BAI GIANG XAC SUAT THONG KE.pdf

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN
BỘ MÔN TOÁN
---# "---
TRẦN ANH VIỆT
BÀI GIẢNG
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ
THỐNG KÊ TOÁN
Đà Nẵng tháng 8/2011

Đại học Duy Tân
Khoa : Khoa học tự nhiên
Bộ môn : Toán
Giảng viên : Trần Anh Việt
TẬP BÀI GIẢNG
Môn học :…Lý thuyết xác suất và thống kê toán...…Mã môn học:…STA – 151....
Số tín chỉ : ……3……………Trong đó Lý thuyết : ……3……Thực hành :.0…….
Dành cho sinh viên ngành :…Kinh tế…………………………………………
Khoa/Trung tâm :….………..Kế toán, Quản trị kinh doanh ………….. ………….
Bậc đào tạo :…………….......Đại học…………………………………....………...
Học kỳ :……………………. Năm học :……………………...……………………

ph©n bè giê d¹y: 48 giê
Giê thø Néi dung
1 Giíi thiÖu m«n häc
2
Ch−¬ng i. Çc kh¸i niÖm c¬ b¶n trong lý thuyÕt x¸c suÊt
1.1 Gi¶i tÝch tæ hîp
3 - 4 1.2 PhÐp thö vμ biÕn cè
5 - 6 1.3 Çc kh¸i niÖm vÒ x¸c suÊt
7 -10 1.4 Çc phÐp tÝnh x¸c suÊt
11 -12 1.5 C«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ vμ c«ng thøc Bayes
13-13.5(1.5 giê) 1.6 D·y çc phÐp thö ®éc lËp
13.5-14(0.5 giê) Ch−¬ng II. §¹i l−îng ngÉu nhiªn vμ luËt ph©n phèi x¸c suÊt
2.1 Kh¸i niÖm ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
15 -17 LuËt ph©n phèi x¸c suÊt cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
18 - 20 2.2 Çc ®Æc tr−ng sè cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
21 - 24 2.3 Çc ph©n phèi x¸c suÊt th−êng dïng
25 2.4 LuËt sè lín vμ çc ®Þnh lý giíi h¹n
26 KiÓm tra gi÷a kú
26-26.5(0.5 giê)
Ch−¬ng III. Lý thuyÕt mÉu
3.1 Tæng thÓ vμ mÉu
26.5-27(0.5 giê) 3.2 Bè trÝ mÉu vμ ph©n phèi mÉu - 3.3 MÉu ngÉu nhiªn vμ thèng kª
28 3.4 Çc tham sè ®Æc tr−ng cña tæng thÓ vμ mÉu - 3.5 Thùc hμnh tÝnh to¸n çc ®Æc tr−ng
sè cña mÉu cô thÓ
28-28.5(0.5 giê) 3.6 LuËt ph©n phèi cña çc ®Æc tr−ng mÉu.
28.5-29(0.5 giê)
Ch−¬ng IV. Lý thuyÕt −íc l−îng
4.1 Kh¸i niÖm −íc l−îng
30 4.2 Hμm −íc l−îng vμ ph−¬ng ph¸p −íc l−îng ®iÓm
31-35 4.3 Ph−¬ng ph¸p −íc l−îng kho¶ng
36
Ch−¬ng V. kiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt thèng kª
5.1 Çc kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ kiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt
37 - 41.5 (5,5giê)
5.2 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ tû lÖ tæng thÓ
5.3 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ trung b×nh tæng thÓ
5.4 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ ph−¬ng sai tæng thÓ
5.5 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ sù b»ng nhau cña hai trung b×nh
5.6 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ sù b»ng nhau cña hai tû lÖ
41.5-42.5 (1giê) KiÓm tra th−êng kú
42.5-43.5 (1giê)
Ch−¬ng VI. T−¬ng quan Vμ håi quy
6.1 §¹i l−îng ngÉu nhiªn hai chiÒu - §LNN nhiÒu chiÒu.
43.5-45 (1.5 giê) 6.2 T−¬ng quan vμ håi quy tuyÕn tÝnh.
46-48 ¤n tËp kÕt thóc häc phÇn

Bµi gi¶ng: Lý thuyÕt x¸c suÊt vµ thèng kª to¸n
Môc lôc
1 Çc kh¸i niÖm c¬ b¶n trong lý thuyÕt x¸c suÊt 9
1.1 Gi¶i tÝch tæ hîp (Bæ tóc kiÕn thøc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Quy t¾c céng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Quy t¾c nh©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 ChØnh hîp (kh«ng lÆp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 ChØnh hîp lÆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.5 Ho¸n vÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.6 Tæ hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.7 NhÞ thøc Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 PhÐp thö vµ biÕn cè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Kh¸i niÖm phÐp thö vµ biÕn cè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Çc phÐp to¸n vµ mèi quan hÖ gi÷a çc biÕn cè . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Çc kh¸i niÖm vÒ x¸c suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 §Þnh nghÜa x¸c suÊt theo nghÜa cæ ®iÓn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 §Þnh nghÜa x¸c suÊt b»ng h×nh häc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3 §Þnh nghÜa x¸c suÊt theo thèng kª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.4 TÝnh chÊt vµ ý nghÜa cña x¸c suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.5 Nguyªn lý x¸c suÊt lín, x¸c suÊt nhá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Çc phÐp tÝnh x¸c suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1 C«ng thøc céng x¸c suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.2 C«ng thøc nh©n x¸c suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 C«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ vµ c«ng thøc Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.1 C«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.2 C«ng thøc Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 C«ng thøc Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.1 D·y phÐp thö Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.2 C«ng thøc Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 §¹i l−îng ngÉu nhiªn vµ luËt ph©n phèi x¸c suÊt 38
2.1 §¹i l−îng ngÉu nhiªn vµ luËt ph©n phèi x¸c suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.1 §Þnh nghÜa vµ ph©n lo¹i ®¹i l−îng ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.2 LuËt phèi x¸c suÊt cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c . . . . . . . . . . . . . . . 40
ThS. TrÇn Anh ViÖt - §¹i häc Duy T©n 4

2.1.3 LuËt ph©n phèi x¸c suÊt cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc . . . . . . . . . . . 42
2.2 Çc ®Æc tr−ng sè cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1 Kú väng (Expected) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2 Ph−¬ng sai (Variance) vµ ®é lÖch tiªu chuÈn (Standard error) . . . . . . . . . . 47
2.2.3 Mod (mode) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.4 Ph©n vÞ x¸c suÊt - Trung vÞ (Median) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Çc luËt ph©n phèi x¸c suÊt th−êng dïng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.1 Ph©n phèi kh«ng - mét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.2 Ph©n phèi nhÞ thøc (Binomial distribution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.3 Ph©n phèi siªu béi (Hypergeometric distribution) . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.4 Ph©n phèi Poisson (Poisson distribution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.5 Ph©n phèi chuÈn (Normal distribution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.6 Ph©n phèi khi b×nh ph−¬ng χ2
(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.7 Ph©n phèi Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.8 Ph©n phèi Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4 LuËt sè lín vµ çc ®Þnh lÝ giíi h¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4.1 Mét sè lo¹i héi tô trong x¸c suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4.2 LuËt sè lín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4.3 Çc ®Þnh lÝ giíi h¹n vµ øng dông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3 Lý thuyÕt mÉu 84
3.1 Tæng thÓ vµ mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1.1 Tæng thÓ vµ kÝch th−íc cña tæng thÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1.2 MÉu vµ kÝch th−íc mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1.3 §¹i l−îng ngÉu nhiªn gèc vµ mÉu cô thÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.1.4 §iÒu kiÖn chän mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2 Bè trÝ mÉu vµ ph©n phèi mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.1 Ph©n lo¹i mÉu vµ b¶ng ph©n phèi tÇn sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.2 B¶ng ph©n phèi tÇn suÊt vµ ®a gi¸c tÇn suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.3 Hµm ph©n phèi mÉu vµ ®a gi¸c tÇn suÊt tÝch luü . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3 MÉu ngÉu nhiªn vµ thèng kª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3.1 MÉu ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3.2 Thèng kª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4 Çc tham sè ®Æc tr−ng cña tæng thÓ vµ mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4.1 Çc ®Æc tr−ng sè cña tæng thÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4.2 Çc ®Æc tr−ng sè cña mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4.3 Liªn hÖ gi÷a ®Æc tr−ng mÉu vµ ®Æc tr−ng tæng thÓ . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5 Thùc hµnh tÝnh to¸n çc ®Æc tr−ng sè cña mÉu cô thÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5.1 Trung b×nh mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.5.2 Ph−¬ng sai mÉu hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.5.3 Tû lÖ mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.6 LuËt ph©n phèi cña çc ®Æc tr−ng mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.6.1 Ph©n phèi cña tû lÖ mÉu F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.6.2 Ph©n phèi cña ph−¬ng sai mÉu hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.6.3 Ph©n phèi cña trung b×nh mÉu X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4 Lý thuyÕt −íc l−îng 101
4.1 Kh¸i niÖm −íc l−îng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 Hµm −íc l−îng vµ ph−¬ng ph¸p −íc l−îng ®iÓm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.1 ¦íc l−îng kh«ng chÖch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.2 ¦íc l−îng hiÖu qu¶ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2.3 ¦íc l−îng v÷ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3 Ph−¬ng ph¸p −íc l−îng kho¶ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.1 Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.2 ¦íc l−îng kho¶ng tin cËy cho tû lÖ cña tæng thÓ . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.3 ¦íc l−îng kho¶ng tin cËy cho trung b×nh tæng thÓ . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.4 ¦íc l−îng kho¶ng tin cËy cho ph−¬ng sai tæng thÓ . . . . . . . . . . . . . . . 116
5 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt thèng kª 126
5.1 Çc kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ kiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.1.1 Gi¶ thiÕt H0 vµ ®èi thiÕt H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.1.2 Ph©n lo¹i bµi to¸n kiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1.3 Nguyªn lý kiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1.4 Chän tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt thèng kª . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1.5 Møc ý nghÜa vµ miÒn b¸c bá gi¶ thiÕt H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.1.6 Quy t¾c chung khi thùc hiÖn mét bµi to¸n kiÓm ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . 128
5.1.7 Çc lo¹i sai lÇm m¾c ph¶i khi thùc hiÖn bµi to¸n kiÓm ®Þnh . . . . . . . . . . . 128
5.2 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ tû lÖ tæng thÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2.1 KiÓm ®Þnh hai phÝa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2.2 KiÓm ®Þnh phÝa ph¶i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2.3 KiÓm ®Þnh phÝa tr¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ trung b×nh cña tæng thÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3.1 Tr−êng hîp n > 30, σ2
®· biÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3.2 Tr−êng hîp n 6 30, X ∼ N(µ, σ2
), σ2
®· biÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.3.3 Tr−êng hîp n > 30, σ2
ch−a biÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.3.4 Tr−êng hîp n 6 30; X ∼ N(µ, σ2
); σ2
ch−a biÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.4 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ ph−¬ng sai cña tæng thÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.4.1 KiÓm ®Þnh hai phÝa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.4.2 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt phÝa ph¶i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.4.3 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt phÝa tr¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.5 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ sù b»ng nhau cña hai tû lÖ cña hai tæng thÓ . . . . . . . . . . . 149
5.5.1 KiÓm ®Þnh phÝa ph¶i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.5.2 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt phÝa ph¶i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.5.3 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt phÝa tr¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.6 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ sù b»ng nhau cña hai trung b×nh cña hai tæng thÓ . . . . . . . . 151
5.6.1 Tr−êng hîp n1, n2 > 30; σ2
1, σ2
2 cho tr−íc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.6.2 Tr−êng hîp n1 6 30 th× X ph¶i cã ph©n phèi chuÈn; hoÆc n2 6 30 th× Y ph¶i
cã ph©n phèi chuÈn; hoÆc c¶ hai n1, n2 6 30 th× X, Y ph¶i cã ph©n phèi chuÈn;
σ2
1, σ2
2 cho tr−íc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.6.3 Tr−êng hîp n1, n2 > 30; σ2
1 vµ σ2
2 ch−a biÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.6.4 Tr−êng hîp n1 6 30 th× X ph¶i cã ph©n phèi chuÈn; hoÆc n2 6 30 th× Y ph¶i
cã ph©n phèi chuÈn; hoÆc c¶ hai n1, n2 6 30 th× X, Y ph¶i cã ph©n phèi chuÈn;
σ2
1, σ2
2 ch−a biÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6 T−¬ng quan vµ håi quy 164
6.1 Kh¸i niÖm vÒ §LNN hai chiÒu - §LNN nhiÒu chiÒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.2 B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c hai chiÒu . . . . . . . . . . 165
6.2.1 B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt ®ång thêi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.2.2 B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt biªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.2.3 Quy luËt ph©n bè x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña çc §LNN thµnh phÇn . . . . . . 167
6.2.4 TÝnh ®éc lËp cña çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.3 Çc ®Æc tr−ng sè cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn hai chiÒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.3.1 HiÖp ph−¬ng sai (Covarian) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.3.2 HÖ sè t−¬ng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.4 Kú väng cã ®iÒu kiÖn - hµm håi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.4.1 Kú väng cã ®iÒu kiÖn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.4.2 Hµm håi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Lêi nãi ®Çu
Çc nhµ to¸n häc Ph¸p thÕ kû 17 nh− Fermat (1601-1665), Pascal (1623-1662) ®· ®Æt nÒn mãng
®Çu tiªn cho lý thuyÕt x¸c suÊt bëi nh÷ng lêi gi¶i cho çc bµi to¸n cho çc trß ch¬i ngÉu nhiªn. Cuèi
thÕ kû 17, James Bernoulli (1654-1705), nhµ to¸n häc Thôy SÜ, ®−îc xem nh− ng−êi khëi x−íng cña
lý thuyÕt x¸c suÊt víi nh÷ng nghiªn cøu vÒ luËt yÕu sè lín ®èi víi d·y phÐp thö ®éc lËp, Pierre Simon
Laplace (1749-1827), nhµ to¸n häc Ph¸p cã nhiÒu cèng hiÕn cho x¸c suÊt thèng kª trong lÜnh vùc
çc ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m. Carl Friedrich Gauus (1777-1855), nhµ to¸n häc vÜ ®¹i cña §øc cã
çc ®ãng gãp lín ®èi víi x¸c suÊt thèng kª: "ph−¬ng ph¸p b×nh ph−¬ng cùc tiÓu vµ luËt ph©n phèi
chuÈn". Andrie Kolomorov (1903-1987), nhµ to¸n häc lçi l¹c cña Nga, ng−êi çch m¹ng ho¸ cho lý
thuyÕt x¸c suÊt víi hÖ tiªn ®Ò x¸c suÊt hiÖn ®¹i mµ «ng ®−a ra vµo ®Çu nh÷ng n¨m 1930.
Dùa vµo nh÷ng thµnh tùu cña lý thuyÕt x¸c suÊt, thèng kª to¸n lµ khoa häc ra quyÕt ®Þnh trªn c¬
së nh÷ng th«ng tin thu thËp tõ thùc tÕ. H¬n 300 n¨m ph¸t triÓn, ®Õn nay néi dung vµ ph−¬ng ph¸p
cña x¸c suÊt thèng kª rÊt phong phó vµ ®−îc ¸p dông réng r·i trong nhiÒu lÜnh vùc. V× vËy viÖc häc
tËp nghiªn cøu m«n x¸c suÊt thèng kª trë thµnh nhu cÇu kh«ng thÓ thiÕu ®èi víi sinh viªn trong çc
tr−êng ®¹i häc kü thuËt, tù nhiªn, kinh tÕ, x· héi nh©n v¨n..., ë tÊt c¶ çc hÖ ®µo t¹o chÝnh quy, t¹i
chøc,...vµ ë møc ®é ®µo t¹o cao häc, ®¹i häc, cao ®¼ng...
§Ó ®¸p øng nhu cÇu n©ng cao chÊt l−îng ®µo t¹o vµ t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi ®Ó sinh viªn häc m«n
x¸c suÊt thèng kª, chóng t«i biªn so¹n cuèn "Bµi gi¶ng x¸c suÊt thèng kª". Lµ m«n häc nghiªn cøu
vÒ çc biÕn cè ngÉu nhiªn vµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®Ó ¸p dông trong çc lÜnh vùc kh¸c nhau cña thùc
tÕ, nã ®−îc xem lµ khã víi nh÷ng ng−êi kh«ng chuyªn häc to¸n. V× vËy trong gi¸o tr×nh nµy, chóng
t«i cè g¾ng tr×nh bµy sóc tÝch, ng¾n gän nh−ng ®Çy ®ñ çc kh¸i niÖm cèt lâi vµ ®−a ra nhiÒu vÝ dô
minh ho¹ ®Ó ®éc gi¶ dÔ hiÓu. Mét sè l−îng bµi tËp ®−îc ®−a ra sau mçi ch−¬ng ë çc møc ®é dÔ,
võa, khã. §¸p sè cña çc bµi tËp ®−îc cho ë sau bµi tËp mçi ch−¬ng.
Trong gi¸o tr×nh nµy chóng t«i ®· tr×nh bµy çc tÝnh to¸n b»ng phÇn mÒm Excel. Çc c«ng cô vµ
çc hµm cña Excel sÏ ®−îc tõng b−íc ®−a vµo vµ ®−îc coi nh− phÇn phô trî ®Ó b¹n ®äc ch−a lµm
quen víi Excel chØ cÇn mét h−íng dÉn ®¬n gi¶n hoÆc tù m×nh thao t¸c còng cã thÓ dÔ dµng thùc hiÖn
®−îc çc tÝnh to¸n.
Chóng t«i hy väng r»ng çch tr×nh bµy cña chóng t«i sÏ cã Ých cho çc b¹n trong häc tËp vµ thùc
hµnh m«n häc.
Cuèn bµi gi¶ng ch¾c kh«ng tr¸nh khái çc sai sãt. Chóng t«i xin hoan nghªnh vµ ®ãn nhËn mäi ý
kiÕn ®ãng gãp cña ®éc gi¶ vµ xin ch©n thµnh c¶m ¬n tr−íc!
§µ n½ng th¸ng 8/2011
T¸c gi¶

Ch−¬ng 1
Çc kh¸i niÖm c¬ b¶n trong lý thuyÕt x¸c suÊt
A. Môc tiªu
Häc xong ch−¬ng nµy sinh viªn ph¶i n¾m ®−îc nh÷ng néi dung sau:
- Çc c«ng thøc vÒ gi¶i tÝch tæ hîp.
- Çc kh¸i niÖm vÒ phÐp thö, kh«ng gian mÉu, biÕn cè ngÉu nhiªn, biÕn cè s¬ cÊp.
- Çc mèi liªn hÖ gi÷a çc biÕn cè vµ çc phÐp to¸n gi÷a çc biÕn cè.
- Çc ®Þnh nghÜa x¸c suÊt, çc tÝnh chÊt cña x¸c suÊt.
- C«ng thøc céng, c«ng thøc nh©n x¸c suÊt.
- X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn, c«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ, c«ng thøc Bayes, c«ng thøc Bernuolli.
B. Néi dung
1.1 Gi¶i tÝch tæ hîp (Bæ tóc kiÕn thøc)
1.1.1 Quy t¾c céng
Gi¶ sö mét c«ng viÖc cã thÓ thùc hiÖn theo mét trong k ph−¬ng ¸n A1, A2, ..., Ak. Cã n1 çch
thùc hiÖn ph−¬ng ¸n A1, n2 çch thùc hiÖn ph−¬ng ¸n A2,..., vµ nk çch thùc hiÖn ph−¬ng ¸n Ak. Khi
®ã sè çch ®Ó thùc hiÖn c«ng viÖc nµy lµ: n1 + n2 + ... + nk.
VÝ dô 1.1.1. Mét sinh viªn thi cuèi kú cã thÓ chän mét trong ba lo¹i ®Ò: ®Ò dÔ cã 48 c©u hái, ®Ò trung
b×nh cã 40 c©u hái, vµ ®Ò khã cã 32 c©u hái. Hái cã bao nhiªu çch chän ®Ò thi?
Gi¶i. Sinh viªn nµy cã 48 çch chän ®Ò dÔ, 40 çch chän ®Ò trung b×nh, vµ cã 32 çch chän ®Ò
khã. V× vËy cã 48 + 40 + 32 = 120 çch chän ®Ò thi.
1.1.2 Quy t¾c nh©n
Gi¶ sö mét c«ng viÖc nµo ®ã bao gåm k c«ng ®o¹n A1, A2, ..., Ak. C«ng ®o¹n A1 cã thÓ thùc hiÖn
theo n1 çch, c«ng ®o¹n A2 cã thÓ thùc hiÖn theo n2 çch,..., c«ng ®o¹n Ak cã thÓ thùc hiÖn theo nk
çch. Khi ®ã c«ng viÖc cã thÓ thùc hiÖn theo: n1.n2...nk (çch).
VÝ dô 1.1.2. §i tõ A ®Õn B cã thÓ ®i theo 3 lé tr×nh (3 çch ®i), sau ®ã ®i tõ B ®Õn C cã thÓ ®i theo
2 lé tr×nh. Nh− vËy cã tÊt c¶ 3.2 = 6 lé tr×nh ®i tõ A ®Õn C.

A
B
C
VÝ dô 1.1.3. Mét bÐ cã thÓ mang hä cha lµ TrÇn hoÆc hä mÑ lµ NguyÔn, tªn ®Öm cã thÓ lµ: Anh,
Minh, cßn tªn cã thÓ lµ: Nh©n, §øc, TrÝ. Hái cã bao nhiªu çch ®Æt tªn cho bÐ?
Gi¶i. Cã 2 çch chän hä, 2 çch chän tªn ®Öm, vµ 3 çch ®Æt tªn nªn cã: 2.2.3 = 12 çch ®Æt tªn
cho bÐ.
NÕu liÖt kª ra, sÏ ®−îc çc tªn sau:
TrÇn Anh Nh©n, TrÇn Anh §øc, TrÇn Anh TrÝ.
TrÇn Minh Nh©n, TrÇn Minh §øc, TrÇn Minh TrÝ.
NguyÔn Anh Nh©n, NguyÔn Anh §øc, NguyÔn Anh TrÝ.
NguyÔn Minh Nh©n, NguyÔn Minh §øc, NguyÔn Minh TrÝ.
1.1.3 ChØnh hîp (kh«ng lÆp)
Mçi bé k phÇn tö cã kÓ ®Õn thø tù, ®−îc lÊy kh«ng lÆp tõ tËp n phÇn tö (1 6 k 6 n) gäi lµ mét
chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö ®· cho.
KÝ hiÖu sè çc chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö lµ Ak
n, ta cã:
Ak
n =
n!
(n − k)!
(1.1.1)
1.1.4 ChØnh hîp lÆp
Mçi bé k phÇn tö (k tuú ý) cã kÓ ®Õn thø tù, ®−îc lÊy lÆp tõ tËp n phÇn tö gäi lµ mét chØnh hîp
lÆp chËp k cña n phÇn tö ®· cho.
KÝ hiÖu sè chØnh hîp lÆp chËp k cña n phÇn tö lµ Fk
n , ta cã:
Fk
n = nk
(1.1.2)
VÝ dô 1.1.4. Tõ n¨m ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5 lËp ®−îc bao nhiªu sè tù nhiªn:
a. Cã 3 ch÷ sè.
b. Cã 6 ch÷ sè.
c. Cã 3 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau.
Gi¶i:
a. Mét sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè ®−îc lÊy tõ 5 ch÷ sè ®· cho chÝnh lµ mét chØnh hîp lÆp chËp 3
cña 5 phÇn tö ®ã. Do ®ã sè çc sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè ®óng b»ng sè çc chØnh hîp lÆp:
F3
5 = 53
= 125
b. Mét sè tù nhiªn cã 6 ch÷ sè ®−îc lÊy tõ 5 ch÷ sè ®· cho (vÝ dô nh− 112345) chÝnh lµ mét chØnh
hîp lÆp chËp 6 cña 5 phÇn tö ®ã. Do ®ã sè çc sè tù nhiªn cã 6 ch÷ sè ®óng b»ng sè çc chØnh hîp
lÆp:
F6
5 = 56
= 15625

c. V× ba ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau nªn mét sè nh− vËy chÝnh lµ mét chØnh hîp (kh«ng lÆp) chËp
3 cña 5 phÇn tö ®· cho. Do ®ã sè çc sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau ®óng b»ng sè çc
chØnh hîp, ta cã:
A3
5 = 5.4.3 = 60
Chó ý 1.1.1. Trong kh¸i niÖm chØnh hîp (kh«ng lÆp) th× (1 6 k 6 n), cßn trong kh¸i niÖm chØnh hîp
lÆp th× k lµ mét sè tù nhiªn tuú ý, cã thÓ lín h¬n n.
1.1.5 Ho¸n vÞ
Ho¸n vÞ cña n phÇn tö lµ mét çch s¾p xÕp cã thø tù n phÇn tö ®ã. Nh− vËy mçi ho¸n vÞ cña n
phÇn tö chÝnh lµ mét chØnh hîp chËp n cña n phÇn tö ®ã.
KÝ hiÖu sè ho¸n vÞ cña n phÇn tö lµ Pn, V× Pn = An
n nªn ta cã:
Pn = n! = An
n (1.1.3)
1.1.6 Tæ hîp
Mçi bé k phÇn tö (1 6 k 6 n) kh«ng kÓ ®Õn thø tù, ®−îc lÊy b»ng phÐp lÊy kh«ng lÆp tõ tËp n
phÇn tö gäi lµ mét tæ hîp chËp k cña n phÇn tö ®· cho.
KÝ hiÖu sè çc tæ hîp chËp k cña n phÇn tö lµ Ck
n, v× k phÇn tö lÊy ra kh¸c nhau vµ kh«ng kÓ ®Õn
thø tù nªn:
Ck
n =
Ak
n
k!
=
n!
(n − k)!k!
(1.1.4)
VÝ dô 1.1.5. Anh An cã 11 ng−êi b¹n trong ®ã cã mét cÆp vî chång, anh nµy mêi 5 ng−êi ®Õn nhµ
dù tiÖc. Hái anh An cã bao nhiªu çch mêi ®Ó cÆp vî chång cïng ®−îc mêi hoÆc kh«ng ai ®−îc mêi.
Gi¶i: Cã hai tr−êng hîp:
Khi c¶ hai vî chång cïng ®−îc mêi, anh An chØ cßn mêi thªm 3 ng−êi trong 9 ng−êi cßn l¹i, 1
çch chän 3 ng−êi trong 9 ng−êi chÝnh lµ mét tæ hîp chËp 3 cña 9 phÇn tö. Do ®ã sè çch chän ®óng
b»ng sè tæ hîp chËp 3 cña 9 phÇn tö: C3
9 = 84 (çch mêi).
T−¬ng tù, khi c¶ hai vî chång kh«ng ®−îc mêi, anh An sÏ mêi 5 trong 9 ng−êi: C5
9 = 126 (çch
mêi).
VËy anh An cã tÊt c¶: 84 + 126 (çch mêi).
1.1.7 NhÞ thøc Newton
(a + b)n
=
n
X
k=0
Ck
nak
bn−k
(1.1.5)
§Ó hiÓu râ h¬n b¶n chÊt cña çc kh¸i niÖm trªn, ta xÐt tiÕp vÝ dô sau ®©y.
VÝ dô 1.1.6. Cho tËp hîp gåm ba phÇn tö {a, b, c}, khi ®ã:
a. NÕu chän ra çc bé gåm 2 phÇn tö cã thø tù ta ®−îc A2
3 = 3.2 = 6 chØnh hîp lµ:
{a, b}, {b, a}, {a, c}, {c, a}, {b, c}, {c, b}

b. NÕu chän çc bé gåm hai phÇn tö cã thø tù vµ çc phÇn tö cã thÓ lÊy lÆp ta ®−îc F2
3 = 32
= 9
chØnh hîp lÆp lµ:
{a, b}, {b, a}, {a, c}, {c, a}, {b, c}, {c, b}, {a, a}, {b, b}, {c, c}
c. Sè ho¸n vÞ thu ®−îc gåm 3! = 6 ho¸n vÞ lµ:
{a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}
d. NÕu chän ra çc bé hai phÇn tö kh«ng kÓ thø tù ta ®−îc C2
3 = 3 tæ hîp lµ:
{a, b}, {a, c}, {b, c}
1.2 PhÐp thö vµ biÕn cè
1.2.1 Kh¸i niÖm phÐp thö vµ biÕn cè
Trong to¸n häc cã nh÷ng kh¸i niÖm kh«ng cã ®Þnh nghÜa mµ chØ cã thÓ m« t¶ chóng b»ng nh÷ng
h×nh ¶nh hoÆc t− duy trùc gi¸c. PhÐp thö lµ kh¸i niÖm kh«ng cã ®Þnh nghÜa chÝnh x¸c.
• PhÐp thö:
Khi quan s¸t mét hiÖn t−îng hay lµm mét thÝ nghiÖm vµ chó ý ®Õn kÕt qu¶ cña hiÖn t−îng hay thÝ
nghiÖm ®ã, ta nãi ®· lµm mét phÐp thö.
Mét phÐp thö mµ ta ch−a biÕt kÕt qu¶ nµo xÈy ra ®−îc gäi lµ phÐp thö ngÉu nhiªn. (VÒ sau chóng
ta chØ xÐt phÐp thö ngÉu nhiªn nªn cã thÓ gäi t¾t lµ phÐp thö)
• BiÕn cè ngÉu nhiªn:
Mét kÕt qu¶ cña phÐp thö (cã thÓ xÈy ra hoÆc kh«ng xÈy ra khi thùc hiÖn phÐp thö) ®−îc gäi lµ
mét biÕn cè ngÉu nhiªn (vÒ sau gäi t¾t lµ biÕn cè). Mét phÐp thö cã thÓ cã nhiÒu biÕn cè.
Ta th−êng dïng çc ch÷ çi: A, B, C, ... ®Ó ký hiÖu biÕn cè.
• BiÕn cè s¬ cÊp:
Trong çc biÕn cè cña mét phÐp thö, ta thÊy cã nh÷ng biÕn cè lµ kÕt hîp cña çc biÕn cè kh¸c.
Ch¼ng h¹n khi gieo 1 con xóc x¾c lµ thùc hiÖn mét phÐp thö, kÕt qu¶ "xuÊt hiÖn mÆt ch½n" lµ mét
biÕn cè, hay kÕt qu¶ "xuÊt hiÖn mÆt 1 chÊm", "2 chÊm",..., "6 chÊm" còng lµ çc biÕn cè. Nh−ng
biÕn cè "xuÊt hiÖn mÆt ch½n" lµ hîp cña 3 biÕn cè "xuÊt hiÖn mÆt 2", "xuÊt hiÖn mÆt 4" vµ "xuÊt hiÖn
mÆt 6".
Nh÷ng biÕn cè kh«ng thÓ ph©n chia thµnh çc biÕn cè nhá h¬n ®−îc gäi lµ biÕn cè s¬ cÊp. VÝ dô
nh− çc biÕn cè "xuÊt hiÖn mÆt 1 chÊm", "2 chÊm",..., "6 chÊm" lµ çc biÕn cè s¬ cÊp.
Ta th−êng ký hiÖu çc biÕn cè s¬ cÊp lµ: ω1, ω2, ...
• Kh«ng gian mÉu: (Hay cßn gäi lµ kh«ng gian çc biÕn cè s¬ cÊp)
TËp hîp chøa tÊt c¶ çc biÕn cè s¬ cÊp cña mét phÐp thö ®−îc gäi lµ kh«ng gian mÉu cña phÐp
thö ®ã.
Kh«ng gian mÉu ®−îc ký hiÖu lµ Ω.
NhËn xÐt 1.2.1. Nh− vËy mét biÕn cè s¬ cÊp lµ mét phÇn tö cña kh«ng gian mÉu (ω ∈ Ω). Mét biÕn
cè lµ mét tËp hîp con cña kh«ng gian mÉu (A ⊂ Ω). BiÕn cè A ®ãng vai trß nh− mét tËp hîp, tËp
hîp nµy chøa çc biÕn cè s¬ cÊp ω. Khi tËp hîp A chØ cã mét phÇn tö th× nã ®ãng vai trß nh− mét
biÕn cè s¬ cÊp. Chóng ta cã thÓ h×nh dung, kh«ng gian mÉu nh− lµ mÆt ph¼ng, khi ®ã mçi ®−êng
th¼ng lµ mét biÕn cè, cßn mçi ®iÓm lµ mét biÕn cè s¬ cÊp.

VÝ dô 1.2.1. Khi gieo mét con xóc x¾c lµ thùc hiÖn mét phÐp thö, nÕu ta quan t©m ®Õn kÕt qu¶ lµ mÆt
mÊy chÊm xuÊt hiÖn th× kh«ng gian mÉu lµ Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, çc mÆt 1, 2, 3, 4, 5, 6 chÊm lµ çc
biÕn cè s¬ cÊp. TËp hîp A = {2, 4, 6} lµ mét biÕn cè, nã xÈy ra khi mµ hoÆc mÆt 2, hoÆc 4, hoÆc
6 chÊm xuÊt hiÖn, cã thÓ gäi A lµ biÕn cè "xuÊt hiÖn mÆt ch½n". T−¬ng tù B = {1, 3, 5} lµ biÕn cè
"xuÊt hiÖn mÆt lÏ". NÕu gäi C lµ biÕn cè "sè chÊm xuÊt hiÖn nhiÒu h¬n 7" th× C = ∅ vµ C kh«ng
xÈy ra ë bÊt cø lÇn gieo nµo. NÕu gäi D lµ biÕn cè "sè chÊm xuÊt hiÖn nhá h¬n 7" th× D = Ω vµ D
lu«n xÈy ra khi thùc hiÖn phÐp thö.
• BiÕn cè ch¾c ch¾n: Khi thùc hiÖn mét phÐp thö, biÕn cè ch¾c ch¾n xÈy ra gäi lµ biÕn cè ch¾c ch¾n.
Nh− vËy, kh«ng gian mÉu Ω lµ biÕn cè ch¾c ch¾n.
• BiÕn cè kh«ng thÓ cã: Khi thùc hiÖn mét phÐp thö, biÕn cè kh«ng thÓ xÈy ra gäi lµ biÕn cè kh«ng
thÓ cã. Nh− vËy, tËp ∅ lµ biÕn cè kh«ng thÓ cã.
VÝ dô 1.2.2.
a. Hái ngÉu nhiªn mét sinh viªn Khoa QTKD ®Ó lÊy th«ng tin lµ thùc hiÖn mét phÐp thö. NÕu
kÕt qu¶ chóng ta quan t©m lµ SV ®ã ë tØnh nµo th× kh«ng gian mÉu lµ Ω = {Qu¶ng Nam, §µ N½ng,
Qu¶ng B×nh,...}, mçi tØnh lµ mét biÕn cè s¬ cÊp. NÕu kÕt qu¶ ta quan t©m lµ SV ®ã häc nghµnh g× th×
kh«ng gian mÉu Ω = {QTKD, QTMKT, NH,...}, mçi nghµnh häc lµ mét biÕn cè s¬ cÊp. Nh−ng nÕu
kÕt qu¶ chóng ta quan t©m lµ SV ®ã häc líp nµo th× çc kÕt qu¶ nh−: QTKD, QTMKT, NH,...kh«ng
ph¶i biÕn cè s¬ cÊp (mµ lµ biÕn cè).
b. Sù biÕn ®éng gi¸ c¶ trªn thÞ tr−êng lµ phÐp thö, cßn sù kiÖn xÈy ra l¹m ph¸t lµ mét biÕn cè.
DiÔn biÕn cña mét c¬n b·o ngoµi BiÓn §«ng lµ mét phÐp thö, cßn sù kiÖn nã vµo ViÖt Nam lµ mét
biÕn cè.
NhËn xÐt 1.2.2. Nh− vËy kh«ng ph¶i mäi phÐp thö ®Òu ®−îc chñ ®éng thùc hiÖn. Cã nh÷ng biÕn cè
ta thu ®−îc tõ thùc hiÖn mét phÐp thö, nh−ng cã nh÷ng biÕn cè ta chØ thu ®−îc tõ nh÷ng quan s¸t tõ
çc hiÖn t−îng tù nhiªn hoÆc x· héi,...
1.2.2 Çc phÐp to¸n vµ mèi quan hÖ gi÷a çc biÕn cè
Khi gi¶i çc bµi to¸n cña lý thuyÕt x¸c suÊt ta th−êng ph¶i diÔn t¶ mét biÕn cè phøc hîp theo çc
biÕn cè ®¬n gi¶n h¬n. §Ó lµm ®−îc ®iÒu ®ã ta cÇn nghiªn cøu mçi quan hÖ gi÷a çc biÕn cè thÓ hiÖn
qua çc kh¸i niÖm d−íi ®©y:
a. Çc phÐp to¸n gi÷a çc biÕn cè
• PhÐp céng: Tæng cña hai biÕn cè A vµ B lµ mét biÕn cè xÈy ra khi vµ chØ khi cã Ýt nhÊt mét trong hai
biÕn cè A hoÆc B xÈy ra, ký hiÖu A + B (hoÆc A ∪ B). Cã nghÜa:
A + B = {ω|ω ∈ A hoÆc ω ∈ B}
VÝ dô 1.2.3. B¾n 2 viªn ®¹n vµo mét tÊm bia. Gäi A lµ biÕn cè "viªn thø nhÊt tróng bia", B lµ biÕn
cè "viªn thø hai tróng bia" vµ C lµ biÕn cè "bia bÞ tróng ®¹n" th× C = A + B. Cã nghÜa: bia bÞ tróng
®¹n (biÕn cè C xÈy ra) khi vµ chØ khi cã Ýt nhÊt mét trong hai viªn ®¹n tróng bia (Ýt nhÊt mét trong
hai biÕn cè A hoÆc B xÈy ra).

• PhÐp nh©n: TÝch cña hai biÕn cè A vµ B lµ mét biÕn cè xÈy ra khi vµ chØ khi ®ång thêi xÈy ra c¶
A vµ B, kÝ hiÖu A.B (hoÆc A ∩ B). Cã nghÜa:
A.B = {ω|ω ∈ A vµ ω ∈ B}
VÝ dô 1.2.4. Mét SV bèc ngÉu nhiªn mét c©u hái. Gäi A lµ biÕn cè "bèc ®−îc c©u lý thuyÕt", B lµ
biÕn cè "bèc ®−îc c©u khã" vµ C lµ biÕn cè "bèc ®−îc c©u lý thuyÕt khã". Khi ®ã C = A.B
• PhÐp trõ:
i) HiÖu cña hai biÕn cè A vµ B lµ mét biÕn cè xÈy ra khi vµ chØ khi A xÈy ra nh−ng B kh«ng xÈy
ra, kÝ hiÖu lµ A − B (hoÆc A B). Cã nghÜa:
A − B = {ω|ω ∈ A vµ ω /
∈ B}
ii) PhÇn bï cña biÕn cè A, ký hiÖu lµ A, ®−îc x¸c ®Þnh: A = Ω − A.
VÝ dô 1.2.5. Chän ngÉu nhiªn mét SV ®Ó lµm líp tr−ëng. Gäi A lµ biÕn cè "chän ®−îc SV nam" th×
A lµ biÕn cè "chän ®−îc sinh viªn n÷".
b. Mèi quan hÖ gi÷a çc biÕn cè
• ThuËn lîi: BiÕn cè A thuËn lîi (hay kÐo theo) ®èi víi biÕn cè B, kÝ hiÖu A ⊂ B, nÕu trong phÐp
thö ®ã A xuÊt hiÖn th× B còng xuÊt hiÖn.
• §ång nhÊt: BiÕn cè A ®ång nhÊt (hay b»ng) biÕn cè B, kÝ hiÖu A = B, nÕu ®ång thêi A thuËn lîi
®èi víi B vµ B còng thuËn lîi ®èi víi A.
• Xung kh¾c: A vµ B gäi lµ xung kh¾c víi nhau khi vµ chØ khi A vµ B kh«ng ®ång thêi xÈy ra khi
thùc hiÖn phÐp thö. Cã nghÜa AB = ∅.
VÝ dô 1.2.6. Trong mét hép cã bèn lo¹i bót: xanh, ®á, vµng vµ ®en. Chän ngÉu nhiªn 1 c©y bót, gäi
A lµ biÕn cè "chän ®−îc bót xanh", B lµ biÕn cè "chän ®−îc bót ®á". Khi ®ã A vµ B lµ hai biÕn cè
xung kh¾c.
• HÖ çc biÕn cè xung kh¾c: Çc biÕn cè A1, A2, ..., An gäi lµ xung kh¾c tõng ®«i khi vµ chØ khi
AiAj = ∅, ∀i 6= j.
Trong vÝ dô trªn nÕu gäi C lµ biÕn cè "chän ®−îc c©y bót vµng". Khi ®ã A, B, C xung kh¾c tõng
®«i.

• HÖ çc biÕn cè ®Çy ®ñ: Çc biÕn cè kh¸c rçng A1, A2, ..., An gäi lµ ®Çy ®ñ khi vµ chØ khi chóng
xung kh¾c tõng ®«i vµ A1 + A2 + ...An = Ω.
Trong vÝ dô trªn nÕu gäi D lµ biÕn cè "chän ®−îc c©y bót ®en". Khi ®ã A, B, C, D lËp thµnh mét
hÖ ®Çy ®ñ.
• §èi lËp: Hai biÕn cè A vµ B gäi lµ ®èi lËp khi vµ chØ khi chØ cã mét biÕn cè xÈy ra khi thùc hiÖn
phÐp thö. Cã nghÜa A ∩ B = ∅ vµ A ∪ B = Ω, ký hiÖu B = A.
NhËn xÐt 1.2.3.
+) BiÕn cè ®èi lËp cña A chÝnh lµ phÇn bï A.
+) Hai biÕn cè ®èi lËp th× xung kh¾c víi nhau, nh−ng ng−îc l¹i th× kh«ng ®óng.
+) A vµ A lËp thµnh mét hÖ ®Çy ®ñ.
+) C«ng thøc Demorgan: A + B = A.B; A.B = A + B.
VÝ dô 1.2.7. Gi¶ sö kÕt qu¶ thi m«n To¸n cña häc sinh trong mét líp ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: lo¹i giái
®iÓm 9 vµ 10, lo¹i kh¸ ®iÓm 7 vµ 8, trung b×nh 5 vµ 6, lo¹i kÐm 3 vµ 4, rÊt kÐm 0, 1 vµ 2, ®iÓm 5 - 10
lµ ®¹t, ®iÓm 0 - 4 lµ kh«ng ®¹t. LÊy ngÉu nhiªn mét häc sinh cña líp vµ kÝ hiÖu A, B, C, D, E, F, G
t−¬ng øng víi çc biÕn cè: giái, kh¸, trung b×nh, kÐm, rÊt kÐm, ®¹t, kh«ng ®¹t. (Gi¶ sö ®iÓm sè lµ
çc sè tù nhiªn)
Khi ®ã:
+) A vµ F kh«ng xung kh¾c.
+) A, B, C, D lµ xung kh¾c tõng ®«i mµ kh«ng ®Çy ®ñ.
+) HÖ ®Çy ®ñ: {A, B, C, D, E}; {F, G}; {D, E, F}; {A, B, C, G}.
+) F, G lµ hai biÕn cè ®èi lËp.
VÝ dô 1.2.8. Hai cÇu thñ bãng ræ A vµ B mçi ng−êi lÇn l−ît nÐm 2 qu¶ vµo ræ (A nÐm xong 2 qu¶
råi ®Õn B).
a. X¸c ®Þnh kh«ng gian mÉu Ω.
b. BiÓu diÔn çc biÕn cè sau theo çc biÕn cè s¬ cÊp.
+) Sè bãng tróng ræ cña hai cÇu thñ b»ng nhau.
+) Sè bãng tróng ræ cña c¶ hai cÇu thñ b»ng 3.
+) Sè bãng tróng ræ cña A Ýt h¬n B.
Gi¶i:
a. NÕu ta quan t©m sè bãng tróng ræ th×:
Ω = {0, 1, 2, 3, 4}
NÕu ta quan t©m tõng qu¶ tróng ræ cña mçi cÇu thñ, gäi A1, A2 vµ B1, B2 t−¬ng øng lµ biÕn cè A
vµ B nÐm tróng ræ qu¶ 1 vµ 2. Khi ®ã kh«ng gian çc biÕn cè s¬ cÊp lµ:
Ω =
n
(A1.A2.B1.B2), (A1.A2.B1.B2), (A1.A2B1.B2), (A1.A2.B1.B2)
(A1.A2.B1.B2), (A1.A2.B1.B2), (A1.A2.B1.B2), (A1.A2.B1.B2)
(A1.A2.B1.B2.), (A1.A2.B1.B2), (A1.A2.B1.B2), (A1.A2.B1.B2)
(A1.A2.B1.B2), (A1.A2.B1.B2), (A1.A2.B1.B2), (A1.A2.B1.B2)
o

b. Gäi C, D, E t−¬ng øng lµ çc biÕn cè cÇn t×m, ta cã:
C = A1.A2.B1.B2 + A1.A2.B1.B2 + A1.A2.B1.B2 + A1.A2.B1.B2
+A1.A2.B1.B2 + A1.A2.B1.B2
D = A1.A2.B1.B2 + A1.A2.B1.B2 + A1.A2.B1.B2 + A1.A2.B1.B2
E = A1.A2.B1.B2 + A1.A2.B1.B2 + A1.A2.B1.B2 + A1.A2.B1.B2
+A1.A2.B1.B2
1.3 Çc kh¸i niÖm vÒ x¸c suÊt
Trong môc 1.1 vµ 1.2 ®· nãi vÒ çc phÐp thö ngÉu nhiªn vµ biÕn cè ngÉu nhiªn. VËy x¸c suÊt
(probability) lµ g×, ®−îc ®Þnh nghÜa vµ x¸c ®Þnh nh− thÕ nµo? H»ng ngµy, ta hay nghe thÊy thuËt ng÷
x¸c suÊt dïng ®Ó chØ kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn cña mét biÕn cè, x¸c suÊt chØ nhËn gi¸ trÞ thùc trªn ®o¹n [0,
1]. V× biÕn cè kh«ng thÓ sÏ kh«ng bao giê xÈy ra, nªn x¸c suÊt cña nã ph¶i b»ng 0, cßn x¸c suÊt cña
biÕn cè ch¾c ch¾n th× ph¶i b»ng 1.
1.3.1 §Þnh nghÜa x¸c suÊt theo nghÜa cæ ®iÓn
§Þnh nghÜa 1.3.1. Cho mét phÐp thö víi n kÕt qu¶ ®ång kh¶ n¨ng, trong ®ã cã m kÕt qu¶ thuËn lîi
cho biÕn cè A, khi ®ã x¸c suÊt cña A lµ tû sè cña sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A trªn sè kÕt qu¶ ®ång
kh¶ n¨ng cña phÐp thö, kÝ hiÖu P(A). Nh− vËy:
P(A) =
m
n
=
Sè phÇn tö cña A
Sè phÇn tö cña Ω
(1.3.1)
§Ó tÝnh m, n ta th−êng dïng çc phÐp to¸n cña gi¶i tÝch tæ hîp.
VÝ dô 1.3.1. Gieo ngÉu nhiªn mét con xóc x¾c lý t−ëng (®Òu ®Æn, ®ång chÊt, ®èi xøng,..). Râ rµng
çc biÕn cè s¬ cÊp cña kh«ng gian mÉu Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} lµ ®ång kh¶ n¨ng nªn ¸p dông ®Þnh nghÜa
x¸c suÊt cæ ®iÓn ta cã:
a. NÕu gäi A lµ biÕn cè xuÊt hiÖn mÆt ch½n th× A = {2, 4, 6} nªn:
P(A) =
3
6
=
1
2
T−¬ng tù nÕu gäi B lµ biÕn cè xuÊt hiÖn mÆt lÏ th× P(B) = 1
2
.
b. NÕu gäi C lµ biÕn cè xuÊt hiÖn mÆt cã sè chÊm chia hÕt cho 3 khi ®ã C = {3, 6} nªn P(C) = 1
3
.
VÝ dô 1.3.2. Mét líp cã 50 sinh viªn, trong ®ã cã 30 nam sinh viªn. Chän ngÉu nhiªn mét nhãm gåm
4 sinh viªn tham gia cuéc thi "Dù ¸n kinh tÕ céng ®ång". TÝnh x¸c suÊt ®Ó:
a. Cã hai nam trong 4 sinh viªn ®−îc chän?
b. Cã Ýt nhÊt mét sinh viªn nam trong sè 4 sinh viªn ®−îc chän?
c. Kh«ng cã sinh viªn nam trong sè 4 sinh viªn ®−îc chän?
d. Cã nhiÒu nhÊt hai sinh viªn nam trong sè 4 sinh viªn ®−îc chän.
Gi¶i: Sè çch lÊy 4 sinh viªn tõ 50 sinh viªn ®· cho lµ:
n = C4
50 = 230300

a. Gäi A lµ biÕn cè cã hai nam trong 4 sinh viªn ®−îc chän. Sè tr−êng hîp thuËn lîi cho A lµ
mA = C2
30.C2
20 = 82650
VËy:
P(A) =
mA
n
=
82650
230300
= 0, 35888.
b. Gäi B lµ biÕn cè cã Ýt nhÊt mét nam trong 4 sinh viªn ®−îc chän. Sè tr−êng hîp thuËn lîi cho
B lµ: mB = m1 + m2 + m3 + m4, trong ®ã m1, m2, m3, m4 t−¬ng øng lµ sè tr−êng hîp cã 1 nam, 2
nam, 3 nam, 4 nam trong 4 sinh viªn ®−îc chän.
VËy:
P(B) =
mB
n
=
m1 + m2 + m3 + m4
n
=
C1
30C3
20 + C2
30C2
20 + C3
30C1
20 + C4
30C0
20
C4
50
=
225455
230300
= 0, 97896
c. Gäi C lµ biÕn cè kh«ng cã sinh viªn nam trong 4 sinh viªn ®−îc chän. Sè tr−êng hîp thuËn lîi
cho C lµ: mC = C4
20 = 4845
VËy:
P(C) =
mC
n
=
4845
230300
= 0, 02104.
d. Gäi D lµ biÕn cè cã nhiÒu nhÊt 2 nam trong 4 sinh viªn ®−îc chän. Sè tr−êng hîp thuËn lîi
cho D lµ:
mD = C4
20 + C1
30C3
20 + C2
30C2
20 = 121695
VËy:
P(D) =
mD
n
=
121695
230300
= 0, 52842
VÝ dô 1.3.3. Cã 5 kh¸ch hµng cïng ®i vµo mét ng©n hµng cã 3 quÇy phôc vô: I , II, III. Mçi ng−êi
chän ngÉu nhiªn mét quÇy. Çc kh¶ n¨ng sau ®©y sÏ xÈy ra bao nhiªu phÇn tr¨m:
a. C¶ 5 ng−êi vµo cïng mét quÇy.
b. ChØ cã 1 ng−êi vµo quÇy I.
c. ChØ cã quÇy I cã 1 ng−êi.
Gi¶i: V× mçi kh¸ch hµng chän ngÉu nhiªn mét quÇy nªn 1 ng−êi nh− vËy cã 3 çch chän. Theo quy
t¾c nh©n sè kÕt qu¶ ®ång kh¶ n¨ng: n = 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 = 243.
a. Gäi A lµ biÕn cè c¶ 5 ng−êi vµo cïng mét quÇy, khi ®ã chØ cã 3 çch chän, ®ã lµ c¶ 5 ng−êi
cïng vµo quÇy I, hoÆc II, hoÆc III. Do ®ã sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho biÕn cè A: mA = 3. VËy x¸c suÊt
cÇn t×m:
P(A) =
3
243
= 0.01234567
b. Gäi B lµ biÕn cè quÇy I cã mét ng−êi, sè çch chän 1 ng−êi vµo quÇy I lµ 5 (çch). Sau khi
cã mét ng−êi vµo quÇy I, 4 ng−êi cßn l¹i sÏ vµo 2 quÇy II vµ III, sè çch chän lµ 24
= 16. Do ®ã sè
kÕt qu¶ thuËn lîi cho biÕn cè B: mB = 5 ∗ 16 = 80 (çch). X¸c suÊt cÇn t×m:
P(B) =
80
243
= 0.329218107

c. Gäi C lµ biÕn cè chØ cã quÇy sè I cã 1 ng−êi. Sè çch chän 1 ng−êi vµo quÇy I lµ 5 (çch).
Cßn l¹i 4 ng−êi nh−ng ta ph¶i bè trÝ vµo 2 quÇy II vµ III sao cho 2 quÇy nµy kh«ng cã quÇy nµo cã 1
ng−êi. Do ®ã chØ cã 2 tr−êng hîp sau:
Tr−êng hîp 1: cho c¶ 4 ng−êi cïng vµo mét quÇy, sÏ cã 2 çch.
Tr−êng hîp 2: mçi quÇy cã 2 ng−êi, sÏ cã C2
4 = 6.
Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho biÕn cè C: mC = 5 ∗ (2 + 6) = 48. VËy:
P(C) =
60
243
= 0.197530864
NhËn xÐt 1.3.1. (¦u ®iÓm vµ h¹n chÕ cña ®Þnh nghÜa x¸c suÊt theo quan ®iÓm cæ ®iÓn)
• ¦u ®iÓm: TÝnh ®−îc chÝnh x¸c x¸c suÊt cña biÕn cè mµ kh«ng cÇn ph¶i thùc hiÖn phÐp thö.
• Nh−îc ®iÓm: Sè l−îng çc biÕn cè s¬ cÊp lµ h÷u h¹n. TÝnh chÊt ®ång kh¶ n¨ng kh«ng ph¶i bao
giê còng x¸c ®Þnh ®−îc.
§Ó kh¾c phôc nh÷ng h¹n chÕ nªu trªn, chóng ta ®−a ra hai ®Þnh nghÜa x¸c suÊt sau ®©y:
1.3.2 §Þnh nghÜa x¸c suÊt b»ng h×nh häc
Më réng cho tr−êng hîp phÐp thö cã v« h¹n kÕt qu¶ ®ång kh¶ n¨ng vµ tËp çc kÕt qu¶ ®ã cã thÓ
biÓu diÔn b»ng mét miÒn h×nh häc ®o ®−îc G, cßn çc kÕt qu¶ thuËn lîi cho biÕn cè A ®−îc biÓu
diÔn bëi mét miÒn con g ⊂ G. Khi ®ã x¸c suÊt cña biÕn cè A ®−îc ®Þnh nghÜa:
P(A) =
®é ®o cña g
®é ®o cña G
(1.3.2)
§é ®o cã thÓ lµ: ®é dµi, diÖn tÝch, thÓ tÝch.
VÝ dô 1.3.4. Cho ®iÓm M r¬i ngÉu nhiªn vµo h×nh tam gi¸c ®Òu c¹nh 2 cm. T×m x¸c suÊt ®Ó ®iÓm M
r¬i vµo h×nh trßn néi tiÕp tam gi¸c ®ã.
Gi¶i: Gäi A lµ biÕn cè ®iÓm M r¬i vµo h×nh trßn, khi ®ã P(A) lµ tû sè cña diÖn tÝch h×nh trßn trªn
diÖn tÝch h×nh tam gi¸c. Cã nghÜa:
P(A) =
πR2
1
2
ah
=
3, 14 × (
√
3
3
)2
1
2
× 2 ×
√
3
= 0, 604
VÝ dô 1.3.5. (Bµi to¸n gÆp nhau)
X vµ Y hÑn gÆp nhau t¹i mét ®Þa ®iÓm tõ 8 giê ®Õn 9 giê víi quy −íc ng−êi ®Õn tr−íc qu¸ 20
phót th× sÏ bá ®i. T×m x¸c suÊt ®Ó hä gÆp nhau, biÕt mçi ng−êi cã thÓ ®Õn n¬i hÑn vµo thêi ®iÓm bÊt
kú trong thêi gian trªn.
Gi¶i: LÊy gèc to¹ ®é lµ 8 giê, gäi x lµ thêi ®iÓm ®Õn cña X, y lµ thêi ®iÓm ®Õn cña Y vµ ®−îc tÝnh
theo phót. Khi ®ã tËp çc biÕn cè cã thÓ xÈy ra lµ tËp çc ®iÓm M(x, y) thuéc miÒn:
G = {(x, y) : 0 6 x 6 60, 0 6 y 6 60}.

Gäi A lµ biÕn cè hai ng−êi gÆp nhau. Khi ®ã tËp çc biÕn cè thuËn lîi cho A lµ tËp çc ®iÓm
N(x, y) thuéc miÒn:
g = {(x, y) : x − 20 6 y 6 x + 20}.
BiÓu diÔn miÒn G vµ g trªn mÆt ph¼ng ta ®−îc x¸c suÊt:
P(A) =
Sg
SG
=
602
− 402
602
=
5
9
.
0 x
y
60
60
20
20
Trong tr−êng hîp çc kÕt côc cña mét phÐp thö xÈy ra kh«ng ®ång kh¶ n¨ng ng−êi ta ®−a vµo
®Þnh nghÜa x¸c suÊt theo quan ®iÓm thèng kª. §Þnh nghÜa theo thèng kª dùa trªn tÇn suÊt xuÊt hiÖn
çc kÕt côc trong mét líp phÐp thö.
1.3.3 §Þnh nghÜa x¸c suÊt theo thèng kª
a. TÇn suÊt:
Gi¶ sö phÐp thö ®−îc tiÕn hµnh n lÇn, trong ®ã biÕn cè A xuÊt hiÖn m lÇn, khi ®ã ta gäi tû sè m
n
®−îc gäi lµ tÇn suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè A trong n phÐp thö. Ký hiÖu: fn(A). VËy:
fn(A) =
m
n
(1.3.3)
VÝ dô 1.3.6. Mét x¹ thñ b¾n mét l−ît 100 viªn ®¹n cã 85 viªn tróng bia. Gäi A lµ biÕn cè x¹ thñ b¾n
tróng bia, khi ®ã tÇn suÊt tróng bia cña x¹ thñ ®ã lµ:
fn(A) =
85
100
= 0, 85
VÝ dô 1.3.7. Rót ngÉu nhiªn tõ kho ra 100 s¶n phÈm ®Ó kiÓm tra thÊy cã 5 phÕ phÈm. Gäi A lµ biÕn
cè xuÊt hiÖn phÕ phÈm, khi ®ã tÇn suÊt xuÊt hiÖn phÕ phÈm lµ:
fn(A) =
5
100
= 0, 05
NhËn xÐt 1.3.2. Gi¸ trÞ cña tÇn suÊt phô thuéc vµo sè l−îng phÐp thö n, khi sè phÐp thö Ýt tÇn suÊt
thay ®æi nhiÒu, nh−ng khi sè phÐp thö lín th× tÇn suÊt æn ®Þnh vµ dao ®éng xung quanh mét sè nµo
®ã.

VÝ dô 1.3.8. ThÝ nghiÖm tung ®ång tiÒn ®−îc çc nhµ b¸c häc thùc hiÖn vµ thu ®−îc çc kÕt qu¶ sau:
Ng−êi lµm TN Sè lÇn tung Sè lÇn cã mÆt sÊp TÇn suÊt
Bufon 4044 2048 0,5069
Pearson 12000 6019 0,5016
Pearson 24000 12012 0,5005
Ta thÊy sè lÇn tung ®ång tiÒn cµng lín th× tÇn suÊt xuÊt hiªn mÆt sÊp cµng dao ®éng æn ®Þnh xung
quanh sè 0,5.
b. §Þnh nghÜa x¸c suÊt theo thèng kª:
Gi¶ sö phÐp thö ®−îc tiÕn hµnh n lÇn, trong ®ã cã m lÇn xuÊt hiÖn biÕn cè A. Víi n ®ñ lín th×
tÇn suÊt fn(A) = m
n
cã giíi h¹n b»ng sè p nµo ®ã, ®−îc gäi lµ x¸c suÊt cña A. Cã nghÜa
P(A) = lim
n→+∞
fn(A) = p (1.3.4)
Ta sÏ thÊy ý nghÜa cña ®Þnh nghÜa nµy qua ®Þnh lÝ Bernoulli mét çch râ rµng h¬n.
VÝ dô 1.3.9.
+) Trong thèng kª d©n sè, ng−êi ta ®· tæng kÕt ®−îc x¸c suÊt em bÐ ra ®êi lµ trai hay g¸i xÊp xØ
b»ng 0,5.
+) X¸c suÊt ®−îc mÆt sÊp khi tung ®ång tiÒn xu lµ 0,5.
NhËn xÐt 1.3.3. (¦u ®iÓm vµ nh−îc ®iÓm cña ®Þnh nghÜa x¸c suÊt b»ng thèng kª)
• ¦u ®iÓm : Kh«ng gian mÉu Ω gåm v« h¹n biÕn cè s¬ cÊp vµ kh«ng ®ßi hái tÝnh ®ång kh¶ n¨ng.
• Nh−îc ®iÓm: §ßi hái ph¶i lÆp l¹i nhiÒu lÇn phÐp thö. Trong thùc tÕ, nhiÒu bµi to¸n kh«ng cho
phÐp thùc hiÖn do ®iÒu kiÖn vµ kinh phÝ lµm phÐp thö.
1.3.4 TÝnh chÊt vµ ý nghÜa cña x¸c suÊt
a. TÝnh chÊt: Theo ®Þnh nghÜa x¸c suÊt ta dÔ dµng suy ra ®−îc çc tÝnh chÊt sau:
Víi A, B bÊt kú thuéc Ω, ta cã:
• P(∅) = 0
• P(Ω) = 1
• 0 6 P(A) 6 1, víi mäi biÕn cè A ⊂ Ω
• A ⊂ B ⇒ P(A) 6 P(B)
b. ý nghÜa: X¸c suÊt P(A) ®Æc tr−ng cho kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn biÕn cè A trong phÐp thö. P(A) cµng
lín (cµng gÇn 1) th× kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn A cµng nhiÒu. P(A) cµng nhá (cµng gÇn 0) th× kh¶ n¨ng xuÊt
hiÖn A cµng Ýt.
1.3.5 Nguyªn lý x¸c suÊt lín, x¸c suÊt nhá
Mét biÕn cè kh«ng thÓ cã x¸c suÊt b»ng 0. Qua thùc nghiÖm vµ quan s¸t thùc tÕ, ng−êi ta thÊy
r»ng çc biÕn cè cã x¸c suÊt nhá sÏ kh«ng xÈy ra khi ta chØ thùc hiÖn mét phÐp thö hay mét vµi phÐp
thö. Tõ ®ã ta thõa nhËn nguyªn lý sau ®©y, gäi lµ "Nguyªn lý x¸c suÊt nhá": NÕu mét biÕn cè cã x¸c
suÊt rÊt nhá th× thùc tÕ cã thÓ cho r»ng trong mét phÐp thö biÕn cè ®ã sÏ kh«ng xÈy ra. Ch¼ng h¹n

mçi chiÕc m¸y bay ®Òu cã mét x¸c suÊt rÊt nhá bÞ xÈy ra tai n¹n. Nh−ng trªn thùc tÕ ta vÉn kh«ng
tõ chèi ®i m¸y bay v× tin t−ëng r»ng trong chuyÕn bay ta ®i biÕn cè m¸y bay r¬i kh«ng xÈy ra.
HiÓn nhiªn viÖc quy ®Þnh mét møc x¸c suÊt thÕ nµo ®−îc gäi lµ nhá sÏ phô thuéc vµo tõng bµi
to¸n cô thÓ. Ch¼ng h¹n nÕu x¸c suÊt ®Ó m¸y bay r¬i lµ 0,01 th× x¸c suÊt ®ã ch−a thÓ ®−îc coi lµ nhá.
Song nÕu x¸c suÊt mét chuyÕn tµu khëi hµnh chËm lµ 0,01 th× cã thÓ coi r»ng x¸c suÊt nµy lµ nhá.
Møc x¸c suÊt nhá nµy ®−îc gäi lµ møc ý nghÜa. NÕu ®Æt α lµ møc ý nghÜa th× sè γ = 1 − α gäi
lµ ®é tin cËy. Khi dùa trªn nguyªn lý x¸c suÊt nhá ta tuyªn bè r»ng: "BiÕn cè A cã x¸c suÊt nhá (tøc
lµ P(A) = α) sÏ kh«ng xÈy ra trªn thùc tÕ" th× ®é tin cËy cña kÕt luËn trªn lµ γ.
T−ng tù nh− vËy ta cã thÓ ®−a ra "Nguyªn lý x¸c suÊt lín": "NÕu biÕn cè A cã x¸c suÊt gÇn b»ng
1 th× trªn thùc tÕ cã thÓ cho r»ng biÕn cè ®ã sÏ xÈy ra trong mét phÐp thö". Còng nh− trªn, viÖc quy
®Þnh mét møc x¸c suÊt thÕ nµo ®−îc gäi lµ lín sÏ tïy thuéc vµo tõng bµi to¸n cô thÓ.
1.4 Çc phÐp tÝnh x¸c suÊt
1.4.1 C«ng thøc céng x¸c suÊt
Cho A, B, A1, A2, ..., An ⊂ Ω. Khi ®ã ta cã çc c«ng thøc sau:
1) P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)
2) NÕu A, B xung kh¾c th×: P(A + B) = P(A) + P(B)
3) Më réng cho n biÕn cè ta cã:
P(
n
X
i=1
Ai) =
n
X
i=1
P(Ai) −
X
i<j
P(AiAj) + ... + (−1)n−1
P(A1A2...An)
4) NÕu A1, A2, ..., An xung kh¾c tõng ®«i th×:
P(A1 + A2 + ... + An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)
5) P(A) = 1 − P(A)
6) P(A − B) = P(A) − P(AB)
VÝ dô 1.4.1. Líp K15QNH cã 40 sinh viªn. Trong ®ã cã 25 sinh viªn theo häc TiÕng Anh , 15 sinh
viªn theo häc TiÕng NhËt vµ 10 sinh viªn theo häc c¶ TiÕng Anh vµ TiÕng NhËt t¹i IIG. Chän ngÉu
nhiªn 1 sinh viªn trong líp K15QNH, tÝnh x¸c suÊt ®Ó:
a. Sinh viªn ®ã cã theo häc ngo¹i ng÷ t¹i IIG.
b. Sinh viªn ®ã chØ häc mçi TiÕng Anh.
c. Sinh viªn ®ã chØ häc mét ngo¹i ng÷.
c. Sinh viªn ®ã kh«ng häc ngo¹i ng÷ t¹i IIG.
Gi¶i: Gäi A, B lÇn l−ît lµ çc biÕn cè sv ®ã häc TiÕng Anh, TiÕng NhËt t¹i IIG.
a. Sinh viªn ®ã cã theo häc ngo¹i ng÷ t¹i IIG. Cã nghÜa lµ sinh viªn ®ã häc TiÕng Anh hoÆc TiÕng
NhËt. Do ®ã x¸c suÊt cÇn t×m:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) =
25
40
+
15
40
−
10
40
=
3
4
b. X¸c suÊt ®Ó sinh viªn ®ã chØ häc mçi TiÕng Anh:
P(A − B) = P(A) − P(AB) =
25
40
−
10
40
=
15
40

c. X¸c suÊt ®Ó sinh viªn ®ã chØ häc mçi TiÕng NhËt:
P(B − A) = P(B) − P(AB) =
15
40
−
10
40
=
5
40
Suy ra x¸c suÊt ®Ó sinh viªn nµy chØ häc ®óng mét ngo¹i ng÷ lµ:
P =
15
40
+
5
40
=
1
2
d. X¸c suÊt ®Ó sinh viªn nµy kh«ng häc ngo¹i ng÷ t¹i IIG:
P = 1 − P(A + B) = 1 −
3
4
=
1
4
VÝ dô 1.4.2. Mét hép cã 50 s¶n phÈm lo¹i I vµ 15 s¶n phÈm lo¹i II. LÊy ngÉu nhiªn 10 s¶n phÈm ®Ó
kiÓm tra. TÝnh x¸c suÊt ®Ó cã Ýt nhÊt 1 s¶n phÈm lo¹i II trong 10 s¶n phÈm ®−îc kiÓm tra.
Gi¶i: Gäi A lµ biÕn cè cã Ýt nhÊt mét s¶n phÈm lo¹i II trong 10 s¶n phÈm ®−îc kiÓm tra. Khi ®ã A
lµ biÕn cè kh«ng cã s¶n phÈm lo¹i II nµo trong 10 s¶n phÈm ®−îc kiÓm tra.
Ta cã
P(A) =
C10
50
C10
65
X¸c suÊt cÇn t×m:
P(A) = 1 − P(A) = 1 −
C10
50
C10
65
= 0, 9426
1.4.2 C«ng thøc nh©n x¸c suÊt
a. X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn
PhÇn trªn khi xÐt sù xuÊt hiÖn cña biÕn cè A, ngoµi ®iÒu kiÖn cña phÐp thö chóng ta kh«ng cã
®iÒu kiÖn nµo kh¸c. Tuy nhiªn, trong thùc tÕ chóng ta th−êng ph¶i xÐt sù xuÊt hiÖn cña biÕn cè A víi
®iÒu kiÖn biÕn cè B ®· xÈy ra.
§Þnh nghÜa 1.4.1. Gi¶ sö A, B lµ hai biÕn cè bÊt kú vµ P(B) > 0. Ta gäi tû sè P(AB)
P(B)
lµ x¸c suÊt cã
®iÒu kiÖn cña biÕn cè A víi ®iÒu kiÖn biÕn cè B ®· xÈy ra tr−íc ®ã, ®−îc ký hiÖu P(A/B). Cã nghÜa:
P(A/B) =
P(AB)
P(B)
, P(B) > 0. (1.4.1)
T−¬ng tù, nÕu P(A) > 0. Ta gäi tû sè P(AB)
P(A)
lµ x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña biÕn cè B víi ®iÒu kiÖn
biÕn cè A ®· xÈy ra tr−íc ®ã, ®−îc ký hiÖu P(B/A). Cã nghÜa:
P(B/A) =
P(AB)
P(A)
, P(A) > 0. (1.4.2)
NhËn xÐt 1.4.1.
1) V× x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn P(A/B) ®−îc tÝnh qua x¸c suÊt kh«ng ®iÒu kiÖn P(AB)
P(B)
nªn nã còng cã
c¸c tÝnh chÊt cña x¸c suÊt b×nh th−êng, ch¼ng h¹n nh−:
+) P(A/B) = 1 − P(A/B).
+) P(A1 + A2/B) = P(A1/B) + P(A2/B) − P(A1A2/B).
2) Sù kh¸c nhau cña P(A/B) vµ P(AB) lµ:
+) P(A/B) = Sè phÇn tö cña AB
Sè phÇn tö cña B
.
+) P(AB) = Sè phÇn tö cña AB
Sè phÇn tö cña Ω
.

VÝ dô 1.4.3. Gieo ®ång thêi ba con xóc x¾c c©n ®èi mét çch ®éc lËp. TÝnh x¸c suÊt ®Ó:
a. Tæng sè nèt xuÊt hiÖn cña ba con lµ 6.
b. Tæng sè nèt xuÊt hiÖn cña ba con lµ 6 nÕu biÕt r»ng cã Ýt nhÊt mét con ra mÆt 2 chÊm.
Gi¶i:
a. Gäi A lµ biÕn cè "tæng sè nèt xuÊt hiÖn cña ba con xuc x¾c lµ 6". Sè tr−êng hîp thuËn lîi cho
A lµ: (2, 2, 2); (1, 1, 4); (1, 2, 3) vµ çc ho¸n vÞ cña chóng.
Tõ ®ã suy ra: mA = 1 + 3 + 6 = 10.
Sè kÕt qu¶ ®ång kh¶ n¨ng cña phÐp thö: n = F3
6 = 63
= 216.
VËy P(A) = mA
n
= 10
216
.
b. Gäi B lµ biÕn cè "cã mét con xóc x¾c ra mÆt 2". Khi ®ã theo c«ng thøc x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn
ta cã x¸c suÊt cÇn t×m lµ:
P(A/B) =
P(AB)
P(B)
DÔ thÊy P(B) = 216−125
216
= 91
216
.
§Ó tÝnh P(AB) ta thÊy çc tr−êng hîp cã tæng b»ng 6 mµ trong ®ã cã "2" lµ (2, 2, 2); (1, 2, 3) vµ
çc ho¸n vÞ cña chóng, do ®ã
P(AB) =
1 + 6
216
=
7
216
VËy P(A/B) = 7/216
91/216
= 7
91
(Sè phÇn tö cña AB lµ 7, sè phÇn tö cña B lµ 91).
b. C«ng thøc nh©n x¸c suÊt
1) Tõ c«ng thøc x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn chóng ta cã:
P(AB) = P(A).P(B/A), P(A) > 0 (1.4.3)
HoÆc
P(AB) = P(B).P(A/B), P(B) > 0 (1.4.4)
2) Më réng cho tÝch n biÕn cè ta cã:
P(A1A2...An) = P(A1).P(A2/A1)...P(An/A1.A2...An−1) (1.4.5)
VÝ dô 1.4.4. Mét hép ®ùng 10 cuén phim, trong ®ã cã 3 cuén bÞ háng. Chän lÇn l−ît 3 cuén phim
theo ph−¬ng thøc kh«ng hoµn l¹i. T×m x¸c suÊt ®Ó 3 cuén phim ®−îc chän ®Òu bÞ háng?
Gi¶i: Gäi:
A1 : lµ biÕn cè chän cuén phim thø 1 bÞ háng.
A2 : lµ biÕn cè chän cuén phim thø hai bÞ háng (lóc nµy ®· biÕt cuén 1 háng).
A3 : lµ biÕn cè chän cuén phim thø 3 bÞ háng (lóc nµy ®· biÕt cuén 1 vµ cuén 2 háng).
Ta cã:
P(A1) = 3/10 = 0, 3
P(A2/A1) = 2/9 = 0, 222
P(A3/A1A2) = 1/8 = 0, 125
VËy x¸c suÊt ®Ó chän c¶ 3 cuén phim ®Òu bÞ háng lµ:
P(A1A2A3) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2) =
3.2.1
10.9.8
= 0, 0083.

c. Çc biÕn cè ®éc lËp víi nhau
§Þnh nghÜa 1.4.2.
• Hai biÕn cè A vµ B ®−îc gäi lµ ®éc lËp víi nhau nÕu sù xÈy ra hay kh«ng xÈy ra cña biÕn cè
nµy kh«ng lµm thay ®æi x¸c suÊt cña biÕn cè kia vµ ng−îc l¹i.
• Çc biÕn cè A1, A2, ..., An, (n > 2) ®−îc gäi lµ ®éc lËp tõng ®«i nÕu mçi ®«i bÊt kú trong n
biÕn cè Êy ®éc lËp víi nhau.
• Çc biÕn cè A1, A2, ..., An, (n > 2) ®−îc gäi lµ ®éc lËp toµn phÇn nÕu mçi biÕn cè ®éc lËp víi
tÝch cña mét tæ hîp bÊt kú trong çc biÕn cè cßn l¹i.
NhËn xÐt 1.4.2. Çc biÕn cè ®éc lËp toµn phÇn th× ®éc lËp tõng ®«i, ng−îc l¹i kh«ng ®óng.
Trong lý thuyÕt vµ tÝnh to¸n, ng−êi ta nhËn biÕt tÝnh ®éc lËp bëi c«ng thøc, cßn trong thùc tÕ ng−êi
ta th−êng nhËn biÕt tÝnh ®éc lËp b»ng trùc gi¸c.
VÝ dô 1.4.5.
a. Hai x¹ thñ cïng b¾n vµo mét bia. Gäi A, B lÇn l−ît lµ çc biÕn cè ng−êi thø nhÊt, ng−êi thø hai
b¾n tróng bia. V× viÖc hai ng−êi b¾n tróng hay tr−ît bia kh«ng ¶nh h−ëng ®Õn kÕt qu¶ cña nhau. VËy
A, B lµ hai biÕn cè ®éc lËp.
b. Gieo ®ång thêi hai con xóc x¾c. Gäi A lµ biÕn cè con thø nhÊt xuÊt hiÖn mÆt ch½n, B lµ biÕn cè
con thø hai xuÊt hiÖn mÆt lÏ. V× viÖc xuÊt hiÖn mÆt ch½n hay mÆt lÏ cña mçi con kh«ng ¶nh h−ëng
®Õn nhau nªn A, B lµ hai biÕn cè ®éc lËp.
MÖnh ®Ò 1.4.1. Çc kÕt luËn sau ®©y lµ t−¬ng ®−¬ng:
a. A vµ B ®éc lËp víi nhau
b. P(A.B) = P(A).P(B)
c. A vµ B ®éc lËp víi nhau
d. P(A.B) = P(A).P(B)
e. A vµ B ®éc lËp víi nhau
f. P(A.B) = P(A).P(B)
g. A vµ B ®éc lËp víi nhau
h. P(A.B) = P(A).P(B)
HÖ qu¶ 1.4.1. Çc biÕn cè A1, A2, ..., An ®éc lËp toµn phÇn khi vµ chØ khi ta lÊy ra mét d·y con bÊt
kú çc biÕn cè tõ n biÕn cè nµy th× tÝch çc biÕn cè cña d·y con ®ã b»ng tÝch çc x¸c suÊt cña tõng
biÕn cè, nghÜa lµ:
P(Ai1 Ai2 ...Aik
) = P(Ai1 ).P(Ai2 )...P(Aik
) (1.4.6)
víi mäi {i1, i2, ..., ik} ⊂ {1, 2, ..., n}, 2 6 k 6 n.
VÝ dô 1.4.6. Hai c«ng ty ho¹t ®éng mét çch ®éc lËp víi nhau, ®−îc mêi tham gia thÇu mét dù ¸n
gåm nhiÒu gãi thÇu. Kh¶ n¨ng tróng thÇu cña çc c«ng ty t−¬ng øng lµ 0,8 vµ 0,9. T×m x¸c suÊt ®Ó:
a. ChØ cã mét c«ng ty tróng thÇu.
b. Cã Ýt nhÊt mét c«ng ty tróng thÇu.
c. C¶ hai c«ng ty tróng thÇu.
Gi¶i: Gäi A1, A2 lÇn l−ît lµ çc biÕn cè c«ng ty thø nhÊt, thø hai tróng thÇu.
a. Gäi A lµ biÕn cè cã ®óng mét c«ng ty tróng thÇu. Khi ®ã: A = A1A2 + A1A2

Suy ra:
P(A) = P(A1A2) + P(A1A2)
= P(A1)P(A2) + P(A1)P(A2)
= 0.8 ∗ 0.1 + 0.2 ∗ 0.9 = 0.26
b. Gäi B lµ biÕn cè cã Ýt nhÊt mét c«ng ty tróng thÇu. Khi ®ã: B = A1 + A2
P(B) = 1 − P(B) = 1 − P(A1.A1) = 1 − P(A1).P(A2) = 1 − 0.2 ∗ 0.1 = 0.98
c. X¸c suÊt c¶ hai c«ng ty tróng thÇu:
P(A1.A2) = P(A1).P(A2) = 0.8 ∗ 0.9 = 0.72
d. D·y çc phÐp thö ®éc lËp
§Þnh nghÜa 1.4.3. D·y gåm n phÐp thö G1, G2, ..., Gn ®−îc gäi lµ ®éc lËp víi nhau nÕu:
P(A1i.A2i...Ani) = P(A1i).P(A2i)...P(Ani) (1.4.7)
Trong ®ã A1i, A2i, ..., Ani t−¬ng øng lµ mét biÕn cè bÊt kú trong n phÐp thö G1, G2, ..., Gn.
1.5 C«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ vµ c«ng thøc Bayes
1.5.1 C«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ
Mét hÖ qu¶ cña c«ng thøc céng vµ nh©n x¸c suÊt lµ c«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ (cßn ®−îc gäi lµ
c«ng thøc tÝnh x¸c suÊt toµn phÇn).
Bµi to¸n: Gi¶ sö A1, A2, ..., An lµ mét hÖ ®Çy ®ñ çc biÕn cè cña mét phÐp thö nµo ®ã. Gäi B lµ
mét biÕn cè bÊt kú trong phÐp thö ®ã. Ta cã thÓ tr×nh bµy çc biÕn cè võa m« t¶ qua h×nh sau:
An
A1 A2
A3
A6
…
B.An
B.A1 B.A2
B.A3
B.A4
B.A5
B.A6
B
…
A5
A4
Cho biÕt P(Ai) vµ P(B/Ai), i = 1, n. H·y x¸c ®Þnh x¸c suÊt P(B) =?
BiÕn cè B xÈy ra khi:
B = A1B + A2B + ... + AnB
Çc biÕn cè Ai xung kh¾c ®«i mét nªn çc biÕn cè AiB còng xung kh¾c ®«i mét, ¸p dông c«ng thøc
céng x¸c suÊt:
P(B) = P(A1B) + P(A2B) + ... + P(AnB)

Theo c«ng thøc nh©n x¸c suÊt:
P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + ... + P(An)P(B/An)
ViÕt gän:
P(B) =
n
X
i=1
P(Ai)P(B/Ai) (1.5.1)
C«ng thøc nµy ®−îc gäi lµ c«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ.
VÝ dô 1.5.1. Mét nhµ m¸y cã 3 ph©n x−ëng s¶n xuÊt cïng mét lo¹i s¶n phÈm. Trong ®ã ph©n x−ëng
I s¶n xuÊt 36%, ph©n x−ëng II s¶n xuÊt 34%, ph©n x−ëng III s¶n xuÊt 30% s¶n l−îng toµn nhµ m¸y.
BiÕt tû lÖ phÕ phÈm cña çc ph©n x−ëng t−¬ng øng lµ: 12%, 10% vµ 8%. TÝnh tû lÖ phÕ phÈm chung
cña toµn nhµ m¸y.
Gi¶i: LÊy ngÉu nhiªn 1 s¶n phÈm trong kho cña nhµ m¸y, gäi B lµ biÕn cè s¶n phÈm lÊy ra lµ phÕ
phÈm th× P(B) lµ tû lÖ phÕ phÈm chung cña nhµ m¸y. Gäi A1, A2, A3 lÇn l−ît lµ çc biÕn cè s¶n
phÈm lÊy ra thuéc ph©n x−ëng I, II, III, ta cã:
P(A1) = 0, 36; P(A2) = 0, 34; P(A3) = 0, 3
MÆt kh¸c:
P(B/A1) = 0, 12; P(B/A2) = 0, 1; P(B/A3) = 0, 08
V× A1, A2, A3 lËp thµnh mét hÖ ®Çy ®ñ nªn:
P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + P(A3)P(B/A3)
= 0.36 ∗ 0.12 + 0.34 ∗ 0.1 + 0.3 ∗ 0.08 = 0.1012
VËy tû lÖ phÕ phÈm chung cña toµn nhµ m¸y lµ: 10, 12%.
VÝ dô 1.5.2. Víi çc gi¶ thiÕt nh− vÝ dô trªn, b©y giê ta thªm mét ®iÒu kiÖn míi, ®ã lµ lÊy ngÉu nhiªn
tõ kho mét s¶n phÈm, gi¶ sö lÊy ®−îc phÕ phÈm. T×m x¸c suÊt ®Ó s¶n phÈm ®ã thuéc ph©n x−ëng II.
S¶n phÈm phÕ phÈm ®ã cã kh¶ n¨ng thuéc ph©n x−ëng nµo nhiÒu nhÊt?
Muèn gi¶i ®−îc bµi to¸n nµy ta ph¶i sö dông c«ng thøc sau, gäi lµ c«ng thøc Bayes.
1.5.2 C«ng thøc Bayes
MÖnh ®Ò 1.5.1. Gi¶ sö A1, A2, ..., An lµ çc biÕn cè lËp thµnh hÖ ®Çy ®ñ. Khi ®ã víi bÊt kú biÕn cè
B, ta cã:
P(Ai/B) =
P(Ai)P(B/Ai)
n
P
k=1
P(Ak)P(B/Ak)
, ∀i = 1, 2, ..., n (1.5.2)
Trë l¹i vÝ dô trªn, theo c«ng thøc Bayes, x¸c suÊt ®Ó phÕ phÈm lÊy ra thuéc ph©n x−ëng II lµ:
P(A2/B) =
P(A2).P(B/A2)
P(B)
=
0, 34.0, 1
0, 101
= 0, 336
Muèn biÕt kh¶ n¨ng phÕ phÈm thuéc ph©n x−ëng nµo nhiÒu nhÊt ta ph¶i so s¸nh çc x¸c suÊt:
P(A1/B), P(A2/B), P(A3/B).

Ta cã:
P(A1/B) =
P(A1).P(B/A1)
P(B)
=
0, 36.0, 12
0, 101
= 0, 424
P(A3/B) =
P(A3).P(B/A3)
P(B)
=
0, 3.0, 08
0, 101
= 0, 24
VËy phÈm phÕ phÈm ®ã cã kh¶ n¨ng thuéc ph©n x−ëng I nhiÒu nhÊt.
NhËn xÐt 1.5.1. NÕu hÖ çc biÕn cè {A1, A2, ...An} xung kh¾c ®«i mét vµ
n
P
i=1
P(Ai) = 1 th× hÖ nµy
®Çy ®ñ.
VÝ dô 1.5.3. Cã hai hép, hép I ®ùng 3 s¶n phÈm A vµ 5 s¶n phÈm B, hép II ®ùng 2 s¶n phÈm A vµ 4
s¶n phÈm B. LÊy ngÉu nhiªn 1 s¶n phÈm tõ hép I bá sang hép II råi trén ®Òu, sau ®ã lÊy ngÉu nhiªn
1 s¶n phÈm ë hép II.
a. T×m x¸c suÊt ®Ó lÊy ®−îc s¶n phÈm A.
b. BiÕt s¶n phÈm lÊy ra lµ A, t×m x¸c suÊt ®Ó nã lµ cña hép I.
Gi¶i:
a. Gäi A1, A2 lÇn l−ît lµ çc biÕn cè s¶n phÈm lÊy ra cuèi cïng thuéc hép I, hép II. Khi ®ã
P(A1) =
1
7
; P(A2) =
6
7
V× A1, A2 xung kh¾c nªn nã lËp thµnh mét hÖ ®Çy ®ñ.
Gäi H lµ biÕn cè lÊy ®−îc s¶n phÈm A, khi ®ã theo c«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ ta cã:
P(H) = P(A1)P(H/A1) + P(A2)P(H/A2)
=
1
7
.
3
8
+
6
7
.
2
6
= 0.339285714
b. Theo c«ng thøc Bayes, x¸c suÊt ®Ó s¶n phÈm A lÊy ra thuéc hép I lµ:
P(A1/H) =
P(A1)P(H/A1)
P(H)
=
1
7
3
8
0.339285714
= 0.157894737
1.6 C«ng thøc Bernoulli
1.6.1 D·y phÐp thö Bernoulli
D·y n phÐp thö G1, G2, ..., Gn ®−îc gäi lµ d·y n phÐp thö Bernuolli khi vµ chØ khi tho¶ m·n çc
®iÒu kiÖn sau:
+) D·y n phÐp thö ®ã ®éc lËp víi nhau.
+) Trong mçi phÐp thö Gi ta chØ ®Ó ý ®Õn biÕn cè A hay A xuÊt hiÖn, cã nghÜa Ωi = {A, A}.
+) X¸c suÊt cña biÕn cè A x¶y ra trong mçi phÐp thö ®Òu b»ng mét sè p = P(A).
1.6.2 C«ng thøc Bernoulli
Bµi to¸n: Cho d·y gåm n phÐp thö Bernoulli (x¸c suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè A trong mçi phÐp thö b»ng
p). T×m x¸c suÊt ®Ó biÕn cè A xuÊt hiÖn m lÇn trong d·y n phÐp thö ®ã?

Bµi to¸n nµy ®−îc nhµ b¸c häc ng−êi Thôy SÜ, Bernoulli gi¶i tõ thÕ kû XVII nªn ®−îc gäi lµ bµi
to¸n Bernoulli. X¸c suÊt ®Ó biÕn cè A xuÊt hiÖn m lÇn trong n phÐp thö, ®−îc ký hiÖu Pn(m) vµ x¸c
®Þnh bëi c«ng thøc:
Pn(m) = Cm
n pm
(1 − p)n−m
(1.6.1)
C«ng thøc nµy ®−îc gäi lµ c«ng thøc Bernoulli.
HÖ qu¶ 1.6.1. Gäi Pn(k1, k2) lµ x¸c suÊt biÕn cã A xuÊt hiÖn tõ k1 ®Õn k2 lÇn, khi ®ã:
Pn(k1, k2) =
k2
X
m=k1
Pn(m) (1.6.2)
VÝ dô 1.6.1. Mét nh©n viªn b¸n hµng mçi ngµy ®i chµo hµng ë 10 n¬i, víi x¸c suÊt b¸n ®−îc hµng ë
mçi n¬i ®Òu b»ng 0,2. T×m x¸c suÊt ®Ó:
a. Ng−êi ®ã b¸n ®−îc hµng ë 2 n¬i.
b. Ng−êi ®ã b¸n ®−îc hµng tõ 2 ®Õn 4 n¬i.
c. Ng−êi ®ã b¸n ®−îc hµng.
d. Ng−êi ®ã b¸n ®−îc hµng nhiÒu nhÊt ë 8 n¬i.
e. Ng−êi ®ã kh«ng b¸n ®−îc hµng ë 3 n¬i.
Gi¶i:
a. Theo c«ng thøc Bernoulli, x¸c suÊt b¸n ®−îc hµng ë 2 n¬i:
P10(2) = C2
10(0, 2)2
(0, 8)8
= 0, 302
b. Theo c«ng thøc Bernoulli, x¸c suÊt b¸n ®−îc hµng tõ 2 ®Õn 4 n¬i:
P10(2; 4) = C2
10(0, 2)2
(0, 8)8
+ C3
10(0, 2)3
(0, 8)7
+ C4
10(0, 2)4
(0, 8)6
= 0, 5914
c. Theo c«ng thøc Bernoulli, x¸c suÊt b¸n ®−îc hµng:
p = 1 − P10(0) = 1 − C0
10(0, 2)0
(0, 8)10
= 0.8926
d. X¸c suÊt cÇn t×m:
p = P10(0; 8) = 1 − P10(9) − P10(10) = 1 − C9
10(0, 2)9
(0, 8) − (0, 2)10
= 0, 999996
e. X¸c suÊt ®Ó kh«ng b¸n ®−îc hµng ë 3 n¬i:
p = C3
10(0, 8)3
(0, 2)7
= 0, 000786
VÝ dô 1.6.2. X¸c suÊt tróng gi¶i cña mét tê vÐ sè lµ 1%. Hái cÇn mua Ýt nhÊt bao nhiªu vÐ ®Ó kh¶
n¨ng cã Ýt nhÊt 1 vÐ tróng gi¶i kh«ng d−íi 0,95.
Gi¶i:
Ta thÊy viÖc mua mét tê vÐ sè lµ mét phÐp thö Bernoulli víi p = 0, 01. Gäi n lµ sè vÐ cÇn mua.
V× x¸c suÊt ®Ó trong n vÐ kh«ng cã vÐ nµo tróng gi¶i lµ C0
np0
qn
= qn
, nªn x¸c suÊt ®Ó cã Ýt nhÊt mét
vÐ tróng lµ:
P(B) = 1 − qn
= 1 − 0, 99n
Theo ®Çu bµi ta cã:
1 − 0, 99n
> 0, 95 hay 0, 05 > 0, 99n
Do ®ã
n >
ln(0, 05)
ln(0, 99)
= 298.073
VËy cÇn mua tèi thiÓu 299 vÐ.

C. H×nh thøc vµ ph−¬ng ph¸p d¹y häc
- Gi¶ng viªn cung cÊp bµi gi¶ng cho sinh viªn ®äc tr−íc.
- Gi¶ng viªn tr×nh bµy bµi gi¶ng trªn líp theo ph−¬ng ph¸p thuyÕt tr×nh, th¶o luËn, hái ®¸p.
- Gîi më tõ trùc quan sinh ®éng ®Õn t− duy trõu t−îng ®Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò.
- Giao bµi tËp cho sinh viªn vÒ nhµ lµm, c¸c chñ ®Ò cÇn nghiªn cøu. Giíi thiÖu mét sè tµi liÖu
tham kh¶o ®Ó sinh viªn nghiªn cøu trong thêi gian tù häc.
- KiÓm tra ®¸nh gi¸ qu¸ tr×nh tù häc, lµm bµi tËp cña sinh viªn.
D. Tµi liÖu tham kh¶o
[1] NguyÔn Quang C−êng - Bµi gi¶ng x¸c suÊt thèng kª - §¹i häc Duy T©n.
[2] NguyÔn Quang Thi - Bµi gi¶ng x¸c suÊt thèng kª - §¹i häc Duy T©n.
[3] Bé m«n To¸n kinh tÕ - Gi¸o tr×nh x¸c suÊt thèng kª - Tr−êng ®¹i häc kinh tÕ TP.HCM.
[4] Hoµng Ngäc NhËm - Bµi tËp x¸c suÊt thèng kª - §¹i häc Kinh tÕ TP.HCM - 2005.
[5] TrÇn V¨n Minh - PhÝ ThÞ V©n Anh - X¸c suÊt thèng kª - NXB GTVT 2006.
[6] TrÇn V¨n Minh - PhÝ ThÞ V©n Anh - X¸c suÊt thèng kª - NXB GTVT 2006.
[7] §inh V¨n G¾ng - X¸c suÊt thèng kª (Lý thuyÕt vµ bµi tËp) - NXB GD 2008.
[8] NguyÔn V¨n Hé - X¸c suÊt thèng kª - NXB GD 2006.

Bµi tËp ch−¬ng 1
1. a. Cã mÊy çch ph©n phèi ngÉu nhiªn 15 tÆng phÈm cho 3 ng−êi.
b. Cã mÊy çch ph©n phèi ngÉu nhiªn 15 tÆng phÈm cho 3 ng−êi sao cho ng−êi thø hai cã ®óng
5 tÆng phÈm.
c. Cã mÊy çch ph©n phèi ngÉu nhiªn 15 tÆng phÈm cho 3 ng−êi sao cho mçi ng−êi cã 5 tÆng
phÈm.
2. Mét sinh viªn thi cuèi kú ph¶i thi 3 m«n trong mét tuÇn (7 ngµy), biÕt mçi ngµy thi mét m«n.
Hái phßng ®µo t¹o cã mÊy çch lËp lÞch thi.
3. Mét l« hµng cã 10 s¶n phÈm, trong ®ã cã 7 chÝnh phÈm vµ 3 phÕ phÈm.
a. Cã mÊy çch lÊy nhÉu nhiªn ra 4 s¶n phÈm ®Ó kiÓm tra tõ l« hµng ®ã.
b. Cã mÊy çch lÊy nhÉu nhiªn ra 4 s¶n phÈm ®Ó kiÓm tra tõ l« hµng ®ã, trong ®ã sè chÝnh
phÈm vµ phÕ phÈm b»ng nhau.
c. Cã mÊy çch lÊy nhÉu nhiªn ra 4 s¶n phÈm ®Ó kiÓm tra tõ l« hµng ®ã, trong ®ã sè chÝnh
phÈm nhiÒu h¬n sè phÕ phÈm.
4. Thang m¸y cña mét toµ nhµ 10 tÇng xuÊt ph¸t tõ tÇng 1 víi 4 kh¸ch, gi¶ sö mçi ng−êi ra ngÉu
nhiªn mét tÇng (kh«ng cã ai trë l¹i tÇng 1). Cã bao nhiªu çch ®Ó:
a. TÊt c¶ cïng ra mét tÇng.
b. ChØ cã 1 ng−êi ra tÇng 5.
c. Mçi ng−êi ra mét tÇng kh¸c nhau.
d. Cã 3 ng−êi ra tÇng 8.
e. Gi¶ sö 4 ng−êi nµy lµ 2 cÆp vî chång, vî chång cïng ®i víi nhau. Cã mÊy çch ®Ó 2 cÆp vî
chång nµy ra 2 tÇng kh¸c nhau.
f. Gi¶ sö tõ tÇng 2 ®Õn tÇng 6 ®ang söa ch÷a, kh«ng ra ®−îc. Hái cã mÊy çch ®Ó mçi mçi
ng−êi ra mét tÇng kh¸c nhau.
5. Mét anh nä gäi ®iÖn tho¹i cho mét c« g¸i míi quen nh−ng l¹i quªn mÊt 3 ch÷ sè cuèi vµ chØ
nhí r»ng chóng kh¸c nhau vµ cã ch÷ sè 0. Hái anh nµy cã mÊy çch ®Ó bÊm m¸y.
6. Chøng minh çc tÝnh chÊt sau cña çc biÕn cè:
a. A.(B + C) = AB + AC, A + (B.C) = (A + B)(A + C).
b. A − B = A.B, A + B = A. B, A.B = A + B.
7. KiÓm tra ba s¶n phÈm (mçi s¶n phÈm chØ cã mét trong hai kh¶ n¨ng tèt hoÆc xÊu). Gäi A1, A2, A3
lÇn l−ît lµ çc biÕn cè s¶n phÈm thø 1, 2, 3 lµ s¶n phÈm tèt. H·y biÓu diÔn çc biÕn cè sau theo
çc biÕn cè A1, A2, A3:
a. Ω.
b. TÊt c¶ ®Òu xÊu.
c. Cã Ýt nhÊt mét s¶n phÈm xÊu.
d. Cã Ýt nhÊt mét s¶n phÈm tèt.
e. Kh«ng ph¶i tÊt c¶ çc s¶n phÈm ®Òu tèt.

f. Cã ®óng mét s¶n phÈm xÊu.
g. Cã Ýt nhÊt hai s¶n phÈm tèt.
8. Quan s¸t 4 sinh viªn lµm bµi thi. KÝ hiÖu Bj lµ biÕn cè sinh viªn j lµm bµi thi ®¹t yªu cÇu
(j = 1, 4). H·y biÓu diÔn çc biÕn cè sau ®©y theo çc biÕn cè Bj:
a. Ω.
b. Cã ®óng mét sinh viªn ®¹t yªu cÇu.
c. Cã ®óng 3 sinh viªn ®¹t yªu cÇu.
d. Cã Ýt nhÊt 1 sinh viªn ®¹t yªu cÇu.
e. Kh«ng cã sinh viªn ®¹t yªu cÇu.
9. Chän ngÉu nhiªn 1 nh©n viªn trong mét c«ng ty ®Ó lÊy th«ng tin. Gäi A lµ biÕn cè nh©n viªn
®−îc chän lµ nam, B lµ biÕn cè nh©n viªn ®−îc chän ®· tèt nghiÖp ®¹i häc, C lµ biÕn cè nh©n
viªn ®ã ®· lËp gia ®×nh.
a. H·y m« t¶ biÕn cè ABC.
b. Víi ®iÒu kiÖn nµo th× ta cã ABC = A.
c. Khi nµo th× ta cã C = A.
10. Tung hai con xóc x¾c. Gäi A lµ biÕn cè "Sè nèt xuÊt hiÖn trªn con xóc x¾c mét chia hÕt cho sè
nèt trªn con xóc x¾c hai". B lµ biÕn cè "Tæng sè nèt xuÊt hiÖn trªn hai con lµ sè ch½n". Hái
A vµ B cã ®éc lËp, cã xung kh¾c hay kh«ng?
11. Mét hép cã 5 bi tr¾ng, 3 bi xanh. LÊy tõ hép ra 2 bi theo 3 çch lÊy:
1. LÊy ngÉu nhiªn mét lÇn hai bi. TÝnh x¸c suÊt ®Ó lÊy ®−îc mét bi tr¾ng.
2. LÊy lÇn l−ît kh«ng hoµn l¹i hai bi. TÝnh x¸c suÊt ®Ó:
a. LÊy ®−îc mét bi tr¾ng.
b. LÊy ®−îc viªn thø hai lµ bi tr¾ng.
3. LÊy lÇn l−ît cã hoµn l¹i hai bi. TÝnh x¸c suÊt ®Ó lÊy ®−îc mét bi tr¾ng.
12. Gieo ®ång thêi hai con xóc x¾c. TÝnh x¸c suÊt ®Ó:
a. Tæng sè nèt xuÊt hiÖn trªn hai con lµ 7.
b. Tæng sè nèt xuÊt hiÖn trªn hai con lµ 8.
c. Sè nèt xuÊt hiÖn trªn hai con h¬n kÐm nhau 2.
13. Trong mét hép cã 12 bãng ®Ìn, trong ®ã cã 3 bãng háng. LÊy ngÉu nhiªn lÇn l−ît kh«ng hoµn
l¹i 3 bãng ®Ó dïng. TÝnh x¸c suÊt ®Ó :
a. Cã 1 bãng bÞ háng.
b. C¶ 3 bãng ®Òu háng.
c. Cã Ýt nhÊt mét bãng kh«ng háng.
d. ChØ cã bãng thø hai háng.

14. Mét kh¸ch s¹n cã 6 phßng ®¬n. Cã 10 kh¸ch ®Õn thuª phßng, trong ®ã cã 6 nam vµ 4 n÷.
Ng−êi qu¶n lÝ chän ngÉu nhiªn 6 ng−êi. TÝnh x¸c suÊt ®Ó:
a. C¶ 6 ng−êi ®Òu lµ nam.
b. Cã 4 nam vµ 2 n÷.
c. Cã Ýt nhÊt hai n÷.
15. Cã 30 tÊm thÎ ®¸nh sè tõ 1 tíi 30. Chän ngÉu nhiªn ra 10 tÊm thÎ. TÝnh x¸c suÊt ®Ó:
a. TÊt c¶ 10 tÊm thÎ ®Òu mang sè ch½n.
b. Cã ®óng 5 sè chia hÕt cho 3.
c. Cã 5 tÊm thÎ mang sè lÎ, 5 tÊm thÎ mang sè ch½n trong ®ã chØ cã mét sè chia hÕt cho 10.
16. Mét hßm cã 9 tÊm thÎ ®¸nh sè thø tù tõ 1 ®Õn 9. Chän ngÉu nhiªn ra hai tÊm thÎ. TÝnh x¸c
suÊt ®Ó tÝch hai sè trªn hai tÊm thÎ lµ mét sè ch½n.
17. Mét n−íc cã 50 tØnh, mçi tØnh cã hai ®¹i biÓu Quèc héi. Ng−êi ta chän ngÉu nhiªn 50 ®¹i biÓu
trong sè 100 ®¹i biÓu ®Ó thµnh lËp mét ñy ban. TÝnh x¸c suÊt ®Ó:
a. Trong ñy ban cã Ýt nhÊt mét ®¹i biÓu cña thñ ®«.
b. Mçi tØnh ®Òu cã ®óng 1 ®¹i biÓu trong ñy ban.
18. TÝnh x¸c suÊt ®Ó 12 ng−êi ®−îc chän ngÉu nhiªn cã ngµy sinh r¬i vµo 12 th¸ng kh¸c nhau.
19. Mét ®oµn tµu cã 4 toa ®ç ë s©n ga. Cã 4 hµnh kh¸ch tõ s©n ga lªn tµu, mçi ng−êi ®éc lËp víi
nhau chän ngÉu nhiªn mét toa. TÝnh x¸c suÊt ®Ó mét toa cã 3 ng−êi, mét toa cã 1 ng−êi vµ hai
toa cßn l¹i kh«ng cã ai.
20. Mét ng−êi bá ngÉu nhiªn 3 l¸ th− vµo 3 chiÕc phong b× ®· ghi ®Þa chØ. TÝnh x¸c suÊt ®Ó Ýt nhÊt
cã mét l¸ th− bá ®óng phong b× cña nã.
21. Cã 30 ®Ò thi trong ®ã cã 10 ®Ò khã, 15 ®Ò trung b×nh vµ 5 ®Ò dÔ. T×m x¸c suÊt ®Ó:
a. Mét sinh viªn bèc ngÉu nhiªn 1 ®Ò, gÆp ®−îc ®Ò trung b×nh hoÆc ®Ò dÔ.
b. Mét sinh viªn bèc ngÉu nhiªn 2 ®Ò, ®−îc Ýt nhÊt 1 ®Ò trung b×nh.
22. C¬ cÊu chÊt l−îng s¶n phÈm cña mét nhµ m¸y nh− sau: S¶n phÈm lo¹i 1: 40%, s¶n phÈm lo¹i
2: 50%, cßn l¹i lµ phÕ phÈm. LÊy ngÉu nhiªn mét s¶n phÈm cña nhµ m¸y. TÝnh x¸c suÊt ®Ó s¶n
phÈm lÊy ra thuéc lo¹i 1 hoÆc lo¹i 2.
23. §Ó ®−îc tuyÓn vµo lµm trong mét ng©n hµng, mét ng−êi ph¶i qua ba vßng pháng vÊn, víi ®iÒu
kiÖn qua vßng ®Çu míi ®−îc dù tuyÓn ë vßng tiÕp theo. X¸c suÊt ®Ó ng−êi ®ã ®−îc tuyÓn ë
vßng 1, vßng 2, vßng 3 lÇn l−ît lµ: 0,8 ; 0,9 vµ 0,85. TÝnh x¸c suÊt ®Ó:
a. Ng−êi ®ã bÞ lo¹i ë vßng thø 2.
b. Ng−êi ®ã ®−îc nhËn vµo lµm trong ng©n hµng ®ã.
c. Ng−êi ®ã bÞ lo¹i.
24. Mét líp häc cã 100 sinh viªn, trong ®ã cã 50 sinh viªn giái Anh v¨n, 45 sinh viªn giái Ph¸p
v¨n, 10 sinh viªn giái c¶ hai ngo¹i ng÷ nãi trªn. Chän ngÉu nhiªn 1 sinh viªn trong líp. TÝnh
x¸c suÊt ®Ó:
a. Sinh viªn nµy giái Ýt nhÊt mét ngo¹i ng÷.

b. Sinh viªn nµy kh«ng giái ngo¹i ng÷ nµo hÕt.
c. Sinh viªn nµy chØ giái ®óng mçi Anh v¨n.
d. Sinh viªn nµy chØ giái ®óng 1 ngo¹i ng÷.
25. Tæ cña Nam cã 9 sinh viªn ®−îc chia ngÉu nhiªn thµnh 3 nhãm ®Òu nhau thùc tËp ë 3 c«ng ty.
Trong Nhãm cã hai c« Hoa vµ Ph−îng rÊt xinh. TÝnh x¸c suÊt ®Ó cho:
a. Nam, Hoa vµ Ph−îng ë 3 nhãm kh¸c nhau.
b. Nam cïng nhãm thùc tËp víi Hoa.
c. Nam cïng nhãm thùc tËp víi Ph−îng hoÆc Hoa.
26. Trong mét x−ëng cã 3 m¸y lµm viÖc mét c¸ch ®éc lËp. Trong mét ca, m¸y thø nhÊt cã thÓ cÇn
s÷a ch÷a víi x¸c suÊt 0,15, m¸y thø hai víi x¸c suÊt 0,1 vµ m¸y thø ba víi x¸c suÊt 0,12. T×m
x¸c suÊt sao cho trong mét ca cã Ýt nhÊt 1 m¸y cÇn s÷a ch÷a.
27. Ba x¹ thñ A, B, C ®éc lËp víi nhau b¾n mçi ng−êi 1 viªn ®¹n bia. X¸c suÊt b¾n tróng cña mçi
ng−êi t−¬ng øng lµ: 0.7, 0.6 vµ 0.9.
a. TÝnh x¸c suÊt ®Ó duy nhÊt 1 x¹ thñ b¾n tróng.
b. BiÕt bia bÞ tróng 1 viªn ®¹n. TÝnh x¸c suÊt ®Ó viªn tróng ®ã lµ cña x¹ thñ thø nhÊt.
c. TÝnh x¸c suÊt ®Ó bia bÞ tróng ®¹n.
28. Mét nh©n viªn mét ngµy ®i giíi thiÖu s¶n phÈm ë nhiÒu ®¹i lý, biÕt x¸c suÊt ®Ó b¸n ®−îc hµng
ë mçi n¬i ®Òu b»ng 0,4. NÕu b¸n ®−îc hµng th× nh©n viªn ®ã sÏ vÒ nhµ (xem nh− hoµn thµnh
nhiÖm vô). Nh©n viªn ®ã ph¶i ®i ®Õn mÊy ®¹i lý ®Ó x¸c b¸n ®−îc hµng lµ 0.01536.
29. Chän ngÉu nhiªn mét vÐ xæ sè cã 5 ch÷ sè. TÝnh x¸c suÊt ®Ó vÐ kh«ng cã sè 1 hoÆc kh«ng cã
sè 5.
30. Chän ngÉu nhiªn mét vÐ xæ sè cã 5 ch÷ sè. TÝnh x¸c suÊt ®Ó vÐ cã ch÷ sè 5 vµ ch÷ sè ch½n.
31. Mét ®oµn tµu gåm 3 toa ®ç ë s©n ga. Cã 5 hµnh kh¸ch b−íc lªn tµu. Mçi hµnh kh¸ch ®éc lËp
víi nhau chän ngÉu nhiªn mét toa. TÝnh x¸c suÊt ®Ó mçi toa ®Òu cã Ýt nhÊt mét hµnh kh¸ch
míi b−íc lªn.
32. Mét c«ng ty cÇn tuyÓn hai nh©n viªn. Cã 6 ng−êi n¹p ®¬n trong ®ã cã 4 n÷ vµ 2 nam. Kh¶
n¨ng ®−îc tuyÓn cña mçi ng−êi lµ nh− nhau.
a. TÝnh x¸c suÊt ®Ó c¶ hai n÷ ®−îc chän nÕu biÕt r»ng Ýt nhÊt mét n÷ ®· ®−îc chän.
b. Gi¶ sö A lµ mét trong 4 n÷, tÝnh x¸c suÊt ®Ó A ®−îc chän nÕu biÕt r»ng Ýt nhÊt mét n÷ ®·
®−îc chän.
33. Gieo 3 con xóc x¾c c©n ®èi mét c¸ch ®éc lËp. TÝnh x¸c suÊt ®Ó:
a. Tæng sè nèt xuÊt hiÖn lµ 8 nÕu biÕt r»ng Ýt nhÊt cã mét con ra nèt 1.
b. Cã Ýt nhÊt mét con ra mÆt 6 chÊm nÕu biÕt r»ng sè nèt trªn 3 con lµ kh¸c nhau.
34. Mét gia ®×nh cã hai ®øa con. T×m x¸c suÊt ®Ó c¶ hai lµ con trai nÕu biÕt r»ng Ýt nhÊt trong hai
®øa cã mét ®øa lµ trai (gi¶ thiÕt x¸c suÊt sinh con trai vµ con g¸i lµ b»ng nhau).

35. Mét cuéc thi cã 3 vßng. Vßng mét lÊy 90% thÝ sinh. Vßng 2 lÊy 80% thÝ sinh cña vßng 1 vµ
vßng 3 lÊy 90% thÝ sinh cña vßng 2.
a. TÝnh x¸c suÊt ®Ó mét thÝ sinh lät qua 3 vßng thi.
b. TÝnh x¸c suÊt ®Ó mét thÝ sinh bÞ lo¹i ë vßng 2 nÕu biÕt r»ng thÝ sinh ®ã bÞ lo¹i.
36. Mét ng−êi b¾n ba viªn ®¹n mét çch ®éc lËp. X¸c suÊt ®Ó c¶ 3 viªn tróng vßng 10 lµ 0,008.
X¸c suÊt ®Ó 1 viªn tróng vßng 8 lµ 0,15 vµ x¸c suÊt ®Ó 1 viªn tróng vßng d−íi 8 lµ 0,4.
TÝnh x¸c suÊt ®Ó x¹ thñ ®¹t Ýt nhÊt 28 ®iÓm.
37. Trong mét thµnh phè nµo ®ã, tû lÖ ng−êi thÝch xem bãng ®¸ lµ 65%. Chän ngÉu nhiªn 12 ng−êi.
TÝnh x¸c suÊt ®Ó trong ®ã cã ®óng 5 ng−êi thÝch xem ®¸ bãng.
38. Trong mét líp häc cã 6 bãng ®Ìn, mçi bãng cã x¸c suÊt bÞ ch¸y lµ 1
4
. Líp häc cã ®ñ ¸nh s¸ng
nÕu cã Ýt nhÊt 4 bãng ®Ìn s¸ng. TÝnh x¸c suÊt ®Ó líp häc kh«ng ®ñ ¸nh s¸ng.
39. Gieo mét con xóc x¾c liªn tiÕp 6 lÇn. TÝnh x¸c suÊt ®Ó Ýt nhÊt cã mét lÇn ra mÆt 6 chÊm.
40. Gieo mét cÆp hai con xóc x¾c 24 lÇn. TÝnh x¸c suÊt ®Ó Ýt nhÊt cã mét lÇn c¶ hai con ®Òu ra mÆt
6 chÊm.
41. Mét sät cam rÊt lín ®−îc ph©n lo¹i theo çch sau. Chän ngÉu nhiªn 20 qu¶ cam lµm mÉu ®¹i
diÖn. NÕu mÉu kh«ng cã qu¶ cam háng nµo th× sät cam ®−îc xÕp lo¹i I. NÕu mÉu cã mét hoÆc
hai qu¶ háng th× sät cam ®−îc xÕp lo¹i II. Trong tr−êng hîp cßn l¹i (cã tõ 3 qu¶ háng trë lªn)
th× sät cam ®−îc xÕp lo¹i III.
Gi¶ sö tû lÖ cam háng cña sät lµ 3%. H·y tÝnh x¸c suÊt ®Ó:
a. Sät cam ®−îc xÕp lo¹i I.
b. Sät cam ®−îc xÕp lo¹i II.
c. Sät cam ®−îc xÕp lo¹i III.
42. Mét bµi thi tr¾c nghiÖm gåm 12 c©u hái, mçi c©u hái cã 5 ph−¬ng ¸n tr¶ lêi, trong ®ã chØ cã
mét ph−¬ng ¸n ®óng. Gi¶ sö mçi c©u tr¶ lêi ®óng ®−îc 4 ®iÓm, mçi c©u tr¶ lêi sai bÞ trõ mét
®iÓm. Mét häc sinh kÐm lµm bµi b»ng çch chän ngÉu nhiªn mét c©u tr¶ lêi. TÝnh x¸c suÊt ®Ó:
a. Anh ta ®−îc 13 ®iÓm.
b. Anh ta bÞ ®iÓm ©m.
43. Mét c÷a hµng m¸y vi tÝnh chuyªn kinh doanh ba nh·n hiÖu: Dell, IBM vµ Sony. Trong c¬ cÊu
b¸n hµng m¸y Dell chiÕm 50%, m¸y IBM lµ 30% vµ cßn l¹i lµ Sony. TÊt c¶ m¸y b¸n ra cã thêi
gian b¶o hµnh lµ 1 n¨m. Kinh nghiÖm kinh doanh cña chñ hµng ghi nhËn: 10% m¸y Dell ph¶i
s÷a ch÷a trong thêi gian b¶o hµnh, IBM lµ 20% vµ Sony lµ 25%.
a. Cã mét kh¸ch hµng mua mét m¸y, kh¶ n¨ng ®Ó m¸y nµy cÇn ph¶i s÷a ch÷a trong thêi gian
b¶o hµnh lµ bao nhiªu.
b. Cã mét kh¸ch hµng mua m¸y tÝnh míi 9 th¸ng ®· ph¶i mang ®i b¶o hµnh. Cho biÕt m¸y
háng ®ã cã kh¶ n¨ng thuéc lo¹i nµo nhiÒu nhÊt.
44. Trong mét thïng hµng ®ùng s¶n phÈm A cã 42% s¶n phÈm cña Trung Quèc, 24% s¶n phÈm cña
Th¸i Lan, 26% s¶n phÈm cña NhËt vµ 8% s¶n phÈm cña ViÖt Nam. Trong ®ã tû lÖ phÕ phÈm
t−¬ng øng lµ: 10% cña Trung Quèc, 7% cña Th¸i Lan, 5% cña NhËt vµ 2% cña ViÖt Nam. Mét
ng−êi mua ngÉu nhiªn 1 s¶n phÈm.

a. TÝnh x¸c suÊt ®Ó ng−êi nµy mua ph¶i 1 phÕ phÈm.
b. TÝnh x¸c suÊt ®Ó ng−êi nµy mua ph¶i phÕ phÈm cña Trung Quèc.
c. BiÕt ng−êi nµy ®· mua ph¶i 1 phÕ phÈm. TÝnh x¸c suÊt ®Ó phÕ phÈm ®ã lµ cña NhËt.
d. BiÕt ng−êi nµy ®· mua ph¶i mét phÕ phÈm. TÝnh x¸c suÊt ®Ó phÕ phÈm ®ã kh«ng ph¶i lµ cña
ViÖt Nam.
45. Trong sè bÖnh nh©n ë mét bÖnh viÖn cã 50% ®iÒu trÞ bÖnh A, 30% ®iÒu trÞ bÖnh B vµ 20%
®iÒu trÞ bÖnh C. X¸c suÊt ®Ó ch÷a khái çc bÖnh A, B, C trong bÖnh viÖn nµy t−¬ng øng lµ:
70%; 80%; 90%. H·y tÝnh tû lÖ bÖnh nh©n ®−îc ch÷a khái bÖnh A trong tæng sè bÖnh nh©n ®·
®−îc ch÷a khái bÖnh.
46. Cã 4 nhãm x¹ thñ tËp b¾n. Nhãm thø nhÊt cã 5 ng−êi, nhãm thø hai cã 7 ng−êi, nhãm thø ba
cã 4 ng−êi vµ nhãm thø t− cã 2 ng−êi. X¸c suÊt b¾n tróng ®Ých cña nhãm 1,2,3,4 t−¬ng øng lµ:
0,8; 0,7; 0,6; 0,5. Chän ngÉu nhiªn mét x¹ thñ vµ x¹ thñ nµy b¸n tr−ît. H·y x¸c ®Þnh xem x¹
thñ nµy cã kh¶ n¨ng ë trong nhãm nµo nhÊt.
47. Chuång gµ thø 1 cã 9 con gµ m¸i vµ 1 con gµ trèng. Chuång gµ thø hai cã 1 con m¸i vµ 5 con
trèng. Tõ mçi chuång ta b¾t ngÉu nhiªn mét con ra ®Ó lµm thÞt. Çc con gµ cßn l¹i ®−îc cho
vµo mét chuång thø ba. Tõ chuång thø ba nµy l¹i b¾t ngÉu nhiªn mét con gµ. TÝnh x¸c suÊt ®Ó
ta b¾t ®−îc gµ trèng.
48. Cã hai chuång thá. Chuång thø nhÊt cã 5 con thá ®en vµ 10 con thá tr¾ng, chuång thø hai cã
7 thá ®en vµ 3 thá tr¾ng. Tõ chuång thø hai ta b¾t ngÉu nhiªn mét con thá cho vµo chuång thø
nhÊt, råi sau ®ã l¹i b¾t ngÉu nhiªn mét con ë chuång thø nhÊt ra. TÝnh x¸c suÊt ®Ó b¾t ®−îc thá
tr¾ng.
49. Mét nhµ m¸y s¶n xuÊt bãng ®Ìn cã tû lÖ bãng ®Ìn ®¹t tiªu chuÈn lµ 80%. Tr−íc khi xuÊt x−ëng
ra thÞ tr−êng mçi bãng ®Ìn ®Òu ®−îc qua kiÓm tra chÊt l−îng. V× sù kiÓm tra kh«ng thÓ tuyÖt
®èi hoµn h¶o nªn mét bãng ®Ìn tèt cã x¸c suÊt 0,9 ®−îc c«ng nhËn lµ tèt, vµ mét bãng ®Ìn
háng cã x¸c suÊt 0,95 bÞ lo¹i bá. H·y tÝnh tû lÖ bãng ®¹t tiªu chuÈn sau khi qua kh©u kiÓm tra
chÊt l−îng s¶n phÈm.
50. Mét chiÕc m¸y bay cã thÓ xuÊt hiÖn ë vÞ trÝ A víi x¸c suÊt 2/3 vµ ë vÞ trÝ B víi x¸c suÊt 1/3.
Cã ba ph−¬ng ¸n bè trÝ 4 khÈu ph¸o b¾n m¸y bay nh− sau:
Ph−¬ng ¸n 1: 3 khÈu ®Æt t¹i A, 1 khÈu ®Æt t¹i B.
BiÕt r»ng x¸c suÊt b¾n tróng m¸y bay cña mçi khÈu ph¸o lµ 0,7 vµ çc khÈu ph¸o ho¹t ®éng
®éc lËp víi nhau, h·y chän mét ph−¬ng ¸n tèt nhÊt.
51. Trong mét kho r−îu sè l−îng r−îu lo¹i A vµ lo¹i B b»ng nhau. Chän ngÉu nhiªn mét chai r−îu
trong kho vµ ®−a cho 5 ng−êi sµnh r−îu nÕm thö ®Ó x¸c ®Þnh xem ®©y lµ lo¹i r−îu nµo. Gi¶ sö
mçi ng−êi cã x¸c suÊt ®o¸n ®óng lµ 75%. TÝnh x¸c suÊt ®Ó chai r−îu ®−îc chän thuéc lo¹i A
biÕt cã 4 ng−êi kÕt luËn chai r−îu lo¹i A vµ 1 ng−êi kÕt luËn chai r−îu lo¹i B.
52. Mét chiÕc ®ång hå cã 3 chi tiÕt ho¹t ®éng ®éc lËp cïng mét lóc lµ: hÖ thèng kim, hÖ thèng b¸o
thøc vµ hÖ thèng n¨ng l−îng víi x¸c suÊt ho¹t ®éng lÇn l−ît lµ: 75%, 58%, 85%. BiÕt r»ng x¸c
suÊt ®Ó chiÕc ®ång hå vÉn cßn ch¹y tèt khi ®· biÕt 0, 1, 2, vµ 3 chi tiÕt vÉn ho¹t ®éng lÇn l−ît
lµ 0%, 5%, 40%, 100%. TÝnh x¸c suÊt ®Ó chiÕc ®ång hå vÉn cßn ch¹y tèt.

H−íng dÉn gi¶i vµ ®¸p ¸n
1. a. 14348907; b. 3075072 c. 756756.
2. Cã 210 c¸ch lËp lÞch thi.
3. a. 210; b. 63; c. 140.
4. a. 9; b. 2048; c. 3024; d. 32; e. 72; f. 24.
5. 216 c¸ch bÊm m¸y.
6. B¹n ®äc tù gi¶i.
11. 1. LÊy ngÉu nhiªn hai bi.
X¸c suÊt ®Ó lÊy ®−îc mét bi tr¾ng lµ: P = 15
28
2. LÊy lÇn l−ît kh«ng hoµn l¹i hai bi.
a. X¸c suÊt ®Ó lÊy ®−îc mét bi tr¾ng lµ: P = 15
28
b. X¸c suÊt cÇn t×m lµ: P = 5
8
3. LÊy lÇn l−ît cã hoµn l¹i hai bi. X¸c suÊt ®Ó lÊy ®−îc mét bi tr¾ng lµ: P = 0, 4688
12. a. p=1/6; b. p=5/36; c. p=2/9.
13. a. p=0.490909091 b. p=0.004545 c. p=0.995455 d. p=0.163636364
14. a. p=1/210; b. p=3/7; c. p=37/42.
15. a. p=0,0001; b. p= 0,13; c. p= 0,1484
16. p=13/18
17. a. p=0,7525; b. p=1, 116 ∗ 10−14
.
18. p=5.37232 ∗ 10−5
.
19. p=3/16
20. p=2/3
21. a. 2/3; b. 0.7586.
22. p=0.9
23. a. p=0.08; b. p=0.612; c. p=0.388.
24. a. 0,85; b. 0,15; c. 0,4; d. 0,75.

25. a. p=0.321429 b. p=0,25 c. p=0.46429.
26. p=0,3268.
27. a. 0,154; b. 0,1818; c. 0.988.
28. 5 ®¹i lý.
29. p=0.8533.
30. p=0.3885.
31. p=50/81.
32. a. p=3/7; b. 5/14.
33. a. p=15/91; b. p=1/2.
34. p=1/3
35. a. p=0,648; b. p=0,511
36. p=0,0935
37. p=0,0591
38. p=0,1694
39. p=0,6651
40. p=0,4914
41. a. p=0,5438; b. p=0,4352; c. p=0,021
42. a. p=0,0532; b. p=0,5583.
43. a. 0,16 b. Kh¶ n¨ng m¸y háng mang nh·n IBM lµ nhiÒu nhÊt.
44. a. p=0,0734; b. p=0,042; c. p=0,177; d. p=0,978
45. p=0,4545.
46. X¹ thñ cã kh¶ n¨ng thuéc nhãm 2 nhÊt.
47. p=0,3619.
48. p=103/160.
49. p=0,986.
50. Ph−¬ng ¸n hai lµ tèt nhÊt.
51. p=0,9642.
52. p=0.5624

Ch−¬ng 2
§¹i l−îng ngÉu nhiªn vµ luËt ph©n phèi x¸c
suÊt
A. Môc tiªu
Häc xong ch−¬ng nµy sinh viªn ph¶i n¾m ®−îc nh÷ng néi dung sau:
- §¹i l−îng ngÉu nhiªn, hµm ph©n phèi x¸c suÊt, hµm x¸c suÊt, hµm mËt ®é vµ çc tÝnh chÊt.
- Çc ®Æc tr−ng sè: Mod, Med, kú väng, ph−¬ng sai, ®é lÖch chuÈn.
- Çc quy luËt ph©n phèi x¸c suÊt.
- LuËt sè lín vµ çc ®Þnh lý giíi h¹n.
B. Néi dung
2.1 §¹i l−îng ngÉu nhiªn vµ luËt ph©n phèi x¸c suÊt
2.1.1 §Þnh nghÜa vµ ph©n lo¹i ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
Tr−íc khi ®−a ra ®Þnh nghÜa ®¹i l−îng ngÉu nhiªn, ta xÐt vÝ dô sau ®©y:
VÝ dô 2.1.1. Cã 2 cÇu thñ, mçi ng−êi nÐm mét qu¶ bãng vµo ræ. Gäi A, B lÇn l−ît lµ çc biÕn cè cÇu
thñ thø nhÊt, thø hai nÐm bãng tróng ræ. Khi ®ã kh«ng gian mÉu:
Ω = {A.B; A.B; A.B; A.B}
NÕu gäi X lµ ®¹i l−îng chØ sè bãng tróng ræ cña c¶ hai cÇu thñ, khi ®ã:
X = {0, 1, 2}
X nhËn gi¸ trÞ 0, nã xÈy ra khi vµ chØ khi biÕn cè A.B xÈy ra, cã nghÜa (X = 0) = A.B.
T−¬ng tù (X = 1) = (A.B) + A.B; (X = 2) = A.B.
Nh− vËy, trong phÐp thö trªn, nÕu ta quan t©m ®Õn tõng qu¶ bãng tróng ræ (®Þnh tÝnh) th× kh«ng
gian mÉu: Ω = {A.B; A.B; A.B; A.B}. NÕu ta quan t©m ®Õn sè l−îng qu¶ bãng tróng ræ (®Þnh l−îng)
th× ®ã chÝnh lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X = {0, 1, 2}.
V× khi hai cÇu thñ ch−a nÐm bãng th× chóng ta kh«ng biÕt tr−íc sè bãng tróng ræ cña c¶ hai ng−êi
lµ bao nhiªu, cã nghÜa ta ch−a thÓ biÕt X nhËn gi¸ trÞ nµo, nªn nã ®−îc gäi lµ "®¹i l−îng ngÉu nhiªn".

§Þnh nghÜa 2.1.1. XÐt mét phÐp thö cã kh«ng gian mÉu lµ Ω. Mét ¸nh x¹ X tõ Ω vµo tËp sè thùc R,
®Æt t−¬ng øng mét biÕn cè s¬ cÊp víi mét sè thùc ®−îc gäi lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn (§LNN), (hoÆc
gäi lµ biÕn ngÉu nhiªn).
X : Ω → R
ω 7→ X(ω)
TËp X = {X(ω)|ω ∈ Ω} ®−îc gäi lµ tËp çc gi¸ trÞ cã thÓ cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X.
Trong vÝ dô 2.1.1, chóng ta cã thÓ h×nh dung qua s¬ ®å sau:
AB
AB
AB
AB
Ω R
0
1
2
NhËn xÐt 2.1.1.
+) §LNN lµ ®¹i l−îng mµ tuú theo mçi kÕt qu¶ cña phÐp thö, nã chØ nhËn mét gi¸ trÞ b»ng sè x¸c
®Þnh nµo ®ã t−¬ng øng.
+) (X = k) lµ mét biÕn cè, biÕn cè nµy bao gåm çc biÕn cè s¬ cÊp ω sao cho X(ω) = k, cã
nghÜa (X = k) = {ω|X(ω) = k}.
VÝ dô 2.1.2. Cã 3 sinh viªn ®i thi m«n XSTK, ta ch−a thÓ biÕt cã bao nhiªu sinh viªn thi ®Ëu, sè sinh
viªn thi ®Ëu cã thÓ lµ 0, 1, 2, 3. ChØ khi kÕt thóc kú thi (kÕt thóc phÐp thö) ta sÏ biÕt ch¾c ch¾n cã
bao nhiªu sinh viªn thi ®Ëu. NÕu gäi X lµ "sè sinh viªn thi ®Ëu m«n XSTK" th× X lµ §LNN vµ tËp
çc gi¸ trÞ cã thÓ:
X = {0, 1, 2, 3}
Khi ®ã tËp (1 < X 6 3) = {ω | 1 < X(ω) 6 3} lµ biÕn cè cã 2 hoÆc 3 sinh viªn thi ®Ëu.
VÝ dô 2.1.3. NÕu gäi Y lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn chØ tèc ®é cña mét xe «t« ch¹y trªn ®o¹n ®−êng cã
h¹n chÕ tèc ®é tèi ®a lµ 80km/giê th× Y lµ §LNN vµ tËp çc gi¸ trÞ cã thÓ X = [0, 80].
Khi ®ã tËp (40 6 X 6 50) lµ biÕn cè tèc ®é cña xe ®¹t tõ 40 ®Õn 50 km/h.
Qua hai vÝ dô trªn ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®−îc ph©n lo¹i nh− sau.
§Þnh nghÜa 2.1.2. (Ph©n lo¹i ®¹i l−îng ngÉu nhiªn)
+) NÕu tËp çc gi¸ trÞ cã thÓ X lµ mét tËp h÷u h¹n hoÆc v« h¹n ®Õm ®−îc çc phÇn tö th× X ®−îc
gäi lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c (§LNNRR).
Cã nghÜa tËp çc gi¸ trÞ cã thÓ cña X cã d¹ng X = {x1, x2, ..., xn} hoÆc X = {x1, x2, ..., xn, ...}.
+) X ®−îc gäi lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc (§LNNLT) nÕu tån t¹i 2 sè a 6= b sao cho
[a, b] ⊂ X.
Cã nghÜa tËp çc gi¸ trÞ cã thÓ X lµ mét kho¶ng trªn trôc sè.
+) NÕu X, Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn øng víi hai phÐp thö ®éc lËp th× ta nãi X, Y lµ hai ®¹i
l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp (§LNN§L).

VÊn ®Ò quan träng cña §LNN lµ ng−êi ta quan t©m xem nã nhËn mét gi¸ trÞ nµo ®ã hoÆc nhËn
gi¸ trÞ trong mét kho¶ng nµo ®ã víi mét x¸c suÊt b»ng bao nhiªu. §Ó ®Æc tr−ng ®Çy ®ñ cho mét ®¹i
l−îng ngÉu nhiªn, chóng ta ®−a ra mét hµm thÓ hiÖn ®−îc sù ph©n phèi x¸c suÊt cña §LNN trªn miÒn
gi¸ trÞ cña nã vµ gäi lµ hµm ph©n phèi x¸c suÊt. T−¬ng øng víi mçi lo¹i §LNN, hµm ph©n phèi x¸c
suÊt sÏ cã c«ng thøc riªng vµ çc tÝnh chÊt riªng, do ®ã ta ®i xÐt cô thÓ cho tõng lo¹i §LNN.
2.1.2 LuËt phèi x¸c suÊt cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c
a. Hµm x¸c suÊt
§Þnh nghÜa 2.1.3. §èi víi ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c X víi mçi gi¸ trÞ xi cña nã ®−îc g¾n víi mét
x¸c suÊt
pi = P(X = xi) = P{ω | X(ω) = xi} (2.1.1)
®Æc tr−ng cho kh¶ n¨ng ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X nhËn gi¸ trÞ ®ã. Hµm P(X = xi) ®−îc gäi lµ hµm
x¸c suÊt cña X.
NÕu ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X chØ cã h÷u h¹n n gi¸ trÞ {x1, x2, .., xn} th× hµm x¸c suÊt cña nã cã
thÓ cho d−íi d¹ng b¶ng gåm hai hµng. Hµng mét ghi çc gi¸ trÞ s¾p thø tù xi cña X, hµng hai ghi
çc x¸c suÊt t−¬ng øng pi; i = 1, n:
X x1 x2 ... xn
P p1 p2 ... pn
gäi lµ b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña X.
VÝ dô 2.1.4. Trong tæ cã 4 sinh viªn n÷ vµ 5 sinh viªn nam. Chän ngÉu nhiªn 3 ng−êi tham gia c«ng
t¸c t×nh nguyÖn. gäi X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn chØ sè sinh viªn n÷ ®−îc chän. LËp b¶ng ph©n phèi
x¸c suÊt cña X.
Gi¶i: X nhËn çc gi¸ trÞ {0, 1, 2, 3}.
Ta cã:
P(X = 0) =
C0
4 C3
5
C3
9
= 0.199
P(X = 1) = P(X = 1) =
C1
4 C2
5
C3
9
= 0.476
P(X = 2) =
C2
4 C1
5
C3
9
= 0.357
P(X = 3) =
C3
4 C0
5
C3
9
= 0.048
VËy b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña X:
X 0 1 2 3
P 0.199 0.476 0.357 0.048

X=0
4,8%
19,9% X=1
35,7% 47,6% X=2
X=3
Nh×n vµo biÓu ®å ta thÊy kh¶ n¨ng cã 1 n÷ ®−îc chän lµ lín nhÊt.
TÝnh chÊt 2.1.1. Hµm x¸c suÊt P(X = xi) cã c¸c tÝnh chÊt:
i) 0 6 P(X = xi) 6 1, ∀i.
ii) NÕu X nhËn n gi¸ trÞ th×
n
P
i=1
pi = 1
iii) P(a 6 X 6 b) =
b
P
xi=a
P(X = xi); x1 6 a 6 b 6 xn.
b. Hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña §LNNRR
§Þnh nghÜa 2.1.4. Cho §LNNRR X cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt:
X x1 x2 ... xn
P p1 p2 ... pn
Hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña §LNN X, ký hiÖu F(x), ®−îc x¸c ®Þnh bëi
F(x) =
X
xi<x
P(X = xi); ∀x ∈ R (2.1.2)
HoÆc
F(x) =





















0 khi x 6 x1
p1 khi x1 < x 6 x2
p1 + p2 khi x2 < x 6 x3
..., ...
n−1
P
i=1
pi khi xn−1 < x 6 xn
1 khi x > xn.
VÝ dô 2.1.5. Ba khÈu ph¸o ®éc lËp cïng b¾n vµo mét môc tiªu, mçi khÈu mét viªn víi x¸c suÊt tróng
®Ých t−¬ng øng lµ: 0,7 ; 0,8; 0,9.
a. LËp b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt vÒ sè viªn ®¹n tróng môc tiªu cña c¶ 3 khÈu ph¸o.
b. T×m hµm ph©n phèi x¸c suÊt vµ vÏ ®å thÞ cña nã.
Gi¶i:
a. Gäi X lµ §LNN chØ sè viªn ®¹n tróng môc tiªu cña c¶ 3 khÈu ph¸o, X = {0, 1, 2, 3}. Gäi

A, B, C lÇn l−ît lµ biÕn cè b¾n tróng ®Ých cña c¸c x¹ thñ t−¬ng øng, ta cã:
P(X = 0) = P(A)P(B)P(C) = 0, 3.0, 2.0, 1 = 0, 006
P(X = 1) = P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)
= 0, 7.0, 2.0, 1 + 0, 3.0, 8.0, 1 + 0, 3.0, 2.0, 9 = 0, 092
P(X = 2) = P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)
= 0, 7.0, 8.0, 1 + 0, 7.0, 2.0, 9 + 0, 3.0, 8.0, 9 = 0, 398
P(X = 3) = P(A)P(B)P(C) = 0, 7.0, 8.0, 9 = 0, 504
B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña X:
X 0 1 2 3
pi 0,006 0,092 0,398 0,504
b. Hµm ph©n phèi x¸c suÊt cã d¹ng:
F(x) =













0 khi x 6 0
0, 006 khi 1 < x 6 2
0, 098 khi 1 < x 6 2
0, 496 khi 2 < x 6 3
1 khi x > 3.
0
F(x)
x
1 2 3
1
0,496
0,098
0,006
Nh×n vµo ®å thÞ ta thÊy F(x) lµ hµm kh«ng gi¶m, ®å thÞ cã d¹ng bËc thang vµ X cã bao nhiªu gi¸ trÞ
th× F(x) cã bÊy nhiªu ®iÓm gi¸n ®o¹n.
TÝnh chÊt 2.1.2. (TÝnh chÊt cña hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña §LNNRR)
1) 0 6 F(x) 6 1. (F(−∞) = 0; F(+∞) = 1)
2) F(x) lµ hµm kh«ng gi¶m, nghÜa lµ: NÕu x1 < x2 th× F(x1) 6 F(x2).
3) P(a 6 X < b) = F(b) − F(a).
2.1.3 LuËt ph©n phèi x¸c suÊt cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc
T−¬ng øng víi hµm x¸c suÊt cña §LNNRR th× víi §LNNLT ta cã kh¸i niÖm hµm mËt ®é x¸c suÊt.
a. Hµm mËt ®é x¸c suÊt
§Þnh nghÜa 2.1.5. Hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn toµn trôc sè ®−îc gäi lµ hµm mËt ®é cña §LNNLT X
nÕu tho¶ m·n 3 ®iÒu kiÖn:
i) f(x) > 0, ∀x ∈ R.

ii)
+∞
R
−∞
f(x)dx = 1.
iii) P(a 6 X 6 b) =
b
R
a
f(x)dx.
Gi¸ trÞ P(a 6 X 6 b) b»ng diÖn tÝch phÇn g¹ch chÐo.
Chó ý 2.1.1. TÝnh chÊt i vµ ii dïng ®Ó chøng minh mét hµm f(x) cho tr−íc cã ph¶i lµ hµm mËt ®é
cña mét §LNNLT nµo ®ã hay kh«ng.
TÝnh chÊt 2.1.3. NÕu X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc th×:
1) P(X = a) = 0; ∀a ∈ R.
2) P(a 6 X < b) = P(a < X 6 b) = P(a < X < b) = P(a 6 X 6 b).
VÝ dô 2.1.6. Cho §LNN liªn tôc X cã hµm mËt ®é x¸c suÊt:
f(x) =

a cos(x) khi x ∈ − π
2
; π
2

0 khi x /
∈ − π
2
; π
2

a. T×m a?
b. TÝnh P 0 6 X π
4

=?
Gi¶i:
a. V× f(x) lµ hµm mËt ®é x¸c suÊt nªn ta cã:
+∞
Z
−∞
f(x)dx = 1 ⇔ a
π
2
Z
−π
2
cos xdx = 1 ⇔ a sin x

π
2
−π
2
= 1 ⇔ a =
1
2
b. Ta cã:
P 0 6 X 6
π
4

=
1
2
π
4
Z
0
cos xdx =
1
2
sin x

π
4
0
=
√
2
4
b. Hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña §LNNLT
§Þnh nghÜa 2.1.6. NÕu X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc cã hµm mËt ®é x¸c suÊt f(t) th× hµm ph©n
phèi x¸c suÊt cña X, ký hiÖu F(x), ®−îc x¸c ®Þnh:
F(x) = P(X x) =
x
Z
−∞
f(t)dt; ∀x ∈ R (2.1.3)

Gi¸ trÞ F(x) b»ng diÖn tÝch phÇn g¹ch chÐo.
VÝ dô 2.1.7. Cho hµm sè:
f(t) =









0 khi t 6 0
4t khi 0 t 6 0, 5
4 − 4t khi 0, 5 t 6 1
0 khi t 1
a. Chøng minh f(t) lµ hµm mËt ®é.
b. T×m hµm ph©n phèi x¸c suÊt.
Gi¶i:
a. §Ó chøng minh f(t) lµ hµm mËt ®é x¸c suÊt ta ®i chøng minh nã tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn i) vµ
ii) cña ®Þnh nghÜa.
DÔ dµng nhËn thÊy f(t) 0, ∀t.
Ta cã:
+∞
Z
−∞
f(t)dt =
0
Z
−∞
f(t)dt +
0,5
Z
0
f(t)dt +
1
Z
0,5
f(t)dt +
+∞
Z
1
f(t)dt
=
0,5
Z
0
4tdt +
1
Z
0,5
(4 − 4t)dt
= 2t2

1
0,5
= 2 ∗ (0, 5)2
+ (4 − 2) − (4 ∗ 0, 5 − 2 ∗ 0, 52
) = 1
Ta thÊy f(t) tháa m·n c¸c tÝnh chÊt cña hµm mËt ®é.
b. Ta céng dån tÝch ph©n ®Ó cã:
F(x) =









0 khi x 6 0
2x2
khi 0 x 6 1
2
4x − 2x2
− 1 khi 1
2
x 6 1
1 khi x 1
§å thÞ cña hµm mËt ®é vµ hµm ph©n phèi:

BAI GIANG XAC SUAT THONG KE.pdf

BAI GIANG XAC SUAT THONG KE.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to BAI GIANG XAC SUAT THONG KE.pdf

Similar to BAI GIANG XAC SUAT THONG KE.pdf (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (15)

BAI GIANG XAC SUAT THONG KE.pdf