Tính xoắn

Bài giảng: BÊTÔNG CƠ SỞ
Chương 5. Tính toán cấu kiện chịu uốn - xoắn 67
Chương 5 TÍNH TOÁN CẤU KIỆN CHỊU UỐN - XOẮN
5.1. Đại cương về cấu kiện chịu uốn - xoắn:
5.1.1. Sơ lược tình hình phát triển nghiên cứu uốn xoắn:
Trong khoảng nữa đầu thế kỷ 20 các tiêu chuẩn không đưa ra quan điểm thiết kế kết
cấu chịu xoắn. Khi tính toán kết cấu người ta gia tăng khả năng chịu xoắn bằng hệ số an
toàn. Càng về sau khoa học ngày càng phát triển các phương tiện phục vụ cho công tác
thực nghiệm kết cấu càng nhiều nên ngày càng nhiều, các phương pháp phân tích kết
cấu phát triển.
Trong nữa sau thế kỷ 20 có nhiều nghiên cứu về uốn xoắn xuất hiện với tiết diện kín
đặc và rỗng. Năm 1929 Rausch lần đầu tiên đưa ra phương pháp phân tích dàn (space
struss analogy) dựa trên ứng xử của kết cấu uốn xoắn. Năm 1934 Andersen công bố
nghiên cứu của ông dựa trên thực nghiệm 48 mẫu dầm bêtông và bêtông cốt thép với
các giá trị khác nhau của cốt dọc và cốt đai. Nghiên cứu Bresler và Pister dựa trên 24
mẫu dầm rỗng vào năm 1958. Các nghiên cứu này cùng một số nghiên cứu của các tác
giả khác là tiền đề cho tiêu chuẩn về tính toán xoắn xuất hiện lần đầu trong ACI318-63.
Các tác giả Evans (1965), Thomas.T.C Hsu (1968) đưa ra mô hình uốn xiên (Skew
bending model) mà trong đó nghiên cứu T.T.C.Hsu đóng vai trò quan trọng. Đến năm
1971 tiêu chuẩn mới tương đối hoàn thiện và về cơ bản các qui định không đổi đến
1992. Những nghiên cứu tiếp theo đưa các công thức bán thực nghiệm và chỉ áp dụng
với bêtông thường không ứng suất trước.
Đến 1995 tiêu chuẩn tính xoắn được điều chỉnh bổ sung lại và được chấp nhận đến
nay. Đó là tính toán tiết diện đặc và rỗng dựa trên lý thuyết thanh thành mỏng, mô hình
hệ thanh không gian (Space truss analogy). Lý thuyết này áp dụng cả cho bêtông
thường và dự ứng lực.
Sự làm việc chịu xoắn: Cấu kiện chịu xoắn là cấu kiện có xuất hiện nội lực mômen
xoắn Mt tác dụng trong mặt phẳng vuông góc với trục. Thông thường cùng với Mt còn
xuất hiện mômen uốn M và lực cắt Q. Khi làm việc trong bêtông có các ứng suất kéo
chính σkc và ứng suất nén chính σnc. Khi chỉ có Mt (xoắn thuần túy) các vết nứt thường
xiên góc 450
và chạy vòng quanh theo tiết diện.
Khi có đồng thời M và Q thì các vết nứt xiên xuất hiện theo 3 mặt, mặt thứ tư chịu
nén tạo thành tiết diện vênh trong không gian. Sự phá hoại xảy ra theo tiết diện vênh,
ngoài ra cấu kiện còn có thể hư hỏng khi ứng suất nén chính σnc vượt quá khả năng chịu
nén của bêtông.

.
Hình 5.1. Mặt cắt phá hoại trong cấu kiện xoắn thuần túy
(Thomas T.C. Hsu – 1968)
a. Phá hoại ở mặt bên dầm b. Phá hoại ở đáy dầm
Hình 5.2. Mặt phá hoại trong cấu kiện uốn (cắt) xoắn
(Dương Nguyễn Hồng Toàn - 2008)
5.1.2. Phân loại chịu xoắn:
Khảo sát sự làm việc chịu xoắn người ta chia ra hai trường hợp: xoắn cân bằng
(equilibrium torsion) và xoắn tương hỗ (compatibility torsion).
- Xoắn cân bằng khi mômen xoắn đóng vai trò cân bằng của kết cấu như mái
công xôn, dầm ngang chịu xoắn cân bằng. Lúc này nếu khả năng chống xoắn
không đủ kết cấu trở nên mất ổn định và sụp đổ. Lúc này mômen xoắn Mt
không phụ thuộc vào độ cứng chống xoắn Bt = GJt với G là mô đun dàn hồi
chống cắt của bêtông, Jt là mômen quán tính chống xoắn của tiết diện.
Trường hợp này thường xuất hiện ở các cấu kiện tĩnh định hoặc Mt được
truyền đến từ bộ phận tĩnh định.

Hình 5.3. Minh họa cấu kiện”xoắn cân bằng”
- Xoắn tương hỗ xuất hiện khi có sự phân phối lại momen xoắn cho phần tử
liền kề như trường hợp các dầm phụ trong sàn, khi các dầm biên biến dạng
gây ra các góc xoay tạo nên xoắn tương hỗ trong hệ liền khối. Thường xuất
hiện ở các cấu kiện siêu tĩnh khi Mt phụ thuộc vào độ cứng chống xoắn Bt.
Hình 5.4. Cấu kiện”xoắn tương hỗ”
5.1.3. Cấu tạo cốt thép
Để chịu momnen xoắn phải đặt cốt dọc theo chu vi cấu kiện và cốt đai phải khép
kín. Một phần cốt dọc đặt trong vùng kéo do uốn với lượng thép ít nhất bằng diện tích
thép tính toán do chịu uốn, phần còn lại phân bố theo chu vi. Các cốt dọc cần được neo
chắc chắn vào gối tựa với chiều dài lan.
Cốt đai trong khung buộc cần phải tạo thành vòng kín và neo chắc chắn hai đầu, đoạn
chập vào nhau không nhỏ hơn 30 ( - đường kính cốt đai ). Đầu mút cốt đai uốn móc
và ôm lấy thép dọc. Nếu khung hàn - cần làm thành vòng kín, đầu mút hàn chắc với cốt
dọc. Đối với tiết diện chữ T, chữ I cần đặt cốt đai thành vòng kín trong cả sườn và cánh.
Khi cạnh tiết diện h ≤ 200 cần ít nhất hai cốt dọc, h>200 cần ít nhất ba cốt dọc dọc theo
cạnh tiết diện (hình 5.2).

Hình 5.5. Cốt thép của cấu kiện chịu xoắn
5.2. Nguyên tắc tính toán
Khi tính toán tiết diện ta dựa trên các giả thiết sau:
- Bỏ qua khả năng chịu kéo của bê tông;
- Vùng chịu nén của tiết diện được coi là phẳng, nằm nghiêng một góc với
trục dọc cấu kiện, khả năng chịu nén của bê tông lấy bằng 2
sinbR và xem
như phân bố đều trên vùng chịu nén x;
- Ứng suất kéo, nén trong cốt thép dọc và cốt thép ngang cắt qua vùng chịu
kéo của tiết diện không gian lấy bằng cường độ tính toán Rs, Rsc và Rsw.
Tính toán cấu kiện chịu uốn xoắn thì tương đối phức tạp nên ở đây ta chỉ thực hiện
bài toán kiểm tra. Từ momen uốn tính sơ bộ được cốt thép chịu kéo As, chọn đặt cốt
thép tăng hơn giá trị tính được, bố trí thêm cốt dọc theo phương cạnh h. Từ lực cắt ta
tính ra cốt đai, chọn khoảng cách bé hơn giá trị tính được. Sau khi sơ bộ tính và bố trí
thép dọc và đai ta tiến hành tính toán kiểm tra xoắn theo trình tự sau:
 Kiểm tra về điều kiện ứng suất nén chính:
Mt  0.1Rbb2
h (5.1)
Nếu bêtông có cấp độ bền > B30 thì lấy Rb ứng với cấp B30 để tính .
 Điều kiện về khả năng chịu lực tiết diện vênh:
 xhARMM
q
w
ssght 5,0
1
0
2






(5.2)
Chiều cao vùng nén x xác định theo công thức:
bxRARAR bsscss  (5.3)

Nên hạn chế 2a’ ≤ x ≤ ξRh0
δ, λ – các tỉ số cạnh tiết diện tương ứng song song và vuông góc với đường giới
hạn vùng chịu nén
bh
b


2
 (5.4)
b
c
 ;c ≤ 2h + b (5.5)
w – hệ số quan hệ giữa cốt thép ngang và cốt thép dọc
s
b
AR
AR
ss
swsw
w  (5.6)
Giá trị w cần được hạn chế trong khoảng:
w,min ≤ w ≤ w,max (5.7)
uw
w
MM 

2/1
5,0
min,

 (5.8a)







u
w
M
M
15,1max, (5.8b)
Nếu w < w,min thì RsAs trong (5.3) giảm xuống là (RsAs)x(w/w,min)
Trong các công thức dùng các ký hiệu sau:
b – kích thước cạnh song song vùng nén;
h – kích thước cạnh vuông góc với đường giới hạn vùng nén;
As’ – diện tích cốt thép dọc đặt theo cạnh b trong vùng nén;
As – diện tích cốt thép dọc đặt theo cạnh b đối diện vùng nén;
ho – khoảng cách từ trọng tâm As đến mép vùng nén;
Rs, Rsc – cường độ tính toán về kéo và nén của cốt thép dọc;
Rsw – cường độ tính toán cốt thép ngang;
Asw1 – diện tích tiết diện của một thanh cốt đai nằm ở cạnh phía cốt
thép As của sơ đồ đang xét;
s – khoảng cách của cốt đai;
M – mômen uốn, sơ đồ 2 lấy M = 0, sơ đồ 3 lấy M với dấu trừ;
Mu – mô men uốn lớn nhất mà tiết diện thẳng góc với trục dọc
cấu kiện chịu được;
p,  – được xác định theo từng sơ đồ.
Tiêu chuẩn 356 - 2005 đưa ra ba sơ đồ để tính Mgh của tiết diện vênh, các sơ đồ
ứng với vùng nén khác nhau.
Sơ đồ 1: Cạnh bị nén do uốn của cấu kiện.
Sơ đồ 2: Cạnh của cấu kiện song song với mặt phẳng tác dụng của mômen uốn.
Sơ đồ 3: Cạnh bị kéo do uốn của cấu kiện.

x
b
ah0
h
A's
As
b
h
h0 a
b
h
h0a
x
x
A's
A's
As As
Sơ đồ 1 Sơ đồ 2 Sơ đồ 3
Hình 5.6. Sơ đồ vị trí vùng nén của tiết diện vênh
5.2.1. Tính theo sơ đồ 1 (Mt và M) :
Hình 5.7. Sơ đồ tính toán theo sơ đồ 1
Trong sơ đồ này:  = M/Mt và p = 1
Thông thường chọn As, As’, Asw, s rồi tiến hành tính toán. Xác định x theo công thức
(5.3), kiểm tra 2a’ ≤ x ≤ ξRh0. Nếu x > ξRh0 cần tăng As’, b, h0,...
Tính Mu theo công thức sau:
Mu = Rbbx(h0 – 0.5x) + RscAs’(h0 – a’) (5.9)
b
A
C
bh
A
h
D
E
B
oh
A
M
E
RswAsw
Mt
D
RsAs
B
x
h
a'a
b
As
A's





Tính w,min , w , w,max theo (5.6) và (5.8a), (5.8b)
Tính các hệ số
 = M/Mt , δ = b/(2h+b), p = 1 và λ = c/b.
Đem các hệ số vào (5.2) vế phải sẽ là hàm số theo c. Giá trị c xác định từ điều kiện
tiết diện vênh nguy hiểm nhất ứng với vế phải (5.2) là bé nhất. Thực hiện việc tính
toán bằng cách tính đạo hàm, giá trị c đồng thời phải thỏa điều kiện:
c ≤ 2h + b (5.10)
Ví dụ 5.1:
Cho dầm tiết diện chữ nhật 25x35cm, bêtông cấp B20, cốt dọc nhóm AII, cốt đai
nhóm AI. Mômen uốn là M = 4,50Tm = 450000 daNcm, mômen xoắn Mt = 0,9 Tm =
90000 daNcm. Chọn, bố trí và kiểm tra theo sơ đồ 1.
Số liệu:
B20 có Rb = 11.5MPa = 115 daN/cm2
, ξR = 0.62 (bêtông nặng,  =0.85)
AII có Rs = Rsc = 280 MPa = 2800 daN/cm2
AI có Rsw = 175 MPa = 1750 daN/cm2
1. Chọn a = 4cm, h0 = h – a = 35 – 4 = 31cm
Xác định As theo bài toán cốt đơn với γ =0.8, ta có:
2
0
48.6
318.02800
450000
cm
xxhR
M
s
w 


Chọn As = 418 = 10.18cm2
, đặt thành một hàng.
Hình 5.8. Mặt cắt tính toán dầm theo ví dụ 5.1

Chọn chiều dày lớp bảo vệ 2.0cm, cốt đai 10, ta có:
a = 2.0 + 10+ 18/2 = 3.9cm  4.0 cm (thỏa giả thiết)
Chọn thép vùng nén 214 có As’ = 3.08cm2
. Thép dọc đặt giữa cạnh h là 214
Cốt đai 10, khoảng cách s = 5cm có Asw = 0.785cm2
Tính các hệ số:
 = M/Mt = (450000)/(90000) = 5.0
δ = b/(2h+b) = 25/(2x35+25) = 0.263 p = 1
2. Kiểm tra điều kiện về ứng suất nén chính:
0.1Rbb2
h = 0.1x115x252
x35 = 251562 daNcm
Mt = 90000  0.1Rbb2
h = 251562 daNcm
Thỏa điều kiện bắt buộc theo (5.1)
3. Kiểm tra theo tiết diện vênh:
a’ = 2.0+1.0+1.4/2 = 3.7cm
Theo (5.3) ta có: (115x25)x = 2800(12.56 – 4.02)
 x = 8.32cm > 2a = 3.7x2 = 7.4cm
Tính Mu theo (5.9):
Mu = 115x25x7.6(31 – 7.6/2) + 2800x3.08(31 – 3.6)
= 830617 daNcm  8.3 Tm
241.0
5
25
18.102800
785.01750
 x
x
x
s
b
AR
AR
ss
swsw
w
235.0
)3.8241.02(
5.41
5.0
2/1
5,0
min, 




xx
MM uw
w


687.0
3.8
5.4
15.115,1max, 












u
w
M
M

Thỏa theo điều kiện w,min ≤ w ≤ w,max
λ = c/b = c/25

  )15.431(
51
263.0241.01
18.1028005,0
1 2
0
2











x
xx
xxhARM
q
w
sst
Đạo hàm bậc nhất vế phải, cho bằng không, ta có: λ = 1.385
 c = 1.385x25 = 34.625 cm < 2h + b = 2x35 + 25 = 95cm (thỏa)
Thay λ vào phương trình Mt:
Mt = 0.9 Tm ≤ 134437 daNcm = 1.34 Tm
Cấu kiện đủ khả năng chịu lực.
5.2.2. Tính toán theo sơ đồ 2 (Mt và Q):
A's1
B
C1

Mt
E
A
RswAswQ
RsAs1
RswAsw
D
h
As1
aa'
x
b
b
Hình 5.9. Sơ đồ tính toán theo sơ đồ 2
5.2.2.1. Trường hợp 1 : Mt > 0,5Qb
Kiểm tra theo tiết diện vênh tức là Mt ≤ Mgh theo (5.2), các bước tính giống như
sơ đồ 1, không cần xác định Mu và lấy  = 0, p như sau:
φq = 1 +
tM
Qh
2
(5.11)
Nếu x < 2a’ trong (5.2) lấy x = min(2a’,x1) (5.12)
b
ss
bR
AR
x 1 (5.13)
Chọn w,min = 0.5 và w,max = 1.5. Lúc này vị trí vùng nén song song theo cạnh h
nên các cạnh b, h hoán đổi nhau, As và As’ lấy theo hình 5.8.
5.2.2.1. Trường hợp 2 : Mt ≤ 0.5Qb
Kiểm tra theo điều kiện: Q ≤ Qsw + Qb –
b
Mt3
(5.14)

Trong đó: Qb – là khả năng chịu cắt của bêtông, xác định theo công thức
(4.48) trong chương 4, với C là C1.
Qsw =
s
AR swsw
.C1 (5.15)
Giá trị C1 là giá trị làm cho vế phải (5.14) là nhỏ nhất, tức là ta đạo hàm vế phải
(5.14) hai lần theo C1 và cho bằng 0 sẽ tìm được C1.
Ví dụ 5.2:
Cho dầm tiết diện chữ nhật 25x35cm, bêtông cấp B20, cốt dọc nhóm AII, cốt đai
nhóm AII. Lực cắt Q = 2,50T = 2500 daN, mômen xoắn Mt = 0,9 Tm = 90000 daNcm.
Chọn, bố trí thép như ví dụ 5.1 và kiểm tra khả năng chịu lực dầm theo sơ đồ 2.
Ta có:
Mt = 90000 > 0.5Qb = 0.5x2500x25 = 31250 daNcm
Cần tính toán theo tiết diện vênh.
Số liệu:
B20 có Rb = 11.5MPa = 115 daN/cm2
, ξR = 0.62 (bêtông nặng,  =0.85)
a = a’ = 2.0 + 1.0 + 0.9 = 3.9 cm  4.0 cm
As = As’ = 18 + 14 +14 = 5.62cm2

1. Kiểm tra điều kiện về ứng suất nén chính: đã thực hiện ở ví dụ 5.1
2. Kiểm tra theo tiết diện vênh:
Do As = As’ , Rs = Rsc theo (5.3) ta có 0 bxRARAR bsscss  x = 0
Tính cm
x
x
bR
AR
x
b
ss
47.5
11525
62.52800
1 
Chọn x = min(2a’,x1) = (2x4.0,5.47) = 8.0cm
561.0
5
25
62.52800
785.02250
 x
x
x
s
b
AR
AR
ss
swsw
w
Thỏa điều kiện w,min = 0.5 ≤ w =0.561 ≤ w,max =1.5
δ = b/(2h+b) = 35/(2x25+35) = 0.41
φq = 1 +
tM
Qh
2
= 1 +
900002
252500
x
x
=1.35
λ = c/b = c/35
 = 0
  )431(
35.1
41.0561.01
62.528005,0
1 2
0
2










x
xx
xxhARM
q
w
sst
 c = 2.085x25 = 52.128 cm < 2h + b = 2x35 + 25 = 95cm (thỏa)
Mt = 0.9 Tm ≤ 301875 daNcm = 3 Tm
5.2.3. Tính toán theo sơ đồ 3 (Mt và Q):
Sơ đồ 3 tính với cặp moment xoắn Mt và moment uốn –M (ngược dấu với M),
nhưng vùng nén nằm về phía thớ kéo do uốn. Giá trị Mgh được tính toán theo công thức
(5.2) trong đó  = - M/Mt , p = 1.
Các giá trị φwmin, φwmax cũng được tính toán với M mang dấu trừ.
Do sơ đồ 3 có vị trí vùng nén của tiết diện ở cạnh bị kéo do uốn nên As trong sơ
đồ 3 là A’s trong sơ đồ 1 và ngược lại.

Trong TCXDVN 356-2005 không quy định khi nào cần hoặc không cần tính
theo sơ đồ 3.Theo nghiên cứu của một số tác giả chỉ cần tính theo sơ đồ 3 trong những
đoạn dầm có mômen xoắn tương đối lớn hơn mômen uốn theo điều kiện:
Mt > 2M
bh
b
2
     (5.16)
 Ngoài ra trong một số đoạn dầm có M = 0 cũng cần kiểm tra theo sơ đồ 3
Ví dụ 5.3:
Cho dầm như ví dụ 5.1. Mômen uốn M = 0, mômen xoắn Mt = 0,9 Tm = 90000
daNcm. Kiểm tra khả năng chịu lực dầm theo sơ đồ 3.
Số liệu: B20 có Rb = 11.5MPa = 115 daN/cm2
, ξR = 0.62 (bêtông nặng,  =0.85)
As = 214 = 3.08cm2
, A’s = 418 = 10.18cm2
1. Kiểm tra điều kiện về ứng suất nén chính: đã thực hiện ở ví dụ 5.1
2. Kiểm tra theo tiết diện vênh
x = 0
25115
2800)18.1008.3(


x

cm
x
x
bR
AR
x
b
ss
0.3
11525
08.32800
1 
Chọn x = min(2a’,x1) = (2x4.0,3.0) = 8.0cm

024.1
5
25
08.32800
785.02250
 x
x
x
s
b
AR
AR
ss
swsw
w
Với M = 0 theo (5.8a) và (5.8b) thì w,min = 0.5 và w,max = 1.5
Vậy thỏa điều kiện w,min = 0.5 ≤ w = 1.024 ≤ w,max = 1.5
δ = b/(2h+b) = 25/(2x35+25) = 0.263
λ = c/b = c/25
 = - M/Mt = 0, p = 1.
  )431(
1
263.0024.11
08.328005,0
1 2
0
2










x
xx
xxhARM
q
w
sst
 c = 1.927x25 = 48.174 cm < 2h + b = 2x35 + 25 = 95cm (thỏa)
Mt = 0.9 Tm ≤ 121148 daNcm = 1.21 Tm

TÓM TẮT TÍNH TOÁN CẤU KIỆN CHỊU UỐN - XOẮN
Số liệu đã biết: M, Mt, Q, b, h, Rb, Rs, Rsc, Rsw, ξR.
 Từ bài toán cốt dọc (chịu uốn) biết : As, A’s, bố trí thép thực tế biết: a, a’
 Từ bài toán cốt đai biết : Asw, s.
Kiểm tra điều kiện tiết diện:
Mt  0.1Rbb2
h
Tăng tiết diện, đặc biệt là b
hoặc tăng cấp độ bền bêtông
Không
thoả
thoả
Kiểm tra theo Mt và M Kiểm tra theo Mt và Q
Kiểm tra điều kiện:
Mt > 2M
bh
b
2
Tính toán như trường
hợp không thoả nhưng
đổi vai trò A’s và As, với
M mang dấu (-)
thoả
không
thoả
Tính: χ =
tM
M
; 
bh
b
2

x =
bR
ARAR
b
sscss '
, nếu x < 2a’ xem như A’s= 0
Tính Mu=Rbbx(ho -0,5x)+RscA’s(ho –a’)
Tính φw =
ss
swsw
AR
AR
s
b
; φwmin =
uwM
M
2
1
5,0

φwmax = 1,5 






uM
M
1
Nếu φw < φwmin thì nhân RsAs với tỉ số
φw/φwmin tính lại x;
tính: ho – 0,5x; =C/b; φq = 1 +
tM
Qb
2
Nếu x>ξRho thì nhân RsAs với tỉ số ξRho /x
Tính:  xhARM
q
w
ssgh 5,0
1
0
2






Kiểm tra điều kiện:
Mt> 0,5Qb
Hoán đổi vị trí b
và h trong công
thức, trừ công thức
tính φq , với As và
A’s là thép bố trí
theo cạnh h
thoả
Không
thoả
Tính:
Qsw =
s
AR swsw
.C1
Tính Qb theo
(4.48), chương 4
Kiểm tra điều kiện cường độ theo công thức:
Q ≤ Qsw + Qb –
b
Mt3
Đạo hàm vế phải theo C1 cho = 0  C1; nếu
không thoả đk trên thì điều chỉnh b, h, thép đai,
thép dọc (theo cạnh h)  tính lại.
Đạo hàm Mgh theo C, cho = 0  C; nếu
không thoả đk Mt ≤ Mgh thì điều chỉnh b,h,
thép đai, thép dọc (theo cạnh b)
 tính lại.

Tính xoắn

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (15)

Similar to Tính xoắn

Similar to Tính xoắn (20)

Tính xoắn