Что такое ТАУ Классификация сущностей ТАУ Одномерные регуляторы Что делать с нелинейностью Что делать с многомерностью Кое-что об алгебре систем

1. Теория автоматического
управления в картинках
(и формулах =)
Борисевич Алексей,
к.т.н., старший инженер Tesla Motors

2. Содержание
• Что такое ТАУ
• Классификация сущностей ТАУ
• Кое-что об алгебре систем
• Одномерные регуляторы
• Что делать с нелинейностью
• Что делать с многомерностью
• Демонстрации в Matlab

3. О чем это
• ТАУ = наука преобразовании систем
• В идеале – об инвертировании систем
• ТАУ рассматривает как изменить поведение
системы за счет подключения внешних связей
и систем ("системы управления") к заранее
заданной системе ("объекту управления")
• ТАУ – это компьютерная наука, для понимания
которой надо забыть о физических
размерностях сигналов (они там не
сохраняются как, например, в физике)!

4. Как у них
• Control theory = "матан"
• Process control – как это реализовать и
применить

5. Гимн черному ящику =)
Стандартная нотация (у них =):
• P – "plant" – объект управления
• С – "controller" – система управления
• y(t) – выход
• u(t) – вход
• x(t) – внутреннее состояние системы
• r(t) – "reference" – желаемое состояние выхода
• e(t) – "error" – сигнал ошибки между желаемым и действительным

6. Управление как прозрачность
(тождественность)
Цель -- сделать так чтобы

7. Задачи управления: обнуление
выхода (стабилизация)
y(t)

8. Задачи управления: установка
выхода (регулирование)
y(t)

9. Задачи управления: следование за
траекторией
желаемое (r)
реальное (y)

10. Стабилизация
Матрёшка задач управления
Регулирование
Следование за
траекторией

11. Поведение: устойчивое и не
устойчивое
Реакция двух систем на постоянное входное воздействие
Реакция устойчивой системы
Реакция неустойчивой системы
t
y(t)

12. Отклик: динамический и
статический
Вход (постоянный сигнал) Выход
Переходной процесс
(transient)
Установившийся режим
(steady state)

13. Количество входов: одномерные и
многомерные системы
• SISO – single input single output – одномерная система
• MIMO – multiple input multiple output – многомерная
(многоканальная система)
• Квадратная система (square system): количество входов =
количество выходов (= количество переменных состояний)

14. Линейные и нелинейные системы
Линейная система Нелинейная система
Формализм:
Методы исследования: Преобразование Лапласа,
матричный анализ
Дифференциальная
геометрия, топология,
теория особенностей,
имитационное
моделирование
Установившийся режим:
вектора
матрицы векторные поля
Отклик системы:
вектор постоянных значений
все что угодно =)

15. Разомкнутое управление
Проблемы:
• Моделирование: мы никогда не знаем объект управления на 100%
• Неопределенность: объект управления может меняться (как со временем,
так и в процессе работы)
• Возмущения: на каждый сигнал может действовать шумы или другие
неучтенные воздействия
• Инвертируемость: сложно получить явную инверсию объекта управления
Разомкнутое управление (open loop control).
Прямая инверсия
объекта управления

16. Разомкнутое управление в
центральном отоплении =)
Температура воды на выходе котельной
– есть функция от температуры воздуха
на улице

17. Замкнутое управление
Это уже не обязательно
инверсия объекта управления
Регулятор делает все от
него возможное, чтобы
установить этот сигнал в 0
Преимущества:
• Моделирование: не обязательно знать точную модель объекта управления
• Неопределенность: если объект управления может меняться – OK
• Возмущения: если на каждый сигнал может действовать шумы или другие
неучтенные воздействия – OK
• Инвертируемость: не требуется, регулятор может быть существенно проще
объекта управления

18. Релейный регулятор
Если сигнал ошибки > предел, то включить
Если сигнал ошибки < –предел, то выключить

19. Релейный регулятор – в действии
Температура
Мощность
нагрева

20. Непрерывный регулятор –
соображения
Чем дальше я от цели (чем больше сигнал ошибки) – тем сильнее я должен управлять

21. Непрерывный регулятор – еще
соображения
Долгое время еду не по центру
– надо подрулить =)

22. ПИД-регулятор
Пропорционально-Интегрально-Дифференциальный регулятор (PID)

23. ПИД регулятор – в действии
Температура
Мощность
нагрева

24. Алгоритм применения и настройки
ПИД-регулятора
1. Убедиться, что объект управления имеет прямую
характеристику: увеличение входа ведет к увеличению выхода
(иначе – поставить инвертор на вход)
2. Установить все коэффициенты в 0, кроме Kp
3. Подавая на вход r желаемое постоянное значение и
перезапуская систему, увеличивать Kp от очень малых
значений (близких к 0) до момента когда либо будет
достигнута желаемая точность регулирования, либо когда
начнутся колебания на выходе
4. Если наблюдаются колебания, а точность регулирования не
достигнута – то добавить интегрального компонента Ki
5. Если после включения интегрального компонента (Ki > 0)
наблюдается перерегулирование – добавить немного Kd
(существуют средства автоматической настройки, в том числе и в
Matlab)

25. Вложенные обратные связи
Решение: сначала сделать управление для Plant 1, а потом для Plant 2

26. Что делать с нелинейностями?
1. Ничего не делать (линеаризация в рабочей точке,
нелинейность = неопределенность)
2. Последовательная компенсация
3. Параллельная компенсация
Проблема: ПИД-регулятор идеально работает только с линейными системами.

27. Последовательная компенсация
нелинейностей

28. Параллельная компенсация
нелинейностей
Решение: одновременное применение инверсии и обратной связи
Это всегда лучше чем обратная связь или инверсия по отдельности!

29. Что делать с многомерностью
Проблема: возможна сильная взаимозависимость каналов системы, изменяя
одну входную переменную – мы изменяем оба входа сразу
1. Ничего не делать (надеяться, что взаимозависимость
слабая)
2. Последовательное развязывание входов
3. Параллельное развязывание входов
4. Почитать книжку =)

30. Последовательное развязывание
входов
Решение: подключить перед объектом управления Plant что-то что смогло бы
устранить взаимозависимость его выходов (например прямую инверсию
объекта управления – Plant_inv)

31. Параллельное развязывание входов
Решение: одновременное применение инверсии и обратной связи
Это всегда лучше чем обратная связь или инверсия по отдельности!

32. Методы из умных книг =)
Линейная система Нелинейная аффинная система
Метод размещения полюсов (pole
placement): можно вычислить
матрицу K такую, что система с
обратной связью стабилизируется
1. Система должна быть
управляемой.
2. Если значения вектора x
не доступны – можно
сделать наблюдатель по y
(+ система должна быть
наблюдаемой).
Метод линеаризации по обратной
связи (feedback linearization) :

33. Алгебра систем: композиция
yu
(но в линейных системах можно =)

34. Алгебра систем: сложение

35. Алгебра систем: нейтральные
элементы
Нейтральный элемент относительно
"умножения" (композиции) –
прозрачная система
Нейтральный элемент относительно
сложения сигналов – нулевая
константа

36. Алгебра систем: инверсия

37. Алгебра систем: обратная связь

38. Одномерный регулятор
Одномерный регулятор должен обеспечить нулевой сигнал ошибки, т.е.
Что дает цель управления:

39. Почитать перед сном =)
• Олсон Г. Пиани Дж. Цифровые системы
автоматизации и управления. СПб.: Невский
Диалект, 2001. 557 с
• Мирошник И.В. Теория автоматического
управления. Линейные системы. СПб: Питер, 2005.
336 с.
• Мирошник И.В. Теория автоматического
управления. Нелинейные и оптимальные системы.
СПб: Питер, 2006. 271 с.
• Борисевич A.B. Теория автоматического управления:
элементарное введение с применением MATLAB.
СПб.: Издательство СПбГПУ, 2011. 199 с.