Доказательство формулы Бине

1. Научный руководитель:
доцент кафедры математики,
теории и методики обучения математике
Фомина Е.А.
Выполнила:
студентка 415 гр.
Сюсина Анастасия
Формула Бине

2. Формула Бине
 Жак Филлип Мари
Бине (1786 - 1856) —
французский
математик, механик и
астроном.

3. Формула Бине
 Fn = Fn-1 + Fn-2 (1)
 F1 = F2 = 1
 D – множество бесконечных целочисленных
последовательностей
  D, +, ◦Z – линейное пространство, если
1) D, + – абелева группа
2) 1 ◦ a = a
( β ) ◦ a =  ◦ ( β◦a )
( + β) ◦ a =  ◦ a + β ◦ a
 ◦ ( a + b ) =  ◦ a +  ◦ b

4. Критерий подпространства
 Пусть S множество последовательностей
удовлетворяющих соотношению (1).
 S  D
 Покажем, что S, +, ◦Z – линейное
подпространство пространства D, +, ◦Z, то есть
для любого s1, s2  S выполняется:
 s1 – s2  S
 ks1  S

5. Доказательство
 V = {v1, v2, v3,…, vn,…}
 W = {w1, w2, w3,…, wn,…}
с условием, что V, W  S.
 Покажем, что V – W  S.
 U = {u1, u2,…, un…}.
 где U = V – W
u1 = v1 – w1, u2 = v2 – w2,…,
un = vn – wn…
 un = (vn-1 + vn-2) – (wn-1 + wn-2) =
(vn-1 – wn-1) + (vn-2 – wn-2) = un-1 + un-2  U  S.

6. Доказательство
 2) Пусть V  S, k  Z. Покажем, что kV  S.
Возьмем последовательность
V = {v1, v2,…vn…}
 домножим на k, получим
kV = {kv1,kv2,…kvn…}
kvn= k(vn-1 + vn-2) = kvn-1 +kvn-2

7. Базис
 Базис В – это такая подсистема S, через которую
все последовательности из S линейно выражаются
единственным образом.
 Перед нами встает две задачи:
 1) Определить сколько векторов в любом базисе
пространства S.
 2) Найти «хороший» базис.

8. Определение количества векторов
 Пример не пропорциональных последовательностей из S
 V1 = 1, 1, 2, 3……
V2 = 3, 2, 5, 7…….
1
3
≠
1
2
 Покажем, что базис состоит из двух последовательностей
В = {V, W}
 Пусть
U = {u1, u2,...}  S
 Тогда:
U = k1V + k2W

9. Определение количества векторов

𝑢1 = 𝑘1 𝑣1 + 𝑘2 𝑤1
𝑢2 = 𝑘1 𝑣2 + 𝑘2 𝑤2
 по методу Крамера мы получим
∆ =
𝑣1 𝑤1
𝑣2 𝑤2
≠ 0
𝑘1 =
𝑢1 𝑤1
𝑢2 𝑤2
∆
𝑘2 =
𝑣1 𝑢1
𝑣2 𝑢2
∆

10. Нахождение «хорошего» базиса
 V = {1, q, q2,……}, qn = qn-1
 W = {1, p, p2,……}, pn = pn-1
 так как V, W  S мы имеем систему

𝑞 𝑛 = 𝑞 𝑛−1 + 𝑞 𝑛−2
𝑝 𝑛 = 𝑝 𝑛−1 + 𝑝 𝑛−2

𝑞 𝑛−1
= 𝑞 𝑛−2
+ 𝑞 𝑛−3
𝑝 𝑛−1 = 𝑝 𝑛−2 + 𝑝 𝑛−3

11. Нахождение «хорошего» базиса
 𝑞 𝑛−1
= 𝑞 𝑛−2
+ 𝑞 𝑛−3
 поделим выражение на qn-3, получим
 q2 = q + 1
 q2 – q – 1 = 0
 q1 , q2 =
1 1+4
2
 α =
1 + 5
2
и β =
1 − 5
2
 V = {1, α, α 2,……}
 W = {1, β, β2,……}

12. Нахождение «хорошего» базиса
 Возьмем последовательность Фибоначчи
 F = {1, 1, 2, 3, 5,……}
 Выразим F1 и F2, получим

𝐹1 = 𝑘1 𝑣1 + 𝑘2 𝑤1
𝐹2 = 𝑘1 𝑣2 + 𝑘2 𝑤2

1 = 𝑘11 + 𝑘21
1 = 𝑘1α + 𝑘2β

1 = 𝑘1 + 𝑘2
1 = 𝑘1α + 𝑘2β

13. Нахождение «хорошего» базиса
 ∆ =
1 1
α β
= β – α =
1 – 5
2
–
1 + 5
2
= – 5 ≠ 0
 𝑘1 =
1 1
1 β
− 5
= –
β – 1
5
=
1 – β
5
=
1 –
1 – 5
2
5
=
1 + 5
2

1
5
=
=
1 + 5
2 5
 𝑘2 =
1 1
α 1
− 5
= –
1 – α
5
=
α – 1
5
=
1 + 5
2
– 1
5
=
5 – 1
2

1
5
= –
1 – 5
2 5

14. Формула Бине
 Fn = k1 α 𝑛−1
+ 𝑘2β 𝑛−1
 Fn =
1 + 5
2 5
1 + 5
2
𝑛−1
–
1 – 5
2 5
1 – 5
2
𝑛−1
=
=
1
5
1 + 5
2
𝑛
–
1 – 5
2
𝑛

15. СПАСИБО
ЗА
ВНИМАНИЕ!