è tanto quello di esaminare tutte
le conseguenze pratiche, o etiche, del ragionare in termini di
“stratagemma”, quanto offrire a chi guarda alla materia una
ricchezza tale di strumenti da allenarsi a strategie di problem solving
che contemplino la valutazione di connessioni, possibilità,
alternative, anziché l’adozione acritica di una qualche
predeterminata “via unica”.

Non si presta alcuna attenzione all’importanza
dell’espressione individuale: troppe persone avvertono una vera
e propria “estraneità” rispetto ad alcuni concetti aritmetici anche
perché la rigidità metodica di cui si è parlato impedisce a ognuno di
esprimersi in base alla propria essenza, ai propri gusti e alle proprie naturali
predisposizioni.
Ed è qui che interverrà, ancora una volta, l’impostazione di questo
libro, profondamente orientata all’espressione personale e
all’acquisizione di strategie di calcolo multiple, grazie alle quali
comincerai a operare ogni volta secondo ciò che ti risulta più
comodo, congeniale e… tuo!
Si parla poco e nulla dell’enorme utilità pratica della
matematica, sia in termini competitivi, che di comprensione
del mondo: al di là della capacità di calcolarti più rapidamente il
conto al ristorante, dell’enorme valore aggiunto che avrai di fronte
a qualunque concorso o test di verifica, o del potenziale sviluppo
delle tue aree cerebrali associate a ragionamento e memoria di
lavoro (come d’altronde suggerito da studi come The Impact of
Achievements in Mathematics on Cognitive Ability in Primary School
(2022), o Neuroscience of learning arithmetic-evidence from brain imaging
studies (2009); il che già di per sé, mi sentirei di dire, offre un valore
assolutamente enorme), in questo libro scoprirai che la matematica
può fornirti tantissimi strumenti pratici utili per “navigare al
meglio” nei più svariati domini della vita quotidiana.
La matematica d’altronde, come recitava Galileo, è l’alfabeto primo
delle leggi fisiche che regolano la nostra realtà, l’evolvere dei
fenomeni, e persino l’incertezza che li caratterizza; pertanto
“armonizzarsi” ulteriormente con queste leggi, comprenderle,
farle proprie può aiutare anche a comprendere meglio tale realtà,
divenire in teoria più efficaci sulla stessa e ottenere le basi con cui
acquisire una conoscenza più profondamente scientifica, fattuale e
lontana da pensieri o credenze di stampo “magico”.
Vale anche la pena sottolineare come la matematica sia diventata,
per ovvia proprietà transitiva, il carburante fondamentale di ogni

meraviglia tecnologica del nostro mondo contemporaneo.
Computer e tablet non sarebbero mai potuti nascere se due
matematici come John Von Neumann e Alan Turing non avessero
gettato le basi matematiche dei primi calcolatori. Internet non
sarebbe mai potuto esistere se nessuno avesse sviluppato i principi
matematici alla base della teoria delle reti. E i motori di ricerca e le
AI non sarebbero mai potuti nascere senza le equazioni, gli
algoritmi, i metodi che consentono di ordinare e classificare in
maniera sistematica un qualunque insieme di dati caotici. Non per
nulla gli inventori di Google, e rivoluzionari del mondo moderno,
Larry Page e Sergey Brin, sono entrambi laureati in matematica. E
con questo non voglio certo affermare che ogni lettore o lettrice
di questo libro finirà con il fondare la nuova Google, ma allo
stesso modo sono assolutamente sicuro che una maggiore
padronanza matematica in un mondo che viaggia su queste
frequenze può aiutare ognuno di noi a essere più protagonista e
meno spettatore delle complessità del nostro mondo.
Infine, non si può non evidenziare il rapporto “indissolubile” tra
conoscenza matematica e competenza economico-finanziaria; il
che non si riferisce solo all’importanza della matematica nel
maturare la giusta capacità per pianificare investimenti in modo
consapevole, ma anche al modo in cui essa può influenzare in
positivo l’amministrazione delle spese quotidiane. Il che sono
sicuro interessi sostanzialmente a chiunque, visto il modo in cui il
fattore “gestione del denaro” è centrale nell’esistenza di ognuno di
noi, rappresentando spesso anche una delle più rilevanti e
impattanti fonti di quotidiano stress.
Le evidenze, insomma, parrebbero suggerire che ogni singolo
minuto di tempo speso per migliorare la qualità delle proprie
capacità e della propria conoscenza matematica rimane uno dei
migliori ritorni sull’investimento che potrete mai fare. E così, con
l’intento di comunicare in particolare al cuore di curiosi,
“sperimentatori intellettuali”, ma anche di genitori che vogliono
acquisire strumenti efficienti e divertenti con cui “alfabetizzare
matematicamente” i propri figli, ho lavorato mesi per mettere
insieme questo volume. Il libro che state leggendo in questo
momento rappresenta infatti, probabilmente, una delle raccolte

più complete che potrete mai trovare, sul tema di strategie di
calcolo istantaneo, “filosofia” della matematica, storie di
“bellezza” nel mondo numerico, pillole di storia e tutto ciò che di
affascinante, interessante e utile è possibile incontrare in questo
vasto universo. Ogni sezione di libro, oltre ad analizzare diversi
aspetti della materia, sarà corredata da un insieme di storie,
connotazioni filosofiche, applicazioni pratiche, quotidiane e anche
ludiche di tutto quanto visto fino a quel momento. Inoltre, per
tutti coloro che avranno voglia di approfondire ulteriormente il
lato funzionale e “quotidianamente remunerativo” di questa
disciplina ho preparato una sezione aggiuntiva di sole “formule
utili per la vita di tutti i giorni”, presente alla fine del libro.
Sentitevi liberi di andare a sfogliarla ogniqualvolta avvertite il
desiderio di scoprire qualche interessante “life-hack” (trucco per la
vita? Sì, alcuni concetti veramente non rendono per nulla bene se
tradotti in italiano) e strumento pratico per affrontare e pianificare
al meglio le vostre giornate.
Nota finale dell’autore: visto che molti di voi potrebbero partire da
una condizione di “sostanziale ostilità” nei confronti della materia,
mi sentirei di incoraggiarvi ad approcciare questo libro con una
mentalità che comprenda il prendersi tutto il tempo necessario per
“digerire”, comprendere e imparare ad applicare le informazioni
che sono contenute pagina per pagina. Non pensare troppo ad
“arrivare alla fine”, ma prova a goderti il percorso, a farne una
palestra per la mente. La meta reale, infatti, non potrà mai essere
nella “fine” del libro o di un capitolo, ma nel percorso che saprai
delinearti, e nel tuo trarre da tale percorso una sempre maggiore
conoscenza e competenza. Per cui fermati, rifletti, sperimenta,
prova ad applicare nella vita di tutti i giorni ciò che vi leggi. Riponi
il tuo libro per qualche giorno, se senti la necessità di prenderti
una pausa, e riprendilo quando avrai voglia di imparare qualcosa di
nuovo. Fai di questo volume un amico, prezioso alleato, un
compagno di viaggio nel tuo percorso di crescita intellettuale.
Ma arrivati a questo punto, non mi resta che concludere la sezione
introduttiva e augurarti che da questa lettura tu possa trarre tutto il
meglio, sia ciò un desiderio di apprendimento, una sfida mentale o
la mera soddisfazione di una curiosità intellettuale. In bocca al

lupo! E ricorda: se hai dei feedback per noi, proposte, richieste,
suggerimenti, scrivici a info@kintsugiproject.net
Danilo Lapegna

II - 5 strategie per migliorarti
la vita grazie alla
matematica
Quello di contare e misurare è un atto che vive in simbiosi con le
più comuni faccende della nostra quotidianità. Quante ore di
sonno ci vogliono per sentirci completamente riposati, la nostra
percentuale di grasso corporeo ottimale, il tempo richiesto per
sbrigare quelle pratiche, i chilometri alla fine dei quali sarà esaurito
il nostro serbatoio di benzina, sono tutti esempi di problemi che
inevitabilmente ognuno di noi si pone nella propria quotidianità e
che richiedono, in teoria, soluzioni ottimali ed efficaci.
Dopotutto chiunque di voi dovrebbe essere ben consapevole di
abitare all’interno di un vasto sistema che è letteralmente governato
dalla matematica: come accennato più volte nell’introduzione,
siamo “inevitabilmente” parte di un universo in cui ogni aspetto,
dalle grandezze fisiche alle variabili economiche, è in costante
mutamento, e ogni fluttuazione è costantemente regolata da leggi
matematiche intrinseche.
Allo stesso modo però, troppo spesso ci dimentichiamo di questa
realtà, e pertanto dell’importanza del ragionare più spesso da un

punto di vista quantitativo; per quanto infatti ci troviamo immersi
in un universo di natura matematica, il nostro cervello non sembra
strutturato per affrontare facilmente o immediatamente i problemi
in maniera quantitativa, ragionando spesso più per idee e significati
che per numeri o quantità. Il nostro intelletto si è d’altronde
evoluto prevalentemente in un contesto preistorico in cui la
matematica formale non esisteva; e come è facile immaginarsi, questi
contesti erano spesso estremamente ostili, e generavano
costantemente situazioni in cui era necessario effettuare decisioni
rapide e basate, piuttosto che su calcoli precisi, su interpretazioni
molto generali e intuitive del mondo circostante.
E così, ancor oggi, questo si ripercuote anche nella nostra capacità
innata di lettura del mondo e conseguente pianificazione di
soluzioni ai nostri problemi; per esempio, quando dovremo
prendere decisioni complesse, come quelle economiche o
strategiche, tenderemo a basarci su opinioni, intuizioni o verità
“impulsivamente suggerite” anziché su analisi quantitative
dettagliate. Ma soprattutto passeremo troppo facilmente, nelle
situazioni di vita reale, da un estremo all’altro: non essendo infatti
sempre pronti a negoziare con le complessità “quantitative” del
mondo, tenderemo troppo spesso a ragionare come se fossimo
degli “interruttori viventi”, delle macchine che capiscono solo gli
“0” e gli “1”, i “si o no”, gli “acceso o spento”; e quindi finiremo
con l’adottare soluzioni, ci uniremo a fazioni, prenderemo parte a
idee perché “buone” o “cattive”, non perché ne consideriamo le
sfumature, le necessarie gradazioni di significato, i possibili costi
comparati ai benefici, e in che modo questi impattano nel contesto totale.
Pertanto, nel rifuggire queste complessità, è probabile che vivremo
di continue delusioni, di emozioni violente, di passaggi “rovinosi”
tra fasi di vita in cui ci sembrerà di non avere nessun vero “centro
di gravità” a cui appigliarci.
Imparare così a ragionare maggiormente da un punto di vista
quantitativo, e quindi imparare più spesso a misurare, valutare,
calcolare le quantità coinvolte, adattarsi a sfumature e gradazioni,
può offrire tanto una maggiore efficienza, e quindi una maggiore
probabilità di ottenere di più con meno, quanto una migliore gestione

generale delle complessità che dovremo inevitabilmente affrontare,
siano esse economiche, affettive, emotive.
Quanto detto finora, facciamo molta attenzione, non vuol dire
sconfinare nell’ossessione per la razionalizzazione o misurazione
di ogni aspetto della realtà. Né che ogni attimo della nostra
esistenza dovrebbe essere costretto al giogo di esperimenti,
raccolte dati e calcoli infiniti: il rischio di perseguire una tale
mentalità infatti, nel migliore dei casi, sarà quello di imprigionarsi
in un’eterna condizione di analysis paralysis, in cui è tutta una
continua computazione e non riusciamo a combinare mai nulla di
concreto. Le decisioni intuitive, irrazionali, le scelte prese con una
mentalità di “pura” sperimentazione e improvvisazione sono
assolutamente fondamentali per condurre una vita che sia sana,
equilibrata e “intelligentemente produttiva”. Tuttavia rimane il
fatto che, a volte, quando si percepisce una chiara necessità di
ottenere migliori risultati in un campo, una più salda “stretta”
matematica su di esso, un maggiore capire quali quantità sono
coinvolte, misurarle, valutare i risultati e agire sulla base di questi ultimi,
può portarci con molta più semplicità a ottenere ciò che vogliamo.
Dopotutto se guardiamo a qualunque grande successo, per
esempio nel campo economico e aziendale, nessuno di essi (salvo
magari rarissime eccezioni) è avvenuto a seguito di un insieme di
decisioni prese a istinto o a casaccio. Piuttosto, ogni grande
prodotto o servizio è stato figlio di decisioni “vincenti” avvenute a
seguito del lavoro di veri e propri “professionisti della
misurazione”; dietro molte delle cose di cui fruiamo con
soddisfazione ogni giorno, c’è stato infatti tutto un lavoro di
misurazione e valutazione su fattori come i potenziali rendimenti delle
nicchie di mercato, costi di produzione, e tutti quei KPI (per chi
non lo sapesse, Key Performance Index, ossia indici di misurazione di
performance) ritenuti rilevanti per stabilire l’avvicinarsi o meno
agli obiettivi considerati significativi.
Ma come potremmo, quindi, agire per migliorare effettivamente la
qualità dei nostri pensieri, delle nostre azioni (e… della nostra
vita?) attraverso l’applicazione di questi principi? Ecco qualche
linea-guida, e qualche piccolo “gioco mentale” che potrebbe
risultarci estremamente utile:

Gioca a “modellare quantitativamente”
Il concetto suggerito dal titolo è abbastanza importante, visto che
lo rispolvereremo anche più avanti quando parleremo di analizzare
situazioni attraverso la teoria dei giochi e della probabilità.
Tuttavia, per adesso, prova a farlo tuo da un punto di vista più
generico, prendendolo come una “sorta di gioco” da applicare a
una qualunque situazione della tua vita reale. Se per esempio ci
sono tre azioni che ti fanno stare particolarmente bene, invece di
pensarle semplicemente come “buone”, “ottimali”, prova a stimare
la quantità del beneficio che senti di riceverne. Per esempio potresti
assegnare a ognuna di esse un voto da uno a dieci, o da uno a cento.
Quando si ha davanti un numero, l’informazione, sebbene possa
uscire semplificata dal processo di modellizzazione, diventa più
facile da processare e comparare a informazioni simili. Per
esempio, dopo aver dato a ognuna delle “tre cose che più ami
fare” un voto, potresti renderti conto del fatto che magari una di
esse vale per te molto più delle altre, così da deciderti di
focalizzarvici per una maggiore quantità di tempo. Oppure,
potresti vedere che ognuna di esse ti gratifica allo stesso modo, e
conseguentemente decidere di dividervi il tuo tempo equamente.
L’importante, tuttavia, qui non è tanto focalizzarsi sull’azione da
prendere di conseguenza, quanto “addestrarsi” un po’ più spesso a
ragionare con le quantità coinvolte nei nostri processi quotidiani.
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La pillola storica
Si può supporre che la matematica sia nata insieme alla necessità stessa
dell’uomo di contare e misurare. I primi segni di “matematica” infatti, se così la
possiamo chiamare, risalgono al periodo del Paleolitico, quando gli esseri umani
hanno iniziato a contare le pietre, segnando con delle incisioni le quantità di ciò di
cui reputavano utile tenere traccia, come provviste, stelle, giorni e probabilmente
anche nemici.
Ma forse la matematica vera e propria, come la conosciamo oggi, ha avuto le sue
vere origini attorno ai 5000 anni fa, un’epoca in cui l’umanità iniziava a stabilirsi
in grandi comunità agricole e nascevano i primi regni e le prime città. In questa
nuova realtà sociale, l’arte del calcolo divenne infatti indispensabile per attività
come la gestione dei raccolti, la costruzione di edi
fi
ci, la tassazione e l’astronomia.
Le prime testimonianze di una reale “arte matematica”, infatti, provengono da
culture antiche come quella mesopotamica, egiziana e indiana. Le tavolette
d'argilla sumeriche, ad esempio, documentano già l’uso di sistemi numerici molto
complessi, mentre le piramidi egizie stesse testimoniano una notevole
comprensione della geometria.
L’aforisma
“Il motore dell’invenzione matematica non è la ragione ma l’immaginazione.
(A. De Morgan)
La “stramberia matematica”
La legge di Benford è un fenomeno statistico “sorprendente" che appare in molti
insiemi di dati naturali: l'elenco dei
fi
umi più lunghi del mondo, le popolazioni
delle città, i dati sui terremoti, e molti altri. Tale legge infatti stabilisce che, in
molti di questi insiemi, la cifra iniziale "1" appare come prima cifra molto più
spesso di quanto ci si aspetterebbe se le cifre fossero distribuite in modo
uniforme. In particolare, "1" tenderebbe a essere la prima cifra circa il 30% delle
volte. Questo fenomeno, inoltre, può essere usato per rilevare la frode nei dati
fi
nanziari o elettorali, poiché dei numeri “arti
fi
cialmente fabbricati" spesso non
seguono la legge di Benford.

VII - La colonna magica
Ripetiamo una cosa fondamentale a proposito dei metodi di
calcolo: un metodo di calcolo ne guadagna enormemente in
rapidità e in efficacia laddove è studiato in modo tale da
costringere il cervello a memorizzare il minor numero possibile di
informazioni.
Ipotizziamo quindi, per assurdo, di dover calcolare a mente
l’operazione che segue:
989+
724+
102+
670+
112=
Se dovessimo effettuare l’addizione a colonna con il metodo
tradizionalmente imparato a scuola, dovremmo sommare prima
separatamente le unità e poi le decine e le centinaia, tenendo man
mano a mente diversi riporti indispensabili per il risultato finale. Il
che, specialmente se non abbiamo la possibilità di riportare
momentaneamente i risultati parziali su un foglio di carta, rischia
di essere davvero un’impresa complicatissima.

Proprio per questo, in caso di addizioni a colonna da svolgere
interamente a mente, possiamo utilizzare la tecnica della “colonna
magica”, che ci consentirà di ridurre al minimo i numeri da tenere
a mente. Ecco come funziona:
• Invece di partire dalle unità, come faresti per una normale
addizione a colonna, parti in alto a sinistra, scendi, e somma
man mano tra loro tutti i numeri sulla stessa colonna di sinistra,
facendo attenzione a tenere a mente di volta in volta solo i
risultati parziali della somma. Nel caso dell’addizione a colonna
illustrata poco sopra, quindi man mano che discendi la colonna
ti ritroverai con: “9 (+ 7 =), 16 (+ 1 =), 17, 23, 24” (e qui per
svolgere le operazioni parziali ci si può agevolmente aiutare con
alcune tra le tecniche illustrate nel capitolo precedente).
• Hai terminato le operazioni sulla colonna più a sinistra e il tuo
risultato parziale è 24. Ora spostati di una colonna verso destra
(in questo caso, la colonna nel mezzo), prendine la prima cifra,
mettila a destra del precedente risultato parziale (in questo caso
quindi avresti 24_8) e, lasciando momentaneamente intatto il
vecchio risultato parziale, somma man mano a questa cifra le
altre cifre sottostanti nella sua stessa colonna. Quindi,
riprendendo sempre lo stesso esempio, ripeti in mente: “24_8,
24_10, 24_10, 24_17, 24_18”. Solo se poi, come in questo caso,
alla fine della somma ti ritrovi con un numero maggiore di 10,
mettine nel nuovo risultato parziale solo le unità e addiziona le
decine alla cifra più a sinistra. Il tuo nuovo risultato parziale
pertanto è 24_18 = 258, dopo aver riportato l‘1 del 18 nel vicino
24. Siamo vicini al risultato finale.
• Prendi ancora una volta il risultato parziale della vecchia colonna
e apponivi il numero più in alto della colonna più a destra (in
questo caso quindi hai 258_9). Poi comportati esattamente
come ti sei comportato con la colonna precedente: lascia intatto
il vecchio risultato parziale, somma le cifre di quella colonna tra
loro e aggiungi il riporto solo alla fine. In questo caso quindi
avrai: “258_9, 258_13, 258_15, 258_17 = 2597”. Non ci sono
altre colonne a destra e così questo è il risultato finale.

Abbiamo quindi ottenuto il risultato finale in maniera
straordinariamente rapida ed efficace, dovendo tenere a mente di
volta in volta un solo numero e senza prestare alcuna attenzione ai
riporti parziali.
Chiaramente qualora dovessimo incolonnare numeri composti da
un differente numero di cifre, dovremmo:
• Allineare le unità con le unità, le decine con le decine, etc.
• Comportarci come se gli spazi vuoti, inevitabilmente presenti
alla sinistra dei numeri più piccoli, fossero composti da tanti
“zeri”. Per semplificarci le cose potremmo addirittura mettere
degli zeri a sinistra dei numeri più piccoli, così da ritrovarci con
numeri composti dallo stesso numero di cifre.
Facciamo ora un altro esempio per fissare meglio il metodo.
Poniamo di dover calcolare 1341 + 450 + 2451 + 888 + 9872.
Come prima cosa, incolonniamo i numeri e, per semplicità,
mettiamo uno “0” alla sinistra dei numeri composti da tre cifre:
1341+
0450+
2451+
0888+
9872=
• Partiamo da sinistra e abbiamo: “1, 3, 12”. Il risultato parziale
quindi è 12.
• Andando verso destra abbiamo: “12_3, 12_7, 12_11, 12_19,
12_27”. Il risultato parziale quindi è 147.
• Andando ancora verso destra abbiamo: “147_4, 147_9, 147_14,
147_22, 147_29”. Il nuovo risultato parziale quindi è 1499.
• Operando sull’ultima colonna abbiamo: “1499_1, 1499_2,
1499_10, 1499_12”. Riportando l‘1 due volte quindi il risultato
finale sarà 15.002.

Mostra ai tuoi amici di essere in grado di risolvere addizioni in
colonna simili completamente a mente, ma senza rivelare la
strategia che usi! Sono sicuro che, se ti alleni a svolgere le somme
parziali in maniera rapida e senza errori, il risultato “scenico” sarà
di grandissimo effetto!
Se poi vuoi passare al “livello successivo” e migliorare
ulteriormente le tue prestazioni di calcolo, puoi fare due cose:
• Esercitarti a operare con i numeri senza necessariamente
incolonnarli
• Lavorare ancora più rapidamente operando su più colonne
contemporaneamente.
Quanto al secondo punto, facciamone un esempio pratico per
spiegare di cosa parliamo. Poniamo di avere:
561+
343+
912+
134+
451=
Sappiamo ormai come operare colonna per colonna, ma se
volessimo velocizzare ulteriormente i calcoli potremmo:
• Partire sempre da sinistra, ma sommare stavolta
contemporaneamente i numeri a due cifre delle prime due
colonne, e quindi cominciare con “56, (+ 34 =) 90, (+ 91 =)
181, 194, 239”
• Operare regolarmente sull’ultima colonna con “239_1, 239_4,
239_6, 239_10, 239_11”. E il risultato finale infatti è proprio
2401.
Questo chiaramente è il passo successivo, che sarai in grado di
realizzare solo dopo che avrai allenato sufficientemente la tua
elasticità mentale con le addizioni a due cifre (anche grazie alle

strategie del capitolo scorso) e avrai raggiunto piena padronanza
innanzitutto della tecnica sulla colonna singola.
Gli esercizi, per consolidare la tecnica. Prova a svolgere,
completamente a mente, le seguenti addizioni in colonna:
176 +
384 +
592 = ?
438 +
291 +
127 +
954 = ?
125 +
397 +
582 +
614 +
328 = ?
143 +
285 +
392 +
614 +
582 +
731 = ?
1238 +
4591 +
3827 +
5264 = ?
1423 +
3982 +
5861 +
2741 +
6938 = ?

La pillola storica
Non si può non menzionare, nell’ambito della storia matematica, la Scuola
Pitagorica che, fondata da Pitagora nel VI secolo a.C., ha introdotto l'idea che i
numeri e la geometria potessero essere utilizzati per spiegare il mondo in termini
razionali e logici. I Pitagorici infatti credevano che “tutto fosse numero”,
sottolineando la credenza che il mondo potesse essere compreso attraverso la
matematica; il che, se si pensa al modo in cui la
fi
sica, e le regole matematiche alla
sua base, ci hanno consentito di comprendere a fondo le regole dell’universo, è
un concetto
fi
loso
fi
co straordinariamente contemporaneo, in grado di navigare
“inossidabile” attraverso i millenni, e di giungere sostanzialmente intatto
fi
no ai
giorni nostri. Si deve inoltre ai pitagorici i fondamenti della “scoperta” secondo
cui i suoni armoniosi corrispondevano a rapporti semplici tra le lunghezze delle
corde che vibravano, arrivando così a porre una parte rilevante delle basi per la
creazione della musica occidentale per come la conosciamo.
L’aforisma
“La matematica è come il gioco della dama, adatta ai giovani, non troppo dif
fi
cile,
divertente e senza alcun pericolo per lo stato.”
(Platone)
I pitagorici reputavano che il numero 1 non fosse né pari né dispari, ma parimpari,
in quanto generatore di tutti i numeri, pari o dispari che fossero (bastava
aggiungerlo a un numero pari per generarne uno dispari, e viceversa), e quindi
una sorta di “contenitore” ideale di entrambi i concetti.

VIII - Cenni di teoria dei
giochi
Ora che abbiamo imparato (quasi) tutto quanto fosse necessario
sapere sull’addizione e sulla sottrazione rapida, cominciamo a
parlare di una loro applicazione pratica estremamente utile,
interessante e affascinante: quella della teoria dei giochi.
La teoria dei giochi è una branca della matematica che si occupa di
studiare l’evolversi di situazioni in cui ci sono dei partecipanti che
prendono decisioni. Si tratta di un settore incredibilmente vasto e per
questo una sua trattazione completa esula dagli obiettivi di questo
testo. Tuttavia, possiamo comunque farne qualche cenno che ti
sarà sicuramente molto utile in ottica di teoria delle decisioni,
specialmente nei casi in cui ci sono anche altre persone che
potrebbero effettuare o meno determinate scelte e le stesse
potrebbero influenzare, anche significativamente, qualcosa che è
di nostro interesse.
In particolare, cominceremo facendo cenno a quei giochi dove i
decisori sono due (tu e un’altra persona, per esempio) e questi due
possono prendere decisioni all’interno di un ventaglio di due possibili
scelte. Cominciamo pertanto prendendo in analisi una variante del
“classicissimo” esempio del “Dilemma del prigioniero”:

Ci sono due uomini, A e B, che sono stati indagati per un
importante crimine e fatti prigionieri. Nessuno dei due ha la
possibilità di capire cosa farà l’altro. Però hanno DUE possibili
scelte: negare o confessare, e a seconda di cosa faranno, la polizia
si comporterà in un preciso modo. Ossia:
• Se entrambi negano di avere commesso il crimine, sarà dato un
solo anno di carcere a testa
• Se uno confessa e l’altro nega, quello che nega si prende dieci
anni di carcere, mentre chi confessa sarà libero
• Se entrambi confessano, saranno dati cinque anni di carcere a
testa.
Supponiamo ora di essere noi l’uomo “A”, e capiamo come si può
schematizzare in tabella questa situazione dal “nostro” punto di
vista.
In questa tabella alle righe corrispondono le nostre potenziali
decisioni, alle colonne le potenziali decisioni avversarie, mentre la
cella in cui si incontrano un precisa riga e una precisa colonna
corrispondono agli anni di carcere che ci verranno dati qualora
vengano effettuate quelle precise scelte (qui il numero è indicato
con segno negativo, perché gli anni di carcere sono ovviamente
considerati come “svantaggio”).
Ma a cosa ci servono addizione e sottrazione in un contesto
simile? Data una rappresentazione tabellare di certe situazioni, è
proprio attraverso queste operazioni che possiamo scegliere la
strategia con cui provare a massimizzare il nostro vantaggio.

La prima cosa da fare in questi contesti, infatti, è vedere se è il
caso di adottare una strategia dominante “pura”. Ossia se
convenga adottare sempre la stessa scelta, perché “universalmente”
più vantaggiosa dell’altra, qualunque sia l’azione compiuta
dall’altro.
In particolare, diremo che conviene adottare la strategia pura del
compiere sempre la stessa scelta quando ogni valore della riga
corrispondente a una scelta è superiore al corrispettivo valore
sull’altra riga.
In questo caso, per esempio, un approccio razionale ci
suggerirebbe che conviene sempre confessare, dato che 0 > -1, e
-5 > -10. Non per nulla, abbiamo posto il “dilemma del
prigioniero” con questi particolari valori onde mostrare come, a
volte, certi “giochi”, certe situazioni di vita denotate
dall’incertezza su cosa accadrà “dall’altra parte”, possono
comunque essere domate ricercando la “strategia dominante
pura”, l’insieme di azioni che funzionerà indipendentemente
dall’entità di questa incertezza; il che può essere molto importante,
visto come tali mancanze di dettagli sulla nostra visione futura
rischiano spesso di proiettarci in una vera e propria paralisi
decisionale.
Altre volte (e forse molto più frequentemente) lo stesso problema
viene posto invece con valori leggermente diversi, in cui
confessare conviene veramente solo se anche l’altro lo fa, ed è terribilmente
sconveniente per entrambi in caso opposto; e lo scopo è quello di
modellare e riflettere su situazioni in cui i livelli potenziali di
fiducia, comunicazione e cooperazione rappresentano un
elemento-chiave per la risoluzione ottimale di un problema. Tra le
altre cose, quest’ultimo caso è stato studiato in biologia, per
l’analisi dei comportamenti evolutivamente vincenti e, in
particolare, per cercare una possibile spiegazione su come sia
potuto emergere un comportamento altruistico e cooperativo nelle
specie animali (il “porsi con l’idea di confessare”, equivalente
dell’adottare un comportamento che si basa sulla fiducia che l’altro
coopererà), anche dato l’apparente vantaggio del comportamento
dei soggetti opportunisti; questi ultimi infatti, sfruttando risorse e
contributi altrui senza mai ricambiare, sembrerebbero in teoria

poter prosperare, e quindi risultare “ben più vincenti” in un
contesto evolutivo. Richard Dawkins in particolare, nel suo
celebre libro “Il gene egoista”, ha discusso i risultati di studi in cui
si analizzavano l’impatto di un’innumerevole quantità di strategie
possibili, dati dei dilemmi simili, in contesti ripetuti. E il concetto
estremamente affascinante che emerge dalla sua riflessione non è
solo nel fatto che tutte le strategie completamente “negative” in
quanto “approfittatrici” e non collaborative venivano man mano
“scartate da sé” nel processo evolutivo, ma si è riscontrato
nell’apparire di una strategia dominante chiamata “Tit for tat” (che
noi potremmo tradurre in qualcosa come “occhio per occhio”, o
“do ut des”). Ciò che è infatti interessante nel “Tit for tat” è il suo
essere una strategia estremamente semplice, che ha prevalso su
altre strategie molto più complesse, e si può definire così: inizia
cooperando e poi ripeti la mossa che l’altro giocatore ha fatto nel turno
precedente. Ossia, molto banalmente, se l’altro giocatore ha
cooperato nel turno precedente, si coopererà nel turno successivo,
e viceversa. Ciò ha fornito una spiegazione parziale al dilemma
evoluzionistico iniziale (questa naturale reciprocità è molto
economica ed “invoglia alla cooperazione”, pena spesso la mutua
distruzione) e ovviamente, pur mostrando il sostanziale “potere
matematico” di un atteggiamento del genere, non deve essere
preso come una “chiave universale” in grado di risolvere ogni
situazione di questo tipo; tuttavia, reputo si tratti di un caso
estremamente interessante, in grado di offrire preziose intuizioni
in una varietà di campi, come la psicologia sociale, l’economia, la
politica, e anche la diplomazia.
sul nostro sito!

X - Il mondo dei “numeri
d’oro”
Entriamo ora nell’orbita dell’argomento “curiosità” numeriche, e
cominciamo così a esplorare i cosiddetti “numeri d’oro”. In
particolare, ho pensato di denotare come “numeri d’oro” tutti quei
numeri dotati di una particolare armonia intrinseca e che, per
questo, hanno proprietà particolari o rendono estremamente
rapidi e semplici alcuni tipi di calcoli. Certo, chiariamolo fin dal
principio: la maggioranza delle proprietà che vedrai avrà
probabilmente applicazioni pratiche minime. Tuttavia anche quelli
che incontrerai meno frequentemente potranno risultarti utili sia
per qualche piccola “esibizione” di calcolo ultrarapido, che per
costruire almeno qualche piccolo “gioco di prestigio matematico”.
Oppure, laddove neanche uno scopo ludico sia effettivamente
pensabile, spero almeno di riscuotere il tuo interesse in virtù della
pura bellezza simmetrica e armonica che questi numeri esprimono
quando adeguatamente “manipolati”. Bellezza che, tra l’altro,
spesso si rivela nelle “sorprendenti” armonie di tutto ciò che è
governato dai numeri, come le forme “plasmate” dalla natura
stessa, l’andamento delle serie storiche dei fenomeni sociali ed
economici, o la spesso sofisticata logica alla base di algoritmi e
architetture.

φ
Nonostante abbia deciso in maniera del tutto arbitraria di definire
come “d’oro” tutti i numeri di cui parlerò in questo capitolo, la
verità è che l’unico ufficiale “numero aureo” è quel numero
esprimibile come (1 + √5)/2 = circa 1,6180339887, spesso
denotato come “phi” (φ), e che rappresenta, probabilmente, una
delle costanti matematiche più “celebri” in assoluto.
Tale numero è legato alla successione di Fibonacci, una sequenza
di numeri in cui ogni numero è la somma dei due precedenti (1, 1,
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc.). Man mano che si procede lungo tale
sequenza infatti, il rapporto tra un numero e il suo predecessore si
avvicina sempre più al numero aureo. Esso era inoltre “venerato”
nell’antica Grecia per il modo in cui ricorresse in natura (ad
esempio, la disposizione delle foglie su molte piante segue spesso
la sequenza di Fibonacci, permettendo a ciascuna foglia di ricevere
la massima esposizione alla luce solare e alla pioggia; oppure,
anche la disposizione dei semi in un girasole segue la sequenza di
Fibonacci, consentendo alla pianta di stipare il massimo numero di
semi in uno spazio limitato), e per come dipingere, scolpire e
costruire attraverso la proporzione visiva 1:1,6180339887
restituisse un gran senso di armonia ed equilibrio. Ma il suo
consistente “parco” di applicazioni pratiche non si è certo esaurito
ai tempi dell’Antica Grecia: la dimensione di molte carte di credito
e biglietti da visita si avvicina di molto alla proporzione aurea per
esempio, così come il design di molti prodotti tecnologici come
televisori (si pensi al 16:9), monitor di computer e smartphone. La
sezione aurea inoltre non fa che ricorrere in campi dell’umano
profondamente differenti tra loro, come la musica (ad esempio può
risultare particolarmente “gradevole” l’idea di mettere il ritornello,
o il punto culminante di una composizione, in un tempo avente
un rapporto aureo rispetto alla durata totale del pezzo), o la finanza
(in analisi finanziaria per esempio, come nel caso dell’analisi di
forti variazioni di prezzo, si utilizzano a volte strumenti come le
“retrazioni di Fibonacci” per prevedere le correzioni successive;
non che si tratti di una cosa che consiglio particolarmente,
pertanto prendetelo come “caso di scuola”).

Ma un’ulteriore curiosità squisitamente “pratica” può risiedere nel
fatto che il rapporto tra due numeri consecutivi nella sequenza di
Fibonacci è molto simile al rapporto tra chilometri e miglia; se
proprio volessimo quindi, potremmo aggiungere al nostro
“arsenale matematico” il seppur approssimato: 1) Quando devi
convertire da chilometri a miglia, vai di un posto indietro nella
sequenza di Fibonacci (ad esempio, 55 chilometri equivalgono a
34 miglia), 2) Quando devi convertire da miglia a chilometri, vai in
direzione opposta e 3) Se, per qualunque motivo il numero che ti
interessa non è nella sequenza di Fibonacci, potresti comunque
applicare un molto semplice principio di interpolazione o di
approssimazione. Per esempio, se devi convertire in miglia 60
chilometri, che non è un numero della sequenza di Fibonacci,
potresti considerarlo come la somma di 55 e 5 (due numeri che
appartengono alla sequenza) e poi sommare i corrispettivi in
miglia, 34 e 3, per ottenere una stima di 37 miglia. Questa
approssimazione sarebbe infatti estremamente vicina al valore esatto,
che è di 37,28 miglia.
Infine, un’ultima “quotidiana applicazione” (sebbene ne
costituisca una approssimazione) che potrebbe valere la pena trattare
è nella cosiddetta “regola dei terzi” per la fotografia: per applicare
questa regola infatti, tipicamente si immagina che il la potenziale
fotografia che sarà scattata sia divisa da una griglia 3x3.
Posizionando quindi il soggetto principale dell’immagine lungo le
linee di questa intersezione si dovrebbe poter ricreare un rapporto
aureo con i bordi stessi della foto, rendendo la fotografia più
“piacevole” e armoniosa alla vista. Chiaro poi che, come tutte le
“regole universali” che tentano di decodificare i canoni estetici di
questa o quell’arte, anche questo è un principio che i
professionisti, a ragione, dichiareranno come “fatto per essere
infranto”; rimane tuttavia a mio avviso estremamente affascinante
come questa “costante della natura” non faccia che riproporsi
continuamente, presentandosi come fosse intrinsecamente tessuta
nel “DNA” stesso dell’universo, e così invogliandoci
costantemente a creare e sperimentare sulla base delle sue stesse
armonie. Come la vedresti, per esempio, l’idea di creare una tua
“Tecnica del pomodoro” personalizzata (tecnica produttiva che
consiste nell’alternare periodi di lavoro e periodi di pausa

seguendo gli intervalli definiti da un timer) che segua, magari in
maniera decrescente, una quantità di minuti pari ai numeri della
serie di Fibonacci?
3
Spessissimo, nella storia umana, al numero 3 sono stati attribuiti
significati simbolici ed esoterici. Senza considerare che è stato
frequentemente considerato come un numero perfetto per eccellenza,
sebbene esso non abbia in realtà nulla a che vedere con la
definizione matematica di “numero perfetto”. La sua ricorrenza,
non per nulla, sembra permeare innumerevoli campi dell’esistente:
ci sono (a seconda dei modelli) tre dimensioni spaziali in cui ci
muoviamo, tre colori primari che formano l’intero spettro visibile,
tre tipi di particelle atomiche fondamentali, e così via.
Al di là, tuttavia, della ricerca del significato e delle simbologie
dietro un determinato numero che sì, per quanto affascinanti
siano, rischiano spesso di sconfinare nel “pensiero magico” e in
un forzare la realtà al nostro desiderio di ritrovarvi dei pattern (pur
rimanendo “abbastanza convinto” che la ricorrenza della sezione
aurea sia una sorta di eccezione a questo principio), proviamo
proprio a riscoprire una “più verificabile armonia” del numero 3,
esaminando un metodo per calcolare istantaneamente quadrati di
numeri composti, per l’appunto, da soli 3. In particolare, per
svolgere istantaneamente quest’operazione puoi semplicemente:
• Scrivere tanti 1 quanti sono i 3 del numero da elevare al
quadrato, meno uno.
• Scrivere uno 0.
• Scrivere tanti 8 quanti sono gli 1 che hai scritto nel primo punto.
• Scrivere un 9.
Ecco quindi che per esempio:
• 33 al quadrato = 1089
• 333 al quadrato = 110889
• 3333 al quadrato = 11108889

• 33333 al quadrato = 1111088889
E così via, la sezione sul “3” si conclude qui. Va bene, magari
questo è un trucco dall’utilità pratica iper limitata, ma rimane
sicuramente un piccolo modo per dimostrare, ancora una volta, la
sofisticata bellezza del regno dei numeri. Inoltre, se proprio
vogliamo fare un ulteriore “salto di immaginazione”, quanto visto
finora potrebbe per esempio risultare particolarmente accattivante
da insegnare a un bambino alle prime armi con la matematica, in
modo da consolidare le sue abilità di calcolo mentale, da aiutarlo a
sviluppare la sua capacità di riconoscere pattern numerici e, perché
no, in modo da fargli “fare un figurone” nel momento in cui
sappia dimostrare di svolgere facilmente quadrati di numeri
composti da così tante cifre.
sul nostro sito!

La pillola storica
Il simbolo per lo “0” vero e proprio è stato importato in Occidente dal mondo
Arabo solo a partire dall’anno 1000. Prima di allora il concetto era sconosciuto in
Europa, se non a volte considerato addirittura “tabù” per il suo legame con il
concetto di “nulla” o “vuoto”. In altre culture poi non era utilizzato per il semplice
fatto, visto qualche pagina fa, che i numeri erano spesso rappresentati attraverso
dei sassolini, e quindi a nessun sasso corrispondeva nessun numero. L’invenzione
dello zero tra l’altro, per come lo conosciamo oggi, parrebbe risalire all’India, in
un periodo che va tra il quarto e il sesto secolo d.C.
Sia chiaro, tale concetto esisteva già da prima, come è possibile vedere, per
esempio, in alcune tavolette babilonesi di argilla risalenti all’1800 a.C. Tuttavia, la
vera innovazione dell’India fu nel trattare lo zero come un numero a tutti gli
effetti, con il proprio simbolo e le proprie regole matematiche, il che ha avuto un
impatto incredibilmente profondo per il progresso matematico stesso.
L’aforisma
"La matematica è come la poesia, è una lingua del tutto logica, una strada diretta
all'intelletto universale."
(René Descartes)
Oltre ai “numeri perfetti”, esistono un sacco di “classi
fi
cazioni strambe” per
alcune categorie di numeri. I “numeri narcisisti”, per esempio, sono quei numeri
pari alla somma delle proprie cifre elevate al numero di cifre del numero stesso,
come 153 = 1 al cubo + 5 al cubo + 3 al cubo. I “numeri primi gemelli” sono invece
quei numeri primi separati da un unico numero pari, come 5 e 7 oppure 11 e 13.
Esistono anche i “primi cugini” che differiscono tra loro di 4 (es. 7 e 11), e i “primi
sexy” che differiscono di 6 (es. 5 e 11). Se invece alcune cifre di un numero
vengono erroneamente messe all’esponente e il valore di quel numero non
cambia, tale numero viene chiamato “numero errore di stampa”. Un esempio ne è
il 2592, visto che è uguale a 2^5 x 9^2 = 32 x 81 e quindi se il 5 e il 2 fossero
erroneamente stampati come esponenti, il risultato non cambierebbe.

XVII - Risposte multiple e
giochi d’azzardo
Disse Arthur Benjamin, importante matematico, durante una
conferenza TED che, anziché confluire verso l’analisi matematica,
a suo avviso ogni programma scolastico dovrebbe confluire verso
uno studio della teoria della probabilità, in quanto campo
contemporaneamente più affascinante, utile e divertente della
matematica. A detta sua, inoltre, una maggiore conoscenza diffusa
della statistica e della probabilità avrebbe quasi sicuramente
scongiurato il crac finanziario del 2008 e aiutato tutti a prendere
decisioni ben più sagge rispetto a quelle responsabili di un simile
terremoto economico (e che, mi verrebbe da dire, in quanto
umani tendiamo purtroppo a ripetere ciclicamente).
Ma al di là del parere personale di Benjamin, del quale possiamo
discutere quanto volete, è a mio avviso innegabile che
comprendere meglio la statistica e la teoria della probabilità può
fornirci strumenti estremamente potenti per mettere insieme dati
del passato, acquisire una comprensione maggiore del presente,
afferrare la vera natura dietro l’evolvere di idee e fenomeni, e
persino migliorare le proprie capacità di previsione ipotetica del
futuro. La probabilità infatti, tra le altre cose, rientra in quei
fenomeni matematici spesso fortemente controintuitivi, e farne
pertanto proprie le dinamiche si aggiunge all’arsenale di quegli
strumenti fondamentali con cui acquisire un vero vantaggio
competitivo sulla realtà.

Pensiamo, per esempio, a quanto le persone tendano a essere
estremamente spaventate da idee molto improbabili, ma
narrativamente affascinanti, come la possibilità di un incidente
aereo, o quella di essere divorati da uno squalo. Eppure, le
probabilità di morire in un incidente aereo nel 2020 erano le stesse
di lanciare una moneta 21 volte e ottenere sempre testa (provaci e
capirai perché si dice che l’aereo è il mezzo più sicuro del mondo),
mentre invece è chiaro che gli squali ammazzano meno persone
rispetto ai cavalli, alle zanzare o sì, persino alla caduta accidentale di
noci di cocco.
Sia chiaro, i dati probabilistici da soli non bastano e non
basteranno mai per “eradicare completamente” alcune paure, o
alcuni concetti irrazionali che rimangono parte di noi, in quanto
più compatibili con la configurazione stessa del nostro cervello. Il
nostro “centro di comando biologico” infatti è generalmente
molto più incline a perpetuare una mentalità del tipo: “Se questa
cosa è possibile, per quanto improbabile, potrei comunque essere io il
caso sfortunato (o fortunato nel caso di una lotteria) che incontra questa
estrema improbabilità”. E quest’ultima riflessione, sia chiaro, è anche
teoricamente vera, ma il fattore su cui soffermarsi qui è: perché la
pensiamo così solo per fattori affascinanti, rumorosi che assumono
per noi una qualche rilevanza emotiva, mentre tendiamo tipicamente a
ignorare fattori più “silenziosi” ma anche più impattanti? (si pensi
a chi evita di prendere l’aereo credendo di allungare la propria vita,
ma poi magari fuma tranquillamente tre o quattro pacchetti di
sigarette al giorno).
E soprattutto, ci conviene davvero “pagare” il costo richiesto, fosse
anche emotivo, per considerare queste improbabilità estreme?
Visto che la nostra attenzione è una risorsa limitata, non è che ci
conviene riorientare la nostra attenzione verso fattori
“probabilisticamente più rilevanti”, anche se meno “affascinanti”,
per le nostre finanze, i nostri obiettivi, la nostra sopravvivenza?
Il percorso verso una navigazione consapevole dell’incertezza può,
insomma, risultare molto complesso, e comprendere un’analisi
dettagliata di “bias cognitivi” e fondamenti psico-neurologici che
di sicuro, per amore di semplicità, non affronteremo in questo
libro; in ogni caso, credo comunque fortemente nell’importanza di

informare ed educare “matematicamente”, e di farlo almeno come
modo per impartirci gli strumenti con cui iniziare un percorso del
genere, e concederci così la possibilità di riorientare ogni volta le
nostre risposte più impulsive e istintive, verso decisioni più
razionali e informate. Il percorso di autoconsapevolezza che ne
conseguirà o meno, poi, starà un po’ al buonsenso di ognuno di
noi.
E così, dopo avere fatto tutte le premesse filosofiche del caso,
entriamo subito nel “vivo” della materia, e cominciamo con quella
che, sì, anche a mio avviso rimane una delle applicazioni più
affascinanti e utili della matematica, partendo da quello che forse è
uno degli indici più “pragmaticamente rilevanti” in campo
probabilistico: il (già accennato qualche pagina fa) indice di valore
atteso, o valore atteso.
Valore atteso, e due modi per prevedere i fenomeni del
mondo
L’indice di valore atteso può essere inteso come il guadagno medio (o
perdita media) che otteniamo se continuiamo a svolgere, in contesti di
incertezza, determinate azioni. Ossia, per esempio, potrebbe essere la
risposta numerica a domande del tipo: “Quanti soldi mi ritrovo
ogni volta in più (o in meno), in media, se continuo a puntare tre
euro sul rosso a quella roulette?”; oppure “Quanto posso
aspettarmi, ogni mese, se continuo con questa strategia di
investimento?”.
La formula per calcolare questo valore è in realtà anche molto
semplice, e la si può formalizzare in:
(Probabilità di guadagno x Guadagno) - (Probabilità di perdita x Perdita)
E altrettanto semplice sarà la lettura da fare una volta che ci
saremo calcolati questo indice: se il suo valore è positivo, continuando a
“fare quella cosa” otterremo un guadagno costante sul lungo termine. Se invece
è negativo, ne otterremo una perdita.

Viene da sé che si tratta di un valore il cui calcolo può risultare
straordinariamente utile, sia che si voglia capire se una scelta
condizionata da incertezza è effettivamente conveniente sul lungo
termine, sia che si voglia comprendere, tra più scelte, quale ci
potrà apportare un maggior guadagno, o magari la minor perdita
(perché in tal caso ci “basterà” scegliere quella con valore atteso
maggiore).
Tuttavia, so a cosa molti di voi qui staranno pensando: se tutte le
situazioni della nostra vita fossero così facilmente modellabili,
avremmo già risolto una marea di problemi da tempo. Prima
complessità, infatti, che emerge dal suggerimento di applicare
questa formula: come calcolare la probabilità con cui un evento può
accadere? Ebbene, la matematica qui ci suggerisce due risposte ben
precise, ognuna delle quali presenta chiari vantaggi e svantaggi:
• Un metodo si basa sul cosiddetto procedimento statistico, e
consiste nel guardare al risultato di eventi simili accaduti in
passato, per poi affermare che la probabilità corrisponde al
numero di volte in cui l’evento è accaduto, diviso il numero di volte in cui
“sarebbe potuto accadere”. Per esempio si potrebbe affermare da un
punto di vista statistico, pur se qui estremamente semplificato,
che la probabilità che un aereo abbia un incidente sia pari a
“Incidenti aerei avvenuti” diviso “Voli totali”.
Questo metodo presenta ovviamente un primo svantaggio
enorme, un vero e proprio limite epistemico (ossia, una barriera
nella possibilità di conoscere la realtà) dovuto al fatto che, pur
dopo avere calcolato un dato del genere, non sempre (o quasi
mai?) è possibile prevedere l’andamento di un evento futuro
raccogliendo dati passati; anzi, spesso questa pratica può
rivelarsi la fonte di decisioni rovinose. Per questo si deve
intendere la stima statistica della probabilità come qualcosa di
innanzitutto descrittivo, anziché predittivo dell’incertezza un
fenomeno; ossia, un dato che ci può dire come “qualcosa è
stato” finora, più che come “sarà da ora in poi”. Al di là di
questa limitazione nella nostra capacità di predire il futuro,
tuttavia, si potrebbe affermare che in gran parte dei casi per le
nostre predizioni “può convenire” o “finiremo necessariamente
per affidarci” a ciò che i dati esistenti fino a quel momento

sembrano suggerirci. Si pensi, per esempio, alla possibilità di
uno sconvolgimento totale e improvviso nelle leggi economiche
o persino biologiche nel mondo che ci circonda: niente ci garantisce
che uno sconvolgimento simile non sia sempre dietro l’angolo ma è pur
vero che, nella maggioranza dei casi, ci risulterà più
“economico” procedere con una sorta di “illusione di stabilità”,
di idea che “più o meno” le cose rimarranno simili al passato.
Questa “illusione di stabilità” dopotutto, pur “distorcendo” in
parte la realtà, è ciò che ci permette di uscire di casa senza
pensare ogni momento di essere colpiti da meteoriti, predoni,
pirati, o un improvviso sovvertimento delle leggi fisiche che
inverta completamente la forza di gravità; questa
semplificazione è insomma, banalmente, parte essenziale di ciò
che ci permette di funzionare.
Se poi si dovesse realmente pensare a migliorare il valore
descrittivo (nella pratica) o predittivo (in teoria) dei propri dati
statistici, ciò può essere sempre fatto raccogliendo dei “dati di
maggiore qualità”. Per esempio, nell’appena menzionato caso
degli incidenti aerei: ha davvero senso prendere i dati di volo di
un aereo del 1920 per capire la mia probabilità di viaggiare
sicuro? E quelli di un aereo di un’altra compagnia? E quelli di un
modello completamente differente? Queste domande aprono
ovviamente a una quantità infinita di dilemmi, tipici della “data
science” e degli specialisti di settore, e che pertanto non vale la
pena affrontare in questo testo. Per ora, pertanto, proviamo
semplicemente a tenere in mente la formula-base:
Volte in cui è accaduto / Volte totali in cui sarebbe potuto accadere
e considerala sempre assieme a una “necessaria valutazione” di
tutte le complessità connesse alla raccolta dati che la stessa può
implicare.
• Un altro modo per desumere la probabilità di un evento è quello
teorico/matematico, che si basa sull’analisi strutturale e fisica del
sistema o processo coinvolto, e sul conseguente sviluppo di
precise equazioni. Tornando per esempio al caso dell’incidente
aereo, un metodo del genere potrebbe portarci a estrarre la
probabilità di incidente di uno specifico aerovelivolo valutando,

e combinando matematicamente, le probabilità di tutti gli eventi
in grado di causare un problema: quella di “fallimento” di ogni
insieme di componenti vitali, unita alla probabilità che il
personale non sia in grado di gestire l’emergenza, e così via.
Chiaro, come si può immaginare dall’esempio appena fatto, che
questo metodo di calcolo delle probabilità applicato a fenomeni
complessi può risultare in sistemi di equazioni incredibilmente
articolate. In questo capitolo pertanto, pur occupandoci più nel
dettaglio del metodo teorico/matematico, lo faremo rimanendo
nel campo dei fenomeni più immediatamente comprensibili.
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La pillola storica
Il matematico Kurt Gödel nel 1931 ha dimostrato che in qualsiasi sistema di
regole matematiche abbastanza complesso, ci saranno sempre alcune
affermazioni che non possono essere né dimostrate vere né false usando solo le
regole di quel sistema. Per esempio, nel momento stesso in cui diciamo “questa
frase è falsa”, ci ritroviamo in un paradosso: se la frase è vera, allora deve essere
falsa come afferma, ma se è falsa, allora è in realtà vera. Questo è un esempio di
affermazione che non può essere de
fi
nitivamente risolta all'interno del nostro
sistema di regole linguistiche e logiche, e ciò che Gödel ha dimostrato è proprio
che la stessa cosa succede per qualunque sistema matematico concepibile: o sarà
incompleto, od ogni tentativo di “completarlo” condurrà a nuovi paradossi e
inconsistenze. Questo risultato, formalizzato nei cosiddetti “Teoremi di
incompletezza di Gödel”, ha sconvolto il mondo della matematica dimostrando, in
sostanza, che ci sono limiti a ciò che possiamo conoscere, e che alcuni misteri
potrebbero rimanere tali per sempre. Il che sì, è un’altra di quelle risposte che
possono facilmente lasciarci con un vero e proprio senso di “vuoto esistenziale”.
L’aforisma
“Il problema con le nostre società non è che siamo irrazionali, ma che siamo
razionali in modo troppo semplice. Abbiamo bisogno di una razionalità più
complessa, una che riconosca i limiti della pura logica e abbracci l'incertezza.
Questo è l'insegnamento fondamentale della matematica.”
(Nicholas Nassim Taleb)
Ma torniamo ai paradossi sull’in
fi
nito e, in particolare, al cosiddetto “Paradosso di
Galileo”. Considera i numeri interi (1, 2, 3, 4, ...) e i numeri pari (2, 4, 6, 8, ...).
Intuitivamente, si potrebbe tranquillamente dire che ci dovrebbero essere più
interi che numeri pari, perché i numeri pari sono solo una parte degli interi.
Tuttavia, c’è sempre un corrispondenza uno a uno tra gli interi e i numeri pari (1
corrisponde a 2, 2 corrisponde a 4, 3 corrisponde a 6, e così via), dimostrando che
ci sono tanti numeri pari quanti sono gli interi. Ma come è possibile se un gruppo
è un sottoinsieme dell’altro?

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L'autore
Danilo Lapegna, classe 1986, e fondatore e CEO del “Kintsugi Project”,
è un professionista, ingegnere e studioso con un'insaziabile passione
per l'apprendimento, la scoperta e il progresso umano. Sin dalla sua
infanzia, ha dimostrato una precoce fascinazione per il massimo
potenziale del cervello umano, divorando libri a tema scienti
fi
co, ed
emergendo come un campione di memoria televisivo all'età di soli sei
anni.
Danilo, con la sua formazione accademica da ingegnere informatico,
dirige da anni con successo team internazionali impegnati in progetti
software di grande impatto nel fervente mondo delle start-up del
Regno Unito. Tuttavia, la sua passione più profonda affonda le sue
radici nell'amore per la multidisciplinarietà, e per la capacità di
generare valore attraverso la sintesi e l’integrazione di principi estratti
dalla
fi
loso
fi
a, dalla psicologia, dalle neuroscienze, dalla “smart
productivity”; ma soprattutto, attraverso l'armonizzazione di tutto ciò
con un incrollabile desiderio di contribuire al benessere altrui. Da più di
un decennio infatti, attraverso lo pseudonimo di “Yamada Takumi”, ha
sfruttato queste sue passioni scrivendo libri a tema che hanno venduto
oltre 50.000 copie, scalando le classi
fi
che di vendita su Amazon,
aiutando migliaia di persone attraverso il suo blog e ricevendo enorme
attenzione mediatica per il loro successo nel settore dell'auto-
pubblicazione.
E così, “Il Kintsugi Project” rappresenta il tentativo “de
fi
nitivo”, suo e del
suo staff, di reinventare l’approccio all’evoluzione personale, atto a
decostruire tutta la “fuffa” e i paradigmi obsoleti e disfunzionali di
questo settore, per poi rivolgere la propria scommessa verso sistemi di
autoterapia, benessere psico
fi
sico, “skill development” e “produttività
intelligente” che abbiano radice nella scienza, nella ricerca, e
soprattutto in un ecosistema condiviso che possa favorire una crescita
individuale e "personalizzata", che sia scolpita sui valori e sulle esigenze
di ognuno.

Bibliogra
fi
a e approfondimenti
“Theory of Games and Economic Behavior”, di John Von
Neumann, Oskar Morgenstern (1944)
“Vedic Mathematics”, di Bharati Krsna Tirthaji (1965)
“Game Theory: A Nontechnical Introduction”, di Morton D.
Davis (1970)
“A Course in Probability Theory”, di Kai Lai Chung (1974)
“Il gene egoista”, di Richard Dawkins (1976)
“Short-Cut Math”, di Gerard W.Kelly (1984)
“Come la matematica può salvarti la vita”, di James D. Stein
(2013)

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