Poisson 過程

1. Poisson 過程
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http://www.slideshare.net/ShinjiNakaoka
授業レクチャーノート

2. 復復習：Bernoulli
分布
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ベルヌーイ (Bernoulli) 試⾏行行
⾚赤⽟玉 n1 個、⿊黒⽟玉 n-‐‑‒n1 個⼊入った壺から、復復元抽出 (とったら元に戻
す) と、常に⾚赤⽟玉が出る確率率率 p=n1/n と⼀一定になる。⾚赤⽟玉＝成功、
⿊黒⽟玉＝失敗とする。ベルヌーイ試⾏行行を X=1 (成功)、X=0 (失敗)
をとる確率率率変数と考えれば、ベルヌーイ分布 (確率率率関数) は
左図：⾚赤⽟玉 p =0.2 とした場合に 1 がでる
Bernoulli
試⾏行行を 10000
万回シミュレーション
し、ヒストグラムを表⽰示。0
が約 8000
回、
1
が約 2000
回出現する。
参考：確率率率モデル⼊入⾨門 尾崎俊治著 朝倉書店 P.23-‐‑‒27

3. 復復習：⼆二項分布
3参考：確率率率モデル⼊入⾨門 尾崎俊治著 朝倉書店 P.23-‐‑‒27
⼆二項分布 (binomial)
確率率率 p で成功する Bernoulli 試⾏行行を n 回⾏行行ったときに k 回成功する
確率率率は、⼆二項分布に従うといわれる。その確率率率関数は
左図：⾚赤⽟玉 p =0.2 とした場合に 1 がでる
Bernoulli
試⾏行行を 10000
万回シミュレーション
し、成功した回数のヒストグラムを表⽰示。
確率率率分布関数は

4. 復復習： Poisson
分布
4
⼆二項分布の極限として導出
Poisson 分布
Poisson 分布の確率率率関数は
平均・分散：
(平均・分散が等しくパラメーターに⼀一致)
参考：確率率率モデル⼊入⾨門 尾崎俊治著 朝倉書店 P.23-‐‑‒27

5. 確率率率過程とは？
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コインを投げて表が出る回数 N(t) を数える試⾏行行
表、表、裏裏、表、裏裏、裏裏、表、表、裏裏、表、 表・・・
時刻 t: １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１
N(t): １ ２ ２ ３ ３ ３ ４ ５ ５ ６ ７
上記の例例は⼆二項分布にしたがう確率率率変数の過程：⼆二項過程
以後、⼆二項分布、Poisson 分布にしたがう過程を考える。
その他の例例
交通事故の発⽣生件数、ある動物の個体数、１時間あたりの
ATM 利利⽤用者数、１年年あたりの地震発⽣生数、感染症感染者数、
株価指数、電球の故障 etc
参考：確率率率モデル⼊入⾨門 尾崎俊治著 朝倉書店 P.47-‐‑‒50

6. ⼀一般的な性質
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定常独⽴立立増分ではない確率率率過程 (Levy
flight)
は後の授業で扱う。
独⽴立立増分性 (independent
increments)
任意の t1<t2<…<tn に対して、確率率率変数
が独⽴立立ならば、この過程は独⽴立立増分をもつという。それぞれは増分と
呼ばれる。
定常増分 (stationary
increments)
任意の t1<t2<…<tn および h>0
に対して、確率率率変数の2組
かつ
の同時分布が等しいとき、確率率率過程は定常増分をもつという。
参考：確率率率モデル⼊入⾨門 尾崎俊治著 朝倉書店 P.47-‐‑‒50

7. Markov
過程
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Markov
過程については次の授業、または MCMC
(Markov
Chain
Monte
Carlo)
で
再度度登場するので、そこで詳しく解説
任意の t1<t2<…<tn に対して、条件付き確率率率
Markov
過程 (マルコフ process)
ならば、確率率率過程は⼀一般に Markov
過程と呼ばれる。
Markov
過程の特徴 (無記憶性)
過去の履履歴に対して独⽴立立で、将来の確率率率法則 X(t)
は現在の状態
X(t)=xn のみに依存する。特に時間 t が離離散である場合は Markov
連鎖
(chain)
と呼ばれる。
参考：確率率率モデル⼊入⾨門 尾崎俊治著 朝倉書店 P.47-‐‑‒50

8. ⼆二項過程
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⼆二項分布から Poisson
分布を導出したように、⼆二項過程から Poisson
過程を導出できる。したがって、まずは⼆二項過程を定義する。
例例： [前掲] コインを投げて表が出る回数 N(n) を数える試⾏行行
表、表、裏裏、表、裏裏、裏裏、表、表、裏裏、表、表・・・
時刻 n: １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１
N(n): １ ２ ２ ３ ３ ３ ４ ５ ５ ６ ７
離離散変数・離離散時間の確率率率過程
成功確率率率 p
(0<p<1)
の Bernoulli
試⾏行行列列を考える。時刻 n
における成功
の事象の回数 N(n)
(確率率率変数)
は、パラメーター p
の⼆二項過程と呼ぶ。
参考：確率率率モデル⼊入⾨門 尾崎俊治著 朝倉書店 P.47-‐‑‒50

9. ⼆二項過程の独⽴立立増分性
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Bernoulli
試⾏行行は独⽴立立かつ成功確率率率 p が⼀一定であるため、以下の性質
が成り⽴立立つ。
任意の t1<t2<…<tn に対して、確率率率変数の増分
が独⽴立立、かつ任意の区間 [n1,n1+n]
で成功事象が起こる確率率率は区間の
⻑⾧長さのみに依存し、n1 とは独⽴立立である 。したがって、⼆二項過程は
定常独⽴立立増分性をもつ。
[参考]
その他の分布との関連
n=1
から数えて初めて成功するまでの時間は (1-­‐p)n-­‐1p
(幾何分布)
区間 [0,n]
で k
回成功する確率率率は (⼆二項分布)
参考：確率率率モデル⼊入⾨門 尾崎俊治著 朝倉書店 P.47-‐‑‒50

10. ⼆二項過程の極限
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単位時間 Δt とし、時刻 t
を nΔt=t
とおく。ある連続時間区間 [0,t]
を n
等分した⼆二項過程において、確率率率 p を
とする。ここで λ は単位時間あたりの成功が⽣生じる割合とする。この
過程は定常独⽴立立増分をもつことに注意すれば、初めて成功するまでの
時間の極限は
となり、指数分布の確率率率密度度分布になる。⼀一⽅方、区間 [0,t]
で k 回成功
する確率率率の極限は、パラメーター λt の Poisson
分布に従う。
参考：確率率率モデル⼊入⾨門 尾崎俊治著 朝倉書店 P.47-‐‑‒50

11. Poisson
過程：準備
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定義 [無限⼩小]
任意の関数 f(h)
が以下の性質を満たすとき、h に関して無限⼩小である
という。
例例：微⼩小時間区間 (h>0)
に対して、以下が成⽴立立する。
左辺はそれぞれ指数分布の分布関数およびその残存確率率率に⼀一致
参考：確率率率モデル⼊入⾨門 尾崎俊治著 朝倉書店 P.50-‐‑‒55

12. Poisson
過程：定義
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定義 [Poisson
過程]
計数 (counting)
過程 N(t)
が次の３つの条件
(i)
(ii)
(iii)
を満たすとき、計数過程はパラメーター λ の Poisson
過程と呼ばれる。
[参考]
指数分布
参考：確率率率モデル⼊入⾨門 尾崎俊治著 朝倉書店 P.50-‐‑‒55

13. Poisson
過程：定義
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Poisson
分布は定常独⽴立立増分をもつ確率率率過程 (なかでも計数過程)
であ
るので、時間区間 [0,t]
において k
個の事象が⽣生じる確率率率を
によって定義する。この定義を⽤用いると、時間区間 [s,s+t]
において k
個の事象が⽣生じる確率率率は
となるため、時刻 s
と t
における確率率率は独⽴立立である。また、
が成⽴立立する (k に関する確率率率関数となっている)。
参考：確率率率モデル⼊入⾨門 尾崎俊治著 朝倉書店 P.50-‐‑‒55

14. Poisson
過程：定義
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Poisson
過程の定義で挙げた条件を適⽤用すると
Pk(t+h)
は時間区間 (0,t],
(t,t+h]
で独⽴立立となるから Pk(t+h)
に関して
が成⽴立立する。次⾴頁で、各 k
について、Pk(t)
に関する微分⽅方程式を
導出する。
参考：確率率率モデル⼊入⾨門 尾崎俊治著 朝倉書店 P.50-‐‑‒55

15. Poisson
過程：定義
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確率率率 Pk(t)
に関する微分⽅方程式は以下で与えられる：
実際、初期条件
に対する解は
であり、パラメーター λt の Poisson
分布に⼀一致することを証明できる。
参考：確率率率モデル⼊入⾨門 尾崎俊治著 朝倉書店 P.50-‐‑‒55

16. 待ち時間の分布
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[復復習] 指数分布(exponential)
確率率率変数 X の分布関数が
で表されるとき、X は指数分布に従うという。
確率率率変数 X の確率率率密度度関数は
左図は ƛ=1 の確率率率密度度関数
例例) ATM 待ち時間、地震のマグニチュード
参考：確率率率モデル⼊入⾨門 尾崎俊治著 朝倉書店 P.28-‐‑‒33

17. 待ち時間の分布
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[復復習] ガンマ分布(Gamma)
確率率率変数 X の確率率率密度度分布関数が
で表されるとき、X は Gamma 分布に従うという。
ここで Gamma 関数は
左図は ƛ=1, k=3 の確率率率密度度関数
例例) mRNA からタンパク質の⽣生成数
参考：確率率率モデル⼊入⾨門 尾崎俊治著 朝倉書店 P.28-‐‑‒33

18. 待ち時間の分布
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確率率率変数 X1 ：初めて事象が起こるまでの時間 (待ち時間、到達時間)
⼀一般の XN ：(N-­‐1)
番⽬目から N 番⽬目の事象が起こるまでの時間
時刻 0 から N 番⽬目の事象が起こるまでの時間 (和の分布):
和の分布が満たす確率率率分布について考察する。
結論論をいうと、和の分布は Gamma
分布
にしたがう。以下、その証明を⾏行行う。
参考：確率率率モデル⼊入⾨門 尾崎俊治著 朝倉書店 P.56-‐‑‒58

19. 待ち時間の分布
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[証明] Sn<t ということは、時間 t
までにこの事象が n 回起こっている
ということであるから、N(t)>n
と同値である。
すなわち
が成⽴立立する。もしくは
となる。
参考：確率率率モデル⼊入⾨門 尾崎俊治著 朝倉書店 P.56-‐‑‒58

20. ⾮非⻫斉次 Poisson
過程
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パラメーター λ が時間依存する Poisson
過程を考える。
計数 (counting)
過程 N(t)
が次の３つの条件
(i)
(iii)
(Vi)
を満たすとき、計数過程はパラメーター λ(t)
の⾮非⻫斉次 Poisson
過程と
呼ばれる。
(ii) 過程は独⽴立立増分をもつ。
確率率率シミュレーションの講義で Gillespie
アルゴリズムについて学ぶが、その際に⻫斉次
Poisson
仮定が出てくる。
参考：確率率率モデル⼊入⾨門 尾崎俊治著 朝倉書店 P.56-‐‑‒58