Modulo didattico sulla deduzione naturale: presenta gli operatori principali e le regole fondamentali di introduzione ed eliminazione.

1. Intro Procedure Esempi Bibliografia
Logica matematica
per lo studio delle lingue naturali
Modulo 5: Deduzione naturale
Dott. Davide Cambiaso
A. A. 2018-2019
Dott. Davide Cambiaso Deduzione naturale

2. Intro Procedure Esempi Bibliografia
Introduzione
La logica presenta una serie di procedure adatte a preservare la cor-
rettezza del ragionamento; la deduzione naturale è una collezione
di metodi per generare concatenamenti e deduzioni che portino a
conclusioni certe e del tutto oggettive.
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3. Intro Procedure Esempi Bibliografia IT ∧ ≡ → ∨
Iterazione
α α α∨β,¬β α
1 α A
2 α IT : 1
Usato sopratutto per introdurre una formula in un’ipotesi.
Le ipotesi sono sistemi chiusi: per usare assiomi e formule in
un’ipotesi questi devono essere iterati o derivati.
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4. Intro Procedure Esempi Bibliografia IT ∧ ≡ → ∨
Congiunzione: eliminazione, introduzione
(α∧β) (β∧α)
1 α∧β A
2 α ∧e
dx
dx : 1
3 β ∧e
sx : 1
4 β∧α ∧i
: 3,2
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5. Intro Procedure Esempi Bibliografia IT ∧ ≡ → ∨
Eliminazione dell’implicazione stretta
(α ≡ β) α,β
1 α ≡ β A
2 α ≡e
dx
: 1
3 β ≡e
sx: 1
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6. Intro Procedure Esempi Bibliografia IT ∧ ≡ → ∨
Modus ponens (conferma dell’antecedente)
(α → β),α β
La verità della premessa forza la verità della conseguenza
1 (α → β) A
2 α A
3 β →e
sx: 1,2
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7. Intro Procedure Esempi Bibliografia IT ∧ ≡ → ∨
Modus tollens (negazione della premessa)
(α → β),¬β ¬α
La falsità della conseguenza forza la falsità della premessa
1 (α → β) A
2 ¬β A
3 ¬α T : 1,2
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8. Intro Procedure Esempi Bibliografia IT ∧ ≡ → ∨
Introduzione della disgiunzione
α α∨β
1 α A
2 α∨β ∨i
: 1
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9. Intro Procedure Esempi Bibliografia
Principio di esplosione (Guglielmo di Soissons)
α¬α β
1 α A
2 ¬α A
3 α∨β ∨i
4 β ∨e
sx:3,2
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10. Intro Procedure Esempi Bibliografia
EDGINGTON [1993]
¬α → ¬(β → γ),¬β α
La seguente dimostrazione è un’idea presentata in EDGINGTON [1993],
p. 37 e attribuita a William Hart.
• Se Dio non esiste, non è vero che pregando le mie preghiere
vengono esaudite;
• di fatto, io non prego;
• quindi Dio esiste.
α : Dio esiste
β : io prego
γ : le mie preghiere vengono esaudite
È un caso curioso: utile per lo studio dell’implicazione materiale e
della logica modale.
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11. Intro Procedure Esempi Bibliografia
EDGINGTON [1993]
¬α → ¬(β → γ),¬β α
1 ¬α → ¬(β → γ) A
2 ¬β A
3 ¬α H
4 ¬(β → γ) →e
sx: 1
5 ¬(β → γ) ≡ (β∧¬γ) ≡i
: 4
6 (β∧¬γ) ≡e
: 5
7 β ∧e
dx
: 6,4
8 ¬γ ∧e
sx : 6,4
9 ¬α → β H : 3...7
10 ¬β IT : 2
11 α ¬i
: 9,10
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12. Intro Procedure Esempi Bibliografia
EDGINGTON [1993]
¬α → ¬(β → γ),¬β α
1 Se Dio non esiste, non è vero che se prego le mie preghiere vengono esaudite;
2 di fatto, io non prego.
3 Ora, supponiamo che Dio non esista:
4 in questo caso sicuramente non è vero che, se prego, le mie preghiere
vengono esaudite;
5 dire che «non è vero che se prego le mie preghiere non vengono esaudite» è
come dire: «io prego, e le mie preghiere non vengono esaudite»;
6 quindi posso dire a ragione che «prego, e le mie preghiere non vengono
esaudite»;
7 quindi in questo caso è vero che prego;
8 ed è anche vero che le mie preghiere non vengono esaudite.
9 dunque se Dio non esiste, allora prego;
10 ma io so per certo che non prego;
11 quindi Dio esiste!
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13. Intro Procedure Esempi Bibliografia
Guglielmo di Soissons: principio di esplosione
(α∧¬α) β
1 α∧¬α A
2 α ∧e
dx
: 1
3 ¬α ∧e
sx : 1
4 α∨β ∨i
: 1
5 β ∨e
sx : 4,3
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14. Intro Procedure Esempi Bibliografia
Esercizio
(α∨β) → γ,α γ
1 (α∨β) → γ A
2 α A
3 (α∨β) ∨i
: 2
4 γ →e
: 1,3
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15. Intro Procedure Esempi Bibliografia
Esercizio
(α → β),(β → γ) (α → (β∧γ))
1 α → β A
2 β → γ A
3 α H
4 β →e
: 1,3
5 γ →e
: 2,4
6 β∧γ ∧i
: 4,5
7 α → (β∧γ) H : 3···6
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16. Intro Procedure Esempi Bibliografia
Esercizio
(β ≡ (δ ≡ ¬α)),(β∧δ) (¬α∧(β∨γ))
1 β ≡ (δ ≡ ¬α) A
2 β∧δ A
3 β ∧e
dx
: 2
4 δ ∧e
sx : 2
5 δ ≡ ¬α ≡e
sx: 1,3
6 ¬α ≡ e : 5,4
7 β∨γ ∨i
: 3
8 ¬α∧(β∨γ) ∧i
: 6,7
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17. Intro Procedure Esempi Bibliografia
Esempio
(¬β → (δ∧ε)),((α∧¬β)∧γ) (ε∧δ)∧(¬β∧γ)
1 ¬β → (δ∧ε) A
2 (α∧¬β)∧γ A
3 α∧¬β ∧e
dx
: 2
4 γ ∧e
sx : 2
5 α ∧e
dx
: 3
6 ¬β ∧e
sx : 3
7 δ∧ε →e
sx: 1,6
8 δ ∧e
dx
: 7
9 ε ∧e
sx : 7
10 ε∧δ ∧i
: 9,8
11 ¬β∧γ ∧i
: 6,4
12 (ε∧δ)∧(¬β∧γ) ∧i
: 10,11
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18. Intro Procedure Esempi Bibliografia
Esempio
(α → (β∧¬γ)),(α∧β) (¬γ)
1 α → (β∧¬γ) A
2 α∧β A
3 α ∧e
dx
: 2
4 β ∧e
sx : 2
5 (β∧¬γ) →e
sx: 1,3
6 ¬γ ∧e
sx : 5
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19. Intro Procedure Esempi Bibliografia
Esempio
(α∧¬β),((α∨¬γ) → δ) (δ∧¬β)
1 α∧¬β A
2 (α∨¬γ) → δ A
3 α ∧e
dx
: 1
4 ¬β ∧e
sx : 1
5 α∨¬γ ∨i
: 3
6 δ →e
sx: 2,5
7 δ∧¬β ∧i
: 6,4
Dott. Davide Cambiaso Deduzione naturale

20. Intro Procedure Esempi Bibliografia
Bibliografia
EDGINGTON
1993 Dorothy Edgington, Do Conditionals Have Truth-
Conditions, in Richard Ieuan Garth Hughes (a cura
di), A Philosophical Companion to First-Order Logic,
Indianapolis, Hackett, pp. 28-49, 1993.
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