Extinction probability and renewal process

1. 分枝過程
1
(Galton-Watson 過程)
授業振替
(休講⽇)７⽉１９⽇(⽕) ２限 (11:10-12:40)
(振替⽇)７⽉１２⽇(⽕)５限 (16:40-18:10)
http://www.slideshare.net/ShinjiNakaoka
授業レクチャーノート
授業１つ前に事前公開予定、授業後、追加スライド挿⼊、誤植など
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2. 絶滅確率
2参考：確率過程と数理⽣態学 藤曲哲郎著 P. 54-59
絶滅確率
n 世代では絶滅していない確率
ここで であるから
したがって、n 世代までに絶滅している確率 qn は
であるから、連続性より

3. 絶滅確率
3参考：確率過程と数理⽣態学 藤曲哲郎著 P. 54-59
X0=1 の場合、⺟関数の性質より
が成⽴する。したがって、s=0 とおくことで
f(s) は 0≤s≤1 で連続であるから、n→∞ のとき
p0+p1<1 のとき f(s) は 0≤s≤1 で下にに凸であるから、絶滅確率 q は、⽅
程式 s=f(s) (0≤s≤1) での最⼩解である。s=1 も解の⼀つであるが、最⼩解
になるとは限らない。１個体から⽣まれて成⻑する平均交代数 m は m=fʼ(1)
であるから、平均は関数 f(s) のグラフの s=1 における接線の傾きを表す。
定理 (絶滅確率)
絶滅確率 q は、⽅程式 s=f(s) (0≤s≤1) での最⼩解であり、
q<1 であるための必要⼗分条件は、m>1 である。
m=1 のとき第 n 世代の平均交代数 Mn は定数であるが、
q=1 であることに注意。

4. 絶滅確率：具体例
4参考：確率過程と数理⽣態学 藤曲哲郎著 P. 54-59
⼦供数分布が幾何分布である場合、以下で⽰すように⺟関数の具体型が求まる。
{pk: k=0,1,2,…}: 離散確率分布とする。幾何分布 (shift) は
ここで、0<a=1-b<1 でなければならない。確率⺟関数は
確率⺟関数は、s の⼀次分数式となる。⼀次分数式の合成関数はまた⼀次分数式
になるので、a≠b のとき、n=1,2,… に対して

5. 絶滅確率：具体例
5参考：確率過程と数理⽣態学 藤曲哲郎著 P. 54-59
(続き) したがって絶滅確率 q は
の n→∞ の極限として得られ、
特に a=b=1/2 のときは m=1 であり、確率⺟関数は
n が⼤きいとき

6. 絶滅確率：定理
6参考：確率過程と数理⽣態学 藤曲哲郎著 P. 54-59
定理 (幾何分布の絶滅確率)
m<1 のとき
(続き) したがって、n が⼤きいとき
と仮定する。このとき
m<1 のとき、数世代後にはほとんど絶滅していることになる。また
であるから、m<1 ならば E(T)<∞ であるが、m=1 のとき E(T)=∞ である。

7. 無記憶性 (復習)
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Poisson 過程 {N(t), t ≥0} (定常独⽴増分性をもつ)
時刻 t に依存せずに決まる (無記憶性)。
各事象の間隔：独⽴で同⼀の指数分布に従う。パラメーターを 𝝀 とすると、
確率分布関数は
時刻 t で事象が起きない条件下で t+x でも事象の起こらない条件付き確率は
参考：確率過程と数理⽣態学 藤曲哲郎著 P. 153-162

8. 再⽣過程の導出
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再⽣ (renewal) 過程の例：電球の取り替え (renewal) など
定義 (再⽣過程)
計数過程 {N(t), t ≥0} において、各事象の到着間隔 {X1,X2,…} は独⽴で同
⼀の分布 F(t) (t≥0) をもつ確率変数列ならば、この過程を再⽣過程とよぶ。
以下、再⽣過程 X(t) の分布、⺟関数がしたがう⽅程式、ならびに平均が満
たす積分⽅程式 (再⽣⽅程式) の導出を⾏う。なお、⼀般性を失うことなく、
初期条件 X(0)=1 と仮定してよい。
: 再⽣するまでの時間が t を超える確率 (復習 Stieltjes 積分)
準備
: 死亡するまでの時間が t を超える確率 (出⽣死亡が⽣じていない確率)
なお、初期条件 X(0)=1 なので、k=1 しかありえない。
参考：確率過程と数理⽣態学 藤曲哲郎著 P. 153-162

9. 再⽣過程の導出
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時刻 𝜏 で i ⼈だった⼈⼝が時刻 t で k ⼈である確率を考えると、出⽣・死亡のあらゆる
確率を考慮すれば、無限級数と条件付き確率でかける。時刻 𝜏=L の寿命を持つ個体は、
死ぬと同時に pi の確率で i 個体を⽣む: X(t)=k は、結局は 𝜏 前に⽣まれた個体数を含め
て k ⼈になったと解釈する。
時刻 t までに死亡が起こっている確率
第2項は
確率 pk, pk(t) の確率⺟関数をそれぞれ h(s), F(s,t) とおく (-1≤s≤1)
white確率 pk (k=0,1,2,…) は
参考：確率過程と数理⽣態学 藤曲哲郎著 P. 153-162

10. 再⽣過程の導出
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確率 pk(t) に sk をかけて k=0 から ∞ までの和を取ると
ここで を⽤いた。
したがって X(t) は次の⾮線形積分⽅程式
の解である。
参考：確率過程と数理⽣態学 藤曲哲郎著 P. 153-162

11. 純出⽣過程との対応
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のとき、純出⽣過程に⼀致する。
Kolmogorov の後ろ向き⽅程式
において、
の係数 ak は
である。したがって u の具体型は
参考：確率過程と数理⽣態学 藤曲哲郎著 P. 153-162

12. 純出⽣過程との対応
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このとき、F(s,t) の⽅程式は
より、
となる。両辺を t で偏微分すると
より
参考：確率過程と数理⽣態学 藤曲哲郎著 P. 153-162

13. 純出⽣過程との対応
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ここで より
前式の両辺を F(s,t)2 で割ると
変数 1/F(s,t) に関する微分⽅程式を解くと、解は
ここで t=0 のとき pk(0)= 𝛿k1 であるから、F(s,0)=s となり C(s)=1/s-1 となる。
したがって
これより 純出⽣過程に⼀致
参考：確率過程と数理⽣態学 藤曲哲郎著 P. 153-162

14. 再⽣⽅程式
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⼀般の G(t) に対して上記の積分⽅程式は解けないが、X(t) の平均 M(t):
については、以下で⽰すような線型積分⽅程式となる。
ここで、s=1 とすると
なお hʼ(1)=m であるから、再⽣⽅程式
を得る。
参考：確率過程と数理⽣態学 藤曲哲郎著 P. 153-162

15. Memo
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