Seminario 30 settembre 2015 - Ordine Ingegneri Cosenza

30 settembre 2015 - Sala Convegni Ordine Ingegneri della Provincia di Cosenza30 settembre 2015 - Sala Convegni Ordine Ingegneri della Provincia di Cosenza
IL METODO FEM COME STRUMENTOIL METODO FEM COME STRUMENTO
DI RICERCA E SVILUPPO DI NUOVI PRODOTTIDI RICERCA E SVILUPPO DI NUOVI PRODOTTI

1. Concetti fondamentali.1. Concetti fondamentali.

L'idea base del Metodo degli Elementi Finiti è quella di trovare la soluzione ad un
problema complicato sostituendolo con uno più semplice.
Dal momento che il problema reale viene sostituito da uno più semplice, all'atto
della sua risoluzione, è scontato che si riuscirà a trovare una soluzione
approssimata piuttosto che esatta.
Gli strumenti matematici a disposizione, però, non sono sufficienti a determinare
la soluzione esatta della maggior parte dei problemi pratici...a volte neanche a
trovare la soluzione approssimata!
La scelta di ricorrere all'utilizzo del metodo FEM viene quindi perseguita quando
non c'è alcun altro metodo a disposizione per determinare la soluzione
approssimata di un problema.

Il miglioramento ed il grado di approssimazione della soluzione sarà possibile
incrementando le risorse di calcolo a disposizione, sia in termini software che
hardware.
Nel Metodo degli Elementi Finiti, il dominio della soluzione viene considerato come
costituito da diversi sottodomini interconnessi, chiamati appunto Elementi Finiti.
Come primo esempio si consideri l'immagine successiva.

Nella macchina utensile mostrata nell'immagine precedente, è estremamente
difficile determinare la soluzione esatta in termini di campo delle tensioni e degli
spostamenti nelle condizioni operative (ad es. durante una lavorazione di taglio o
asportazione di truciolo). La struttura viene quindi approssimata come mostrato,
considerata come composta da diversi elementi (mesh).
In ciascuno degli elementi finiti, viene ipotizzata una conveniente soluzione
approssimata e vengono quindi ricavate le condizioni di equilibrio globale della
struttura.
Nella pagine successive vengono proposte altri esempi di mesh, ovvero di
discretizzazione del componente (o insieme di componenti) in più elementi finiti.
La fase di meshing e di pre processing di un problema FEM richiede un'attenta fase
di preparazione, che verrà esaminata ed approfondita negli eventi successivi in via
di programmazione.

2. Background Storico2. Background Storico

Sebbene la terminologia “Metodo degli Elementi Finiti” o Finite Element
Method (abbreviato FEM), sia di recente introduzione, il concetto può essere
tranquillamente retrodatato di diversi secoli.
Qual è stato il primo problema, nella storia, risolto con il Metodo degli
Elementi Finiti?

Il primo problema della storia è stato quello di determinare il perimetro L di
un cerchio di diametro d (Archimede, 250 a. C.). Dal momento che:
L = pd
ciò equivale a valutare numericamente p. Si consideri la seguente
costruzione geometrica nella slide successiva:

Si è iscritto un poligono regolare di n lati, con n = 8 in un cerchio di diametro d =2r.
I lati del poligono costituiscono gli elementi finiti ed i vertici i nodi. Si può estrarre
un elemento a caso, ad esempio quello che collega i nodi 4 e 5 e ciò costituisce
un'istanza del generico elemento finito che connette l'i-esimo nodo al j-esimo
nodo. La lunghezza Lij
del generico elemento sarà pari a Lij
= 2r sin (p/n).
Poichè gli elementi hanno tutti la stessa lunghezza, il valore approssimato del
perimetro del cerchio Ln
sarà pari a Ln
= nLij.
Quindi l'approssimazione pn
del valore di p sarà pari a Ln/d = n sin (p/n).
Il valore prossimo a quello esatto di p (ovvero 3.141592653589793) si ottiene per
n = 256 (3.141513801144301)

L'esempio precedente presenta i seguenti concetti fondamentali del metodo:
1)Il cerchio (oggetto matematico sorgente) sostituito dall'approssimazione
discreta dei poligoni (mesh lineare o 1D);
2)I lati ed i vertici rinominati rispettivamente come elementi e nodi;
3)Il generico elemento può essere definito come il segmento che unisce i nodi i e
j, indipendentemente dal cerchio originale;
4)La lunghezza caratteristica dell'elemento può essere calcolata in maniera
indipendente dagli altri (definizione locale nel metodo);
5)La grandezza da approssimare, ovvero il perimetro del cerchio, viene infine
calcolata ricollegando gli n elementi e sommando le lunghezze (fasi di
assemblaggio e soluzione nel metodo). Tale metodo è valido per qualsiasi altra
curva.
6)Nell'esempio mancano comunque altre entità fondamentali del metodo: il
concetto di gradi di libertà, di coordinate locali/globali, di funzioni di forma, ecc.
7)L'esempio mostra comunque la natura fondamentale del metodo: sostituire un
oggetto matematico con un altro.

Di seguito vengono proposte le tappe storiche principali del Metodo degli
Elementi Finiti:
1851 Per trovare l'equazione differenziale di una
superficie di area minima delimitata da una data
curva chiusa, Schellbach suddivise la superficie in
diversi triangoli ed utilizzò un'espressione alle
differenze finite per trovare la superficie totale
suddivisa. Nell'attuale metodo, un'equazione
differenziale viene risolta sostituendola con un
sistema di equazioni algebriche.
Inizi del 1900 Il comportamento dei telai strutturali, composti
da diverse travi disposte secondo un pattern
regolare, viene approssimato da quello di un
corpo elastico isotropo.
1943 Richard Courant (Lublinitz, 1888 – New Rochelle
NY,1972) presenta un metodo per determinare la
rigidità torsionale di un albero cavo dividendo la
sezione trasversale in diversi triangoli ed
utilizzando una legge di variazione lineare della
funzione della tensione  su ciascun triangolo, in
termini dei valori assunti dalla funzione stessa nei
punti nodali. Tale lavoro viene considerato come
la formulazione originale dell'attuale metodo
degli elementi finiti.

Metà degli anni '50 Gli ingegneri dell'industria aeronautica
sviluppano congiuntamente dei metodi
approssimati per la previsione delle tensioni
indotte nelle ali degli aerei.
1956 Turner (Boeing), Clough, Martin e Topp
presentano un metodo per modellare la
superficie alare utilizzando triangoli a tre nodi,
fornendo un contributo chiave allo sviluppo
del Metodo degli Elementi Finiti.
Argyris e Kelsey presentano diverse
pubblicazioni sulle manipolazione delle
matrici, che contengono molti riferimenti al
metodo per la soluzione di problemi di analisi
strutturale.
1960 Clough conia ufficialmente il termine
“elemento finito”.
Il metodo fu riconosciuto come una forma del
classico metodo di Rayleigh – Ritz, il ben noto
metodo per la determinazione degli autovalori
e degli autovettori.

Una volta definite le basi matematiche del metodo, le successive formulazioni
dei vari elementi finiti per le diverse tipologie di problema e la popolarità del
metodo stesso iniziarono a crescere esponenzialmente.
Lo sviluppo e la diffusione dei computer, inoltre, hanno fornito i mezzi per
l'esecuzione dei volumi di calcolo previsti dal metodo, rendendo lo stesso di
pratico utilizzo.
Inoltre lo sviluppo del calcolo ad alte prestazioni ha contribuito fortemente
all'estensione delle applicazioni del metodo, dando origine a settori specifici
come quello della Fluidodinamica Computazionale (CFD).

3. Applicabilità generale del3. Applicabilità generale del
metodo FEMmetodo FEM

Sebbene il Metodo degli Elementi Finiti venga utilizzato
principalmente nell'ambito della meccanica strutturale, esso viene
applicato con successo per risolvere diversi altri tipi di problemi
ingegneristici, come la trasmissione del calore, la fluidodinamica, i
moti di filtrazione e l'elettromagnetismo.
Il metodo ha inoltre fornito, ai matematici, uno strumento per la
risoluzione di complessi problemi al contorno e per quella di
problemi di altra tipologia.
L'applicabilità generale del Metodo degli Elementi Finiti può essere
apprezzata osservando le forti similitudini che esistono tra diversi
tipi di problemi ingegneristici.
Si consideri il prospetto della slide successiva.

Trasmissione del calore
monodimensionale: caso
di sorgente termica nulla
e sistema in regime
stazionario (equazione di
Laplace).
Moto dei fluidi
monodimensionale:
caso di fluido non
viscoso.
Trave soggetta
a carico assiale:
caso di carico applicato
costante.
Il tipico approccio all'apprendimento dell'utilizzo del metodo consiste
nell'evidenziare come l'utilizzo di un metodo di risoluzione per uno qualsiasi
dei problemi su elencati può essere utilizzato per risolvere gli altri.
E' evidente quindi come la genericità della teoria alla base del Metodo degli
Elementi Finiti consente la sua applicabilità ad un'ampia varietà di problemi
al contorno in ambito ingegneristico.
Si ricorda che un problema al contorno è quel problema in cui la soluzione
viene ricercata nel dominio (o regione di un solido) soggetto a condizioni al
contorno imposte sulla variabili dipendenti o sulle loro derivate.

Si consideri quindi la seguente classificazione dei problemi al contorno sulla
base dell'applicabilità del metodo:
Problemi di equilibrio. Problemi agli autovalori. Problemi di propagazione o
di transitorio.
In tale tipo di problema, viene
ricercata la distribuzione degli
spostamenti o delle tensioni in
regime stazionario (nel caso di
problema di meccanica dei
solidi), la distribuzione delle
temperature o dei flussi
termici (nel caso di problema
di trasmissione del calore), la
distribuzione delle pressioni o
della velocità (nel caso di
fluidi).
In questo tipo di problema, il
tempo non appare in maniera
esplicita. Sono da considerarsi
come un'estensione dei
problemi di equilibrio, nei quali
i valori critici di alcuni
parametri devono essere
determinati, in aggiunta alle
corrispondenti configurazioni
in regime stazionario. Si
determinano le frequenze
naturali o i carichi di punta e le
deformate (nel caso di
solidi o strutturale), la stabilità
dei flussi laminari (nel caso di
fluidi), le caratteristiche di
risonanza (nel caso di problemi
dei circuiti elettrici).
Sono problemi dipendenti dal
tempo. Questi problemi
insorgono, ad esempio, in tutti
quei casi in cui si deve
determinare la risposta di un
corpo soggetto a forze variabili
nel tempo (nel caso di
solidi) e nel caso di
raffreddamenti o
riscaldamenti improvvisi (nel
caso di problema di
trasmissione del calore).

Si ricorda che un numero reale o complesso λ viene detto autovalore della
matrice A se esiste un vettore X non nullo, che chiameremo autovettore, per il
quale si ha che:
A X = λ X.
In generale la soluzione di un problema è legata alla determinazione di
autovalori ed autovettori ogniqualvolta il problema stesso assume una forma
omogenea per la quale l'esistenza di una soluzione non banale viene a
dipendere da un solo parametro. L'individuazione della soluzione in forma
non banale è possibile solo dopo aver stabilito il valore di detto parametro
per il quale si annulla il determinante della matrice:
(A − λ I)
Questo sarà l'autovalore del nostro problema e la soluzione non banale è data
dall'autovettore ad esso associato.
Ad esempio, nei problemi di analisi modale gli autovalori del problema sono i
quadrati delle pulsazioni proprie mentre gli autovettori ricavati in questo
modo definiscono una trasformazione delle coordinate libere del problema, gli
spostamenti fisici (in coordinate generalizzate), ovvero le ampiezze dei modi,
che sono indipendenti tra loro.

4. Applicazioni ingegneristiche4. Applicazioni ingegneristiche
del metodo FEMdel metodo FEM

Considerando la classificazione dei problemi al contorno sulla base
dell'applicabilità del Metodo degli Elementi Finiti, vista in precedenza, si
vanno ora ad esaminare le applicazioni specifiche per ciascuna delle tre
categorie considerate.

Area di studio Problemi di equilibrio Problemi agli autovalori Problemi di transitorio
Strutture per l'ingegneria civile. Analisi statica di travature, telai,
lastre piane, tetti a guscio, muri di
taglio, ponti e strutture in
cemento armato precompresso.
Frequenze naturali e modi di
vibrazione della struttura; stabilità
delle strutture.
Propagazione ondulatoria delle
tensione; risposta delle strutture
ai carichi aperiodici.
Strutture dei velivoli. Analisi statica delle ali degli aerei,
delle fusoliere , delle derive, dei
razzi, dei veicoli spaziali e delle
strutture missilistiche.
Frequenze naturali, vibrazioni e
stabilità del velivolo, del razzo, del
veicolo spaziale e delle strutture
missilistiche.
Risposta delle strutture dei velivoli
a carichi random; risposta dinamica
del velivolo e dei veicoli spaziali ai
carichi aperiodici.
Trasmissione del calore. Distribuzione delle temperature
nei solidi e nei fluidi in regime
stazionario.
Flusso termico transitorio negli
ugelli dei razzi, nei motori a
combustione interna, nelle palette
delle turbine, nelle derive e nelle
strutture edilizie.
Geomeccanica. Analisi degli scavi, dei muri di
sostegno, delle cavità sotterranee,
degli strati rocciosi e dei problemi
di interazione suolo – struttura;
analisi tensionale dei terreni, delle
dighe, dei terrapieni e delle
fondazioni dei macchinari.
Frequenze naturali e modi
vibrazionali dei bacini artificiali e
problemi di interazione suolo –
struttura.
Problemi di interazione suolo –
struttura dipendenti dal tempo;
infiltrazioni nei suoli e nelle rocce;
propagazione delle onde di
tensione nei suoli e nelle rocce.
Ingegneria idraulica; idrodinamica. Analisi dei flussi potenziali, flussi a
superficie libera, flusso allo strato
limite, flusso viscoso, problemi
aerodinamici transonici; analisi di
strutture idrauliche e dighe.
Frequenze e modi di vibrazione
naturali di bacini poco profondi,
laghi e porti; traboccamento di
liquidi in contenitori flessibili e
rigidi.
Analisi di flussi di fluido non
stazionari e problemi di
propagazione di onde; infiltrazioni
transitorie in falde acquifere e
mezzi porosi; dinamica dei gas
rarefatti; flussi magneto-
idrodinamici.

Area di studio Problemi di equilibrio Problemi agli autovalori Problemi di transitorio
Ingegneria nucleare. Analisi dei recipienti in pressione
e delle strutture di contenimento
nucleari; distribuzione delle
temperature in regime stazionario
nei componenti dei reattori.
Frequenze naturali e stabilità
delle strutture di contenimento;
distribuzione del flusso dei
neutroni.
Risposta delle strutture di
contenimento dei reattori ai
carichi dinamici; distribuzione
delle temperature in regime non
stazionario nei componenti del
reattore; analisi termica e
viscoelastica (creep) delle
strutture del reattore.
Ingegneria biomedica Analisi tensionale dei bulbi
oculari, delle ossa e dei denti;
capacità di resistenza ai carichi di
impianti e sistemi protesici;
meccanica delle valvole cardiache.
Analisi di impatto sul cranio;
dinamica delle strutture
anatomiche.
Progettazione meccanica Problemi di concentrazione delle
tensioni; analisi tensionale dei
recipienti in pressione, dei pistoni,
dei materiali compositi, dei
collegamenti e degli ingranaggi.
Frequenze naturali e stabilità dei
collegamenti, degli ingranaggi e
delle macchine utensili.
Problemi di meccanica della
frattura nel caso di carichi
dinamici.
Macchine elettriche ed
elettromagnetismo
Analisi in regime stazionario di
macchine sincrone e ad induzione,
correnti parassite, perdite di
potenza nel nucleo delle
macchine elettriche per isteresi
magnetica, magnetostatica.
Comportamento in regime
transitorio di dispositivi
elettromeccanici come motori ed
attuatori, magnetodinamica.

5. Codici FEM commerciali5. Codici FEM commerciali
ed Open Source.ed Open Source.

Viene quindi proposta una rassegna essenziale dei codici commerciali ed
open source per l'analisi FEM.
In particolare, per i codici commerciali, si fa riferimento esclusivamente
alle versioni originali degli stessi, trascurando di proposito il riferimento
a sotto-versioni ed opzioni commerciali.
Per quanto riguarda i codici open source, si omettono di proposito tutte
quelle soluzioni consistenti in librerie di sviluppo per la programmazione
di nuovi codici FEM, che esulano dal contesto in oggetto.

Principali codici FEM
commerciali
Data inizio sviluppo Autori
Abaqus 1978 Dr. David Hibbitt,
Dr. Bengt Karlsson
and Dr. Paul Sorensen
ADINA 1974 Dr. Klaus-Jürgen Bathe
ANSYS 1970 Dr. John A. Swanson
NASTRAN 1964 NASA
Principali codici FEM
open source
Data inizio sviluppo Autori
CalculiX 1998 Guido Dhondt,
Klaus Wittig
Code_ASter 2001 EDF
Elmer 1995 Tekes (agenzia di sviluppo
finlandese per la
tecnologia e l'innovazione)
e CSC – IT Center for
Science
OpenFOAM 2004 OpenCFD Ltd

6. Passi fondamentali nella6. Passi fondamentali nella
risoluzione di un problemarisoluzione di un problema
di analisi FEM.di analisi FEM.

Finora abbiamo visto come, nel Metodo degli Elementi Finiti, o il
solido, o il liquido, o il gas viene rappresentato come un assemblato
di porzioni di solido, chiamate elementi finiti.
Questi elementi vengono considerati interconnessi in punti specifici,
chiamati nodi o punti nodali.
I nodi di solito giacciono sui contorni dell'elemento, dove gli elementi
adiacenti vengono considerati connessi. Dal momento che la
variazione reale delle variabili di campo (ad es. spostamento,
tensione, temperatura, pressione o velocità) all'interno del continuo
non è nota, si ipotizza che la variazione delle variabili di campo
all'interno di un elemento finito può essere approssimato da una
funzione semplice.
Queste funzioni di approssimazione (chiamate anche modelli di
interpolazione) sono definite in termini dei valori che le variabili di
campo assumono nei nodi.

Quindi, risolvendo le equazioni agli elementi finiti, che sono generalmente
nella forma di equazioni matriciali, verranno calcolati i valori della variabile
di campo.
Una volta noti questi valori, le funzioni di approssimazione definiscono la
variabile di campo per tutto l'assemblaggio degli elementi.
La risoluzione di un generico problema di meccanica dei continui, tramite il
Metodo degli Elementi Finiti, segue sempre un preciso procedimento per
step successivi.
Tale procedimento viene di seguito riportato.

Step 1 Suddivisione della struttura in elementi
finiti.
La struttura (o la parte di essa oggetto
dell'analisi) viene suddivisa in elementi
finiti. La modellazione della struttura
viene quindi realizzata una volta scelti
numero, tipo dimensione e disposizione
degli elementi finiti.
Step 2 Scegliere un modello di spostamenti o di
interpolazione appropriato.
Dal momento che la soluzione degli
spostamenti di una struttura complessa,
soggetta ad un determinato carico, non
può essere determinata con esattezza, si
ipotizza una soluzione adattabile
all'interno di un elemento per
approssimare la soluzione incognita. La
soluzione ipotizzata deve essere semplice
dal punto di vista computazionale, ma
deve soddisfare alcuni requisiti di
convergenza. Generalmente, la soluzione
o il modello di interpolazione viene presa
in forma polinomiale.
Step 3 Ricavare le matrici di rigidezza degli
elementi ed i vettori dei carichi.
Dato il modello degli spostamenti
ipotizzato, queste grandezze vengono
ricavate utilizzando o un apposito
principio variazionale, o un approccio ai
residui pesati (come il metodo di Galerkin)
o delle condizioni di equilibrio.
Step 4 Assemblare le equazioni degli elementi per
ottenere le equazioni complessive di
equilibrio.
Step 5 Risolvere rispetto agli spostamenti nodali
incogniti.
Step 6 Calcolare le deformazioni e le tensioni per
ciascun elemento.
In quest'ultimo step si può fare uso delle
equazioni della meccanica dei solidi o
della meccanica strutturale.

Sulla base di quanto finora esposto, è evidente come l'introduzione del Metodo
degli elementi Finiti nella fase di ricerca e sviluppo di nuovi prodotti (avvenuta
su una più ampia scala agli inizi degli anni '90), sia stata fondamentale per la
sostituzione dei prototipi fisici da sottoporre a testing con i molto meno
onerosi modelli matematici, detti anche prototipi virtuali.
La fase di testing così rivista, consistente nella simulazione numerica del nuovo
componente nelle condizioni operative critiche, costituisce ora uno step
fondamentale, non solo nella fase di R&D ma anche nella preparazione di tutti
gli elaborati tecnici per le procedure di approvazione, previsti dalle direttive di
prodotto CE in vigore.

“L’evidenza sperimentale non può stabilire l’esistenza matematica, né tanto
meno la ricerca matematica dell’esistenza può essere liquidata dal fisico come
rigore privo di utilità. Solamente una prova di esistenza matematica può
garantire che la descrizione matematica di un fenomeno fisico abbia
significato.“
Richard Courant (Lublinitz, 1888 – New Rochelle NY,1972)

Grazie per l'attenzione!

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