1. Justus Hartnack
og den
punktualistiske fejl
Bachelorprojekt i matematik
Institut for matematiske fag, Københavns Universitet
Kristian Højsteen
Vejleder: Jesper Lützen
21.03.2014
2.
3.
4. Abstract
Two of Zeno's paradoxes and selected mathematical papers by Richard De-
dekind and Georg Cantor form the basis for an analysis and criticism by the
philosopher Justus Hartnack in two chapters of his book Erkendelsens Grund-
lag, Paradokser indenfor Logikkens og Matematikkens loso from 1993. The
main focus of his treatment is the question of actual innity versus poten-
tial innity, and a concept of error referred to as den punktualistiske fejl
regarding the idea of a continuous straight line constituted by points of no
extension. This paper explores Hartnack's arguments with reference to the
mentioned material, and addresses certain mathematical problems in his ar-
guments.
Figur 1: Justus Hartnack
6. 1 Indledning
I sin bog fra 1993: Erkendelsens Grundlag Paradokser indenfor Logikkens og
Matematikkens Filoso fremlægger og gennemgår losoen Justus Hartna-
ck (1912-2005), med udgangspunkt i losoen, en række matematisk-logiske
paradokser og behandlinger af samme. Jeg vil til projektet især fokusere på
de to kapitler Paradokser knyttet til begreberne Udstrækning og Bevægelse og
Uendelighedsbegrebet som udfoldes på siderne 57-95.
Før jeg gør rede for selve indholdet af Hartnacks tekst, vil jeg gennemgå
udvalgte tekster af Richard Dedekind (1831-1916) og Georg Cantor (1845-
1918) hvor de idéer som behandles og kritiseres af Hartnack, bliver introdu-
ceret.
Efter de redegørende afsnit om Hartnacks tekst vil jeg historisk gennemgå
de to af Zenons (5. århundrede f.Kr.) paradokser som behandles af Hartnack,
og jeg forsøger at lave en matematisk beskrivelse.
Dette lægger op til selve analysen af Hartnacks to kapitler, hvor jeg vil
fokusere på idéen om `den punktualistiske fejl', og specielt på de matematiske
argumentationer omkring kontinuitet og aktuel uendelighed med henvisning
til afsnittene om Zenon, Dedekind og Cantor.
Til slut gennemgår jeg fem anmeldelser af Hartnacks bog, og omtaler
kort nogle af Hartnacks andre udgivelser. I konklusionen vil jeg adressere
visse problemer i Hartnacks argumenter.
1.1 Om bogen
Erkendelsens Grundlag er forholdsvis kort (115 sider) og skrevet i et umid-
delbart tilgængeligt sprog. Den lader til at være henvendt til lægfolk med
interesse i loso og matematik.
Hartnack indleder bogen med kretenseren Epimenides' (7. eller 6. år-
hundrede f. Kr.) løgnerparadoks: Alle kretensere lyver (alternativ: Denne
sætning er falsk) og Bertrand Russells (1872-1970) klasseparadoks (M =
{X|X /∈ X}) angående Gottlob Freges (1848-1925) logiske system på basis
af Cantors klassedenitioner (Hartnack foretrækker ordet `klasse' frem for
`mængde'; begge begreber vil blive benyttet i æng i det følgende).
Han påviser en sammenhæng mellem visse logiske paradokser og funda-
mentale semantiske problemer i sprogets struktur, og han angiver en mang-
lende hierarkisk skelnen mellem metasprog og objektsprog som den underlig-
gende årsag til ere af paradokserne, blandt andet med henvisning til den af
Russell udviklede typeteori. Der bliver efterfølgende lavet sammenligninger
med Kurt Gödels (1906-1978) ufuldstændighedssætninger (at i ethvert mod-
sigelsesfrit aksiomsystem, som kan behandle hele tal, vil der være sætninger
1
7. som ikke kan bevises, samt kan det med systemets egne metoder ikke bevi-
ses at systemet er modsigelsesfrit). Dette fører ham videre til bl.a. Alfred
Tarskis (1901-1983) behandling af sandhedsbegrebet (dog uden at komme
ind på det i matematikerkredse meget omtalte Banach-Tarski paradoks og
udvalgsaksiomet).
Herfra går Hartnack over til at behandle to af Zenons paradokser og giver
(blandt andet med henvisning til G. W. F. Hegel (1770-1831)) kritik af idéen
om den aktuelle (konsumerede) uendelighed, og specielt kritik af Dedekind
og Cantors idéer om den kontinuerte rette linie der konstitueres af punkter
uden udstrækning. Det er disse afsnit jeg vil behandle i det følgende.
Bogen slutter af med overvejelser om tidens uendelighed.
1.2 Om Justus Hartnack
Justus Hartnack blev matematisk/naturvidenskabelig student i 1930 og tog,
efter en militærkarriere og ophold med studier i Uppsala under krigen, magi-
sterkonferens i loso ved Københavns Universitet i 1946. Han erhvervede
doktorgrad samme sted i 1950 efter nogle års ansættelse ved Colgate Univer-
sity i USA. Samme år søgte han et professorat i loso i København, men
tabte forelæsningskonkurrencen til Bent Schultzer (1904-1973). I 1954 ud-
nævntes han til professor i loso ved Århus Universitet med særligt ansvar
for losokum (losokum blev afskaet som obligatorisk universitetsfag i
1971 og aøst af fagspecikke kurser i videnskabsteori og metodelære), og
han bestred stillingen frem til 1972, dog afbrudt af ere orlovsperioder hvor
han plejede en karriere i USA ved forskellige universiteter, herunder N. Y.
State University, Brockport.
Hartnack forfattede ere lærebøger til losokum, herunder Filososke
Problemer og Filososke Argumentationer [Hartnack 1955], Wittgenstein og
den moderne loso [Hartnack 1960] (som opnåede betydelig international
udbredelse), samt en lærebog i logik [Hartnack 1958]. Erkendelsens Grundlag
udkom i 1993 da Hartnack var 81 år gammel, og han vedblev at udgive værker
frem til sin død i 2005 [Fink et al.], [Blegvad].
Filososk og metodisk formodes han især at bekende sig til Dagligsprogs-
losoen (angiveligt også påvirket af sine ophold i USA), som repræsenteret
ved Oxfordlosoerne Gilbert Ryle (1900-1976), J. L. Austin (1911-1960) og
P. F. Strawson (1919-2006), men der var også indydelse fra det som Dag-
ligsprogslosoen dels udsprang af dels var en reaktion imod: den Analyti-
ske Filoso (dog også brugt som fællesbetegnelse der inkluderer ovenstående)
som repræsenteret ved Bertrand Russell, G. E. Moore (1873-1958) og Ludwig
Wittgenstein (1889-1951). Ifølge Dagligsprogslosoen kan løsningen af visse
lososke problemer nde sted gennem en analyse af begrebers anvendelse
2
8. i dagligsproget. Når begreber ved abstraktion bliver løsrevet fra deres an-
vendelse i dagligsproget, opstår risiko for fejlslutninger [Beaney], [Ryberg],
[Lübcke, pp. 16-17, 76-77]. Hartnack betegner selv dagligsprogets som den
[...] nødvendige forudsætning for al tænkning [Hartnack 2002, p. 11]. På si-
ne ældre dage blev Hartnack særlig interesseret i G. W. F. Hegels (1770-1831)
loso.
3
9. 2 Gennemgang af relevante tekster af Dedekind
og Cantor
2.1 Dedekind
Dedekinds konstruktion af de irrationale tal ved hjælp af de rationale tal
som omtales i [Hartnack 1993], blev beskrevet af Dedekind selv i 1872 i
værket: Stetigkeit und irrationale Zahlen [Dedekind 1872a] som her citeres fra
den engelske oversættelse i [Dedekind 1872b]. Hvor andre (Karl Weierstrass
(1815-1897), Eduard Heine (1821-1881), Charles Méray (1835-1919), Cantor)
konstruerede de irrationale tal ved hjælp af Cauchy-følger af rationale tal eller
ved hjælp af supremumsegenskaber for de rationale tal, benyttede Dedekind
noget han kaldte snit i de rationale tal. Han indleder teksten med at beskrive
at han allerede i 1858 udviklede idéen da han som forelæser var nødsaget
til at demonstrere kontinuitetsegenskaber ved hjælp af geometriske midler,
hvor:
[...] this feeling of dissatisfaction was so overpowering that
I made the xed resolve to keep meditating on the question
till I should nd a purely arithmetic and perfectly rigorous
foundation for the principles of innitesimal analysis.
[Dedekind 1872b, pp. 1-2]
(1)
Det følgende er så resultatet af denne undersøgelse. Han indleder med at
beskrive tre egenskaber, som han kalder love, ved de rationale tal som kort
beskrevet er:
1. a b og b c ⇒ a c
2. Hvis a og c er to forskellige tal (d.v.s. a − c = 0), så ndes der uendelig
mange tal mellem a og c
3. Hvis a er et vilkårligt, bestemt (rationalt) tal, så kan samtlige rationale
tal placeres i to mængder, A1 og A2. De tal a1 hvorom det gælder at
a1 a, placeres i A1, og tallene a2 hvorom det gælder at a2 a,
placeres i A2. Endelig kan tallet a placeres som man har lyst i en af
mængderne, og vil da være enten det største tal i A1 (hvorved der ikke
ndes et mindste tal i A2) eller det mindste tal i A2 (hvorved der ikke
ndes et største tal i A1)
4
10. Det ses at ovenstående 3 love giver god mening i forhold til den kendte aritme-
tik for de rationale tal. Det bemærkes også at Dedekind allerede her opererer
med aktuel uendelighed. Herefter laver han omhyggeligt en tilsvarende be-
skrivelse af tre egenskaber ved punkter på den rette linie L, og opstiller igen
tre love (og det tages for givet at L er orienteret så det giver mening at tale
om højre og venstre på L):
1. Hvis punktet p ligger til højre for q, og q til højre for r, så ligger q
mellem p og r
2. Hvis p og r er forskellige punkter, vil der ligge uendelig mange punkter
mellem p og r
3. Hvis p er et bestemt punkt på L, så kan alle punkter fordeles på to
mængder P1 og P2, hvor samtlige punkter p1 i P1 ligger til venstre for p
og samtlige punkter p2 i P2 ligger til højre for p. Punktet p kan placeres
i P1 eller P2 som man har lyst
Også denne beskrivelse giver god mening i forhold til den euklidiske idé om
linier og punkter (hvis der ses bort fra selve mængdebegrebet og ikke mindst
mængder af uendelig mange elementer). Dedekind argumenterer så at hvis
man placerer et nul-punkt O på L, og angiver en fast enhedslængde til L, kan
der laves en korrespondance mellem de rationale tal og linien L. Dette går
noget imod den euklidiske idé om adskillelse af geometriske og algebraiske
forhold, men svarer til hvad matematikere har gjort mere eller mindre be-
vidst siden Descartes [Cantor 1915, p. 15]. Her gør Dedekind det både meget
bevidst og klart beskrevet.
Dedekind anfører nu hvad han forstår ved kontinuitet for linien. Han
nævner at da det jo kan bevises at der ndes uendelig mange længder som
er inkommensurable med enhedslængden, er den rette linie uendelig rigere
på punkt-individer end området af rationale tal (af Dedekind kaldet R) er
på tal-individer [Dedekind 1872b, p. 9]. Da er de rationale tal utilstrækkelige
til at korrespondere med samtlige punkter på linien, så der må nødvendigvis
konstrueres nye tal således at talområdet kan gøres lige så fuldstændigt, eller
kontinuert, som den rette linie. Han nder at kontinuiteten eller fuldstændig-
heden af den rette linie kan beskrives ved følgende princip: Hvis alle punkter
på den rette linie kan opdeles i to mængder, således at ethvert punkt i den
første mængde ligger til venstre for ethvert punkt i den anden mængde, [...]
then there exists one and only one point which produces this division of all
points into two classes [...] [Dedekind 1872b, p. 11]. Dedekind mener at han
ikke tager fejl ved at antage at enhver vil kunne erkende dette forhold, og at
han vil glæde sig hvis enhver nder dette forhold åbenlyst, for hverken han,
5
11. og nogen anden, er i stand til at give bevis herfor. Det er med andre ord et
aksiom for kontinuiteten for den rette linie, og han skriver videre:
If space has at all a real existence it is not necessary for it to
be continuous; many of its properties would remain the same
even were it discontinuous. And if we knew for certain that
space was discontinuous there would be nothing to prevent us,
in case we so desired, from lling up its gaps, in thought, and
thus making it continuous; this lling up would have to be
eected in accordance with the above principle; [...]
[Dedekind 1872b, p. 12]
(2)
Herefter giver han sig til at denere hvad han forstår ved et snit i R: Et snit
(A1, A2) består af et mængdepar A1 og A2, hvor ethvert tal i A1 er mindre
end ethvert tal i A2, og A1 ∪A2 = R. Hvis snittet er `frembragt' af et rationalt
tal a, så er a enten det største tal i A1 eller det mindste tal i A2.
Det er nu let, skriver han, at vise at der ndes uendelig mange snit i R
der ikke er frembragt af rationale tal. Dette demonstrerer han ved at lade
tallet D være et helt positivt tal der ikke er et kvadrattal, og herefter placere
de positive rationale tal hvis kvadrater er større end D, i A2, og resten af de
rationale tal i A1. Han giver følgende modstridsbevis for at D ikke kan være
kvadratet af noget rationalt tal:
Dedekinds bevis: Hvis D er et helt positivt tal der ikke er et kvadrattal,
så ndes der et helt positivt tal λ hvorom det gælder at λ2
D (λ + 1)2
.
Antag at der ndes et rationalt tal hvis kvadrat er lig D. Så ndes der to
hele positive tal t, u hvor
D =
t2
u2
⇔ Du2
= t2
⇔ t2
− Du2
= 0
og vi kan lade u være det mindste positive heltal med denne egenskab. Det
ses videre at
λ2
D (λ + 1)2
⇓
λ2
u2
Du2
(λ + 1)2
u2
⇓
λu t (λ + 1)u,
6
12. og at tallet u := t − λu er et positivt heltal som er mindre end u. Ligeledes
er t := Du − λt et positivt heltal da:
t2
= Du2
⇒ tλu Du2
⇒ λt Du
og heraf følger:
t 2
− Du 2
= (Du − λt)2
− D(t − λu)2
= D2
u2
+ λ2
t2
− Dt2
− Dλ2
u2
= (λ2
− D)(t2
− Du2
)
= 0
hvilket går mod antagelsen at u er det mindste positive heltal med netop den
egenskab.
√
D kan altså ikke være et rationalt tal.
Herefter giver han endnu et modstridsbevis for at der i A1 ikke ndes et
største tal, og at der i A2 ikke ndes et mindste tal. Dermed kan snittet
(A1, A2) ikke være frembragt af noget rationalt tal, og i dette forhold be-
står diskontinuiteten af talområdet R. Når han altså har at gøre med et snit
(A1, A2) som ikke er frembragt af et rationalt tal, skaber han et nyt, irratio-
nalt tal, α, som han betragter som værende completely dened ved snittet
(A1, A2) [Dedekind 1872b, p. 15].
Han introducerer nu begrebet reelle tal om tal der er enten rationale el-
ler irrationale, og opstiller fem (og dermed samtlige) mulige forhold mellem
de to mindstetalsmængder A1 og B1 i to vilkårlige snit (A1, A2) og (B1, B2)
frembragt af to vilkårlige reelle tal α og β gennem de rationale tal. Under-
søgelserne af forholdene viser at A1 og B1 enten kan være ens, have et tal til
forskel (som nødvendigvis må være rationalt), eller have uendelig mange (ra-
tionale) tal til forskel. Herved får han formaliseret brugen af komparativerne
og mellem de reelle tal og demonstreret at der også mellem to forskellige
reelle tal ndes uendelig mange rationale tal. Så er han klar til i femte afsnit
at beskrive systemet R af de reelle tal som et [...] well-arranged domain of
one dimension [...] [Dedekind 1872b, p. 19], og kan nu opstille de samme tre
love for de reelle tal som han opstillede for de rationale tal:
1. α β og β γ ⇒ α γ
2. Hvis α og γ er to forskellige tal, så ndes der uendelig mange tal mellem
α og γ
3. Hvis α er et vilkårligt, bestemt tal, så kan samtlige tal i R placeres i to
mængder, A1 og A2. De tal α1 hvorom det gælder at α1 α, placeres i
7
13. A1, og tallene α2 hvorom det gælder at α2 α, placeres i A2. Endelig
kan tallet α placeres som man har lyst i en af mængderne, og vil da
være enten det største tal i A1 (hvorved der ikke ndes et mindste tal
i A2) eller det mindste tal i A2 (hvorved der ikke ndes et største tal i
A1)
Han hævder endvidere at R også har kontinuitet, og opstiller, og beviser,
den fjerde lov for de reelle tal:
4. Hvis R opdeles i to mængder A1 og A2 sådan at hvert tal α1 i A1
er mindre end hvert tal α2 i A2, så ndes der et og kun et tal α der
frembringer denne opdeling.
Dedekinds bevis: Ved opdelingen eller snittet af R i de to mængder A1 og A2
opnås samtidig et snit (A1, A2) af de rationale tal R, der er deneret ved at
A1 indeholder alle rationale tal i A1 og A2 indeholder alle rationale tal i A2.
Lad α være tallet der frembringer dette snit (A1, A2) (og samtidig (A1, A2).
Hvis β er hvilket som helst tal forskelligt fra α så ndes der uendelig man-
ge rationale tal c mellem α og β. β α medfører c α, og dermed er c
indeholdt i A1, og dermed også i A1, og da β c, så er også β indeholdt
i A1. Og omvendt: β α ⇒ β c α og dermed gælder at c ∈ A2 og
dermed også at c, β ∈ A2. Så ethvert tal β = α er indeholdt i A1 eller A2 hvis
henholdsvis β α eller β α. Af dette følger at der eksisterer et tal α som
enten er det største tal i A1 eller det mindste tal i A2, og dermed er α det
eneste tal der kan frembringe denne opdeling af R 1
i de to mængder A1 og A2.
Dedekind går så videre til at vise at de aritmetiske operationer for de ra-
tionale tal kan udvides til også at gælde for reelle tal hvor de opfylder de
sædvanlige regler (konkret viser han addition). Han introducerer i den for-
bindelse begrebet interval som en forenklende foranstaltning ved denitio-
nerne af de aritmetiske operationer for de reelle tal. Endelig i afsnit VII viser
han hvordan forhold fra innitesimalregningen gælder for de reelle tal. Han
viser at læresætningen: If a magnitude x grows continually but not beyond
all limits it approaches a limiting value., er foreneligt med kontinuitetsprin-
cippet, og at sætningen [...] loses its validity as soon as we assume a single
real number not to be contained in the domain [...] [Dedekind 1872b, p.
24-25]. Han fremfører at sætningen samtidig medfører førnævnte fjerde lov.
Han slutter værket af med endnu engang at vise forbindelsen mellem konti-
nuitetsprincippet for de reelle tal og innitesimalregningen, denne gang ved
et -δ argument.
1I originalteksten [Dedekind 1872a, p. 26] står der korrekt anført R (for de reelle tal),
men i den oversatte tekst [Dedekind 1872b, p. 21] er der her kommet til at stå R (for de
rationale tal).
8
14. 2.2 Cantor
Georg Cantor havde kort forud for Dedekinds udgivelse udgivet artiklen Über
die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen i
Mathematische Annalen 5 (1872) hvor han, under indydelse af Weierstrass,
selv indførte de irrationale tal ved hjælp af Cauchy-følger af rationale tal.
Mere specikt beskriver han den uendelige fundamentale følge (Cauchy-
følge) af rationale tal a1, a2, ..., an, ... hvor der, for ethvert positivt rationalt
tal ε, ndes et positivt helt tal n1 således at |an+m − an| ε når n ≥ n1,
for ethvert postivt helt tal m. Nogle af disse følger konvergerer i Q, og har
følgelig en rational grænseværdi; andre gør ikke. Til enhver følge {an} hvad
enten den konvergerer i Q eller ej, tilknytter Cantor så en bestemt `græn-
seværdi', som han angiver ved `tegnet' (Zeichen) b. Derpå beskriver han en
relation mellem to følger {an} med grænseværdi b, og {an} med grænsevær-
di b . Hvis det så gælder at an − an bliver uendeligt lille for voksende n, så
sætter han b = b . Derpå denerer han de tre komparativer: , og =, hvil-
ket retfærdiggør at følgernes grænse b nu (og først nu) kan beskrives som en
talstørrelse (Zahlengrössen) der konstituerer det nye talområde B. Herefter
viser han at de 4 aritmetiske elementaroperationer kan udvides til at gælde
for B, og beskriver nu en ny følge af elementerne b1, b2, ..., bn, ... af mængden
B, og konstruerer så på lignende vis talområdet C af grænserne c tilknyttet
følgerne {bn} [Cantor 1872, pp. 1-4].
Herefter beviser han så at B og C er indbyrdes isomorfe og kan sættes
i enentydig korrespondance med hinanden, og at talområdet B (og dermed
C) er afsluttet med hensyn til grænseoperationer [Bottazzini, pp. 277-278].
At talstørrelserne i dette konstruerede talområde svarer til punkterne på en
ret linie, anfører han, er et aksiom [Cantor, p. 5], og beskriver sammenhæn-
gen mellem B og den rette linie ved Bolzano-Weierstrass sætningen omkring
akkumuleringspunkter for punktmængder. Det antages her at Cantor lader
punktmængden være begrænset: By a limit point of a point set P I un-
derstand a point of the line so placed that in every neighborhood of it we can
nd innitely many points of P where it is possible that it also belongs to
the set. But by the neighborhood of a point should here be understood every
interval which has the point in its interior. Thereafter it is easy to prove that
a point set consisting of an innite number of points always has at least one
limit point (her citeret fra [Bottazzini, p. 278]).
Han korresponderede efterfølgende med Dedekind om emnet. Dette førte frem
til at han i løbet af 1873 udarbejdede og i 1874 udgav et bevis for at der ikke
kunne laves en enentydig korrespondance mellem mængden af de naturlige
tal og mængden af de reelle tal. Dette gjorde han ved at demonstrere at i
9
15. ethvert givent interval (α, β) i (0, 1) kunne det vises at der eksisterede et tal
η ∈ (α, β) som ikke var inkluderet i en (indekseret) følge: ω1, ω2, ..., ωn, ...
som var antaget at udtømme (0, 1) [Dauben, p. 53], [Ewald, pp. 841-842].
Cantors bevis: Lad samtlige reelle tal i intervallet (0,1) være givet ved følgen
ω1, ω2, ...ωn, ... som på en eller anden måde er blevet indekseret. Man gen-
nemløber nu, fra en ende af, et givent interval (α, β) i (0, 1), og de to første
tal fra følgen som man støder på i det indre af intervallet, betegnes α og β ,
hvor α β . Der skabes et nyt interval (α , β ), og de to første tal fra følgen
af reelle tal man støder på i dets indre, betegnes α og β hvor α β , o.s.v.
Værdien af tallene α , α , ... er voksende, mens værdien af β , β , ... er afta-
gende. Der er nu to muligheder, der ndes et endeligt antal intervaller eller et
uendeligt antal intervaller. Hvis der kun ndes et endeligt antal intervaller, så
lad det sidste være (α(n)
, β(n)
). Så kan man i dets indre højst nde et tal fra
følgen ω1, ω2, ...ωn, ..., og der eksisterer så et tal η i intervallet (α(n)
, β(n)
) der
ikke tilhører følgen. Lad der nu istedet være uendelig mange intervaller, hvor
grænseværdien for α, α , α , ... betegnes α∞
og grænseværdien for β, β , β , ...
betegnes β∞
. Hvis α∞
= β∞
, så kan η = α∞
= β∞
ikke være indeholdt
i følgen ω1, ω2, ...ωn, ..., da der skal gælde at η = ωp, hvor p er et bestemt
indeksnummer; men så kan ωp ikke ligge i det indre af intervallet (α(p)
, β(p)
).
Hvis α∞
β∞
ses det at ethvert tal η i intervallet (α∞
, β∞
) heller ikke er
et tal fra følgen ω1, ω2, ...ωn, .... Altså er der her en modstrid, og der kan ik-
ke laves en enentydig korrespondance mellem de reelle tal og de naturlige tal.
`Mægtigheden' eller kardinaltallet for de to talmængder N og R måtte alt-
så være forskellig. Cantor viste ved samme lejlighed at der kunne laves en
enentydig korrespondance ikke kun mellem de rationale tal og de naturlige
tal, men også mellem de algebraiske tal (d.v.s. alle (ikke-komplekse) rødder
af endelige polynomier med heltalskoecienter) og de naturlige tal.
Cantors bevis: Betragt polynomiet (med heltalskoecienter uden fælles fak-
torer, og hvor n og ao er positive hele tal) givet ved:
a0ωn
+ a1ωn−1
+ ... + an = 0,
`Højden' N af polynomiet deneres ved:
N := n − 1 + |a0| + |a1| + ... + |an|.
Det ses at for hver højde N ndes der kun et endeligt antal polynomier med
denne højde, og hver af disse polynomier har kun et endeligt antal rødder ω.
Så antallet φ(N) af algebraiske tal ω der har højden N, er endeligt; eksem-
pelvis: φ(1) = 1, φ(2) = 2, φ(3) = 4, o.s.v. Alle tal i (ω) op til N = N1 kan
10
16. tælles på denne facon, og de algebraiske tal der har højden N = N1 +1, følger
efter. Der kan med andre ord laves en tællelig mængde af endelige mængder,
og samlingen af alle algebraiske tal (ω) kan så indekseres ved: ω1, ω2, ...ωn, ...,
hvor intet algebraisk tal mangler [Cantor 1874, p. 579].
Når mængden af de algebraiske tal dermed var tællelig, kunne Cantor kon-
kludere at mængden af de nyligt opdagede trancendente (ikke-algebraiske)
tal, ikke kunne være tællelig, eftersom foreningsmængden R ikke var tællelig.
Grundet især Leopold Kroneckers (1823-1891) uvilje mod idéerne om kon-
struktioner af irrationale tal og transcendente tal samt brugen af uendelig-
hedsbegrebet i almindelighed men angiveligt også fordi Cantor selv ikke
var tilfreds med at beviset fra 1874 gjorde brug af irrationale tal [Dauben p.
165] blev den vigtige opdagelse af de reelle tals overtællelighed (eller non-
denumerabilitet) præsenteret i en artikel om de algebraiske tal [Dauben, pp.
67-68]. Han beviste kort tid efter den, ikke mindst for ham selv, overraskende
enentydige (men ikke kontinuerte) korrespondance mellem R og Rn
, som gav
anledning til det berømte citat fra et brev til Dedekind: Je le vois, mais
je ne le crois pas. [Dauben, p. 47]. I 1883 viste han i værket Grundlagen
einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre hvordan de transnite tal kunne
beskrives som en udvidelse af de naturlige tal, og argumenterede i forsvar for
sine matematiske konstruktioner. Senere (1891) lykkedes det ham at bevise
de reelle tals overtællelighed ved det berømte (og af Hartnack refererede)
diagonaliseringsbevis.
Kardinaltallet for mængden af de naturlige tal, samt for mængder hvis
elementer enentydigt kunne korreleres til de naturlige tal, gav han nogle år
senere i værket Beiträge zur Begründung der transniten Mengenlehre (1895)
betegnelsen ℵ0, det første transnite kardinaltal. Mængden af alle reelle tal
k kardinaltallet c for `continuum'.
Kontinuumshypotesen, at der ingen mængde ndes der har et kardinaltal
mellem ℵ0 og c = 2ℵ0
= |P(N)| (hvor |P(N)| er kardinaltallet for potens-
mængden for N), har siden vist sig uafgørelig inden for Zermelo-Fraenkel
aksiomsystemet. Under antagelse af udvalgsaksiomet ndes der et mindste
kardinaltal ℵ1 større end ℵ0, hvor kontinuumshypotesen så siger at 2ℵ0
= ℵ1,
og hvor den generelle kontinuumshypotese siger at 2ℵα
= ℵα+1 for alle ordi-
naltal α.
Ordinaltallene havde Cantor beskrevet i 1883 i Grundlagen, og han havde
yderligere uddybet emnet i 1895/1897 i Beiträge. Meget kort fortalt kan
ordinaltallene for N udvides med de transnitte ordinaltal:
ω, ω + 1, ω + 2, ..., ω · 2, ω · 2 + 1, ..., ω2
, ..., ωω
, ..., ωω·2
, ..., ωω2
, ..., ωωω
, ...
11
17. som hver især er tællelig uendelig, mens mængden af dem er velordnet, men
overtællelig. Det mindste transnitte ordinaltal ω er lig det mindste trans-
nitte kardinaltal ℵ0 [Holz, p. 45].
2.3 Disputten mellem Dedekind, Cantor og Kronecker
Såvel Dedekind som Cantor så sig nødsaget til at argumentere for berettigel-
sen af deres nye konstruktioner, ikke mindst fordi Kronecker som redaktør
for det ansete matematiske tidsskrift Crelle's Journal besad stor magt. Kro-
neckers berømte udtalelse (også citeret af Hartnack): Die ganzen Zahlen hat
der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk, er i øvrigt inter-
essant, dels fordi han oprindeligt udtaler sig om de hele tal, ikke kun de
naturlige, og dels fordi han med udtalelsen erklærer at også meget af den
`nitte' matematik som han selv arbejdede med, er menneskeskabt. Uover-
ensstemmelsen mellem Cantors `transnitisme' og Kroneckers `nitisme' gav
angiveligt senere anledning til udviklingen af (mere eller mindre klart de-
nerede) matematisk-lososke retninger som Logicismen (Frege, Russell) og
Formalismen (David Hilbert (1862-1943)) såvel som til modreaktionerne In-
tuitionismen og Konstruktivismen (L. E. J. Brouwer (1881-1966)), og endda
til mere ekstreme former for `nitismer' hvor undertiden end ikke den poten-
tielle uendelighed kunne anerkendes (den sene Wittgenstein) [Rodych, pp.
2.2, 3.2, 3.4].
Dedekind argumenterede allerede for berettigelsen af sit kontinuitetsaksiom
for den rette linie ved (2) og i 1887 i forordet til udgivelsen Was sind und
was sollen die Zahlen? skrev han:
In speaking of arithmetic (algebra, analysis) as a part of logic
I mean to imply that I consider the number-concept entirely
independent of the notions or intuitions of space and time,
that I consider it an immediate result from the laws of thought.
My answer to the problems propounded in the title of this paper
is, then, briey this: numbers are free creations of the human
mind; [...]
[Dedekind 1888, p.31]
(3)
og henviser senere i en fodnote specikt til at Kronecker [...] has endeavored
to impose certain limitations upon the free formation of concepts in mat-
hematics which I do not believe to be justied [...] [Dedekind 1888, p. 45]
12
18. Cantor erklærede allerede i 1883 i Grundlagen einer allgemeinen Mannigfal-
tigkeitslehre at
Mathematics is entirely free in its development, bound only
by the self-evident concern that its concepts be both internal-
ly without contradiction and stand in denite relations, or-
ganized by means of denitions, to previously formed, already
existing and proven concepts. In particular, in introducing new
numbers mathematics is obliged only to give such denitions of
them as will lend them the kind of determiniteness and, under
certain circumstances, their kind of relationship to the older
numbers, which in a given case will denitely permit them to
be distinguished from one another. As soon as a number sa-
tises all these conditions, mathematics can and must regard
it as existent and real.
[Cantor 1883, p. 518]
(4)
13
19. 3 Hartnacks tekst
3.1 Kapitlet Paradokser knyttet til begreberne Udstræk-
ning og Bevægelse
3.1.1 Zenons paradokser. Begrebet Punkt
De to af Zenons paradokser som Hartnack tager fat på, og som lægger op
til hans behandling af Dedekind og Cantors idéer om linien, kontinuitet og
uendelighed, er `Akilles og skildpadden-paradokset' og `Pileparadokset'. Han
lægger ud med kort at beskrive begrebet punkt og indikerer straks at der er
tale om et problemskabende begreb, da punkter
[...] ikke blot er et matematisk begreb, men tillige betragtes
som noget i virkeligheden eksisterende, altså som ontologiske
størrelser som, om man vil, rummets atomer.
[Hartnack 1993, p.57]
(5)
Han behandler de to paradokser, som begge antyder bevægelsens umulig-
hed, sideløbende: Akilles (Hartnacks stavemåde som jeg bibeholder her) og
skildpadden skal løbe om kap, og skildpadden får tildelt et forspring da den
formodes at være (vældig meget) langsommere end Akilles. Paradokset består
i at når Akilles når frem til det punkt hvor skildpadden var da væddeløbet
startede, er skildpadden nået frem til punktet p1. Når Akilles når frem p1, er
skildpadden nået til p2, osv. i det uendelige. Altså vil Akilles aldrig nå frem
til, endsige passere, skildpadden. Hartnack går videre, før han har tilbagevist
Akilles og skildpadden-paradokset, til Pileparadokset:
En pil der afskydes fra en itsbue vil aldrig kunne nå må-
let. Thi den må med nødvendighed på et hvilket som helst
tidspunkt være i et bestemt punkt. Men da liniestykket der
markerer afstanden fra itsbuen til målet indeholder uendelig
mange punkter, og man aldrig, ligegyldigt med hvor stor ha-
stighed der end er tale om, kan opnå at have passeret uendelig
mange punkter så følger det at pilen aldrig vil nå målet.
[Hartnack 1993, p. 59]
(6)
Tilbage til Akilles og skildpadden forklarer Hartnack at konikten består i
14
20. at såvel begrebet `punkt' som begrebet `nu' benyttes på to forskellige måder.
Hvad punktet angår, som punkt på en linie, så er det
[...] så at sige den mindste del af et liniestykke. Det er med
andre ord en ontologisk størrelse. [...] Punkterne konstituerer
liniestykket. Og er det tilfældet så må punkterne hver for sig
have en vis udstrækning [...]
[Hartnack 1993, p. 60]
(7)
Hartnack laver nu et tankeeksperiment hvor han lader det bevægende objekt
(Akilles) være mindre end punkterne på liniestykket (som jo har udstræk-
ning). Han sammenligner med en bil der forfølger en anden bil gennem en
række landsbyer på en landevej. Da vil det, hævder han, kunne lade sig gøre
for Akilles at indhente skildpadden, det øjeblik begge bender sig i samme
landsby/punkt. Hartnack går nu over til at beskrive punktet som et mate-
matisk begreb (som hos Euklid), som
[...] det der ikke kan deles, hvilket selvsagt medfører at et
punkt ingen udstrækning har.
[Hartnack 1993, p.61]
(8)
Disse to modstridende opfattelser (med og uden udstrækning) sammenblan-
des i såvel losoen som matematikken, hævder han og fremfører videre at
Zenons paradoks (det er uklart hvilket af dem han referer til) forudsætter at
begrebet `punkt' opfattes som en del af liniestykket, men samtidig som uud-
strakt og derfor ikke som en ontologisk størrelse. Han henviser til Euklids
aksiomer: at [...] `På en ret linie ndes der altid mindst to punkter'. Men et
punkt der ndes på en ret linie er en ontologisk størrelse [Hartnack 1993,
p. 62]. Så paradokset (Akilles og skildpadden, må det formodes) består i at
punktet dels betragtes ontologisk dels matematisk. Hartnack hævder på den
baggrund at paradokset ikke kan opstå hvis punktet opfattes som en mini-
del af liniestykket og derfor udstrakt, hvorved Akilles [...] med nødvendighed
[vil] indhente skildpadden [Hartnack 1993, p.62]. Han postulerer videre at
sammenblandingen af begreberne
15
21. [...] resulterer i at et liniestykke [...] er tænkt konstitueret af
uendelig mange punkter, hvilket selvsagt er en logisk umulig-
hed. Ved at gøre punkterne mindre og mindre kan antallet af
dem stige, men antallet vil altid være endeligt. Kun ved at for-
andre punkterne[s] status som ontologisk og opfatte dem som
non-ontologiske matematiske størrelser kan man tale om et
uendeligt antal punkter på et liniestykke.
[Hartnack 1993, pp. 62-63]
(9)
Herefter følger en kort omtale af Hegels gendrivelse af Zenons argumentation
i [Hegel], hvori Hartnack dog bemærker at analysen [...] forudsætter i mangt
og meget hele Hegels logiske system [Hartnack 1993, p.63]. I Hartnacks
forenklede fremstilling taler Hegel om to begreber: adskillelse og kontinuitet.
Begge disse begreber er nødvendige, men de kan ikke anven-
des samtidigt. Anvendelsen af det ene forudsætter imidlertid
anvendelsen af det andet. Begrebet adskillelse forudsætter det
det adskilte er adskilt fra. Det man adskiller er før adskillelsen
en helhed. Det er en helhed der derfor har kontinuitet.
[Hartnack 1993, p. 63]
(10)
Hegel anfører videre (ifølge Hartnack) at om et liniestykke gælder det
[...] at man kan dele det i det uendelige, hvilket imidlertid ikke
implicerer den meningsløse sætning at den er delt i uendelig
mange dele. Men det er netop den fejl Zenon begår.
[Hartnack 1993, p. 65]
(11)
Og netop derved følger den absurde antagelse at såvel Akilles som pilen aldrig
vil nå henholdsvis skildpadden og målet
[...] eftersom begrebet punkt dermed illegalt opgiver at være
en ontologisk og udstrakt entitet og i stedet forvandles til et
non-ontologisk og uudstrakt matematisk punkt.
[Hartnack 1993, p. 65]
(12)
16
22. Såvidt Hegels analyse i Hartnacks udlægning. Hartnack demonstrerer nu at
et punkt (uden udstrækning) ikke kan udgøre en del af et liniestykke ved
at antage at liniestykket, hvis ene halvdel er blå og hvis anden halvdel er
gul, har et midtpunkt, M, og ved at lade ethvert punkt (udeneret om det
opfattes med udstrækning) til venstre for M være blåt og ethvert punkt til
højre for M være gult. Da M er der hvor den blå farve ender og hvor den
gule farve begynder, og da M er et punkt på linien, skal det tildeles en farve.
Hvis det tildeles farven blå, vil den blå del af liniestykket være et punkt
større end halvdelen, og vice versa. Hartnacks pointe er her at punkter der
ikke betragtes som ontologisk udstrakte størrelser, ikke kan konstituere et
liniestykke. Dette giver en naturlig overgang til en gennemgang af Dedekinds
snit.
Der indledes med at citere fra Hollingdales Makers of Mathematics den
af Dedekind formulerede (og ovenfor refererede) fjerde lov fra Stetigkeit und
irrationale Zahlen omkring kontinuitet af rette linier, dog uden at nævne at
Dedekind beskrev denne lov som et aksiom som han (og man) ikke kunne
bevise. Hartnack skriver at Dedekind
[...] for at denere kontinuitetsbegrebet antager [...] at et li-
niestykke er bygget op af punkter.
[Hartnack 1993, p. 66]
(13)
Efter at anføre at Dedekinds sprogbrug havde været anderledes hvis han
havde studeret Hegel, gengiver Hartnack kort en lille anekdote om losoen
Jørgen Jørgensen (1894-1969), og går så over til at beskrive Dedekinds snit,
nu angående tal. Han beskriver hvordan et irrationalt tal,
√
2, kan bestemmes
af et snit i de rationale tal, uden dog formelt at gennemgå Dedekinds bevis for
4. lov angående de reelle tal. Han mener videre at det er klart at Dedekind,
som
[...] mente at der til ethvert tal svarer et punkt på den rette
linie, [...] opfatter et punkt som en ontologisk størrelse og at
det udgør en del (en minidel) af liniestykket.
[Hartnack 1993, pp. 68-69]
(14)
Da der ifølge aksiomet skulle være et og kun et punkt der deler de to klasser
A1 og A2, og eftersom punktet
17
23. [...] p er udstrakt er det deleligt endda deleligt i det uende-
lige. Det må nødvendigvis være tilfældet at p efter delingen,
vil have dele der hører til A1 og dele der hører til A2. Det til-
bageblevne således reducerede punkt p er ikke et rationalt tal;
det er snittet der denerer det irrationale tal hvilket jo netop
karakteriseres ved at det er mødestedet mellem to hinanden
uendeligt stræbende decimaler hvis stræben for at mødes vil
være matematisk umuligt at opnå. Til det irrationale tal kan
der altså ikke svare noget punkt.
[Hartnack 1993, p. 69]
(15)
Hartnack mener at Dedekind havde indset dette forhold, men nødig ville
indrømme det, og anfører videre at det at et punkt ikke kan være en ontologisk
og udstrakt størrelse, ikke betyder at der er [...] korrespondens mellem tallene
og punkterne på liniestykket. Tallene angiver eller peger ikke på punkterne
på linien, men angiver snarere
[...]antallet af længdeenheden. Der er logisk forskel på at et
tal angiver eller peger på et punkt på en linie, og på at det
informerer om hvor mange måleenheder et liniestykke har.
[Hartnack 1993, p. 70]
(16)
Han slutter afsnittet med at anføre at et non-ontologisk punkt, så som mid-
terpunktet på et liniestykke, i modsætning til de ontologiske punkter som
konstituerer liniestykket, hører under hvad han betegner `længdekategorien',
som
[...] `peger der' hvor den halve længde er og peger ikke på et
af liniestykkets antagede punkter.
[Hartnack 1993, p. 70]
(17)
3.1.2 Begrebet Nu
I det korte andet (og sidste) afsnit i kapitlet tager Hartnack fat på idéen om
begrebet `nu' som beskrevet i Hegels Wissenschaft der Logik. Hegel anfører
(om Pileparadokset, antageligvis) i Hartnacks gengivelse:
18
24. Et eller andet bevæger sig, ikke fordi det i dette nu er her og
i et andet nu der, men fordi det i et og samme nu både er her
og ikke her, fordi det i dette her samtidig er og ikke er.
[Hartnack 1993, p. 71]
(18)
Hartnack giver udtryk for en tilsvarende opfattelse af et `nu' som ingen ud-
strækning har i tiden, som den opfattelse han har af punktet uden udstræk-
ning på linien: nemlig at det er non-ontologisk og dermed ikke en del af
tiden. Han mener derfor at Hegels argumentation omkring begrebet `nu' ikke
er korrekt. Han beskriver videre bevægelser med udstrakte legemer, over et
endeligt antal længdeenheder inden for et tidsrum af udstrakte intervaller,
og anfører videre:
Er vi først sluppet ud af begrebsfangenskabet vedrørende de
ontologiske punkter kan vi se at der intet paradoks er.
[Hartnack 1993, p. 74]
(19)
3.2 Kapitlet Uendelighedsbegrebet
3.2.1 Galileo og Hilbert
Hartnack starter sin behandling af begrebet `uendelighed' med at gengive det
af Galileo (1564-1642) beskrevne paradoks omkring to uendelige talfølger: tal-
følgen bestående af de naturlige tal, og talfølgen bestående af kvadrattallene
(Hartnack skriver konsekvent `række' frem for `følge'; jeg vil benytte `føl-
ge' undtagen i direkte citater). Hartnack refererer til Galileos værk fra 1638
(Hartnack anfører 1636): Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à
due nuove scienze, i oversættelsen: Dialogues Concerning two new Sciences,
hvori Galileo argumenterer for at man ikke kan benytte begreber som `større
end', `mindre end' og `lig med' omkring uendelige størrelser, med henvisning
til at kvadrattallene står i enentydig korrespondance til de naturlige tal til
trods for at det gælder at ethvert kvadrattal også er et naturligt tal men ikke
omvendt. Hartnack nævner dog ikke direkte dette enentydige forhold mellem
følgerne, og går videre til at beskrive Dedekinds denition på uendelighed
som: Det uendelige er det hvor en del af helheden er lig med helheden.
Hartnack beskriver videre at man i stedet for denne denition, [...] der på
grund af dens kontradiktoriske form synes lidet acceptabel [...] [Hartnack
1993, p. 78], har deneret uendeligheden ved hjælp af begrebet `denumera-
19
25. bilitet', som han sætter i stedet for begrebet `tællelig' som han ikke bryder
sig om:
Sådan som begrebet denumerabilitet anvendes når det drejer
sig om mængder anvendes som et kriterium på uendelig-
heden er at dersom en mængde har en en-til-en relation
til en af mængdens delmængder så er mængden uendelig. [...]
En delmængde eller underklasse af den naturlige talrække er,
bl.a., rækken af kvadrattallene. Der er intet kvadrattal som
ikke også ndes i den naturlige talrække; der er således en en-
til-en relation eller korrespondens mellem kvadrattallene og de
forskellige underklasser af talrækken.
[Hartnack 1993, p. 79]
(20)
Herefter går Hartnack videre til at anføre at man benævner den aktuelle
uendelighed
[...] aleph, et tegn der skrives som et liggende ottetal
[Hartnack 1993, p.80],
(21)
og går videre til at beskrive regnereglerne for aleph:
Subtraherer vi aleph fra aleph så er resultatet ikke nul men
derimod aleph. Multiplicerer vi aleph med sig selv bliver resul-
tatet ikke aleph i anden potens men blot aleph. Og dividerer
jeg aleph med sig selv bliver resultatet ikke en, men derimod
aleph.
[Hartnack 1993, p.80-81]
(22)
Han skriver videre:
20
26. Når f.eks. både rækken af de naturlige tal og rækken af kva-
drattallene er uendelige og man så subtraherer den sidstnævn-
te fra den første (altså subtraherer en uendelig række fra en
anden uendelig række) bliver der stadig en uendelig række til-
bage [...] Man kan faktisk aldrig berøve en uendelig række dens
status som uendelig ligegyldig hvilke operationer man kunne
tænkes at udføre.
[Hartnack 1993, p. 81]
(23)
Han giver videre en beskrivelse af David Hilberts (1862-1943) illustration,
kendt som `Hilberts Hotel', af nogle af uendelighedsbegrebets ejendommelig-
heder: Hvis et hotel har uendelig mange værelser som alle er optaget, kan
en nyankommet gæst blive tildelt et værelse hvis alle gæsterne af portieren
bliver bedt om at ytte værelse til et værelse med værelsesnummer et num-
mer højere end det de havde. Derved bliver værelse nr. 1 ledigt til den nye
gæst. Tilsvarende (dette eksempel bliver dog ikke nævnt af Hartnack) kan
man nde plads til uendelig mange nye gæster ved at bede de allerede ind-
kvarterede gæster ytte til det dobbelte værelsesnummer af det de havde,
og derved frigøre de ulige numre. Hartnack mener at det er sværere at [...]
godtage ideen om at alle kan ytte til det næste værelse i rækken end [...]
at godtage ideen om et hotel med uendelig mange værelser. Gæsten der bor
i
[...] værelset med det højeste nummer [...] der skal begynde
ytningen må nødvendigvis have et ledigt værelse at ytte ind
i. [Og da] den ankomne gæst k at vide at alle og samtlige
værelser var optagne kan der selvklart ikke være ledige værel-
ser.
[Hartnack 1993, p. 83-84]
(24)
Hartnack slutter afsnittet af med en opsummering, og med derpå at godtage
at aleph som [...] et af matematikerne konstrueret begreb [...] dog ikke er
meningsløst
21
27. [...] af den grund at begrebet den potentielle uendelighed kun
har mening dersom man forstår hvad der skal forstås ved det
den potentielle uendelighed er en potentialitet for, nemlig den
aktuelle uendelighed.
[Hartnack 1993, p.86]
(25)
3.2.2 Dedekind og den aktuelle uendelighed
Hartnack vender tilbage til omtalen af Dedekinds snit med en opsummering
af sin gennemgang af Dedekind fra foregående kapitel. Han beskriver hvordan
at
√
2 kan
[...] bestemmes som et sted mellem decimalerne i A1 og deci-
malerne i A2 et sted man kan gøre så lille som man vil men
det kan aldrig elimineres
[Hartnack 1993, p. 87-88].
(26)
Han skriver videre at hvis man denerer
[...] et irrationalt tal ved hjælp af rationale tal så får man en
talrække der er uendelig [...] Problemet for Dedekind er imid-
lertid at disse rationale tal refererer til lige så mange punkter,
der er følgelig en uendelig række af punkter der faktisk fore-
ndes; de konstituerer følgelig en aktuel uendelighed.
[Hartnack 1993, p. 88]
(27)
Han sætter sig nu for at vise at argumentationen er uholdbar: Dedekind begår
nemlig den 'punktualistiske fejl' at forveksle de matematiske, d.v.s. uudstrak-
te non-ontologiske punkter med ontologiske punkter på en linie, hvilket er en
'kategorifejl'. For
Intet består af eller er sammensat af uudstrakte punkter , (28)
og er der tale om ontologiske punkter er de delelige i det uendelige,
22
28. [...] hvilket ikke er det samme som at sige [...] delt i uendeligt
mange dele [...]
[Hartnack 1993, p. 88],
(29)
og dette implicerer ikke aktuel uendelighed, men potentiel uendelighed (Hart-
nack skriver til allersidst at det at være delt i det uendelige implicerer po-
tentiel uendelighed, men det må formodes at han her mener deleligt i det
uendelige).
3.2.3 Cantor
Hartnack lægger i dette afsnit ud med at postulere, stadigvæk med henvisning
til Dedekinds snit, at
Da tallene i decimalerne er rationale tal og de irrationale tal
(f.eks kvadratroden af 2) er denerede ved hjælp af de ratio-
nale tal [...], følger det at de irrationale tal, i lighed med de
rationale tal der denerer dem, er denumerable. De tilfreds-
stiller derfor betingelserne for at have en en-til-en korrelation
med den naturlige talrække.
[Hartnack 1993, p. 89]
(30)
Straks herefter går han dog videre til at berette at Cantor var af en anden
opfattelse, og fortolker Cantors udlægning for læseren:
Hvad Cantor hævder er dette: Hvis alle irrationale tal er de-
numerable så skulle man ved den diagonale metode kun kunne
konstruere denumerable tal. Viser det sig at man alligevel kan
konstruere et non-denumerabelt tal, er det selvsagt hermed be-
vist at der kan være irrationale tal der er non-denumerable.
(31)
Han skriver videre at
Antagelsen at alle irrationale tal er denumerable er falsi-
ceret dersom man kan konstruere blot et tal der er non-
denumerabelt.
[Hartnack 1993, p. 90]
(32)
23
29. Han beskriver så beviset:
Vi nedskriver først de irrationelle decimaler fra 0 til 1 under
hinanden. Man ombytter dernæst det første cier i den første
række med et cier der er højere. Det samme gør man med det
andet cier i den anden række, dernæst med det tredje cier
i den tredje række, og således videre. Trækker man nu en linie
fra det forandrede første cier gennem det forandrede andet
cier i anden række og således videre vil denne linie være
en diagonal. [...] Det [konstruerede tal] er ikke denumerabelt
eftersom det er forskelligt fra alle de antagede irrationale tal.
[Hartnack 1993, p. 90-91]
(33)
Han anfører nu at:
De irrationale tals uendelighed, der er uendelige uden at ha-
ve en en-til-en korrelation til de naturlige tal og derfor ikke
er identisk med aleph, giver Cantor betegnelsen c (hvilket er
forkortelse af continuum),
(34)
men fortsætter at Cantor:
[...] mente at tallene refererede til punkter. Han var med an-
dre ord en punktualist og begik derfor den punktualistiske fejl.
Hans teorier medførte derfor absurditeter. F.eks. hævdede han
at en uendelig lang ret linie indeholdt uendelige mange punk-
ter, der imidlertid kan korreleres (parres) med punkterne på
et stykke af linien, hvor kort dette stykke end måtte være.
[Hartnack 1993, p. 91]
(35)
Hartnack anfører herefter forskellige tilhængere og modstandere blandt histo-
riske matematikere af Dedekinds og Cantors argumenter. Den endelige dom,
skriver han,
24
30. [...] synes at måtte være denne. Argumentet for [den aktuel-
le uendeligheds] eksistens der hviler på opfattelsen af tallenes
funktion er at referere til punkter. Og da tallene, ikke blot den
naturlige talrække men også (og især) de irrationale tal, er
uendelige må der også være uendelig mange punkter. Dette
argument er ere gange på de foregående sider blevet tilbage-
vist. Det hviler på en kategorifejl. Det opfatter begrebet om det
non-ontologiske punkt som om det var et begreb om et ontolo-
gisk objekt. Denne kategorifejl går igen og går igen lige siden
Zenons dage.
[Hartnack 1993, p. 92]
(36)
Videre refererer han losoen José Benardetes (Hartnack kalder ham Berna-
dete) (1928-) argument fra bogen innity (1964):
The great argument in favour of aleph null as a cardinal is
not that the class of natural numbers is innite. Rather, the
decisive argument is that it is quite intelligible and possible
that there is no last star in the heavens.
[Hartnack 1993, p. 92]
(37)
Men da hver stjerne må kunne gives et nummer som vil være et endeligt tal,
ville det ingen
[...] mening have at antage at der skulle være et tal [...] efter
hvilket aleph nødvendigvis ville følge.
[Hartnack 1993, p. 93]
(38)
Da kun den potentielle uendelighed har mening, er det at [...] vericere
påstanden at der ville være en stjerne der var den sidste, en logisk umulighed.
Hartnack mener så at have vist at
[...] de to afgørende argumenter for den aktuelle uendelighed:
Punktualismen og Stjerneargumentet ikke er gyldige [...]
[Hartnack 1993, p. 94]
(39)
25
31. Hartnack medgiver dog til sidst i kapitlet at begrebet `den aktuelle uendelig-
hed' godt kan analyseres og `ekspliceres'. Det er derfor:
[...] at Dedekind kan nde frem til ved hjælp af det De-
dekindske Snit at denere de irrationale tal ved hjælp af de
rationale tal, og at Cantor ved hjælp af diagonalmetoden
mener at kunne hævde at de irrationale tal ikke kan dene-
res ved hjælp af de rationale tal men i stedet udgør uafhængige
former for uendelighed og, grundet på hans punktualistiske op-
fattelse, aktuelle uendeligheder.
[Hartnack 1993, p. 95]
(40)
Og med det slutter Hartnack kapitlet af.
26
32. 4 Zenon
Desværre eksisterer Zenons paradokser, i bedste fald, kun i form af anden- el-
ler tredjehånds kilder. Aristoteles og en af hans meget senere kommentatorer
Simplicius (ca. 490 ca. 560) lader til at have haft adgang til nogle af Zenons
skrifter [Huggett 2010]. Zenons paradokser havde til formål at bevise Parme-
nides påstand om at al bevægelse var umulig. De blev altså ikke opstillet som
`paradokser', men som `beviser' for bevægelsens umulighed. Hartnacks refe-
rat af Pileparadokset, (6), stemmer ikke fuldstændig overens med Aristoteles'
version fra Naturen (også kendt som Fysikken) som lyder (hvor paradokset
vist forudsættes alment kendt):
Zenon ræsonnerer fejlagtigt. For han siger, at hvis enhver
ting altid er i ro, når den er lige over for et sted, som svarer
til tingen, og dette i ethvert nu altid gælder det, som yttes,
så er den yvende pil ubevægelig. Men dette er fejlagtigt, for
tiden er ikke sammensat af udelelige nuer, lige så lidt som
nogen anden størrelse er sammensat af udelelige ting.
[Aristoteles, p. 63]
(41)
Her forudsættes det altså at Zenon opererer med nuer og betragter tiden som
værende sammensat af nuer. Forud er gået argumentet:
Men i nuet er tingen ganske vist altid lige over for noget
forblivende, men den er ikke i ro - for i et nu er der hverken
bevægelse eller ro
[Aristoteles, p. 63].
(42)
Og omkring potentiel og aktuel uendelighed siger han følgende:
Det er ikke muligt i løbet af et begrænset tidsrum at berøre
ting, som er uendelig mange, men ting, som er opdelelige i det
uendelige, kan man berøre; for tiden selv er uendelig i denne
forstand.
[Aristoteles, p. 63]
(43)
27
33. Omkring linjer og punkter gælder (hvor det forud er deneret at 'sammen-
hængende' er de ting, hvis yderkanter er ét):
[...] at noget, som er sammenhængende, ikke [kan] bestå af
udelelige ting, f.eks. en linje af punkter, såfremt linjen er sam-
menhængende og punktet udelelig.
[Aristoteles, p. 61]
(44)
Den gendrivelse der bliver lagt op til, lyder så:
[...] Dette [at den yvende pil står stille] følger, hvis man
går ud fra, at tiden er sammensat af nuer, for hvis man ikke
forudsætter dette, vil man ikke kunne foretage slutningen.
[Aristoteles, p. 64]
(45)
Aristoteles beskriver Akilles og skildpadden-paradokset således:
Det går ud på, at det langsomste aldrig vil blive indhentet
af det hurtigste, for forfølgeren må først nå det sted, hvor
den forfulgte startede, således at den forfulgte altid vil have et
forspring.
[Aristoteles, p. 63]
(46)
Og gendrivelsen lyder kort og godt:
Den påstand, at det, som har et forspring, ikke indhentes,
er falsk. At det ikke indhentes, så længe det har et forspring,
er rigtig nok, men ikke desto mindre indhentes det, såfremt
man indrømmer, at man overhovedet kan gennemløbe hele den
givne afstand.
[Aristoteles, p. 64]
(47)
Man kan ikke rigtig sige at Aristoteles, trods vældig gode overvejelser, på klar
og overbevisende facon har tilbagevist paradokserne. At de siden jævnligt er
28
34. blevet søgt tilbagevist frem til, og med, hvor tid, bekræfter nok dette. Til
gengæld må det siges at han klart ser at de to konkrete paradokser (til forskel
fra visse andre af Zenons paradokser) grundlæggende er forskellige: Det ene
(Akilles) omhandler potentiel uendelighed; det andet omhandler såvel aktuel
uendelighed som et 'sammenhængende' kontinuum og punkter (i tiden) uden
udstrækning.
4.0.4 Pileparadokset
Fra et moderne matematisk (eller fysisk) synspunkt ville man nok løse pile-
paradokset, uden nødvendigvis at gøre sig større lososke overvejelser, ved
et lettere forenklet tankeeksperiment: Pilen afskydes i tidspunktet t0 og op-
når en given hastighed. Pilens tilbagelagte distance (for eksempel målt som
afstanden fra afskydningspunktet) beskrives som en kontinuert funktion af ti-
den. Pilens distance fra afskydningspunktet kan så beregnes (eller aæses på
en graf) i forhold til et givent tidspunkt. Pilens hastighed i et givent tidspunkt
kan beregnes (eller aæses) som dierentialkvotienten (eller hældningskvo-
tienten), bortset måske fra det øjeblik hvor pilen afskydes eller rammer sit
mål. Og hvis nogen skulle interessere sig for accelerationen, vil den være givet
ved den aedte funktions dierentialkvotient.
I nævnte model indgår såvel punkter (uden udstrækning) på linien som
i tiden, samt en idé om et kontinuum. `Hastigheden' kan angives i et `nu',
hvilket ikke nødvendigvis gør den meget anderledes end middelhastigheden
i et interval. Så matematikeren eller fysikeren (eller den velindoktrinerede
skoleelev) ville nok umiddelbart afvise paradokset med henvisning til at pilen
også har `hastighed' (f.eks. målt i m/s) i et `nu' (uden udstrækning) ifølge
innitesimalregningen, hvor paradoksalt det end ville lyde for en Zenon m.
.
Mere formelt måtte man nok denere funktionen f over et interval T ⊂ R,
og så henvise til at hastigheden i tidspunktet t ∈ T er givet ved følgende
grænseværdi (såfremt denne eksisterer, hvad den her formodes at gøre):
lim
h→0
f(t + h) − f(t)
h
= f (t).
Hvis en Zenon ville anføre at man ved at beskrive tiden, T, som et interval
på den reelle akse og distancen, f(T), som endnu et interval på den reelle
akse, (hvor den reelle akse, R, beviseligt er et kontinuum), ikke kan slutte at
rum og tid dermed også er kontinua, så måtte matematikeren argumentere at
det at rum og tid ikke nødvendigvis er kontinua, ikke betyder at de ikke kan
fortolkes som sådan (som f.eks. Dedekind gør det i (2)) i en matematisk model
der beskriver pilens ofte observerede bevægelse. Skulle Zenon nu anføre at
29
35. den tilsyneladende bevægelse som matematikeren beskriver, slet ikke nder
sted i den `virkelige' verden, men blot er en illusion, så må matematikeren
argumentere at der kan laves en matematisk model som ret præcist beskriver
denne ofte observerede illusion af bevægelse.
Man kan naturligvis ikke klandre Aristoteles at han ikke tilbageviser (hvis
ovenstående overhovedet kan godtages som en tilbagevisning) pileparadokset
med henvisning til dierentialkvotienter 2000 år før innitesimalregningens
udvikling, og hans lososke argumentation i (42), (44) og (45) er i øvrigt
god.
4.0.5 Akilles og Skildpadden
Figur 2: Akilles løber 10 m/s, og skild-
padden (som er hurtig) løber 5 m/s med
et forspring på 100 meter. Trappekur-
ven har uendelig mange trin, men en
endelig udstrækning.
For en matematiker er den mest op-
lagte løsningsmetode for paradokset
om Akilles og skildpadden nok at
beskrive processen som en uendelig
række, og om muligt nde form-
len der angiver summen.
Hvis vi simplicerer en smule og
lader Akilles løbe med en konstant
hastighed a m/s og skildpadden li-
geledes løbe med en konstant ha-
stighed b m/s (hvor a b), og til-
deler skildpadden et forspring på K
meter, så ville den hurtige løsning
(ved at ignorere Zenon) være at si-
ge at hastighedsdierencen er a−b,
og det ville så tage
K
a − b
sekunder
for Akilles at indhente skildpadden.
Distancen som Akilles havde tilba-
gelagt efter
K
a − b
sekunder ved at
løbe a m/s, ville så være
Ka
a − b
me-
ter, som altså så er den distance han
må løbe før han har indhentet skild-
padden.
Hvis jeg så inddrager Zenon, så ville jeg nu sige at Akilles først løber K
meter på
K
a
sekunder, hvor skildpadden i samme samme periode er nået
K
a
b
30
36. meter frem. Dernæst løber Akilles
Kb
a
meter på
(Kb
a
)
a
=
Kb
a2
sekunder, og i
samme periode er skildpadden nået
Kb
a2
b meter frem. Så løber Akilles denne
distance på
(Kb2
a2 )
a
sekunder, o.s.v. Med lidt andre ord: Distancen i meter
der tilbagelægges af Akilles er K + Kb/a + Kb2
/a2
+... Og tiden der forløber
i sekunder er K/a + Kb/a2
+ Kb2
/a3
+... Skrevet med sumtegn får jeg for
distancen (i meter) rækken:
∞
i=0
K(
b
a
)i
Og for den forløbne tid (i sekunder):
∞
i=0
K
a
(
b
a
)i
Disse genkendes som geometriske rækker af formen
∞
i=0 cri
hvor summen
er givet ved
c
1 − r
såfremt det gælder at |r| 1. Da |
b
a
| 1, gælder det for
begge rækker at de er konvergente. Distancen er da givet ved:
K
1 − b
a
=
K
(a−b
a
)
=
Ka
a − b
,
og den forløbne tid er givet ved:
K 1
a
1 − b
a
=
K
a − b
.
Der foregår altså to uendelige processer sideløbende, en for distancen og en
anden for tiden, som begge er afgrænsede og indbyrdes afhængige. D.v.s. at
den af Zenon beskrevne uendelige proces, nødvendigvis er begrænset, ikke
kun i distancen, men også i tiden. At det kan virke paradoksalt at Akilles
overhovedet kan nå frem til at overhale skildpadden, skyldes at Zenons uen-
delige proces uforvarende tænkes at foregå for evigt, eller at hele kapløbet,
herunder den umulige overhaling, tænkes at skulle være inkluderet i den be-
skrevne uendelige proces.
Formelt set burde jeg, for at imødegå kritikken af den aktuelle uendelighed i
31
37. ovenstående, have anført at f.eks. distancen var givet ved:
n
i=0 K(b
a
)i
= K + K(b
a
)1
+ K(b
a
)2
+ ... + K(b
a
)n
⇓
(1 − b
a
) n
i=0 K(b
a
)i
= K − K(b
a
)n+1
⇓
n
i=0 K(b
a
)i
=
K − K(b
a
)n+1
1 − b
a
= Ka
1 − (b
a
)n+1
a − b
,
og så lade n gå mod uendelig:
lim
n→∞
Ka
1 − (b
a
)n+1
a − b
=
Ka
a − b
.
Eller for helt at fjerne enhver reference til ∞:
∀ε 0∃N 0∀n ∈ N : n N ⇒
n
i=N+1
K(
b
a
)i
ε.
På samme vis med rækken for den forløbne tid.
Den konvergerende geometriske række var ikke et instrument som Aristote-
les umiddelbart havde til rådighed 100 år før Arkimedes. Ikke desto mindre
mener jeg at det stod klart for Aristoteles at den af Zenon beskrevne uen-
delige proces nødvendigvis var afgrænset i tiden. Han skriver netop i (46)
(hvis oversættelsen står til troende) så længe .... Men af en tilbagevisning
af bevægelsens umulighed at være, er den måske ikke meget mere bevendt
end Diogenes' (ca. 412-323 f. Kr.) tilbagevisning, der angiveligt bestod i at
han rejste sig op og gik frem og tilbage i tavshed (bevis ved modeksempel).
32
38. 5 Analyse af Hartnacks tekst
5.1 Zenon
Når Hartnack i afsnittet om Zenon straks lægger ud med at behandle begre-
bet punkt, er det fordi han mener at begrebet er fundamentalt for forståelsen
af bevægelse og udstrækning. Han anfører i (5) at punkter ud over at være
et matematisk begreb, betragtes som noget i virkeligheden eksisterende, som
ontologiske størrelser. Det er her endnu ikke klart om han også selv betrag-
ter punktet som en ontologisk størrelse eller ej. Men allerede i (7) omtaler
han punktet som værende en ontologisk størrelse. Så er spørgsmålet hvad
han mener med en ontologisk størrelse. Tilsyneladende mener han i (5) at
punkter eksisterer i virkeligheden, og har udstrækning (her bemærkes det
straks at han er på kollisionskurs med Euklid). Da punkterne konstituerer
en linie argumentet i (7) for at punkter er ontologiske størrelser er det
nærliggende at tænke at Hartnack også betragter en linie som værende en
ontologisk størrelse, men dette nævner han dog aldrig specikt.
Hartnacks kongstanke, som han introducerer her, at et kontinuert liniestykke
ikke kan konstitueres af punkter uden udstrækning, er umiddelbart en begri-
belig indvending. Det er i høj grad kontraintuitivt at en nok så stor samling
`ikke-objekter', der absolut intet fylder, tilsammen skulle kunne fylde noget.
Hartnack er da heller ikke den første som modsætter sig den idé. Aristoteles
skriver i De Caelo (Om Himlen): [...] those who [...] construct bodies out of
planes assert, in eect, what is in several respects in contradiction to mathe-
matics. [...] the same reasoning which maintains that solids are made up of
planes would prove that planes are made up of lines and lines of points. Were
this the case, a part of a line need not be a line. This matter has already been
considered in the discussions on motion, where it was proved that there are
no indivisible lines [Heath, p. 174].
Til gengæld opstår der straks et problem i Hartnacks præsentation af
idéen. Han beskriver to typer `punkter' (desværre er han længere fremme i
teksten ikke særlig omhyggelig med at angive hvilket et af dem han refererer
til). Den ene type har udstrækning (fremover kaldet ontologisk punkt), den
anden type har ikke (fremover kaldet euklidisk eller non-ontologisk punkt).
Når han i (7) beskriver det ontologiske punkt, skriver han at det så at sige
er den mindste del af et liniestykke. Der er tilsyneladende ikke tale om at
han blot betragter sit ontologiske punkt som et meget kort stykke af linien.
Betegnelsen den mindste del tyder mere på at han opfatter det (som han
indikerer i (5)) som et udeleligt rumatom. Men når han så i (8) siger om det
euklidiske punkt, at hvis det ikke kan deles, så medfører det selvsagt at det
33
39. ingen udstrækning har, så har han fået malet sig op i et hjørne rent argu-
mentationsmæssigt: ontologisk punkt = den mindste del ⇒ kan ikke deles ⇒
har ingen udstrækning = euklidisk punkt. Det står altså umiddelbart ikke
klart hvad hans system består i.
Hans løsningsforslag til Akilles og skildpadden-paradokset ved at sammenlig-
ne med en biljagt gennem en række landsbyer, er interessant af ere årsager.
Dels understreger det igen en opfattelse af det ontologiske punkt som værende
en slags `rumatom', dels udtrykker det en opfattelse af bevægelse som væren-
de diskontinuert. Han får på en gang fjernet den aktuelle uendelighed, den
potentielle uendelighed og det euklidiske punkt fra paradokset. Til gengæld
giver det anledning til nye problemer (for eksempel Zenons stadion-paradoks
der (formentlig) involverer rumatomer og tidsatomer), og med henvisning til
Dedekinds bemærkning i (2) om at intet forhindrer os i, af praktiske årsa-
ger, at udfylde eventuelle konstaterede huller i rummet i tanken for at opnå
kontinuitet, så er det matematisk set ikke en særlig praktisk løsning på en
(mig bekendt) ikke-konstateret fysisk sammenhæng som Hartnack præsen-
terer. Han er i øvrigt inde på samme idé allerede i 1957 i essaysamlingen
Filososke Essays hvor han omtaler de samme to paradokser. Her er det Rå-
dhuspladsen der bliver `punktet' hvor bilerne bender sig [Hartnack 1957, p.
145].
Det ser ud til at Hartnack mener at sammenblandingen af punktopfat-
telserne er selve årsagen til paradoksernes opståen. Det lader i hvert fald
til at han mener at have tilbagevist Akilles og skildpadden -paradokset, ved
sine ontologiske punkter. Han mener også at det er en logisk umulighed at
et liniestykke kan være konstitueret af uendelig mange ontologiske punkter,
også selvom man gør dem mindre og mindre (9). Her er det nærliggende
at sammenligne med en konvergent sumrække, som for eksempel
∞
n=1
1
2n ,
hvor addenderne kan opfattes som længder af stadigt mindre liniestykker
som tilsammen har længden 1. Men da addenderne går mod 0 når n går
mod uendelig, opfylder de nok ikke Hartnacks krav til at blive opfattet som
uendelig mange ontologiske punkter. Sumrækken kan nok siges at udgøre et
grænsetilfælde, men nok ikke et modbevis af Hartnacks idé.
Omkring Hegels kortfattede gendrivelse af Zenon, bør det straks siges at
jeg ikke kan påberåbe mig den fornødne indsigt i hele Hegels logiske sy-
stem. Jeg mener dog at det virker meget oplagt at Hegel i sin analyse læner
sig en del op ad Aristoteles' gendrivelse. Han omtaler specikt Aristoteles'
løsninger, og anfører at de [...] merit high praise [...] [Hegel, p. 199], og
forsvarer Aristoteles mod eftertidens `spekulative' anklager om manglende
evne til gå ud over det potentielt uendeligt delelige: Acute understanding,
34
40. in which Aristotle, too, is certainly unsurpassed, is not competent to grasp
and to decide on speculative Notions, any more than the crudity of sensuous
conception [...] is adequate to refute the reasoning of Zeno [Hegel, p. 199].
Hartnack gengiver i (10) Hegels to begreber: `adskillelse' og `kontinuitet' (`di-
screteness' (Diskretion) og `continuity' (Kontinuität) i [Hegel, pp. 199-200]).
Lignende begreber introduceres af Aristoteles (`sammen', `adskilt', `berøre',
`mellemliggende', `næste', `tilstødende' og `sammenhængende' i [Aristoteles,
p. 59]) som oplæg til hans gendrivelse af Zenon, og specikt omkring linier
og punkter i (41) og (44). Det bemærkes især også at Hegels udsagn (i Hart-
nacks gengivelse) om forskellen på at noget kan deles i det uendelige og er
delt i uendelig mange dele (11), ret nøje følger Aristoteles' idé i (43).
Men ellers går Hegel, så vidt jeg har kunnet bedømme, ikke i detaljer om-
kring de enkelte paradokser (endsige nævner dem ved navn), og han omtaler
heller ikke direkte ontologiske og non-ontologiske punkter som i Hartnacks
tilføjelse i (12).
Efter ved farveeksperimentet at have påvist at det euklidiske midtpunkt,
M, på et liniestykke ikke kan være en del af linien, da en linie ikke kan bestå
af to halvdele og et midtpunkt (og non-ontologiske punkter dermed ikke kan
konstituere et liniestykke), går Hartnack videre til Dedekinds snit.
Her er Hartnack ikke særlig klar omkring den skelnen Dedekind laver (og
går meget op i at lave) mellem tal (i et talområde) og punkter på linien,
muligvis fordi han ikke kender baggrunden (1) for Dedekinds værk som han
måske kun kender via andenhåndskilder som [Hollingdale].
Hartnack har nok ret i at Dedekind opfatter linien som opbygget af punk-
ter (13), men har næppe ret i at Dedekind opfatter dem som ontologiske stør-
relser og minidele af liniestykket (14), især med henvisning til Dedekinds egne
kommentarer i (3) og (2). Når så Hartnack videre i (15) blander punkter og
tal (og linier og talakser) godt og grundigt sammen, og på egne antagelser om
Dedekinds idéer om punkters ontologi anfører følgende: at da p er udstrakt,
er det deleligt i det uendelige; at det reducerede punkt p ikke er et rationalt
tal, men snittet der denerer et irrationalt tal som er mødestedet mellem
uendeligt stræbende decimaler, en stræben der er matematisk umuligt at op-
nå; og at til det irrationale tal kan der altså ikke svare et punkt så er ordet
nonsens den mest dækkende beskrivelse. Citatet i (15) er så forvrøvlet at det
ikke er til at vælge det første anklagepunkt. Hartnack postulerer oven i købet
at Dedekind har indset dette forhold (at til det irrationale tal kan der ikke
svare noget punkt, formentlig), men nødig vil indrømme det. Når Hartnack
videre taler om tal der peger på et liniestykke, skelner han mellem at angive
antal af længdeenheder, og på at angive et (ontologisk, antageligvis) punkt
på linien.
35
41. Det virker angiveligt som om Hartnack i (15) og (16) mener at tal, ud
over at angive værdi eller størrelse, også har en lillebitte udstrækning (især
hvis de ikke har så mange decimaler), hvilket måske kan være grunden til
at han ikke kan godtage at de irrationale tal (i modsætning til de rationale
tal) kan svare til (ontologiske) punkter på linien. Det kan til gengæld godt
(tror jeg han skriver) angive antallet af måleenheder ifølge (16) og (17),
hvilket så, for at fuldende værket, uforvarende bringer ham i konikt med
de inkommensurable størrelser (selve de irrationale tals eksistensberettigelse
som vist af Dedekind).
Jeg tror at han i ovenstående er i færd med at hævde at til hvert ratio-
nale tal svarer et ontologisk punkt på linien, men til hvert irrationale tal kan
der ikke svare noget ontologisk punkt (vist nok grundet de uendelig man-
ge decimaler), men kun non-ontologiske punkter i form af positions- eller
længdeangivelser. Dette ville være en højst uortodoks og problemskabende
talopfattelse et paradoks i sin egen ret men det er den eneste form for
semantisk mening jeg kan få ud af dette stykke tekst der afslutter afsnittet
om begrebet `punkt'.
I det korte afsnit om begrebet `nu' behandler Hartnack igen Hegels argu-
mentation omkring Zenon. Igen må det siges at Hegel med bemærkningen
i (18) lader til at være inspireret af Aristoteles' bemærkning omkring Pile-
paradokset i (42). Hartnack nævner ikke Aristoteles, men afviser her Hegels
argumentation fordi den forudsætter at der tales om non-ontologiske punkter
og et nu uden udstrækning i tiden. Det lader til at Hartnack i (19) mener
at afvisningen af ovenstående non-ontologiske punkter og tidspunkter fjerner
paradokset om pilen, hvilket ikke er helt forkert, selv om man med lige så
meget ret kunne anføre at det fjerner selve behandlingen af paradokset.
5.1.1 Afsluttende bemærkninger om Hartnack og Zenon
Hartnack har i sin behandling af Zenons paradokser søgt en gendrivelse ved
sin afvisning af at punkter (og tidspunkter) uden udstrækning skulle kunne
have relevans i rummet og tiden. Det står faktisk ikke klart om Hartnack
opfatter paradokserne som værende forskellige. At han behandler dem samlet
og ikke altid klart angiver hvilket af dem han taler om, antyder at han ikke
gør. Jeg mener at Akilles og Skildpadden paradokset omhandler potentiel
uendelighed, mens Pileparadokset omhandler aktuel uendelighed.
Han er (formentlig) overbevist om at Zenons argumenter er falske, og at
paradokserne kun tilsyneladende er paradokser. Det kan derfor undre at han
aldrig gør opmærksom på de matematiske løsningsmetoder (som jo ikke var
tilgængelige på Zenons tid), om ikke for andet så for at orientere læseren
36
42. om at han er bekendt med dem. Og hvis han ikke anerkender dem som fyl-
destgørende grundet uendelighedsaspektet, ville det i endnu højere grad være
relevant at nævne dem. Det kan selvfølgelig tænkes at han ikke mener at
disse løsninger adresserer det lososke problem bag paradokserne, hvilket
ville være en relevant indvending, men læseren lades tilbage med en fornem-
melse af at Hartnack ikke kender (eller forstår) dem. At han aldrig rigtig
giver udtryk for at det forløb som bliver beskrevet i Akilles og skildpadden
paradokset, nødvendigvis er begrænset i tiden (som f. eks. Aristoteles gjorde
i (47)), kunne give indtryk af at han måske slet ikke er klar over det. Når
han tilbage i losokumlærebogen fra 1955 Filososke Problemer og Filoso-
ske Argumentationer skriver, med reference til samme to paradokser, at:
Når man i dag benægter, at Zenons beviser er logisk holdbare, er det ikke
så meget, fordi man har fundet, hvor hans logik brister; der er adskillige, der
har forsøgt at gøre det; men endnu har ingen været i stand til at vinde udelt
tilslutning for deres forsøg; det er mere, fordi man ved, det må være galt
[Hartnack 1955, p. 21], så bidrager det til den mistanke at han måske ikke
rigtig kender (eller anerkender) matematikken bag.
5.2 Galileo og Hilbert
Når Hartnack introducerer denitionerne af uendelige mængder, virker han,
som i citatet i (20), ikke rigtig til at have forstået begreberne `tællelighed'
(`denumerabilitet') og `en-til-en relation'. `Denumerabilitet' kan ikke siges at
blive anvendt som et kriterium på uendelighed ved argumentet: at dersom
en mængde har en en-til-en relation til en af mængdens delmængder så er
mængden uendelig. De to ting har ikke umiddelbart noget med hinanden at
gøre. Og det at der ikke ndes et kvadrattal som ikke også er et naturligt
tal, medfører bestemt ikke en en-til-en relation mellem kvadrattallene og de
forskellige underklasser af talrækken (af naturlige tal, vistnok).
Der er så allerede lagt op til problemer når Hartnack videre i (21) anfører
at man betegner den aktuelle uendelighed med navnet `aleph', uden at han
nævner fodtegn (han fortæller heller ikke at det drejer sig om det hebraiske
bogstav ℵ). Dette må siges at være en meget grov forsimpling af kardinaltals-
begrebet (kardinaltal nævner han heller ikke). Man kan ganske vist lade ℵ
betegne aleph-funktionen, men den antager da forskellige værdier afhængig
af fodtegnet.
Det kunne tænkes at grunden til forsimplingen er formidlingen til læse-
ren, typograske årsager, eller insisteren på dagligsproget som udgangspunkt,
men da hans mission netop er at argumentere imod muligheden af en prak-
tisk anvendelse af begrebet, ville større præcision have været ønskværdigt.
Det virker faktisk som om han overhovedet ikke har bemærket fodtegnets
37
43. funktion (selv om det eneste matematiske kildemateriale han nævner, [Hol-
lingdale], naturligvis benytter dem). At han videre mener at `tegnet' aleph
skrives som det liggende ottetal, ∞, (det lader til at han mener at dette er
konventionen) er en yderligere kilde til undren og problematiserer hans vide-
re beskrivelse af de vedtagne regneregler for `aleph' i (22).
Det kunne tænkes at Hartnack i (22) taler om den uendelighed der ofte er
repræsenteret ved grænseværdien limn→∞ (an) for en vilkårlig voksende, di-
vergerende følge (an) af positive reelle tal. Da vil summen eller produktet af
grænseværdien for to sådanne følger limn→∞ (an) og limn→∞ (bn) (i udvidel-
sen R af R) igen svare til grænseværdien for en voksende, divergerende følge
af positive tal. Til gengæld er der ikke, for vilkårlige følger af ovennævnte
type, et entydigt resultat ved subtraktion (limn→∞ (an) − limn→∞ (bn)) eller
division (
limn→∞ (an)
limn→∞ (bn)
). De ubestemmelige udtryk ∞−∞ og
∞
∞
plejer derfor
helt at undgås i R [Schilling, p. 59].
Nu kan det også tænkes at Hartnack refererer til transnitte kardinaltal eller
transnitte ordinaltal. Der er knyttet særlige aritmetikker, som er indbyrdes
forskellige, til disse. I det følgende antages udvalgsaksiomet at gælde:
Hvis κ og λ er kardinaltal, et af dem forskellig fra nul, og det andet
transnit, så er: κ + λ = κ · λ = max{κ, λ}, og specielt er
ℵα + ℵβ = ℵα · ℵβ = max{ℵα, ℵβ}
[Holz, p. 47 (cor. 1.5.12)], og den kommutative lov gælder for såvel addition
som for multiplikation [Holz, p. 46 (lemma 1.5.10)]. For ordinaltal gælder
det til gengæld at addition og multiplikation ikke er kommutative hvis et
af ordinaltallene er transnit. Endvidere gælder det for et ordinaltal α at
α · α = α2
og α + α = α · 2, og for α 2 gælder α α · 2 α2
og specielt at
ω ω · 2 ω2
[Holz, p. 33 (lemma 1.4.3)]. Her kan Hartnacks alepher, hvor
∞ · ∞ = ∞, så ikke tolkes som ordinaltal.
Hvis vi kikker på mulighederne for subtraktion, så gælder det for et trans-
nit kardinaltal σ og et kardinaltal µ, at: der ndes et kardinaltal κ sådan at
µ + κ = σ ⇔ µ ≤ σ. Kardinaltallet κ vil være unikt og lig σ hvis og kun hvis
µ σ. Hartnacks subtraktion: ∞ − ∞ = ∞, ville så være et ubestemmeligt
udtryk for kardinaltal (da ∞ ∞). For ordinaltal (herunder de transnitte)
galdt jo α +α = α ·2, og for α 0 galdt α α ·2, så heller ikke her fungerer
hans regnestykke.
Om muligheden for division med kardinaltal: For et transnit kardinaltal
π og et kardinaltal µ forskellig fra nul, ndes der et kardinaltal κ sådan at
38
44. µ · κ = π ⇔ µ ≤ π. Kardinaltallet κ vil være unikt og lig π hvis og kun
hvis µ π. Igen er ∞ ∞, så Hartnacks regnestykke
∞
∞
= ∞ er et ube-
stemmeligt udtryk hvis der bruges kardinaltal. Og for ordinaltal galdt jo at
α2
= α·α (eller αβ+γ
= αβ
·αγ
), og for α 1 galdt α α2
og specielt ω ω2
[Holz, p. 33], så Hartnacks regnestykke kan heller ikke lade sig gøre her.
To ud af Hartnacks tre regnstykker giver altså ikke entydigt resultat for
transnitte kardinaltal, og ingen af dem kan lade sig gøre for transnitte or-
dinaltal (med mindre Hartnacks aleph kan antage forskellige værdier i en og
samme ligning). Så to af de tre nævnte regneregler må betegnes som fejl.
Da han lidt senere i (23) subtraherer rækken af kvadrattallene fra ræk-
ken af de naturlige tal, er det igen ikke helt klart hvad han mener. Hvis han
nu (i modsætning til tidligere i teksten) taler om `rækker' som sumrækker,
så er han tilbage ved ∞ − ∞. Hvis han til gengæld trækker to følger fra
hinanden, d.v.s. for k = 1, 2, ..., n trækker det k'te element i en følge med
n elementer fra det k'te element i en anden følge med n elementer, så er
resultatet en ny følge med n elementer. Men så er vilkårene for to uendelige
følger ikke forskellig fra vilkårene for to endelige følger (hvilket ellers synes
at være hans pointe). Og hvis han, som det lader til, er i færd med at nde
mængdedierensen NK mellem mængden K af kvadrattallene, og mængden
N af de naturlige tal, så bliver resultatet mængden af naturlige tal der ikke er
kvadrattal, som ganske rigtig har uendelig mange elementer. Her er det oplagt
at resultatet af den modsatte `subtraktion' KN ville resultere i mængden
af kvadrattal som ikke er naturlige tal (m.a.o. den tomme mængde), hvilket
næppe kan have undgået hans opmærksomhed. Alligevel konkluderer han at
en uendelig `række', grundet de temmelig revolutionerende regneregler, ikke
ændrer status som uendelig, ligegyldig hvilke operationer den udsættes for.
Igen må hans argumentation altså siges at være fejlagtig.
Omkring Hartnacks behandling af `Hilberts Hotel' i (24) må det antages at
han fremdrager det paradoksale ved eksperimentet når han taler om gæsten i
værelset med det højeste nummer der skal ytte først. Alternativet er nemlig
at Hartnack tænker at der i mængden af de naturlige tal, i matematikerens
opfattelse, er et højeste tal.
Jeg konstaterer at Hartnack til sidst (25) medgiver at `aleph' har en beret-
tigelse som begreb for det som den potentielle uendelighed er en potentialitet
for.
39
45. 5.3 Dedekind og den aktuelle uendelighed
Når Hartnack igen fremdrager Dedekind, er det for at tilbagevise Dedekinds
brug af den aktuelle uendelighed. Igen lader det til at han mener at decimal-
tal har `udstrækning'. I (26) omtaler han at
√
2 bestemmes som et `sted',
der kan gøres så lille som man vil, uden at kunne elimineres. Og når han
videre anfører at problemet for Dedekind er at de rationale tal refererer til
lige så mange faktisk forendende punkter der konstituerer en aktuel uen-
delighed (27), lyder det igen som om han mener at de rationale tal har en
særlig ontologisk egenskab som de irrationale tal ikke har. Han mener igen at
tilbagevise den aktuelle uendelighed ved at henvise til at punkter enten ikke
har udstrækning, hvorved de ikke ndes på linien (28), eller har udstrækning,
hvorved de ikke er delt i det uendelige, men kan deles i det uendelige (29).
Jeg kan ikke sige at jeg her forstår Hartnacks tilbagevisning.
5.4 Cantor
Hartnack lægger ud med i (30) at anføre at da de irrationale tal er de-
nerede ved hjælp af de rationale tal, er også de denumerable. Hvorfor han
indleder med dette udsagn forstår jeg ikke. Det er ikke fordi han er i gang
med at præsentere at Cantor selv tænkte at dette kunne være tilfældet, før
det lykkedes ham at bevise det modsatte. Tilsyneladende er det fordi han,
som Kronecker m. ., ikke kan acceptere Cantors bevis (det senere bevis ved
diagonalmetoden) som han nu går i gang med at beskrive. Nu viser det sig
imidlertid at Hartnack ikke helt har fået på plads hvad det vil sige at en
mængde er denumerabel/tællelig. At han i (31) og (32) anfører at man skulle
kunne konstruere denumerable tal (udover de indekserede?), og at beviset
drejer sig om at konstruere blot et tal der er non-denumerabelt, giver ikke
rigtig mening.
Cantors kendte modstridsbevis som beskrevet i [Cantor 1891, pp. 579-
580], opstiller samtlige indekserede reelle tal fra 0 til 1 over hinanden, med
det først indekserede tal øverst, og med uendelig mange decimaler for hvert
tal (hvor f. eks. 0.1 er anført som 0.01111... o.s.v. Cantor bruger binær
talrepræsentation i sit eksempel), og der kan per antagelse ikke konstrue-
res ere. Beviset følger af at Cantor ved diagonaliseringsmetoden formår at
konstruere et nyt reelt tal:
0.y11y22y33y44 . . . ,
hvor ynn = 1 − xnn, og xnn er decimalerne taget diagonalt fra `søjlen' af de
40
46. indekserede reelle tal:
0.x11x12x13x14 . . .
0.x21x22x23x24 . . .
0.x31x32x33x34 . . .
0.x41x42x43x44 . . .
.
.
.
I Hartnacks gengivelse (33) af beviset hævder han altså udover altid at kun-
ne udskifte med et cier der er højere at have fundet et non-denumerabelt
(overtælleligt) tal. Hvis han havde puttet tallet i en mængde, kunne han have
talt det (med en nger).
Han anfører nu (34) at Cantor indfører betegnelsen `c' for de irrationale
tal, og Hartnack demonstrerer derved at han heller ikke kender forskel på
de reelle tal og de irrationale tal. Med denne nye oplysning in mente, kan
det tænkes at Hartnacks udsagn i (15) og (16) skal læses som at han mener
at til de rationale tal svarer der ontologiske punkter, men til de reelle tal
(herunder de rationale) svarer der kun euklidiske punkter. Om dette betyder
at han mener de rationale tal har en `lille udstrækning' eller ej, har jeg svært
ved at vurdere.
Da Cantor, ifølge Hartnack, mente at tallene refererede til punkter, be-
går han den `punktualistiske' fejl (35). Hartnack anfører det som en absurd
konsekvens af denne punktualistiske fejl at punkterne på en uendelig lang ret
linie skal kunne korreleres med punkterne på et nok så lille stykke af linien.
Billedbeviset i gur 3 (hvor parallelpostulatet skal være godtaget, samt, na-
turligvis, euklidiske punkter) er lånt fra den bog som Hartnack selv angiver
som sin kilde, [Hollingdale, p. 363].
Om Hartnack dermed også mener det er absurd at der, eksempelvis, til
ethvert reelt tal x ∈ (0, 1] svarer et og kun et reelt tal f(x) ∈ [1, ∞), og vice
versa, ved funktionen f : (0, 1] → [1, ∞) givet ved f(x) = 1
x
, er et åbent
spørgsmål.
Om `den endelige dom' (36) må der igen henvises til Dedekinds bemærk-
ning i (3), og i øvrigt til den skelnen såvel Dedekind som Cantor konsekvent
laver (i modsætning til Hartnack), mellem punkter og tal. Om `kategorifejlen'
(det at opfatte begreber om non-ontologiske punkter som var det begreber
om ontologiske objekter) må der igen henvises til Dedekinds bemærkning i
(2) om at linier og punkter er idéer.
Hartnacks citat af Benardetes poetisk-lososke udsagn om kardinaltallet
ℵ0 og idéen om at der ingen sidste stjerne er, (37), er såvidt jeg har bemær-
ket, det eneste sted Hartnack overhovedet nævner kardinaltal og aleph med
41
47. Figur 3: Hvis der trækkes en ret linie fra punktet p til et hvilket som helst
punkt på linien LO (L tænkes uendeligt langt fra O), svarer der til det punkt
et og kun et punkt på liniestykket AO. Punkterne på LO kan altså korrele-
res med punkterne på AO. Tilsvarende med punktet q, liniestykket OB og
liniestykket OL (hvor L tænkes uendeligt langt fra O).
fodtegn nul. Det skal nok her indføres at Benardete på omslaget af sin bog
Innity indleder: This book is an attack on nitism in all its forms, philosop-
hical and mathematical, [...] [Benardete]. En rød klud i ansigtet på Hartnack,
som heldigvis kan tilbagevise det uvericerbare stjerneargument med at der
intet tal ndes efter hvilket aleph nødvendigvis følger (38). Efter således at
have demonstreret at han heller ikke har forstået begrebet kardinaltal, kan
han nu konkludere at han har tilbagevist de to afgørende argumenter for den
aktuelle uendelighed: Punktualismen og Stjerneargumentet (39).
I Hartnack opsummering lykkes det ham at gøre Dedekind og Cantor ue-
nige: Dedekind denerer de irrationale tal ved hjælp af de rationale tal, mens
Cantor hævder at de irrationale tal ikke kan deneres ved hjælp af de ratio-
nale tal (40). Udsagnet bekræfter endnu engang at Hartnack aldrig forstod
hvad Cantors diagonalbevis gik ud på. Og med denne konstatering slutter
min analyse.
42
48. 6 Modtagelsen
Erkendelsens Grundlag blev ved udgivelsen anmeldt i fem aviser/tidskrifter:
Berlingske Tidende [Glebe-Møller], Kristeligt Dagblad [Sørensen], Politiken
[Kjørup], Information [Stjernfelt] og Reex [Ylander]. De er forholdsvis venli-
ge, men bærer præg af overvejende at fokusere på den første del af bogen. Alle
bemærker Hartnacks udfald mod Tor Nørretranders (fra starten af bogen).
Den mindst respektfulde anmeldelse ndes i Politiken og bærer overskrif-
ten Det er ikke engang løgn. Overskriften går især på Epimenides `løgner-
paradoks' (fra starten af bogen), og på den meget mangelfulde redigering
og korrekturlæsning som forlaget har (eller har ikke) udstyret bogen med. I
Berlingske Tidende anmeldes bogen sammen med en anden bog, og meget
kortfattet, og i Kristeligt Dagblad er anmeldelsen loyal og refererende.
Den mest detaljerede anmeldelse ndes i det lososke tidsskrift Reex,
og fokuserer især på faglososke og sproglige aspekter, og knap så meget
på de matematiske. Der bliver til tider udtrykt uenighed med Hartnacks ar-
gumenter, f.eks. omkring hvorvidt hullerne i logikken paradokserne er
udtryk (som Hartnack hævder) for menneskets afmagt frem for logikkens af-
magt: Enten er mennesket afmægtig omkring afkodningen af logikken (den
platoniske tolkning) eller omkring skabelsen af logikken (den nominalistiske
tolkning) [Hartnack 1993, p. 13]. Netop her synes jeg, i modsætning til an-
melderen, at Hartnack havde en god pointe. Anmelderen mener i øvrigt at
Hartnack er platoniker.
Desværre bliver kun den første tredjedel af bogen behandlet for ikke at
røbe hele historien; resten overlades til læseren.
Mest interessant for nærværende projekt er dog anmeldelsen i Information.
Her skriver anmelderen om Hartnacks løsningsforslag til Zenons paradokser
at den [...] går stik imod gængs skolegeometri: det er meningsløst at sige,
at en linje består af punkter. En linje kan gennemskæres i uendelig mange
punkter, men den består ikke af dem, men af små, udstrakte linjestykker.
Derfor kan Zenons pil ikke hvile på et punkt i sin bane, ethvert nu svarer til
en lille, udstrakt del af banen. Dette løsningsforsøg er intelligent og i øvrigt i
tråd med kontroversielle dele af matematikken, den såkaldte intuitionisme.
Det er jeg dog ikke sikker på Brouwer ville være enig i. Han skriver videre
omkring Hartnacks behandling af `Hilberts Hotel' (i øvrigt under afsnitsover-
skriften Skråsikker ):
Men her er hans argumenter underlige. [nyt afsnit] Den aktuelle uende-
lighed er ikke noget `empirisk existerende' siger han (men det er der ingenting
i matematikken der er), og han argumenterer mod de berømte `transnitte tal'
der opererer med ere størrelser aktuel uendelighed, ved at søge at påvise, at
43
49. de reelle tal (dvs. alle decimaltal) er lige så få som de naturlige tal. Men
det er forlængst bevist, at dette ikke er tilfældet: hvis man overhovedet vil
operere med en uendelig mængde der hedder `alle reelle tal', så er den stør-
re end de hele tal. [nyt afsnit] Et andet spørgsmål er så, hvor meget større,
og det er også allerede bevist, at dette spørgsmål er uafgøreligt (den såkaldte
kontinuumshypotese, der hævder, at de reelle tal udgør den næste klasse af
uendelige mængder efter de naturlige tal, kan hverken bevises eller modbevi-
ses).
Anmeldelsen indrømmer dog til slut Hartnack at han har opnået, og det
er ikke en lille bedrift, at give stof til eftertanke.
Af de fem anmeldere har altså en enkelt bemærket at noget var galt, men
nok ikke i hvor høj grad at noget var galt.
7 Andre udgivelser
I sine tidligere akademiske publikationer, som losokumlærebogen Filoso-
ske Problemer, som i sagens natur har en noget anden form og målgruppe,
kommer Hartnack, så vidt jeg umiddelbart har kunnet vurdere, ikke ind på
meget kontroversielle idéer omkring matematiske emner, men den er heller
ikke fuldstændig fri (hvilket også ville være underligt) for små fejl og unøjag-
tigheder heller. Om brugen af ordet klasser skriver han for eksempel: Man
benytter både i matematikken, logikken og dagligsproget ordet `klasse'. Man
taler om klassen af mennesker, klassen af alle hele tal, klassen af [...]. En
klasse er med andre ord altid en klasse af noget, [...] [Hartnack 1955, p. 206].
Et par år senere i sin lærebog i logik er han dog blevet opdateret eller kom-
met på andre tanker: En tom klasse er en klasse der ingen medlemmer har
[Hartnack 1958, p. 34].
I den ikke-akademiske publikation Filososke Essays har han lidt friere hæn-
der. Her skriver han blandt andet omkring `Tid': Må det ikke være sådan,
at der eksisterede noget, man kunne kalde den kortest mulige tid, selve det
øjeblikkelige, det, der er så kort, at det, ligesom det matematiske punkt, inden
udstrækning har? [...] En sådan opfattelse er imidlertid fejlagtig. [...] man er
tilbøjelig til at mene, at de anvendelser af `nu', hvor talen er om en længere
periode, egentlig er en ukorrekt anvendelse, og at den egentlige og eneste kor-
rekte anvendelse er den, hvor der er tale om det uudstrake punkt i tiden, der
er som et snit i tiden, der adskiller fortid fra fremtid [...]. Vejen ud af dette
paradoks er at erkende, at et tidspunkt uden udstrækning ikke på nogen tæn-
kelig måde kan siges at være en del af tiden; det kan det lige så lidt, som et
44
50. punkt uden udstrækning kan siges at være en del af et liniestykke. Ligegyldigt
hvor mange nuller man lægger sammen, får man som bekendt kun nul som
resultat [Hartnack 1957, pp. 143-145].
At han er trofast over for sine idéer kan ses så sent som 2002 hvor han
tager Einstein (1879-1955) til indtægt i det lille (og noget rodede) værk Filo-
so og den Moderne Fysik : Euklids præmisser for den Euklidiske Geometri
synes ubestridelige. Blandt andet siger Euklid: `Et punkt er det der ingen dele
har'. Eller Euklids præmis om en linie: en længde uden bredde. Dette billede
ændrer sig radikalt med den Generelle Relativitetsteori [Hartnack 2002, p.
20].
At Hartnack i sin meget store produktion undertiden er blevet beskyldt for
små og større unøjagtigheder, har næppe kunnet undgås. Således benytter
losoen Villy Sørensen (1929-2001) i sin meget hårde anmeldelse af Hart-
nacks bog Politik og Filoso i tidsskriftet Politisk Revy nr. 65 lejligheden til
et udfald mod losokum-institutionen som helhed; og om Hartnack speci-
elt skriver han (og får her slået to uer med et smæk) at han: [...] i sproglig
ubehjælpsomhed eller sjuskeri kan måle sig med sin kollega Schultzer i Køben-
havn. Hvortil Hartnack svarer i samme tidsskrift nr. 70: Jeg ved imidlertid
at jeg ikke ville være bekendt at kritisere andre menneskers værk uden at være
ganske anderledes inde i det stof, jeg skulle kritisere [Sørensen, pp. 159-160].
45
51. 8 Konklusion
I bogen Erkendelsens Grundlag fremfører og behandler losoen Justus Hart-
nack en række kendte paradokser inden for logik og matematik. Jeg har i
ovenstående redegjort for de to kapitler på side 57-96 og analyseret hans ar-
gumenter med udgangspunkt i to af Zenons paradokser og udvalgte tekster
af Richard Dedekind og Georg Cantor. Jeg har i analysen påpeget en række
matematiske problemer omkring hans argumenter.
Jeg mener at Hartnack skal have point for at gå uimponeret til værks og
fremdrage og behandle et interessant og vanskeligt emne; for ikke at gem-
me sig bag et svært tilgængeligt sprog og begrebsapparat; for at antage og
forsvare en uortodoks stilling omkring de på ingen måde trivielle problemer:
det kontinuerte liniestykke der konstitueres af punkter uden udstrækning, og
den potentielle uendelighed versus den aktuelle uendelighed.
Desværre må disse point blive frataget ham igen ved hans argumenter. Jeg
mener i ovenstående at have påvist at selv ved at gå ind på hans præmisser
og lade alle tvivlsspørgsmål (og det er mange) omkring hans argumentation
komme ham til gode, står der tilbage at han har en fejlagtig opfattelse af
følgende fundamentale matematiske begreber (med citathenvisninger i pa-
rentes):
• Kardinaltal (21), (22), (38)
• Tællelighed/Overtællelighed (20), (30), (31), (32), (33)
• Enentydighed (20), (30)
• Irrationale tal (30), (31), (34), (40)
Disse fejlagtige opfattelser er ødelæggende for hans argumentation og gør
at emnerne aldrig opnår den grundige behandling som de fortjener. Disse
kapitler i bogen må, fra et matematisk (og lososk) synspunkt, betegnes
som forfejlede.
46
52. 9 Litteraturliste
9.1 Litteratur
Aristoteles ca. 325 f. Kr., φυσικ`η ˙ακρ´oασις (Naturen). Dansk oversættelse
fra: De store tænkere Aristoteles (2. udgave, 1991). København: Munks-
gaard, 1996
Beaney, Michael 2014, Analysis, Edward N. Zalta (ed.) The Stanford Encycl-
opedia of Philosophy. Url: http://plato.stanford.edu/archives/spr2014/
entries/analysis/ [15.03.2014]
Benardete, José A. 1964, Innity. An Essay in Metaphysics. Oxford: Claren-
don Press, 1964
Blegvad, Mogens 2011, Justus Hartnack, fra: Den Store Danske: Dansk Bio-
grask Leksikon.
Url: http://www.denstoredanske.dk/Dansk Biogrask Leksikon/
Uddannelse og undervisning/Professor/Justus Hartnack [15.03.2014]
Bottazzini, Umberto 1981, Il calcolo sublime: storia dell'analisi matematica
da Euler a Weierstrass. English translation: The Higher Calculus: A History
of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass. New York: Springer-
Verlag, 1986
Cantor, Georg 1874, Über eine Eigenschaft des Inbegries aller reellen alge-
braischen Zahlen. English translation, extract: Fauvel, John Gray, Jeremy
(ed.s), The History of Mathematics: a Reader. Basingstoke: Macmillan Press,
1988
Cantor, Georg 1883, Grundlagen einer Allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre.
English translation, extract: Calinger, R. (ed.) 1982 Classics of Mathemati-
cs, pp. 637-645, Oak Park, Ill: Moore Pub. Co., 1982 (from Lützen, J. (ed.),
Compendium to the course: History of Mathematics 2, pp. 518-521. Dep. of
Math. Sciences, University of Copenhagen, 2010)
Cantor, Georg 1891, Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre.
English translation, extract: Fauvel, John Gray, Jeremy (ed.s), The Hi-
story of Mathematics: a Reader. Basingstoke: Macmillan Press, 1988
Cantor, Georg 1895/1897, Beiträge zur Begründung der transniten Men-
genlehre. English translation: Contributions to the founding of the theory of
transnite numbers, Introduction by Jourdain, P. E. B. (1915). New York:
47
