multimi

1. MUL IMIȚClasa a V-a
Realizat de prof. DEM MARIANA

2. MUL IMI. ELEMENTEȚ
Prin mulțime, în viața de zi cu zi,
înțelegem o grupare, o grămadă, colecție,
clasă, ansamblu etc.
Exemple:
- mul imea elevilor din această clasă;ț
- mul imea ora elor din ROMÂNIA;ț ș
Mul imile se notează cu litere mari dinț
alfabet: A, B, ….

3. MUL IMI. ELEMENTEȚ
N={0, 1, 2, 3, …….} se numeşte
mulţimea numerelor naturale.
N*={1, 2, 3, …….} se numeşte
mulţimea numerelor naturale nenule.

4. MUL IMI. ELEMENTEȚ
Obiectele ce alcătuiesc o mul ime seț
numesc elemente.
Dacă între un element al unei
mulţimi şi mulţimea însăşi scriem
semnul ∈, se spune că am scris relaţia
de apartenenţă a acelui element la acea
mulţime.
De exemplu: a ∈ A (elementul a aparţine
mulţimii A) sau a ∉ A (elementul a nu aparţine
mulţimii A).

5. REPREZENTAREA
MULŢIMILOR
1. Prin enumerarea elementelor
Exemple: 1. A=mulţimea cifrelor impare
A={1; 3; 5; 7; 9}
2. B=mulţimea literelor ce alcătuies cuvântul
matematică
B={m; a; t; e; i; c; ă}
2. Prin proprietăţile caracteristice
Exemple: 1. A={x/x∈N şi x<6}={0; 1; 2; 3; 4; 5}
2. B={x/x∈N, x=3k; k∈N, x≤15}=
={0; 3; 6; 9; 12; 15}

6. 3. Prin reprezentare grafică (diagrame Venn-Euler)
Exemple: 1. A={x/x∈N şi x≤8}
2. B={x/x∈N, x=3k; k∈N, x≤9}
REPREZENTAREA
MULŢIMILOR
2 6
40 8
0
3
6
9

7. Cardinalul unei mulţimi finite
Numărul de elemente al unei mulţimi finite
A se numeşte cardinalul lui A şi se notează cu
card A.
Exemplu: A={1; 2; 3; 4; 5; 7; 9}
card A= 7

8. MULŢIMEA VIDĂ
Mulţimea care nu are nici un element se
numeşte mulţimea vidă şi se notează cu
simbolul Ø.
Ø

9. RELAŢII ÎNTRE MULŢIMI
Când între două mulţimi există relaţia de incluziune
B⊆A sau A⊇B, se mai spune că “B este submulţime a
lui A” sau că “B este o parte a lui A”.
Exemplu: A={5; 6; 7; 8; 9} şi B={6; 8}
B⊆A
6 8
B
A
5
7
9

10. RELAŢII ÎNTRE MULŢIMI
Când între două mulţimi există relaţia de
incluziune strictă B⊂A sau A⊃B se mai spune
că “B este o submulţime proprie a lui A” sau
că “B este o parte proprie a lui A”.
Exemplu: A={5; 6; 7; 8; 9} şi B={x/x∈N şi 5≤x≤9}
B⊂A
5 9 7
8 6

11. RELAŢII ÎNTRE MULŢIMI
 Orice mulţime este inclusă în ea însăşi, A⊆A.
 Mulţimea vidă este considerată o submulţime
proprie a oricărei mulţimi nevide, Ø⊆A.
 Mulţimea formată din toate părţile unei mulţimi
A se numeşte mulţimea părţilor lui A şi se notează
P (A).
 Două mulţimi sunt egale dacă au aceleaşi
elemente, A=B.
 Două mulţimi egale au acelaşi cardinal.
Două mulţimi A şi B sunt egale dacă şi numai
dacă avem simultan B⊆A şi A⊇B.

12. OPERAŢII CU MULŢIMI
INTERSECŢIA
Intersecţia a două mulţimi A şi B este o mulţime
formată din toate elementele comune celor două
mulţimi.
Se notează A∩B şi se citeşte “A intersectat cu B”
A∩B = {x / x ∈ A şi x ∈ B}
Intersecţia este comutativă, A∩B=B∩A.
A B
A∩B
Exemplu: A={1,2, 5, 7, 9} B={1, 5, 9, 10, 15}
A∩B={1, 5, 9}

13. OPERAŢII CU MULŢIMI
REUNIUNEA
Reuniunea a două mulţimi A şi B este o mulţime
formată din elementele care aparţin cel puţin uneia din
cele două mulţimi.
Se notează A∪B şi se citeşte “A reunit cu B”
A ∪ B = {x / x ∈ A sau x ∈ B}
Reuniunea este comutativă, A∪B=B∪A.
A B
A ∪ B
Exemplu: A={1, 3, 5, 7} B={0, 4, 8, 12}
A ∪ B={0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 12}

14. OPERAŢII CU MULŢIMI
DIFERENŢA
Diferenţa a două mulţimi A şi B este o mulţime formată
din elementele care aparţin mulţimii A şi nu aparţin
mulţimii B.
Se notează AB şi se citeşte “A minus cu B”
A B = {x / x ∈ A şi x ∉ B}
Diferenţa nu este comutativă, AB≠BA.
A B
A B
Exemplu: A={1, 2, 5, 7, 9} B={1, 5, 9, 10, 15}
A B={2, 7}

15. AFLAREA ELEMENTELOR A
DOUĂ MULŢIMI PORNIND
DE LA CONDIŢII DATE
Să se afle mulţimile A şi B ştiind că sunt îndeplinite
simultan condiţiile:
a)A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
b)A∩B={2, 6, 7}
c)AB={1, 4}
R: A={1, 2, 4, 6, 7}
B={2, 3, 5, 6, 7}