Cálculo da Média e Variância da Distribuição Beta - Veja como obter a Média e a Variância da Distribuição Beta

1. concurseiro_estatistico@outlook.com

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3. Distribuição Beta
Se X ∼ Beta(α, β) x ∈ (0, 1). Sua função densidade de probabilidade é dada por:
f(x) =
Γ(α + β)
Γ(α)Γ(β)
xα−1
(1 − x)β−1
, 0 < x < 1
Às vezes temos a notação
f(x) =
1
B(α, β)
xα−1
(1 − x)β−1
, I(0,1)(x)
B(α, β) =
Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β)
.

4. https://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution

5. Função Gama
Γ(α) =
∞
0
xα−1
e−x
dx
Resultados:
i. Γ(1) =
∞
0
e−x
dx = 1
ii. Se α > 1, então Γ(α) = (α − 1)Γ(α − 1)
iii. Γ
1
2
=
√
π
iv. Γ(n) = (n − 1)!, n interiro positivo.

6. Valor Esperado
Denição E(X) =
1
0
xf(x) dx :
E(X) =
1
0
x f(x) dx =
1
0
Γ(α + β)
Γ(α)Γ(β)
xα
(1 − x)β−1
dx
E(X) =
1
0
α
α + β
×
(α + β)Γ(α + β)
α Γ(α)Γ(β)
xα
(1 − x)β−1
dx
E(X) =
α
α + β
1
0
Γ(α + 1 + β)
Γ(α + 1)Γ(β)
xα+1−1
(1 − x)β−1
dx
=1, Beta(α+1,β)
E(X) =
α
α + β

7. Calculo de E(X2
)
Denição E(X2
) =
1
0
x2
f(x) dx =
1
0
Γ(α + β)
Γ(α)Γ(β)
xα+1
(1 − x)β−1
dx :
E(X2
) =
1
0
Γ(α + 2)
α + β
×
(α + β)
Γ(α + 2)
×
Γ(α + β)
Γ(α)Γ(β)
× xα+1
(1 − x)β−1
dx
E(X2
) =
Γ(α + 2)
Γ(α)
1
0
1
α + β
×
Γ(α + 1 + β)
Γ(α + 2)Γ(β)
· xα+1
(1 − x)β−1
dx
E(X2
) =
Γ(α + 2)
Γ(α)
1
0
1
(α + β)(α + β + 1)
(α + β + 1)Γ(α + 1 + β)
Γ(α + 2)Γ(β)
xα+1
(1 − x)β−1
dx
E(X2
) =
Γ(α + 2)
(α + β)(α + β + 1)Γ(α)
1
0
Γ(α + 2 + β)
Γ(α + 2)Γ(β)
× xα+1
(1 − x)β−1
dx
=1, Beta(α+2,β)
E(X2
) =
Γ(α + 2)
(α + β)(α + β + 1)Γ(α)
=
α(α + 1)
(α + β)(α + β + 1)

8. Calculo da Variância
Sabemos que Var(X) = E(X2
) − E(X)2
Var(X) =
α(α + 1)
(α + β)(α + β + 1)
−
α2
(α + β)2
Var(X) =
α(α + 1)(α + β)
(α + β)2(α + β + 1)
−
α2(α + β + 1)
(α + β)2(α + β + 1)
Var(X) =
α3 +α2 +
βα2 + αβ −α3 −
α2β −α2
(α + β)2(α + β + 1)
=
αβ
(α + β)2(α + β + 1)
Var(X) =
αβ
(α + β)2(α + β + 1)

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