Presentacion de Teorias de colas

1. TEORÍA DE COLAS
1
Delimiro Visbal Cadavid

2. Introducción
• La teoría de colas, o teoría de líneas de
espera, es el estudio de los procesos en una
fila de espera. Virtualmente todos los
resultados en la teoría de colas se supone que
los procesos de llegada y de servicio son
aleatorios.
Población
de Clientes
Mecanismo
de Servicio
Flujo de
Llegada
2

3. • Los problemas de colas son comunes en la
administración de operaciones. En el contexto de
manufactura, el ambiente del taller se puede
concebir como una red compleja e interrelacionada
de colas. A medida que se terminan las labores en
un centro de trabajo, forman una cola para su
procesamiento en el siguiente centro de trabajo.
• Los problemas de teoría de colas se presentan con
más frecuencia en los sistemas de servicio. Hacemos
colas en bancos, supermercados, peluquerías,
casetas de peaje y restaurantes. La programación de
los aterrizajes de los aviones en determinada pista es
un problema de colas; imagine que los aviones en el
aire son clientes que esperan ser servidos y que la
pista es el servidor. 3

4. Aspectos estructurales de modelos de colas
• Proceso de llegada. Describe las llegadas de los
clientes en el sistema. El proceso de llegada se
caracteriza por la distribución de los tiempos entre
llegadas. El caso más sencillo es cuando las
llegadas son una por una, totalmente al azar.
• Proceso de Servicio. Se caracteriza por la
distribución del tiempo necesario para servir a un
cliente. De nuevo el caso más sencillo de analizar
es cuando la distribución de tiempos de servicio es
exponencial
4

5. • Disciplina de Servicio. Regla para servir a los clientes en la
cola. La mayoría de los problemas de cola que se dan en
los sistemas de servicio son FIFO (primero en llegar,
primero en servirse). Esta es la regla que por lo general se
concibe como “justa”.
• Capacidad de la Cola. En algunos casos podría ser que el
tamaño de la cola se limitara. Por ejemplo, en los
restaurantes y cines solo puede entrar una cantidad
limitada de clientes. Desde el punto de vista matemático,
el supuesto más sencillo es que el tamaño de la cola es
ilimitado. Aun cuando hay una capacidad finita, es
razonable pasar por alto la restricción de capacidad si es
poco probable que se llene la cola.
• Cantidad de Servidores. Las colas pueden tener uno o
varios servidores.
5

6. • Estructura de la Red. Resulta una red de colas
cuando la salida de una forma la entrada a otra.
La mayoría de los procesos de manufactura son
una forma de red de colas. La estructura de las
colas en red son, con mucha frecuencia,
demasiado complicados para poder ser
analizados en forma matemática
6

7. Notación
• N(t) = Cantidad de clientes en el sistema en el momento t
• Pn(t) = P{N(t) = n | N(0) = 0}
• Pn = Probabilidad de estado estable de que haya n clientes en el
sistema
• λn = Tasa de llegada cuando hay n clientes en el sistema
• μn = Tasa de servicio cuando hay n clientes en el sistema
• c = Cantidad de servidores
• ρ = Tasa de utilización
• L = Cantidad esperada de clientes cuando el sistema está en
estado estable
• Lq = Cantidad esperada de clientes en la cola, en estado estable
• W = Tiempo esperado en el sistema de un cliente, en estado
estable
• Wq = Tiempo esperado en la cola, en estado estable
• K = Cantidad máxima en el sistema de capacidad finita
7

8. • Sea c la cantidad de servidores. El caso c > 1
corresponde a servidores múltiples en paralelo.
• La tasa de llegadas, rapidez de llegadas o frecuencia
de llegadas, λn, es la tasa esperada o promedio de
clientes que llegan al sistema, expresada como
cantidad de llegadas por unidad de tiempo.
• Igualmente, μn es la media de la tasa promedio de
servicio cuando hay n clientes en el sistema.
• Cuando λ y μ son independientes de n, se define ρ,
la tasa de utilización del sistema, con la fórmula
8

9. • La tasa de utilización se interpreta como la
proporción del tiempo que está ocupado cada
servidor, o la cantidad esperada de clientes en
el servicio. La tasa de utilización debe ser
menor que 1 para asegurar que el tamaño de
la cola no crezca sin límite.
Tasa de Utilización
9

10. Fórmula de Little
• Relaciones útiles entre los valores esperados en
estado estable de L, Lq, W y Wq.
10

11. Las distribuciones exponencial y de
Poisson en las colas
• Las distribuciones exponencial y de Poisson desempeñan
un papel importante en la teoría de colas. Cuando se
habla acerca de las llegadas puramente aleatorias en las
colas se quiere indicar que el proceso de llegadas es de
Poisson. Un proceso puramente aleatorio de servicio
significa que los tiempos de servicio tienen distribución
exponencial.
• Si las llegadas se apegan a un proceso de Poisson, esto
indica que los tiempos entre llegadas tiene una
distribución exponencial. Debido a la propiedad de
amnesia de la distribución exponencial, diremos que el
proceso de Poisson es un proceso puramente aleatorio de
llegadas. Si T es una variable aleatoria que representa el
tiempo entre llegadas sucesivas, entonces
11

12. Además, la cantidad de llegadas en cualquier
tiempo t, díganos A(t), tiene la distribución de
Poisson con parámetro λt. Esto es,
12

13. Análisis de nacimiento y muerte para la
cola M/M/1
• Una notación abreviada para los problemas de
colas tiene la forma
Indicador 1/Indicador 2/ Número
El proceso A(t), la cantidad de llegadas hasta el momento t,
es un proceso puro de nacimiento. Aumenta en uno en cada
llegada. El proceso N(t), la cantidad de clientes en el sistema
en el momento t, es un proceso de nacimiento y muerte
porque aumenta y disminuye a la vez. Aumenta en uno en
cada llegada y disminuye en uno en cada terminación de un
servicio. La siguiente figura muestra una realización de N(t).
Observe que el estado del sistema aumenta o disminuye en
uno 13

14. N(t) Vs T
14

15. La intensidad o tasa a la que aumenta la cantidad de clientes
en el sistema es λ, y la intensidad o tasa a la que disminuye
es μ. Esto indica que podemos representar la tasa a la que el
sistema cambia de estado mediante el diagrama siguiente.
Supongamos que el sistema ha evolucionado hasta la
condición de estado estable. Esto significa que el estado
del sistema es independiente del estado inicial. Como
estamos en el estado estable, sólo nos fijamos en las
probabilidades estacionarias, Pn. La siguiente deducción
se basa en el Principio de Balance: 15

16. Principio de Balance
En el estado estable, la tasa de entrada a un estado
debe ser igual a la tasa de entrada fuera del sistema,
si existe una distribución de probabilidades de
estado estable.
• μP1 =λP0
• μP2 + λP0 = (λ + μ)P1
• μPi+1 + λPi-1 = (λ + μ)Pi para 1 ≤ i ≤ α
• P2 =(λ/μ)2P0
De igual manera, encontramos en general que
• Pi =(λ/μ)iP0
16

17. • Sea ρ = λ/μ la tasa de utilización. Para que exista una
solución se debe cumplir que ρ < 1. En este caso,
tenemos una serie geométrica cuya suma converge a
17

18. Cálculo de las medidas esperadas del
sistema para la cola M/M/1
18

19. Un Ejemplo sobre Optimización de Colas.
• Los mecánicos que trabajan en una planta troqueladora
deben solicitar su herramienta en un centro de
herramientas. Un promedio de 10 mecánicos por hora
llegan pidiendo su equipo. Por el momento un empleado
atiende este centro, su salario es de 6 dólares por hora y
tarda un promedio de 5 minutos en cumplir con cada
pedido de herramienta solicitada. Como cada mecánico
produce 10 dólares en valor de bienes por hora, cada hora
que un mecánico tarda en el centro de herramienta cuesta a
la compañía 10 dólares. La compañía está evaluando si
valdría la pena o no contratar (a 4 dólares la hora) un
ayudante para el empleado. Si se contrata al ayudante, el
empleado tardará un promedio de sólo 4 minutos en reunir
el equipo que solicita cada mecánico. Suponga que los
tiempos de servicio y de llegadas son exponenciales. ¿Se
debe contratar al ayudante?
19

20. SOLUCIÓN
El objetivo de la compañía es minimizar la suma del costo de
servicio por hora y el costo esperado por hora debido a los
tiempos muertos de los mecánicos. El componente de costo
debido a los clientes que esperan en la cola se denomina
costo por demora. Por lo tanto la compañía debe minimizar
El cálculo del costo de servicio por hora es, por lo regular,
simple. La manera más fácil de calcular el costo por la demora
por hora es observar que
20

21. Ya que podemos comparar el costo esperado por hora si no
se contrata al ayudante con el costo esperado por hora si se
contrata al ayudante. Si no se contrata al ayudante, λ=10
mecánicos/hora y μ=12 mecánicos/hora.
Como el empleado gana 6 dólares la hora, tenemos que
Por lo tanto, sin el ayudante, el costo esperado por hora es 6 + 50 =56
dólares.
21

22. Con el ayudante, µ=15 mecánicos/hora. Entonces,
Como el costo de servicio por hora es ahora 6 + 4=10 dólares por
hora, el costo esperado por hora con el ayudante es 20 + 10 = 30
dólares. Por lo tanto se debe contratar al ayudante por que con él
se ahorran 50 – 20 = 30 dólares por hora en costos por demora,
que es más que el salario de 4 dólares por hora del ayudante.
22

23. La distribución de los tiempos de espera
En esta sección deduciremos la distribución de los
tiempos de espera W para un cliente aleatorio que se
une a la cola en estado estable. Por comodidad usaremos
el símbolo W en esta sección, para indicar la variable
aleatoria y no su esperanza. La interpretación correcta de
W se establece de acuerdo al contexto.
Observe que la probabilidad de que el tiempo de espera en la
cola sea cero es positivo, e igual a la probabilidad de que el
sistema esté vacío, P0; esto es
23

24. Servidores Múltiples en paralelo: La Cola M/M/C
24

25. Servidores Múltiples en paralelo: La Cola M/M/C
25

26. Las medidas de desempeño
26

27. 27

28. 28
ρ C = 2 c = 3 c = 4 c =5 c =6 c =7
0.10 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.20 0.07 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00
0.30 0.14 0.07 0.04 0.02 0.01 0.00
0.40 0.23 0.14 0.09 0.06 0.04 0.03
0.50 0.33 0.24 0.17 0.13 0.10 0.08
0.55 0.39 0.29 0.23 0.18 0.14 0.11
0.60 0.45 0.35 0.29 0.24 0.20 0.17
0.65 0.51 0.42 0.35 0.30 0.26 0.21
0.70 0.57 0.51 0.43 0.38 0.34 0.30
0.75 0.64 0.57 0.51 0.46 0.42 0.39
0.80 0.71 0.65 0.60 0.55 0.52 0.49
0.85 0.78 0.73 0.69 0.65 0.62 0.60
0.90 0.85 0.83 0.79 0.76 0.74 0.72
0.95 0.92 0.91 0.89 0.88 0.87 0.85

29. La distribución de los tiempos de espera
29

30. Ejercicios
1. Un banco tiene dos cajeros. Llegan al banco un promedio de 80
clientes por hora y esperan en una sola cola que los atiendan. El
tiempo promedio que se necesita para atender a un cliente es de
1.2 minutos. Suponga que los tiempos entre llegadas y los de
servicio son exponenciales. Calcule
• Número esperado de clientes en el banco
• Tiempo esperado que pasa un cliente en el banco
• La fracción del tiempo que determinado cajero está ocupado
2. El gerente de un banco debe determinar cuantos cajeros deben
trabajar los viernes. Por cada minuto que un cliente espera en la
cola, el gerente supone que se incurre en un costo de 5 centavos
de dólar. Al banco llega un promedio de 2 clientes por minuto. En
promedio, un cajero se tarda 2 minutos en tramitar la transacción
de un cliente. Al banco le cuesta 9 dólares por hora la contratación
de un cajero. Los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio
son exponenciales. Para reducir al mínimo la suma de los costos de
servicio y los de demora, ¿cuántos cajeros deben trabajar los
viernes? 30

31. 3. Llega un promedio de 100 clientes por hora al
banco donde los estudiantes de la Universidad
del Magdalena pagan sus matriculas. El tiempo
promedio de servicio para cada cliente es 1
minuto. Los tiempos de servicio y entre llegadas
son exponenciales. Los estudiantes de
Investigación de Operaciones del programa de
Ingeniería Industrial de la Universidad asesorarán
al gerente del banco para que no haya más del
1% de los clientes que tengan que esperar en la
cola durante más de 5 minutos. Si el banco tiene
como política formar a todos los clientes en una
cola única, ¿Usted como estudiante de
Investigación de Operaciones cuantos cajeros
aconseja que se contraten?
31

32. 4.El dueño de un restaurante selecto tiene dos mesas,
pero un solo mesero. Si se ocupa la segunda mesa,
el dueño sirve en esa mesa. Los tiempos de servicio
tienen distribución exponencial con promedio de
una hora y los tiempos entre llegadas también
tienen distribución exponencial con promedio de 1.5
horas. Cuando el restaurante se llena, las personas
deben hacer cola para esperar su turno.
• ¿Qué porcentaje del tiempo está sirviendo el dueño
en una mesa?
• Si el dueño desea pasar el 10% de su tiempo
atendiendo a clientes, ¿cuál es la frecuencia máxima
de llegadas que se puede tolerar?
32

33. La cola M/M/1 con capacidad finita
33
Supongamos que la cantidad máxima de clientes que permite el
sistema es K. El diagrama de tasas de transición es el mismo
que el de la cola M/M/1, con la excepción de que las transiciones
no suceden más allá del estado K. Ya que el diagrama de tasas
de transición es igual hasta el estado K, las ecuaciones de
balance producirán la misma relación entre Pn y P0 para n
=1,2,...K. Esto es

34. 34
La fórmula de Little se sigue aplicando pero utilizando un
valor modificado de la tasa de llegadas, porque no a todos
los clientes que llegan se les permite entrar al sistema.

35. Ejercicios
5. Una instalación de servicio consiste de una
persona que puede atender un promedio de 2
clientes/h. Los tiempos de servicio son
exponenciales. Llega un promedio de 3
clientes/h, y se supone que los tiempos entre
llegadas son exponenciales. La capacidad del
sistema es de 3 clientes.
• Determine las medidas de desempeño
• En promedio, ¿cuántos clientes potenciales
entran al sistema cada hora?
• ¿Cuál es la probabilidad de que quien atiende
este ocupado?
35

36. 6. Hay un promedio de 40 automóviles por hora,
con tiempos exponenciales entre llegadas, que
desean se les atienda en la ventanilla de servicio
de “Servicio en su Auto” del Hot Dog King
Restaurant. Si hay una cola de más de 4 coches,
incluyendo el de la ventanilla, el coche que llegue
se va. En promedio, toman cuatro minutos en
servir a un automóvil.
• ¿Cuál es el número promedio de automóviles
esperando en la cola, sin incluir el que está frente
a la ventanilla?
• En promedio, ¿cuántos automóviles se atienden
en cada hora?
36

37. La cola M/G/1
Este es un sistema de colas con un servidor en el que
los tiempos de llegadas son exponenciales, pero en
el que la distribución del tiempo de servicio (S) no
necesita ser exponencial. Sea λ la frecuencia de
llegadas, que suponemos se mide en llegadas por
hora. También, definimos a 1/μ= E(S) y a σ2=Var(S).
Para calcular Lq, L, Ls, W, y Wq utilizamos los
resultados de Pollaczek y Khinchin. Ellos
demostraron que para el sistema de colas M/G/1,
37

38. 38
Donde ρ = λ/µ. Como Ws = 1/ µ, entonces
Ls = λ(1/ µ) = ρ. L = Lq + Ls = Lq + ρ

39. Ejercicio
Se tiene un sistema de colas M/G/1 en el cual hay
un promedio de 10 llegadas por hora. Supóngase
que el tiempo de trámite de cada cliente sigue una
distribución de uniforme U(4, 6) minutos
• Determine la cantidad esperada de clientes en el servicio
• Determine la cantidad esperada de clientes en la cola
39

40. La cola M/G/∞ y GI/G/∞
Hay muchos ejemplos de sistemas en los cuales un
cliente nunca espera para que inicie su atención. En
un sistema de estos, se puede pensar que todo el
tiempo que pasa el cliente en el sistema es su
tiempo de servicio, o de trámite. Como un cliente
nunca tiene que esperar para que lo atiendan hay,
en esencia, un servidor disponible para cada
llegada, y podemos pensar que este sistema es de
cantidad infinita de servidores, o sistema
autoservicio. En la siguiente tabla se presentan
algunos ejemplos de este tipo de sistema.
40

41. CASO LLEGADA
TIEMPO E EL
SERVICIO
(TIEMPO E EL
SISTEMA)
ESTADO DEL
SISTEMA
Industria
La empresa
entra a la
industria
Tiempo hasta que la
empresa sale de la
industria
Número de
empresas en la
industria
Programa
escolar
El estudiante
entra al
programa
Tiempo que el estudiante
permanece en el
programa
Número de
estudiantes en el
programa
41

42. Un sistema de cola M/G/∞ es aquella en la que los
tiempos entre llegadas sigue una distribución
exponencial, los tiempos de servicio sigue una
distribución arbitraria y tiene infinito servidores. Una
cola GI/G/∞ es un sistema con servidores infinitos
en el que tanto los tiempos entre llegadas como los
tiempos de servicio sigue una distribución arbitraria
de probabilidad.
42

43. Estos sistemas trabajan como sigue:
•
• Los tiempos entre llegadas son iid con distribución común
A. Se define E(A)= 1/λ. Así λ es la frecuencia o rapidez de
llegada.
• Cuando llega un cliente, inmediatamente pasa al servicio:
El tiempo de cada cliente en el sistema está gobernado
por la distribución S con E(S) = 1/µ.
43
Sea L el número esperado de clientes en el sistema en estado
estable, y W el tiempo esperado que un cliente pasa en el
sistema. Por definición W = 1/µ. Por lo tanto la Fórmula de
Little nos proporciona

44. • La ecuación anterior no requiere hipótesis de
exponencialidad. Si los tiempos entre llegadas
son exponenciales, se puede demostrar, aun
para una distribución arbitraria de tiempos de
servicio, que la probabilidad de estado
estable, Pn, de que haya n clientes en el
sistema sigue una distribución Poisson con
promedio λ/µ. Esto significa que
44

45. Ejercicios
• El programa de doctorado de la universidad del estado admite
un promedio de 25 estudiantes de doctorado cada año. Si un
estudiante de doctorado pasa un promedio de 4 años de
residencia en la universidad ¿cuántos estudiantes de
doctorado cabe esperar en ella?
• Cada semana, el Columbus Record Club atrae a 100 miembros
nuevos. Los miembros permanecen en el club un promedio de
1 año (52 semanas). En promedio, ¿cuántos miembros tiene el
club?
45

46. Modelo de Reparación de Máquinas
• Los modelos en los cuales las llegadas son
extraídas de una población pequeña se denominan
Modelos de Origen Finito. A continuación se
estudia un modelo de origen finito conocido como
modelo de reparación de máquinas.
• En el problema de la reparación de máquinas, el
sistema consiste en K máquinas y R personas que
reparan máquinas o reparadores.
46

47. • El tiempo en que una máquina está en buenas
condiciones sigue una distribución exponencial con
tasa λ
λ
λ
λ.
.
.
. Siempre que una máquina se descompone, es
enviada a un centro de reparación que consiste de R
personas encargadas de reparar las máquinas.
• Por lo tanto, si j ≤ R máquinas están en malas
condiciones, entonces, una máquina que apenas se
descompuso será asignada de inmediato a
reparación; si j R máquinas se descomponen, j – R
máquinas estarán esperando en una sola cola a que
un trabajador de desocupe para que las repare. Se
supone que el tiempo que se requiere para reparar
una máquina es exponencial con una tasa μ (el
tiempo medio de reparación es 1/μ).
47

48. • Tras reparar una máquina, ésta vuelve a estar en buenas
condiciones y nuevamente es susceptible de
descomponerse. Este modelo de reparación de máquinas
se podría modelar como un proceso de nacimiento y
muerte, donde el estado j en cualquier momento es la
cantidad de máquinas en malas condiciones.
• Mediante la notación de Kendall – Lee, el modelo descrito
se podría expresar como un modelo M/M/R/GD/K/K. La
primera K indica que podrían estar presentes, en
cualquier momento, no más de K clientes (o máquinas), y
la segunda K significa que las llegadas tienen un origen
finito de tamaño K.
48

49. En la siguiente tabla se muestra la interpretación de cada
estado para un modelo de reparación de máquinas que
tiene K = 5 y R = 2 (B = Máquina en buen estado;
M = Máquina en malas condiciones).
49
Estado
No de
Máquinas
Buenas
Cola de
Reparación
No de
Reparadores
Ocupados
0 BBBBB 0
1 BBBB 1
2 BBB 2
3 BB M 2
4 B MM 2
5 MMM 2

50. 50
λ
λ
λ
λj= λ+ λ+...+ λ= (Κ
λ+ λ+...+ λ= (Κ
λ+ λ+...+ λ= (Κ
λ+ λ+...+ λ= (Κ−
−
−
−j)λ
λ
λ
λ
μj = j μ (j=0,1,…., R) μj = Rμ (j=R+1, R+2,…, K)

51. • Empezamos por determinar P0 a partir de que
P0+P1+… + Pk =1
51

52. Ejercicio
• El departamento de policías de Gotham City tiene cinco
patrullas. Una patrulla se descompone, y requiere servicio
una vez cada 30 días. El departamento tiene dos
mecánicos, cada uno de los cuales requiere tres días para
reparar una patrulla. Los tiempos de descompostura y los
tiempos de reparación son exponenciales.
a) Determine el número promedio de patrullas en buenas
condiciones.
b)Encuentre el tiempo promedio de paralización para una
patrulla que necesita reparación
c) Estime la fracción de tiempo en que un mecánico en
particular está desocupado
52

53. Ejemplo:
El Departamento de Policías de Ciudad Gótica tiene cinco patrullas. Una
patrulla se descompone, y requiere servicio una vez cada 30 días. El
departamento tiene dos mecánicos, cada uno de los cuales requiere tres
días para reparar una patrulla. Los tiempos de descompostura y los
tiempos de reparación son exponenciales.
a) Determine el número promedio de patrullas en buenas condiciones.
b) Encuentre el tiempo promedio de paralización para una patrulla que
necesita reparación.
c) Estime la fracción de tiempo en que un mecánico en particular está
desocupado.

56. Si hay tres reparadores (R=3), la fracción de tiempo que un reparador en particular está
desocupado es
𝑃0 +
2
3
𝑃1 +
1
3
𝑃2
En general, si hay R reparadores la probabilidad de que un reparador en particular esté
desocupado es
𝑷𝟎 +
𝑹 − 𝟏
𝑹
𝑷𝟏 +
𝑹 − 𝟐
𝑹
𝑷𝟐+ . . . +
𝑷𝑹−𝟏
𝑹