Image Processing Class #5

1. 空間濾波
Spatial Filtering
影像處理
Nov. 9, 2014
銘傳資工李遠坤副教授編撰

2. 大綱
1. 空間域與頻率域Spatial and Frequency Domain
2. 空間濾波的基本原理Basic of Spatial Filtering
3. 平滑空間濾波器Smoothing Spatial Filter
4. 胡椒鹽雜訊與中值濾波器
Pepper-and-salt Noise and Median Filter
5. 銳化空間濾波器Sharping Spatial Filter
2

3. 空間域與頻率域
Spatial and Frequency Domain
3

4. 空間域上的影像處理
4
空間域之
影像處理
處理前影像處理後影像
• 直接針對空間域上的像素色彩值進行處理，處理結果也
是直接取代原先空間域上的像素色彩值。

5. 空間域上的影像處理(續)
• 之前所介紹的直方圖均化、Photoshop 的色階調整、曲線
調整…等都是直接在空間域上進行的影像處理。
• 本單元要介紹的平滑(Smoothing)、銳化(Sharping)及中值
等濾波器，都是屬於空間域上的影像處理。
5

6. 頻率域上的影像處理
6
處理前影像處理後影像
轉換Transformation Inverse Transformation 反轉換
頻率域之
影像處理
• 並不會直接針對空間域的像素色彩值處理，首先，將其
換成頻率域上的係數後再進行處理，最後再轉換回來。

7. 頻率域上的影像處理(續)
• 最常見的轉換是傅立葉轉換(Fourier Transform)。
• 影像壓縮標準JPEG 則是採用
離散餘弦轉換(Discrete Cosine
Transform ) 作為轉換工具。
7

8. 空間濾波的基本原理
Basic of Spatial Filtering
8

9. 空間濾波的基本原理
9
座標原點
(x,y)
影像f(x,y)
y
x
mask
• 濾波器(filter) 也稱為遮罩(mask)、
核心(kernel)、模板(template)、
或視窗(window)。
• 濾波器大小會依應用不同而有所
不同。
• 濾波器上每一格都有一個對應的
濾波器係數(coefficient)。

10. 空間濾波的基本原理(續)
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• 濾波器w 的係數依其位置給予索引
標號，令中心點為푤(0, 0) ，如左圖。
• 濾波器會從上而下，從左而右地處
理影像中的每一個像素。
• 當濾波器中心點푤(0, 0) 落於影像座
標(푥, 푦) 的像素之上，濾波運算會
產生新的像素色彩值푔(푥, 푦)。
w(-1,-1) w(-1,0) w(-1,1)
w(0,-1) w(0,0) w(0,1)
w(1,-1) w(1,0) w(1,1)
f(x-1,y-1) f(x-1,y) f(x-1,y+1)
f(x,y-1) f(x,y) f(x,y+1)
f(x+1,y-1) f(x+1,y) f(x+1,y+1)

11. 空間濾波的基本原理(續)
11
w(-1,-1) w(-1,0) w(-1,1)
w(0,-1) w(0,0) w(0,1)
w(1,-1) w(1,0) w(1,1)
f(x-1,y-1) f(x-1,y) f(x-1,y+1)
f(x,y-1) f(x,y) f(x,y+1)
f(x+1,y-1) f(x+1,y) f(x+1,y+1)
푔 푥, 푦
= 푤 −1, −1 푓 푥 − 1, 푦 − 1
+ 푤 −1,0 푓 푥 − 1, 푦 + ⋯
+ 푤 0,0 푓 푥, 푦 + ⋯
+ 푤 1,0 푓(푥 + 1, 푦)
+ 푤 1,1 푓(푥 + 1, 푦 + 1)

12. 空間濾波的基本原理(續)
12
w(-1,-1) w(-1,0) w(-1,1)
w(0,-1) w(0,0) w(0,1)
w(1,-1) w(1,0) w(1,1)
f(x-1,y-1) f(x-1,y) f(x-1,y+1)
f(x,y-1) f(x,y) f(x,y+1)
f(x+1,y-1) f(x+1,y) f(x+1,y+1)
• 假設濾波器大小m*n 均為奇數
푔(푥, 푦) =
푎
푠=−푎
푏
푡=−푏
푤 푠, 푡 푓 푥 + 푠, 푦 + 푡
• 푚 = 2푎 + 1
• 푛 = 2푏 + 1

13. 平滑空間濾波器
Smoothing Spatial Filter
13

14. 平滑空間濾波器
• 平滑濾波器(Smoothing filter) 主要用途是模糊化(blurring)
14
和減少雜訊(noise reduction)。
• 模糊化通常在影像中針對較大物件的萃取(object
extraction)時，在預處理(preprocessing) 階段，先用平滑
濾波器移除影像中的小細節；或是針對直線或曲線上的
小間隙，用平滑濾波器將小間隙連接起來。
• 減少雜訊除了使用平滑濾波器之外，也可以使用中值濾
波器來完成。

15. 平滑空間濾波器(續)
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• 平滑濾波器(smoothing filter) 的輸出為遮罩所包含的臨
域中，所有像素的平均值。故有時亦稱為平均濾波器
(averaging filter)。
• 平滑濾波器的效果和頻率域中的低通濾波器是相同的，
因此，也稱為低通濾波器(lowpass filter)。

16. 平滑空間濾波器(續)
16
• 上圖的遮罩將1
9
提出，可降低運算
所需時間。
• 下圖為權重平均(weighted average)，
中間係數權重較大，代表中心像素的
色彩值被視為較重要，離中心點越遠
的像素權重較小，表示重要性較低。
所有係數值總和為16，故必須再乘上
1
16
，達到平均的目的。
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
9
×
1 2 1
2 4 2
1 2 1
1
16
×

17. 平滑空間濾波器(續)
• 大小為푚 × 푛 ( 푚, 푛 均為奇數) 的權重平均濾波器，其表
17
示式為
푔(푥, 푦) =
푎 푠=−푎
푡=−푏
푏 푤 푠, 푡 푓 푥 + 푠, 푦 + 푡
푎 푠=−푎
푡=−푏
푏 푤 푠, 푡
• 注意！在實作時，分母為遮罩中所有係數的總和。因此
可事先計算並儲存為常數。不必於每個像素中重新計算。

18. 中值濾波器與胡椒鹽雜訊
Median Filter and Pepper-and-salt Noise
18

19. 排序統計濾波器
• 排序統計濾波器(order-statistics filter) 屬非線性濾波器，
19
其輸出為根據遮罩中所有像素色彩排序後的結果。
• 例如，最大值濾波器(max filter)的輸出為遮罩中所有像
素色彩的最大值，
• 最小值濾波器(min filter)的輸出為遮罩中所有像素色彩
的最小值。
• 中值濾波器(median filter)的輸出為遮罩中所有像素色彩
的中位數。

20. 中值濾波器與胡椒鹽雜訊
20
• 中值濾波器常可用來消除脈衝雜訊(impulse noise)。
• 影像中的脈衝雜訊是以白點或黑點的形式出現，就像在
影像中撒上黑胡椒與白鹽一般，所以又稱為胡椒鹽雜訊
(pepper-and-salt noise)。

21. 中值濾波器與胡椒鹽雜訊(續)
21
含6% 隨機胡椒鹽雜訊之影像使用中值濾波器後之影像

22. 中值濾波器與胡椒鹽雜訊(續)
22
含20% 隨機胡椒鹽雜訊之影像使用中值濾波器後之影像

23. 銳化空間濾波器
Sharping Spatial Filter
23

24. 銳化空間濾波器
24
• 銳化濾波器(sharping filter) 的目的是強化影像細節，並
凸顯其色彩強度的變化。

25. 微積分與影像處理
25
• 我們已經知道平滑濾波是將鄰域中的所有像素的色彩值
取平均而達成，而平均其實是與積分相關。
푓푎푣푔 =
1
푏 − 푎
푏
푓 푥 푑푥
푎
• 將函數積分所得到的面積，除以積分範圍就可以得到此
段函數的平均值。
• 合理的推論: 銳化濾波可以由微分來達成。

26. 微積分與影像處理(續)
26
• 定義域為實數的函數푓(푥) ，其一階導函數(微分) 的定
義如下:
푓′ 푥 = lim
ℎ→0
푓 푥 + ℎ − 푓(푥)
ℎ
• 其意義為當輸入的自變數變化一點點時(由푥 變成푥 +
ℎ )，觀察函數值的變化(由푓(푥) 變化成푓(푥 + ℎ) )，換
句話說， 就是函數푓(푥) 在푥 的變化率。

27. 微積分與影像處理(續)
27
• 若是將影像的某一列視為一個函數，函數值即為像素色
彩值，自變數為水平座標，因此其定義域為正整數。
• 由相鄰兩個像素其位置的座標至少差1，因此此函數是
屬於離散函數(discrete function) 的一種。
• 離散函數푓(푥) 的導函數(差分) 的定義和連續函數的微
分非常類似，只是自變數的變化最小為1，由푥 變成
푥 + 1。因此，求導函數不再需要用到極限的概念，只
要相鄰兩個值相減即可。

28. 差分: 一階與二階導函數
28
• 離散函數푓(푥) 的一階導函數(差分)定義如下:
푓′ 푥 =
푑푓(푥)
푑푥
= 푓 푥 + 1 − 푓(푥)
• 同理，二階導函數可由一階導函數推導出
푑2푓(푥)
푑푥2 = 푓′ 푥 + 1 − 푓′ 푥
= 푓 푥 + 2 − 푓 푥 + 1 − 푓 푥 + 1 − 푓 푥
푓′′ 푥 =
= 푓 푥 + 2 − 2푓 푥 + 1 + 푓(푥)

29. 差分: 一階與二階導函數
29
• 所導出的二階導函數
푓′′ 푥 =
푑2푓
푑푥2 = 푓 푥 + 2 − 2푓 푥 + 1 + 푓(푥)
• 由於中心點並沒有位於푥 ，因此，將二階導函數重新定
義為
푓′′ 푥 =
푑2푓
푑푥2 = 푓 푥 + 1 − 2푓 푥 + 푓(푥 − 1)

30. 範例討論
• 左圖紅色箭頭所指的影像列，將其色彩值用函數的圖形表
30
示法畫出，即如右圖所示。

31. 範例討論(續)
7654321
0
下斜坡
孤立點
細線
平坦段
步階
5 5 4 3 2 Image 1 0 0 0 6 0 0 0 0 1 3 1 0 0 0 0 7 7 7 7
strip
31
First

Derivative -1 -1 -1 -1 -1 0 0 6 -6 0 0 0 1 2 -2 -1 0 0 0 7 0 0 0
Second
Derivative -1 0 0 0 0 1 0 6 -12 6 0 0 1 1 -4 1 1 0 0 7 -7 0 0



0
重新定義之
二階導數-1 0 0 0 0 1 0 6 -12 6 0 0 1 1 -4 1 1 0 0 7 -7 0 0
• 影像色階已經簡化成八個灰階值。

32. 範例討論(續)
• 下斜坡：除了兩邊，還跨了4 個像素，影像的邊緣(edge)
通常類似這種慢慢變化的情況。
一階導數：共有5 個像素不為零。
二階導數：只在起點和終點，2 個像素不為零。
推論：一階導數產生較寬的邊緣，二階導數產生的邊緣
較細緻。
32

33. 範例討論(續)
33
• 孤立點：只有一個像素，像是雜訊點。
一階導數：反應在2 個像素，一正一負(跨零)。
二階導數：反應在3 個像素上，且比一階導數強烈。
推論：二階導數在色階的改變，反應要比一階導數強烈。

34. 範例討論(續)
34
• 細線：也是一種影像細節，有三個像素。
一階導數：反應在4 個像素，二正二負(跨零)。
二階導數：反應在5 個像素上，正中間雖然為負的，但
反應最大，也比一階導數要強列。
推論：二階導數反應比一階導數多且強列。

35. 範例討論(續)
35
• 步階：也是一種影像細節，有三個像素。
一階導數：反應在1 個像素。
二階導數：反應在2 個像素上，一正一負(跨零)。
推論：兩個導數的反應強列度相同。

36. 範例討論(續)
36
• 結論：
 一階導數產生的邊緣(edge) 較厚。
 二階導數對孤立點和細直線有較強的反應。
 一階導數對步階有強的反應。
 二階導數對步階有強的雙反應。
二階導數在增強影像細節的應用上，通常會比一階導數要
更合適些。

37. 銳化空間濾波器設計
37
• 運用二階導函數來設計銳化濾波器最有名的就是拉普拉
斯(Laplacian) 運算子。因為影像푓(푥, 푦) 為二維雙變數函
數，故使用偏微分的符號為其定義
훻2푓(푥, 푦) =
휕2푓(푥, 푦)
휕푥2 +
휕2푓(푥, 푦)
휕푦2
휕2푓(푥, 푦)
휕푥2 = 푓 푥 − 1, 푦 − 2푓 푥, 푦 + 푓(푥 + 1, 푦)
휕2푓(푥, 푦)
휕푦2 = 푓 푥, 푦 − 1 − 2푓 푥, 푦 + 푓(푥, 푦 + 1)

38. 銳化空間濾波器設計
38
• 拉普拉斯(Laplacian) 運算子：
훻2푓(푥, 푦) =
휕2푓(푥, 푦)
휕푥2 +
휕2푓(푥, 푦)
휕푦2
= 푓 푥 + 1, 푦 − 2푓 푥, 푦 + 푓(푥 − 1, 푦)
+ 푓 푥, 푦 + 1 − 2푓 푥, 푦 + 푓 푥, 푦 − 1
= 푓 푥 + 1, 푦 + 푓 푥 − 1, 푦 + 푓 푥, 푦 + 1 + 푓 푥, 푦 − 1
−4푓 푥, 푦

39. 銳化空間濾波器設計
39
• 將拉普拉斯運算子훻2푓 用遮罩的
方式實作：
훻2푓 푥, 푦
= 푓 푥 + 1, 푦 + 푓 푥 − 1, 푦
+ 푓 푥, 푦 + 1 + 푓 푥, 푦 − 1
− 4푓 푥, 푦
• 此運算子分別考慮了푥 與푦 方向
的變化細節，並將其加總。
0 1 0
1 -4 1
0 1 0
f(x-1,y-1) f(x-1,y) f(x-1,y+1)
f(x,y-1) f(x,y) f(x,y+1)
f(x+1,y-1) f(x+1,y) f(x+1,y+1)

40. 銳化空間濾波器設計
40
• 若將對角線的細節變化也考慮進
來，遮罩將會如左圖的方式實作。
• 利用拉普拉斯運算子來設計銳化
濾波器的公式為
1 1 1
1 -8 1
1 1 1
f(x-1,y-1) f(x-1,y) f(x-1,y+1) 푔 푥, 푦 = 푓 푥, 푦 − 훻2푓(푥, 푦)
f(x,y-1) f(x,y) f(x,y+1)
f(x+1,y-1) f(x+1,y) f(x+1,y+1)

41. 銳化空間濾波器設計
41
• 將銳化濾波器的公式簡化
푔 푥, 푦
= 푓 푥, 푦 − 훻2푓 푥, 푦
= 푓 푥, 푦 − [푓 푥 + 1, 푦 + 푓 푥 − 1, 푦 + 푓 푥, 푦 + 1
+ 푓 푥, 푦 − 1 − 4푓 푥, 푦 ]
= 5푓 푥, 푦 − 푓 푥 + 1, 푦 − 푓 푥 − 1, 푦 − 푓 푥, 푦 + 1
− 푓 푥, 푦 − 1

42. 銳化空間濾波器設計
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• 簡化後的銳化濾波器的遮罩如下：
0 -1 0
-1 5 -1
0 -1 0
-1 -1 -1
-1 9 -1
-1 -1 -1

43. 銳化空間濾波器設計
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• 使用銳化濾波器遮罩푔 푥, 푦 = 푓 푥, 푦 − 훻2푓(푥, 푦)
得到的月球北極影像(the North Pole of the Moon)。