39. Badanie układów sterowania z regulatorami ciągłymi

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
MINISTERSTWO EDUKACJI
NARODOWEJ
Beata Organ
Jacek Krzysztoforski
Badanie układów sterowania z regulatorami ciągłymi
311[07].Z7.02
Poradnik dla ucznia
Wydawca
Instytut Technologii Eksploatacji – Państwowy Instytut Badawczy
Radom 2006

1
Recenzenci:
mgr inż. Anna Górska
mgr inż. Grzegorz Śmigielski
Opracowanie redakcyjne:
mgr inż. Danuta Pawełczyk
Konsultacja:
mgr inż. Gabriela Poloczek
Korekta:
mgr inż. Urszula Ran
Poradnik stanowi obudowę dydaktyczną programu jednostki modułowej 311[07].Z7.02
„Badanie układów sterowania z regulatorami ciągłymi”, zawartego w modułowym programie
nauczania dla zawodu technik elektronik.
Wydawca
Instytut Technologii Eksploatacji – Państwowy Instytut Badawczy, Radom 2006

2
SPIS TREŚCI
1. Wprowadzenie 3
2. Wymagania wstępne 5
3. Cele kształcenia 6
4. Materiał nauczania 7
4.1. Struktury układów regulacji 7
4.1.1. Materiał nauczania 7
4.1.2. Pytania sprawdzające 25
4.1.3. Ćwiczenia 26
4.1.4. Sprawdzian postępów 27
4.2. Modele matematyczne obiektów i układów sterowania 28
4.3. Kryteria sterowania i sterowanie optymalne 39
4.4. Dobór optymalnych nastaw regulatorów PID 55
5. Sprawdzian osiągnięć 66
6. Literatura 71

3
1. WPROWADZENIE
Poradnik, będzie Ci pomocny w przyswajaniu wiedzy o budowie, zasadzie działania
i przeznaczeniu regulatorów ciągłych, doborze nastaw, a także ułatwi wykonywanie ćwiczeń,
zadań i umożliwi Ci przygotowanie się do czekających egzaminów.
Poradnik zawiera:
4. Wymagania wstępne, czyli wykaz niezbędnych wiadomości i umiejętności, które
powinieneś mieć opanowane, aby przystąpić do realizacji tej jednostki modułowej.
5. Cele kształcenia, czyli wykaz umiejętności, jakie ukształtujesz podczas pracy z tym
poradnikiem.
6. Materiał nauczania (rozdział 4), czyli wiadomości dotyczące badania układów sterowania
z regulatorami ciągłymi. Rozdział ten umożliwia samodzielne przygotowanie się
do wykonania ćwiczeń i zaliczenia sprawdzianów. Obejmuje on również ćwiczenia,
dzięki którym nabędziesz umiejętności praktycznych. Zawierają one:
− pytania sprawdzające wiedzę potrzebną do wykonania ćwiczenia,
− ćwiczenia wraz z opisem czynności, które musisz wykonać w trakcie ich realizacji,
− sprawdzian postępów, który pomoże Ci samodzielnie ocenić poziom swoich
umiejętności.
7. Sprawdzian osiągnięć zawierający zestaw zadań sprawdzających opanowanie wiedzy
i umiejętności z zakresu całej jednostki. Potraktuj go jako wskazówkę przy powtarzaniu
materiału. Pomoże Ci on ocenić, czy wystarczająco dobrze przygotowałeś się do
ćwiczenia lub testu podsumowującego tą jednostkę.
8. Literaturę, którą możesz wykorzystać do poszerzenia wiedzy na interesujące Cię
zagadnienia związane z tematem jednostki.
Jeżeli masz trudności ze zrozumieniem tematu lub ćwiczenia, to poproś nauczyciela
o wyjaśnienie i ewentualne sprawdzenie, czy dobrze wykonujesz daną czynność. Po
przerobieniu materiału spróbuj zaliczyć sprawdzian z zakresu jednostki modułowej.
Jednostka modułowa: „Badanie układów sterowania z regulatorami ciągłymi”, której
treści teraz poznasz, jest jedną z koniecznych do zapoznania się z sterowaniem procesami
technologicznymi z zastosowaniem regulatorów nieciągłych, co w przyszłości pozwoli Ci na
zrozumienie działania urządzeń z jakimi spotykasz się na co dzień, a także pozwoli na
podjęcie prac projektowych, montażowych, konserwatorskich związanych ze sterowaniem.
Bezpieczeństwo i higiena pracy
W czasie pobytu w pracowni, laboratorium musisz przestrzegać regulaminów, przepisów
bhp oraz instrukcji przeciwpożarowych, wynikających z rodzaju wykonywanych prac.
Przepisy te poznasz podczas trwania nauki.

4
Schemat układu jednostek modułowych dla modułu
„ Montowanie i eksploatowanie układów automatyki elektronicznej”
311[07].Z7.03
Badanie układów sterowania
z regulatorami nieciągłymi
Moduł 311[07].Z7
Montowanie i eksploatowanie układów
automatyki elektronicznej
311[07].Z7.01
Montowanie i testowanie połączeń
układów automatyki
311[07].Z7.02
Badanie układów sterowania
z regulatorami ciągłymi

5
2. WYMAGANIA WSTĘPNE
Przystępując do realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć:
− charakteryzować podstawowe zjawiska zachodzące w polu elektrycznym, magnetycznym
i elektromagnetycznym,
− mierzyć podstawowe wielkości elektryczne i parametry elementów elektrycznych,
− dobierać metody i przyrządy pomiarowe,
− przedstawiać wyniki pomiarów w różnej formie,
− interpretować wyniki pomiarów,
− wyjaśniać ogólne zasady działania i bezpiecznego użytkowania podstawowych maszyn
i urządzeń elektrycznych,
− klasyfikować elementy i układy elektroniczne,
− analizować działanie podstawowych elementów i układów elektronicznych,
− klasyfikować elementy i układy automatyki,
− rozróżniać podstawowe człony dynamiczne na podstawie charakterystyk skokowych,
− określać rolę poszczególnych elementów w układach automatycznej regulacji,
− analizować działanie podstawowych układów automatyki,
− korzystać z różnych źródeł informacji o elementach, podzespołach i układach
elektronicznych oraz elementach i układach automatyki,
− rysować schemat blokowy układu automatycznej regulacji,
− klasyfikować układ sterowania,
− klasyfikować układy automatycznej regulacji,
− klasyfikować regulatory,
− charakteryzować parametry sterowników mikroprocesorowych,
− uruchamiać i prezentować układ sterowania,
− sporządzać charakterystyki statyczne i dynamiczne przetworników pomiarowych
i elementów wykonawczych,
− stosować przepisy bezpieczeństwa i higieny pracy podczas montowania
i uruchamiania elementów i urządzeń automatyki.

6
3. CELE KSZTAŁCENIA
W wyniku realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć:
− zmontować układ sterowania z regulatorem ciągłym,
− zaplanować eksperyment pomiarowy w celu przeprowadzenia identyfikacji obiektu,
− wykonać zaplanowany eksperyment i zarejestrować odpowiednie zmienne procesowe,
− wyznaczyć, na podstawie zarejestrowanych przebiegów, parametry przybliżonego
modelu obiektu,
− wyznaczyć, dla przyjętego kryterium, optymalne nastawy regulatora,
− zaprogramować regulator,
− uruchomić układ sterowania i przeprowadzić rejestrację zmiennych procesowych,
− zinterpretować wyniki otrzymane dla sterowania z optymalnymi nastawami.

7
4. MATERIAŁ NAUCZANIA
4.1. Struktury układów regulacji
4.1.1. Materiał nauczania
Własności układu automatyki zależą głównie od zastosowanej struktury połączeń jego
elementów. Poniżej przedstawione zostaną przykłady układów regulacji, które powinny
przedstawić strukturę i zasadę działania typowych układów regulacji.
Na rys. 1a przedstawiono schemat ideowy układu stabilizacji napięcia stałego generatora
napędzanego stałą prędkością obrotową ω = const.
Rys. 1. Układ stabilizacji napięcia generatora prądu stałego: [3, s. 92]
a) schemat ideowy, b) schemat obwodu twornika, c) schemat blokowy układu z trzema zmianami znaku
przyrostów sygnałów, d) schemat blokowy z jedną zmianą znaku przyrostów sygnałów
Zmiana wielkości prądu (i) pobieranego przez odbiornik (odbiorców), wpływa na zmianę
wartości napięcia y, co jest spowodowane spadkiem napięcia na rezystancji twornika Rtw.
Zmiana obciążenia, czyli zmiana prądu i, stanowi zakłócenie pracy generatora prądu stałego,
a więc wpływa na stabilność pracy układu. Z tego powodu koniecznym stało się
wprowadzenie układu automatycznej stabilizacji.
W tym układzie sygnał wyjściowy (napięcie) y jest porównywany z wartością zadaną
napięcia w, a różnica między nimi stanowi uchyb regulacji e, który wzmocniony
w wzmacniaczu wz, zasila silniczek wykonawczy prądu stałego obcowzbudny s. Silniczek ten
przez przekładnię p zmienia wartość oporności R w uzwojeniu wzbudzenia. W układzie jak
na rys. 1, wzrost napięcia wyjściowego y powoduje wzrost oporności R, co z kolei jest

8
powodem zmniejszenia się napięcia y. Takie połączenie nazywa się ujemnym sprzężeniem
zwrotnym.
Układ regulacji posiada jeszcze jedną istotną właściwość. Węzeł sumujący realizuje
równanie
ywe −=
Element ten (węzeł sumujący) powinien zapewniać, by zmiana sygnału wyjściowego nie
wpływała na zmianę sygnału zadanego, a więc ma wywołać jedynie zmianę uchybu
e. W układzie generatora prądu stałego taka sytuacja wystąpi, gdy wzmacniacz wz będzie
posiadał parametry wzmacniacza idealnego – nieskończoną rezystancję wejściową. Jako
element układu automatyki, wzmacniacz jest elementem bezinercyjnym o wzmocnieniu kw.
Wyżej podano, że w układzie występuje ujemne sprzężenie zwrotne. Cechuje się ono tą
własnością, że w pętli utworzonej z elementów występuje nieparzysta ilość zmiany znaku
przyrostów wielkości. W układzie jak na rys. 1c, występuje zmiana znaku przyrostu ∆eg
w stosunku do ∆u, zmiana znaku przyrostu ∆e w stosunku do ∆y oraz zmiana przyrostu ∆u
w stosunku do ∆α.
Oczywiście wielokrotna zmiana znaku przyrostów wielkości nie jest potrzebna. Na rys 1d
przedstawiono równoważny schemat blokowy, w którym występuje tylko jedno „ujemne
wzmocnienie” w węźle sumującym. Jest to wystarczające do realizacji ujemnego sprzężenia
zwrotnego.
Rys. 2. Układ stabilizacji poziomu cieczy w zbiorniku: [3, s.94] a) schemat ideowy układu stabilizacji
poziomu, b) schemat blokowy układu, c) przekształcenie fragmentu układu z rys. 2b objętego linią przerywaną,
d) przekształcony schemat układu
W układzie stabilizacji poziomu cieczy w zbiorniku (rys. 2) poziom cieczy zależy od
różnicy pomiędzy nastawionym przez hydrauliczny element wykonawczy ew dopływem
objętościowym q1 i wymuszonym przez pompę odpływem q2. Wartość zadaną poziomu
nastawia się przez wstępny naciąg sprężyny pokrętłem p. Stała fs pochodząca od wstępnie
naciągniętej sprężyny jest równoważona siłą fh oddziaływania mieszka m, w którym
proporcjonalne do poziomu ciśnienie jest zamienione na siłę. W wyniku porównaniu obu sił
ustala się położenie strumiennicy s, z której pod ciśnieniem wytryskuje strumień oleju. Jeżeli

9
strumiennica znajduje się w położeniu neutralnym względem obu otworów o1, o2, ciśnienia
nad i pod tłokiem t elementu ew są takie same i tłok stoi. Jeżeli nastąpi nieznacznie
wychylenie strumiennicy o kąt α to na skutek różnicy ciśnień tłok
t zaczyna się poruszać w odpowiednim kierunku, zmieniając dopływ q1. Obieg oleju jest
zamknięty.
W module 311[07].Z3 poznałeś elementy automatyki, podstawowe określenia, wzory
opisujące elementy. Jednak jak przedstawiono na dwóch przykładach opisanych powyżej,
niezbędne jest szersze (kompleksowe) spojrzenie na sterowanie i regulację procesami
technologicznymi.
System techniczny to zbiór dowolnych elementów tworzących określoną funkcjonalną
całość. Zgodnie z tym systemem można nazwać przedsiębiorstwo, wydział produkcyjny,
obrabiarkę, itp.
Istota sterowania w dowolnym systemie, polega na tym, że system wskutek sterowania
osiąga stany korzystniejsze niż stany, jakie w nim wystąpiłyby bez sterowania.
Określenie „stany korzystniejsze” w systemach technicznych oznacza, że przebieg
procesu technologicznego jest prawidłowy, zgodny z warunkami technicznymi lub optymalny
ze względu na założony cel produkcyjny.
W procesach produkcyjnych wskutek różnych nieuniknionych przyczyn zakłócających,
jak błędy obsługi, zakłócenia w dostawie energii, surowców, awarie, występują odstępstwa od
procesów prawidłowych. W trakcie przebiegu procesu należy więc podjąć pewne czynności
by osiągnąć stany korzystniejsze niż w przypadku braku tych czynności.
W takim rozumieniu, sterowanie procesami technicznymi to nie tylko czynności
wpływające na przebieg procesu, ale także związane z nadzorem, kontrolą, zabezpieczeniami,
sprawozdawczością, itp.
Systemy techniczne ze względu na stosowane metody sterowania dzieli się na układy
i systemy wielkie.
W układach występuje sterowanie pojedynczymi procesami. Na ogół są to układy stabilizacji
parametrów na zadanym poziomie np. utrzymywanie temperatury, poziomu cieczy itp.
W systemach wielkich, system sterowania obejmuje wiele układów lub podsystemów
powiązanych wspólnym celem działania.
Cechą charakterystyczną systemów wielkich jest kompleksowe ujmowanie sterowania,
a więc uwzględnienie udziału ludzi, maszyn, źródeł surowców i energii oraz powiązania
informacyjne pomiędzy poszczególnymi częściami systemu i powiązania z innymi
systemami.
Wspólną cechą układów sterowania jest uzyskiwanie, przetwarzanie, przesyłanie
i wyzyskiwanie informacji. W trakcie sterowania należy uzyskać informacje o aktualnym
stanie procesu, ocenić na podstawie tej informacji ewentualne odstępstwa od prawidłowego
przebiegu procesu i sformułować działania nastawcze – przetwarzanie informacji. Z kolei
działania nastawcze realizowane są w zespołach wykonawczych – wyzyskiwanie informacji.
Każdy układ regulacji składa się z obiektu i urządzenia sterującego. Urządzenie sterujące
obejmuje wszystkie zespoły i elementy zapewniające automatyczne sterowanie procesem.
Natomiast urządzenie technologiczne lub maszynę, w której przebiegają procesy sterowane
nazywa się obiektem.
Rozróżnia się dwa główne rodzaje systemów sterowania: systemy sterowania otwartego
(bez sprzężenia zwrotnego) i systemy sterowania zamkniętego (ze sprzężeniem zwrotnym).

10
urządzenie sterujące
w y
1 2 3 Obiekt
Rys. 3. Schemat strukturalny systemu sterowania otwartego: 1 – urządzenie wejściowe,
2 – urządzenie przełączające (układ logiczny), 3 – urządzenie wyjściowe,
w- wielkość sterująca (wiodąca), y – wielkość regulowana
Systemy sterowania otwartego (rys. 3) występują we wszelkich rodzajach automatach
o działaniu cyklicznym. Do tych urządzeń należą automaty handlowe (np. sprzedaż biletów,
napojów), automaty oświetleniowe, itp. W każdym z nich sygnał wejściowy inicjujący cykl
powoduje pojawienie się określonej wielkości wyjściowej z obiektu, np. po wrzuceniu
monety, żetonu (sygnał wejściowy) uzyskuje się puszkę napoju (sygnał wyjściowy).
W układzie otwartym, obieg sygnału nie tworzy obwodu zamkniętego.
Układy sterowania otwartego są nieprzydatne do stabilizacji wielkości wyjściowej.
Konieczny jest inny sposób sterowania.
z
Kz
u Ku y
obiekt urządzenie
pomiarowe
e - ym
urządzenie w
sterujące
Rys. 4. Schemat strukturalny układu sterowania ze sprzężeniem zwrotnym:
u – sygnał nastawczy, z – wymuszenie zakłócające, e – odchyłka (sygnał błędu, uchyb),
ym – sygnał wyjściowy z urządzenia pomiarowego, w – wielkość zadana
Istotą tej struktury (rys. 4) jest występowanie toru, po którym wielkość wyjściowa y
z obiektu jest przesyłana na wejście obiektu. W układzie tworzy się zamknięty obwód
przekazywania sygnałów. Układ o tej strukturze sterowania jest układem sterowania ze
sprzężeniem zwrotnym.
W systemach sterowania ze sprzężeniem zwrotnym do elementarnych zadań sterowania
należy realizacja warunku
w - ym = e → 0,
gdzie: → oznacza „dąży do 0”, tzn. utrzymanie uchybu e na poziomie bliskim zeru, co jest
równoznaczne ze stabilizacją sygnału ym na poziomie w.
Układy sterowania, których celem jest spełnienie tego elementarnego warunku, należą do
układów regulacji.
Układy regulacji zależnie od wartości zadanej dzieli się na układy regulacji
stałowartościowej (stabilizacji), programowej, nadążnej i ekstremalnej. W regulacji
stałowartościowej wartość zadana ma w określonym czasie wartość stałą. Zadaniem układu
regulacji stałowartościowej jest utrzymywanie stałej wartości regulowanej niezależnie od
działających zakłóceń. Regulacja stałowartościowa jest najczęściej stosowana w praktyce

11
przemysłowej. W regulacji nadążnej wartość zadana podlega zmianom nieprzewidywalnym.
Układ regulacji nadążnej powinien zapewnić zmianę wielkości regulowanej w zależności od
zmian innej wielkości fizycznej, zwanej wielkością wiodącą. W tym przypadku wartość
zadana jest funkcją innej wielkości, do której wielkość regulowana powinna się
dostosowywać. Regulacja nadążna nazywa się też często regulacją śledzącą. Przykładem są
radarowe układy nadążne artylerii przeciwlotniczej. Układy nadążne, w których wielkością
regulowaną jest wielkość mechaniczna, taka jak przesunięcie, prędkość kątowa, itd., są
nazywane serwomechanizmami. W regulacji programowej wartość zadana zmienia się
zgodnie z ustalonym uprzednio programem czasowym. Układ regulacji programowej jest
szczególnym przypadkiem układu śledzącego. Zadaniem układu regulacji ekstremalnej jest
utrzymanie maksymalnej lub minimalnej wartości wielkości regulowanej, jaką tylko można
osiągnąć, przy aktualnie występujących zakłóceniach.
Innym kryterium klasyfikacji układów regulacji automatycznej mogą być np. liczba
wielkości regulowanych w obiekcie oraz sposób pomiaru wielkości regulowanej.
Ze względu na liczbę wielkości regulowanych wyróżniamy jedno- i wielowymiarowe
układy regulacji.
Ze względu na sposób pomiaru wielkości regulowanej, można dokonać podziału układów
regulacji automatycznej na układy analogowe i cyfrowe. W układach tych bardzo istotną rolę
pełnią odpowiednio przetworniki A/C i C/A.
Projektując układ regulacji należy uwzględnić wiele czynników, dokonać jego analizy
tak, by uzyskać informacje o:
− nastawach regulatora,
− strukturze układu,
− zależności jaka powinien spełniać regulator,
− jakości regulacji,
− niezawodności układu w warunkach pracy normalnej i awaryjnej,
− kosztach,
− dostępności na rynku i inne.
Korzystanie z metod analizy wymaga znajomości zasad pracy układu automatycznej
regulacji i funkcji poszczególnych elementów w układzie.
Matematyczny opis układu regulacji
Właściwości ciągłego elementu lub układu liniowego o parametrach stałych można
opisać za pomocą równania różniczkowego, liniowego, o stałych współczynnikach i postaci
ogólnej:
an ,xb
dt
xd
b
dt
xd
bya
dt
yd
a
dt
yd
01m
1m
1mm
m
m01n
1n
1nn
n
+++=+++ −
−
−−
−
− KK
przy czym dla fizycznie realizowanych przypadków obowiązuje warunek m≤ n. Jest to
równanie rzędu n względem wielkości wyjściowej – y, zaś x oznacza wymuszenie (wielkość
wejściową), t – czas, ak i bl – współczynniki stałe (k = 0, 1, 2, ..., n; l = 0, 1, 2, ..., m).
Opis typu wejście – wyjście w przedstawionej powyższej postaci nie jest najczęściej zbyt
wygodny. Bardzo duże uproszczenie tego opisu uzyskuje się wprowadzając pojęcie
transmitancji operatorowej.
Metoda operatorowa polega na zastosowaniu przekształcenia, zwanego przekształceniem
Laplace`a, które pozwala zastąpić równanie różniczkowo-całkowe zwykłym równaniem
algebraicznym. Przekształcenie Laplace`a przyporządkowuje danej funkcji transformatę
(obraz przekształcenia) i odwrotnie
f(t)↔ F(s).

12
Załóżmy, że X(s) jest transformatą Laplace`a wymuszenia x(t) pojawiającego się dla
t > 0, a Y(s) – transformatą szukanego sygnału wyjściowego y(t). Wówczas powyższe
równanie wejście – wyjście, w dziedzinie transformat, przy zerowych warunkach
początkowych, można zapisać jako
(ansn
+ an-1 sn-1
+ an-2 sn-2
+ ... + a1s + a0) Y(s) = (bmsm
+ bm-1 sm-1
+ bm-2 sm-2
+ ... + b1s +
+ b0) X(s).
Transmitancją operatorową nazywa się iloraz transformat wyjścia i wejścia, przy
zerowych warunkach początkowych
G(s) =
01
2n
2n
1n
1n
n
n
01
2m
2m
1m
1m
m
m
asasasasa
bsbsbsbsb
)s(X
)s(Y
+++++
+++++
= −
−
−
−
−
−
−
−
K
K
,
przy czym m≤ n.
Transmitancja G(s) jest funkcją zmiennej zespolonej s i ma tę właściwość, że w wyniku
pomnożenia transformaty wejścia X(s) przez transmitancję G(s) otrzymuje się transformatę
wyjścia Y(s):
X(s) G(s) = Y(s).
Ponieważ transmitancja operatorowa opisuje w sposób kompletny właściwości elementu
lub układu liniowego, wpisujemy ją wewnątrz prostokąta symbolizującego dany element
na schematach blokowych układów automatyki.
Wyznaczanie transmitancji podstawowych połączeń elementów
Połączenie szeregowe (rys. 5).
x a b y x y
K1(s) K2(s) K3(s) ≡ G(s)
Rys. 5. Połączenie szeregowe elementów
Transmitancja główna elementów połączonych szeregowo (rys.5), wynosi:
,
)s(X)s(A)s(B
)s(A)s(B)s(Y
)s(X
)s(Y
)s(G ==
czyli
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )sKsKsK
sX
sY
sG 321 ⋅⋅==
a więc jest iloczynem transmitancji elementów tworzących układ.
Połączenie równoległe (rys. 6).
K1(s) +a
+b
x K2(s) y ≡ x G(s) y
+c
K3(s)
Rys. 6. Połączenie równoległe elementów
Transmitancja główna elementów połączonych równolegle (rys. 6), wynosi:
)s(X
)s(C
)s(X
)s(B
)s(X
)s(A
)s(X
)s(C)s(B)s(A
)s(X
)s(Y
)s(G ++=
++
== ,

13
czyli
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )sKsKsK
sX
sY
sG 321 ++==
a więc jest sumą algebraiczną transmitancji elementów tworzących układ.
Połączenie ze sprzężeniem zwrotnym (rys. 7).
Ko(s) y
e ± +
Kr(s) w
Rys. 7. Układ ze sprzężeniem zwrotnym
W przypadku ujemnego sprzężenia zwrotnego równanie węzła sumacyjnego jest
następujące:
E(s) = W(s) – Y(s),
a równanie opisujące sygnał wyjściowy ma postać:
Y(s) = Ko(s) Kr(s)E(s).
Po przekształceniach otrzymujemy:
G(s) =
)s(E
)s(Y
1
)s(E
)s(Y
)s(Y)s(E
)s(Y
)s(W
)s(Y
+
=
+
= .
W przypadku dodatniego sprzężenia zwrotnego równanie węzła sumacyjnego jest
następujące:
E(s) = W(s) +Y(s),
zatem zmieni się tylko znak sumy w mianowniku transmitancji.
Transmitancja układu ze sprzężeniem zwrotnym (rys. 7) określana jest zależnością
( ) ( ) ( )
( ) ( )sKsK1
sKsK
sG
ro
ro
⋅
⋅
=
m
.
Gdy w mianowniku występuje znak „+”, mamy do czynienia z układem z ujemnym
sprzężeniem zwrotnym, natomiast gdy występuje znak „-”, - to układ z dodatnim sprzężeniem
zwrotnym.
Transmitancja układu zamkniętego
Rys. 8. Schemat blokowy układu z wyróżnionymi wymuszeniami:
wartością zadaną w i zakłóceniem z [3, s. 97]

14
Na rys. 8, elementy występujące pomiędzy miejscami wejścia zakłócenia z a głównym
węzłem sumującym przedstawiono w postaci jednego bloku o transmitancji Kz(s). Pozostałe
elementy pętli skupiono w drugim bloku transmitancji Kz*(s). Analizując schemat blokowy
układu, jak na rys. 8 uzyskujemy równania:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )sKsZsEsKsY z
*
z −=
( ) ( ) ( )sYsWsE −=
Wprowadzając oznaczenie
( ) ( ) ( )sKsKsK z
*
z=
jako transmitancję otwartego układu, otrzymujemy:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )sZ
sK1
sK
sW
sK1
sK
sY z
+
−
+
=
We wzorze powyższym, przedstawiającym zależność pomiędzy wymuszeniami
w i z, a wielkością regulowaną y w układzie zamkniętym występują dwie transmitancje.
Pierwsza z nich
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) 0sZprzy,
sW
sY
sK1
sK
sG ==
+
=
nazywa się transmitancją główną zamkniętego układu, natomiast druga
( )
( )
( )
( ) 0sWprzy,
sZ
sY
sK1
)s(K
)s(G z
z =−=
+
=
nazywa się transmitancją zakłóceniową zamkniętego układu.
Po przekształceniach, otrzymujemy zależność pomiędzy uchybem E(s) a wymuszeniami
W(s) i Z(s):
( )
( )
( ) ( )
( )
( )sZ
sK1
sK
sW
sK1
1
sE z
+
+
+
=
We wzorze tym, także występują dwie transmitancje. Transmitancja
( )
( )
( )
( )
( ) 0sZprzy,
sW
sE
sK1
1
sGe ==
+
=
zwana jest transmitancją uchybową zamkniętego układu.
Transmitancja
( ) 0)s(Wprzy,
)s(Z
)s(E
)s(K1
)s(K
sG z
z ==
+
=
tak jak poprzednio, jest transmitancją zakłóceniową zamkniętego układu.
W przypadku, gdy w układzie działa kilka zakłóceń (Zi(s), i = 1, 2, ... , n) otrzymuje się
dla uchybu w zamkniętym układzie następującą zależność:
)s(Z
)s(K1
K
)s(W
)s(K1
1
)s(E i
n
1i
zi
∑
= +
+
+
=
gdzie: )s(K iz - transmitancja zastępcza elementów znajdujących się pomiędzy wejściem
i-tego zakłócenia a głównym węzłem sumującym.
Kształtowanie własności dynamicznych
Na rys. 9, przedstawiono układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym, składający się
z bezinercyjnego wzmacniacza o bardzo dużym wzmocnieniu kw >> 1 oraz elementu
dynamicznego o transmitancji β(s).

15
w + e y
kw
-
β(s)
Rys. 9. Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym przez blok
kw – wzmocnienie wzmacniacza, β(s) – transmitancja elementu sprzężenia zwrotnego
Transmitancja układu z rys. 9, wynosi:
)s(k1
k
)s(G
w
w
β+
=
Przy wzmocnieniu kw >> 1 transmitancja spełnia zależność:
)s(
1
)s(
k
1
1
)s(G
w
β
≈
β+
=
Transmitancja G(s) zależy tylko od parametrów transmitancji sprzężenia zwrotnego β(s),
a nie zależy od parametrów wzmacniacza. Zatem wzmocnienie kw może się zmieniać, byle
tylko było duże. Tę własność wykorzystuje się do konstrukcji regulatorów analogowych jako
elementów o pożądanych własnościach dynamicznych.
Ujemne sprzężenie zwrotne jest podstawową cechą układu regulacji automatycznej.
Zasadniczą własnością układu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym jest to, że przy
dostatecznie dużym wzmocnieniu, przy którym układ jest stabilny, uchyb jest zbliżony
do zera.
Własności statyczne i dynamiczne podstawowych elementów automatyki
Jeżeli istnieje proporcjonalność między zmianami sygnału wyjściowego y i zmianami
sygnału wejściowego x elementu, to charakterystyka statyczna elementu y = f(x) jest linią
prostą (rys.10), a element taki nazywamy liniowym. W charakterystyce liniowej nachylenie
wykresu K, nazywane współczynnikiem wzmocnienia, ma wartość stałą, niezależną od
wartości sygnału wejściowego, która jest równa tangensowi kąta nachylenia charakterystyki
statycznej.
K =
x
y
∆
∆
= tg α = const
W układach regulacji automatycznej rzeczywiste elementy mają często charakterystyki
statyczne nieliniowe, w których współczynnik wzmocnienia zależy od wartości sygnału
wejściowego (rys.11). Człony takie nazywamy nieliniowymi. Przybliżoną wartość
współczynnika wzmocnienia elementu nieliniowego, dla określonej wartości sygnału
wejściowego, otrzymamy zastępując jego charakterystykę statyczną odcinkiem stycznej
w danym punkcie i przyjmując tanges kąta nachylenia stycznej jako wzmocnienie.
Dla wybranych na wykresie punktów nachylenie wykresu wynosi:
− dla punktu P1 K1 =
1
1
x
y
∆
∆
= tg α1,
− dla punktu P2 K2 =
2
2
x
y
∆
∆
= tg α2.

16
Rys. 10. Charakterystyka statyczna elementu liniowego
[8, s.14]
Rys. 11. Charakterystyka statyczna elementu
nieliniowego [8, s. 14]
Zastępowanie charakterystyki nieliniowej odcinkiem linii prostej nazywamy linearyzacją.
Linearyzacja pozwala określić wartość współczynnika wzmocnienia jedynie
w niewielkim otoczeniu punktu pracy. Im większe jest otoczenie punku pracy, tym większy
jest błąd spowodowany linearyzacją.
Charakterystyki dynamiczne określają zachowanie się bloków w stanach nieustalonych,
po zadaniu określonego przebiegu sygnału wejściowego. Do określania charakterystyk
dynamicznych układu sterowania lub jego części stosuje się, wytworzone specjalnie w tym
celu, standardowe sygnały wejściowe (tab. 1), których przebieg czasowy odwzorowuje z góry
określoną funkcję.
Tabela 1. Standardowe sygnały wejściowe (wymuszenia) stosowane do badania elementów automatyki
[8, s. 15]

17
Najczęściej do określania właściwości dynamicznych członów stosuje się standardowe
wymuszenie skokowe jednostkowe przybierające w dowolnej chwili czasu wartość skoku
równą jeden a odpowiedź elementu lub układu na to wymuszenie nazywamy odpowiedzią
skokową jednostkową. Odpowiedź skokowa członu to odpowiedź na standardowe
wymuszenie skokowe przybierające w dowolnej chwili czasu stałą wartość xst.
Rodzaje podstawowych członów dynamicznych automatyki. Człon proporcjonalny
Człon proporcjonalny (bezinercyjny) jest to najprostszy element automatyki, którego
właściwości dynamiczne mogą być pominięte i który w związku z tym jest wystarczająco
dokładnie opisywany charakterystyką statyczną
y = k·x,
gdzie:
− y – wielkość wyjściowa,
− x – wielkość wejściowa,
− k – współczynnik wzmocnienia (proporcjonalności).
Charakterystykę statyczną elementu proporcjonalnego przedstawia rys. 12, natomiast
charakterystykę odpowiedzi skokowej przedstawia rys.13.
Rys. 12. Charakterystyka statyczna elementu
proporcjonalnego [8, s. 17]
Rys. 13. Odpowiedź skokowa elementu
proporcjonalnego [8, s. 17]
Współczynnik wzmocnienia elementu obliczamy z charakterystyki skokowej:
)t(x
)t(y
=
st
st
x
xk ⋅
= k.
W zapisie rachunku operatorowego człon proporcjonalny (bezinercyjny) opisany jest
transmitancją, która jest równa współczynnikowi proporcjonalności:
G(s) =
)s(X
)s(Y
= k.
Przykładem elementu proporcjonalnego jest dźwignia dwustronna (rys. 14). Siła Fx
przyłożona do jednego końca dźwigni powoduje, że natychmiast pojawia się na drugim końcu
siła Fy, której wartość zależy od stosunku odległości punktów przyłożenia sił od punktu
podparcia dźwigni:
Fx·a = Fy·b,
Fy = ⋅
b
a
Fx .

18
Rys. 14. Dźwignia dwustronna [16, s. 34] Rys. 15. Rezystancyjny dzielnik napięcia [8, s. 18]
Przykładem elektrycznego elementu proporcjonalnego jest rezystancyjny dzielnik
napięcia (rys. 15). Sygnałem wejściowym x jest napięcie U1 , przyłożone w chwili t0, które
powoduje, że na zaciskach wyjściowych w tej samej chwili pojawi się napięcie U2 jako
sygnał wyjściowy y, którego wartość wynosi:
U2 = 1
21
2
U
RR
R
+
,
gdzie: k =
21
2
RR
R
+
- jest wzmocnieniem elementu proporcjonalnego.
Do elementów proporcjonalnych (bezinercyjnych) zaliczamy również wszystkie
połączenia sztywne, zawory, przekładnie.
Człon inercyjny I rzędu
Właściwości dynamiczne członu inercyjnego I rzędu dobrze oddaje jego odpowiedź
skokowa (rys. 16). Wielkość wyjściowa tego członu wykazuje, w stosunku do wymuszenia
przyłożonego na wejściu, pewną „bezwładność” (inercję). Stąd nazwa tego członu. Człon
inercyjny ma także charakterystykę statyczną, która określa zależność między stałą w czasie
wartością wielkości wejściowej a wartością ustaloną wielkości wyjściowej.
Rys. 16. Odpowiedź skokowa elementu inercyjnego I rzędu: x(t) – sygnał wejściowy, y(t) – sygnał
wyjściowy, k, T – parametry członu [8, s. 19]
Odpowiedź na wymuszenie skokowe ma postać:
y(t) = K(1 – e T
t
−
),
gdzie:
− K - wzmocnienie członu,
− e – stała (podstawa logarytmów naturalnych),
− T – stała czasowa.

19
Szybkość zmian wielkości wyjściowej jest charakteryzowana za pomocą parametru T,
zwanego stałą czasową i mającego wymiar czasu. Im większa jest wartość tego parametru,
tym wolniej nadąża wielkość wyjściowa za wejściową.
Stałą czasową T członu inercyjnego otrzymujemy jako czas określony rzutem odcinka
stycznej 0A na asymptotę wyznaczająca wartość ustaloną wielkości wejściowej. Możemy
wyznaczyć ją również podstawiając do wyżej podanego równania opisującego odpowiedź na
wymuszenie skokowe t = T:
y(T) ≈ 0,632·K.
W przypadku skokowej zmiany wielkości wejściowej, wielkość wyjściowa człony
inercyjnego I rzędu zmienia się w ciągu każdego przedziału czasu o długości T o ok. 63%
różnicy między jej wartością początkową a wartością ustaloną, do której dąży.
Człon inercyjny I rzędu opisany jest równaniem różniczkowym
T
dt
)t(dy
+ y(t) = K x(t)
lub transmitancją w zapisie rachunku operatorowego
G(s) =
sT1
K
+
.
Charakterystykę członu inercyjnego ma wiele urządzeń (samą lub w połączeniu z innymi
członami). Inercję spotykamy przede wszystkim tam, gdzie występuje pokonywanie
bezwładności i oporów ruchu. Przykładowo charakterystykę inercyjną będzie miał wykres
prędkości wirowania silnika elektrycznego po włączeniu go do sieci, wykres prędkości
liniowej samochodu po zmianie położenia dźwigni gazu. Za pomocą inercji możemy
przedstawić właściwości dynamiczne np.: żelazka, garnka, w którym podgrzewana jest woda,
zbiornika ze swobodnym odpływem
Przykładem w elektronice członu inercyjnego I rzędu jest czwórnik typu RC lub LR
(rys.17). W przypadku czwórnika RC odpowiedzią na wymuszenie skokowe napięcia U1, jest
napięcie na ładującym się kondensatorze, a w przypadku czwórnika LR – napięcie na
odbiorniku, wprost proporcjonalne do narastającego prądu w obwodzie. Stałe czasowe
podanych elementów inercyjnych są odpowiednio równe: RC i
R
L
.
Rys. 17. Realizacja elektryczna elementu inercyjnego I rzędu za pomocą: a) czwórnika RC,
b) czwórnika LR [8, s. 21]
Człon inercyjny II rzędu
Łańcuchowe połączenie dwóch elementów inercyjnych I rzędu prowadzi do układu
zwanego elementem inercyjnym II rzędu. Przykładem w dziedzinie elektroniki takiego
elementu może być połączenie dwóch członów inercyjnych typu RC (rys. 18) lub LR.

20
Rys. 18. Realizacja elektryczna elementu inercyjnego II rzędu [8, s. 20]
Człon R1C1 wprowadza opóźnienie początkowe, ponieważ napięcie na kondensatorze jest
traktowane jako sygnał wejściowy dla członu R2 C2.
Równanie różniczkowe elementu inercyjnego II rzędu ma postać:
T1 T2 2
2
dt
yd
+ (T1 + T2)
dt
dy
+ y = Kx,
gdzie: T1, T2 – stałe czasowe,
K – współczynnik proporcjonalności.
Transmitancja operatorowa ma postać:
G(s) =
)1sT)(1sT(
K
21 ++
.
Rys. 19. Odpowiedź skokowa elementu inercyjnego II rzędu: x(t) – sygnał wejściowy,
y(t) – sygnał wyjściowy [8, s. 19]
Na rys. 19 przedstawiona jest odpowiedź skokowa członu inercyjnego II rzędu oraz
sposób wyznaczania stałych czasowych T1, T2. Element inercyjny II rzędu często po
uproszczeniu traktowany jest jako element inercyjny I rzędu o stałej czasowej T2
z początkowym opóźnieniem T1. Jest to typowy model dynamiczny wielu procesów
przemysłowych.

21
Człon całkujący
Charakterystyka odpowiedzi skokowej członu całkującego przedstawiona jest na rys. 20.
Rys. 20. Odpowiedź skokowa członu całkującego: x(t) – sygnał wejściowy,
y(t) – sygnał wyjściowy [8, s. 21]
Odpowiedź skokowa y(t) jest określona zależnością:
y(t) =
T
1
xst·t,
gdzie:
− T – stała czasowa całkowania ( czas po, którym odpowiedź skokowa osiągnie wartość
wymuszenia).
Element całkujący opisany jest równaniem różniczkowym:
T
dt
dy
= k·x
lub transmitancją operatorową
G(s) =
sT
k
Jak widać z przebiegu odpowiedzi skokowej, która narasta liniowo do nieskończoności,
człon całkujący nie osiąga stanu ustalonego. Człon całkujący nazywany jest członem
astatycznym, bo nie ma on charakterystyki statycznej. Ponieważ osiąga on stan ustalony tylko
przy zerowej wartości sygnału wejściowego (rys. 21).
Rys. 21. Zmiana sygnału wyjściowego członu całkującego przy skokowych zmianach sygnału
wejściowego [9, s. 22]
Przykładem fizycznym elementu całkującego jest zbiornik, w którym zarówno dopływ,
jak i odpływ są wymuszane i niezależne od poziomu cieczy. Również silnik elektryczny,

22
idealizując sposób jego rozruchu ( silnik rusza z prędkością znamionową, nie wykazując
inercji), jest przykładem modelu członu całkującego. W chwili załączenia napięcia, które dla
małych silników ma charakter skokowy, obserwujemy liniowo narastającą liczbę obrotów
wału silnika.
Człon inercyjny I rzędu można, przez pewien czas stanowić dobre przybliżenie członu
całkującego. Im większa jest stała czasowa członu inercyjnego, tym dłuższy jest ten czas.
W związku z tym, przy bardzo dużych wartościach stałych czasowych członu inercyjnego
można go traktować jak człon całkujący.
Człon różniczkujący
Idealny element różniczkujący opisany jest równaniem różniczkowym:
y(t) = k
dt
dx
G(s) = k s.
Odpowiedzią skokową idealnego członu różniczkującego (rys. 22) jest funkcja Diraca
pomnożona przez współczynnik proporcjonalności oraz amplitudę wymuszenia wejściowego.
Możemy powiedzieć, że odpowiedzią członu różniczkującego idealnego jest sygnał
o znikomo krótkim czasie trwania (o zerowym czasie trwania) i nieskończenie wielkiej
amplitudzie.
Rys. 22. Odpowiedź skokowa idealnego członu różniczkującego: x(t) – sygnał wejściowy, y(t) – sygnał
wyjściowy [8, s. 21]
W rzeczywistych układach fizycznych nie możliwe jest uzyskanie impulsu
o nieograniczonej amplitudzie, w związku z tym właściwości członu różniczkującego
idealnego bada się wymuszeniem liniowo narastającym (rys. 23).
Rys. 23. Odpowiedź idealnego członu różniczkującego przy liniowo narastającym sygnale wejściowym
[9, s. 23]

23
Jak widać na rys. 23, przy liniowo narastającym wymuszeniu na wyjściu idealnego
członu różniczkującego otrzymujemy funkcję skokową. Przykładem takiego członu może być
prądnica prądu stałego, której sygnałem wejściowym jest kąt obrotu wału, a sygnałem
wyjściowym napięcie o stałej wartości, proporcjonalnej do prędkości wirowania wału.
Człon różniczkujący rzeczywisty jest opisany równaniem różniczkowym:
T
dt
dy
+ y = k
dt
dx
,
dla którego transmitancja operatorowa wynosi
G(s) = k
sT1
s
+
,
gdzie:
− T – stała czasowa członu różniczkującego,
− k – współczynnik wzmocnienia.
Na rys. 24 przedstawiona jest odpowiedź skokowa tego członu.
Rys. 24. Odpowiedź skokowa rzeczywistego członu różniczkującego: x(t) – sygnał wejściowy, y(t) –
sygnał wyjściowy, T – stała różniczkowania [8, s. 23]
Przebieg zmian sygnału wyjściowego y(t) rzeczywistego członu różniczkującego
przedstawia zależność:
y(t) =
T
k
xst·e- T
t
,
gdzie: xst – wartość skoku wymuszenia.
Taka samą odpowiedź skokową jak na rys. 24 otrzymalibyśmy przy szeregowym
połączeniu członów: inercyjnego ze stałą czasową T i różniczkującego idealnego.
Przykładem w elektronice elementu różniczkującego jest dzielnik napięcia RL i czwórnik
CR (rys. 25).
a) b)
Rys. 25. Przykład rzeczywistego członu różniczkującego: a) dzielnik napięcia RL, b) czwórnik CR [8, s. 25]
Człon oscylacyjny
Człon oscylacyjny jest opisany równaniem różniczkowym:
T1
2
2
2
dt
yd
+ T2
dt
dy
+ y = kx(t)

24
G(s) =
1sTsT
k
2
22
1 ++
,
gdzie:
− T1, T2 – stałe czasowe, 2
2T < 2
1T ,
− k – współczynnik proporcjonalności.
Rys. 26. Odpowiedź skokowa członu oscylacyjnego dla różnych współczynników tłumienia: x(t) – sygnał
wejściowy, y(t) – sygnał wyjściowy [8, s. 25]
Przebiegi odpowiedzi na wymuszenie skokowe członu oscylacyjnego przedstawia
rys. 26. Zależą one od wartości współczynnika tłumienia ζ =
1
2
T
T
. Dla współczynnika ζ ≥ 1
charakterystyka przypomina odpowiedź członu inercyjnego, dla ζ < 1 występują oscylacje.
Przykładem realizacji elektrycznej elementu oscylacyjnego jest szeregowy obwód
rezonansowy złożony z elementów RLC jak na rys. 27. Sygnałem wejściowym układu jest
napięcie U1, sygnałem wyjściowym – napięcie U2. Parametry elementu oscylacyjnego
określają następujące zależności:
T1 = CL ⋅ , T2 = R·C, ζ =
L
C
2
R
.
Rys. 27. Realizacja elektryczna elementu oscylacyjnego [8, s. 26]
Człon opóźniający (continuum RL)
Sygnał wyjściowy elementu opóźniającego ma taki sam kształt jak sygnał wejściowy,
lecz przesunięty w czasie. Równanie człon opóźniającego ma postać:
y(t) = x(t – T0),
gdzie: T0 – opóźnienie.
Jego transmitancja operatorowa wynosi:
G(s) = k· 0sT
e−
,

25
a odpowiedź skokową przedstawia rys. 28.
Rys. 28. Odpowiedź skokowa członu opóźniającego: x(t) – sygnał wejściowy, y(t) – sygnał wyjściowy
[8, s. 27]
Człon opóźniający nie wprowadza zniekształceń sygnału wejściowego, lecz przesuwa
go w czasie o pewną stałą wartość T0. Człon ten opisuje czas transportu materiału, czas
potrzebny do przesłania sygnału. W związku z tym, człon ten często nazywany jest
opóźnieniem transportowym. Przykładami członu opóźniającego są: np. odcinek rurociągu
wprowadzający opóźnienie w przesyle jakiegoś medium, taśmociąg. W dziedzinie elektroniki
przykładem takiego członu jest linia opóźniająca 64µs (sygnały podawane są w odstępie
czasu trwania linii, czyli przez 64µs na matrycę dekodera) stosowana w kolorowych
odbiornikach telewizyjnych.
Innym modelem członu opóźniającego jest linia elektryczna, w której uwzględniono
tylko indukcyjność L i pojemność C na jednostkę długości (rys. 29). Stąd inna nazwa członu
opóźniającego – continuum LC.
Rys. 29. Continuum LC [15, s. 60]
4.1.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.
1. Jakie są podstawowe układy łączenia elementów?
2. Jaki jest wzór na transmitancję zastępczą szeregowego i równoległego połączenia
elementów?
3. Jakie zależności opisują układy ze sprzężeniem zwrotnym?
4. Jaki wpływ na działanie układu ma sprzężenie zwrotne, gdy wzmocnienie wzmacniacza
jest bardzo duże?
5. Jaki zachowa się układ ze sprzężeniem zwrotnym, gdy pojawi się zakłócenie
w dowolnej części układu?
6. Jak charakteryzuje się elementy liniowe?
7. Jakie poznałeś elektryczne modele podstawowych członów automatyki?

26
4.1.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Wyznacz transmitancję układu jak na rys. Uwzględnij wartości elementów.
Rys. do ćwiczenia 1. Schemat ideowy układu
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) zapoznać się z instrukcją wykonania ćwiczenia,
2) zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
3) wykonać obliczenia,
4) zaprezentować wykonane ćwiczenie,
5) dokonać oceny poprawności wykonanego ćwiczenia,
6) sporządzić sprawozdanie z przebiegu ćwiczenia, załączając schematy układu, otrzymane
wyniki, obliczenia i wnioski z badań.
Wyposażenie stanowiska pracy:
− zeszyt,
− instrukcja ćwiczenia,
− literatura z rozdziału 6.
Ćwiczenie 2
Wyznacz transmitancję układu jak na rys. Uwzględnij wartości elementów.
Rys. do ćwiczenia 2. Schemat ideowy układu

27
4) zaprezentować wykonane ćwiczenie,
6) sporządzić sprawozdanie z przebiegu ćwiczenia, załączając schematy układu, otrzymane
− zeszyt,
− instrukcja ćwiczenia,
− literatura z rozdziału 6.
4.1.4. Sprawdzian postępów
Tak Nie
Czy potrafisz:
1) obliczyć transmitancję zastępczą połączonych szeregowo elementów?
2) obliczyć transmitancję wzmacniacza objętego sprzężeniem zwrotnym?
3) przekształcić układ automatyki?
4) obliczyć odpowiedź układu na wymuszenie skokiem jednostkowym?
5) przewidzieć wpływ zakłócenia na wielkość regulowaną?

28
4.2. Modele matematyczne obiektów i układów sterowania
Sterowanie polega na oddziaływaniu na określony proces fizyczny w celu uzyskania
pożądanego przebiegu tego procesu. Wśród wielu odmian wyróżnić można sterowanie:
− sekwencyjne,
− czasowe,
− sekwencyjno-czasowe,
− nadążne,
− programowe.
Cechą charakterystyczną sterowania sekwencyjnego jest zapewnienie właściwej
kolejności wykonywania operacji technologicznych.
Sterowanie czasowe, polega na tym, że odpowiednie oddziaływanie urządzenia
sterującego odbywa się według z góry ustalonego programu czasowego. Najczęściej chodzi
o utrzymanie odpowiedniego odstępu czasowego między dwoma zdarzeniami.
Sterowanie sekwencyjno-czasowe stanowi połączenie dwóch wyżej przedstawionych
odmian sterowania. W układach sterowania nadążnego wartość wielkości wiodącej (zadanej)
nie jest z góry znana, lecz zmienia się dość przypadkowo. W układach sterowania
programowego wielkość wiodąca zmienia się w sposób z góry znany, zgodnie z określonym
programem. Program ten może być zmieniany przez obsługę.
Jako regulatory wykorzystuje się układy przekaźnikowe, logiczne, sterowniki,
komputery.
Niejednokrotnie wskutek występowania wielu zakłóceń, zmieniających się w szerokim
zakresie, zastosowanie prostych układów regulacji automatycznej nie pozwala uzyskać
zadawalającego przebiegu procesu technologicznego. Konieczne jest zastosowaniem bardziej
złożonych układów regulacji. Wśród złożonych struktur układów regulacji automatycznej
można wyróżnić układy regulacji:
− z pomocniczą wielkością nastawczą,
− kaskadowej,
− z pomiarem wielkości zakłócającej.
Dobór najwłaściwszej struktury układu regulacji jest zadaniem trudnym i wymaga bardzo
dobrej znajomości właściwości statycznych i dynamicznych obiektu regulacji.
Układy regulacji z pomocniczą wielkością nastawczą (rys. 30) stosuje się w celu
poprawienia przebiegu wielkości regulowanej w stanach nieustalonych. W układzie wyróżnia
się dwie wielkości nastawiające: główną y i pomocniczą yp, a tym samym dwa elementy
wykonawcze. Aby pomocniczy element wykonawczy mógł ingerować również w stanach
nieustalonych, jest on sterowany przez element dynamiczny typu D lub PD.
z
y x
xo e
- yp
Rys. 30. Schemat blokowy układu regulacji z pomocniczą wielkością nastawiającą:
y – główna wielkość nastawiająca, yp – pomocnicza wielkość nastawiająca, xo - wielkość zadana,
e – uchyb, z – zakłócenie, x – wielkość regulowana, R – regulator, CD – człon dynamiczny
R
CD
Obiekt

29
Rys. 31. Układ regulacji temperatury komory nagrzewanej pyłem węglowym
z pomocniczą wielkością nastawiającą [14, s. 104]
MK – młyn kulowy, C – cyklon, R – regulator, PD –regulator pomocniczy typu PD, K – komora spalania
Przykładem układu regulacji z pomocniczą wielkością nastawiającą jest układ regulacji
temperatury w komorze K nagrzewanej pyłem węglowym (rys. 31). Po zmieleniu węgla
w młynie kulowym MK pył zostaje przetransportowany wraz ze strumieniem powietrza do
cyklonu C, gdzie osiada na jego dnie. Prosty sposób regulacji może polegać na pomiarze
temperatury i oddziaływaniu na prędkość kątową młyna. Cecha charakterystyczną takiego
obiektu jest duża wartość czasu opóźnienia oraz stałej czasowej. Dla polepszenia regulacji
wykorzystano jako pomocniczą wielkość nastawiającą strumień powietrza dostarczający pył
węglowy bezpośrednio do komory spalania. Zmniejszenie się wartości temperatury
ϑ w stosunku do zadanej oϑ powoduje:
− zwiększenie stopnia otwarcia zaworu, wskutek czego nastąpi chwilowe zwiększenie
przepływu powietrza porywającego za sobą cząstki pyłu,
− zwiększenie prędkości kątowej młyna, co z kolei spowoduje zwiększenie ilości
wytwarzanego paliwa.
Powietrze dodatkowe doprowadzone bezpośrednio do komory spalania uzupełnia ilość
powietrza do całkowitego spalania.
Rys. 32. Układ regulacji ciśnienia w zbiorniku, z wykorzystaniem [14, s. 105]
pomocniczej wielkości nastawiającej
P – pompa, Z – zbiornik, R – regulator, D – regulator typu D, M – silnik

30
Rys. 32 przedstawia zbiornik zasilany przez pompę P. Wielkością regulowaną jest
ciśnienie w zbiorniku. Nastawianie ciśnienia przez zmianę prędkości kątowejω pompy P jest
sposobem bardzo ekonomicznym (małe zużycie energii), ale równocześnie bardzo powolnym.
Zmniejszenie odpływu Q ze zbiornika powoduje w nim nadmierny wzrost ciśnienia, co jest
bardzo niebezpieczne. Zastosowanie zaworu pomocniczego powoduje, w przypadku wzrostu
ciśnienia, szybkie przymknięcie zaworu. Spowoduje to zwiększenie spadku ciśnienia na
zaworze nie dopuszczając do wystąpienia nadmiernego ciśnienia w zbiorniku. W normalnym
stanie pracy zawór jest całkowicie otwarty.
W niektórych przypadkach można dla określonego obiektu wybrać pewną wyjściową
wielkość pomocniczą, na którą wszelkie zakłócenia wpływają znacznie wcześniej niż na
wielkość regulowaną. Często wielkością pomocniczą może być wielkość regulowana, ale
zmierzona w jakimś miejscu pośrednim.
Wykorzystanie wielkości pomocniczej w układzie regulacji umożliwia regulatorowi
odpowiednio wcześniej wpłynąć na wielkość nastawianą, niżby to było możliwe w przypadku
odczekania aż do chwili uwidocznienia wpływu tego zakłócenia na wielkość regulowaną.
Układ umożliwiający realizowanie takiego oddziaływania nosi nazwę układu regulacji
kaskadowej.
obiekt
e x
xo Rg Rp O1 O2
xp
Rys. 33. Schemat blokowy układu regulacji kaskadowej: Rg – regulator główny,
Rp – regulator pomocniczy, x0 - wielkość zadana, e - uchyb xp – pomocnicza wielkość regulowana,
x – wielkość regulowana, O1, O2 – części obiektu
Schemat blokowy układu regulacji kaskadowej przedstawiono na rys. 33. W obiekcie
regulacji wyodrębniono dwie części:
− blok O1 symbolizuje wpływ wielkości nastawianej na pomocniczą wielkość regulowaną
xp,
− blok O2 symbolizuje wpływ wielkości xp na wielkość regulowaną x.
W strukturze można także wyodrębnić dwa obwody regulacyjne:
− pomocniczy z regulatorem Rp,
− główny z regulatorem Rg.
Obwód z regulatorem głównym Rg, jest obwodem wolno działającym, wspomagającym
pracę obwodu pomocniczego. Przeciwdziała on głównie tym zakłóceniom, które wpływają
bezpośrednio na główną wielkość regulowaną.
W porównaniu z prostymi układami regulacji, układy regulacji kaskadowej posiadają
następujące zalety:
− większą dokładność regulacji,
− mniejsze wahania wartości wielkości wyjściowej w wyniku ograniczenia zakresu
zmienności pomocniczej wielkości regulowanej,
− znaczny stopień i prędkość tłumienia zakłóceń przez obwód pomocniczy.
Układy regulacji kaskadowej są powszechnie stosowane, gdyż umożliwiają uzyskanie
regulacji na odpowiednim, zadawalającym poziomie.
Modele statyczne i dynamiczne w automatyce
Skuteczność sterowania dowolnego układu wymaga poznania jego zachowania się
w czasie, czyli znajomości odpowiedzi na pytanie, jakie są skutki działania w układzie
określonej przyczyny. Każdy układ fizyczny, którego zachowanie zmienia się w czasie

31
nazywamy układem dynamicznym. Układy automatyki są w większości układami
dynamicznymi. Rozpatruje się ich właściwości, podobnie jak elementów automatyki, podając
na ich wejście standardowe sygnały wejściowe i obserwuje ich odpowiedzi na określone
wymuszenie. Wyniki badań zależą od liniowości układu lub odstępstw od liniowości. Układ
dynamiczny jest liniowy gdy spełnia on zasadę superpozycji, a równanie różniczkowe
opisujące układ jest liniowe. Właściwie układy liniowe nie istnieją, np. prawo Ohma dla
rezystora jest prawdziwe tylko dla pewnych wartości prądów i napięć, a po przekroczeniu
wartości odpowiadającej mocy znamionowej rezystor ulega zniszczeniu.
Dla pełnej oceny właściwości obiektu dynamicznego przeprowadza się badania
w stanach ustalonych i przejściowych (nieustalonych). Właściwość układu dynamicznego
określona w stanie ustalonym nazywa się charakterystyką statyczną. Ze względu na kształt
charakterystyki statycznej, obiekty regulacji (sterowania) dzielimy na:
− obiekty liniowe,
− obiekty nieliniowe.
Większość obiektów sterowania ma charakterystykę statyczną nieliniową. Analizując
nieliniową charakterystykę statyczną (rys.34) możemy jednak określić zakres zmian
sygnałów, w którym poszczególne obiekty traktuje się jako liniowe. Dzięki temu, badając
obiekty w otoczeniu punktu pracy, zastępujemy charakterystykę krzywoliniową –
charakterystyką liniową. Również analiza układów liniowych jest prostsza niż nieliniowych.
Rys. 34. Ilustracja zakresu liniowości nieliniowej charakterystyki statycznej [13, s. 67]
Charakterystyki statyczne obiektów regulacji
Model statyczny obiektu możemy przedstawić jako szeregowe lub równoległe
połączenie podstawowych elementów automatyki. Również elementy składowe mogą być
połączone w układ sprzężenia zwrotnego. Analizę takiego modelu statycznego obiektu
przeprowadzić możemy posługując modelami przedstawionymi graficznie.
Konstruowanie charakterystyki obiektu, którego dwa elementy są połączone równolegle
(rys. 35), sprowadza się do narysowania charakterystyk tych elementów na jednym wykresie
oraz ich dodaniu graficznym.
Rys. 35. Równoległe łączenie elementów: a) schemat blokowy, b) wypadkowa charakterystyka statyczna
[13, s. 58]

32
W celu otrzymania charakterystyki wynikowej obiektu, którego dwa elementy są
połączone szeregowo (rys. 36), wykonuje się złożenie (superpozycję) charakterystyk tych
elementów.
Rys. 36. Szeregowe łączenie elementów: a) schemat blokowy, b) wypadkowa charakterystyka statyczna
[13, s. 58]
Jeżeli elementy są połączone przez sprzężenie zwrotne, to charakterystykę wypadkową
wyznacza się w zależności od znaku sprzężenia według schematu z rys. 37:
− dla ujemnego sprzężenia zwrotnego krzywa y = f1(x),
− dla dodatniego sprzężenia zwrotnego krzywa y = f2(x).
W zależności od znaku sprzężenia, sygnał x opisany jest zależnościami:
− dla sprzężenia ujemnego
x = k + l,
− dla sprzężenia dodatniego
x = k – l.
Rys. 37. Układ sprzężenia zwrotnego: a) schemat, b) wypadkowe charakterystyki statyczne przy sprzężeniu
dodatnim y = f2(x) i ujemnym y = f1(x) [8, s. 33]

33
Charakterystyki dynamiczne obiektów regulacji
Ze względu na przebieg odpowiedzi skokowej obiekty regulacji możemy podzielić na:
− statyczne (z samowyrównaniem), w których wielkość sterowana (regulowana) y osiąga
stan ustalony w otwartym układzie sterowania (bez pomocy regulatora),
− astatyczne (bez samowyrównania), w których wielkość sterowana y nie może osiągnąć
stanu ustalonego bez regulatora.
Zapewnienie dobrych parametrów układom regulacji stosowanym w przemyśle jest
często trudne, gdy w obiekcie występuje opóźnienie, np. związane z transportem składników
reakcji procesu chemicznego. Opóźnienie jest tak ważnym składnikiem dynamiki obiektu, że
często możemy zaniedbać wpływ innych składników i dlatego typowym modelem
dynamicznym obiektu (procesu) przemysłowego jest:
− opóźnienie z inercją opisane równaniem różniczkowym (obiekt statyczny
z samowyrównaniem - rys. 38 a):
y(t) + Tz
dt
)t(dy
= Kx(t – T0),
gdzie:
− współczynnik wzmocnienia K = y0/xst,
− zastępczy czas opóźnienia T0,
− zastępcza stała czasowa Tz;
− lub opóźnienie z całkowaniem opisane równaniem różniczkowym (obiekt astatyczny bez
samowyrównania – rys. 38 b):
dt
)t(dy
= Kx(t - T0),
gdzie:
− stała całkowania Tc = xst/ tg α (lub k = 1/ tg α gdy y jest inną wielkością fizyczną niż x).
Rys. 38. Przebieg odpowiedzi na wymuszenie skokowe: a) obiektu statycznego, b), c) obiektu astatycznego
[16, s. 40]
Na rys. 38 c przedstawiono odpowiedź obiektu astatycznego – opóźnienie z inercją
i całkowaniem, którą charakteryzują następujące parametry:
− zastępcza stała czasowa części inercyjnej odpowiedźi obiektu Tz,
− stała całkowania Tc = xst/ tg α (lub k = 1/ tg α gdy y jest inną wielkością fizyczną niż x).

34
Wyznaczanie charakterystyk obiektów dynamicznych
Charakterystyki statyczną i dynamiczną obiektu można wyznaczyć zarówno analitycznie
jak i doświadczalnie.
Właściwości ciągłego elementu, obiektu lub układu liniowego o parametrach stałych
można opisać za pomocą równania różniczkowego, liniowego, o stałych współczynnikach.
Teoretyczne wyznaczenie właściwości dynamicznych na podstawie odpowiedzi na
typowe wymuszenie wymaga rozwiązania równania różniczkowego. Można to zrobić
dwiema metodami:
− metodą klasyczną polegającą na rozwiązaniu równania (obliczeniu pierwiastków
równania i wyznaczeniu stałych na podstawie warunków początkowych, wymagana jest
znajomość wyższej matematyki),
− metodą operatorową polegającą na zastosowaniu przekształcenia, zwanego
przekształceniem Laplaceà, które pozwala zastąpić równanie różniczkowo-całkowe
zwykłym równaniem algebraicznym.
Przekształcenie Laplaceà, powszechnie stosowane w automatyce, przyporządkowuje
danej funkcji transformatę (obraz przekształcenia) i odwrotnie
f(t)↔ F(s).
Załóżmy, że X(s) jest transformatą Laplaceà wymuszenia x(t) pojawiającego się dla t > 0,
a Y(s) – transformatą szukanego sygnału wyjściowego y(t).
Transmitancją operatorową nazywa się iloraz transformat wyjścia i wejścia, przy
zerowych warunkach początkowych
G(s) =
)s(X
)s(Y
.
Transmitancja G(s) jest funkcją zmiennej zespolonej s i ma tę właściwość, że w wyniku
pomnożenia transformaty wejścia X(s) przez transmitancję G(s) otrzymuje się transformatę
wyjścia Y(s):
X(s) G(s) = Y(s).
Ponieważ transmitancja operatorowa opisuje w sposób kompletny właściwości elementu
lub układu liniowego, wpisujemy ją wewnątrz prostokąta (bloku) symbolizującego dany
element na schematach blokowych układów automatyki.
Na podstawie charakterystyki operatorowej można wyznaczyć charakterystyki statyczne
elementów, obiektów i układów regulacji, a także charakterystyki dynamiczne – odpowiedzi
na typowe wymuszenia, np. skok jednostkowy. Jest to znacznie prostsze niż rozwiązywanie
metodą klasyczną równania różniczkowego, ale wymaga znajomości rachunku
operatorowego.
Praktyczne wyznaczenie charakterystyk obiektu wymaga:
− przygotowanie obiektu do badań ( ustalenie wielkości wejściowych i wyjściowych oraz
zakresów ich zmian),
− doboru aparatury pomiarowej ( odpowiedni zakres pomiarowy, inercyjność wskazań
przyrządów znacznie mniejsza od inercyjności obiektu),
− montażu aparatury pomiarowej na obiekcie ( montaż przyrządów zgodnie z ich
dokumentacją techniczno-ruchową),
− przygotowania tabel pomiarowych.
W celu wyznaczenia charakterystyki statycznej (rys. 39 a) dokonuje się, w stanach
ustalonych, odczytów wartości sygnału wyjściowego y dla kolejnych wartości sygnału
wejściowego x. Pomiary należy przeprowadzić w całym zakresie zmian pracy obiektu. Jeżeli
zmiany sygnału wejściowego nie następują w sposób ciągły, to należy przyjąć kwant
(przyrost w kolejnych odczytach) sygnału. Wartość kwantu może być zmieniana w trakcie
pomiaru, np. w obszarach dużych nachyleń charakterystyk kwant powinien być mniejszy.

35
Charakterystykę odpowiedzi skokowej obiektu wyznacza się w otoczeniu wybranego
punktu pracy. Wartość wymuszenia skokowego powinna wynosić 5÷15 % maksymalnej
swojej wartości oraz znajdować się na takim poziomie, aby odpowiedź skokowa mieściła się
w obszarze punku pracy. Wartość skoku na wejściu zależy od stopnia nieliniowości
charakterystyki statycznej (im bardziej nieliniowa tym wartość skoku mniejsza – rys. 39 a, b).
W przypadku badań obiektów podczas ich eksploatacji, do wyznaczenia odpowiedzi
skokowej często stosuje się wymuszenie impulsem prostokątnym (rys. 39 c). Wartość
impulsu wynosi 15÷25% zakresu zmian wymuszenia. Impuls prostokątny traktowany jest jak
dwa sygnały skokowe o takiej samej wartości ale o przeciwnych znakach i opóźnione
względem siebie o czas τ.
Rys. 39. Charakterystyka obiektów: a) przebieg charakterystyki statycznej, b) odpowiedź obiektu y(t) na
wymuszenie skokowe ∆x = x1 – x2, c) odpowiedź obiektu h(t) na wymuszenie impulsowe ∆x = x1 – x2 [16, s. 40]
1. Jakie są podstawowe struktury układów regulacji?
2. Jakie właściwości posiada układ regulacji kaskadowej?
3. Jakie czynniki decydują o wyborze struktury układu sterowania?
4. Jaki jest cel stosowania układu sterowania z pomocnicza wielkością nastawczą?
5. Kiedy układ dynamiczny jest liniowy?
6. Jak wyznacza się charakterystykę statyczną układu dynamicznego?
7. Kiedy możemy traktować obiekty o nieliniowej charakterystyce statycznej jako liniowe?
8. W jaki sposób wyznacza się graficznie model obiektu złożonego z dwóch elementów
połączonych równolegle?
9. W jaki sposób wyznacza się charakterystykę graficzną wypadkową dwóch elementów
połączonych szeregowo?
10. Jak dzieli się obiekty regulacji ze względu na przebieg odpowiedzi skokowej?
11. W jaki sposób możemy wyznaczyć teoretycznie własności dynamiczne obiektu regulacji?
12. Jakie wymagania należy spełnić aby wyznaczyć doświadczalnie charakterystyki obiektu?
13. W jaki sposób wyznacza się charakterystykę odpowiedzi skokowej obiektu regulacji?
4.2.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Badanie układu dynamicznego, który jest przedstawiony na rysunku poniżej. Jest to
naczynie z wodą o objętości ok. 1l z wymuszonym strumieniem wody 5· 10-6
m3
s-1
,
ogrzewane grzałką zasilaną z sieci przez autotransformator. Sygnałem wyjściowym układu

36
jest temperatura wody (υ1 lub υ2), a sygnałem wejściowym moc grzałki P. Pomiaru
temperatury dokonaj termometrem cieczowo-szklanym. Pomiar mocy P= UI wykonaj metodą
pośrednią, przy pomocy woltomierza i amperomierza. Wyznacz charakterystyki statyczne
υ1,2 = f(P) i charakterystyki dynamiczne. Określ użyteczny zakresu liniowości podanego
układu oraz podaj właściwości dynamiczne na podstawie charakterystyki skokowej.
Uwaga: Grzałkę przyłącz do sieci dopiero po zanurzeniu jej w wodzie.
Rysunek do ćwiczenia 1. [6, s. 35]
1) zapoznać się z wiadomościami dotyczącymi wyznaczania charakterystyk statycznych
i dynamicznych obiektów regulacji,
2) zapoznać się z instrukcją do ćwiczenia,
3) zapoznać się z aparaturą pomiarową oraz badanym obiektem,
4) zmontować badany układ na podstawie schematu,
5) określić jakie współrzędne charakteryzują stan badanego układu dynamicznego,
6) wyznaczyć charakterystykę statyczną układu dynamicznego jako zależność υ2 = f(P),
7) wyjaśnić czy na podstawie otrzymanej charakterystyki można stwierdzić liniowość
badanego układu,
8) wybrać liniowy zakres charakterystyki,
9) określić wartość skoku sygnału wejściowego odpowiadającego połowie zakresu liniowego
charakterystyki statycznej,
10) wyznaczyć charakterystykę skokową,
11) wyznaczyć z wykresu stałą czasową T i wzmocnienie układu k,
12) opracować i zinterpretować otrzymane wyniki,
13) zaprezentować efekty swojej pracy,
14) dokonać oceny wykonania ćwiczenia.
– naczynia z wodą z wymuszonym przepływem,
– wąż gumowy (klucz szklany),
– grzałka o mocy PN = 500 W,
– autotransformator,
– termometr szklany o zakresie 0 ÷ 100˚C,
– mierniki (woltomierz, amperomierz),
– instrukcja ćwiczenia,
– zeszyt,
– przybory do pisania i rysowania,
– literatura z rozdziału 6 poradnika.

37
Ćwiczenie 2
W układzie podanym na rysunku poniżej wyznacz charakterystyki: statyczną
i dynamiczną czwórnika RC.
Rysunek do ćwiczenia 2. [6, s. 36]
1) zapoznać się z wiadomościami dotyczącymi wyznaczania charakterystyk statycznych
i dynamicznych obiektów regulacji,
2) zapoznać się z instrukcją do ćwiczenia,
3) zapoznać się z aparaturą pomiarową,
4) zmontować układ według rysunku,
5) określić, jakie współrzędne charakteryzują stan badanego układu dynamicznego,
6) wyznaczyć charakterystykę statyczną układu dynamicznego,
7) wyjaśnić, czy na podstawie otrzymanej charakterystyki można stwierdzić liniowość
badanego układu,
8) wybrać liniowy zakres charakterystyki,
9) określić wartość skoku sygnału wejściowego odpowiadającego połowie zakresu
liniowego charakterystyki statycznej,
10) wyznaczyć charakterystykę skokową,
11) wyznaczyć z wykresu stałą czasową T i wzmocnienie układu k,
12) opracować i zinterpretować otrzymane wyniki,
13) zaprezentować efekty swojej pracy,
14) dokonać oceny wykonania ćwiczenia.
– generator,
– oscyloskop,
– wyłącznik,
– czwórnik RC,
– bateria 9V,
– instrukcja do ćwiczenia,
– przybory do pisania i rysowania,
– literatura z rozdziału 6.

38
Tak Nie
Czy potrafisz:
1) wyznaczyć charakterystyki statyczne i dynamiczne obiektu regulacji?
2) wyznaczyć liniowy zakres charakterystyki statycznej obiektu?
3) rozróżnić układy sterowania?
4) opisać zasadę działania układów z pomiarem wielkości zakłócającej?
5) wymienić zalety układów regulacji kaskadowej?
6) odczytać z przebiegu odpowiedzi skokowej stałą czasową
T i wzmocnienie k?
7) podać, w jaki sposób wyznacza się wartość wymuszenia skokowego
w celu wyznaczenia charakterystyki dynamicznej układu?
8) podać, w jaki sposób uzyskuje się charakterystykę skokową w trakcie
eksploatacji obiektu?

39
4.3. Kryteria sterowania i sterowanie optymalne
Stabilność jest określana jako zdolność zachowania pewnego stanu równowagi (rys. 40).
Stabilność charakteryzuje właściwości dynamiczne układu, które są warunkiem jego
prawidłowej pracy.
Układ zamknięty liniowy jest stabilny, jeżeli dla wymuszeń równych zeru i dowolnych
warunków początkowych uchyb w układzie dąży do zera w stanie ustalonym (rys. 41).
Rozróżnia się dwa rodzaje stabilności:
1. stabilność układu w stanie swobodnym – gdy na układ nie działają sygnały zewnętrzne
(zarówno sterujące jak i zakłócające),
2. stabilność układu poddanego działaniom zakłócającym.
Rys. 40. Rodzaje równowagi [wykład prof. dr hab. inż. J. Kowala – AGH]
Podstawowym warunkiem prawidłowej pracy liniowych układów sterowania jest ich
stabilność w stanie swobodnym. Dlatego duże znaczenie mają metody jej sprawdzania.
a) b)
Rys. 41. Przykładowe charakterystyki czasowe:
a) układów stabilnych, b) układów niestabilnych
Obecnie zastosowanie techniki komputerowej znacznie ułatwia określenie stabilności
układów. Jednak często chcemy zbadać wpływ zmian poszczególnych parametrów na

40
stabilność oraz jej zapas, tzn. ustalić jak warunki pracy układu różnią się od krytycznych, po
których przekroczeniu układ liniowy traci stabilność. W takich przypadkach stosuje się tzw.
kryteria stabilności lub metodę linii pierwiastkowych i bada się stabilność bez rozwiązywania
równania charakterystycznego. Można skorzystać z kryteriów algebraicznych Routha
i Hurwitza oraz częstotliwościowych Michajłowa i Nyquista oraz kryterium logarytmicznego.
Kryteria algebraiczne Routha i Hurwitza umożliwiają sprawdzenie, czy układ liniowy jest
stabilny na podstawie wartości współczynników tzw. równania charakterystycznego – bez
jego rozwiązywania [3]. Korzystając z częstotliwościowego kryterium stabilności można
wnioskować o stabilności układu na podstawie przebiegu odpowiednich charakterystyk
częstotliwościowych.
Kryterium Michajłowa umożliwia badanie stabilności układu liniowego na podstawie
przebiegu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej wykresu funkcji K(jω), otrzymanej
z wielomianu charakterystycznego K(s) po podstawieniu s = jω.
Zgodnie z tym kryterium przebiegi y0(t) zanikają w funkcji czasu, jeżeli pierwiastki równania
charakterystycznego są rzeczywiste ujemne lub zespolone o częściach rzeczywistych
ujemnych, a jeżeli chociażby jedna z części rzeczywistych si jest dodatnia to y0(t) zmierza do
nieskończoności czyli układ jest niestabilny.
Kryterium Nyquista
Niech będzie dany układ otwarty o transmitancji G0(s) (rys. 42). Po wprowadzeniu
ujemnego, sztywnego sprzężenia zwrotnego otrzymujemy układ zamknięty (rys. 43).
x y
Rys. 42. Schemat układu otwartego
W + y y
-
Rys. 43. Schemat układu zamkniętego
Dla przypadku gdy układ otwarty jest stabilny, układ zamknięty też jest stabilny, jeżeli
0)]j(G1[arg 0
0
=ω+∆
∞+<ω<
.
Można wnioskować więc o stabilności układu zamkniętego na podstawie przebiegu
charakterystyki [1 + G0(jω)] na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Tę charakterystykę
otrzymuje się po przesunięciu charakterystyki amplitudowo-fazowej G0(jω) układu otwartego
w prawo o odcinek o długości równej jednostce skali osi odciętych. W związku z tym zamiast
rozważać przyrost argumentu charakterystyki [1 + G0(jω)] przy zmianach pulsacji ω od 0 do
∞+ można badać, czy i w jaki sposób charakterystyka G0(jω) obejmuje wtedy punkt (-1, j0)
znajdujący się na osi rzeczywistej. Wynikające z tych rozważań kryterium stabilności podane
przez Nyquista formułuje się następująco:
1. Jeżeli układ otwarty jest stabilny asymptotycznie, to układ zamknięty jest stabilny
asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, gdy wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej
G0(jω) układu otwartego przy zmianie pulsacji ω od 0 do ∞+ nie obejmuje punktu
(- 1, j0).
G0(s)
G0(s)

41
2. Jeżeli układ otwarty jest niestabilny i jego transmitancja ma m biegunów w prawej
półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej, to układ zamknięty jest stabilny wtedy i tylko
wtedy, gdy wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej G0(jω) układu otwartego przy
zmianie pulsacji ω od 0 do ∞+ obejmuje punkt (- 1, j0)
2
m
razy.
Rys. 44. Charakterystyki amplitudowo-fazowe stabilnego układu otwartego [12, s. 255]
1 – krzywa dla wzmocnienia, przy którym układ zamknięty jest stabilny, 2 – krzywa dla wzmocnienia,
przy którym układ zamknięty jest niestabilny
Na rys. 44 pokazano wykresy G0(jω) dla układu otwartego stabilnego asymptotycznie.
W przypadku, gdy wypadkowe wzmocnienie tego układu jest takie, że wykres G0(jω)
przebiega jak krzywa 1, układ zamknięty jest stabilny. Wtedy bowiem charakterystyka
amplitudowo-fazowa układu otwartego nie obejmuje punktu (- 1, j0) przy zmianie ω od 0 do
∞+ . Natomiast przy odpowiednio większym wzmocnieniu wykres G0(jω) przebiegając
zgodnie z krzywą 2, obejmuje punkt (- 1, j0), a zatem układ zamknięty jest niestabilny.
Rys. 45. Charakterystyka amplitudowo-fazowa niestabilnego układu otwartego [12, s. 256]
Rys. 45 przedstawia charakterystykę amplitudowo-fazową niestabilnego układu
otwartego. W celu sprawdzenia ile razy wykres G0(jω) obejmuje punkt (- 1, j0) przy zmianach
ω od 0 do ∞+ , wyznaczamy dla tego zakresu pulsacji wypadkową zmianę argumentu
φ wektora poprowadzonego z punktu (- 1, j0) do bieżącego punktu krzywej G0(jω). Dla
poszczególnych części tej krzywej (rys. 45) odpowiednie zmiany ϕ∆i kąta φ wynoszą:
od A do B π+=ϕ∆1
od B do C π+=ϕ∆2
od C do D π+=ϕ∆3
od D do E π+=ϕ∆4

42
od E do F π+=ϕ∆5
od F do G 06 =ϕ∆
od G do 0 π−=ϕ∆7 .
Rys. 46. Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego [12, s. 257]
Wypadkowa zmiana argumentu
π=ϕ∆=ϕ∆ ∑ 4i
a więc krzywa G0(jω) z rys. 46 objęła punkt (- 1, j0) dwa razy.
Zgodnie z kryterium Nyquista układ zamknięty jest stabilny wtedy i tylko wtedy gdy
liczba biegunów transmitancji G0(s) w prawej półpłaszczyźnie jest równa m = 4. Natomiast
przy innej liczbie tych biegunów układ zamknięty jest niestabilny.
Stabilność układu zamkniętego dogodnie jest sprawdzić na podstawie liczby przecięć
charakterystyki G0(jω) z osią rzeczywistą z lewej strony punktu (- 1, j0), tzn. na jej części od
–1 do ∞− . Jeżeli ustali się, że dodatnimi nazywa się przecięcia odpowiadające przejściu
charakterystyki G0(jω) przez tę część osi rzeczywistej z kierunku z góry w dół, a ujemnymi –
przecięcia odpowiadające przejściu charakterystyki G0(jω) przez tę część osi rzeczywistej
w kierunku z dołu do góry (oznaczenia na rys. 45 i 46), obserwując zmianę argumentu
wnioskujemy o stabilności lub niestabilności układu zamkniętego.
Zatem gdy układ otwarty jest asymptotycznie stabilny, wtedy układ zamknięty jest
stabilny, jeżeli wykres G0(jω) przebiega albo zgodnie z krzywą 1 albo z krzywą 2 na rys. 46.
Stosowanie kryterium Nyquista do analizy i syntezy układów liniowych
jednowymiarowych jest szczególnie przydatne w przypadku gdy układ otwarty jest stabilny.
Wtedy można korzystać także z charakterystyki amplitudowo-fazowej G0(jω) zdjętej
doświadczalnie, co jest nieraz dogodne przy badaniu realnych układów.
Gdy układ otwarty jest niestabilny, wtedy w celu stosowania kryterium Nyquista należy
znać liczbę biegunów transmitancji G0(s) położonych w prawej płaszczyźnie. Wyznacza się je
na podstawie znanej struktury układu i znanych transmitancji elementów składowych. Gdy
układ otwarty ma lokalne sprzężenie zwrotne, należy je odpowiednio uwzględnić.

43
Rys. 47. Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego [12, s. 264]
Gdy zmieniamy pulsację ω od 0 do ∞+ (rys. 47), stosując kryterium Nyquista stwierdza
się, że układ zamknięty jest stabilny asymptotycznie, jeżeli krzywa G0(jω) układu otwartego
nie obejmuje punktu (- 1, j0).
Jedną z zalet kryterium Nyquista jest to, iż można je stosować dla układów zamkniętych
zawierających elementy opóźniające.
Ważną zaletą kryterium Nyquista jest łatwość określenia zapasu stabilności układu
badanego.
W pobliżu granicy stabilności stany nieustalone są oscylacyjne o tym mniejszym
tłumieniu, im bliżej granicy niestabilności znajduje się układ. Dlatego projektując układ
dążymy by układ regulacji miał żądany zapas stabilności, tzn. aby był dostatecznie odległy od
granicy niestabilności.
Korzystając z charakterystyk częstotliwościowych układów stabilnych zapas stabilności
(rys. 48) określa się za pomocą:
− zapasu modułu (wzmocnienia) λ [dB], lub ∆K,
− zapasu fazy ϕ∆ [0
].
Zapas modułu określa krotność o jaką musiałoby wzrosnąć wzmocnienie przy
niezmiennym argumencie układu otwartego, aby układ zamknięty znalazł się na granicy
niestabilności.
Zapas fazy określa wartość zmiany argumentu transmitancji widmowej układu otwartego
przy niezmiennym wzmocnieniu, która doprowadziłaby układ zamknięty do granicy
niestabilności.
Zapas fazy ϕ∆ podaje się zawsze w stopniach, natomiast zapas modułu λ, w przypadku
operowania charakterystykami logarytmicznymi, podaje się w decybelach [dB],
a w przypadku operowania liniową charakterystyką amplitudowo-fazową (rys. 49) zapas
wzmocnienia ∆K podaje się w jednostkach bezwymiarowych.

44
Rys. 48. Zapas fazy ∆φ [0
] i zapas modułu λ: [dB] [1, s. 300] a) na charakterystyce logarytmicznej
amplitudowo-fazowej, b) na logarytmicznych charakterystykach modułu M(ω) i fazy φ(ω) układu otwartego.
Rys. 49. Określenie zapasów modułu i fazy [1, s. 31]
Pomiędzy zapasem modułu λ i zapasem wzmocnienia k istnieje zależność
Klg20
]dB[
∆=λ .
W praktyce układy automatycznej regulacji projektuje się zwykle tak, aby zapas modułu
λ ≥ 6 dB i zapas fazy ∆ϕ ≥ 300
.
Logarytmiczne kryterium stabilności
Jeżeli dana jest funkcja przejścia otwartego układu regulacji w postaci charakterystyk
logarytmicznych (amplitudy i fazy), to dogodnie jest skorzystać z kryterium stabilności dla
charakterystyk logarytmicznych. Są to warunki wynikające bezpośrednio z kryterium
Nyquista, przetransponowane na charakterystyki logarytmiczne.
Rys. 50. Charakterystyki częstotliwościowe: [18, s. 92] a) układu stabilnego, b) układu niestabilnego.

45
Analizując charakterystyki z rys. 50 z uwzględnieniem kryterium Nyquista można
sformułować następujący warunek stabilności:
[ ] ,1)j(KRe x <ω
przy czym: ωx – pulsacja, dla której
π−=ω )j(Karg x
Aby więc sprawdzić czy spełniony jest warunek wyżej podany, mając do dyspozycji
charakterystyki logarytmiczne, należy sprawdzić czy dla tej częstotliwości, dla której
charakterystyka fazy osiąga π− , charakterystyka amplitudy ma wartość ujemną, czy
dodatnią. Jeżeli bowiem
0)j(Klog x <ω
to stąd wynika, że
1)j(K x <ω .
Rys. 51. Charakterystyki logarytmiczne: [18, s. 93] a) układu stabilnego, b) układu niestabilnego
Dla prostych układów automatyki logarytmiczne kryterium stabilności można
sformułować tak:
Układ automatyki będzie po zamknięciu układu stabilnym, jeżeli dla częstotliwości ωx,
dla której charakterystyka fazy ma wartość π− , logarytmiczna charakterystyka amplitudy jest
ujemna (rys. 51).
Zasady syntezy układów sterowania
W praktyce spotykamy się z następująco sformułowanym zadaniem:
Znany jest model matematyczny danego obiektu oraz ograniczenia narzucone na
poszczególne sygnały, a także określony zasób informacji o jego warunkach pracy
i występujących zakłóceniach. Należy do tego obiektu dobrać układ sterowania, który
zapewni wykonanie postawionych zadań – przy spełnieniu warunków dotyczących
stabilności, dokładności (w stanach ustalonych i przejściowych) oraz charakter przebiegów
dynamicznych.
Konieczne jest przeprowadzenie syntezy układu sterowania. Istnieje kilka metod syntezy
układów, m.in.:
− tzw. metoda klasyczna – stosowana przy syntezie układów prostych, którym nie stawia
się dużych wymagań,
− synteza związana z określeniem wrażliwości – stosowana przy syntezie układów bardziej
skomplikowanych, gdy w czasie eksploatacji zmieniają się zarówno parametry, jak
i działające na te układy zakłócenia zewnętrzne,

46
− synteza z uwzględnieniem wskaźników jakości – związana z tworzeniem układów, które
powinny pracować w sposób gwarantujący uzyskanie najlepszych możliwych przy
istniejących ograniczeniach – właściwości.
Korzystając z elementów matematyki wyższej oraz stosując m.in. specjalistyczne
programy komputerowe, w nowoczesnej teorii sterownia wykorzystuje się tzw. metodę
zmiennych stanu. Jest to metoda, która znajduje coraz więcej zwolenników.
Zastosowanie opisu układów sterowania przy użyciu zmiennych stanu umożliwiło
stworzenie ogólnych skutecznych metod syntezy układów sterowania, mających zadane
z góry właściwości dynamiczne. Dotyczy to zarówno układów jednowymiarowych jak
i wielowymiarowych. Niewątpliwą zaletą metody zmiennych stanu jest to, że umożliwia ona
sprawdzenie, czy można skutecznie sterować obiektem i to co obserwujemy na jego
wyjściach wystarcza do pełnego scharakteryzowania jego stanu ( czy pozwala stwierdzić czy
układ jest sterowalny i obserwowalny).
Przy klasycznej metodzie syntezy układów sterowania (rys. 52) najpierw zestawia się
dane wyjściowe obejmujące zadanie stawiane układowi, model matematyczny obiektu,
ograniczenia i warunki pracy. Na tej podstawie określa się wymagania i ustala założenia. Do
podstawowych wymagań należą:
− dokładność w stanach ustalonych,
− zakres, w jakim wielkość wyjściowa ma być regulowana,
− stabilność i odpowiedni zapas,
− charakter przebiegu procesów przejściowych.
Poza tym, różnym układom, zależnie od ich przeznaczenia i właściwości obiektu
sterowanego, stawia się wymagania dodatkowe (jak. np. dokładność w stanach
dynamicznych, zmniejszenie wrażliwości na zmiany niektórych parametrów i na określone
zakłócenia, rodzaje elementów, które należy zastosować ze względu bezpieczeństwa czy
niezawodności itp.).
Po przyjęciu założeń dokonuje się wyboru struktury układu, dobiera wstępnie elementy
i podzespoły, sprawdza dokładność w stanie ustalonym oraz zakres regulacji. Jeżeli nie
odpowiadają one założeniom, wprowadza się odpowiednią korekcję właściwości statycznych
przez zmiany parametrów lub nastaw niektórych elementów lub przez wymianę tych
elementów na inne. Gdy – w wyniku odpowiednich modyfikacji – udało się uzyskać
wymaganą dokładność w stanie ustalonym i zakres regulacji, należy z kolei zbadać stabilność
tego układu.
Wymaganie dotyczące stabilności powinno być zawsze spełnione przy wszelkich
przewidywalnych dla rozważanego układu warunkach.

47
Rys. 52. Schemat postępowania przy syntezie układu sterowania metodami klasycznymi [12, s. 391]
Poza stabilnością należy sprawdzić właściwości dynamiczne, które zależą od rodzaju
obiektu i sposobu jego pracy, od charakteru procesu technologicznego, wpływu stanów
przejściowych, itp. Często formułuje się warunki, jakie powinien spełnić przebieg odpowiedzi
jednostkowej (rys. 53). Przy tym wymagania obejmują:
− dopuszczalny czas praktycznego ustalania się przebiegów ustt , po którym
dopustdopust h)t(hh ∆+≤≤∆− , usttt ≥
(przez usth oznaczono wartość ustaloną, odpowiedzi jednostkowej po zakończonym
przebiegu, a przez dop∆ zadane z góry, dopuszczalne odchylenie od niej),
− wymagany czas nrt - po którym h(t) osiągnie po raz pierwszy wartość równą usth ,
− maksymalne przeregulowanie hmax∆ - wyrażane zwykle w procentach usth ,
− dopuszczalną liczbę przeregulowań w przedziale czasowym od t = 0 do usttt = .
Często przy ustalaniu wymagań określa się też warunki dla następujących czasów:
− 5,0t - po którym h(t) osiągnie wartość równą usth5,0 ,
− prt - po którym odpowiedź jednostkowa wzrasta od wartości usth1,0 (przy 1,0tt = ) do
wartości usth9,0 (przy 9,0tt = ).

48
Rys. 53. Przykładowy przebieg odpowiedzi jednostkowej i charakteryzujące ją wielkości [12, s. 391]
Wskaźniki jakości
Celem układu regulacji automatycznej (układ z ujemnym sprzężeniem zwrotnym – rys.
54) jest minimalizacja uchybu regulacji powstającego na skutek działania zakłóceń na obiekt
regulacji i w wyniku zmian sygnału zadanego. Chodzi tutaj o minimalizację uchybu regulacji
zarówno w stanach ustalonych, jak i przejściowych.
Z
x + e y y
-
Rys. 54. Jednoobwodowy układ regulacji automatycznej:
O – obiekt regulacji, R – regulator, Z – zakłócenie, x – wielkość zadana,
y – wielkość regulowana, e – uchyb regulacji
O ile ocena uchybów ustalonych jest stosunkowo prosta, to ocena stanów przejściowych
sprawia trudności. Trudności te rosną w miarę wzrostu rzędu układu regulacji (stopnia
charakterystycznego).
Uchyb e(t) (rys. 55), zależy od sygnału zadanego x(t), od sygnału zakłóceń z(t), od
struktury i parametrów regulatora R oraz od struktury i parametrów obiektu regulacji O.
Zależność tę można zapisać w postaci
[ ]O,R),t(z),t(xf)t(e = .
R O

49
Rys. 55. Przebiegi przejściowe uchybu regulacji w układzie automatycznej regulacji: [1, s. 193]
a) i b) wywołane skokiem wartości zadanej, c) i d) – wywołane skokiem zakłócenia;
a) i c) – aperiodyczne, b) i d) – oscylacyjne.
Badanie jakości regulacji w stanach przejściowych sprowadza się do badania kształtu
uchybu regulacji e(t) wywołanego standardowym wymuszeniem, np. wymuszeniem w postaci
skoku jednostkowego.
Miarą jakości regulacji jest tzw. wskaźnik jakości, który powinien być tak zdefiniowany,
aby mierzył żądane cechy przebiegu przejściowego e(t) z dostateczną dokładnością.
Wskaźnikiem jakości może być w najprostszym przypadku sam uchyb e(t), lecz taki
wskaźnik jest nieprecyzyjny, ponieważ zmienia się w czasie. Dlatego raczej używamy innych
miar jakości, które określają cechy przebiegu e(t) przy określonych wymuszeniach (np.
skokowych).
Wskaźniki jakości można podzielić na dwie zasadnicze grupy:
− wskaźniki bezpośrednie,
− wskaźniki pośrednie.
Do wskaźników bezpośrednich zaliczamy te wskaźniki, które są bezpośrednią miarą
określonej cechy przebiegu przejściowego e(t) wywołanego standardowym wymuszeniem.
Natomiast do wskaźników pośrednich zaliczamy te wskaźniki jakości, które na podstawie
przebiegu charakterystyk częstotliwościowych pozwalają w przybliżeniu ocenić kształt e(t)
przy określonym wymuszeniu (np. zapas stabilności jest wskaźnikiem).
Do wskaźników bezpośrednich zalicza się parametry charakterystyki skokowej e(t), takie
jak:
− maksymalny uchyb dynamiczny )t(emaxem = ;
− uchyb ustalony (końcowy) - ek, zwany też uchybem statycznym - es:
− )s(Glim)t(elim)(eee e
0st
sk
→∞→
==∞== ;

50
− oscylacyjność χ (zwana także przeregulowaniem) - stosunek maksymalnego uchybu
przejściowego (chwilowego) e2, o kierunku przeciwnym niż maksymalny uchyb
początkowy, do maksymalnego uchybu początkowego e1 wyrażony w procentach:
−
1
2
e
e
100=χ , gdzie e1 i e2 są określone na rys. 44b;
− czas regulacji tr (zwany też czasem ustalania Tu) definiowany jako czas od chwili podania
wymuszenia skokowego na wejście układu aż do chwili, od której począwszy różnica
między wartością odpowiedzi skokowej a jej wartością końcową nie przekracza (zwykle)
5% wartości końcowej.
Inną klasę wskaźników bezpośrednich tworzą wskaźniki całkowe, gdzie konieczne jest
posługiwanie się wzorami i obliczeniami wykorzystującymi elementy matematyki wyższej.
Optymalizacja układów regulacji automatycznej
Optymalizacja układu regulacji automatycznej polega na takim doborze parametrów
i struktury regulatora, który zminimalizuje wybrany wskaźnik jakości regulacji.
Wszystkie wskaźniki regulacji są tak sformułowane, że optymalizacja układu z rys. 54,
przy dowolnie wybranym wskaźniku jakości, sprowadza się do takiego doboru struktury
regulatora i jego nastaw, aby zminimalizować przyjęty wskaźnik regulacji.
Wybrany wskaźnik jakości regulacji Q jest funkcjonałem parametrów układu regulacji
(rys. 56)
]O,R),t(z),t(x[QQ = .
Optymalizacja układu regulacji polega na minimalizacji tego funkcjonału przy założeniu,
że x(t) oraz z(t) są dane. Jest dany również obiekt regulacji O. Natomiast należy znaleźć
regulator R minimalizujący funkcjonał Q
]R,O),t(z),t(x[Qmin]R[Q
0RR
00
→
= .
Poszukiwanie regulatora optymalnego R0 jest przedmiotem projektowania układów
regulacji automatycznej.
Poszukiwanie minimum funkcjonału Q jest najłatwiejsze w przypadku znajomości
zależności analitycznej lub graficznej wskaźnika jakości od parametrów regulatora Q(PR).
Jeżeli taka zależność nie jest znana, ani nie możne być obliczona analitycznie na podstawie
transmitancji układu regulacji automatycznej, to minimalizację Q(PR) prowadzimy metodą
modelowania analogowego lub cyfrowego. Tok postępowania jest przedstawiony na rys. 58,
w formie schematu działań.
Spośród przedstawionych wyżej wskaźników jakości regulacji jedynie uchyb końcowy ek
i wskaźnik całkowy można wyznaczyć na podstawie danej transformaty uchybu E(s), bez
obliczania oryginału e(t).
Pozostałe wskaźniki jakości wymagają obliczenia przebiegu e(t). Niektóre z tych
wskaźników, znalezione metodą modelowania dla konkretnych układów regulacji
automatycznej są opublikowane w postaci wykresów danego wskaźnika Q w funkcji
parametrów układu regulacji.

51
Rys. 56. Schemat działań przy optymalizacji metodą modelowania: [1, s. 196]
Q0, PR0 – optymalne wskaźniki jakości i parametrów regulatora, i – numer iteracji,
Qi – wartość wskaźnika jakości obliczona w i-tej iteracji
Przykład. W układzie przedstawionym na rys. 57, należy wyznaczyć taką stałą
całkowania Ti regulatora, przy której czas regulacji tr będzie minimalny. Parametry obiektu
regulacji są następujące: T0 = 1 min, k0 = 0,7.
Rys. 57. Układ regulacji automatycznej
Rozwiązanie
Tok postępowania jest następujący:
1. Wyznaczamy transmitancję układu zamkniętego.
Transmitancja układu zamkniętego wynosi:
1kTsTTs
1
)s(X
)s(Y
)s(G
0ii0
2
++
== .
x e
0k
iTs
1
0Ts
1 yx e u

52
Na podstawie równania widzimy, że układ regulacji automatycznej jest układem drugiego
rzędu, a zatem przy dostatecznie małym i0Tk może być układem oscylacyjnym. Okres drgań
tego układu T i współczynnik tłumienia ξ wynoszą
0i TTT = ,
0
i
0
T
T
k5,0=ζ .
2. Z wykresów odczytujemy optymalne nastawy (współczynnik tłumienia ζ ).
Rys. 58. Wykresy wskaźników jakości obliczonych dla obiektu oscylacyjnego o transmitancji
układu drugiego rzędu: [1, s. 198]
I – wartość wskaźników całkowych przy założeniu, że T = 1; tr – czas regulacji, przy ∆ = 5% skoku
wymuszenia
Czas regulacji jest najmniejszy przy ζ0 = 0,7 (rys. 58), zatem optymalna wartość stałej
czasowej całkowania
02
0
0
2
0
0
0i T
k
2
T
k5,0
T ≈⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ζ
= .
3. Wyznaczamy szukany parametr regulatora – w tym wypadku Ti.
Dla podanego obiektu
s240min41
7,0
2
T 20i === .
Czas regulacji w tak nastawionym układzie regulacji (rys. 66)
s360T3t 0r =≅ .
1. Jakie można wyróżnić kryteria stabilności układów automatyki?
2. W jaki sposób postępujemy badając stabilność układu za pomocą częstotliwościowego
kryterium stabilności?
3. Jakie warunki muszą być spełnione by układ był stabilny, gdy korzystamy
z logarytmicznego kryterium stabilności?

53
4. Jakich informacji dostarczają nam wskaźniki jakości?
5. Na czym polega optymalizacja układów regulacji automatycznej?
6. Jaki obowiązuje schemat przy syntezie i optymalizacji układów regulacji?
4.3.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Dla układu wzmacniacza o bardzo dużym wzmocnieniu, połączonego szeregowo
z elementem inercyjnym III rzędu, sprawdź stabilność układu. Podaj warunki stabilności.
3) zaprojektować układ według wskazań nauczyciela (narysować schemat blokowy),
5) zaprezentować otrzymane wyniki,
7) sporządzić sprawozdanie z przebiegu ćwiczenia, załączając schemat układu, otrzymane
− zeszyt,
− literatura z rozdziału 6,
− instrukcja ćwiczenia.
Ćwiczenie 2
Dla układu wzmacniacza o bardzo dużym wzmocnieniu, połączonego szeregowo
z elementem inercyjnym III rzędu, sprawdź stabilność układu. Podaj warunki stabilności.
Przedstaw charakterystyki układu, otrzymane w wyniku symulacji komputerowej,
z wykorzystaniem programu MATLAB i MATLAB-SIMULINK.
3) zaprojektować układ według wskazań nauczyciela (narysować schemat blokowy),
4) zgłosić gotowość wykonania ćwiczenia,
5) uruchomić program komputerowy,
6) napisać program w MATLAB-ie dla danego układu,
7) uruchomić program,
8) zaprezentować otrzymane charakterystyki,
9) zmienić nastawy: wzmocnienia i stałych czasowych i obserwować na wykresach zmiany,
10) powtórzyć ćwiczenie w programie MATLAB-SIMULINK,
11) zaprezentować otrzymane wyniki,
12) porównać obie symulacje,

54
14) sporządzić sprawozdanie z przebiegu ćwiczenia, załączając schemat układu, napisany
program, otrzymane wyniki, obliczenia i wnioski z badań.
− komputer z programem narzędziowym,
− drukarka,
− literatura z rozdziału 6,
− instrukcja ćwiczenia.
Tak Nie
Czy potrafisz:
1) sprawdzić stabilność układu automatyki?
2) odczytać z wykresu wartości nastaw układu?
3) określić zapas stabilności układu?
4) zmodyfikować układ tak by był układem stabilnym?
5) dobrać tak wzmocnienie układu, by przeregulowanie nie przekraczało
określonych wymagań?

55
4.4. Dobór optymalnych nastaw regulatorów PID
Celem kształtowania właściwości dynamicznych układów jest:
− osiągnięcie określonego tłumienia zakłóceń lub uzyskanie pożądanego przebiegu
wartości regulowanej dla układu regulacji nadążnej,
− uzyskanie określonego stopnia nieczułości wielkości regulowanej na zmiany parametrów
obiektu.
Właściwości dynamiczne układów regulacji automatycznej mogą być kształtowane
przez:
− dobór typu regulatora i jego nastaw,
− modyfikację zakłóceń i obiektu na drodze systemowej – sposób ten polega na
wprowadzeniu dodatkowych elementów pomiarowych i wykorzystaniu ich sygnałów
w dodatkowo utworzonych sprzężeniach (nie wymaga się przeprowadzania zmian
konstrukcyjnych obiektu).
− modyfikację technologii (sposób bardzo trudny do realizacji).
Wśród stosowanych struktur układów regulacji, których właściwości kształtowane są
przez modyfikację zakłóceń i obiektu na drodze systemowej można wymienić układy
regulacji:
− z pomocniczą wielkością nastawiającą,
− kaskadowej,
− z pomiarem wielkości zakłócającej.
Zadaniem układu regulacji automatycznej jest utrzymanie stałej wartości wielkości
regulowanej lub zmienianie jej w ten sposób, aby jej przebieg jak najmniej różnił się od
wartości wielkości zadanej. W zależności od charakteru przychodzących zakłóceń między
wartościami tych dwóch wielkości będzie istniała pewna różnica. Może ona być różna
w przypadku dwóch regulatorów zastosowanych do automatyzacji tego samego obiektu.
Odpowiedź na pytanie, który z nich zapewnia lepszy przebieg regulacji, sprowadza się do
problemu wyboru jakiegoś kryterium oceny tych przebiegów. Stosunkowo szerokie
zastosowanie znalazły tzw. kryteria całkowe, które wymagają znajomości elementów
matematyki wyższej. Noszą one nazwę wskaźników jakości regulacji.
Wybór rodzaju regulatora, czyli wybór jego technicznego rozwiązania, można oprzeć
między innymi na rozpatrzeniu następujących cech: możliwości dynamicznych i zakresu
nastaw, złożoności budowy, niezawodności, prędkości działania, względów eksploatacyjnych,
stałości charakterystyk, instalacji zasilającej, bezpieczeństwa, kosztów, możliwości,
tworzenia złożonych układów regulacji, możliwości współpracy z komputerami, itp.
Decydując o rodzaju regulatora rozważyć należy wybór między regulatorami:
− o działaniu bezpośrednim - pobiera energię wprost z czujnika pomiarowego,
− o działaniu pośrednim – korzysta ze źródła energii pomocniczej i w zależności od
charakteru tego źródła mogą być hydrauliczne, pneumatyczne, elektryczne, w tym
nowoczesne regulatory elektroniczne, lub mieszane np. elektropneumatyczne.
W zależności od postaci sygnałów występujących w regulatorze można wybrać regulatory:
− analogowe,
− cyfrowe,
− analogowo-cyfrowe.
Regulatory o działaniu bezpośrednim cechują się dużą prostotą budowy, dużą prędkością
działania, dużą stałością charakterystyk, dużym stopniem bezpieczeństwa i bardzo dużą
pewnością w eksploatacji. Stosowane są w mało dokładnych układach regulacji

39. Badanie układów sterowania z regulatorami ciągłymi

39. Badanie układów sterowania z regulatorami ciągłymi

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to 39. Badanie układów sterowania z regulatorami ciągłymi

Similar to 39. Badanie układów sterowania z regulatorami ciągłymi (20)

More from Lukas Pobocha

More from Lukas Pobocha (16)

39. Badanie układów sterowania z regulatorami ciągłymi