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![コーシー分布
• コーシー分布は位置母数μと尺度母数σが母数
• μ=0,σ=1が標準コーシー分布と呼ばれ，自由度1
のt分布に一致する
Cauchy(y|µ, ) =
1
⇡ [1 + (y µ
)2]](https://image.slidesharecdn.com/cauchy-150724013040-lva1-app6892/85/Cauchy-2015-07-26-3-320.jpg?cb=1437888727)
![「定義されない」のは
Cauchy(y|µ, ) =
1
⇡ [1 + (y µ
)2]
http://mathtrain.jp/cauchydist より](https://image.slidesharecdn.com/cauchy-150724013040-lva1-app6892/85/Cauchy-2015-07-26-7-320.jpg?cb=1437888727)
Cauchy分布について(ベイズ塾例会資料)2015.07.26
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- 3. コーシー分布 • コーシー分布は位置母数μと尺度母数σが母数 • μ=0,σ=1が標準コーシー分布と呼ばれ，自由度1 のt分布に一致する Cauchy(y|µ,) = 1 ⇡ [1 + (y µ )2]
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- 7. 「定義されない」のは Cauchy(y|µ, ) = 1 ⇡[1 + (y µ )2] http://mathtrain.jp/cauchydist より
- 8. コーシー分布の特徴 • 「定義されない」のであって，サンプル平均，サン プル分散はもちろん算出できます。 • より厳密な数学的説明はWikiや他書に譲るとして… •実際問題どういう振る舞いをしているのか，をみて みたいと思います。
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- 16. Re:コーシー分布の特徴 • 時々とんでもない外れ値を出すことがある分布 • 実現値の場合，裾の方に必ず出現度数がある＝裾が 重い分布。 •べき分布の一種 • 大数の法則が成立しない（大数の法則は期待値 平 均値の存在を前提としている）
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- 19. 我々にとっての使い所 • 半Cauchy分布を分散の事前分布にするといいよ，と いう話。 • Gelman,A.(2006)Prior distributions for variance parameters in hierarchical models. Bayesian Analysis, 1,515-533. • Polson N.G. and Scott J.G. (2012) On the Half-Cauchy Prior for a Global Scale Parameter, Bayesian Analysis, 7,887-902.
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- 21. Gelman(2006) • 階層モデル(ex.8学校)で • 逆ガンマを無情報事前分布においたりしてたやん。 •これ事前分布が逆ガンマなら事後分布も逆ガンマに なるからつこてたけど，Jが小さい時は数字の決め 方にだいぶ左右されんで。
- 22. Gelman(2006) • せやから非心t分布を半分に折った分布族を使った ほうがええで。その代表格が半コーシーやわ。 • 尺度パラメタAをに飛ばしたら一様分布になるし な，十分おっきかったら「ほとんど情報持ってない」 状態になるねん。裾がめっちゃ重いからな。
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- 24. まとめ • コーシー分布は平均と分散が定義できない • 裾の重い(heavytail)分布 • 事前分布の影響がありそうな，小さなサンプルに対し ては，分散の事前分布として半コーシー分布を選ぶと 良い。 • Polson and Scott(2012)は逆ガンマを駆逐する勢い。 Gelman(2006)は半t族で尺度パラメタはデータから考えるべき， という立場（J=3の八学校はσ=25)
- 25. 補遺）その他の特徴 • 中心極限定理が成立しない • 確率変数がコーシー分布の時，その標本分布もコー シー文になるので，標本平均の分散は •正規分布する確率変数同士の商の分布 • コーシー確率変数の逆数もコーシー分布 http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/1966_w7.htm
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