En esta presentación de FdeT aprenderás a demostrar una desigualdad utilizando el cálculo matemático.

1. DESIGUALDADES
FdeT
Enunciado: Demuestra que
𝑥
1 + 𝑥
< log 1 + 𝑥 x > 0

2. DESIGUALDADES
FdeT
Enunciado: Demuestra que
𝑥
1 + 𝑥
< log(1 + 𝑥)
En primer lugar expresamos la desigualdad en la forma:
𝑥
1 + 𝑥
− log 1 + 𝑥 < 0
Y denotamos por 𝑓 𝑥 =
𝑥
1+𝑥
− log 1 + 𝑥
El problema se reduce a demostrar que 𝑓 𝑥 < 0 , para 𝑥 > 0.

3. DESIGUALDADES
FdeT
Para demostrar que 𝑓 𝑥 < 0 , para 𝑥 > 0 ,estudiaremos los extremos de la función.
Calculamos su derivada.
𝑓´ 𝑥 =
1 + 𝑥 − 𝑥
(1 + 𝑥)2
−
1
1 + 𝑥
=
1 − 1 + 𝑥
1 + 𝑥 2
=
−𝑥
(1 + 𝑥)2

4. DESIGUALDADES
FdeT
Para demostrar que 𝑓 𝑥 < 0 , para 𝑥 > 0 ,estudiaremos los extremos de la función.
Calculamos su derivada.
𝑓´ 𝑥 =
1 + 𝑥 − 𝑥
(1 + 𝑥)2
−
1
1 + 𝑥
=
1 − 1 + 𝑥
1 + 𝑥 2
=
−𝑥
(1 + 𝑥)2
Igualamos a cero para obtener los puntos críticos:
−𝑥
(1 + 𝑥)2
= 0 𝑥 = 0

5. DESIGUALDADES
FdeT
Estudiamos el signo de la segunda derivada en el dominio de la función:
0
Signo 𝑓´(𝑥)
𝑓´ 1 =
−1
4
< 0
-

6. DESIGUALDADES
FdeT
Estudiamos el signo de la segunda derivada en el dominio de la función:
Por lo tanto la función 𝑓(𝑥) es decreciente en 0, +∞ .
Además observamos que en 𝑥 = 0 se tiene que:
𝑓 0 = 0
En consecuencia 𝑓 𝑥 < 0 ,𝑥 > 0
Y por lo tanto queda demostrada la desigualdad
𝑥
1 + 𝑥
< log 1 + 𝑥 𝑥 > 0
FIN
0
Signo 𝑓´(𝑥)
𝑓´ 1 =
−1
4
< 0
-