1. Министерство общего и профессионального образования
Свердловской области
ГЮОУ СПО СО «Алапаевский профессионально-педагогический колледж»
Методические рекомендации по самостоятельной работе студентов
по дисциплине «Математические методы»
по специальности 230115 «Программирование в
компьютерных системах»
2011
2. СОДЕРЖАНИЕ
СОДЕРЖАНИЕ..................................................................................................................................................2
Введение....................................................................................................................................3
Лабораторная работа № 1.........................................................................................................7
Задача распределения неоднородных ресурсов.....................................................................7
Составление оптимального плана выпуска продукции........................................................7
Лабораторная работа № 2.......................................................................................................25
Сбалансированная транспортная задача...............................................................................25
Распределение однородных ресурсов...................................................................................25
Лабораторная работа № 3.......................................................................................................39
Несбалансированная транспортная задача...........................................................................39
Лабораторная работа № 4.......................................................................................................49
Задача о смесях........................................................................................................................49
Составление смеси бензина с заданными показателями качества.....................................49
Лабораторная работа № 5.......................................................................................................59
Задача о диете. Составление оптимального рациона кормления.......................................59
Лабораторная работа № 6.......................................................................................................78
Формирование оптимального пакета ценных бумаг...........................................................78
инвестиционной фирмы.........................................................................................................78
Лабораторная работа № 7.......................................................................................................96
Использование мощностей оборудования............................................................................97
Лабораторная работа № 8.....................................................................................................110
Задача закрепления земельных участков............................................................................110
за сельскохозяйственными культурами..............................................................................110
Лабораторная работа № 9.....................................................................................................122
Сбалансированная задача о назначениях............................................................................122
Лабораторная работа № 10...................................................................................................132
Несбалансированная задача о назначениях........................................................................132
Литература.............................................................................................................................139
2
3. ВВЕДЕНИЕ
Управление и планирование являются наиболее сложными функциями в
работе современных предприятий, фирм, служб администраций всех уровней.
Долгое время они являлись монополией человека с соответствующей
подготовкой и опытом работы.
Для принятия обоснованного решения необходимо иметь и обработать
большое количество информации, определяемое иногда астрономическими
цифрами. Принятие ответственных решений, как правило, связано с большими
материальными ценностями, поэтому в настоящее время недостаточно знать
путь, ведущий к достижению цели, необходимо из всех возможных путей
выбирать наиболее экономичный, который наилучшим образом соответствует
поставленной задаче. Экономика как наука пользуется разнообразными
количественными характеристиками, а потому вобрала в себя большое число
математических методов. Современная экономика использует специальные
методы оптимизации, составляющие основу математического
программирования, теории игр, сетевого планирования и других прикладных
наук.
Совершенствование науки, развития технических средств и
программного обеспечения позволяет совершенствовать методы планирования
и управления производством. Однако без строгих формулировок задач, без
математического описания рассматриваемых процессов невозможно получить
качественный результат. Изучение математических дисциплин и их
экономических приложений, составляющих основу актуальной экономической
математики, позволит будущему специалисту не только приобрести
необходимые базовые навыки, используемые в экономике, но и сформировать
элементы общекультурных и профессиональных компетенций. Все это
3
4. необходимо для ориентации в будущей профессиональной деятельности и
успешной работы.
В учебном пособии изложены необходимые основы математического
аппарата и примеры его использования в современных экономических
приложениях. Основной упор сделан на приобретение навыков использования
математического аппарата и формирования умений решения поставленных
задач с помощью доступного программного обеспечения: ЭТ MS EXCEL и
пакета MATHCAD. Каждый тип задач сопровождается подробным пошаговым
описанием составления математической модели задачи и путей решения.
4
5. 1. ТЕМАТИКА САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Наименование
разделов и тем
Содержание самостоятельной работы
Вид контроля и
отчетность по
результатам
самостоятельной
работы
Раздел 1. Основы
моделирования
Лабораторные работы
Построить математическую модель
задачи (индивидуальные варианты
заданий)
Решение задач
Раздел 2
Математическое
программирование
Лабораторные работы
Решить индивидуальную задачу ЛП
графическим методом, описательным
симплексным методом.
Решение задач
Составить задачу, двойственную данной
задаче ЛП и решить ее, используя
теоремы двойственности.
Решение задач
Проверить полученные решения,
используя надстройку MS Excel «поиск
решения»
Решение задач
Решить индивидуальную транспортную
задачу методом потенциалов и проверить
полученные решения, используя
надстройку MS Excel «поиск решения»
Решение задач
Решить индивидуальную задачу
нелинейного программирования в MS
Excel
Решение задач
Построить сетевой график. Решение задач
Найти критический путь в графе. Решение задач
Решить индивидуальную задачу
методом динамического
программирования о распределении
средств между предприятиями.
Решение задач
Решить индивидуальную задачу
методом динамического
программирования о замене
оборудования.
Решение задач
Раздел 3 Лабораторные работы
5
6. Задачи в условиях
неопределенности
Решить индивидуальную задачу систем
массового обслуживания, найти ее
параметры.
Решение задач
Решить матричную игру графическим
способом.
Решение задач
Проверить найденное решение в MS
Excel с помощью надстройки «поиск
решения»
Решение задач
6
7. Лабораторная работа № 1
Задача распределения неоднородных ресурсов.
Составление оптимального плана выпуска продукции
Цель работы: овладеть навыками составления математической модели
задачи нахождения оптимального плана выпуска продукции и ее решения в
среде ЭТ MS Excel с помощью надстройки «Поиск решения» и в среде
математического пакета MathCad c помощью блока Given … Maximize.
Краткая теория
Пусть некоторое предприятие обладает ресурсами S1,S2,…,Sn в
количествах соответственно b1,b2,…,bn единиц. Используя данные ресурсы
предприятие может изготовить изделия И1,И2,…,Иm , при этом известны
величины aij, – количество i-го ресурса, идущего на изготовление одного
изделия j-го вида (i = 1,2,…,n, j = 1,2,…,m). Кроме того, известны величины cj
–прибыль, получаемая предприятием от реализации одного изделия j-го вида.
Требуется составить план выпуска изделий, при котором достигается
максимальная суммарная прибыль предприятия (прибыль от реализации всех
изделий).
Для решения поставленной задачи сформулируем её математическую
модель, первоначально сведя исходные данные в следующую таблицу:
Вид ресурса
Запас
ресурса
Расход ресурса на изготовления одного изделия
И1 И2 … Иm
S1
S2
…
Sn
b1
b2
…
bn
а11
а21
…
an1
a12
a22
…
an2
…
…
…
…
a1m
a2m
…
anm
Прибыль от реализации
одного изделия
c1 c2 … сm
Для решения сформулированной задачи составим ее математическую
модель.
7
8. Математическая модель задачи распределения неоднородных
ресурсов. Для построения математической модели задачи:
1. Определим неизвестные и их количество.
Введем следующие обозначения: пусть х1,x2,…,xm – количество
изделий И1,И2,…,Иm, которые может производить предприятие. Поэтому
количество рассматриваемых переменных – m штук.
2. Запишем целевую функцию, зависящую от х1,x2,…,xm и что с ней
необходимо сделать (максимизировать или минимизировать).
В данной задаче целевая функция − суммарная прибыль, получаемая
предприятием от реализации всех произведенных изделий, может быть
записана в виде:
3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.
3.1. Ограничения по запасам ресурса. Зная количество ресурса
каждого вида, идущее на изготовление одной единицы каждого изделия, и
запасы ресурсов можно составить следующую систему ограничений:
)2(
....:SÐåñóðñ
..................
;...:SÐåñóðñ
;...:SÐåñóðñ
2211n
222221212
112121111
≤⋅++⋅+⋅
≤⋅++⋅+⋅
≤⋅++⋅+⋅
nmnmnn
mm
mm
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
Полученная система устанавливает, что количество ресурсов,
расходуемых на изготовление выпускаемых изделий, не может превысить
имеющихся на предприятии запасов ресурсов.
3.2.Условие неотрицательности переменных. Исходя из физического
смысла, на переменные налагаются дополнительные условия, требующие
неотрицательности их значений:
8
9. (3)
При этом равенство нулю соответствующей переменной означает, что данное
изделие не выпускается.
3.3 Условие целочисленности переменных. На переменные можно
накладывать дополнительное условие целочисленности, которое “запрещает”
выпуск не целых изделий:
(4)
Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2− 4) образуют
математическую модель задачи распределения неоднородных ресурсов.
Замечание. Задача решается в предположении о ненасыщаемости
рынка, т.е. любое количество произведенных изделий будет продано, причем
по постоянной первоначальной цене.
Пример выполнения
Постановка задачи. Пусть предприятие располагает запасами сырья
трех видов – цемент, щебень и арматура в количествах b1=18, b2=120 и b3= 42
условных единиц соответственно. Из этого сырья может быть изготовлено
два вида изделий – плиты перекрытия и фундаментные блоки. Известны так
же значения аij – количество единиц i-го вида сырья, идущего на
изготовление единицы j-го изделия и сj – доход, получаемый от реализации
одной единицы изделия каждого вида (i=1,2,3; j=1,2). Все указанные
величины представлены в табл. 1.
Таблица 1. Данные к задаче составления оптимального плана
Вид
сырья
Запас сырья
(усл. единиц)
Расход сырья на единицу продукции
(усл. единиц)
9
10. Плита перекрытия
Фундаментный
блок
Цемент b1 = 18 a11 = 3 a12 = 1
Щебень b2 = 120 a21 = 25 a22 = 3
Арматура b3 = 42 a31 = 0 a32 = 3
Прибыль от продажи единицы
изделия (тыс. руб.)
с1 = 3 с2 = 2
Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором
суммарная прибыль предприятия от реализации всей продукции была бы
максимальной.
Для решения сформулированной задачи составим ее математическую
модель.
Математическая модель задачи распределения неоднородных
ресурсов. Для построения математической модели задачи:
1. Определим неизвестные и их количество.
Введем следующие обозначения: х1 – количество плит перекрытия, х2 –
количество фундаментных блоков, планируемых к выпуску на предприятии.
2. Запишем целевую функцию.
Суммарная прибыль, получаемая предприятием от реализации х1
единиц плит перекрытия и х2 единиц фундаментных блоков, может быть
записана в виде
F(х1,х2 ) = 3 · x1 + 2 · x2 → max. (1´)
3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.
3.1. Ограничения по запасам сырья. Зная количество сырья каждого
вида, идущее на изготовление одной единицы изделия, и запасы сырья
можно составить следующую систему ограничений:
≤⋅+⋅
≤⋅+⋅
≤⋅+⋅
.4230
;120325
;1813
21
21
21
xx
xx
xx
10
(2´)
11. Полученная система устанавливает, что количество каждого сырья,
расходуемое на изготовление изделий, не может превысить имеющихся на
предприятии запасов сырья.
3.2.Условие неотрицательности переменных. Исходя из физического
смысла, на переменные налагаются дополнительные условия, требующие
неотрицательности их значений:
х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 (3´)
(х1 и х2 равны нулю, если соответствующий вид изделия не выпускается).
3.3 Условие целочисленности переменных. На переменные х1 и х2
можно накладывать дополнительное условие целочисленности, которое
“запрещает” выпуск не целых изделий:
х1 и х2 – целые . (4´)
Таким образом, целевая функция (1´) и ограничения (2´− 4´) образуют
математическую модель задачи распределения неоднородных ресурсов.
Решение задачи в среде ЭТ MS Excel. Для решения задачи с помощью
надстройки «Поиск решения» в среде ЭТ MS Excel необходимо:
1. Идентифицировать свою работу, переименовав Лист1 в «Титульный
лист» и записав номер лабораторной работы, ее название, кто выполнил и
проверил.
2. На следующем листе, с именем «Оптимальный план», создайте
таблицу, подобную таблице математической постановки задачи. Таблица
отличается от таблицы 1 наличием столбца «Расход сырья». В него будут
занесены левые части ограничений по запасам сырья (см. пункт 3.1) и в
результате решения рассматриваемой задачи будут найдены фактические
расходы сырья каждого вида. Добавьте столбец «Остаток сырья» для
занесения в ячейки столбца соответствующих формул.
3. Создайте вторую таблицу, указав в ней выпускаемые изделия и
переменные математической модели. В ячейках Е10:F10 поместите нулевые
(начальные) значения искомых переменных х1 и х2.
11
12. 4. В ячейку F12 введите формулу целевой функции, которая для
решаемой задачи имеет вид = E6*E10+F6*F10. Завершив ввод нажатием
клавиши Enter, получим в ячейке F12 нулевое значение, т.к. пока равны нулю
значения переменные х1 и х2.
5. Введите формулу =E3*E10+F3*F10 для ограничения по цементу в
ячейку С3. Завершив ввод нажатием клавиши Enter, получим в ячейке С3
нулевое значение, т.к. пока равны нулю переменные х1 и х2. Скопируйте эту
формулу, автозаполнением, в ячейки С4 и С5, предварительно заменив
относительную ссылку на ячейки Е10 и F10 на абсолютную при помощи
клавиши F4. При этом формула примет вид =E3*$E$10+F3*$F$10, а в
ячейках С4 и С5 снова получим нулевые значения. В ячейку D3 занесите
формулу вычисления остатков сырья первого вида =B3− C3 и скопируйте ее
автозаполнением в ячейки D4 и D5.
6. Наберите команду Данные → Поиск решения. В появившемся
диалоговом окне надстройки «Поиск решения» необходимо выполнить
следующие установки:
6.1. Заполните поле «Установить целевую ячейку». В зависимости от
решаемой задачи, можно выбрать поиск наименьшего или наибольшего
значения для целевой ячейки или же установить в ней конкретное числовое
12
13. значение. Для рассматриваемой задачи выполните ссылку на ячейку F12, где
записана формула целевой функции.
6.2. Установите радиокнопку «Равной максимальному значению».
6.2. Выполните ссылки на изменяемые ячейки Е10 и F10, в которые
помещены нулевые начальные значения искомых переменных х1 и х2.
Изменяемые ячейки – это те ячейки, значения в которых будут подбираться
так, чтобы оптимизировать результат в целевой ячейке. Для надстройки
«Поиск решения» можно указать до 200 изменяемых ячеек. К ним
предъявляются два основных требования: они не должны содержать формул
и изменение их значений должно приводить к изменению результата в
целевой ячейке, т.е. целевая ячейка должна быть зависима от изменяемых.
6.3. Введите ограничения по запасам сырья и естественные условия
неотрицательности переменных х1 и х2, для этого:
а) щелкните по кнопке «Добавить» диалогового окна и в появившемся
окне «Добавление ограничения» выполните следующие установки:
Задание таких ограничений означает, что расход сырья каждого вида на
выполнение производственной программы не должен превышать его запаса
на предприятии. Щелчок по кнопке ОК приводит к закрытию диалогового
окна «Изменение ограничения», при этом само условие заносится в раздел
«Ограничения:» диалогового окна надстройки «Поиск решения».
б) ещё раз щелкните по кнопке «Добавить» диалогового окна «Поиск
решения» и в появившемся окне «Добавление ограничения» выполните
следующие установки:
13
14. Задание таких условий обеспечивает неотрицательность переменных.
Щелкните по кнопке ОК – все ограничения занесены, и диалоговое окно
надстройки «Поиск решения» примет вид:
7. Щелкните по кнопке «Выполнить». Если математическая модель
задачи составлена верно и решение найдено, то появится диалоговое окно:
Щелчок по кнопке ОК позволяет сохранить найденное оптимальное
решение, имеющее для нашей задачи следующий вид:
14
15. Проанализируем полученное с помощью ЭТ MS Excel оптимальное
решение и сделаем выводы.
Выводы. Анализ полученного решения показавает, что для получения
максимальной прибыли в 32 тыс. рублей предприятию необходимо
выпустить 14 фундаментных блока и 1,3 плиты перекрытия. При этом цемент
и арматура будут израсходованы полностью, а остаток щебня составит 44,6
м3
.
8. Добавьте для переменных х1 и х2 условие целочисленности,
“запрещающее” выпуск не целых изделий:
При этом полученное оптимальное решение примет вид:
15
16. Проанализируем целочисленное решение и сделаем выводы.
Выводы. Анализ решения показывает, что прибыль предприятия
уменьшилась на одну тысячу рублей, составив 31 тыс. рублей. План выпуска
– 14-ть фундаментных блоков и одна плита перекрытия. При этом запас
арматуры израсходован полностью, а остатки цемента и щебня составили 1 и
53 условных единиц соответственно.
9. Задайте дополнительное условие об обязательной поставке плит
перекрытия в количестве 3-х штук:
16
17. Тогда соответствующее оптимальное решение примет вид:
Проанализируем полученное решение и сделаем выводы.
Выводы. Суммарная прибыль предприятия составила 27 тыс. рублей
при плане выпуска 3 плиты перекрытия и 9 фундаментных блоков. При этом
цемент использован полностью, а остатки щебня и арматуры составили 18 и
15 условных единиц соответственно.
10. Сохраните результаты вычислений в Своей папке.
11. Самостоятельно решите задачу составления оптимального плана
выпуска продукции, в соответствии с Вашим вариантом, которые
представлены ниже. Проанализируйте полученное решение и сделайте
выводы. Сохраните результаты вычислений в Своей папке.
Решение задачи с помощью пакета MathCad. Пакет MathCad не
позволяет задавать целочисленность переменных, поэтому полученное не
целочисленное решение приходится округлять, отбрасывая дробную часть. В
остальном решение оптимизационной задачи осуществляется аналогично.
Для решения задачи о составлении оптимального плана выпуска
продукции в среде пакета MathCad необходимо:
1. Идентифицировать лабораторную работу, набрав ее номер, название,
кто выполнил и проверил.
2. Задайте запасы сырья b1, b2 и b3 и рецептуру выпускаемых изделий aij
в условных единицах.
17
18. 3. Задайте прибыль c1 и с2, получаемую предприятием от реализации
единицы изделия каждого вида, и определите целевую функцию F(x1,x2) –
суммарную прибыль предприятия.
4. Присвойте переменным х1 и х2 начальные нулевые значения.
5. Введите служебное слово Given и, после него, систему ограничений
2´− 3´, т.е. ограничения по запасам сырья и условия не отрицательности
переменных х1 и х2.
6. Найдите оптимальное решение с помощью функции Maximize.
7. Вычислите значение максимальной прибыли.
8. Найдите фактический расход и остаток каждого вида сырья после
выполнения оптимального плана выпуска продукции.
18
19. 9. Проанализируйте полученное решение и сделайте выводы.
10. Сохраните результаты вычислений в Своей папке.
11. Учтите целочисленность переменной х1, присвоив ей значение,
равное единице. MathCad-документ решения задачи распределения
неоднородных ресурсов с учетом целочисленности переменных х1 и х2 ,
представлен ниже. Сделайте выводы и сохраните результаты данных
вычислений в Своей папке.
19
20. 12. Учтите условие обязательной поставки трех плит перекрытия,
записав после служебного слова Given неравенство х1≥ 3. MathCad-документ
решения задачи распределения неоднородных ресурсов, с учетом
целочисленности переменных х1 и х2 и с учётом обязательной поставки,
представлен ниже.
20
21. 13. Сделайте выводы и сохраните результаты вычислений в Своей
папке.
14. Самостоятельно решите задачу составления оптимального плана
выпуска продукции, в соответствии с Вашим вариантом, которые
представлены ниже. Сделайте выводы и сохраните полученные результаты
вычислений в Своей папке.
Исходные данные для самостоятельного решения
Для изготовления m видов изделий И1, И2, ..., Иm необходимы ресурсы n
видов: трудовые, материальные, финансовые и др. (S1, S2, …,Sn) Известно
необходимое количество отдельного i-го ресурса для изготовления каждого j-
го изделия. Назовем эту величину нормой расхода сij. Пусть определено
21
22. количество каждого вида ресурса, которым предприятие располагает в
данный момент, − bi усл.ед. Известна прибыль pj в рублях, получаемая
предприятием от реализации каждой единицы j-го вида изделия. Требуется
определить, какие изделия и в каком количестве должно изготавливать
предприятие, чтобы обеспечить получение максимальной суммарной
прибыли.
Вид
ресурса
Количество
ресурса
Норма расхода ресурса на единицу
каждого вида изделия
И1 И2 … Иm
S1 b1 c11 c12 … c1m
S2 b2 c21 c22 … c2m
… … … … … …
Sn bn cn1 cn2 … cnm
Прибыль от реализации единицы
изделия (руб.)
p1 p2 … pm
Требуется:
1) выполнить математическую постановку задачи линейного
программирования (ЗЛП);
2) решить ЗЛП в среде электронных таблиц MS Excel и пакета
MathСad.
Вариант №1
Вид
ресурса
Количество
ресурса
Норма расхода ресурса на единицу каждого
вида изделия
И1 И2 И3 И4 И5
S1 350 2,2 1,4 3,3 1,8 2,7
S2 300 2,2 0,9 2,1 3.5 1.5
S3 170 1,9 2,4 2,9 1.2 2,2
Прибыль от реализации
единицы изделия (руб.)
26 31 22 21 25
Вариант №2
Вид
ресурса
Количество
ресурса
Норма расхода ресурса на единицу
каждого вида изделия
И1 И2 И3 И4
S1 450 3,6 1,4 3,3 0,5
S2 350 2,2 0,8 2,1 3.5
S3 170 1,9 0,4 2,9 1.2
S4 200 2,2 0,9 3,1 2,1
22
23. S5 230 5,7 4,6 2,7 3,6
Прибыль от реализации
единицы изделия (руб.)
22 27 39 21
Вариант №3
Вид
ресурса
Количество
ресурса
Норма расхода ресурса на единицу каждого
вида изделия
И1 И2 И3 И4 И5
S1 350 2,6 4,4 3,3 0,5 3,7
S2 300 2,2 0,8 2,1 3.5 1.5
S3 570 3,9 0,4 2,9 1.2 2,2
Прибыль от реализации
единицы изделия (руб.)
32 21 29 21 15
Вариант №4
Вид
ресурса
Количество
ресурса
Норма расхода ресурса на единицу каждого
вида изделия
И1 И2 И3 И4 И5
S1 450 3,6 1,4 3,3 2,5 2,7
S2 300 3,2 2,8 2,1 3.5 2.5
S3 470 2,9 1,4 2,9 1.2 2,2
S4 250 2,2 1,9 1,1 3,1 0,5
Прибыль от реализации
единицы изделия (руб.)
47 27 29 21 25
Вариант №5
Вид
ресурса
Количество
ресурса
Норма расхода ресурса на единицу
каждого вида изделия
И1 И2 И3 И4
S1 450 3,6 1,4 3,3 0,5
S2 300 2,2 5,8 2,1 3.5
S3 370 4,9 0,4 2,9 3,2
S4 200 2,2 0,9 5,1 2,1
S5 430 5,7 4,6 2,7 3,6
Прибыль от реализации
единицы изделия (руб.)
22 21 19 21
Вариант №6
Вид
ресурса
Количество
ресурса
Норма расхода ресурса на единицу каждого
вида изделия
И1 И2 И3 И4 И5
S1 250 3,6 6,4 3,3 4,5 2,7
S2 300 3,2 2,8 2,1 3.5 1.5
S3 470 1,9 4,4 2,9 1.2 2,2
23
24. S4 200 2,2 3,9 4,1 2,1 0,5
Прибыль от реализации
единицы изделия (руб.)
32 26 29 27 15
Вариант №7
Вид
ресурса
Количество
ресурса
Норма расхода ресурса на единицу каждого
вида изделия
И1 И2 И3 И4 И5
S1 450 2,6 5,4 3,3 5,5 2,7
S2 300 2,2 0,8 2,1 3.5 5,5
S3 470 3,9 0,4 2,9 1.2 2,2
S4 300 2,2 0,9 1,1 2,1 0,5
Прибыль от реализации
единицы изделия (руб.)
32 21 39 27 15
Вариант №8
Вид
ресурса
Количество
ресурса
Норма расхода ресурса на единицу каждого
вида изделия
И1 И2 И3 И4 И5
S1 250 3,6 1,4 3,3 3,5 2,7
S2 300 2,2 0,8 2,1 3.5 1.5
S3 470 3,9 0,4 2,9 3,2 2,2
S4 200 2,8 0,9 1,1 2,1 4,5
S5 330 5,7 4,6 2,7 3,6 3,1
Прибыль от реализации
единицы изделия (руб.)
32 21 49 29 15
Вариант №9
Вид
ресурса
Количество
ресурса
Норма расхода ресурса на единицу
каждого вида изделия
И1 И2 И3 И4
S1 450 3,6 1,4 3,3 3,5
S2 300 2,2 2,8 2,1 3.5
S3 570 4,9 2,4 2,9 4,2
Прибыль от реализации
единицы изделия (руб.)
32 27 39 21
Вариант №10
Вид
ресурса
Количество
ресурса
Норма расхода ресурса на единицу
каждого вида изделия
И1 И2 И3 И4
S1 350 5,6 3,4 3,3 2,5
S2 400 2,2 5,8 2,1 3.5
24
25. S3 570 4,9 0,4 2,9 6,2
S4 200 2,2 0,9 1,1 2,1
S5 330 5,7 4,6 2,7 3,6
Прибыль от реализации
единицы изделия (руб.)
26 21 39 28
Лабораторная работа № 2
Сбалансированная транспортная задача.
Распределение однородных ресурсов
Цель работы: овладеть навыками составления математической модели
сбалансированной транспортной задачи и ее решения в среде ЭТ MS Excel с
помощью надстройки «Поиск решения» и в среде пакета MathCad c помощью
блока Given … Minimize.
Краткая теория
Транспортная задача может быть сформулирована различными
способами.
Постановка задачи А. Пусть имеется m источников финансирования
А1, А2, ..., Аm и n периодов финансирования В1, B2, ..., Вn. Известны затраты,
связанные с выделением единицы денежных ресурсов Сij из i-го источника в
j-ом периоде, а также объемы финансирования из каждого i-го источника в
течение всего времени – аi. Известны суммарные объемы финансирования из
всех источников в каждый j-й период времени – bj.
Требуется определить объемы финансирования xij из i-го источника в j-
ом периоде, чтобы:
1. Ресурсы всех источников были реализованы.
2. Обеспечить финансирование в полном объеме в каждом периоде.
3. Достигнуть экстремума выбранного критерия оптимизации.
Постановка задачи В. Пусть имеется n пунктов производства
(хранения) А1,А2,…,Аn, некоторого однородного ресурса, запасы которого
составляют a1,a2,…,an условных единиц соответственно. Кроме этого, имеется
25
26. m пунктов потребления В1,В2,…,Вm данного ресурса с потребностями b1,b2,
…,bm условных единиц. Кроме этого, известна матрица перевозок С,
элементы которой cij – затраты на перемещение единицы ресурса из Ai –
пункта хранения в Bj − пункт потребления.
Требуется вывезти все ресурсы из пунктов хранения Ai, удовлетворить
потребности во всех пунктах Bj, все перевозки выполнить с минимальными
суммарными затратами.
Для решения поставленной задачи сформулируем её математическую
модель, первоначально сведя исходные данные в следующую таблицу:
Bj
Ai
B1 B2 … Bm Запасы ai
А1
А2
…
Аn
c11
c21
…
cn1
c12
c22
…
cn2
…
…
…
…
c1m
c2m
…
cnm
a1
a2
…
an
Потребности
bj
b1 b2 … bm
Различают закрытую (сбалансированную) и открытую
(несбалансированную) транспортную задачу. При этом, если
∑ ∑= =
=
n
i
m
j
ji ba
1 1
,
то задача называется сбалансированной, в противном случае –
несбалансированной.
Рассмотрим закрытую транспортную задачу. Для решения
сформулированной выше задачи о перемещении однородного ресурса
(Постановка задачи В) составим ее математическую модель.
Математическая модель закрытой транспортной задачи. Для
построения математической модели задачи:
1. Определим неизвестные и их количество.
26
27. Обозначим через xij количество ресурса, перемещаемого из Ai пункта
хранения в Bj пункт потребления. Таким образом, элементы xij образуют
матрицу перевозок X nхm.
2. Запишем целевую функцию − суммарные затраты на перевозку
ресурсов, которую необходимо минимизировать
)1(.min)(
1 1
→⋅=∑∑= =
n
i
m
j
ijij xcXF
3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.
3.1. Ресурсы из всех пунктов отправления должны быть вывезены.
Это ограничение можно записать в виде:
)2(.),,2,1(,
1
∑=
==
m
j
iji niax
Т.е. сумма элементов каждой строки матрицы перевозок Х равна запасу
ресурса в данном пункте хранения аi.
3.2. Необходимо удовлетворить запросы каждого потребителя в
данном ресурсе. Это ограничение можно записать в виде:
)3(.),,2,1(,
1
∑=
==
n
i
jji mjbx
Т.е. сумма элементов каждого столбца матрицы перевозок Х равна
потребности в ресурсе в данном пункте потребления bj.
3.3. Введем граничные условия, которые определяют предельно
допустимые значения искомых переменных. Для нашей задачи их можно
представить в виде:
)4(.),,2,1,,,2,1(,0 mjnix ji ==≥
Равенство нулю переменной хij означает, что перевозки ресурса между
Ai пунктом хранения в Bj пунктом потребления не осуществляются.
Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2− 4) образуют
математическую модель сбалансированной транспортной задачи.
Пример выполнения
27
28. Постановка задачи. Имеется четыре песчаных карьеров, из которых
песок доставляется на четыре стройки. Известны запасы сырья на каждом
объекте и потребности строек в этом песке. Кроме того, известны затраты в
рублях, связанные с перевозкой одного кубического метра песка с каждого
карьера на каждую стройку. Исходные данные представлены в таблице 1.
Таблица 1. Данные к сбалансированной транспортной задаче.
Стройка
Карьер Стройка 1 Стройка 2 Стройка 3 Стройка 4
Запасы песка
ai (м3)
Карьер 1 70 38 24 92 14
Карьер 2 58 18 56 72 20
Карьер 3 19 10 100 30 26
Карьер 4 3 36 121 8 41
Потребности
в песке bj (м3
)
30 22 15 34
Требуется составить план перевозки песка так, чтобы вывести весь
песок из карьеров, обеспечить всех потребителей данным видом ресурса и
при этом все перевозки необходимо выполнить с минимальными затратами.
Для решения сформулированной задачи составим ее математическую
модель.
Проверим задачу на сбалансированность:
Математическая модель сбалансированной транспортной задачи.
Для построения математической модели задачи:
1. Определим неизвестные и их количество.
Обозначим через xij количество песка (м3
), перемещаемого из i-го
карьера на j-ю стройку. Таким образом, элементы xij образуют матрицу
перевозок X 4х4.
28
29. 2. Запишем целевую функцию.
F(X)=70·x11+38·x12+24·x13+92·x14+58·x21+18·x22+56·x23+72·x24+19·x31+
+10·x32+100·x33+30·x34+3·x41+36·x42+121·x43+8·x44 → min . (1´)
3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.
3.1. Песок из всех карьеров должен быть вывезен. Это ограничение
можно записать в виде:
(2´)
3.2. Необходимо удовлетворить потребности каждой стройки в
песке. Это ограничение можно записать так:
(3´)
3.3. Введем граничные условия, которые определяют предельно
допустимые значения искомых переменных. Для нашей задачи их можно
представить в виде:
x11≥0, x12≥0, x13≥0, x14≥0, x21≥0, x22≥0, x23≥0, x24≥0,
x31≥0, x32≥0, x33≥0, x34≥0, x41≥0, x42≥0, x43≥0, x44≥0. (4´)
Таким образом, целевая функция (1´) и ограничения (2´− 4´) образуют
математическую модель сбалансированной транспортной задачи.
Решение задачи в среде ЭТ MS Excel. Для решения задачи с помощью
надстройки «Поиск решения» в среде ЭТ MS Excel необходимо:
1. Идентифицировать свою работу, переименовав Лист1 в Титульный
лист и записав номер лабораторной работы, ее название, кто выполнил и
проверил.
2. На следующем листе, с именем «Сбалансированная ТЗ», создайте
таблицу для ввода условий задачи и введите исходные данные.
29
30. 3. Запишите матрицу затрат на перевозки С4х4.
4. Составьте матрицу перевозок Х4х4 с пока нулевыми значениями xij.
5. Дополните матрицу перевозок двумя столбцами справа и двумя
строками снизу, в которые записать:
• запасы песка аi в столбце «Производительность карьера» и
количество вывезенного ресурса из каждого карьера в столбце «Вывезено»,
используя встроенную функцию MS Excel – СУММ();
• потребности в песке bj в строке «Потребности стройки» и
количество доставленного песка на каждую стройку в строке «Доставлено»,
используя встроенную функцию MS Excel – СУММ().
6. Проверьте задачу на сбалансированность и запишите целевую
функцию F(X), используя встроенную функцию MS Excel –
СУММПРОИЗВ(). В нашем случае формула целевой функции имеет вид
=СУММПРОИЗВ(B3:E6;B9:E12).
30
31. 7. Вызовите диалоговое окно надстройки «Поиск решения» и
выполните необходимые установки.
8. Щелкните по кнопке «Выполнить». Если математическая модель
задачи составлена верно и решение найдено, то сохраните найденное
оптимальное решение, имеющее для нашей задачи следующий вид:
31
32. 9. Проанализируйте полученное с помощью ЭТ MS Excel оптимальное
решение. Сделайте выводы.
Выводы. Из первого карьера на третью стройку доставлено 14 м3
песка, при этом весь песок из первого карьера вывезен. Из второго карьера на
вторую стройку вывезено 19 м3
песка и 1 м3
песка доставлен на стройку 3.
Таким образом, весь песок из карьера 2 вывезен, при этом удовлетворена
потребность (b3= 15 м3
) в песке третьей стройки. Из третьего карьера
вывезено 23 м3
песка на первую стройку и 3 м3
песка на вторую. При этом
весь песок из третьего карьера вывезен и удовлетворены потребности в песке
второй стройки. Из четвертого карьера доставлено 7 м3
песка на первую
стройку, что удовлетворило ее потребность. Кроме этого, из четвертого
карьера вывезен на четвертую стройку остаток песка в 34 м3
, что в точности
совпадает с потребностью этой стройки. Затраты на данные перевозки
составили 1494 рубля.
10. Сохраните полученное решение в Своей папке.
11. Самостоятельно решите задачу составления оптимального плана
перевозки, в соответствии с Вашим вариантом, которые представлены ниже.
32
33. Проанализируйте полученное решение. Сделайте выводы. Сохраните
результаты вычислений в Своей папке.
Решение задачи с помощью пакета MathCad осуществляется
аналогично. Для решения задачи в среде пакета MathCad:
1. Идентифицируйте лабораторную работу, набрав ее номер, название,
кто выполнил и проверил.
2. Определите начальные значения переменных и вектор-столбцы
переменных Х и затрат на перевозку С.
3. Определите целевую функцию F(X).
4. Введите служебное слово Given и, после него, систему ограничений
и граничных условий.
5. Найдите оптимальное решение с помощью функции Minimize и
значение целевой функции.
6. Сформируйте матрицу перевозок Xoptperevoz с помощью встроенной
функции пакета MathCad submatrix().
33
34. 7. Сделайте выводы по выполненной работе и сохраните результаты
вычислений в Своей папке.
8. Самостоятельно в среде пакета MathCad решите задачу составления
оптимального плана перевозки, в соответствии с Вашим вариантом.
Проанализируйте полученное решение. Сделайте выводы.
9. Сохраните результаты вычислений в Своей папке.
34
35. Исходные данные для самостоятельного решения
Имеется n пунктов отправления (или пунктов производства, хранения)
некоторого однородного ресурса A1,A2, ..., Аn и m пунктов назначения (или
пунктов потребления) ресурса В1, B2,..., Вm. Количество ресурсов в i-ом
пункте отправления составляет аi (i = 1,2, ..., n), а потребность каждого j-го
пункта потребления этого вида ресурсов − bj (j = 1,2, ..., m). Известны затраты
сij на перевозку одной единицы ресурса из каждого i-го пункта отправления в
каждый j-ый пункт назначения.
Определить, какое количество ресурсов xij необходимо поставить
(перевезти) из каждого i-го пункта отправления в каждый j-й пункт
назначения, чтобы все перевозки выполнить с минимальными затратами.
Требуется:
1) выполнить математическую постановку сбалансированной
транспортной задачи как задачи линейного программирования (ЗЛП);
2) решить сформулированную ЗЛП в среде электронных таблиц MS
Excel и математического пакета MathСad.
Вариант 1
Bj
Ai
В1 В2 В3 В4 Запас ai
А1 7 3 2 9 300
А2 5 5 5 7 200
А3 2 3 3 4 250
А4 3 3 2 8 400
Потребность bj 300 300 250 300
Вариант 2
Bj
Ai
В1 В2 В3 В4 Запас ai
А1 20 35 25 40 300
А2 15 30 15 20 500
А3 20 35 25 45 450
35
39. Лабораторная работа № 3
Несбалансированная транспортная задача
Цель работы: овладеть навыками составления математической модели
несбалансированной транспортной задачи и ее решения в среде ЭТ MS Excel
с помощью надстройки «Поиск решения» и в среде пакета MathCad c
помощью блока Given … Minimize.
Краткая теория
Транспортная задача, в которой суммарные запасы и потребности
совпадают, т. е. выполняется условие ∑ ∑
1 1
n
i
m
j
ji ba
= =
= , называется закрытой; в
противном случае − открытой. Для открытой транспортной задачи возможны
два случая:
а) суммарные запасы превышают суммарные потребности;
б) суммарные потребности превышают суммарные запасы.
Линейная целевая функция одинакова в обоих случаях, изменяется
только вид системы ограничений, при этом открытая задача решается
приведением к закрытой модели.
В случае а), когда суммарные запасы превышают суммарные
потребности, вводится фиктивный потребитель Вm+1 потребность которого
составит
∑ ∑
1 1
1
n
i
m
j
jim bab
= =
+ −= .
В случае б), когда суммарные потребности превышают суммарные
запасы, вводится фиктивный поставщик Аn+1, запасы которого составляют
.
11
1 ∑∑ ==
+ −=
n
i
i
m
j
jn aba
39
40. Стоимость перевозки единицы груза, как до фиктивного потребителя,
так и стоимость перевозки единицы груза от фиктивного поставщика
полагают равным нулю, так как груз в обоих случаях не перемещается.
После преобразований задача принимает вид закрытой модели и
решается обычным способом, представленным выше в лабораторной работе
№2. При равных стоимостях перевозки единицы груза от поставщиков к
фиктивному потребителю затраты на перевозку груза реальным
потребителям минимальны, а фиктивному потребителю будет направлен груз
от наименее выгодных поставщиков. То же самое получаем и в отношении
фиктивного поставщика.
Прежде чем решать какую-нибудь транспортную задачу, необходимо
сначала проверить, к какой модели она принадлежит, и только после этого
составлять математическую модель для ее решения.
Таким образом, задача выполняется аналогично лабораторной работе
№ 2, с учётом условий, описанных выше.
Примеры решения несбалансированной транспортной задачи в
среде ЭТ MS Excel приведёны ниже.
Пример а).
Рассмотрим задачу предыдущей лабораторной работы №2 о доставке
песка на стройки, увеличив запасы сырья первого карьера а1 на 30 м3
. Т.е.
а1 = 44 м3
, а не 14. Таким образом, суммарные запасы песка на 30 м3
превосходят суммарные потребности в нем, которые составляют 101 м3
.
1. Идентифицируйте свою работу, переименовав Лист1 в Титульный
лист и записав номер лабораторной работы, ее название, кто выполнил и
проверил.
2. На следующем листе, с именем «Несбалансированная ТЗ», создайте
таблицу для ввода условий задачи и введите исходные данные.
3. Запишите матрицу затрат на перевозки С4х4.
4. Составьте матрицу перевозок Х4х4 с пока нулевыми значениями xij,
добавив две строки и два столбца. Проверьте задачу на сбалансированность.
40
41. 5. Введите в рассмотрение фиктивную стройку 5, с потребностью в
песке b5= 30 м3
. Составьте новые матрицы себестоимости и перевозок,
проверьте полученную задачу на сбалансированность.
6. Запишите целевую функцию F(X), используя встроенную функцию
MS Excel – СУММПРОИЗВ().
41
42. 7. Вызовите диалоговое окно надстройки «Поиск решения» и
выполните необходимые установки, которые, в этом случае, имеют вид:
Полученное оптимальное решение представлено ниже.
42
43. 8. Проанализируйте полученное решение. Сделайте выводы.
Выводы. Из карьера 1 на стройку 3 доставлено 15 м3
песка, что
удовлетворило потребности этой стройки, при этом 29 м3
песка остались в
карьере (“отправлены” на фиктивную стройку 5). Из второго карьера
вывезено 19 м3 песка на стройку 2, при этом 1 м3
песка остался в карьере
(“отправлен” на фиктивную стройку 5). Из карьера 3 на стройку 1 вывезено
23 м3
песка, а на стройку 2 – 3 м3
, при этом удовлетворены потребности
второй стройки и все запасы из карьера 3 вывезены. Из четвертого карьера
вывезено 7 и 34 м3
песка соответственно на стройки 1 и 4, при этом
потребности данных строек удовлетворены, а весь песок – 41 м3
– вывезен.
Все перевозки обошлись в 1462 рубля.
9. Сохраните результаты вычислений в Своей папке.
10. Самостоятельно решите задачу составления оптимального плана
перевозки ресурса, в соответствии с Вашим вариантом, которые
представлены ниже. Сохраните результаты вычислений в Своей папке.
Пример б).
43
44. Рассмотрим задачу предыдущей лабораторной работы №2, увеличив
потребность первой стройки b1 на 30 м3
. Таким образом, суммарные
потребности в песке на 30 м3
превосходят суммарные
запасы, которые составляют 101 м3
.
Введем в рассмотрение фиктивный карьер 5, с запасом песка а5 = 30 м3
.
Тогда матрица перевозок примет вид:
44
45. Запишите целевую функцию F(X), используя встроенную функцию MS
Excel – СУММПРОИЗВ(). Диалоговое окно надстройки «Поиск решения» в
этом случае примет вид:
Полученное оптимальное решение имеет вид.
45
46. Проанализируйте полученное решение и сделайте выводы. Сохраните
результаты в Своей папке.
Самостоятельно решите задачу составления оптимального плана
перевозки ресурса, в соответствии с Вашим вариантом. Сохраните
результаты вычислений в Своей папке.
Решение несбалансированной транспортной задачи в среде пакета
MathCad выполняется аналогично. MathCad-документ решения примера а)
представлен ниже. Решение примера б) выполнить самостоятельно.
Проанализируете полученные решения примеров а) и б) и сохраните
результаты в Своей папке.
46
47. Самостоятельно решите задачу составления оптимального плана
перевозки ресурса, в соответствии с Вашим вариантом, которые
представлены ниже. Сохраните результаты вычислений в Своей папке.
Исходные данные для самостоятельного решения
47
48. Исходные данные для самостоятельного решения брать из
лабораторной работы № 2 согласно своему варианту. Сформулировать две
несбалансированные задачи, увеличив, сначала, запасы сырья первого пункта
а1 на 300 условных единиц, а затем, вернув первоначальное значение а1,
увеличив потребность первого пункта потребления b1 на 300 условных
единиц.
Требуется:
1) выполнить математическую постановку двух несбалансированных
транспортных задач;
2) решить обе несбалансированные транспортные задачи в среде
электронных таблиц MS Excel и математического пакета MathCad.
48
49. Лабораторная работа № 4
Задача о смесях.
Составление смеси бензина с заданными показателями качества
Цель работы: овладеть навыками составления математической модели
задачи о смесях и ее решения в среде ЭТ MS Excel с помощью надстройки
«Поиск решения» и в среде пакета MathCad c помощью блока Given …
Minimize.
Краткая теория
В различных отраслях народного хозяйства возникает проблема
составления таких рабочих смесей на основе исходных материалов, которые
обеспечивали бы получение конечного продукта, обладающего
определенными свойствами. К этой группе задач относятся задачи о выборе
диеты, составлении кормового рациона в животноводстве, шихт в
металлургии, горючих и смазочных смесей в нефтеперерабатывающей
промышленности, смесей для получения бетона в строительстве и т. д.
Высокий уровень затрат на исходные сырьевые материалы и
необходимость повышения эффективности производства выдвигает на
первый план решение следующей задачи: требуется получить продукцию с
заданными свойствами при наименьших затратах на исходные сырьевые
материалы.
Для решения поставленной задачи сформулируем её математическую
модель, первоначально сведя исходные данные в следующую таблицу:
Компоненты, входящие в
состав материалов
Виды исходных материалов Необходимое
количество
компонента в смеси
1 2 … m
1 a11 a12 … a1m b1
2 a21 a22 … a2m b2
… … … … … …
n an1 an2 … anm bn
49
50. Цена единицы материала c1 c2 … cm
Коэффициенты aij показывают удельный вес i-го компонента в единице
j-го материала.
Для решения сформулированной задачи составим ее математическую
модель.
Математическая модель задачи о смесях. Для построения
математической модели задачи:
1. Определим неизвестные и их количество.
Обозначим через xj количество материала j-го вида, входящего в смесь
j = 1,2, … , m.
2. Запишем целевую функцию, удельную стоимость полученной смеси,
которая имеет вид:
3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.
3.1. Ограничения по минимально необходимому содержанию i-ой
компоненты в готовой смеси:
где bi − минимально необходимое содержание i-ой компоненты в готовой
смеси.
3.2. Кроме того, на переменные xj накладываются условия
неотрицательности:
xj ≥ 0, j= 1,…m, (3)
где равенство нулю означает, что данный компонент не входит в смесь.
Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2−3) образуют
математическую модель задачи о смесях.
Пример выполнения
Постановка задачи. Стандартом предусмотрено, что октановое число
автомобильного бензина А-76 должно быть не ниже 76, а содержание серы в
50
51. нем − не более 0,003%. Для изготовления такого бензина на заводе
используется смесь из четырех компонентов. Данные о ресурсах
смешиваемых компонентов, их себестоимости и их октановом числе, а также
о содержании серы приведены в таблице 1:
Таблица 1. Данные к задаче о смеси компонент бензина
Характеристики
компонентов
Компоненты автомобильного бензина
№1 №2 №3 №4
Октановое число 68 72 80 90
Содержание серы, % 0,0035 0,0035 0,0030 0,0020
Запасы ресурса, т 700 600 500 300
Себестоимость, тыс.ден.ед./т 40 45 60 90
Требуется определить, сколько тонн каждого компонента следует
использовать для получения 1000 т автомобильного бензина А-76, чтобы его
себестоимость была минимальной.
Для решения сформулированной задачи составим ее математическую
модель.
Математическая модель задачи о смесях. Для построения
математической модели задачи:
1. Определим неизвестные и их количество.
Введем следующие обозначения: пусть хj − количество в смеси
компонента с номером j (j = 1,2,3,4).
2. Запишем целевую функцию.
В качестве целевой функции выступает себестоимость тонны
полученной смеси, которую необходимо минимизировать:
F(X) = 1/1000*(40*x1 + 45*x2 + 60*x3 + 90*x4 ) → min. (1´)
3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.
3.1. По количеству получаемого бензина:
x1 + x2 + x3 + х4 = 1000 . (2´)
3.2. По октановому числу:
(68*х1+72*х2+80*х3+90*х4)/1000≥76 . (3´)
3.3. По содержанию серы:
51
52. (0,0035*х1+0,0035*х2+0,003*х3+0,002*х4)/1000≤0,003 . (4´)
3.4. Условие неотрицательности рассматриваемых переменных:
х1, х2, х3, х4 ≥ 0 . (5´)
Таким образом, целевая функция (1´) и ограничения (2´− 5´) образуют
математическую модель задачи о смеси бензина.
Решение задачи в среде ЭТ MS Excel. Для решения задачи с помощью
надстройки Поиск решения в среде ЭТ MS Excel необходимо:
1. Идентифицировать свою работу, переименовав Лист1 в Титульный
лист и записав номер лабораторной работы, ее название, кто выполнил и
проверил.
2. На следующем листе, с именем «1000 тонн», создайте таблицу для
ввода условий задачи и введите исходные данные.
3. Создайте вторую таблицу «Количество компонентов в смеси».
Занесите в диапазон ячеек C11:F11 (Количество компонентов в смеси)
начальные, пока нулевые, значения.
4. В ячейку С13 введите формулу целевой функции
=1/1000*(С7*С11+D7*D11+E7*E11+F7*F11) .
Завершив ввод нажатием клавиши Enter, получим в ячейке С13 нулевое
значение, т.к. пока равны нулю переменные математической модели х1, х2, х3
и х4.
52
53. 5. Далее наберите таблицы ограничений и остатков ресурса.
6. Наберите команду Данные → Поиск решения. В появившемся
диалоговом окне надстройки «Поиск решения» необходимо выполнить
необходимые установки, представленные ниже.
7. Щелкните по кнопке «Выполнить». Если решение найдено, то
появится диалоговое окно.
53
54. Щелчок по кнопке ОК позволяет сохранить найденное оптимальное
решение, имеющее следующий вид:
8. Сделайте выводы по выполненной работе.
Выводы. Анализ полученного решения показывает, что для
производства 1000 тонн бензина с заданными показателями необходимо
смешать компоненты №1, №3 и №4 в количествах 571, 143 и 286 тонн
соответственно, а компонент №2 не используется. При этом октановое число
полученной смеси составило 76,008, а содержание серы − 0,00300%. Остатки
компонент составили 129, 600, 357 и 14 тонн соответственно. Себестоимость
тонны полученного бензина равна 57 тыс. ден. ед.
9. Сохраните результаты вычислений в своей папке.
10. Самостоятельно решите задачу составления оптимальной смеси
компонентов, в соответствии с Вашим вариантом, которые представлены
ниже. Сохраните результаты вычислений в Своей папке.
Решение задачи с помощью математического пакета MathCad
осуществляется аналогично. Для решения задачи в среде пакета MathCad:
54
55. 1. Идентифицируйте лабораторную работу, набрав ее номер, название,
кто выполнил и проверил.
2. Задайте исходные данные.
3. Присвойте переменным xj начальные (нулевые) значения.
4. Определите целевую функцию F(x1,х2,х3,х4).
5. Введите служебное слово Given и, после него, систему ограничений
рассматриваемой задачи.
6. Найдите оптимальное решение с помощью функции Minimize.
7. Вычислите значение минимальной себестоимости тонны полученной
смеси.
8. Найдите остаток каждого компонента автомобильного бензина после
выполнения заданного плана выпуска бензина.
9. Сделайте выводы по выполненной работе.
10. Сохраните результаты вычислений в своей папке.
55
56. Исходные данные для самостоятельного решения
Требуется:
1) выполнить математическую постановку задачи составления смеси
бензина как задачи линейного программирования (ЗЛП);
2) решить ЗЛП в среде электронных таблиц MS Excel и
математического пакета MathCad.
Вариант №1
Характеристики
компонент для
производства бензина
Компоненты для производства
бензина
Кол-во получаемого
бензина и его
показатели качества№1 №2 №3 №4
Октановое число 67 75 82 94 ≥ 76
Содержание серы, % 0,007 0,006 0,005 0,0045 ≤ 0,0057
Ресурсы, тонн 560 700 850 800 Необходимое кол-во
бензина: 800 тоннСебестоимость,
тыс.руб./тонна
10,5 11 12 14
Вариант №2
Характеристики
компонент для
производства бензина
Компоненты для производства
бензина
Кол-во получаемого
бензина и его
показатели качества№1 №2 №3 №4
Октановое число 67 75 82 94 ≥ 76
Содержание серы, % 0,008 0,006 0,005 0,040 ≤ 0,0055
Ресурсы, тонн 700 500 850 900 Необходимое кол-во
бензина: 700 тоннСебестоимость,
тыс.руб./тонна
10 11,5 12 14,5
Вариант №3
Характеристики
компонент для
производства бензина
Компоненты для производства
бензина
Кол-во получаемого
бензина и его
показатели качества№1 №2 №3 №4
Октановое число 65 75 8 95 ≥ 76
Содержание серы, % 0,007 0,006 0,004 0,003 ≤ 0,005
Ресурсы, тонн 750 800 850 900 Необходимое кол-во
бензина: 600 тоннСебестоимость,
тыс.руб./тонна
9 11 12,8 14,5
56
57. Вариант №4
Характеристики
компонент для
производства бензина
Компоненты для производства
бензина
Кол-во получаемого
бензина и его
показатели качества
№1 №2 №3
Октановое число 67 75 82 ≥ 76
Содержание серы, % 0,008 0,006 0,005 ≤ 0,0065
Ресурсы, тонн 700 850 900
Необходимое кол-во
бензина: 810 тонн
Себестоимость,
тыс.руб./тонна 10,5 11,5 13
Вариант №5
Характеристики
компонент для
производства бензина
Компоненты для производства
бензина
Кол-во получаемого
бензина и его
показатели качества№1 №2 №3 №4
Октановое число 90 95 80 97 ≥ 82
Содержание серы, % 0,006 0,005 0,006 0,004 ≤ 0,0052
Ресурсы, тонн 600 700 800 570
Необходимое кол-во
бензина: 750 тонн
Себестоимость,
тыс.руб./тонна
10 11,5 12 14,5
Вариант №6
Характеристики
компонент для
производства бензина
Компоненты для производства
бензина
Кол-во получаемого
бензина и его
показатели качества№1 №2 №3 №4
Октановое число 66 75 82 94 ≥ 76
Содержание серы, % 0,008 0,0065 0,005 0,004 ≤ 0,0063
Ресурсы, тонн 800 850 700 790
Необходимое кол-во
бензина: 900 тонн
Себестоимость,
тыс.руб./тонна
10,9 11 12,5 14,5
Вариант №7
Характеристики
компонент для
производства бензина
Компоненты для производства
бензина
Кол-во получаемого
бензина и его
показатели качества№1 №2 №3
Октановое число 80 90 98 ≥ 92
Содержание серы, % 0,006 0,0055 0,0042 ≤ 0,005
Ресурсы, тонн 750 800 900
Необходимое кол-во
бензина: 800 тонн
Себестоимость,
тыс.руб./тонна
10,3 11,5 14,9
Вариант №8
Характеристики
компонент для
производства бензина
Компоненты для производства
бензина
Кол-во получаемого
бензина и его
показатели качества№1 №2 №3 №4
Октановое число 70 75 80 95 ≥ 76
Содержание серы, % 0,008 0,006 0,005 0,0035 ≤ 0,0062
Ресурсы, тонн 800 780 750 800
Необходимое кол-во
бензина: 780 тонн
Себестоимость,
тыс.руб./тонна
10,5 11,5 15,2 18,5
57
58. Вариант №9
Характеристики
компонент для
производства бензина
Компоненты для производства
бензина
Кол-во получаемого
бензина и его
показатели качества№1 №2 №3 №4
Октановое число 66 75 80 95 ≥ 76
Содержание серы, % 0,008 0,006 0,005 0,004 ≤ 0,0061
Ресурсы, тонн 800 900 800 500
Необходимое кол-во
бензина: 500 тонн
Себестоимость,
тыс.руб./тонна
10,3 12 15,2 20
Вариант №10
Характеристики
компонент для
производства бензина
Компоненты для производства
бензина
Кол-во получаемого
бензина и его
показатели качества№1 №2 №3
Октановое число 67 85 96 ≥ 92
Содержание серы, % 0,007 0,005 0,004 ≤ 0,0053
Ресурсы, тонн 890 700 950
Необходимое кол-во
бензина: 550 тонн
Себестоимость,
тыс.руб./тонна
10,9 11,5 20
58
59. Лабораторная работа № 5
Задача о диете. Составление оптимального рациона кормления
Цель работы: овладеть навыками составления математической модели
задачи о диете и ее решения в среде ЭТ MS Excel с помощью надстройки
«Поиск решения» и в среде пакета MathCad c помощью блока Given …
Minimize.
Краткая теория
Диета – это специально подобранный по количеству, химическому
составу, энергетической ценности (калорийности) и способу кулинарной
обработки рацион, а также режим питания. В основу диетического питания
положены современные, научно обоснованные физиологические нормы
питания. В соответствии с ними питание здорового и больного человека в
первую очередь призвано удовлетворить его физиологические потребности в
пищевых веществах и энергии. Основные питательные вещества (белки,
жиры, углеводы), а также иные незаменимые компоненты (витамины, макро-
и микроэлементы) должны поступать в организм в оптимальном количестве в
соответствии с потребностями конкретного человека. Физиологически
обоснованные потребности зависят от большого числа факторов: возраста,
пола, средней телесной массы, интенсивности физического труда, состояния
здоровья и т.д., причем все эти факторы необходимо учитывать при
составлении диеты. Многообразие продуктов питания еще более усложняет
задачу, делая ее практически неразрешимой без применения математических
методов, современных программных средств и ЭВМ.
Пусть имеются m видов продуктов Р1,Р2,...,Рm, содержащих
питательные вещества и незаменимые компоненты В1,В2,…,Вn. В 100
59
60. граммах продукта Рj содержится известное aij количество питательного
вещества или незаменимого компонента Вi. Кроме того известны: bi –
ежесуточная минимальная потребность организма в веществах Вi (i=1,2,…,n),
sj и еj – стоимость и энергетическая ценность (в килокалориях) 100 грамм
продукта Рj (j=1,2,…,m).
Задачу о диете можно сформулировать различным образом.
Постановка задачи А. Требуется рассчитать суточную диету, т.е.
количество каждого продукта Рj, чтобы, с одной стороны, обеспечить
минимально необходимое количество питательных веществ и незаменимых
компонент, а с другой − минимизировать стоимость разработанной диеты.
При этом необходимо подсчитать энергетическую ценность полученной
диеты.
Постановка задачи В. Требуется разработать диету, обеспечивающую
минимально необходимое количество питательных веществ и незаменимых
компонент, с заданной калорийностью Кзаданное и подсчитать ее стоимость.
Для решения поставленных задач сформулируем математические
модели, первоначально сведя исходные данные в следующую таблицу:
Питательные
вещества
Min
потребность
Содержание питательных веществ
в 100 граммах продукта
Р1 Р2 . . . Pm
B1 b1 a11 a12 . . . a1m
B2 b2 a21 a22 . . . a2m
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bn bn an1 an2 . . . anm
Стоимость 100 г продукта s1 s2 . . . sm
Энергетическая ценность
100 г продукта
e1 e2 . . . em
Математическая модель задачи о диете. Для построения
математической модели задачи:
1. Определим неизвестные и их количество.
Обозначим xj − неизвестное пока количество (грамм) продукта Pj,
входящего в диету (j = 1, ..., m).
60
61. 2. Запишем целевую функцию. Так как задача имеет две
формулировки, то и целевых функций будет две:
Fs(х1,х2,…,xj,…,хm) = 1/100·(s1·x1 + s2·x2 + …+ sj·xj + … + sm·xm) =
.Àçàäà÷èïîñòàíîâêàmin
100
1
1
−→⋅= ∑=
j
m
j
j xs
Fe(х1,х2,…,xj,…,хm) =1/100·( e1· x1 + e2 · x2 + …+ ej·xj + … + em·xm) =
.Bçàäà÷èïîñòàíîâêà
100
1
∑
1
−=⋅=
=
çàäàííîåj
m
j
j Kxe
(1)
3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.
3.1 Общее количество потребленных питательных веществ и
незаменимых компонент в диете должно быть не меньше ежесуточных
физиологически обоснованных потребностей bi, т. е. можно записать
следующую систему неравенств:
(2)
3.2. Условие неотрицательности.
xj ≥ 0, (3)
где равенство нулю означает, что продукт Рj в диету не включен.
4. После нахождения оптимального решения рассчитаем калорийность
полученной диеты
К= Fe(хорт
1,хопт
2,…, xопт
j,…,хопт
m) =
= 1/100·( e1· xопт
1 + e2 · xопт
2 + …+ ej·xопт
j + … + em·xопт
m). (4)
Или ее стоимость
S= Fs(хорт
1,хопт
2,…, xопт
j,…,хопт
m) =
1/100·( s1· xопт
1 + s2 · xопт
2 + …+ sj·xопт
j + … + sm·xопт
m). (5)
61
