1. DRAFT
Glava 6
KONVEKCIJA
OSNOVNE RELACIJE
Zbog µcinjenice da kretanje ‡uida igra vaµznu ulogu u prenosu toplote konvekci-
jom, analiza ovog mehanizma prostiranja toplote je znatno sloµzenija od analize
provo†enja toplote. Osnovna informacija kojom se mora raspolagati da bi se
odredilo temperatursko polje u ‡uidnoj struji je raspored brzina. Prenos to-
plote strujanjem ‡uida mora se odvijiti tako da su zakoni o odrµzanju mase,
koliµcine kretanja i energije zadovoljeni. Ovaj zahtev sugeriše da su osnovne
jednaµcine konvektivnog prenosa toplote jednaµcina kontinuiteta, jednaµcine kre-
tanja ‡uida i energijska jednaµcina. Svrha ovog poglavlja je da pruµzi dobro
razumevanje …ziµckog znaµcenja i naµcina upotrebe ovih jednaµcina, tako da, u
narednim poglavljima, o konkretnim problemima konvektivnog prenosa toplote,
µcitalac moµze dobiti, odgovaraju´cim pojednostavljenjima jedniµcana iz ovog poglav-
lja, neophodne jednaµcine za formulaciju jednostavnih problema. Da postignemo
taj cilj razmotrei´cemo stacionarno, ravansko (dvodimenzijsko) strujanje nestišlji-
vog njutnovskog ‡uida konstantnih svojstava i prikazati osnovne korake u izvo†e-
nju osnovnih jednaµcina uz naglasak na …ziµcko znaµcenje pojedinih µclanova u tim
jednaµcinama. Izraµzvanjem tih jednaµcina u bezdimenzijskom obliku utvrdi´cemo
od kojih bezdimenzijskih parametara zavisi konvektivni prenos toplote. Diskuto-
va´cemo i pojednostavljenje po konceptu graniµcnog sloja i dati pregledan rezime
jednaµcina.
6.1 JEDNAµCINA KONTINUITETA
Jednaµcina kontinuiteta u suštini izraµzava zakon o odrµzanju mase. Ona se izvodi
zapisivanjem bilansa mase ‡uida koji ulazi i izlazi u uoµceni u strujnom polju
zapreminski element. Posmatrajmo diferencijalni element zapremine ¢x¢y¢z
oko taµcke (x; y; z) u strujnom polju kao što je prikazano na slici 6.1. Za jedno-
stavniju analizu, neka je strujanje stacionarno i dvodimenzijsko sa komponen-
tama brzine u = u(x; y) i v = v(x; y) u x i y pravcu, respektivno. Jednaµcina
149
2. DRAFT150 GLAVA 6. OSNOVNE RELACIJE KONVEKCIJE
odrµzanja mase moµze se iskazati na slede´ci naµcin:
0
@
Rezultuju´ci maseni protok
ušao u zapreminski
element u x pravcu
1
A +
0
@
Rezultuju´ci maseni protok
ušao u zapreminski
element u y pravcu
1
A = 0
(6.1)
Slika 6.1: Oznake za izvo†enje jednaµcine kontinuiteta.
Ako je _mx ´ ½u¢y¢z maseni protok u x pravcu koji je ušao u element kroz
površinu na mestu x, a _mx + @ _mx
@x ¢x maseni protok koji je u x pravcu izašao iz
elementa na mestu x+¢x, tada je rezultuju´ci maseni protok ušao u zapreminski
element u x pravcu jednak razlici “ušlog” i “izašlog” masenog protoka:
0
@
Rezultuju´ci maseni protok
ušao u zapreminski
element u x pravcu
1
A = ¡
@ _mx
@x
¢x = ¡
@ (½u)
@x
¢x¢y¢z: (6.2)
Sliµcno se ustanovljava i da je rezultuju´ci maseni protok ušao u zapreminski
element u y pravcu jednak
¡
@(½v)
@y
¢x¢y¢z: (6.3)
Zamenom jednaµcina (6.2) i (6.3) u (6.1) i skra´civanjem sa proizvoljnom zapremi-
nom ¢x¢y¢z, dobija se jednaµcina kontinuiteta u pravouglom koordinatnom
sistemu za dvodimenzijsko stacionarno strujanje:
@(½u)
@x
+
@(½v)
@y
= 0: (6.4)
3. DRAFT6.2. JEDNA µCINE KRETANJA 151
Za nestišljiv ‡uid (½ = const.) jednaµcina (6.4) se pojednostvaljuje na
@u
@x
+
@v
@y
= 0: (6.5)
Jednaµcina (6.5) se naziva jednaµcina kontinuiteta za dvodimenzijsko stacionarno
nestišljivo strujanje u pravougom koordinatnom sistemu.
6.2 JEDNAµCINE KRETANJA
Jednaµcine kretanja se izvode iz drugog Newton-ovog zakona o kretanju koji tvrdi
da je proizvod mase i ubrzanja u datom pravcu jednak spoljnim silama koje
deluju na telo u tom istom pravcu. Spoljašnje sile koje deluju na zapreminski ele-
ment u strujnom polju mogu biti zapremnske sile i površinske sile. Zapreminske
sile mogu nastati usled efekta gravitacionog, elektriµcnog ili magnetnog polja koje
deluje na celu zapreminu (pa i masu) ‡uida, dok površinske sile nastaju usled
napona koji deluju na površine zapreminskog elementa. Dakle, drugi Newton-ov
zakon moµze se iskazati na slede´ci naµcin:
(Masa) ¢
µ
Ubrzanje u
i-tom pravcu
¶
=
0
@
Zapreminske sile
koje deluju u
i-tom pravcu
1
A +
0
@
Površinske sile
koje deluju u
i-tom pravcu
1
A: (6.6)
Za trodimenzijsko strujanje, na primer u pravougaonom koordinatnom sis-
temu je i = x, y ili z, te jednaµcina (6.6) daje tri nezavisne jednaµcine kretanja (za
svaki koordinatni pravac po jednu). Zbog jednostavnosti ovde ´cemo u analizi
razmatrati dvodimenzijsko stacionarno strujanje nestišljivog ‡uida konstantnih
svojstava sa komponentama brzine u ´ u(x; y) i v ´ v(x; y) u x i y pravcu, re-
spektivno. Zato ´ce, za ovaj poseban sluµcaj sa i = x i i = y, jednaµcina (6.6) dati
dve nezavisne jednaµcine kretanja: jednu za x pravac, a drugu za y pravac. Sada
´cemo opisati kao se mogu, posmatranjem diferencijalnog elementa zapremine
¢x¢y¢z oko taµcke (x; y; z), zapisati matematiµcki izrazi za pojedine µclanove u
jednaµcini (6.6).
6.2.1 Masa
Ako je ½ [kg/m3
] gustina mase ‡uida, masa diferencijalnog elementa zapremine
¢x¢y¢z bi´ce data sa
(Masa) ´ ½¢x¢y¢z: (6.7)
4. DRAFT152 GLAVA 6. OSNOVNE RELACIJE KONVEKCIJE
6.2.2 Ubrzanje
Ubrzanje za nestacionarno jednodimenzijsko strujanje se lako dobija jedno-
stavnim nalaµzenjem izvoda brzine po vremenu. Za strujno polje koje ima kom-
ponente brzine u više od jednog pravca, promena jedne komponente brzine,
recimo u, u jedinici vremena, zavisi i od kretanja ‡uida u drugim pravcima.
U opštem sluµcaju, za trodimenzijsko nestacionarno strujno polje, sa komponen-
tama brzine u, v i w u x, y i z pravcu, respektivno, promena u jedinici vremena
neke veliµcine stanja f u strujnom polju de…niše se totalnim (ili substancijalnim,
ili materijalnim) izvodom Df=Dt na slede´ci naµcin
Df
D¿
=
@f
@¿
+ u
@f
@x
+ v
@f
@y
+ w
@f
@z
: (6.8)
Pre nego što ustanovimo kako se izraµcunava µclan ubrzanja u jednaµcini (6.6),
prodiskutujmo nešto detaljnije pojam totalnog izvoda.
Totalni izvod funkcije f(x; y; z; ¿) (gde f moµze biti komponenta vektora
brzine ili temperature ili pritisak, itd. ‡uida) dobija se na slede´ci naµcin. Ukupna
diferencijalna promena df funkcije f, pri prelasku µcestice ‡uida iz taµcke (x; y; z)
u taµcku (x + ¢x; y + ¢y; z + ¢z), je
df(x; y; z; ¿) =
@f
@¿
d¿ +
@f
@x
dx +
@f
@y
dy +
@f
@z
dz; (6.9)
ili, promena f u jedinici vremena:
df
d¿
´
Df
D¿
=
@f
@¿
+
@f
@x
dx
d¿
+
@f
@y
dy
d¿
+
@f
@z
dz
d¿
: (6.10)
Kako su komponente brzine u, v i w de…nisane sa
u =
dx
d¿
; v =
dy
d¿
i w =
dz
d¿
; (6.11)
jednaµcina (6.10) postaje (6.8).
µClan @f=@¿ u jednaµcini (6.8) predstavlja promenu f u datoj taµcki ‡uida u
jednici vremena, a ostali µclanovi desne strane ubrajaju promene zbog konvekcije
‡uida u x, y i z pravcu. Ako je strujanje ravansko i nestacionarno, tj. f =
f(x; y; ¿), iz (6.8) sledi
Df
D¿
=
@f
@¿
+ u
@f
@x
+ v
@f
@y
:
Ako funkcija f ne zavisi od vremena imamo @f=@¿ = 0, ali Df=Dt 6= 0, te se
za stacionaran sluµcaj jednaina (6.8) pojednostavljuje na
Df
D¿
= u
@f
@x
+ v
@f
@y
: (za stacionarno dvodimenzijsko strujanje) (6.12)
5. DRAFT6.2. JEDNA µCINE KRETANJA 153
Zamenom f, u jednaµcini (6.12), sa komponentom brzine u, nalazimo
Du
D¿
= u
@u
@x
+ v
@u
@y
; (za stacionarno dvodimenzijsko strujanje) (6.13)
što predstavlja ubrzanje u x pravcu za stacionarno dvodimenzijsko strujanje.
Sliµcno, zamanom f, u jednaµcini (6.12), sa komponentom brzine v, nalazimo
ubrzanje u y-pravcu:
Dv
D¿
= u
@v
@x
+ v
@v
@y
: (za stacionarno dvodimenzijsko strujanje) (6.14)
Vidimo da totalni izvod Du=D¿ izraµzava promenu u jedinici vremena kompo-
nente brzine u zbog kretanja ‡uida u x i y pravcima.
6.2.3 Zapreminske sile
U mnogim realnim situacijama na deli´c ‡uida deluju zapreminske sile. U slo-
bodnoj konvekciji kada se razmatraju promene gustine uzrokovane promenom
temperature, zapreminsku silu izaziva gravitaciono polje jer je njen intenzitet
proporcionalan gustini ‡uida. Drugi primer je pojava zapreminskih sila u ‡uidu
koji provodi elektricitet (na pr. µziva), a kre´ce se kroz magnetno polje. Ovde
´cemo, bez posebnog naznaµzavanja prirode zapreminskih sila, jednostavno oz-
naµciti simbolima Fx i Fy zapreminske sile po jedinici zapremine [N/m3
] ‡uida
u x i y pravcu, respektivno. Tada imamo:
µ
Zapreminske sile koje
deluju na ¢x¢y¢z u x pravcu
¶
= Fx¢x¢y¢y: (6.15)
µ
Zapreminske sile koje
deluju na ¢x¢y¢z u y pravcu
¶
= Fy¢x¢y¢y: (6.16)
6.2.4 Površinske sile
Za napone obiµcno kaµzemo da su “sile po jedinici površine”. Za napon koji de-
luje upravno na površinu kaµzemo da “normalni napon”, a onaj koji deluje u
ravni površine nazivamo “tangentni” ili (smicajni) napon. Na slici 6.2 prikazani
su pojedini naponi koji deluju na površine diferencijalnog elementa zapremine.
Na toj slici ¾x i ¾y oznaµcavaju normalne napone u x i y pravcu, respektivno.
Smicajni naponi su obeleµzeni sa ¿xy i ¿yx, gde prvi indeks oznaµcava osu na koju je
napon upravan, a drugi indeks oznaµcava pravac tangentnog napona. Tako je, na
primer, ¿xy smicajni napon koji deluje duµz površine ¢y¢z (tj. površine upravne
na x osu) na mestu x u y pravcu. Sa slike 6.2 moµzemo ustanoviti da na ‡uidni
deli´c deluju: rezultuju´ca normalna sila u pozitivnom x-pravcu: @
@x (¾x¢y¢z)¢x;
6. DRAFT154 GLAVA 6. OSNOVNE RELACIJE KONVEKCIJE
i rezultuju´ca smicajna sila u pozitivnom x-pravcu: @
@y (¿yx¢x¢z)¢y. Prema
tome, rezultanta površinskih sila koja deluje u x pravcu na deli´c ‡uida postaje:
µ
Rezultanta površinskih
sila u x parvcu
¶
=
µ
@¾x
@x
+
@¿yx
@y
¶
¢x¢y¢z: (6.17)
Slika 6.2: Oznake pojedinih napona na površinama zapreminskog elementa.
Sliµcno se ustanovljava i rezultanta sila koje deluju u y pravcu:
µ
Rezultanta površinskih
sila u y parvcu
¶
=
µ
@¾y
@y
+
@¿xy
@x
¶
¢x¢y¢z: (6.18)
Kada jednaµcine (6.7), (6.13), (6.15) i (6.17) zamenimo u jednaµcinu (6.6)
dobijamo jednainu kretanja za x pravac:
Kretanje u x pravcu: ½
³
u@u
@x + v@u
@y
´
= Fx + @¾x
@x + @¿yx
@y ; (6.19)
a kada jednaµcine (6.7), (6.14), (6.16) i (6.18) zamenimo u jednaµcinu (6.6) dobi-
jamo jednaµcinu kretanja za y pravac:
Kretanje u y pravcu: ½
³
u@v
@x + v @v
@y
´
= Fy + @¾y
@y + @¿xy
@x : (6.20)
Ako se iz jednaµcina (6.19)-(6.20) µzele odrediti komponente brzine u strujnom
polju, moraju se, kao što je poznato iz mehanike ‡uida,1
pojedini naponi u njima
1 Schliching, H., Boundary Layer Theory, 6th Edition, McGraw-Hill Book Comp. New
York, 1968.
7. DRAFT6.2. JEDNA µCINE KRETANJA 155
izraziti preko tih komponenata. Drugim reµcima, moraju se znati de…nicioni
izrazi (konstitutivne jednaµcine) za normalne i tangentne napone za datu vrstu
‡uida. Za dvodimenzijsko strujanje nestišljivog ‡uida konstantnih svojstava,
koje ovde posmatramo, pojedini naponi u jednaµcinama (6.19)-(6.20) su povezani
sa komponentama brzine u i v na slede´ci naµcin:
¿xy = ¿yx = ¹
µ
@u
@y
+
@v
@x
¶
; (6.21)
¾x = ¡p + 2¹
@u
@x
; (6.22)
¾y = ¡p + 2¹
@v
@y
; (6.23)
gde su p [N/m2
] pritisak, a ¹ [Pa s] viskoznost ‡uida.
Kada se naponi dati jednaµcinama (6.21)-(6.23) uvrste u jednaµcine kretanja
(6.19)-(6.20) dobija se
– za kretanje u x pravcu:
½
µ
u
@u
@x
+ v
@u
@y
¶
= Fx ¡
@p
@x
+ ¹
µ
@2
u
@x2
+
@2
u
@y2
¶
; (6.24)
– za kretanje u y pravcu:
½
µ
u
@v
@x
+ v
@v
@y
¶
= Fy ¡
@p
@y
+ ¹
µ
@2
v
@x2
+
@2
v
@y2
¶
; (6.25)
gde su Fx i Fy zapreminske sile po jedinici zapremine koeje deluju na ‡uid u x i y
pravcu, respektivno. Jednaµcine (6.24)-(6.25) se nazivaju jednaµcine kretanja u x i
y pravcu za stacionarno dvodimenzijsko strujanje nestišljivog ‡uida konstantnih
svojstava.
Pre nego što naglasimo …ziµcko znaµcenje pojedinih µclanova u jednaµcinama
(6.15) pokaµzimo detalje kako je desna strana ovih jednaµcina dobijena u prikazanom
obliku.
Kada se naponi dati jednaµcinama (6.21)-(6.23) unesu u µclan @¾x
@x + @¿yx
@y
jednaµcine (6.19) dobija se
@¾x
@y
+
@¿yx
@y
=
µ
¡
@p
@x
+ 2¹
@2
u
@x2
¶
+ ¹
µ
@2
u
@y2
+
@2
v
@y@x
¶
= ¡
@p
@x
+ ¹
µ
@2
u
@x2
+
@2
u
@y2
¶
+ ¹
µ
@2
u
@x2
+
@2
v
@x@y
¶
= ¡
@p
@x
+ ¹
µ
@2
u
@x2
+
@2
u
@y2
¶
+ ¹
@
@x
µ
@u
@x
+
@v
@y
¶
= ¡
@p
@x
+ ¹
µ
@2
u
@x2
+
@2
u
@y2
¶
;
jer je @u
@x + @v
@y = 0 zbog jednaµcine kontinuiteta nestišljivog ‡uida.
8. DRAFT156 GLAVA 6. OSNOVNE RELACIJE KONVEKCIJE
Na sliµcan naµcin se ustanovljava u µclan
@¾y
@y + @¿xy
@x u jednaµcini kretanja za y
pravac.
Naglasimo sada …ziµcko znaµcenje pojedinih µclanova u jednaµcinama kretanja
(6.24)-(6.25). µClanovi na levoj strani predstavljaju inercijalne sile, prvi µclan na
desnoj strani predstavlja zapreminske sile, drugi µclan sile pritiska, a poslednji
µclan sa zagradom predstavlja sile viskoznosti koje deluju na deli´c ‡uida. Svi
µclanovi u jednaµcinama (6.24)-(6.25) imaju dimenziju [SILA/ZAPREMINA], tj.
jedinice [N/m3
].
Ako su zapreminske sile poznate, tada jednaµcina kontinuiteta (6.5) i dve jed-
naµcine kretanja (6.24)-(6.25) µcine sistem od tri nezavisne jednaµcine za odre†i-
vanje nepoznatih u, v i p u problemu stacionarnog, dvodimenzijskog strujanja
nestišljivog ‡uida. Analitiµcko rešavanje ove tri jednaµcine je izuzetno teško osim
u vrlo jednostavnim situacijama. Me†utim, vrlo je vaµzno dobro razumevanje
…ziµckog znaµcenja pojedinih µclanova u ovim jednaµcinama, jer ´cemo, u narednim
poglavljima o konvektivnom prenosu toplote, odgovaraju´cim uproš´cavanjima
ovih jednaµcina, direktno dobijati jednaµcine kojima se pokorava brzinsko polje
neophodno za prouµcavanje jednostavnih problema.
6.3 ENERGIJSKA JEDNAµCINA
Temperatursko polje u strujnom polju se mora pokoravati energijskoj jednaµcini
koja se moµze izvesti iz zapisa bilansa energije po prvom zakonu termodinamike
za diferencijalni element zapremine ‡uida. U odsustvu zraµcenja i ako nema
izvora toplotne energije u ‡uidu, moµze se bilans energije za diferencijalni element
zapremine ¢x¢y¢z oko taµcke (x; y; z) iskazati kao:
0
@
Rezultuju´ci toplotni protok
ušao provo†enjem
u element zapremine
1
A
| {z }
I
+
0
@
Energija dovedena u element
u jedinici vremena radom
površinskih i zapreminskih sila
1
A
| {z }
II
=
µ
Pove´canje energije akumulisane
u elementu u jedinici vremena
¶
| {z }
III
(6.26)
Sada ´cemo ustanoviti matematiµcki zapis pojedinih µclanova u ovoj jednaµcini
i to za stacionarno dvodimenzijsko strujanje ‡uida konstantnih svojstava kod
kojeg se temperatura i komponente brzine menjaju u x i y pravcu (tj. nema
strujanja i nema promene temperaure u z pravcu).
6.3.1 Toplotni protok doveden provo†enjem
Ako su _qx i _qy komponente gustine toplotnog protoka u x i y pravcu, moµze
se, koriste´ci oznake sa slike 6.3, dobiti rezultuju´ci toplotni protok koji je ušao
9. DRAFT6.3. ENERGIJSKA JEDNA µCINA 157
provo†enjem u zapreminski element ¢x¢y¢z, u obliku:
I = ¡
Ã
@ _Qx
@x
¢x +
@ _Qy
@y
¢y
!
= ¡
µ
@ _qx
@x
+
@ _qy
@y
¶
¢x¢y¢z: (6.27)
Slika 6.3: Oznake toplotnih protoka provo†enjem u deli´cu ‡uida.
Gustine toplotnih protoka, prema Fourier-ovom zakonu, su
_qx = ¡¸
@T
@x
i _qy = ¡¸
@T
@y
; (6.28)
te, za konstantno ¸, jednaµcina (6.27) postaje
I = ¸
µ
@2
T
@x2
+
@2
T
@y2
¶
¢x¢y¢z: (6.29)
6.3.2 Energija dovedena radom površinskih i zapreminskih
sila
Ako su Fx i Fy zapremninske sile po jedinici zapremine ‡uida u x i y pravcu,
respektivno, tada je energija dovedena u jedinici vremena u element zapremine
¢x¢y¢z, jednaka
(uFx + vFy) ¢x¢y¢z; (6.30)
gde su u i v komponente brzine u x i y pravcu, respektivno.
10. DRAFT158 GLAVA 6. OSNOVNE RELACIJE KONVEKCIJE
Slika 6.4: Oznake za rad površinskih sila.
Da izvedemo promenu energije dovedene u jedinici vremena u zapreminski
element ¢x¢y¢z radom površinskih sila, posluµzimo se oznakama sa slike 6.4.
Rad u jedinici vremena površinskih sila je: (napon)£(površina)£(brzina).
Tako usled normalnog napona ¾x imamo rezultuju´cu promenu rada u jedinici
vremena:
½
¡u¾x +
·
u¾x +
@
@x
(u¾x) ¢x
¸¾
¢y¢z =
@
@x
(u¾x) ¢x¢y¢z;
a usled normalnog napona ¾y
½
¡v¾y +
·
v¾y +
@
@y
(v¾y) ¢y
¸¾
¢x¢z =
@
@y
(v¾y) ¢x¢y¢z:
Sliµcno dobijamo i za rezultuju´cu promenu rada u jedinici vremena usled
smicajnih napona ¿yx i ¿xy:
½
¡u¿yx +
·
u¿yx +
@
@y
(u¿yx) ¢y
¸¾
¢x¢z =
@
@y
(u¿yx) ¢x¢y¢z; ;
½
¡v¿xy +
·
v¿xy +
@
@x
(v¿xy) ¢x
¸¾
¢y¢z =
@
@x
(v¿xy) ¢x¢y¢z:
Sabiranjem ove µcetiri jednaµcine dobijamo energiju dovedenu u jedinici vremena
u zapreminski element usled rada površinskih sila:
µ
Rad površinskih sila na element
zapremine u jednici vremena
¶
=
·
@
@x
(u¾x) +
@
@y
(v¾y) +
@
@y
(u¿yx) +
@
@x
(v¿xy)
¸
¢x¢y¢z (6.31)
11. DRAFT6.3. ENERGIJSKA JEDNA µCINA 159
Ukupno dovedena energija radom i zapreminskih i površinskih sila u jedinici
vremena u zapreminski element dobija se sabiranjem jednaµcina (6.30) i (6.31):
II =
·
uFx + vFy +
@
@x
(u¾x) +
@
@y
(v¾y) +
@
@y
(u¿yx) +
@
@x
(v¿xy)
¸
¢x¢y¢z
(6.32)
6.3.3 Pove´canje akumulisane energije u jedinici vremena
Jedinica mase ‡uida ima unutrašnju energiju e [J/kg] i kinetiµcku energiju 1
2 (u2
+
v2
). Element zapremine ¢x¢y¢z, dakle, poseduje energiju
½
·
e +
1
2
¡
u2
+ v2
¢
¸
¢x¢y¢z
kao veliµcinu stanja, te se promena akumulisane energije u jedinici vremena dobija
uzimanjem totalnog izvoda ove veliµcine
III = ½
·
De
D¿
+
1
2
D
D¿
¡
u2
+ v2
¢
¸
¢x¢y¢z; (6.33)
gde je, kao i ranije, operator totalnog izvoda D=Dt de…nisan sa
D
D¿
= u
@
@x
+ v
@
@y
; (za stacionarno dvodimenzijsko strujanje): (6.34)
Kada jednaµcine (6.29), (6.32) i (6.33) zamenimo u jednaµcinu (6.26) dobijamo
½
De
D¿
+
½
2
D
D¿
¡
u2
+ v2
¢
= ¸
µ
@2
T
@x2
+
@2
T
@y2
¶
+
·
uFx + vFy +
@
@x
(u¾x) +
@
@y
(v¾y) +
@
@y
(u¿yx) +
@
@x
(v¿xy)
¸
:
Ovu jednaµcinu moµzemo pojednostaviti koriš´cenjem jednaµcina kretanja (6.19)
i (6.20). Ako jednaµcinu (6.19) pomnoµzimo sa u, a jednaµcinu (6.20) pomnoµzimo
sa v i rezultate saberemo dobi´cemo
½
2
D
D¿
¡
u2
+ v2
¢
= uFx + vFy + u
@¾x
@x
+ v
@¾y
@y
+ u
@¿yx
@y
+ v
@¿xy
@x
; (6.35)
jer je uDu
D¿ = 1
2
Du2
D¿ i v Dv
D¿ = 1
2
Dv2
D¿ .
Ako sada od jednaµcine (??) oduzmemo jednaµcinu (6.35) dobi´cemo
½
De
D¿
= ¸
µ
@2
T
@x2
+
@2
T
@y2
¶
+ ¾x
@u
@x
+ ¾y
@v
@y
+ ¿yx
@u
@y
+ ¿xy
@v
@x
; (6.36)
jer su
13. DRAFT6.4. REZIME JEDNA µCINA 161
je toplota preneta provo†enjem u jedinici vremana u elementu zapremine, dok
je poslednji µclan viskozna disipacija energije u jedinici vremena zbog trenja u
jedinici zapremine ‡uida.
Za ve´cinu tehniµckih primena brzine strujanja su umerene, te se µclan viskozne
disipacije, kao mali, moµze zanemariti. Tada se jednaµcina (6.41) pojednostavljuje
na oblik
½cp
µ
u
@T
@x
+ v
@T
@y
¶
= ¸
µ
@2
T
@x2
+
@2
T
@y2
¶
: (6.42)
Zapaµzamo da se ova jednaµcina za u = v = 0 svodi na jednaµcinu stacionarnog
dvodimenzijskog provo†enja toplote u telu bez toplotnih izvora, što se moglo i
oµcekivati za sluµcaj da nema teµcenja.
Temperatursko polje unutar strujnog polja se moµze dobiti rešavanjem ener-
gijske jednaµcine za odgovaraju´ce graniµcne uslove. Me†utim, pre nego što se
reši energijska jednaµcina, moraju biti rešene jednaµcina kontinuiteta i jednaµcine
kretanja ‡uida da bi se našle komponente brzine u i v koje se javljaju u energij-
skoj jednaµcini. U nekim jednostavnim sluµcajevima takva rešenja se mogu na´ci
analitiµcki.
6.4 REZIME JEDNAµCINA KRETANJA
I ENERGIJE
Sada´cemo rezimirati jednaµcine kretanja i energije za dvodimenzijsko stacionarno
strujanje nestišljivog ‡uida koje smo gore izveli u pravougaoniom koordinatnom
sistemu, a zatim ´cemo prikazati njima odgovaraju´ce jednaµcine u cilindarskom
koordinatnom sistemu za sluµcaj kruµzno cilindriµcne simetrije.
6.4.1 Jednaµcine u pravouganim koordinatima
Jednahina kontinuiteta:
@u
@x
+
@v
@y
= 0 : (6.43)
Jednaµcina kretanja u x pravcu:
½
µ
u
@u
@x
+ v
@u
@y
¶
= Fx ¡
@p
@x
+ ¹
µ
@2
u
@x2
+
@2
u
@y2
¶
: (6.44)
Jednaµcina kretanja u y pravcu:
½
µ
u
@v
@x
+ v
@v
@y
¶
= Fy ¡
@p
@y
+ ¹
µ
@2
v
@x2
+
@2
v
@y2
¶
: (6.45)
16. DRAFT164 GLAVA 6. OSNOVNE RELACIJE KONVEKCIJE
razmotri´cemo posebno u 10. poglavlju o prirodnoj konvekciji kod koje je za-
preminska sila što pokre´ce ‡uid – uzgon.) Jednaµcine kretanja i energije za
takvo strujanje dobi´cemo iz (6.43) – (6.47):
– kontinuitet kretanja:
@u
@x
+
@v
@y
= 0; (6.53)
– kretanje u x pravcu:
½
µ
u
@u
@x
+ v
@u
@y
¶
= ¡
@p
@x
+ ¹
µ
@2
u
@x2
+
@2
u
@y2
¶
; (6.54)
– kretanje u y pravcu:
½
µ
u
@v
@x
+ v
@v
@y
¶
= ¡
@p
@y
+ ¹
µ
@2
v
@x2
+
@2
v
@y2
¶
; (6.55)
– odrµzanje energije:
½cp
µ
u
@T
@x
+ v
@T
@y
¶
= ¸
µ
@2
T
@x2
+
@2
T
@y2
¶
+ ¹
"
2
µ
@u
@x
¶2
+ 2
µ
@v
@y
¶2
+
µ
@v
@x
+
@u
@y
¶2
#
: (6.56)
Da svedemo gornje jednaµcine na bezdimenzijski oblik izbra´cemo karakteris-
tiµcnu duµzinu strujnog prostora L, referentnu brzinu u1, referentnu temperaturu
T1, referentnu razliku temperatura ¢T i uvesti slede´ce nove promenljive
X =
x
L
; Y =
y
L
; P =
p
½u2
1
; U =
u
u1
; V =
v
u1
; µ =
T ¡ T1
¢T
:
(6.57)
Veliµcina ½u2
1 koju smo upotrebili da uvedemo bezdimenzijski pritisak P pred-
stavlja dvostruki dinamiµcki pritisak (jer se veliµcina 1
2 ½u2
1 naziva dinamiµcki pri-
tisak). Nakon uvo†enja ovih novih promenljivih u jednaµcine (6.53) do (6.56)
dobijamo, redom, jednaµcinu kontinuiteta, jednaµcine kretanja i energijsku jed-
naµcinu u bezdimenzijskom obliku:
– kontinuitet kretanja:
@U
@X
+
@V
@Y
= 0; (6.58)
– kretanje u X pravcu:
U
@U
@X
+ V
@U
@Y
= ¡
@P
@X
+
1
Re
µ
@2
U
@X2
+
@2
U
@Y 2
¶
; (6.59)
17. DRAFT6.5. BEZDIMENZIJSKE GRUPE 165
– kretanje u Y pravcu:
U
@V
@X
+ V
@V
@Y
= ¡
@P
@Y
+
1
Re
µ
@2
V
@X2
+
@2
V
@Y 2
¶
; (6.60)
– odrµzanje energije:
U
@µ
@X
+ V
@µ
@Y
=
1
Re Pr
µ
@2
µ
@X2
+
@2
µ
@Y 2
¶
+
Ec
Re
"
2
µ
@U
@X
¶2
+ 2
µ
@V
@Y
¶2
+
µ
@V
@X
+
@U
@Y
¶2
#
; (6.61)
gde su nove bezdimenzijske grupe de…nisane sa
Re =
½u1L
¹
=
u1L
º
¡ Reynolds-ov broj; (6.62)
Pr =
cp¹
¸
=
cp½º
¸
=
º
a
¡ Prandtl-ov broj, (6.63)
Ec =
u2
1
cp¢T
¡ Eckert-ov broj. (6.64)
Neka se µcitalac sam uveri da su ove grupe parametara zaista bezdimenzijske.
Gornji sistem bezdimenzijskih jednaµcina sadrµzi Reynolds-ov, Prandtl-ov i
Eckert-ov broj kao nezavisne parametre, te ´ce temperatursko polje, pa i gustina
toplotnog protoka, u prinudnoj konvekciji zavisiti od ove tri bezdimenzijske
grupe. Za izraµcunavanje gustine toplotnog protoka, ramenjenog izme†u ‡uida i
zida, u praksi se de…niše koe…cijent prelaza troplote ® jednaµcinom
_q = ®¢T; (6.65)
gde je _q gustina toplotnog protoka, a ¢T razlika temperature površine zida
i srednje temperature ‡uida. Za srednju temperaturu ‡uida koji opstrujava
telo uzima se temperatura T1 neuznemirene struje, a kod strujanja kroz cevi i
kanale za srednju temperaturu ‡uida uzima se srednja integralna temperatura
po preseku strujnog prostora, kao što ´cemo de…nisati u slede´cem poglavlju. Ako
je glavni tok ‡uida u x pravcu, a y osa normalna na površinu zida, gustina
toplotnog protoka se odre†uje iz gradijenta temperature ‡uida po de…niciji
_q = ¡¸
@T
@y
¯
¯
¯
¯
zid na y=0
: (6.66)
Iz jednaµcine (6.65) i (6.66) sledi
®¢T = ¡¸
@T
@y
¯
¯
¯
¯
y=0
; (6.67)
18. DRAFT166 GLAVA 6. OSNOVNE RELACIJE KONVEKCIJE
što se moµze napisati u bezdimenzijskom obliku
Nu ´
®L
¸
= ¡
@µ
@Y
¯
¯
¯
¯
zid na Y =0
; (6.68)
gde su pojedine bezdimenzijske promenljive de…nisane sa Y = y=L, µ = (T ¡
T1)=¢T, a bezdimenzijska grupa ®L=¸ se naziva Nusselt-ov broj. Jasno je da
Nusselt-ov broj mora zavisiti od istih bezdimenzijskih grupa kao i temperatursko
polje. Tako ´ce za prinudnu konvekciju Nusselt-ov broj zavisiti od Eckert-ovog,
Prandtl-ovog i Reynolds-ovog broja, te se moµze napisati slede´ca funkcionalna
relacija
Nu = f(Re; Pr; Ec): (6.69)
Eckert-ov broj ulazi u ovu zavisnost zbog µclana koji u energijskoj jednaµcini (6.61)
predstavlja viskoznu disipaciju. Kod umerenih brzina strujanja taj µclan se u
energijskoj jednaµcini moµze zanemariti, te se funkcionalna relacija za Nusselt-ov
broj u prinudnoj konvekciji pojednostavljuje na
Nu = f(Re; Pr): (6.70)
Prema ovoj relaciji moµze se za geometrijski sliµcne strujne prostore, koe…cijent
prelaza toplote (ili Nusselt-ov broj) u prinudnoj konvekciji sa umernim brzinama
strujanja, korelisati u funkciji samo dve bezdimenzijske grupe umesto nekoliko
promenljivih koje se pojavljuju u problemu. Ovo je veoma vaµzno kod eksperi-
mentalnih istraµzivanja jer se broj promenljivih, µciji uticaj na rezultate treba
prouµcavati, znatno smanjuje.
Diskutujmo sada …ziµcko znaµcenje gore navedenih bezdimenzijskih grupa.
Ako je mera inercijalnih sila u2
1=L, a mera sila viskoznosti ºu1=L2
, moµze se
Reynolds-ov broj preurediti ovako
Re =
½u1L
¹
=
u1L
º
=
u2
1=L
ºu1=L2
=
inercijalne sile
sile viskoznosti
; (6.71)
tj. Reynolds-ov broj predstavlja odnos sila inercije i viskoznosti. Fiµziµcko znaµcenje
sila inercije i viskoznosti kao što su gore de…nisane, bolje se sagledava posmatra-
njem jednaµcine kretanja (6.44) za x pravac, podeljene sa ½. Tada leva strana,
koja inaµce predstavlja inercijalne sile po jedinici zapremine, takve jednaµcine
sadrµzi µclan tipa u(@u=@x), a to se moµze okarakterisati sa u2
1=L. Sliµcno se moµze
okarakterisati µclan º(@2
u=@x2
), koji predstavlja sile viskoznosti, sa ºu1=L2
.
Neka se µcitalac podseti diskusije o ovome u kursu mehanike ‡uida.
Prandtl-ov broj je svojstvo materije jer predstavlja odnos molekularne di-
fuzivnosti koliµcine kretanja (kinematske viskoznosti) i molekularne difuzivnosti
toplote (temperatuske provodljivosti):
Pr =
cp¹
¸
=
¹=½
¸=(½cp)
=
º
a
=
kinematska viskoznost
temperaturska provodljivost
: (6.72)
19. DRAFT6.6. KONCEPT GRANI µCNOG SLOJA 167
Eckert-ov broj se moµze preurediti ovako
Ec =
u2
1
cp¢T
=
u2
1=cp
¢T
=
dinamiµcka temperatura
temperatrska razlika
; (6.73)
jer je 1
2 u2
1=cp dinamiµcka temperatura izentropske strujnice kao što je poznato
iz termodinamike strujanja gasa velikom brzinom.
6.6 KONCEPT GRANIµCNOG SLOJA
Matematiµcke poteško´ce oko rešavanja jednaµcine kretanja ‡uida i energijske jed-
naµcine navele su istraµzivaµce da razviju koncepte koji ´ce dovesti do pojedno-
stavljenja tih jednaµcina. Koncept graniµcnog sloja, koji je originalno predloµzio
Prandtl,4
pokazao se kao najuspešniji u postizanju pojednostavljenja jednaµcina
kretanja i energije, a primenjen je na veoma široku lepezu praktiµcnih situacija.
Po konceptu graniµcnog sloja deli se tok ‡uida koji opstrujava telo u dve oblasti:
(1) vrlo tanak sloj neposredno uz telo (tzv. graniµcni sloj) gde su gradijenti brzine
i temperature strmi, i (2) oblast izvan graniµcnog sloja, zvanu potencijalno stru-
janje ili oblast spoljašnjeg (neuznemirenog) strujanja, gde su gradijenti brzine
i temperaure mali. Koncept graniµcnog sloja pruµza, u opštem sluµcaju, dobar
opis brzinskog i temperaturskog polja, ako su gradijenti brzine i temperature
u nizvodnom pravcu mnogo manji od onih u pravcu upravnom na zid. Slika
6.5 ilustruje hidrodinamiµcki i toplotni graniµcni sloj kod laminarnog opstruja-
vanja ravne ploµce. Na ovoj slici su brzina i temperatura ‡uida sve do prednje
ivice ploµce (tj. x = 0) jednolike kao i u spoljašnjoj (neuznemirenoj) struji. Sa
pove´canjem udaljenosti od prednje ivice ploµce rastu debljine i hidrodinamiµckog
i toplotnog graniµcnog sloja. Praktiµcno se smatra da je spoljna ivica hidrodi-
namiµckog graniµcnog sloja ono geometrijsko mesto taµcaka gde se nizvodna kom-
ponenta brzine u(x; y) ne razlikuje za manje od 99 % od brzine u1 neuzne-
mirene struje. Neka # = T(x; y) ¡ Tz oznaµcava lokalnu razliku temperature
‡uida u graniµcnom sloju i temperature zida i neka #1 = T1 ¡ Tz oznaµcava
razliku temperatura neuznemirene ‡uidne struje i zida. Tada se spoljašnja ivica
toplotnog graniµcnog sloja de…niše kao geometrijsko mesto gde #(x; y) doseµze
0:99#1. Ovakve de…nicije debljina graniµcnih slojeva su u suštini proizvoljne jer
realno i brzina u(x; y) i temperatura T(x; y) u graniµcnom sloju teµze asimptotski
ka u1 i T1.
U ve´cini praktiµcnih sluµcajeva su debljina hidrodinamiµckog sloja ±(x) i de-
bljina toplotnog graniµcmog sloja ±T (x) istog reda veliµcine ali ne i obavezno jed-
nake. Me†usobni odnos ovih debljina zavisi od vrednosti Prandtl-ovog broja.
Tako je, ±(x) > ±T (x) za Pr > 1, ±(x) < ±T (x) za Pr < 1, a ±(x) = ±T (x) za Pr
= 1. Ovo ´cemo, u narednim odeljcima, detaljnije prodiskutovati.
4 Prandtl, L., Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung, Proc. Third Int.
Math. Congr. Heidelberg, 1904, ss. 484-491.
20. DRAFT168 GLAVA 6. OSNOVNE RELACIJE KONVEKCIJE
Slika 6.5: Hidrodinamiµcki i toplotni graniµcni sloj kod laminarnog opstrujavanja
ravne ploµce.
U daljoj analizi moramo uvek razlikovati laminarni graniµcni sloj od turbu-
lentnog graniµcnog sloja. Slika 6.6 ilustruje ova dva tipa graniµcnih slojeva za
strujanje preko ravne ploµce. Poµcevši od prednje ivice ploµce razvija se laminarni
graniµcni sloj sve do neke kritiµcne udaljenosti xc nakon koje poµcinju i narastaju
mali poreme´caji tako da dolazi prelaska iz laminarnog u turbulentni graniµcni
sloj. Ova kritiµcna udaljenost, iza koje strujanje više ne moµze zadrµzati svoj la-
minarni karakter, izraµzava se vrednoš´cu Reynolds-ovog broja de…nisanog sa Re
= u1xc=º. U proseµcnim situacijama reµzim opstrujavanja ravne ploµce poµcinje
da se menja iz laminarnog u turbulentni pribliµzno na vrednosti Reynolds-ovog
broja jednakoj 5¢10¡5
. Kada je površina ploµce hrapava, prelaz u trubulentno
strujanje moµze poµceti i na manjim vrednostima Re ¼ 105
, kod vrlo mirnog stru-
janja preko glatke površine ploµce, laminarni graniµcni sloj moµze opstojati sve
do Re = 5¢106
. Kao što je na slici 6.6 prikazano, za laminarnim graniµcnim
slojem, nakon prelazne oblasti u kojoj se dešava prelazak iz laminarnog u tur-
bulentno strujanje, sledi turbulentni graniµcni sloj. U trubulentnom graniµcnom
Slika 6.6: Laminarni i turbulentni graniµcni sloj kod opstrujavanja ravne ploµce.
21. DRAFT6.7. JEDNA µCINE GRANI µCNOG SLOJA 169
sloju uoµcava se neposredno uz zid strujanje u vrlo tankoj viskoznoj oblasti koja
se naziva viskozni podsloj. Do viskozno-laminarnog podsloja je vrlo turbulizo-
vana ovlast (tzv. me†usloj) u kojoj je struktura turbulencije sitno-vrloµzna i
gde se srednja nizvodna brzina naglo pove´cava sa udaljenjem od zida. Nakon
me†usloja sledi turbulentno jezgro gde je turbulencija relativno niµzeg intenziteta,
a vrtloµzenje nešto krupnije dok se srednja nizvodna brzina relativno malo menja
sa udaljenjem od zida.
Slika 6.7 prikazuje graniµcni sloj kod opstrujavanja tela zakrivljene površine.
U ovom sluµcaju graniµcni sloj ima posebnu osobinu da se pod izvesnim uslovima
odvaja od zida kao što slika prikazuje. Iza taµcke odvajanja, ‡uidne µcestice blizu
zida se kre´cu u suprotnom smeru od spoljašnjeg (neuznemirenog) strujanja, te
strujna slika postaje vrlo sloµzena. Za takvu oblast ne vaµze ni jednaµcine graniµcnog
sloja. Neka µcitalac konsultuje posebne monogra…je5
za detaljnije informisanje o
separciji strujanja.
Slika 6.7: Odvajanje graniµcnog sloja kod opstrujavanja zakrivljenog tela.
6.7 JEDNAµCINE GRANIµCNOG SLOJA
Iz ranije izvedenih jednaµcina kretanja i energije mogu se dobiti jednaµcine graniµc-
nog sloja uz pojednostavljenja koja slede iz prouµcavanja reda veliµcine pojedinih
µclanova u tim jednaµcinama te odbacivanja onih µclanova koji su suviše mali. Da
ilustrujemo takav pristup prikaza´cemo pojednostavljenja jednaµcina kretanja i
energije za stacionarno dvodimenzijsko strujanje nestišljivog ‡uida konstantnih
svojstava, datih sa (6.58)-(6.61).
Osnovne pretpostavke o pojednostavljenju po konceptu graniµcnog sloja uklju-
µcuju da su debljine graniµcnih slojeva ± i ±T male u pore†enju sa karakteristiµcnom
5 Recimo: Šlihting, G., Teorija pograniµcnog sloja, “ Nauka” , Moskva, 1974.
22. DRAFT170 GLAVA 6. OSNOVNE RELACIJE KONVEKCIJE
duµzinom L tela, tj. ± ¿ L i ±T ¿ L, ili
¢ ´
±
L
¿ 1 i ¢T ´
±T
L
¿ 1; (6.74)
te da je Reynolds-ov broj, de…nisan preko karakteristiµcne duµzine
Re =
u1L
º
; (6.75)
vrlo velik. Dalje se uzima da je Reynolds-ov broj reda veliµcine 1=¢2
, a da je
red veliµcine proizvoda Reynolds-ovog i Prandtl-ovog broja 1=¢2
T , tj.
1
Re
» ¢2
i
1
Re Pr
» ¢2
T : (6.76)
µZelimo da sagledamo efekte malih vrednosti ¢ i ¢T na jednaµcine (6.58) do
(6.61), te treba i sve druge veliµcine u ovim jednaµcinama oceniti u jedinicama ¢,
¢T i 1. U takvom razmatranju, promenljive U, X i µ se uzimaju reda veliµcine
jedinice,
U » 1; X » 1; µ » 1: (6.77)
a promenljiva Y reda veliµcine ¢ (ili ¢T ):
Y » ¢ (ili ¢T ): (6.78)
Red veliµcine komponente brzine V odre†uje se ispitivanjem jednaµcine kontinu-
iteta (6.58). U toj jednaµcini dva µclana @U=@X i @V=@Y moraju biti istog reda
veliµcine. Kako su U i X reda veliµcine jedinice i izvod @U=@X je reda veliµcine
jedinice, te @V=@Y mora tako†e biti reda veliµcine jedinice. Tada, pošto je usvo-
jeno da je red veliµcine Y jednak ¢, mora i komponenta brzine biti reda veliµcine
¢, tj.
V » ¢: (6.79)
Gornja analiza pokazuje da se redovi veliµcina promenljivih U, X, µ, Y , V , 1/Re
i 1/(RePr) mogu iskazati preko 1 i ¢ (ili ¢T ¼ D) tako da je ¢ ¿ 1. Sada ´cemo
opisati kako se ovi rezultati primenjuju za odre†ivanje reda veliµcine pojedinih
µclanova u jednaµcinama (6.58)-(6.61)
Koriste´ci rezultate (6.76) do (6.79) o redu veliµcine promenljivih U, X, µ,
Y , V , 1/Re i 1/(RePr) izvrši´cemo pore†enje redova veliµcine pojedinih µclanova
u jednaµcinama (6.58) do (6.61). Pisa´cemo ispod svakog µclana u jednaµcinama
(6.58) do (6.61) odgovaraju´ce redove veliµcine iskazane sa 1, ¢, ¢T , te ispitati
da li se mogu otkriti neka pojednostavljenja.
Jednaµcina kontinuiteta (6.58):
@U
@X
1
1
+
@V
@Y
¢
¢
= 0
23. DRAFT6.7. JEDNA µCINE GRANI µCNOG SLOJA 171
Konstatujemo da jednaµcina kontinuiteta ostaje neizmenjena.
Jednaµcina kretanja u X pravcu (6.59):
U
@U
@X
+ V
@U
@Y
= ¡
@P
@X
+
1
Re
µ
@2
U
@X2
+
@2
U
@Y 2
¶
1
1
1
¢
1
¢
¢2
µ
1
1
1
¢2
¶
Konstatujemo da su jednaµcini kretanja u X pravcu µclan @2
U=@X2
moµze zane-
mariti u pore†enju sa µclanom @2
U=@Y 2
. Izborom da je za 1/Re red veliµcine ¢2
,
µclan sila viskoznosti 1
Re
@2
U
@Y 2 je reda veliµcine jedinice, odnosno istog reda veliµcine
kao i inercijalne sile na levoj strani jednaµcine.
Jednaµcina kretanja u Y pravcu (6.60):
U
@V
@X
+ V
@V
@Y
= ¡
@P
@Y
+
1
Re
µ
@2
V
@X2
+
@2
V
@Y 2
¶
1
¢
1
¢
¢
¢
¢2
µ
¢
1
¢
¢2
¶
U ovoj jednahini µclan sa gradijentom pritiska @P=@Y mora biti reda veliµcine
¢, jer su svi preostali µclanovi reda veliµcine ¢. Ovo implicira da @P=@Y vrlo
malo, tj. da je pritisak P praktiµcno konstantan popreµcno graniµcnom sloju. Kon-
statujemo da jednaµcina kretanja u Y pravcu nije potrebna u analizi graniµcnog
sloja.
Energijska jednaµcina (6.61):
U
@µ
@X
+ V
@µ
@Y
=
1
Re Pr
µ
@2
µ
@X2
+
@2
µ
@Y 2
¶
1
1
1
¢
1
¢
¢2
T
µ
1
1
1
¢2
T
¶
+
Ec
Re
"
2
µ
@U
@X
¶2
+ 2
µ
@V
@Y
¶2
+
µ
@V
@X
+
@V
@X
¶2
#
¢2 1
1
µ
¢
¢
¶2 µ
¢
1
1
¢
¶2
U energijskoj jednaµcini je dakle, µclan @2
µ=@X2
zanemarljiv u pore†enju sa
µclanom @2
µ=@Y 2
. Nakon toga, µclan 1
Re Pr
@2
µ
@Y 2 postaje reda veliµcine jedinice jer je
za 1/RePr izabran red veliµcine ¢2
T . Ispitivanjem reda veliµcine pojedinih µclanova
u uglastoj zagradi, koja predstavlja funkciju viskozne disipacije, otkrivamo da
svi µclanovi u zagradi mogu biti zanemareni u pore†enju sa @U=@Y . Tada µclan
Ec
Re
¡@U
@Y
¢2
postaje reda veliµcine jedinice ako se za Eckert-ov broj izabere red
veliµcine jedinice, jer je za 1/Re ve´c izabran red veliµcine ¢2
.
Dakle gornje jednaµcine se pojednostavljuju izostavljanjem µclanova µciji je red
veliµcine ¢ u pore†enju sa µclanovima reda veliµcine 1. Zanimljiv ishod ocenjivanja
reda veliµcine je µcinjenica da jednaµcina (6.60) kretanja u Y pravcu nije potrebna
24. DRAFT172 GLAVA 6. OSNOVNE RELACIJE KONVEKCIJE
u prouµcavanju graniµcnog sloja, jer ona jedino nalaµze da je pritisak popreµcno
graniµcnom sloju praktiµcno konstantan. Znaµcajno je i da je jednaµcina kretanja u
X pravcu uproš´cena.
Rezimirajmo sada rezultate pojednostavljenja po konceptu graniµcnog sloja:
Jednaµcine graniµcnog sloja za stacionarno, dvodimenzijsko strujanje nestišljivog
‡uida konstantnih svojstava su jednaµcina kontinuiteta, jednaµcina kretanja u X
pravcu i energijska jednaµcina u slede´cem bezdimenzijskom obliku:
Jednaµcina kontinuiteta:
@U
@X
+
@V
@Y
= 0 (6.80)
Jednaµcina kretanja u X pravcu:
U
@U
@X
+ V
@U
@Y
= ¡
dP
dX
+
1
Re
@2
U
@Y 2
(6.81)
Energijska jednaµcina:
U
@µ
@X
+ V
@µ
@Y
=
1
Re Pr
@2
µ
@Y 2
+
Ec
Re
µ
@U
@Y
¶2
: (6.82)
Bezdimenzijske preomenljive u ovim jednaµcinama de…nisane su sa (6.57) i (6.62)-
(6.64).
U okviru teorije graniµcnog sloja smatra se da je µclan sa gradijentom pritiska
poznat, te jednahine (6.80) do (6.82) predstavljaju tri nezavisne jednaµcine za
odre†ivanje nepoznatih U, V , i µ. Ako je Eckert-ov broj mali, tj. Ec ¿ 1,
u energijskoj jednaµcini se zanemaruje µclan disipacije energije zbog viskoznosti
(Ec/Re)(@U=@Y )2
.
Jednaµcine graniµcnog sloja (6.80) do (6.82) se rešavaju znatno lakše nego
originalne jednaµcine (6.58)-(6.61). Izostanak drugog izvoda u X pravcu (tj.
u nizvodnom pravcu) iz jednaµcine kretanja u X pravcu i energijske jednaµcine
ukazuje na µcinjenicu da u jednaµcinama graniµcnog sloja zavisno promenljive U i
µ nisu ograniµcene na nizvodnoj strani. Dugim reµcima, na brzinu i temperaturu
na bilo kom mestu u graniµcnom sloju ne utiµce nizvodno ponašanje ‡uida.
Iskoristimo relacije date sa (6.76) da uporedimo debljine hidrodinamiµckog i
toplotnog graniµcnog sloja. Tako dobijamo
µ
¢T
¢
¶2
»
1
Pr
ili
¢T
¢
=
±T
±
»
1
p
Pr
; (6.83)
što povezuje relativnu debljinu toplotnog i hidrodinamiµckog graniµcnog sloja sa
Prandtl-ovim brojem ‡uida. Za gasove Pr ima vrednosti oko jedinice, te su
dva graniµcna sloja skoro iste debljine. Prandtl-ov broj za teµcnosti se kre´ce u
25. DRAFT6.8. ZADACI 173
opsegu od 10 do 100, te je debljina toplotnog graniµcnog sloja manja od debljine
toplotnog graniµcnog sloja. Toplotni graniµcni sloj kod teµcnih metala je mnogo
deblji od hidrodinamiµckog jer se za njih Pr menja od oko 0.003 do 0.03.
Konaµcno, zapišimo jednaµcine graniµcnog sloja (6.80) do (6.82) u originalnim
promenljivim:
Jednaµcina kontinuiteta:
@u
@x
+
@v
@y
= 0 : (6.84)
Jednaµcina kretanja u x pravcu:
½
µ
u
@u
@x
+ v
@u
@y
¶
= ¡
dp
dx
+ ¹
@2
u
@y2
: (6.85)
Energijska jednaµcina:
½cp
µ
u
@T
@x
+ v
@T
@y
¶
= ¸
@2
T
@y2
+ ¹
µ
@u
@y
¶2
: (6.86)
Gradijent pritiska u jednaµcini kratanja (6.85) moµze se povezati sa brzinom
spoljašnjeg strujanja u1(x), primenjuju´ci tu jednaµcinu na spoljašnjoj granici
hidrodinamiµckog graniµcnog sloja, tj. tamo gde je u ¼ u1(x). Tako nalazimo
½u1(x)
du1(x)
dx
= ¡
dp
dx
; (6.87)
jer se smatra da je u1(x) funkcija samo od x. U analizi graniµcnog sloja se uzima
poznatom brzina spoljašnjeg opstrujavanja u1(x) iz rešenja problema strujanja
izvan granihnog sloja; zato se i dp=dx smatra poznatom informacijom. Kod
strujanja preko ravne ploµce, na primer, brzina neuznemirenog strujanja u1 je
konstantna, te je
dp
dx
= 0: (6.88)
Prema tome, gradijent pritiska dp=dx se ne pojavljuje u jednaµcini kratanja u x
pravcu kod opstrujavanja ploµce.
6.8 ZADACI
I 6.1. Razmotriti u pravougaonim koordinatama (x; y) dvodimenzijsko, sta-
cionarno, laminarno, strujanje nestišljivog ‡uida izme†u dve paralelne ploµce.
Fluid ima konstantna svojstva u pravcu strujanja (pravac x ose). Nema dejstva
zapreminskih sila na ‡uid. Usvojivši da je strujanje razvijeno (v = 0) svesti
jednaµcinu kontiuiteta
@u
@x
+
@v
@y
= 0
29. DRAFT
Glava 7
PRINUDNO
LAMINARNO
STRUJANJE KROZ CEVI
I KANALE
U ovom poglavlju´cemo na jednostavnim primerima ilustrovati odre†ivanje brzin-
skih i temperaturskih polja i gustine toplotnog protoka razmenjenog izme†u ‡u-
ida i zidova u sluµcaju prinudnog laminarnog strujanja kroz cevi i kanale. Mada
se u tehniµckim primenama mnogo µceš´ce sre´cu turbulentna strujanja, postoje
mnoge situacije gde je vaµzno prouµciti prenos toplote laminarnim strujanjem. Na
primer, u nuklearnim reaktorima sa teµcnim metalima poµzeljno je da se ostvari
laminarno strujanje u cilju sniµzenja potrebne snage pumpanja, jer je intenzitet
prenosa toplote teµcnim metalima dovoljno visok. U projektovanju toplotnih
razmenjivaµca za vrlo viskozne ‡uide kao što su ulja, µcesto je ekonomiµcno re-
dukovati potrebnu snagu pumpanja sniµzavanjem srednje brzine strujanja µcak i
na raµcun lošijeg prenosa toplote laminarnim strujanjem. Kod prenosa toplote
izme†u rukavca vratila i kliznog leµzišta mazivo ulje ponekad struji laminarno.
Konaµcno, primeri laminarnog strujanja koji ´ce biti razmotreni u ovom poglavlju
´ce pruµziti dobar uvid u …ziµcko znaµcenje pojedinih parametara koji utiµcu na
prenos toplote laminarnim strujanjem. Osnovne jednaµcine, koje ´ce trebati reša-
vati u pojedinim speci…µcnim problemima, dobi´cemo direktno, uz odgovaraju´ca
pojednostavljenja, iz opštih jednaµcina datih u prethodnom poglavlju.
7.1 COUETT-OVO STRUJANJE
Couett-ovo strujanje pruµza najjednostavniji model za analizu prenosa toplote
izme†u dve paralelne ploµce prema slici 7.1. Prostor izme†u dve beskrajne pa-
ralelne ploµce na rastolanju L je ispunjen teµcnoš´cu viskoznosti ¹, gustine ½, i
177
30. DRAFT178 GLAVA 7. PRINUDNA LAMINARNA KONVEKCIJA
toplotne provodljivosti ¸. Gornja ploµca na y = L kre´ce se konstantnom brzinom
u1, te primorava µcestice ‡uids da se kre´cu u pravcu paralelnom ploµcama. Donja
ploµca je nepokretna. Donja i gornja ploµca se drµze na stalnim temperaturama
T0 i T1, respektivno.
Slika 7.1: Oznake za prenos toplote Couett-ovim strujanjem.
Prenos toplote opisan ovim jednostavnim modelom je od interesa za rukavac
i leµzište u kojem je jedna od površina nepokretna, dok druga rotira, a zazor
izme†u njih je ispunjen mazivim uljem visoke viskoznosti. Kada je zazor mali
u pore†enju sa radijusom leµzišta, takva geometrija strujnog prostora se moµze
smatrati kao dve paralelne ploµce. µCak i pri umernim brzinama porast tempe-
rature ‡uida zbog trenja (tj. viskozne disipacije energije) moµze biti znatan pri
visokoj viskoznosti ulja. Sa inµzenjerskog stanovišta od interesa je na´ci takav
porast temperature ulja kao i toplotne protoke kroz zidove. U rešavanju ovog
problema prenosa toplote odredi´cemo prvo raspored brzine ‡uida, a zatim i
temperatursko polje, jer se bez pro…la brzine ne moµze rešiti energijska jednaµcina.
Opisa´cemo sada naµcin odre†ivanja posebno brzinskog i posebno temperaturskog
polja.
7.1.1 Raspored brzine
Za nestišljivo strujanje ‡uida konstantnih svojstava jednaµcine kretanja se mogu
dobiti iz jednaµcina (6.43)-(6.45) slede´cim rasu†ivanjem. Kako se µcestice ‡uida
kra´cu u pravcu paralelnom ploµcama, komponenta brzine v normalna na ploµce
mora biti jednaka nuli, te stavljaju´ci v = 0 u jednaµcinu kontinuiteta (6.43)
nalazimo:
du
dx
= 0: (7.1)
Dakle, u = u(y). Jednaµcina kretanja u y pravcu (6.45) nam i ne treba jer je
v = 0. Kada u jednaµcinu kretanja u x pravcu (6.30) stavimo v = 0 i Fx = 0 za
31. DRAFT7.1. COUETT-OVO STRUJANJE 179
sluµcaj odsustva zapreminskih sila, nalazimo
¡
dp
dx
+ ¹
d2
u
dy2
= 0; (7.2)
gde smo iskoristili i jednaµcinu (7.1). U Couett-ovom teµcenju, kretanje ‡uida je
izazvano prostim smicajnim strujanjem i nikakav gradijent pritiska nije ukljuµcen
u pravcu kretanja, te je dp=dx = 0, pa se jednaµcina (7.2) svodi na
d2
u
dy2
= 0; u 0 · y · L: (7.3)
Graniµcni uslovi za ovu jednaµcinu se usatanovljavaju iz µcinjenice da je brzina u
jednaka nuli na površini donje ploµce (y = 0), a jednaka u1 na površini gornje
ploµce (y = L), tj.
u = 0 na y = 0; (7.4)
u = u1 na y = L: (7.5)
Rešenje jednaµcine (7.3) za graniµcne uslove (7.4)-(7.5) daje slede´ci linearni ras-
pored brzina u Couett-ovom strujanju
u(y) = u1
y
L
: (7.6)
7.1.2 Raspored temperatura
Jednaµcinu kojoj se mora pokoravati temperatursko polje u Couett-ovom stru-
janju dobi´cemo iz energijske jednaµcine (6.46) uz slede´ca pojednostavljenja. Gore
smo ustanovili da je v = 0 i u = u1y=L, te ako pretpostavimo da se temperatura
menja samo u y pravcu, tj. T = T(y), iz energijske jednaµcine (6.46) dobijamo
¸
d2
T(y)
dy2
+ ¹
µ
du
dy
¶2
= 0 ili ¸
d2
T(y)
dy2
+ ¹
³u1
L
´2
= 0
ili
d2
T(y)
dy2
+
¹u2
1
¸L2
= 0 u 0 · y · L: (7.7)
Graniµcni uslovi za jednaµcinu (7.7) sledi iz µcinjenice da je temperatura donje
ploµce T0 na y = 0, a temperatura gornje ploµce T1 na y = L, tj.
T(y) = T0 na y = 0; (7.8)
T(y) = T1 na y = L: (7.9)
Rešenje jednaµcine (7.7) za graniµcne uslove (7.8)-(7.9) da´ce raspored temperatura
u ‡uidu.
32. DRAFT180 GLAVA 7. PRINUDNA LAMINARNA KONVEKCIJA
Integracijom jednaµcine (7.7) dva puta nalazi se
T(y) = ¡
1
2
¹u2
1
¸L2
y2
+ C1y + C2; (7.10)
gde integracione konstante C1 i C2 treba odrediti iz graniµcnih uslova (7.8)-(7.9).
Tako se nalazi da je temperatursko polje u ‡uidu oblika
T(y) ¡ T0 =
y
L
·
T1 ¡ T0 +
¹u2
1
2¸
³
1 ¡
y
L
´¸
: (7.11)
Sada ´cemo ispitati …µziµcko znaµcenje ovog rešenja i gustinu toplotnog protoka
na zidovima i to za dva sluµcaja: T0 6= T1 i T0 = T1.
Sluµcaj T0 6= T1. Pogodno je pre svega jednaµcinu (7.11) preurediti u bezdi-
menzijski oblik delenjem obe strane sa (T1 ¡ T0). Tako dobijamo
T(y) ¡ T0
T1 ¡ T0
=
y
L
·
1 +
¹u2
1
2¸(T1 ¡ T0)
³
1 ¡
y
L
´¸
; (7.12)
što se moµze kompaktnije zapisati u obliku
µ(´) = ´
·
1 +
Ec Pr
2
(1 ¡ ´)
¸
; (7.13)
gde su pojedine bezdimenzijske veliµcine de…nisane sa
µ(´) =
T(y) ¡ T0
T1 ¡ T0
´ =
y
L
Pr =
cp¹
¸
(Prandtl-ov broj)
Ec =
u2
1
cp(T1 ¡ T0)
(Eckert-ov broj)
(7.14)
Slika 7.2 prikazuje dijagram bezdimenzijske temperature µ(´) kao funkcije ´
za T1 > T0 za nekoliko razliµcitih vrednosti parametra EcPr.
Sluµcaj EcPr = 0 odgovara sluµcaju bez teµcenja, te otuda nema viskozne disi-
pacije u ‡uidu i odgovaraju´ce temperatusko polje je prava linija koja karakteriše
µcisto provo†enje kroz sloj ‡uida. Fiziµcko znaµcenje ostalih krivih se bolje sagle-
dava kroz razmatranje toplotnog protoka na zidu.
Gustina toplotnog protoka na zidu odre†uje se iz de…nicije
_qzid = ¡¸
dT(y)
dy
¯
¯
¯
¯
zid
; (7.15)
što se preko µ(´) moµze zapisati kao
_qzid = ¡
¸
L
(T1 ¡ T0)
dµ(´)
d´
¯
¯
¯
¯
zid
; (7.16)
33. DRAFT7.1. COUETT-OVO STRUJANJE 181
Slika 7.2: Temperatursko polje u Couett-ovom strujanju (T1 > T0).
gde se gradijent temperature dobija iz (7.13) u obliku
dµ(´)
d´
= 1 + Ec Pr
¡1
2 ¡ ´
¢
: (7.17)
Gustina toplotnog protoka se, dakle, dobija iz jednaµcine (7.15) i (7.17). Na
gornjem zidu, na primer, stavljanjem ´ = 1, nalazimo
_qgornji zid = ¡
¸
L
(T1 ¡ T0)
µ
1 ¡
Ec Pr
2
¶
: (7.18)
Prouµcimo sada, razmatranjem jednaµcine (7.18) smer toplotnog protoka na
gornjem zidu za sluµcaj T1 > T0, prikazan na slici 7.2, za razliµcite vrednosti
parametra EcPr. Slede´ci sluµcajevi su od interesa:
1. EcPr > 2. U ovom sluµcaju (1¡EcPr=2) u jednaµcini (7.18) je negativan,
te kako je (T1 ¡ T0) pozitivno za T1 > T0, bi´ce _qgornji zid > 0. Ovaj implicira
da toplota teµce u pozitivnom y pravcu, tj. iz ‡uida u gornji zid uprkos tome
što je on na niµzoj temperaturi nego donji zid. Razlog tome je što je generisanje
energije viskoznom disipacijom toliko veliko da se ne moµze odstraniti samo kroz
donju ploµcu.
2. EcPr < 2. U ovom sluµcaju i µclan (1¡EcPr=2) i (T1 ¡ T0) su pozitivni u
jednaµcini (7.18) te je _qgornji zid < 0 i toplota teµce u negativnom y pravcu, tj. sa
gornje ploµce u ‡uid.
34. DRAFT182 GLAVA 7. PRINUDNA LAMINARNA KONVEKCIJA
3.EcPr = 2. U ovom sluµcaju µclan (1¡EcPr=2) nestaje i nema prenosa
toplote na gornju ploµcu. Iz ovog razloga zakljuµcujemo da, na slici 7.2 pro…l
temperatura za EcPr = 2 mora imati izvod temperature u y pravcu jednak nuli.
Sluµcaj T0 = T1. Kada su obe ploµce na istoj temperaturi jednaµcina (7.11) se
pojednostavljuje na
T(y) ¡ T0 =
¹u2
1
2¸
y
L
³
1 ¡
y
L
´
: (7.19)
Maksimalna temperatura u ‡uidu se tada javlja na sredini izme†u ploµca, te
stavljanjem y = L=2 u jednaµcini (7.19), dobijamo
Tmax ¡ T0 =
¹u2
1
8¸
: (7.20)
Kombinuju´ci jednaµcine (7.19) i (7.20) moµze se bezdimenzijsko polje temperature
u ‡uidu izraziti kao
T(y) ¡ T0
Tmax ¡ T0
= 4´(1 ¡ ´): (7.21)
gde je ´ = y=L.
Gustina toplotnog protoka na zidovima se i u ovom sluµcaju nalazi iz de…nicije
date jednaµcinom (7.15).
Primer A. Teško mazivo ulje [¹ = 0:3 kg/(m s), ¸ = 0:125 W/(m K)] na
sobnoj temperaturi teµce u zazoru izme†u rukavca i leµzišta. Usvojivši da su
leµzište i rukavac na istoj temperaturi odrediti maksimalni porast temperature u
mazivu pri brzini u1 = 6 m/s.
Rešenje. Najve´ci porast temperature za sluµcaj T0 = T1 nalazi se iz jednaµcine
(7.20):
¢Tmax ´ Tmax ¡ T0 =
¹u2
1
8¸
=
0:3 £ 62
8 £ 0:125
= 10:8 ±
C.
7.2 KONCEPTI POTUPNO RAZVIJENIH
PROFILA BRZINA I TEMPERATURA
KOD STRUJANJA KROZ CEVI I KANALE
Na slici 7.2 je shematski ilustrovan razvoj pro…la brzine nestišlljivog ‡uida koji
stacionarno laminarno teµce kroz cev kruµznog popreµcnog preseka. Opisa´cemo
kako dolazi do promene pro…la brzine duµz cevi. Na ulazu u cev ‡uid ima jed-
noliku brzinu u0. µCestice koje dolaze u dodir sa zidom na samom ulazu odmah
dobijaju brzinu nula, dok se ostalim µcesticama brzina tako†e menja (zbog kon-
tinuiteta teµcenja) sve do pove´canja iznad u0 u središnoj oblasti cevi. Tako se
moµze uoµciti da se duµz površine zida poµcinje razvijati hidrodinamiµcki graniµcni sloj
35. DRAFT7.2. POTPUNO RAZVIJENO TE µCENJE 183
µcija debljina stalno raste nizvodno sve dok ne dostigne osu cevi. Oblast cevi od
ulaza pa sve do nešto malo iza hipotetiµckog mesta gde je graniµcni sloj dostigao
osu cevi naziva se hidrodinamiµcka ulazna duµzina u kojoj se pro…l brzine stru-
janja menja kako aksijalno tako i radijalno. Oblast iza hidrodinamiµcke ulazne
duµzine u kojoj je pro…l brzina nepromenljiv u daljem nizvodnom toku naziva se
oblast potpuno razvijenih brzina. Na slici 7.3 je ilustrovana takva podela cevi na
hidrodinamiµcku ulaznu oblast i oblast potpuno razvijenih brzina.1
U konceptu
potpuno razvijenog pro…la brzina moraju se razlikovati sluµcajevi laminarnih i
turbulentnih strujanja. Ako graniµcni sloj ostaje laminaran sve dok njegova deb-
ljina ne dostigne osu cevi, iza te taµcke preovladava potpuno razvijeno laminarno
strujanje. Ako, pak, graniµcni sloj postane turbulentan pre nego što mu debljina
dostigne osu cevi, kaµze se da, nakon hidrodinamiµcke ulazne oblasti, nastupa
potpuno razvijeno turbulentno strujanje.
Slika 7.3: Razvoj pro…la brzina u laminarnoj struji kroz cev.
U sluµcaju temperaturskog polja je mnogo teµze sagledati postojanje potpuno
razvijenog pro…la temperatura u oblasti udaljenoj od ulaza, nego što je to u gore
diskutovanom sluµcaju potpuno razvijenog pro…la brzina. Me†utim, pod izves-
nim uslovima zagrevanja ili hla†enja kao što su konstantna gustina toplotnog
protoka i jednolika temperatura na zidovima cevi, mogu´ce je razmotriti posto-
janje bezdimenzijskog temperaturskog pro…la koji ostaje nepromenljiv na ve´cim
udaljenostima od ulaza u cev. Prodiskutova´cemo kvalitativno kako se dolazi do
koncepta potpuno razvijenih bezdimenzijskih pro…la temperatura.
Posmatrajmo laminarno strujanje u cevi kruµznog popreµcnog preseka izloµzenoj
jednolikoj gustini toplotnog protoka na zidu. Neka su r i z radijalna i aksijalna
koordinata, respektivno, i neka je bezdimenzijska temperatura µ(r; z) de…nisana
sa
µ(r; z) =
T (r; z) ¡ Tz (z)
¹T (z) ¡ Tz (z)
; (7.22)
gde su: T(r; z) – lokalna temperatura ‡uida, Tz(z) – temperatura zida, ¹T (z)–
srednja temperatura ‡uida po površini popreµcnog preseka cevi.
1 Za ove dve oblasti koriste se i nazivi: oblast hidrodinamiµcke stabilizacije i oblast stabili-
zovanog teµcenja, respektivno.
36. DRAFT184 GLAVA 7. PRINUDNA LAMINARNA KONVEKCIJA
Ovako de…nisana bezdimenzijska temperatura µ(r; z) je nula na zidu cevi,
a u centru cevi ima neku pozitivnu vrednost. Tada moµzemo zamisliti razvoj
toplotnog graniµcnog sloja duµz površine zida cevi tako da bezdimenzijski tempe-
raturski pro…l µ(r; z) u struji nastavlja da se menja i radijalno i aksijalno sve dok
debljina toplotnog graniµcnog sloja ne dostine osu cevi. Oblast od ulaza u cev
sve do hipotetiµckog mesta gde je toplotni graniµcni sloj dostigao osu cevi naziva
se toplotna ulazna duµzina ili toplotna ulazna oblast. Po analogiji sa razvojem
pro…la brzina, u oblasti iza toplotne ulazne duµzine, bezdimenzijski temperaturski
pro…l µ ne zavisi od nizvodnog poloµzaja z. U oblasti gde se bezdimenzijski
temperaturski pro…l ne menja sa aksijalnom koordinatom, raspored temperatura
‡uida se naziva potpuno razvijeni temperaturski pro…l koji je funkcija samo r
koordinate, tj.
µ(r) =
T (r; z) ¡ Tz (z)
¹T (z) ¡ Tz (z)
: (7.23)
U gornjoj diskusiji smo, po analogiji sa razvojem pro…la brzina, kvalitativno
raspravljali o egzistenciji toplotne razvijene oblasti u cevi pri izvesnim graniµcnim
uslovima na zidu cevi kao što su konstantna gustina toplotnog protoka ili jedno-
lika temperatura. Me†utim, egzistencija potpuno razvijenog pro…la temperatura
µ (r), kao što je de…nisano jednaµcinom (7.23), moµze se i matematiµcki dokazati
razmatranjem asimptotskog rešenja za µ(r; z) u oblastima cevi dovoljno udalje-
nim od ulaza.
Kasnije u ovom poglavlju, u analizi prenosa toplote sa ‡uida koji struji u
cevi, koristi´cemo koncept potpuno razvijenog pro…la temperatura de…nisanog
jednaµcinom (7.23), a sada ´cemo matematiµcki pokazati ispravnost tvrdnje da
takav pro…l µ(r) ne zavisi od aksijalne koordinate z.
Zamislimo da ‡uid jednolike temperature T0 ulazi, na ishodištu aksijalne
koordinate z = 0, u cev kruµznog preseka, radijusa R, µciji se zid odrµzava na
jednolikoj temperaturi Tz. Ako se ovaj problem reši za ravan pro…l brzine (tj.
nepromenljivu brzinu w po popreµcnom preseku cevi), uz zanemarivanje aksi-
jalnog provo†enja i viskozne disipacije, nalazi se rešenje za temperatursko polje
T(r; z) ‡uida u obliku
T (r; z) ¡ Tz
T0 ¡ Tz
= 2
1X
n=1
J0 (¹nr)
¹nRJ1 (¹nr)
exp
µ
¡
a¹2
nz
w
¶
; (7.24)
gde su: a temperaturska provodljivost ‡uida; J0(¢) i J1(¢) Bessel-ove funkcije
prve vrste nultog i prvog reda, respektivno, a ¹n su sopstvene vrednosti – koreni
jednaµcine
J0 (¹nR) = 0: (7.25)
µZelimo da pokaµzemo da µ dato sa (7.23) ne zavisi od z u oblastima udaljenim
od ulaza u cev. U takvim oblastima, tj. tamo gde z ima velike vrednosti,
dovoljan je samo prvi µclan reda u (7.24) za opisivanje rasporeda temperatura.
37. DRAFT7.3. LAMINARNO STRUJANJE 185
Zanemarivanjem svih µclanova osim prvog, jednaµcina (7.24) se pojednostavljuje
na
à (r; z) ´
T (r; z) ¡ Tz
T0 ¡ Tz
= 2
J0 (¹1r)
¹1RJ1 (¹1r)
exp
µ
¡
a¹2
1z
w
¶
; (7.26)
gde je ¹1 prva sopstvena vrednost – prvi koren jednaµcine (7.25).
Srednja vrednost funkcije Ã(r; z) po popreµcnom preseku cevi je
¹Ã (z) ´
¹T (z) ¡ Tz
T0 ¡ Tz
=
R R
0 2¼wà (r; z) rdr
R R
0
2¼wrdr
=
2
R2
Z R
0
à (r; z) rdr =
4
R2¹2
1
exp
µ
¡
a¹2
1z
w
¶
: (7.27)
Tada iz jednaµcina (7.26) i (7.27), µ(r) postaje
µ (r) ´
T (r; z) ¡ Tz
¹T (z) ¡ Tz
=
à (r; z)
¹Ã (z)
=
R¹1J0 (¹1r)
2J1 (¹1r)
; (7.28)
što je nezavisno od z kao što smo i tvrdili da mora biti u toplotno razvijenoj
oblasti strujanja.
7.3 PRENOS TOPLOTE I PAD PRITISKA
KOD HIDRODINAMIµCKI I TOPLOTNO
RAZVIJENOG LAMINARNOG
STRUJANJA KROZ CEVI
Problem stacionarnog prenosa toplote laminarnom prinudnom konvekcijom u
oblastima daleko od ulaza u cevi i kanale je od interesa u brojnim praktiµcnim
situacijama. Analiza takvih problema za jednostavne geometrijske oblike struj-
nih prostora, kao što su unutrašnjost cevi kruµznog preseka ili kanali sa dva pa-
ralelna zida, je relativno laka jer se i pro…l brzina i pro…l temperatura smatraju
potpuno razvijenim. U ovom odeljku ´cemo odrediti rasporede brzina i tem-
peratura za hidrodinamiµcki i toplotno razvijeno laminarno prinudno strujanje
unutar cevi kruµznog preseka za sluµcaj da se jednolika gustina toplotnog protoka
dovodi na zid cevi. Pomo´cu na†enog rasporeda brzina odredi´cemo faktor trenja
f koji se koristi u izraµcunavanju pada pritiska pri strujanju kroz cevi. Znaju´ci
raspored temperatura odredi´cemo koe…cijent prelaza toplote ® u toplotno pot-
puno razvijenoj oblasti cevi za sluµcaj konstantne gustine toplotnog portoka na
zidu. Posebno ´cemo sada opisati detalje ove analize.
7.3.1 Raspored brzina
Posmatrajmo laminarno strujanje nestišljivog ‡uida konstantnih svojstava unu-
tar cevi kruµznog popreµcnog preseka u oblastima dovoljno udaljenim od ulaza
38. DRAFT186 GLAVA 7. PRINUDNA LAMINARNA KONVEKCIJA
tako da se pro…l brzina moµze smatrati potpuno razvijenim. U hidrodinamiµcki
potpuno razvijenoj oblasti strujanja radijalna komponenta brzine vr je nula.
Ovom µcinjenicom se znatno pojednostavljuje jednaµcina kontinuiteta (6.48) i jed-
naµcine kretanja (6.49)–(6.50) za laminarno strujanje kroz kruµzno-cilindriµcnu cev.
Za vr = 0, jednaµcina kontinuiteta (6.48) postaje
@u
@z
= 0; (7.29)
gde smo vz iz jednaµcine (6.48) zamenili sa oznakom u. Jednaµcina (7.29) tvrdi
da aksijalna komponenta brzine ne zavisi od z, tj. imamo da je u = u(r).
Jednaµcina kretanja u r pravcu (6.49) nam nije ni potrebna u analizi jer je
vr = 0.
Jednaµcinu kretanja u z pravcu (6.50) ´cemo pojednostaviti koriš´cenjem gor-
njih µcinjenica uz pretpostavku da na ‡uid ne neluju nikakve zapreminske sile.
Dakle, stavljaju´ci vr = 0, Fz = 0 te prime´cuju´ci da je @vz=@z = 0, @2
vz=@z2
= 0
i zamenom vz sa u, jednaµcina (6.50) postaje
¡
dp
dz
+
¹
r
d
dr
µ
r
du
dr
¶
= 0; (7.30)
što se moµze prepisati u obliku
1
r
d
dr
µ
r
du
dr
¶
=
1
¹
dp
dz
; u 0 · r · R; (7.31)
gde je R unutrašnji polupreµcnik cevi. Graniµcni uslovi za ovu jednaµcinu su
u = 0; na r = R; (7.32)
i µcinjenica da u mora ostati konaµcno u osi (r = 0) cevi. (Zbog simetrije oko ose
cevi dopustiv je graniµcni uslov du=dr = 0 na r = 0; on dovodi do istog rezultata
kao i uslov da u ostane konaµcno na r = 0).
Rešenje jednaµcine (7.31) za konstantno 1
¹
dp
dz i za gornje graniµcne uslove daje
pro…l brzine u(r) u potpuno razvijenoj oblasti strujanja:
u (r) = ¡
µ
1
4¹
dp
dz
¶
R2
·
1 ¡
³ r
R
´2
¸
: (7.33)
Ovde je brzina u(r) uvek pozitivna veliµcina jer je za strujanje u pozitivnom
z pravcu gradijent pritiska dp=dz negativan.
Srednja brzina strujanja ¹u po popreµcnom preseku cevi odre†uje se iz de…nicije
¹u =
R R
0
2¼u (r) rdr
R R
0
2¼rdr
=
2
R2
Z R
0
u (r) rdr = ¡
R2
8¹
dp
dz
; (7.34)
jer je u(r) dato jednaµcinom (7.33).
39. DRAFT7.3. LAMINARNO STRUJANJE 187
Iz jednaµcina (7.33) i (7.34) nalazimo
u (r)
¹u
= 2
h
1 ¡ (r=R)2
i
: (7.35)
Ova jednaµcina pokazuje da je, za potpuno razvijeno laminarno strujanje kroz
cev kruµznog preseka, raspored brzina po preseku cevi paraboliµcan.
Iz jednaµcine (7.33), stavljanjem r = 0, moµzemo dobiti brzinu u0 u osi cevi:
u0 = ¡
µ
1
4¹
dp
dz
¶
R2
; (7.36)
a kombinuju´ci ovu jednaµcinu sa jednaµcinom (7.33) nalazimo
u (r)
u0
= 1 ¡ (r=R)2
: (7.37)
Upore†enjem rezultata (7.34) i (7.36) zakljuµcuje se da je brzina u osi cevi
jednaka dvostrukoj srednjoj brzini ‡uida, tj.
u0 = 2¹u: (7.38)
7.3.2 Faktor trenja
Za strujanje u cevima faktor trenja f se de…niše sa
f = ¡
dp=dz
¡1
2 ½¹u2
¢
=D
(7.39)
gde je D preµcnik cevi. Zamenom dp=dz iz jednaµcine (7.34) u jednaµcinu (7.39)
nalazi se da je faktor trenja
f = 64
¹
½¹uD
=
64
Re
; (7.40)
gde je
Re = ½¹uD=¹ = ¹uD=º – Reynolds-ov broj: (7.41)
Faktor trenja u jednaµcini (7.39) je de…nisan preko unutrašnjeg preµcnika cevi.
U literaturi se sre´ce i u praksi koristi i faktor trenja koji je de…nisan preko
hidrauliµckog radijusa. Ako je fr faktor trenja zasnovan na hidrauliµckom radijusu
njegova vrednost je µcetiri puta manja od faktora trenja f: f = 4fr. Drugim
reµcima, jednaµcina (7.30a) se moµze zapisati i kao fr = f=4 = 64=(4 Re) = 16= Re
gde je Re dato sa (7.40). Ovaj rezultat se µcesto zove Hagen-Poiseuille-ova relacija
za faktor trenja u cevima jer su Hagen-ovi eksperimentalni podaci2
kasnije bili
teorijski potvr†eni Poiseuille-ovim istraµzivanjima.3
2 Hagen, G., Über die Bewegung des Wassers in engen Zylindrischen Röhren, Pogg. Ann.,
Vol. 46, 1839. s. 423.
3 Poiseuille, J., Recherches experimentalles sur le mouvement des liquides dans les tubes
de tres petits diametres, C. R. Vol. 11, 1840, s. 961.
40. DRAFT188 GLAVA 7. PRINUDNA LAMINARNA KONVEKCIJA
Opišimo sada kako se koristi faktor trenja u izraµcunavanju pada pritiska za
potpuno razvijeno strujanje u cevima. Nak su p1 i p2 pritisci u cevi na mestima
z1 i z2, respektivno. Ako jednaµcinu (7.39) integralimo u ovim granicama:
p2Z
p1
dp = ¡f
½¹u2
2D
z2Z
z1
dz;
dobijamo pad pritiska
¢p = f
L
D
½
¹u2
2
[N/m2
]; (7.42)
gde je ¢p = p1 ¡ p2 i L = z2 ¡ z1.
Dakle, pad pritiska ¢p u cevi kriµcnog preseka preµcnika D i duµzine L, pri
laminarnom strujanju ‡uida gustine ½ srednjom brzinom ¹u, moµze se izraµcunati
iz jednaµcine (7.42) ako je poznat faktor trenja f. Treba naglasiti da je faktor
trenja f, dat jednaµcinom (7.40) primenjiv jedino za potpuno razvijeno laminarno
strujanje u cevima kruµznog preseka, tj. Reynolds-ove brojeve Re = ¹uD=º <
2100. Teorijske relacije za faktor trenja kod potpuno razvijenog laminarnog
strujanja kroz kanale pravougaonog preseka izveli su Cornish4
i Lea i Tadros5
,
a ti rezultati se mogu na´ci i u drugoj literaturi6
.
Primer B. Ulje na sobnoj temperaturi (½ = 897 kg/m3
, º = 5¢10¡5
m2
/s) teµce
srednjom brzinom ¹u = 0:4 m/s kroz cev kruµznog preseka. Odrediti pad pritiska
na duµzini L = 30 m cevi u oblasti daleko od ulaza ako je unutrašnji preµcnik
cevi: a) 12.7 mm; b) 25.4 mm.
Rešenje. Pad pritiska ¢p za strujanje u cevi odre†uje se prema jednaµcini (7.42):
¢p = f L
D ½ ¹u2
2 gde je faktor trenja f za laminarno strujanje dat jednaµcinom
(7.40): f = 64
Re i Re = ¹uD=º.
a) Za D = 12:7 mm je Re = 0:4£12:7£10¡3
5£10¡5 = 101:6, što znaµci da je strujanje
laminarno pa je f = 64=101:6 = 0:0630 i ¢p = 0:630 30
12:7£10¡3 8970:42
2 = 1:068 £
105
N/m2
.
b) Za D = 25:4 mm odgovaraja´ci rezultati su Re = 0:4£25:4£10¡3
5£10¡5 = 203:2 <
2100; f = 64=203:2 = 0:315 i ¢p = 0:315 30
25:4£10¡3 8970:42
2 = 2:67 £ 104
N/m2
.
Zapaµzamo da se pove´canjem preµcnika cevi za dva puta, pad pritiska smanjuje za
µcetiri puta. Ovo je oµcigledno iz ¢p = 64
Re
L
D ½ ¹u2
2 = 64º
¹uD
L
D ½ ¹u2
2 = 64º L
D2 ½ ¹u
2 » 1
D2 ,
tj. pad pritiska je obrnuto proporcionalan kvadratu preµcnika cevi.
4 Cornish, R. J., Flow in Pipe of Rectangular Cross-Section, Proc. R. Soc. London, Ser.
A, Vol. 120, 1928, s. 691-700.
5 Lea, F. C. i Tadros, A. G., C.VI. Flow of Water Through a circular tube with a Central
core and through Rectangular tubes, Philos. Mag., Vol. 11, 1931, s. 1235–1247.
6 Knudsen, J. G. i Katz, D. L. Fluid Dynamics and Heat Transfer, McGraw- Hill Book
Comp., New York, 1958.
42. DRAFT190 GLAVA 7. PRINUDNA LAMINARNA KONVEKCIJA
Konstantna gustina toplotnog protoka _qz na zidu cevi je povezana sa razlikom
temperature zida i srednje temperature ‡uids preko koe…cijenta prelaza toplote
a na sledeci nacin
_qz = ®
¡
Tz ¡ ¹T
¢
= const. (7.49)
Za konstantno ® zakljucujemo da je i
¡
Tz ¡ ¹T
¢
= const. (7.50)
te diferenciranjem ove relacije po z nalazimo da je
d
dz
¡
Tz ¡ ¹T
¢
= 0. (7.51)
ili
dTz
dz
=
d ¹T
dz
= const. (7.52)
jer je _qz = const. Zamenom jednaµcine (7.51) i (7.48) dobijamo
@
@z
(T ¡ Tz) = 0; (7.53)
ili
@T
@z
=
dTz
dz
: (7.54)
Iz jednaµcina (7.52) i (7.54) dobijamo
@T
@z
=
dTz
dz
= const.
što je jednaµcina (7.46) koju smo µzeleli da dokaµzemo.
Zamenom jednaµcine (7.46) u (7.43) i primetivši da je @2
T=@z2
= 0 za kon-
stantno @T=@/z iz jednaµcine (7.46), dobijamo slede´cu obiµcnu diferencijalnu jed-
naµcinu za odre†ivanje temperature ‡uida:
1
a
u(r)
d ¹T
dz
=
1
r
d
dr
µ
r
dT
dr
¶
u 0 · r · R: (7.55)
Radijalni raspored brzina u(r) u ovoj jednaµcini je, na osnovu (7.35):
u (r) = 2¹u
h
1 ¡ (r=R)2
i
: (7.56)
Prethodne jednaµcine mogu se kompaktnije zapisati u obliku
d
dr
µ
r
dT
dr
¶
= Ar
h
1 ¡ (r=R)
2
i
u 0 · r · R: (7.57)
43. DRAFT7.3. LAMINARNO STRUJANJE 191
gde smo konstant A de…nisali sa
A ´
2¹u
a
d ¹T (z)
dx
= const. (7.58)
Graniµcni uslovi za jednaµcinu (7.57) su
dT
dr
= 0 na r = 0; (7.59)
T ´ Tz (z) na r = R: (7.60)
Prvi od ovih graniµcnih uslova je uslov simetrije oko ose cevi r = 0. Drugi
graniµcni uslov tvrdi da je temperatura ‡uida jednaka temperaturi Tz(z) na
površini zida. Ovde je Tz(z) nepoznata veliµcina, ali to je u narednoj analizi
nevaµzno jer nama ustvari treba rezultat o razlici temperature ‡uida i površine
zida.
Integracija jednaµcine (7.57) jednom, uz primenu graniµcnog uslova (7.59) daje
dT
dr
= A
µ
r
2
¡
r3
4R2
¶
: (7.61)
Kada se ovaj rezultat integrali i primeni graniµcni uslov (7.60) dobija se tem-
peratura ‡uida T(r; z) u obliku
T (r; z) ¡ Tz (z) = ¡AR2
·
3
16
¡
1
4
³ r
R
´2
+
1
16
³ r
R
´4
¸
: (7.62)
Iz temperarurskog polja (7.62) moµzemo sada odrediti srednju temperaturu
‡uida ¹T(z) po popreµcnom preseku cevi. De…nicija srednje temperature ¹T ‡uidnog
toka u cevi polupreµcnika R, je
¹T =
RR
0
½u (r) cpT (r) 2¼rdr
RR
0
½u (r) cp2¼rdr
: (7.63)
Imenilac ovog izraza predstavlja integrisani (po popreµcnom preseku cevi)
proizvod masenog protoka i speci…µcne toplote, a brojilac je ukupan protok ener-
gije koji protiµce kroz popreµcni presek cevi. Za konstantna svojstva ‡uida, tj.
½ = const. i cp = const., jednaµcina (7.63) se svodi na
¹T =
RR
0
u (r) T (r) rdr
RR
0
u (r) rdr
: (7.64)
44. DRAFT192 GLAVA 7. PRINUDNA LAMINARNA KONVEKCIJA
Ako po istom postupku usrednjimo i raspored temperatura (7.62) dobi´cemo:
¹T (z) ¡ Tz (z) =
RR
0
2¼ru (r) [T (r; z) ¡ Tz (z)] dr
RR
0
2¼ru (r) dr
=
1
¼r2 ¹u
RZ
0
2¼ru (r) [T (r; z) ¡ Tz (z)] dr ; (7.65)
gde smo iskoristili de…niciju srednje brzine ¹u u datu jednaµcinom (7.34). U jed-
naµcini (7.65) streba staviti T(r; z) ¡ Tz(z) iz jednaµcine (7.62) i u(r) iz jednaµcine
(7.35). Tako se dobija
¹T (z) ¡ Tz (z) = ¡4A
RZ
0
r
µ
1 ¡
r2
R2
¶ µ
3
16
¡
1
4
r2
R2
+
1
16
r4
R4
¶
dr; (7.66)
a nakon izvršene integracije po r, dobija se
¹T (z) ¡ Tz (z) = ¡
11
48
A
R2
2
; (7.67)
gde još treba odrediti konstantu A. Ova konstanta se moµze povezati sa gustinom
toplotnog protoka _qz na zidu:
_qz(z) = ¸
dT
dr
¯
¯
¯
¯
r=R
; (7.68)
jer iz (7.45) sledi da je
dT
dr
¯
¯
¯
¯
r=R
=
AR
4
; (7.69)
te iz ove dve jednakosti proizilazi
A =
4 _qz
¸R
: (7.70)
Ovim rezultatom su temperatursko polje (7.62) i srednja razlika temperatura
(7.67) potpuno odre†eni. Me†utim, kao krajnji rezultat za praktiµcnu primenu,
nas, pre svega, interesuje koe…cijent prelaza toplote ili Nusselt-ov broj za ovo
strujanje. Pre nego što pre†emo na njegovo odre†ivanje zapazimo još da iz (7.70)
i (7.58) sledi da se srednja temperatura ‡uida u toplotno razvijneoj oblasti menja
linearno sa aksijalnom koordinatom z prema zakonu
¹T (z) =
2 _qz
½cp ¹uR
z + const.
45. DRAFT7.3. LAMINARNO STRUJANJE 193
I temperatura zida se ovom problemu menja linearno duµz izvodnica cevi, što
sledi iz prethodnog rezultata i jednaµcine (7.67).
Tz (z) =
2 _qz
½cp¹u
µ
z
R
+
11
48
R¹u
a
¶
+ const.
7.3.4 Nusselt-ov broj
Koe…cijent prelaza toplote a izme†u ‡uida i zida cevi sledi iz
¡¸
dT
dr
¯
¯
¯
¯
r=R
= ®
£
¹T (z) ¡ Tz (z)
¤
; (7.71)
ili
® = ¡
¸
¹T (z) ¡ Tz (z)
dT
dr
¯
¯
¯
¯
r=R
: (7.72)
Zamenom rezultata (7.67) i (7.69) u (7.72) dobija se koe…cijent prelaza toplote
® =
48
11
¸
D
; (7.73)
gde je D = 2R unutrašnji preµcnik cevi.
Ovaj rezultat je lako napisati u bezimenzijskom obliku preko Nusselt-ovog
broja:
Nu =
®D
¸
=
48
11
= 4:364: (7.74)
Prema tome, kod laminarnog strujanja kroz cevi kruµznog popreµcnog preseka
u toplotno razvijenoj oblasti pri konstantnoj gustini toplotnog protoka na zidu,
Nusselt-ov broj je konstantan i iznosi 48/11.
7.3.5 Nusselt-ov broj za druge geometrije strujnog
prostora i druge graniµcne uslove
U prethodnom primeru razmotirli smo prenos toplote u toplotno potpuno razvi-
jenoj oblasti laminarnog strujanja kroz cev kruµznog preseka i pri graniµcnom
uslovu _qz = const. na zidu cevi. Na sliµcan naµcin se analiza moµze proširiti i na
odre†ivanje Nusselt-ovog broja za sluµcaj da je zadata jednolika temperatura zida
kao graniµcni uslov. U literaturi su poznata rešenja za oba graniµcna uslova ne
samo za kruµzne, nego i za kvadratne, pravougaone, trougaone i druge popreµcne
preseke cevi i kanala. µCitalac moµze konsultovati posebne monogra…je7
za de-
taljnu diskusiju takvih rešenja. U tabeli 7.1. prikazujemo Nusselt-ove brojeve za
laminarno strujanje u toplotno potpuno razvijenoj oblasti u cevima i kanalima
7 Videti na primer: Shah, R. K. i London, A. L., Laminar Flow Forced Convection in
Ducts, Academic Press, New York, 1978.
46. DRAFT194 GLAVA 7. PRINUDNA LAMINARNA KONVEKCIJA
razliµcitog preseka i to kako za graniµcni uslov sa _qz = const. tako i za graniµcni
uslov Tz = const. U toj tabeli je Nusselt-ov broj de…nisan preko ekvivalentnog
preµcnika:
Nu =
®De
¸
; (7.75)
gde je ekvivalentni preµcnik
De =
4 £ (površina popreµcnog preseka strujnog prostora)
okvašeni obim
(7.76)
Tabela 7.1. Nusselt-ovi brojevi za laminarnu prinudnu konvekciju u cevima i
kanalia razliµcitih preseka za potpuno razvijene pro…le brina i tempratura
(prema Shah-u i London-u – videti fusnotu na prethodnoj strani).
Oblik popreµcnog Nu Nu
Nuq
NuT
preseka (L=De > 100) za _qz = const. za Tz = const.
3.014 2.39 1.26
3.111 2.47 1.26
3.608 2.976 1.21
4.002 3.34 1.20
4.123 3.391 1.22
4.364 3.657 1.19
5.331 4.439 1.20
6.490 5.597 1.16
8.235 7.541 1.09
5.385 4.841 1.11
47. DRAFT7.4. ULAZNA OBLAST 195
Kod cevi kruµznog popreµcnog preseka je, naravno, ekvivalentni preµcnik De jednak
unutrašnjem preµcniku D, tj.
De =
4 £ D2
¼=4
¼D
= D: (7.77)
Primer C. Izraµcunati koe…cijent prelaza toplote za laminarno strujanje ‡uida
¸ = 0:173 W/(m K) kroz cev unutrašnjeg preµcnika 6.35 mm u hidrauliµcki i
toplotno potpuno razvijenoj oblasti za sluµcaj da se zid cevi odrµzava na stalnoj
temperaturi. Tako†e izraµcunati i ukupni toplotni protok razmenjen izme†u zida
cevi i ‡uida na deonici cevi dugoj 7 m ako je srednja razlika temperatura zida i
‡uids ¢T = 55 ±
C.
Rešenje. Iz tabele 7.1. sledi da je u hidrauliµcki i toplotno potpuno razvijenoj
oblasti pri konstanstnoj temperaturi zida, Nusselt-ov broj dat sa Nu = ®D=¸ =
3:657, te je koe…cijent prelaza toplote
® =
3:657¸
D
=
3:657 £ 0:173
6:35 £ 10¡3
= 99:63 W/(m2
K).
Ukupni toplotni ptotok _Q izme†u zida i ‡uida je
_Q = (površina) ®¢T = D¼L®¢T
= 6:35 £ 10¡3
£ ¼ £ 7 £ 99:63 £ 55 = 765:19 W.
7.4 REZULTATI O PRENOSU TOPLOTE
U ULAZNOJ OBLASTI LAMINARNOG
STRUJANJA KROZ CEVI
U prethodnom odeljku pokazali smo da je Nusselt-ov broj konstantan za prenos
toplote laminarnim strujanjem kroz cev u oblasti poptuno razvijenih pro…la
brzina i temperatura. U ulaznoj oblasti cevi, me†utim, analiza je znatno za-
petljanija jer se pro…li i brzine i temperature, u opštem sluµcaju, menjaju i u
radijalnom i u aksijalnom pravcu. Neka pojednostavljenja u analizi prenosa
toplote se mogu posti´ci kada je u cevi obezbe†ena duµzina hidrodinamiµcke stabi-
lizacije pre nego što se cev izloµzi prenosu toplote, jer se pro…l brzine moµze sma-
trati potpuno razvijenim (tj. brzina se ne menja u aksijalnom pravcu ve´c samo
u radijalnom), te preostaje samo aksijalna i radijalna promene temperature.
Za potpuno razvijeni paraboliµcki pro…l brizna u laminarnom strujanju ‡uida
kroz cev kruµznog preseka, za sluµcaj konstantne temperature zida, rešenje prob-
lema prenosa toplote u ulaznoj toplotnoj oblasti prvi je dao Graetz8
po kome je
8 Graetz, L., Über die Wärmeleitfähigkeit von Flüssigkeiten, Ann. Phys., Vol. 25, 1885,
s. 337.
48. DRAFT196 GLAVA 7. PRINUDNA LAMINARNA KONVEKCIJA
ovaj klasiµcni problem i dobio ime. Pored originalnog rada Graetz-ovo rešenje je
diskutovano u mnogobrojnim kasnijim radovima i knjigama9
. Graetz-ov prob-
lem je za cevi kruµznog popreµcnog preseka uopšten i za duge graniµcne uslove
kao što su _qz = const. i linearno promenljiva temperatura zida10
, a uopšten
je i na strujanje izme†u paralelnih ploµca11
. Proširenje originalnog Graetz-ovog
problema na sluµcajeve drugaµcijih popreµcnih preseka je mnogo zamršenije. Kada
je Prandtl-ov broj znatno ve´ci od jedinice, potpuno razvijeni pro…l brzina se
uspostavlja mnogo ranije nego temperaturski pro…l. U takvim situacijama pret-
postavka o potpuno razvijenom pro…lu brzina, kao što se uvodi Graetz-ovim
rešenjem i njemu odgovaraju´cim uopštenjima, dobija svoje potpuno opravdanje.
Na slici 7.4 su prikazani opsezi Prandtl-ovih brojeva za teµcne metale, gasove,
vodu, organske teµcnosti i ulja. Na osnovu ovih podataka proizilazi da su Graetz-
ovo rešenje i njegova uopštenja primenjiva za pretskazivanje prenosa toplote u
ulaznim oblastima laminarnog strujanja ‡uida kao što su ulja za koja je Prandtl-
ov broj visok.
Slika 7.4: Opseg Prandtl-ovih brojeva za razliµcite ‡uide.
U mnogim realnim primenama od interese je prenos toplote u ulaznim oblas-
tima pri simultatom razvoju i pro…la brzina i pro…la temperatura. Analiza
prenosa toplote laminarnim strujanjem u ulaznoj oblasti izme†u dve paralelne
ploµce pri razvoju brzinskih i temperaturskih pro…la sproveo je Sparrow12
. Kays13
je numeriµcki rešio problem prenosa toplote laminarnim strujanjem kroz cev
kruµznog preseka za Pr = 0.7, koriste´ci Langhaar-ov14
pro…l brzina za aksijalni
komponentu uz zanemarivanje radijalne komponente koja ima znaµcaja jedino
vrlo blizu zida. Rezultati koje Kays izraµcunao za ulaznu oblast za Pr = 0.7
prikazani su na slici 7.5, koja daje lokalni Nusselt-ov broj Nuz = ®(z)D=¸ u
funkciji bezdimenzijske aksijalne koordinate (z=D)=(Re Pr).
9 Pored ve´c citiranih knjiga u fusnotama 42 i 43, videti, na primer: Kays, W. M., Convective
Heat and Mass Transfer, McGraw-Hill Book Comp., New York, 1966.; zatim Jakob, M., Heat
Transfer, Vol. 1, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1949.; zatim Eckert, E. R. G. i Drake,
R. M., Analysys of Heat and Mass Tranfer, McGraw-Hill Book Comp., New York, 1972.
10 Sellars, S. M., Tribus, M. i Klein, J. S., Heat Transfer to Laminar Flow in Round Tube
of Flat Plate – The Graetz Problem Extended, Trans. ASME, Vol. 78., 1956. ss. 441–448.
11 Norris, R. H. i Streid, D. D., Laminar-Flow Heat-Transfer Coe¢cient for Ducts, Trans.
ASME, Vol. 62, 1940. s. 525.
12 Sparrow, E. M., NACA Tech. Note 3331, 1955.
13 Kays, W. M., Numerical Solutions for Laminar Flow Heat Transfer in Circular Tubes,
Trans. ASME, Vol. 77, 1955. ss. 1265–1274.
14 Langhar, H. L., Trans. ASME, Vol. 64, A55 (Jornal of Applied Mechanics, Vol. 9) 1942.
49. DRAFT7.4. ULAZNA OBLAST 197
Slika 7.5: Lokalni Nusselt-ov broj prema Kays-ovom rešenju za simultani razvoj
brzinskog i temperaturskog polja kod laminarnog strujanja u cevi kruµznog pre-
seka (Pr = 0.7).
Ovi rezultati su primenjivi jedino za vazduh i sliµcne gasove jer je u reša-
vanju koriš´cena vrednost Pr = 0.7. Na slici 7.5 prikazano je i klasiµcno Graetz-
ovo rešenje za paraboliµcni pro…l brzina i konstantnu temperaturu zida cevi.
Upore†enjem se konstatuje da Graetz-ovo rešenje daje niµze vrednosti koe…ci-
jenta prelaza toplote u ulaznoj oblasti gde se i brzinski i temperaturski pro…l
simultano razvijaju. Za praktiµcne proraµcune je potreban, ne lokalni Nusselt-ov
broj Nuz, nego srednji Nusselt-ov broj Nu na odre†enoj duµzini od z = 0 do
z = L. Srednja vrednost Nusslet-ovog broja de…niše se sa
Nu =
1
L
z = LZ
z = 0
Nuzdz: (7.78)
Slika 7.6 prikazuje srednji Nusselt-ov broj Nu, prema Kays-ovom rešenju, u
funkciji parametra (z=D)=(Re Pr) za sluµcaj razvoja brzinskih i temperaturskih
pro…la pri Pr = 0.7. Eksperimentalni podaci Kays-a su u dobroj saglasnosti15
sa ovim rezultatima numeriµckog rešavanja. Asimptotska vrednost Nusselt-ovog
broja na slikama 7.5 i 7.6 je 3.657 za sluµcaj konstantne temperature zida, što
je isti rezultat kao u Tabeli 7.1 za strujanje kroz cev kruµznog preseka u oblasti
potpuno razvijenih pro…la brzina i temperatura. Asimptotska vrednost Nusselt-
ovog broja za sluµcaj konstantne gustine toplotnog protoka je 4.364. Toplotna
ulazna duµzina za laminarno strujanje u kruµznoj cevi moµze se pribliµzno oceniti iz
z=D
Re Pr
»= 0:05; (7.79)
15 Kays, W. M., Stanford University, Department of Mechanical Engineering Tehnical Re-
port No. 17, Navy Contract N6-Onr251, Aug. 15., 1953.
50. DRAFT198 GLAVA 7. PRINUDNA LAMINARNA KONVEKCIJA
Slika 7.6: Srednji Nusselt-ov broj prema Kays-ovim rezultatima za simultani
razvoj pro…la brzina i temperature u laminarnoj struji kroz cev kruµznog preseka
(Pr = 0.7).
te se za oblast z=D > 0:05 Re Pr moµze upotrebiti asimptotska vrednost Nusselt-
ovog broja za odre†ivanje lokalnog koe…cijenta prelaza toplote u cevi. Na primer,
za gasove sa Pr ¼ 1 koji struje pri Re = 500 potrebna je duµzina z = 25D da
se dobije potpuno razvijeni temperaturski pro…l, dok za ulje sa Pr = 100 koji
struji pri Re = 500, za isto je potrebna sto puta ve´ca duµzina toplotne stabilizacije
(z = 2500D). Zato se u toplotnim razmenjivahima sa uljem veoma teško postiµze
potpuno razvijeni temparaturski pro…l.
Za toplotnu ulaznu oblast Hausen16
je Graetz-ovo rešenje, za paraboliµcni
pro…l brzina i konstantnu temperaturu zida, dao slede´cu formulu za srednji
Nusselt-ov broj
Nu = 3:66 +
0:0668D
z Re Pr
1 + 0:04
¡D
z Re Pr
¢2
3
; (7.80)
gde je Nu = ¹®D=¸, Re = ¹uD=º, a D je unutrašnji preµcnik cevi. Ova jednaµcina
je korisna za viskozne ‡uide kao što su ulja µcija strujanja zahtevaju dugaµcke
toplotne ulazne oblasti i aproksimira koe…cijent prelaza toplote u takvoj ulaznoj
oblasti. U jednaµcini (7.80), a i kao argument dijagrama na slikama 7.5 i 7.6
pojavljuje se bezdimenzijska grupa RePr(D=z) koja se naziva Graetz-ov broj:
Gz ´ Re Pr D=z:
Svi gore dati rezultati o prenosu toplote zasnovani su na analizi koja pod-
razumeva da se termo…ziµcka svojstva ‡uida ne menjaju sa temperaturom. Ako se
viskoznost ‡uida bitno menja od zida cevi do ose laminarne struje zbog velikih
temperaturskih razlika, pro…l brzina ´ce se promeniti kao što je skicirano na
slici 7.7. Drugim reµcima, ako je raspored temparatura u ‡uidnoj struji takav
16 Nausen, H. Verfahrenstechnik Beih. Z. Ver. Heut. Ing., Vol. 4, 1943. ss 91–98.
51. DRAFT7.4. ULAZNA OBLAST 199
da je viskoznost blizu zida viša nego u osi cevi, potpuno razvijeni pro…l brzi-
na za konstantnu viskoznost ´ce se deformisati na takav naµcin da se brzine u
okolini ose cevi pove´caju, a smanje se one u blizini zida. Razlog ovome je to što
se pove´cavanjem viskoskoznosti pove´cava otpor strujanju koji smanjuje brzinu.
Viskoznost teµcnosti opada sa porastom temperature ali viskoznost gasova raste
sa porastom temperature. Zato je kod zagrevanja hladne teµcnosti toplim zidom
viskoznost ‡uida u blizini zida manja nego u osi cevi, ali je situacija potpuno
obrnuta kod gasova.
Slika 7.7: Deformacije potpuno razvijenog pro…la brzina zbog promene
viskoznosti. Kriva 1: potpuno razvijeni pro…l brzina za konstantnu viskoznost.
Kriva 2: zid greje teµcnost ili hladi gas. Kriva 3: zid hladi teµcnost ili greje gas.
Podaci o prelazu toplote dobijeni pod pretpostavkom o konstatnosti svojs-
tava ‡uida koriguju se obiµcno empirijskim korelacijam da bi se ukljuµcili efekti
promene viskoznosti sa temperaturom. Za teµcnosti se korektura srednjeg Nusselt-
ovog broja, dobijenog za osobine na stalnoj temperaturi, vrši se mnoµzenjem sa
faktorem (¹f =¹z)0:14
, tj.
Nu = Nukonstantne osobine(¹f =¹z)0:14
; (7.81)
gde je ¹f viskoznost ‡uida na srednjoj temperaturi ¹T ‡uida, a ¹z je viskoznost
‡uida na temperaturi zida Tz.
Kod gasova je ovakav tip korekture neznatniji jer im je porast viskoznosti
sa temperaturom blag. Studiju prenosa toplote unutrašnjim strujanjem gasa uz
uzimanje u obzir promenljivih svojstava izvršili su Swearingen i McEligot17
.
Primer D. Etilen-glikol struji, na srednjoj temperaturi 16 ±
C, srednjom brzi-
nom 0.6 m/s kroz cev unutrašnjeg preµcnika 6 mm µciji se zid odrµzava na stalnoj
temperaturi 38 ±
C. Odrediti srednji koe…cijent prelaza toplote na prvih 1.5 m
duµzine cevi.
17 Swearingen, T. W. i McEligot, D. M., Internal Laminar Heat Transfer with Gas-
Property Variation, Trans. ASME, Journa of Heat Transfer, Series C, Vol. 93, 1971. ss.
432–440.
52. DRAFT200 GLAVA 7. PRINUDNA LAMINARNA KONVEKCIJA
Rešenje. Traµzeni koe…cijent prelaza toplote moµze se odrediti pomo´cu jednaµcine
(7.80) uz korekturu (7.81) zbog promene viskoznosti. Tako imamo
Nu = 3:66 +
0:0668D
z Re Pr
1 + 0:04
¡D
z Re Pr
¢2
3
µ
¹f
¹z
¶0:14
:
Fizµcka svojstva etilen-glikola su:
– na ¹t = 16±
C: ¹f = 25:67 £ 10¡3
kg/(m s)
¸ = 0:292 W/mK
½ = 1100:5 kg/m3
Pr = 204
– na tz = 38 ±
C: ¹z = 10:38 £ 10¡3
kg/(m s)
Reynolds-ov broj je
Re =
½¹uD
¹f
=
1100:5 £ 0:6 £ 6 £ 10¡3
25:67 £ 10¡3
= 154:34
pa je srednja vrednost Nusselt-ovog broja
Nu =
2
6
43:66 +
0:06686£10¡3
1:5 154:34 £ 204
0:04
³
6£10¡3
1:5 154:34 £ 204
´2
3
3
7
5
µ
25:67
10:38
¶0:14
= 8:92:
Srednji koe…cijent prelaza toplote je
¹® = Nu
¸
D
= 8:92
0:292
6 £ 10¡3
= 434:11 W/(m2
K):
7.5 PRENOS TOPLOTE U TEµCNIM METAL-
IMA KOD LAMINARNOG STRUJANJA
KROZ CEVI
Prenos toplote teµcnim metalima zahteva posebno razmatranje zbog njihove vi-
soke toplotno provodljivosti te vrlo malih Prandtl-ovih brojeva koji se pribliµzno
kre´cu od 0.003 do 0.03. Kao najpodesniji za potrebe prenosa toplote najµceš´ce
se koeriste teµcni metali sa niskim taµckama topljenja kao što su litijum, na-
trijum, kalijum, µziva, bizmut, olovo i legure natrijum-kalijum i olovo-bizmut.
U praktiµcnoj primeni njihova viskoa toplotna provodljivost predstavlja glavnu
prednost jer se velike koliµcine toplote mogu preneti na visokim temperaturama
uz relativno malu razliku temperatura zida i ‡uida. U tabeli 7.2 su prikazana
termo…ziµcka svojstva nekih uobiµcajeno primenjivanih teµcnih metala. Kako je
razlika izme†u taµcke kljuµcanja i taµcke topljenja dovoljno velika (tj. 550 ±
C i
više, osim god µzive), oni se mogu upotrebljavati kao medijum za prenos toplote
53. DRAFT7.6. ZADACI 201
u širokom opsegu temperatura na praktiµcno atmosferskom pritisku. Upravo iz
tih razloga je znatan interes za primenu teµcnih metala kao “nosioca toplote”
u nuklearnim reaktorima i mnogim drugim visokotemperaturnim ure†ajima sa
intenzivnim gistinama toplotnih protoka.
Kako je Prandtl-ov broj kod teµcnih metala znatno manji od jedinice, tem-
peraturski pro…l se uspostavlja mnogo brµze nego pro…l brzina. Zbog velike
toplotne provodljivosti postaje vaµzna aksijalna komponenta toplotnog protoka
provo†enjem te se u analzi ne moµze zanemariti. Eksperimentalnim ispitivan-
jima18
Nusselt-ovih brojeva za µzivu i eutektik olova i µzive u laminarnom toku
kroz cevi kruµznog preseka izmerene su znatno niµze vrednosti Nusselt-ovog broja
od asimptotske vrednosti Nu = 4.365 za obiµcne teµcnosti pod uslovom _qz =
const. Merenja intenziteta prelaza toplote u laminarnoj oblasti su pokazala ra-
zliµcite rezultate kod razliµcitih istraµzivaµca. Razmatrana je µcinjenica nekvašenja
µcvrstih površina nekim teµcnim metalima kao mogu´ci razlog što su vrednosti ko-
e…cijenta prelaza toplote za teµcne metale niµze od teorijskih predskazivanja. Po
ovom pitanju su mišljenja podeljena i u literaturi se još nije našlo zadovoljava-
ju´ce objašnjenje.
Tabela 7.2. Termo…ziµcka svojstva nekih teµcnih metala.
Taµcka Taµcka Temperatura cp ¹£103 ¸ ½ Pr
Metal topljenja kljuµcanja pri 1 bar
±C ±C ±C kJ/(kg K) kg/(m s) W/(m K) kg/m3
Bizmut 271.1 1477 315.6 0.144 1.62 16.4 10120 0.014
537.8 0.155 1.10 15.6 9729 0.011
760.0 0.165 0.79 15.6 9467 0.008
Olovo 327.2 1737 371.1 0.159 2.40 16.1 10540 0.024
704.4 0.155 1.37 14.9 10140 0.014
Litijum 178.9 1317 204.4 4.354 0.64 46.4 506 0.051
537.8 4.187 0.34 30.5 474 0.048
µZiva –38.9 357 10.0 0.138 1.59 8.1 13568 0.027
315.6 0.140 0.86 14.0 12847 0.008
Kalijum 63.9 760 426.7 0.766 0.21 39.5 738 0.0041
760.0 0.783 0.13 31.1 665 0.0033
Natrijum 97.8 883 204.4 1.340 0.45 80.8 908 0.0075
760.0 1.269 0.18 56.6 764 0.0039
NaK (22 % Na, 18.9 826 93.3 0.946 0.49 24.4 849 0.019
78 % K) 760.0 0.883 0.146 690
NaK (56 % Na, –11.1 784 93.3 1.130 0.58 25.6 887 0.026
44 % K) 760.0 1.042 0.16 28.9 740 0.058
7.6 ZADACI
I 7.1. Odrediti najve´ci porast temperature u mazivom ulju [¹ = 0:22 Pa
s, ¸ = 0:15 W/(m K)] izme†u rukavca i njegovog leµzišta za rotacionu brzinu
u1 = 10 m/s kada se površine rukavca i leµzišta odrµzavaju na istoj temperaturi.
I 7.2. Mazivo ulje viskoznosti ¹ i toplotne provodljivosti ¸ ispunjava zazor
L izme†u rukavca i leµzišta. Odrediti izraz za raspored temperatura u uljnom
…lmu usvojivši da se površina leµzišta odrµzava na jednolikoj temperaturi T0, te
18 Johnson, H. A., Hartnett, J. P. i Clabauh, W. J., ASME paper 53-A-188, 1953.
54. DRAFT202 GLAVA 7. PRINUDNA LAMINARNA KONVEKCIJA
da nema prenosa toplote na rukavac pri brzini rotacije u1. Tako†e, odrediti
izraz za gustinu toplotnog protoka na površini leµzišta.
I 7.3. U zadatku 7.2. odrediti najve´ci porast temperature ulja i gustinu
toplotnog protoka na površini leµzišta za rukavac preµcnika 100 mm koji se obr´ce
1800 obrta u minuti. Ulje ima slede´ca svojstva: ¹ = 0:15 Pa s, ¸ = 0:15 W/(m
K).
I 7.4. Ulje (º = 5¢10¡4
m2
/s) ispunjava prostor izme†u dve velike horizontalne
ploµce razmaknute za 10 mm. Odrediti smicajni napon u ulju, ako se gornja ploµca
kre´ce brzinom 1:2 m/s, dok je donja nepokretna.
I 7.5. Ulje (¹ = 0:3 Pa s, ½ = 880 kg/m3
) struji kroz cev unutrašnjeg preµcnika
12 mm, brzinom 0.9 m/s. Odrediti pad pritiska na duµzini cevi od 60 m.
I 7.6. Odrediti koe…cijent prelaza toplote za razvijeno laminarno strujanje
‡uida [¸ = 0:14 W/(m K)] unutar cevi sa jednolikom temperaturom zida. Raz-
motriti sluµcajeve kada je strujanje u:
a) cevi kruµznog popreµcnog preseka unutrašnjeg preµcnika 12 mm,
b) kanalu kvadratnog popreµcnog preseka sa duµzinom stranice 12 mm i
c) kanalu sa popreµcnim presekom u obliku jednakostraniµcnog trougla, duµzine
stranice 12 mm.
I 7.7. Za strujanje ‡uida razmatrano u zadatku 7.6. odrediti toplotni pro-
tok kroz cev duµzine 3 m, za svaki od tri navedena sluµcaja, ukoliko je srednja
temperaturska razlika izme†u ‡uida i zida cevi ¢T = 180±
C.
I 7.8. Ulje temperature 20±
C, srednje brzine 0.6 m/s, ulazi u cev unutrašnjeg
preµcnika 12 mm i duµzine 1.5 m. Cev je na jednolikoj temperaturi od 65 ±
C.
Odrediti porast temperature ‡uida na izlasku iz cevi. Svojstva ‡uida su: ¹ =
0:022 Pa s na 20 ±
C, ¹z = 0:0082 Pa s na 65 ±
C, ½ = 880 kg/m3
, cp = 1:88
kJ/(kg K), ¸ = 0:173 W/(m K).
I 7.9. Proveriti izraz za pro…l brzina
u (r) = ¡
µ
1
4¹
dp
dz
¶
R2
[1 ¡ (r=R)2
]
i izraz za srednju brzinu strujanja
¹u = ¡
R2
8¹
dp
dz
za laminarno strujanje kroz cev kruµznog popreµcnog preseka.
I 7.10. Izvesti izaz za pro…l brzina razvijenog laminarnog strujanja izme†u dve
paralelne, ravne ploµce na rastojanju 2L. Tako†e, izvesti izraz za faktor trenja.
I 7.11. Izvesti izraz za raspodelu temperatura i Nuseltov broj za laminarno
strujanje izme†u dve velike paralelne ploµce. Razmatrati oblast u kojoj su pro…li
brzina strujanja i temperatura razvijeni. Na zidovima ploµca postoji jednoliki
toplotni protok.
I 7.12. Voda, srednje temperature 38 ±
C, struji kroz cev unutrašnjeg prehnika
12 mm. Temperatura zida cevi je jednolika i iznosi 90 ±
C. Odrediti koe…ci-
jent prelaza toplote u oblasti u kojoj su pro…li temperatura i brzina strujanja
razvijeni.
