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Model for a Quantum Hall Effect without Landau Levels: Condensed-Matter Realization of the “Parity Anomaly”
- 1. 六方格子に強束縛された多電子系のホール伝導度 Model for a Quantum Hall Effect without Landau Levels: Condensed-Matter Realization of the “Parity Anomaly” F.D.M.Haldane 1
- 4. 量子ホール効果 4
- 5. 量子ホール効果 二次元電子系に強い一様磁場を加える。 𝑩 自由電子モデルのエネルギー 𝑘 𝐸(𝑘) 古典的には電子がサイクロトロン運動をはじめる。 量子力学ではエネルギーが量子化される。 ランダウ準位の出現 𝑒− 𝐽 𝑥 𝐽 𝑦 = 𝜎 𝑥𝑥 𝜎 𝑥𝑦 𝜎 𝑦𝑥 𝜎 𝑦𝑦 𝐸 𝑥 𝐸 𝑦 𝜎 𝑥𝑦 = 𝜈 𝑒2 ℏ 電流𝑱, 電場𝑬 T=0でホール電導度がランダウ準位の占有数に比例する。 量子ホール効果 𝜈はランダウ準位の占有数 5 𝐸 𝑛 x y 𝜀 𝐹 𝜈 = 3 𝜈 = 0,1, …
- 6. 強束縛模型 6
- 7. 強束縛模型 1 2 3 この系のハミルトニアン 𝑉(𝑥) 底𝑗の状態 境界条件 𝐻 = −𝑡 𝑙 |𝑙 + 1 𝑙| +|𝑙 𝑙 + 1| + 𝑀 𝑙 |𝑙 𝑙| ホッピングのしやすさ 各サイトで粒子の感じる ポテンシャル Hoppingは最隣接間のみ 7 𝑗 = 1,2, … , 𝑁 𝑡 ≥ 0 スピンは考えない
- 8. 強束縛模型 8 フーリエ変換の定義 | 𝑘 = 1 𝑁 𝑗=0 𝑁−1 𝑒−𝑖𝑘𝑗| 𝑗 | 𝑗 = 1 𝑁 𝑘 𝑒 𝑖𝑘𝑗 | 𝑘 フーリエ変換後のハミルトニアン 𝐻 = 𝑘 −2𝑡 cos 𝑘 + 𝑀 | 𝑘 𝑘| 𝑘 = 2𝜋 𝑁 𝑚, 𝑚 = 0, … , 𝑁 − 1
- 9. エネルギーバンド 𝐸(𝑘) = −2𝑡 cos 𝑘 + 𝑀 𝑡 = 1, 𝑀 = 0 電子のとれる波数は離散的 9 𝑘 𝐸
- 10. Fermi準位 Fermi準位 基底状態において、電子はバンドの下から埋まっていく 𝑡 = 1, 𝑀 = 0 電子のとれる波数は離散的 10 ε 𝐹 𝑘 𝐸 電子が 𝑁 2 個ある。 𝐸(𝑘) = −2𝑡 cos 𝑘 + 𝑀 相互作用のない多粒子系を考える。 電子の入るサイトは𝑁個ある。
- 12. Hoppingが偶奇で異なる場合 サイト数 𝑁 （偶数） この系のハミルトニアン 𝐻 = −𝑡1 𝑙=0 𝑁 2 −1 (|2𝑙 + 1 2𝑙| +|2𝑙 2𝑙 + 1|) −𝑡2 𝑙=0 𝑁 2 −1 |2𝑙 + 2 2𝑙 + 1| +|2𝑙 + 1 2𝑙 + 2| + 𝑀 𝑙=0 𝑁−1 | 𝑙 𝑙| −𝑡2 Hoppingは最隣接間のみ 粒子の感じるポテンシャルは𝑀 12 −𝑡1 −𝑡2−𝑡1 −𝑡2−𝑡1 −𝑡2−𝑡1 −𝑡2−𝑡1 サブ格子A サブ格子B 𝑁 1 2 3 𝑡1 > 0 𝑡2 > 0 4
- 13. Hoppingが偶奇で異なる場合 この系のハミルトニアンのフーリエ変換 H(𝑘) = 𝑀 − 𝑡1 + 𝑡2 cos 𝑘 −𝑖 𝑡1 − 𝑡2 sin 𝑘 𝑖 𝑡1 − 𝑡2 sin 𝑘 𝑀 + 𝑡1 + 𝑡2 cos 𝑘 エネルギー固有値 𝐸 𝑘 = 𝑀 ± 𝑡1 2 + 𝑡2 2 + 2𝑡1 𝑡2(cos2 𝑘 − sin2 𝑘) 13
- 14. Hoppingが偶奇で異なる場合 𝑡1 = 𝑡2 で金属 𝑡1 = 𝑡2 = 1, 𝑀 = 0 𝐸 𝑘 = 𝑀 ± 𝑡1 2 + 𝑡2 2 + 2𝑡1 𝑡2(cos2 𝑘 − sin2 𝑘) 14 𝜀 𝐹 電子が 𝑁 2 個ある 𝑘
- 15. Hoppingが偶奇で異なる場合 𝑡1 ≠ 𝑡2 でバンド絶縁体 𝑡1 = 1, 𝑡2 = 0.5, 𝑀 = 0 バンド構造をみることで、物性を明らかにする 15 𝜀 𝐹 電子が 𝑁 2 個ある 𝑘 𝐸 𝑘 = 𝑀 ± 𝑡1 2 + 𝑡2 2 + 2𝑡1 𝑡2(cos2 𝑘 − sin2 𝑘) エネルギーギャップ 2つのバンドの出現はサブ格子がふたつあることに対応
- 16. ここまでのまとめ • 強束縛模型のエネルギー固有値はエネル ギーバンドの形で表示出来る。 • Fermi 準位におけるエネルギーギャップの有 無が金属or絶縁体のどちらの相にあるかを 決める 16 次に二次元系を考える
- 17. 正方格子 格子点 𝑥, 𝑦 に粒子がある状態 | 𝑥, 𝑦 𝒕 境界条件 𝑴 | 𝑥, 𝑦 = | 𝑥 + 𝑁, 𝑦 | 𝑥, 𝑦 = | 𝑥, 𝑦 + 𝑁 𝐻 = −𝑡 𝑥 𝑦 | 𝑥, 𝑦 𝑥, 𝑦 + 1| + | 𝑥, 𝑦 + 1 𝑥, 𝑦| + | 𝑥, 𝑦 𝑥 + 1, 𝑦| + | 𝑥 + 1, 𝑦 𝑥, 𝑦| +𝑀 𝑥 𝑦 | 𝑥, 𝑦 𝑥, 𝑦| この系のハミルトニアン サイト数 N2 𝐻 = 𝑘 𝑥 𝑘 𝑦 (𝑀 − 2𝑡cos𝑘 𝑥 − 2𝑡 cos 𝑘 𝑦) |𝑘 𝑥, 𝑘 𝑦 𝑘 𝑥, 𝑘 𝑦| この系のハミルトニアンのフーリエ変換 Hoppingは最隣接間のみ 17 𝑥, 𝑦 = 1,2, … , 𝑁 𝑡 > 0
- 18. 正方格子 𝐸 𝑘 𝑥, 𝑘 𝑦 = 𝑀 − 2𝑡 cos 𝑘 𝑥 − 2𝑡 cos 𝑘 𝑦 基底状態において、電子はバンドの下から埋まっていく 𝑡 = 1, 𝑀 = 0 18 𝑘 𝑥 𝑘 𝑦 𝐸 𝜋 2𝜋 𝜋 2𝜋
- 19. 正方格子のHalf-fillingのFermi面 𝑘 𝑦 𝑘 𝑥 0 2 4 6 19 half fillingのε 𝐹 サイトの半分が埋まる状態 ＝ 𝜀 𝐹 = 0 青と白の境界面＝Fermi面 電子の占有する波数を塗りつぶした図 電子が 𝑁2 2 個ある 𝑘 𝑦 𝐸 𝑘 𝑥𝜋 2𝜋 2𝜋𝜋 𝜋 2𝜋 2𝜋
- 20. 六方格子系 20
- 21. 六方格子 𝑴 −𝑴 最隣接へのHopping 𝑡1 > 0 第2隣接へのHopping 𝑡2≥ 0 𝒂 𝟏 𝒂 𝟐 𝒂 𝟑 𝒃 𝟏 𝒃 𝟐 𝒃 𝟑 局所的な磁場を与える。 （系全体の一様磁場は0） 𝒃 𝟏, 𝒃 𝟐, 𝒃 𝟑方向へのHopping −𝒃 𝟏, −𝒃 𝟐, −𝒃 𝟑方向へのHopping で粒子の感じるポテンシャル𝑴 で粒子の感じるポテンシャル−𝑴 21 −𝒂 𝟏 −𝒂 𝟐 −𝒂 𝟑 𝑒 𝑖𝜙 𝑡2 𝑒−𝑖𝜙 𝑡2 サブ格子Ａ サブ格子Ｂ 𝑡2, 𝜙 = 0 六方格子系 𝑡2, 𝜙 ≠ 0 Haldaneモデル
- 22. 六方格子 この系のハミルトニアンのフーリエ変換 𝐻 = 2𝑡2 cos 𝜙 ∑ cos 𝒌 ⋅ 𝒃𝑖 𝐼 +∑[cos 𝒌 ⋅ 𝒂𝑖 𝜎𝑥 + sin 𝒌 ⋅ 𝒂𝒊 𝜎 𝑦] + 𝑀 − 2𝑡2 sin 𝜙 ∑ sin 𝒌 ⋅ 𝒃𝑖 𝜎𝑧 この系のエネルギー固有値 𝐸 𝒌 = 2𝑡2 cos 𝜙 ∑ cos 𝒌 ⋅ 𝒃𝑖 ± ∑ cos 𝒌 ⋅ 𝒂𝑖 2 + ∑ sin 𝒌 ⋅ 𝒂𝒊 2 + 𝑀 − 2𝑡2 sin 𝜙 ∑ sin 𝒌 ⋅ 𝒃𝑖 2 22
- 23. 六方格子のバンド構造 𝑀 = 0, 𝜙 = 0, 𝑡1 = 1, 𝑡2 = 0 特徴的な接し方をしている ディラックポイント 局所的な磁場なし 第2隣接のHoppingなし バンド構造の繰り返しから一部を議論すれば十分 𝒌+𝒌− 23 𝑘 𝑥 𝑘 𝑦 𝑘 𝑥 𝑘 𝑦 −𝜋 ≤ 𝑘 𝑥≤ 𝜋 −𝜋 ≤ 𝑘 𝑦≤ 𝜋 𝜋/3 ≤ 𝑘 𝑥 ≤ 𝜋 − 𝜋 3 ≤ 𝑘 𝑦≤ 𝜋 3 𝐸 𝐸 𝒌± = 2𝜋 3 , ± 2𝜋 3 3
- 24. 𝜋 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -1 1 3 𝑀 = 0, 𝜙 = 0, 𝑡1 = 1, 𝑡2 = 0でのFermi面 Half-filling 正方格子のHalf-fillingのFermi面と全く異なる 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 24 ディラックポイント 𝐸 𝑘 𝑥 𝑘 𝑦 𝐸 𝑘 𝑦 𝑘 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘 𝑦 𝑘 𝑥 𝑘 𝑦 −𝜋 𝜋 0 2𝜋 2𝜋
- 27. 相図 27 𝑀 = 6.5, 𝜙 = 𝜋/6 𝑀 = −6.5, 𝜙 = 𝜋/6 バンドギャップが出現する 𝜙 𝑀 𝐸 𝐸 𝑘 𝑦 𝑘 𝑦 𝑘 𝑥 𝑘 𝑥
- 28. 相図 28 𝑀 = 3 3 2 , 𝜙 = 𝜋/6 𝑀 = − 3 3 2 , 𝜙 = 𝜋/6 𝒌− 𝒌+ バンドが閉じる 𝜙 𝑀 𝑘 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘 𝑦 𝑘 𝑦 𝐸 𝐸
- 29. 相図 29 𝑀 = 1, 𝜙 = 𝜋/6 𝑀 = −1, 𝜙 = 𝜋/6 バンドギャップが出現する 𝜙 𝑀 𝐸 𝐸 𝑘 𝑦 𝑘 𝑦 𝑘 𝑥 𝑘 𝑥
- 30. ここまでのまとめ 30 𝜙 𝑀 𝒌+が現れる条件 𝒌−が現れる条件 • 相図の曲線上でギャップが消える 𝑀 = ±3 3 sin 𝜙 が満たされるときはギャップが生じない 絶縁相 量子ホール相1 絶縁相 量子ホール相2
- 31. 𝜙 この2つは同じ絶縁体だろうか 31 バンドの形は似ている。 いったんギャップが閉じて、相としては別のもの。 何が違うのか →実は(磁場をかけたときの)ホール伝導度𝜎 𝑥𝑦が違う 𝑀 絶縁相 量子ホール相1 𝐸 𝐸 𝑘 𝑦 𝑘 𝑦 𝑘 𝑥 𝑘 𝑥
- 32. 各相での物性の違い 𝒌 → 𝒌 − 𝑒𝑨 𝒌−と 𝒌+近傍のハミルトニアンから、エネルギー固有値を求める 離散化が起きた。 二次元系に磁場を印加したことによるランダウ準位の出現。 系全体に無限小の一様磁場𝐵0をかける 𝑘+近傍でとれるエネルギー 𝐸+,±𝑛 = ± 𝑀 − 3 3𝑡2 sin 𝜙 2 + 𝑛ℏ|𝑒𝐵0| 𝑘−近傍でとれるエネルギー 𝐸−,±𝑛 = ± 𝑀 + 3 3𝑡2 sin 𝜙 2 + 𝑛ℏ|𝑒𝐵0| 絶縁体に弱い磁場をかけても 状態はあまり変化しない （複合同順） （複合同順） 𝑛 = 1,2, … 32
- 33. 各相での物性の違い ②絶縁相①量子ホール相1 ランダウ準位の占有数が異なる。 →絶縁相と量子ホール相ではホール伝導度がランダウ準位１つ分異なる ε 𝐹が同じでも、 𝜎 𝑥𝑦 = 𝜈 𝑒2 ℏ 33 𝐸+,0 𝐸−,0 𝑘+近傍𝑘−近傍 𝐸+,0 𝑘+近傍𝑘−近傍 𝐸−,0 ε 𝐹 𝜙 𝑀 絶縁相 量子ホール相1
- 34. 各相での物性の違い 34 Mがとても大きい絶縁相では、サイトに強く束縛されている →絶縁相でのホール伝導度は0と考える。 量子ホール相と絶縁相ではランダウ準位ひとつ分違う。 𝜎 𝑥𝑦 = 𝜈 𝑒2 ℏ 𝜙 𝑀 絶縁相 絶縁相 量子ホール相量子ホール相𝜎 𝑥𝑦 = − 𝑒2 ℏ 𝜎 𝑥𝑦 = 𝑒2 ℏ 𝜎 𝑥𝑦 = 0 𝜎 𝑥𝑦 = 0
- 35. 結論 ・絶縁相、量子ホール相で一様な磁場をかけたときのホール伝導度 の違いがわかった。 35 𝜎 𝑥𝑦 = − 𝑒2 ℏ 𝜎 𝑥𝑦 = 𝑒2 ℏ 𝜎 𝑥𝑦 = 0 𝜎 𝑥𝑦 = 0 𝜙 𝑀 𝜎 𝑥𝑦 = 𝜈 𝑒2 ℏ
- 36. まとめ 強束縛模型でHalf-fillingの電子系の議論をした。 • ホッピングが偶奇で異なる１次元模型では、Half- fillingで、𝑡1 = 𝑡2で金属、𝑡1 ≠ 𝑡2で絶縁体となる。 • 正方格子系と六方格子系でフェルミ面を比較した。 • Haldaneモデルでは、弱い磁場を与えただけでホー ル伝導度が量子化した。 36
- 37. 37
- 38. 量子力学の原理 38 局所的な磁場のかけ方 Φ 𝑎 Φ 𝑎 Φ 𝑎 Φ 𝑎 Φ 𝑎 Φ 𝑎 Φ 𝑏Φ 𝑏 Φ 𝑏Φ 𝑏 Φ 𝑏Φ 𝑏 𝑨・𝑑𝒓ベクトルポテンシャル𝑨があるときの位相 に比例する △PQRを貫く磁束 𝜙 = 2Φ 𝑎 + Φ 𝑏 ベクトルポテンシャルの定義 𝜵 × 𝑨 = 𝑩 を (𝜵 × 𝑨) ・𝑑𝑺 = 𝑩・𝑑𝑺 = 𝜙 𝑨・𝑑𝒓 = 𝜙 Ｐ Ｑ Ｒ 面PQRで面積分
- 39. ベクトルポテンシャルが押し付けられる正当性 39 𝜙12 = 1 2 𝑨・𝑑𝒓 𝜙 = 𝜙12 + 𝜙23 + 𝜙31 = 𝑨・𝑑𝒓 1に粒子がいる状態 | 𝐶1 2に粒子がいる状態 | 𝐶2 3に粒子がいる状態 | 𝐶3 𝑒 𝑖𝜙12 𝐶1 𝐶2 + 𝑒−𝑖𝜙12 𝐶2 𝐶1 + 𝑒 𝑖𝜙23 𝐶2 𝐶3 + 𝑒−𝑖𝜙23 𝐶3 𝐶2 + 𝑒 𝑖𝜙31 𝐶3 𝐶1 + 𝑒−𝑖𝜙31 | 𝐶1 𝐶3| |𝑏1 = 𝑒 𝑖𝜙12| 𝐶1 |𝑏3 = 𝑒−𝑖𝜙23| 𝐶3 |𝑏2 = | 𝐶2 と定義して、かきかえると 𝑏1 𝑏2 + 𝑏2 𝑏1 + 𝑏3 𝑏2 + 𝑏2 𝑏3 + 𝑒 𝑖𝜙31 𝑏3 𝑏1 + 𝑒−𝑖𝜙31 𝑏1 𝑏3 1 2 3 𝜙
Editor's Notes
- 一様磁場がなければおきないと考えら得ていた。
- Ｍが大きいと、そこに強く束縛されていることを意味している。
- あとで、軸のEとkを大きくなおす
- ユニットセルの中のサイトの数がバンドの数になる。その理由は、フーリエ変換だけでは対角化できず、サブ格子の数の次数の行列がでてくるから。
- バンド構造がわかれば、物性がわかる。
- バンド構造がわかれば、物性がわかる。
- |x,y><x,y+1|+|x,y><x,y-1|+|x,y><x+1,y|+|x,y><x-1,y1| の方が分かりやすいのでは？
- 低温においてフェルミ面近傍にある粒子のふるまいが重要になってきます。
- 境界条件の説明は不要？ ベクトルポテンシャルが
- 具体的に式を書き下す必要はあるか
- 縦軸をM/t2に変えるべきか？
- グラフは全てt1=3で書いています。
- ①～③