grouping problem

1. Integer Linear Programming
4100053028 陳立其

2. Outline
• A simple example (Event-Holding problem)
• Generalized form for the problem
• Solve the simple problem

3. 2014跨年問題
• 今有同學六人，分別為小明、小美、冠宇、建宏、淑芬、力宏
• 同學之間彼此有難分難捨的心結，但是身為一個主辦人，遵循心
存善念，盡力而為的初衷，要辦一個活動，即使同學彼此勾心鬥
角，主辦人也必須盡量讓事情圓滿。
• 主辦人分別詢問了六位同學是否參加跨年團的意願，而同學的回
覆也都在主辦人的意料之內，意料之內的非常難以處理
• 身為一個數學系的主辦人，突然想起，他曾經在作業研究這門課
上學習到一些線性規劃技巧，說不定可以用到。

4. 同學們的回覆
• 小明
• 好阿，隨便阿，都可以阿，多找幾個人吧，呵呵。
• 小美
• 我想想，那如果小明同學去的話我再考慮，先這樣囉，掰掰。
• 冠宇
• 如果小明跟小美都不去的話，就別找我了。
• 建宏
• 如果小美不去或冠宇不去，那我也不去了。
• 淑芬
• 如果冠宇跟建宏都去，那我偏偏不去。
• 力宏
• 如果淑芬不去的話，我就不想去了

5. 推廣問題形式
• 假設有同學𝑛人
• 分別為𝑥1, … , 𝑥𝑖, … , 𝑥𝑗, … , 𝑥 𝑛
• 𝑥 𝑘列出了他不去的充分條件
• 𝑥 𝑘 = 1
• 表示𝑥 𝑘會去
• 𝑥 𝑘 = 0
• 表示𝑥 𝑘不會去

6. 𝑥 𝑘不去的充分條件(若…,則𝑥 𝑘不去)
• 若 𝑥𝑖不去
• 𝑥 𝑘 ≤ 𝑥𝑖
• 若 𝑥𝑖去
• 𝑥 𝑘 ≤ 1 − 𝑥𝑖

7. 𝑥 𝑘不去的充分條件
• 若 𝑥𝑖不去且𝑥𝑗不去
• 𝑥 𝑘 ≤ 𝑥𝑖 + 𝑥𝑗
• 若𝑥𝑖去且𝑥𝑗去
• 𝑥 𝑘 ≤ 1 − 𝑥1 + (1 − 𝑥2)
• 若 𝑥𝑖不去或𝑥𝑗不去
• 𝑥 𝑘 ≤ 𝑥𝑖
• 𝑥 𝑘 ≤ 𝑥𝑗
• 若 𝑥𝑖去或𝑥𝑗去
• 𝑥 𝑘 ≤ 1 − 𝑥𝑖
• 𝑥 𝑘 ≤ 1 − 𝑥𝑗

8. 𝑥 𝑘不去的充分條件
• 若 𝑥𝑖去且𝑥𝑗不去
• 𝑥 𝑘 ≤ 1 − 𝑥𝑖 + 𝑥𝑗
• 若 𝑥𝑖去或𝑥𝑗不去
• 𝑥 𝑘 ≤ 1 − 𝑥𝑖
• 𝑥 𝑘 ≤ 𝑥𝑗
• 若 𝑥1去且𝑥2不去 或 𝑥3不去且𝑥4去且𝑥5去
• 𝑥 𝑘 ≤ 1 − 𝑥1 + 𝑥2
• 𝑥 𝑘 ≤ 𝑥3 + 1 − 𝑥4 + (1 − 𝑥5)

9. 跨年問題
• 假設六位同學分別為𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6
• 小明
• 好阿，隨便阿，都可以阿，多找幾個人吧，呵呵。
• 𝑥1
• 小美
• 我想想，那如果小明同學去的話我再考慮去，先這樣囉，掰掰。
• 𝑥2 ≤ 𝑥1
• 冠宇
• 如果小明跟小美都不去的話，就別找我了。
• 𝑥3 ≤ 𝑥1 + 𝑥2

10. 跨年問題
• 建宏
• 如果小美不去或冠宇不去，那我也不去了。
• 𝑥4 ≤ 𝑥3
• 𝑥4 ≤ 𝑥2
• 淑芬
• 如果冠宇跟建宏都去，那我偏偏不去。
• 𝑥5 ≤ 1 − 𝑥3 + 1 − 𝑥4
• 力宏
• 如果淑芬不去的話，我就不想去了
• 𝑥6 ≤ 𝑥5

11. 同學們的限制式
• 𝑥2 ≤ 𝑥1
• 𝑥3 ≤ 𝑥1 + 𝑥2
• 𝑥4 ≤ 𝑥3
• 𝑥4 ≤ 𝑥2
• 𝑥5 ≤ (1 − 𝑥3) + (1 − 𝑥4)
• 𝑥6 ≤ 𝑥5

12. 矩陣式
• 𝐴 =
−1 1 0 0 0 0
−1 −1 1 0 0 0
0 −1 0 1 0 0
0 0 −1 1 0 0
0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 −1 1
, 𝑏 =
0
0
0
0
2
0
• 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
• 𝑥𝑖 𝑖𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑒𝑟, ∀𝑖 ∈ 1,2,3,4,5,6

13. Matlab
• Intlinprog(Optimization Toolbox)
• 𝑥 =
1
1
1
0
1
1