kỹ thuật robot

2. Tóm tắt
Mô tả về vị trí: một điểm trong không
gian được biểu diễn bởi một véc tơ [3x1]
như sau.
𝑝𝐴
=
𝑝𝑥
𝑝𝑦
𝑝𝑧
Mô tả về hướng: Hệ {B} xoay theo một
hướng nào đó so với hệ {A}. Biểu diễn
hướng của hệ {B} đối với hệ {A} bởi ma
trận xoay:
𝑅𝐵
𝐴
= 𝑥𝐵
𝐴
𝑦𝐵
𝐴
𝑧𝐵
𝐴 =
𝑟11 𝑟12 𝑟13
𝑟21 𝑟22 𝑟23
𝑟31 𝑟32 𝑟33
=
𝑥𝐵. 𝑥𝐴 𝑦𝐵. 𝑥𝐴 𝑧𝐵. 𝑥𝐴
𝑥𝐵. 𝑦𝐴 𝑦𝐵. 𝑦𝐴 𝑧𝐵. 𝑦𝐴
𝑥𝐵. 𝑧𝐴 𝑦𝐵. 𝑧𝐴 𝑧𝐵. 𝑧𝐴

3. Tóm tắt
Mô tả về hệ tọa độ: Một hệ tọa độ {B} được định nghĩa bởi:
𝐵 = {𝑅𝐵
𝐴
, 𝑝𝐵𝑜𝑟𝑔
𝐴
}
𝑝𝐵𝑜𝑟𝑔
𝐴
là véc tơ xác định vị trí của gốc tọa độ của hệ {B} theo hệ {A}

4. Tóm tắt
Các ma trận quay cơ bản trong không gian 3 chiều
(2.4)
Ma trận quay 𝑅1
0
được gọi là ma trận quay cơ bản quay trục z; ta
quy ước gọi ma trận này là Rz,θ
Tương tự, ta có ma trận cơ bản quay quanh trục x và y như sau
(2.5)
(2.6)

5. Tóm tắt
Các ma trận quay cơ bản trong không gian 3 chiều
Các ma trận quay cơ bản Rz,θ, Rx,θ, Ry,θ có các tính chất sau:

6. Quay đối với hệ hiện thời
Cho 3 hệ tọa độ o0x0y0z0 , o1x1y1z1 , o2x2y2z2 liên hệ với nhau bởi các
phép biến đổi quay. Mối quan hệ giữa các hệ {0}, {1} và {2} là:
Tóm tắt
Giả sử hai hệ o0x0y0z0 và o1x1y1z1 liên hệ với nhau bởi phép biến đổi
quay 𝑅1
0
. Nếu R biểu diễn một sự quay trong hệ o0x0y0z0 , ta có:
Quay đối với hệ cố định

7. Tóm tắt
Các phép ánh xạ biểu diễn mối quan hệ giữa các hệ tọa độ
Phép ánh xạ tịnh tiến:
Một điểm có tọa độ được định nghĩa bởi véc tơ pB. Ta muốn biểu
diễn điểm này trong hệ {A}, với {A} có cùng hướng với hệ {B}.
Trong trường hợp này {B} khác {A} chỉ bởi một phép tịnh tiến,
cho bởi tọa độ 𝑝𝐵𝑜𝑟𝑔
𝐴
, là véc tơ xác định gốc của {B} đối với {A}.
𝑝𝐴 = 𝑝𝐵 + 𝑝𝐵𝑜𝑟𝑔
𝐴

8. Tóm tắt
Các phép ánh xạ biểu diễn mối quan hệ giữa các hệ tọa độ
Phép ánh xạ quay: biết một véc tơ biểu diễn trong hệ {B} là pB,
để biểu diễn véc tơ này trong hệ {A} với {A} và {B} có cùng gốc
tọa độ. Ta dùng ma trận quay biểu diễn hướng của {B} theo tham
chiếu đối với hệ {A}
𝑝𝐴 = 𝑅𝐵
𝐴
𝑝𝐵

9. Tóm tắt
Các phép ánh xạ biểu diễn mối quan hệ giữa các hệ tọa độ
Phép ánh xạ tổng quát:
𝑝𝐴 = 𝑅𝐵
𝐴
𝑝𝐵+𝑝𝐵𝑜𝑟𝑔
𝐴
𝑝𝐴 = 𝑇𝐵
𝐴
𝑝𝐵

10. Tóm tắt
Các phép toán: tịnh tiến, quay và chuyển đổi
Phép tịnh tiến:

11. Tóm tắt
Các phép toán: tịnh tiến, quay và chuyển đổi
Phép quay:

12. Tóm tắt
Các phép toán: tịnh tiến, quay và chuyển đổi
Phép quay:

13. Tóm tắt
Các phép toán: tịnh tiến, quay và chuyển đổi
Phép chuyển đổi:

14. Tóm tắt
Các phép toán: tịnh tiến, quay và chuyển đổi
Phép chuyển đổi:

15. Tóm tắt
Các phép toán: tịnh tiến, quay và chuyển đổi
Phương trình chuyển đổi:

16. Tóm tắt
Các phép toán: tịnh tiến, quay và chuyển đổi
Phương trình chuyển đổi:

17. Tóm tắt
Các phép toán: tịnh tiến, quay và chuyển đổi
Phương trình chuyển đổi:

18. Bài tập
2.1. Biết rằng 𝑣1 ∙ 𝑣2 = 𝑣1
𝑇
𝑣2, chứng minh tích vô hướng của hai
vector không phụ thuộc vào sự lựa chọn hệ tọa độ trong đó
các vector này được định nghĩa
2.2. Chứng minh rằng chiều dài (mô đun) của một vector
không thay đổi bởi phép quay: 𝑣 = 𝑅𝑣
2.3. Chứng minh rằng khoảng cách giữa các điểm không thay
đổi bởi phép quay: 𝑝1 − 𝑝2 = 𝑅𝑝1 − 𝑅𝑝2
2.4. Nếu ma trận R thỏa mãn RTR=I, chứng minh rằng các
vector cột của R có chiều dài bằng 1 và các vector này vuông
góc với nhau

19. Bài tập
2.5. Chứng minh
2.6. Vẽ và chứng minh

20. Bài tập
2.7. Cho một chuỗi các phép quay:
- Quay một góc Φ quanh trục x của hệ tọa độ chung.
- Quay một góc θ quanh trục z của hệ tọa độ hiện thời.
- Quay một góc ψ quanh trục y của hệ tọa độ chung.
Tìm ma trận quay cuối cùng.
2.8. Cho một chuỗi các phép quay:
- Quay một góc Φ quanh trục x của hệ tọa độ chung.
- Quay một góc θ quanh trục z của hệ tọa độ chung.
- Quay một góc ψ quanh trục x của hệ tọa độ hiện thời.
Tìm ma trận quay cuối cùng.

21. Bài tập
2.9. Cho một chuỗi các phép quay:
- Quay một góc Φ quanh trục x của hệ tọa độ chung.
- Quay một góc θ quanh trục z của hệ tọa độ hiện thời.
- Quay một góc ψ quanh trục x của hệ tọa độ hiện thời.
- Quay một góc α quanh trục z của hệ tọa độ chung.
Tìm ma trận quay cuối cùng.
2.10. Cho một chuỗi các phép quay:
- Quay một góc Φ quanh trục x của hệ tọa độ chung.
- Quay một góc θ quanh trục z của hệ tọa độ chung.
- Quay một góc ψ quanh trục x của hệ tọa độ hiện thời.
- Quay một góc α quanh trục z của hệ tọa độ chung.
Tìm ma trận quay cuối cùng.

22. Bài tập
2.11. Nếu hệ tọa độ o1x1y1z1 tạo ra từ hệ o0x0y0z0 bởi một
phép quay quanh trục x một góc Π
2
theo sau bởi một phép
quay quanh trục y cố định một góc Π
2
. Tìm ma trận R biểu diễn
phép biến đổi tổng hợp.
2.12. Cho 3 hệ tọa độ o1x1y1z1 , o2x2y2z2 , o3x3y3z3 , và
Tìm ma trận 𝑅3
2
2.13. Cho 𝑘 =
1
3
(1,1,1)𝑇, 𝜃 = 90𝑜. Tìm Rk,θ
2.14. Tìm ma trận quay cho bởi

23. Bài tập
2.15. Cho rằng ma trận R biểu diễn một phép quay 90o quanh
y0 theo sau bởi một phép quay 45o quanh z1. Tìm trục quay và
góc quay tương đương với R.
2.16. Tìm ma trận quay tương ứng với một tập góc Euler {Π
2
,
0, Π
4
}. Hướng của x1 trong hệ tọa độ gốc là gì?
2.17. Ta đã có một bộ góc Euler Z-Y-Z. Liệt kê tất cả các bộ
góc Euler có thể.
2.18. Tính phép biến đổi thuần nhất biểu diễn một phép tịnh
tiến 3 đơn vị dọc theo trục x theo sau bởi một phép quay một
góc Π
2
quanh trục z hiện thời, theo sau bởi một phép tịnh tiến 1
đơn vị dọc theo trục y cố định.

24. Bài tập
2.19. cho hình dưới, tìm các phép biến đổi thuần nhất
𝐻1
0
, 𝐻2
0
, 𝐻2
1
biểu diễn các phép biến đổi giữa các hệ tọa độ.
Chứng minh: 𝐻2
0
= 𝐻1
0
, 𝐻2
1

25. Bài tập
2.20. cho hình bên. Robot được
thiết lập cách bàn 1m. Mặt bàn
cao 1m, có dạng hình hộp 1m.
Một hệ o1x1y1z1 được đặt cố định
ở cạnh bàn như hình. Một khối
vuông 20cm được đặt tại giữa bàn
với hệ o2x2y2z2 gắn tại tâm của
hộp như hình. Một camera được
bố trí nằm phía trên 2m so với
mặt bàn và thẳng đứng với tâm
khối vuông. Tìm các phép biến đổi
đồng dạng 𝐻1
0
, 𝐻2
0
, 𝐻3
0
, 𝐻3
2

26. Bài tập
2.21. Giả sử camera ở hình bên
được quay 1 góc 90 độ quay z3.
Tính toán lại 𝐻1
0
, 𝐻2
0
, 𝐻3
0
, 𝐻3
2

27. Bài tập
2.22. Nếu khốii vuông trên bàn
quay 90 độ quay z2 và di chuyển
sao cho tâm khối vuông có tọa độ
(0, 0.8, 0.1)T đối với hệ o1x1y1z1,
Tìm 𝐻3
2
, 𝐻2
0

28. 2.23. Cho hình bên và các phép biến đổi, 𝐻𝐴
𝑈
, 𝐻𝐷
𝐴
, 𝐻𝐵
𝑈
, 𝐻𝐷
𝐶
, Tìm 𝐻𝐶
𝐵
Bài tập

29. 2.24. Cho hình bên và các phép biến đổi, 𝐻𝐶
𝐵
, 𝐻𝐴
𝐷
, 𝐻𝐶
𝐷
, 𝐻𝐵
𝑈
, Tìm 𝐻𝐴
𝑈
Bài tập