Report

1. 2016/07/12 [改訂] (2016/06/28 作成)
数学特論 I レポート課題
1. レポート作成にあたって
各設問 (合計 10 問) に対して回答すること。電⼦ファイル (WORD や PDF) で作成
してもよい。⾃⼒で完成させることを原則とするが、書籍やインターネットとい
った情報源、受講者複数⼈で相談しながらレポートを完成させてもよい。ただ
し、剽窃 (ひょうせつ) ⾏為に厳密に対応するため、以下の注意点に従ってレポ
ートを作成すること。設問 06〜設問 10 では、他受講者を参考にした内容よりも
オリジナリティーの⾼いものを⾼得点とする。
[情報源の明記 (公共)] インターネットや参考書など、参考にした情報元を明記
すること。参考書は書籍名、著者、出版社を最低限記載する。インターネットの
場合は、URL を記載する。情報源を明記せず引⽤が判明した場合、該当設問の課
題点は０点とする。
[情報源の明記 (受講者内)] 数学の証明や計算について他受講者のレポートを参考
にした場合、参考元の名前と学籍番号を記載すること。参考元の記載がなく、コ
ピーと思われる同⼀の内容が⾒つかった場合、誰が提供したかコピーしたかに関
わらず、関わった全員の該当設問の課題点は０点とする。提供者は、むやみにレ
ポートを配布しないようにすること。
[コピーの禁⽌] 設問の提供者を明記している場合でも、提供者の内容をそのまま
コピーしているとみなされる場合、該当設問の課題点は０点とする。
[複数⼈作業の場合] 複数⼈で作業した場合、設問毎に関わった全員の名前と学籍
番号を記載すること。共同作業者の記載がないと、同⼀内容をコピーしたものと
みなし、全員の該当設問の課題点は０点とする。

2. 2
2. レポート提出⽅法
レポートは、WORD や TeX による⼊⼒、もしくは⼿書きのいずれでもよい。設
問毎に回答を準備し、単独で完成させなかった場合は、上記の注意点に従って関
連する受講者の⽒名と学籍番号を記⼊する。
レポート提出期限 7 ⽉ 26 ⽇ (⽕) (締切厳守)
締切後のレポート提出は原則受理しないのでご注意下さい。
質問については、オフィスアワーや授業前後に随時受けます。私に対する質問は
ヒントを与えるに留めます。設問に明記する必要はありません。
3. 設問
[設問 01] ⼆項分布、幾何分布、超幾何分布、負の⼆項分布、Poisson 分布の定
義を記載せよ。定義に⽤いたパラメーターをつかって、それぞれの平均、分散を
求めよ。平均、分散の結果のみならず、途中計算も書ける場合は記載することが
望ましい。[該当する内容の授業] 確率論の基礎 (離散)
[設問 02] 正規分布、指数分布、Gamma 分布、⼀様分布の定義を記載せよ。定義
に⽤いたパラメーターをつかって、それぞれの平均、分散を求めよ。平均、分散
の結果のみならず、途中計算も書ける場合は記載することが望ましい。[該当す
る内容の授業] 確率論の基礎 (連続)
[設問 03] 初期値 x(0)=1 に対する以下の微分⽅程式の解を求めよ。[該当する内容
の授業] Poisson 過程
𝑑
𝑑𝑡
x t = −𝜆𝑥 𝑡 , λ > 0, 0 ≤ 𝑡 < ∞
[設問 04] 初期値 x0(0)=1, x1(0)=0 に対する以下の２つの微分⽅程式系の解を求め
よ。[該当する内容の授業] Poisson 過程

3. 3
𝑑
𝑑𝑡
𝑥1 t = −𝜆𝑥1 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 < ∞
𝑑
𝑑𝑡
𝑥2 t = 𝜆𝑥1 𝑡 − 𝜆𝑥2 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 < ∞
ヒント: 線形微分⽅程式に対する定数変化法の公式を⽤いて、x1 に関する微分⽅
程式の解を求めることができる。
[設問 05] 初期値 x0(0)=1, xk(0)=0 に対する以下の微分⽅程式の解を求めよ。[該当
する内容の授業] Poisson 過程
𝑑
𝑑𝑡
𝑥3 t = 𝜆𝑥342 𝑡 − 𝜆𝑥3 𝑡 , k = 1,2, . . , N, 0 ≤ 𝑡 < ∞
ヒント: k=3 に対して設問 03、04 の結果を⽤いることで解を得よ。続けて、得ら
れた解を⽤いて k=4 の場合について解を求めよ。解の⼀般形が予想できた段階
で、n=k における解の具体型を仮定し、n=k+1 の場合に予想が成り⽴つことを、
数学的帰納法を⽤いて証明せよ。
[設問 06] ⾮負離散の確率変数 ξ の確率⺟関数 𝑓< s ( s ≤ 1) は、確率 𝑝3 = 𝑃(𝜉 =
𝑘) (k=0,1,2,…) に対して
𝑓D 𝑠 = 𝑝3 𝑠3
F
3G1
で定義される。このとき、以下の性質を証明せよ。[該当する内容の授業] 分枝過
程
[06-1] 𝑝1 = 𝑓 0 , 𝑝3 =
H I 1
3!
, 𝑘 = 1,2, …
[06-2] 平均 𝐸 𝜉 = 𝑓(2)
(1)
ヒント: 確率⺟関数の⼀階微分、n 階微分を⾏って無限級数を整理せよ。

4. 4
[設問 07] 実世界において、Poisson 過程によって定式化できそうな現象を挙げ
よ。また、その根拠について述べよ。なお、根拠については、Poisson 過程が適
⽤されているデータや記述を書籍、学術論⽂、インターネット等を通じて探索し
て情報源を引⽤しない限り、客観性のある根拠として認めない。[該当する内容
の授業] Poisson 過程
[設問 08] 実世界において、分枝過程によって定式化できそうな現象を挙げよ。
また、その根拠について述べよ。なお、根拠については、上記と同様、分枝過程
が適⽤されているデータや記述を書籍、学術論⽂、インターネット等を通じて探
索して情報源を引⽤しない限り、客観性のある根拠として認めない。[該当する
内容の授業] 分枝過程
[設問 09] 実世界において、確率微分⽅程式によって定式化できそうな現象を挙
げよ。また、その根拠について述べよ。なお、根拠については、上記と同様、分
枝過程が適⽤されているデータや記述を書籍、学術論⽂、インターネット等を通
じて探索して情報源を引⽤しない限り、客観性のある根拠として認めない。[該
当する内容の授業] ランダムウォーク、確率微分⽅程式
[設問 10] 実世界において、Poisson 過程、分枝過程、確率微分⽅程式“以外”で定
式化できそうな現象を挙げよ。また、その根拠について述べよ。まず、現象を簡
単に説明した後、現象の情報源 (データや記述を書籍、学術論⽂、インターネッ
ト等) を引⽤すること。最後に、選定した現象が何故、指定した確率過程で表現
できそうか根拠を述べよ。