1. Chapitre : Statistiques
Objectifs :
- Connaitre le vocabulaire des statistiques.
- Calculer l’effectif d’une valeur, l’effectif total et les effectifs cumulés croissants.
- Calculer la fréquence d’une valeur et les fréquences cumulées croissantes.
- Calculer la moyenne d’une série statistique.
Mise en situation :
On interroge les 26 élèves de 5ème
4 pour connaître le nombre de réseaux sociaux sur lesquels ils
sont inscrits. Voici leurs réponses :
1 . 3 . 4 . 1 . 1 . 1 . 3 . 2 . 2 . 2 . 2 . 1 . 3 . 3 . 4 . 5 . 1 . 3 . 2 . 4 . 6 . 5 . 3 . 2 . 1 . 1
I. Vocabulaire
- L'ensemble de ces résultats forment une série statistique.
Remarque : Dans une série statistique, une valeur n’est pas forcément un nombre. Par exemple, on
interroge chaque élève d’une classe sur le nom de son réseau social préféré.
- La population étudiée est l'ensemble des élèves de 5ème
4.
- Le caractère étudié est le nombre de réseaux sociaux sur lequel ils sont inscrits.
II. Effectifs
Dans notre exemple, le caractère étudié peut prendre 6 valeurs distinctes : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
- Pour chacune de ces valeurs, l'effectif correspond au nombre de fois où la valeur a été
recueillis.
Exemple : L'effectif de la valeur « 2 » est 6, l'effectif de la valeur « 5 » est 2, etc.
- L'effectif total est le nombre total de valeurs recueillis.
Exemple : Ici, l'effectif total est 26.
Remarque : L’effectif d’une valeur est inférieur ou égal à l’effectif total.
2. Pour présenter les résultats de manière plus claire, on utilise toujours un tableau des effectifs :
Nombre de réseaux 1 2 3 4 5 6
Effectifs 8 6 6 3 2 1
Définition : L'effectif cumulé croissant (ECC), d'une valeur est la somme des effectifs de cette
valeur avec les effectifs des valeurs précédentes.
Exemple : On a ajouté une ligne « effectifs cumulés croissants » dans le tableau des effectifs ci –
dessus.
Nombre de réseaux 1 2 3 4 5 6
Effectifs 8 6 6 3 2 1
Effectifs cumulés croissants 8 14 (6+8) 20 (6+14) 23 (3+20) 25 (2+23) 26 (1+25)
A savoir : Parfois, il est nécessaire de regrouper les valeurs d’une série sous forme de classe ou
d’intervalle. C’est le cas notamment lorsque qu’il y a un grand nombre de valeurs distincts
(différentes) dans la série statistique.
Exemple :
3. III. Fréquences
Définition : La fréquence d’une valeur est le quotient de son effectif sur l’effectif total.
Fréquence d’une valeur =
Effectif de la valeur
Effectif total
Remarques :
- Les fréquences sont proportionnelles aux effectifs (on divise chaque effectif par le même
nombre : l’effectif total).
- La fréquence d’une valeur est toujours comprise entre 0 et 1. (En effet, l’effectif d’une valeur étant
toujours inférieure à l’effectif total, la fréquence est une fraction inférieure à 1 et positive).
- La somme des fréquences de toutes les valeurs est égale à 1.
Exemple : On a ajouté une ligne « fréquence » dans le tableau des effectifs ci – dessus.
Nombre de réseaux 1 2 3 4 5 6
Effectifs 8 6 6 3 2 1
Effectifs cumulés croissants 8 14 20 23 25 26
Fréquences (à 0,01 près) ≈ 0,31
(8÷26)
≈ 0,23
(6÷26)
≈ 0,23
(6÷26)
≈ 0,11
(3÷26)
≈ 0,08
(2÷26)
≈ 0,04
(1÷26)
Définition : La fréquence cumulée croissante d'une valeur est la somme des fréquences des
valeurs qui lui sont inférieures ou égales.
Exemple : On a ajouté une ligne « fréquence cumulées croissantes » le tableau des effectifs ci –
dessus.
Nombre de réseaux 1 2 3 4 5 6
Effectifs 8 6 6 3 2 1
Effectifs cumulés
croissants
8 14 20 23 25 26
Fréquences (à 0,01
près)
≈ 0,31 ≈ 0,23 ≈ 0,23 ≈ 0,11 ≈ 0,08 ≈ 0,04
Fréquences cumulées
croissantes
0,31 0,54
(0,31 + 0,23)
0,77
(0,54 + 0,23)
0,88
(0,77 + 0,11)
0,96
(0,88 + 0,08)
1
(0,96 + 0,04)
4. I. Indicateurs de position
Il peut être intéressant de calculer quelques valeurs particulières de la série étudiée comme la moyenne qui
est un caractère de position (qui nous permet de se positionner dans la série).
Cette valeur permet de résumer une série statistique avec un seul nombre.
1. Moyenne simple
Définition : Dans une série statistique, on appelle moyenne le quotient de la somme des
données de la série statistique par l’effectif total.
Moyenne =
Somme des données
Effectif total
Exemple :
Remarque : La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série.
2. Moyenne pondérée
Pour quand ? C’est une méthode utilisée lorsqu’il y a un grand nombre de valeurs numériques
dans une série statistiques.
Définition : La moyenne pondérée d'une série statistique à valeurs numériques est égale à la
somme des produits de chaque valeur par son effectif, divisée par l'effectif total de cette série.
Moyenne pondérée =
𝑣1 × 𝑒1 + 𝑣2 × 𝑒2 + 𝑣3 × 𝑒3 + …
𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
avec v1 = valeur 1 de la série
e1 = effectif de la valeur 1
Méthode – Exemple : Calculons la moyenne pondérée dans notre exemple :
1. J’additionne le produit de chaque valeur par son effectif.
1 × 8 + 2 × 6 + 3 × 6 + 4 × 3 + 5 × 2 + 6 × 1 = 8 + 12 + 18 +12 + 10 + 6 = 66
2. Je divise le résultat par l'effectif total de cette série.
66 ÷ 26 ≈ 2,5
Dans cette classe de 4ème
, les élèves sont inscrits sur en moyenne 2,5 réseaux sociaux différents.
5. II. Représentation des données
Lorsqu'il y a beaucoup de données à traiter, il peut être utile de les représenter sous la forme de tableaux,
de diagrammes et cela à l’aide des effectifs ou fréquences.
Mais pourquoi utiliser une représentation plutôt qu’une autre ?
1. Diagramme en bâton
C’est quoi ?
Un diagramme en bâtons permet de représenter les données d’une série à l’aide de segments/de rectangles
de même largeur. La hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l’effectif de la valeur représentée.
Exemple :
2. Histogramme
C’est quoi ?
Un histogramme permet de représenter les données numériques d’une série regroupés par classe, à l’aide de
rectangles de même largeur. La hauteur de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectif de la classe
représentée.
Exemple :
3. Diagramme circulaire
C’est quoi ?
Un diagramme circulaire permet de représenter les données d’une série à l’aide de secteurs circulaires. La
mesure de l’angle de chaque secteur circulaire est proportionnelle à l’effectif de la valeur représentée.
Exemple :
