Random Walk and Stochastic differential equations

1. ランダムウォーク
1
授業振替
(休講⽇)７⽉１９⽇(⽕) ２限 (11:10-12:40)
(振替⽇)７⽉１２⽇(⽕)５限 (16:40-18:10)
http://www.slideshare.net/ShinjiNakaoka
授業レクチャーノート
授業１つ前に事前公開予定、授業後、追加スライド挿⼊、誤植など
訂正分を再アップロード

2. ギャンブルの勝敗
2
不利なギャンブルを繰り返しても最後に勝つことはできるか？
賭⾦１万円：勝てば＋１万円、負ければー１万円
勝つ確率 p, 負ける確率 q=1-p、独⽴に複数回繰り返す。
⼀回⽬の結果 X1 万円、⼆回⽬の結果 X2 万円,…, n 回⽬で Xn 万円を得ると
する。したがって、n 回終えた時点での収⼊は (負もあり得る)
⼀回⽬の結果 X1 万円、⼆回⽬の結果 X2 万円,…, n 回⽬で Xn 万円を得ると
する。したがって、n 回終えた時点での収⼊は (負もあり得る)
第 𝛔 回⽬で敗北し、𝛕 回⽬で勝利するとする:
および
所持⾦をすべて失った状態 所持⾦をすべて奪った状態
参考：確率過程と数理⽣態学 藤曲哲郎著 P. 32-38

3. ギャンブルの勝敗
3
(続き) 勝利する確率 𝝰 は
勝利する確率 𝝰 を求めるため、 に対して
かつ
とおく。また で h(i) を定義すれば 𝝰 =h(0)
-a<i<b に対して、h(i) は
参考：確率過程と数理⽣態学 藤曲哲郎著 P. 32-38

4. ギャンブルの勝敗
4
(続き) ここで h(i) の境界条件は、定め⽅より h(-a)=0, h(b)=1 である。
したがって、漸化式
が得られるため、これを解くと
したがって、-a<i<b に対して
参考：確率過程と数理⽣態学 藤曲哲郎著 P. 32-38

5. ギャンブルの勝敗
5
(続き) p≠q(=1-p) ならば
ここで、i=b とすると
となるから h(-a+1) が定まり、
もし p≠1/2 ならば
もし p≠1/2 のとき、 𝝰=0.0000265… となり、ゼロでないが限りなく⼩さい
参考：確率過程と数理⽣態学 藤曲哲郎著 P. 32-38

6. ギャンブルの勝敗
6
(続き) p=q(=1/2) ならば
となり、勝利する確率 𝝰 は
もし a=b ならば予想通り 𝝰=1/2
結果は⼀般に a,b に依存するが、無制限に⼤きくて無数のゲームを⾏うことが
できる状況を考える。すなわち
このとき、Sn
(i) は最⼤どれくらいになるか、その分布を求める：
参考：確率過程と数理⽣態学 藤曲哲郎著 P. 32-38

7. ギャンブルの勝敗
7
(続き) Sn
(i) は最⼤どれくらいになるか、その分布を求める：
任意に固定した b≥i について
ここで 𝞼i≥i+a→∞ であることを⽤いた。
参考：確率過程と数理⽣態学 藤曲哲郎著 P. 32-38

8. ギャンブルの勝敗
8
(続き) p<1-p (p<1/2) のとき、b=i,i+1,… に対して
したがって
p=9/19 のとき E(M0)=9 となる。
であるから、Mi-i+1 は、パラメーター 1-p/(1-p) の幾何分布にしたがう。
このとき、Mi の期待値は
参考：確率過程と数理⽣態学 藤曲哲郎著 P. 32-38

9. 条件付き期待値
9参考：確率過程の基礎 R. Durrett 著 シュプリンガー ６章
指⽰関数 (indicator): A 上で 1, それ以外で 0 を取る関数
このとき、E(X;A) は
であり、A を与えたときの X の条件付き期待値は以下で定義される：
条件付き期待値は以下の性質を満⾜する：
E(X|A)=E(X;A)/P(A)

10. Martingale
10参考：確率過程の基礎 R. Durrett 著 シュプリンガー ２章
Martingale (マルチンゲール) とは、公平な賭けが満たしている性質
Mi=Mi-1+HiZi (1in)
公平なコイン投げ (表裏の出る確率は等しい)
Mi: i 回⽬の所持⾦、Hi: i 回⽬の賭⾦、Zi = {1 or -1}
Xi: i 回⽬終了時の所持⾦とすると、n 回⽬の試⾏における期待利益は
定義 (Martingale)
確率変数列 (実数)
任意の Xi (1≤i≤n) について以下が成り⽴つとき、X は Martingale という。

11. マルチンゲール
11参考：確率過程の基礎 R. Durrett 著 シュプリンガー ２章
Martingale (マルチンゲール) が⽰していること：公平なゲームでは、(平均的
に) 財産が増えることはない (不公平なカジノ等のゲームでは勝てない)
定義 (Martingale) 再掲
確率変数列 (実数)
任意の Xi (1≤i≤n) について以下が成り⽴つとき、X は Martingale という。
同値だが別の表現をすると
さらに以下が成り⽴つとき、X は優 Martingale という。
財産は減少

12. ブラウン運動
12参考：確率過程の基礎 R. Durrett 著 シュプリンガー ６章
Brown 運動 (Wiener 過程)
ある確率空間 上で定義された確率過程
で以下の２つの性質を満たすものを Wiener 過程と呼ぶ。
(Bt は t に関する連続関数)
任意の n と に対して、
Bt の n の増分
は互いに独⽴であり、かつそれらの分布は平均 0、分散 ti-ti-1 の
正規分布である (正規分布であるという仮定はゆるくできる)。
1.
２.
N. Wiener は、このような性質をもつ確率過程が存在すること
を構成的に証明した。 (右図は Wikipedia より抜粋)

13. ブラウン運動の性質
13参考：確率過程の基礎 R. Durrett 著 シュプリンガー ６章
Filtration という性質に関しては説明省略
Filtration つき確率空間上における確率空間に対する (Ft)- マルチンゲールと
いう性質の解説も省略
-Brown 運動 B(t) は、0≤s≤t において P-a.s. で以下を満⾜する：
、つまり B(t) は -Martingale1.
２. 、つまり B(t)2-t は -Martingale
３. 、つまり は -Martingale
Brown 運動 B(t) が定常独⽴増分であることから、以下の性質が成⽴する。
４. Markov 性： s>0 であれば Bs+t-Bs (t≥0) は Br (r≤s) と独⽴
将来の増分 Bs+t-Bs は時刻 s 以前の挙動と独⽴ (無記憶性) を⽰している。

14. ブラウン運動の性質
14参考：確率過程の基礎 R. Durrett 著 シュプリンガー ６章
Brown 運動の path の性質
定義 (有界変動)
区間 [a,b] で定義された関数 g がその区間上で有界変動であるとは、
となることである。
定理 (微分不可能性、⾮有界変動性)
Brown 運動は t の関数として確率 1 で以下の性質をもつ：
1.
２.
いたるところ微分不可能である。
任意の有限区間 [a,b] で有界変動でない。

15. 有界変動と Stieltjes積分
15参考：確率過程の基礎 R. Durrett 著 シュプリンガー ６章
閉区間で有界変動かつ連続関数に対して、Riemman-Stieltjes 積分が定義できる。
定義 (Riemann-Stieltjes 積分)
f(t) を区間 [a,b] の連続関数、g(t) をどう区間上の有界変動関数とする。
区間 [a,b] の分割
分割⼩区間の最⼤幅を
に対して
とする。このとき和
は のとき t の選び⽅によらず収束する。この極限値を
~
Stieltjes 積分と呼び、 で表す。g(t)=t のとき Riemann 積分

16. 確率積分
16参考：確率過程の基礎 R. Durrett 著 シュプリンガー ６章
確率積分は、確率過程 Xt に対して、ブラウン運動 Bt による Stieltjes 積分に相当
するものを定義することになるが、Brown 運動の path が有界変動でないため、
通常の⽅法で Stieltjes 積分を定義できない。伊藤清 (数学者) は、ブラウン運動
がもつ性質 (上述、中でも Martingale 性) を利⽤することで、確率過程 Xt に対し
ても、確率積分が定義できることを⽰し、計算規則を導出した (Ito の公式)
歴史的背景
区間 I=[a,b] 上の確率過程の中で、以下の性質を満たす確率過程のクラスを考える。
上記クラスに属する確率過程の中で、その path が連続なもの全体を考える:

17. 確率積分
17参考：確率過程の基礎 R. Durrett 著 シュプリンガー ６章
区間 I=[a,b] の分割
確率過程
定義 (Stochastic integral: 確率積分、伊藤積分)
に対して、和 を考える。
このとき、和はある確率変数 S に⼆乗平均収束する。すなわち
この確率変数 S のことを確率積分、もしくは伊藤積分と読んで
と表記する。

18. 確率微分
18参考：確率過程の基礎 R. Durrett 著 シュプリンガー ６章
定義 (確率微分)
初期値 Za (確率変数) に確率積分を２つ加えた確率過程
この形の確率過程を semi-Martingale と呼ぶ。以下を確率微分と呼ぶ。
定義 (確率微分⽅程式)
⼆変数関数 f(t,x), g(t,x) および実数 c に対して、以下を満たす確率過程 {Xt}
を求める問題を確率微分⽅程式と呼ぶ。
下記２式は初期値の明⽰
以外で同じ内容を表す。
微分形：

19. 確率微分⽅程式
19参考：確率過程の基礎 R. Durrett 著 シュプリンガー ６章
(続き) 微分形の両辺を形式的に dt で割ると以下の形となる：
関数 f と g が適当な連続性の条件を満たせば、上記確率微分⽅程式の解がただ
ひとつ存在することが証明できる。
定理 (確率微分⽅程式の解の存在と⼀意性)
ある正の定数 K が存在して
が成り⽴つとき、上記確率微分⽅程式はただひとつの解をもつ。

20. 伊藤の公式
20参考：確率過程の基礎 R. Durrett 著 シュプリンガー ６章
定理 (Ito の公式)
が成⽴する。ここで ft, tx, txx はそれぞれ各変数に対する偏微分を表す。
確率微分 も semi-Martingale であって、
が成⽴する。すなわち
f(t,x) の形式的な Taylor 展開に dZt を代⼊し、(dt)2=dt, dBt=0, (dBt)2=dt を
⽤いて整理すると上式が得られる。

21. 例
21参考：確率過程の基礎 R. Durrett 著 シュプリンガー ６章
例 (Black-Scholes の式)
{Xt}: 時刻 t における株価とする。微⼩時間 dt 内の変動率 dXt/Xt が時間幅
に⽐例する⼯と、株価の変動に⽐例する項の和として表わされると仮定する。
このとき、形式的に
となる関係が成⽴すると仮定する。確率微分⽅程式で書くと
初期値 Xa=c を満たす解の具体型は
株価変動の Black-Scholes モデルと呼ぶ。

22. Memo
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