Fizica

1. 1
TIMUR CHIŞ
Curs de Fizica generala

2. 2
Prefata
Prezenta lucrare este destinată studenţilor din anul II Navigaţie de la Universitatea
Andrei Saguna Constanta, pentru disciplina de Fizică. Ea conţine teme legate de
programa de fizică şi este dezvoltată în toate compartimentele: terotetic, aplicaţii de
calcul, aplicaţii practice de laborator.
Un curs de Fizica ar trebui să cuprindă capitolele legate de mecanică, fizica
moleculară şi termodinamică, electricitate şi magnetism, optică, fizica atomică şi
nucleară, fizica cuantică şi fizica solidului. Dintre aceste capitole, în acest curs
universitar ne vom rezuma la studiul pe scurt al legilor mecanicii, incluzând studiul
oscilaţiilor şi undelor elastice. Vom aborda de asemeni şi fenomenele
electromagnetice. Aceste capitole ale fizicii clasice sunt urmate apoi de scurte
introduceri în fizica cuantică şi în fizica solidului, deoarece acestea din urma constituie
capitole ale fizicii moderne, cu aplicaţii în tehnica navală.
Notiţele de curs au fost elaborate dupa ce acest material a fost parcurs, în ultimii ani
universitari, împreună cu studenţii de la Univrsitatea Petrol-Gaze Ploieşti şi cu cei de la
Facultatea de Navigatie, Transport Maritim şi Fluvial, din cadrul Universităţii
"Andrei Şaguna" din Constanţa. Considerăm, de aceea, că temele alese cuprind
noţiunile elementare de fizică necesare viitorilor navigatori.
De asemeni cursul a fost recenzat şi de lectori de la Universităti care instruiesc
studenţi în Navigaţie costieră şi marină, deoarece materia trebuie sa respecte STCW
Cod:A-III/1 şi A-III/2 pentru STCW Functions:Marine engineering at the management
level.
Primul capitol cuprinde o introducere în Fizica, având scopul de a pregati studentii
cu limbajul, marimile fizice fundamentale si unitatile lor de masura, precum si cu unele
operatii vectoriale.
Capitolul al doilea se refera la teme specifice ale mecanicii clasice,
prezentând principiile fundamentale si teoremele generale din dinamica punctului
material.
În capitolul trei se prezinta diverse tipuri de oscilatii armonice, diferitele metode de
compunere ale oscilatiilor, urmate apoi de o introducere în teoria undelor elastice.
Capitolul al patrulea este dedicat electromagnetismului, prezentând într-o forma
concentrata si câteva teme principiale din teoria macroscopica a undelor

3. 3
electromagnetice (lumina).
În capitolul cinci se realizeaza o trecere în revista a bazelor fizice ale mecanicii
cuantice, adica a acelor experiente ce au condus la formularea mecanicii cuantelor de
energie.
Capitolul sase prezinta teme din fizica solidului, incluzând cateva elemente ale
teoriei benzilor de energie din semiconductori.

4. 4
CUPRINS
1.Introducere in Fizica
1.1.Notiuni fundamentale ale Fizicii
1.2. Operatii vectoriale
2. Mecanica clasica
2.1. Notiumi generale
2.2. Principiile fundamentale ale dinamicii
2.3. Teoreme generale în dinamica punctului material
3. Oscilatii si unde
3.1. Notiuni generale
3.2. Micarea oscilatorie armonica ideala
3.3. Compunerea micarilor oscilatorii armonice
3.3.1. Compunerea oscilatiilor armonice paralele de aceeiasi pulsatie
3.3.2. Compunerea oscilatiilor armonice paralele de frecventa diferita
3.3.3. Compunerea oscilatiilor perpendiculare
3.4.Miscarea oscilatorie amortizata
3.5. Analogie între oscilatiile mecanice si cele electromagnetice
3.6. Oscilatii fortate. Rezonanta
3.6.1. Rezonanta
3.6.2.Consideratii energetice ale oscilatiilor fortate
3.7. Unde elastice
3.7.1. Unde armonice unidimensionale
3.7.2. Consideratii energetice asupra propagarii undei
3.7.3. Reflexia si refractia undelor elastice
3.7.4.Unde stationare
3.7.5. Interferenta undelor
3.7.6.Difractia undelor
3.7.7. Polarizarea undelor elastice transversale

5. 5
4. Introducere în electromagnetism
4.1. Câmpul electromagnetic
4.1.1. Actiunea câmpului electromagnetic asupra sarcinilor electrice
4.1.2. Legea conservarii sarcinii electrice
4.2. Electrostatica
4.2.1. Câmpul electric
4.2.2. Fluxul electric
4.2.3. Legea Gauss pentru câmpul electric
4.2.4. Forma locala diferentiala a legii lui Gauss. Prima ecuatie
Maxwell
4.2.5. Caracterul potential al câmpului electric. Potentialul electric
4.3. Magnetostatica
4.3.1. Câmpul magnetic
4.3.2. Actiunea câmpului magnetic asupra sarcinilor electrice în miscare
4.3.3. Actiunea câmpului magnetic asupra unui conductor parcurs de
curent electric
4.3.4. Câmpul magnetic creat de curenti electrici
4.3.5. Legea lui Gauss pentru magnetism
4.3.6. Interactiunea dintre doi curentii paraleli
4.3.7. Legea circuitului magnetic
4.3.8.Inductia electromagnetica.Legea Faraday
4.3.9.Energia câmpului magnetic
4.3.10. Curenti de conductie si curenti de deplasare
4.4. Unde electromagnetice
4.4.1. Unde armnonice progresive
4.4.2. Energia undelor electromagnetice
4.4.3. Unde sferice
4.4.4. Teoria electromagnetica macroscopica a luminii
5. Bazele fizice ale mecanicii cuantice
5.1. Efectul fotoelectric
5.2. Efectul Compton
5.3. Radiatia termica
5.3.1. Marimi radiante

6. 6
5.3.2. Legile radiatiei termice
5.4. Experienta Franck-Hertz
5.5. Relatiile de nedeterminare ale lui Heisenberg
5.6. Ipoteza lui Louis de Broglie
6.Elemente de fizica starii solide
6.1. Generalitati
6.2. Semiconductori
6.3. Dispozitive cu semiconductori
Bibliografie

7. 7
Cuvânt de multumire
Ma simt onorat pentru posibilitatea de a le multumi studentilor din anul II
Facultatea de navigatie si Transport Maritim si Fluvial pentru vizualizarea si
intelegerea acestui curs.
Le multumesc tuturor acestor studenti, pentru rabdarea cu care au ascultat acest curs
de Fizica generala si pentru ajutorul acordat întru cizelarea notitelor de curs, pâna la
forma lor actuala.
În fapt, putem conchide ca un curs universitar ideal nu exista. Din fericire, ar zice
stramosii, dar si urmasii, nostri.
Recunostinta mea sincera se adreseaza, de asemenea, doameni profesoare
Barvinski precum si domnului Conf.Univ. Mosescu Nicolae, sub a carui supervizare
apare acest curs universitar de Fizica generala în format electronic. Este o premiera
pentru Catedra de navigatie a Universitatii “Andrei Saguna” din Constanta, desi ea va fi
urmata de multi alti colegi.
Acest curs reprezinta in primul rand o analiza a naturii din punct de vedere fizic
desi in scrierea acestuia am uitat sa specific intotdeauna sursa bibliografica a unor
figuri si formule. Dar nu este prea grav, deoarece venim la Universitate ca sa învatam.
Mii de scuze autorilor acestor figuri minunate, care nu sunt însa citati.

8. 8
1. Introducere in Fizica
Fizica, fiind una din stiintele fundamentale ale naturii, care studiaza cele mai
simple dar, în acelasi timp, si cele mai generale forme de micare sau de transformare
ale materiei. În acest sens, fizica studiaza toate procesele mecanice, termice,
electromagnetice, etc. Scopul fizicii este acela de a descoperi si aplica legile care
guverneaza interactiunile dintre corpurile materiale sau dintre corpurile materiale si
diferite câmpuri de forte.
Observatia, ratiunea si experienta formeaza metoda stiintifica de studiere a
naturii, scopul acestui demers stiintific fiind întelegerea fenomenelor ce se desfasoara
în universul cunsocut de om pâna în prezent. Cea mai importanta misiune a fizicii este
stabilirea legilor generale care pot explica modul în care se defasoara fenomenele fizice
observate în natura. Întelegerea legilor fizice ale universului nostru a devenit din ce în
ce mai profunda de-a lungul veacurilor, de aceea multe legi ale fizicii au suferit
modificari, completari sau generalizari, pe masura ce oamenii de stiinta au realizat
descrieri tot mai complexe ale naturii.
În mod traditional, fizica se împarte în mai multe domenii: mecanica,
termodinamica, electromagnetismul, optica, fizica solidului, fizica nucleara. În secolul
trecut au fost introduse noi capitole ale fizicii, cum ar fi: fizica plasmei, fizica
semiconductorilor, fizica supraconductorilor, biofizica, fizica particulelor elementare,
etc. Din acest punct de vedere, putem vorbi de caracterul pluridisciplinar al stiintei în
general, deoarece multe din fenomenele studiate se situeaza deseori la granita dintre
mai multe domenii stintifice.
1.1. Notiuni fundamentale ale Fizicii
Fenomen fizic. Fenomenul fizic (procesul sau transformarea) reprezinta o
succesiune de modificari ale unui anumit corp, sau sistem de corpuri, care evolueaza
în timp, dupa o anumita lege. Toate schimbarile de acest fel formeaza obiectul de studiu
al fizicii si sunt evaluate calitativ si cantitativ prin observatii.
Marime fizica si masurare. Marimile fizice definesc proprietati ale corpurilor

9. 9
sau caracterizeaza procese în care schimbarile ce survin pot fi descrise cantitativ.
Exemple de marimi fizice sunt: masa, temperatura, viteza, sarcina electrica. Fizica a
fost numita mult timp stiinta masurarii, deoarece studiul fenomenelor fizice implica
masurarea marimilor ce le caracterizeaza. Masurarea este un proces prin care se
compara marimea fizica respectiva cu o marime bine definita, de aceeai natura, ce a
fost aleasa ca unitate de masura. Aceasta comparare (sau masurare) se realizeaza cu
ajutorul unui instrument de masura. Iata cîteva exemple de unitati de masura: 1metru
pentru lungimi, 1 secunda pentru durate, 1 kg pentru mase.
Unele marimi fizice sunt marimi fundamentale, ele fiind definite numai
prin descrierea procedeului de masurare. De exemplu, distanta se determina prin
masurare cu o rigla, iar timpul prin masurare cu un ceas. Alte marimi fizice sunt marimi
derivate, ele fiind definite prin formule de calcul ce utilizeaza marimile fundamentale.
De exemplu, viteza reprezinta raportul dintre distanta parcursa si durata deplasarii
corpului.
De-a lungul timpului s-au utilizat diferite sisteme de unitati de masura, adica
seturi de marimi fizice fundamentale si de unitati de masura corespunzatoare acestora.
În zilele noastre se utilizeaza cel mai frecvent Sistemul International de Masura,
cunoscut sub sigla SI, care utilizeaza urmatoarele marimi si unitati fundamentale:
Mărime Unităţi de măsură fundamentale
Denumire Simbol
Lungime metrul m
Masa kilogram kg
Timp secunda s
Intensitatea
curentului electric
amper A
Temperatura
termodinamică
kelvin K
Cantitatea de
substanţă
mol mol
Intensitatea
luminoasă
candela cd
Doua unitati suplimentare se adauga celor de mai sus, si anume pentru unghiul
plan, radianul (rad) si pentru unghiul solid, steradianul (sterad). Toate celelalte marimi

10. 10
fizice si unitatile lor se exprima cu ajutorul marimilor fizice si al unitatilor lor
fundamentale. În ceea ce privete multiplii si submultiplii unitatilor de masura, pentru a
le exprima, se utilizeaza urmatoarele prefixe:
Pentru multipli: 101 deca-; 102 hecto-; 103 kilo-; 106 mega-; 109 giga-; 1012 tera-.
Pentru submultipli: 10-1 deci-; 10-2 centi-; 10-3 mili-; 10-6 micro-; 10-9 nano-;
10-12 pico- .
Alte Sisteme de Unitati. Dintotdeauna, oamenii au avut libertate în alegerea
marimilor fizice si a unitatilor lor de masura. De aici a rezultat un anumit grad de
arbitrar în exprimarea marimilor fizice. De exemplu, în locul masei se poate alege ca
marime fundamentala forta. Cele mai frecvente sisteme de unitati întâlnite în practica,
în afara de SI, sunt: CGS (centimetru-gram-secunda) si MKfS (metru- kilogram-forta-
secunda). O parte a literaturii de fizica este scrisa în sistemul CGS, deoarece era
sistemul cel mai raspândit în secolele XVIII si XIX. Dar legile fizicii, care exprima
relatii între marimi fizice masurabile, sunt aceleai indiferentr de sistemul de unitati
utilizat pentru a le exprima.
Marimile fizice pot fi marimi scalare sau marimi vectoriale. Marimile
fizice scalare sunt determinate numai prin valoarea lor numerica. Un exemplu de
marime scalara este masa unui corp, m =2 kg. Marimile vectoriale sunt determinate prin
valoarea lor numerica (numita marimea vectorului sau modulul vectorului), prin directia
si sensul vectorului.
Câmp fizic. Se numeste câmp fizic regiunea din spatiu unde se manifesta o
anumita marime fizica si unde, în fiecare punct din regiune, marimea fizica are o
anumita valoare. Câmpurile fizice pot fi câmpuri scalare sau câmpuri vectoriale, în
functie de marimea fizica ce le caracterizeaza. Exemple de câmpuri fizice sunt: (i)
temperatura dintr-o camera, care formeaza un câmp scalar; (ii)vectorii câmp electric
dintr-un nor de ploaie, care genereaza un câmp vectorial.
Lege fizica. Anumite fenomene sau procese fizice pot avea legaturi cauzale bine
definite. Prin observatii sau prin determinari experimentale, oamenii descopera aceste
legaturi si stabilesc relatiile cauzale între schimbarile diferitelor marimi fizice ce
caracterizeaza fenomenele respective. Legile generale care guverneaza fenomenele
fizice se numesc legi fizice. Pe baza legilor fizice se poate analiza un anumit fenomen
care este observat în natura sau în laborator. De asemenea, aplicând legi fizice specifice,
se poate prevedea starea viitoare a unui sistem fizic.
Experiment fizic. Observatiile dirijate efectuate în laborator, în scopul întelegerii

11. 11
unor fenomene fizice, se numesc experimente. Pentru a fi considerate valabile,
experimentele trebuie sa îndeplineasca unele conditii. Trebuie sa existe o concordanta
între: (i) rezultatele analizei stiintifice a unui anumit fenomen (exprimate printr-o lege),
(ii) observatiile dirijate din laborator (experiment) si (iii) observarea fenomenului în
natura.
Timp. Timpul reprezinta o masura a duratei proceselor fizice, el fiind masurat
prin durata unui anumit proces. Masurarea timpului se poate face cu ajutorul unor
miscari periodice (oscilatii mecanice, vibratii atomice sau moleculare). Unitatile si
etaloanele de timp au evoluat de-a lungul timpului, ele stabilindu-se în functie de
durata unui anumit fenomen fizic periodic uniform. În prezent, unitatea de timp este
secunda. Secunda este definita pe baza perioadei, TCs, a radiatiilor emise de atomii
izotopilor de Cesiu-133, în urma unor anumite tranzitii între doua stari energetice.
Spatiul si lungimea. Corpurile fizice ocupa un anumit loc în spatiu, având anumite
dimensiuni (lungime, latime, grosime, volum, arie, etc.). De asemenea, locul lor în
spatiu se modifica în functie de miscarea pe care o efectueaza. Dimensiunea unui corp
se stabilete prin compararea sa cu un alt corp, considerat etalon de lungime. Etalonul
de lungime actual este metrul, care reprezinta 1650763,73 lungimi de unda ale
radiatiei portocalii a atomului de Kripton-86 la tranzitia 2p10→5d5 în vid. În mod
formal, standardul pentru unitatea de masura a lungimii este distanta dintre doua linii
paralele trasate pe o bara de platina-iridiu, pastrata în conditii de presiune si temperatura
constante, la Sévres (lânga Paris). Toate celelalte lungimi se exprima prin compararea cu
acest metru-standard.
Spatiul constituie o notiune filozofica, el fiind "locul" în care se desfasoara
fenomenele fizice. Spatiul fizic conventional este spatiul euclidian, care este
tridimensional. În spatiul tridimensional sunt suficiente trei numere care sa descrie
pozitia unui corp în spatiu. Aceste numere sunt determinate prin alegerea Sistemului de
referinta fata de care se raporteaza corpul. Sistemul de referinta este format dintr- un
sistem de trei axe perpendiculare între ele în spatiul tridimensinal si un ceasornic, în aa
fel încât sa se poata determina distante si durate de timp. Axele sistemului de referinta
au câte un vector unitate, numit versor, de modul unitate, si a carui directie da sensul
pozitiv al axei respective. În fig.1.1 se prezinta un sistem de referinta, în care axele de
coordonate sunt Ox, Oy si Oz. Versorii axelor sunt vectorii
kji

,, .
Modul în care se exprima pozitia corpului în spatiu depinde de sistemul de

12. 12
coordonate. De regula, cele trei numere care descriu pozitia corpului sunt proiectiile,
pe cele trei axe ale sistemului de referinta, ale punctului care constituie centrul de
masa al corpului. Acestea se numesc coordonatele carteziene ale corpului. Alte
sisteme de coordonate utilizeaza o distanta si doua unghiuri (coordonate sferice), sau
doua distante si un unghi (coordonate cilindrice).
Punct material. Un corp fizic cu dimensiuni neglijabile si având masa
concentrata într-un punct, numit centru de masa, se numeste punct material.
Aproximatia de punct material constituie cel mai simplu model fizic. Pe durata
deplasarii sale, punctul material se numeste mobil. Pozitia mobilului P din fig.1.1 este
data de vectorul de pozitie, exprimat în functie de coordonatele carteziene sub forma :
x y z r rr = OP = xe + ye + ze = |r| e = re
Numerele x, y, si z se numesc coordonatele carteziene ale punctului M.
Modulul vectorului de pozitie este dat de relatia:
cos , cos , cos
x y z
r r r
    
Relatia a fost introdusa si în geometria analitica, pentru a exprima distanta dintre
doua puncte în spatiu.

13. 13
1.2. Operatii vectoriale
Într-un sistem cartezian de coordonate în care versorii kji

,, definesc sistemul
ortogonal drept, un vector a

se scrie a

kajaia zyx

 , unde zyx aaa ,, sunt
componentele vectorului a

pe axele de coordonate. Modulul vectorului:
222
zyx aaaa 

.
Exemplu: kzjyixr

 ; 222
zyxrr 

.
Produsul scalar a doi vectori:  bababa

,cos , sau folosind componentele
vectorilor pe axele de coordonate:
zzyyxx babababa 

.
Observaţie: Dacă doi vectori sunt perpendiculari  0ba

; (exemplu 0 ji

,
0ki

, 0 kj

);
Dacă doi vectori sunt paraleli baba

 ; (exemplu 1ii

, 1 jj

, 1kk

).
Exemplu: đ rdFL

 - lucrul mecanic elementar.
Produsul vectorial a doi vectori bac

 este vectorul normal la planul determinat de
a

şi b

, al cărui sens se determină cu regula burghiului drept. Modulul său este:
 bababa

,sin . Folosind componentele vectorilor produsul vectorial este:
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba


 .
Observaţie: Dacă doi vectori sunt paraleli  0ba

; (exemplu 0 ii

, 0 jj

,
0 kk

);
Dacă doi vectori sunt perpendiculari baba

 ; (exemplu 1 ji

şi
kji

 ).
Exemplu: prJ

 - momentul cinetic.

14. 14
2. Mecanica clasica
Mecanica clasica se bazeaza pe legi ale naturii ce au fost formulate de Isaac
Newton în anul 1686 în lucrarea sa, devenita celebra, "Principiile fundamentale ale
stiintelor naturii". Mai precis, mecanica este acea parte a fizicii care studiaza
miscarea mecanica a corpurilor si conditiile de echilibru ale acestora. Problema
mecanicii este stabilirea ecuatiilor de miscare ale corpurilor.
Ecuatiile de miscare dau forma traiectoriei micarii corpului. Traiectoria
indica pozitiile succesive în spatiu pe care le va ocupa corpul de-a lungul miscarii sale.
2.1. Notiumi generale
Cunoaterea miscarii unui corp presupune stabilirea localizarii lui în spatiu si în
timp. Fie un punct material M, aflat în micare pe o traiectorie în spatiu, ca în fig.2.1.
Fig. 2.1. Traiectoria punctului material într-un sistem de referinta cartezian.
Poziţia unei particule la orice moment de timp t este specificată de vectorul de
poziţie )(tr

a cărui expresie reprezintă legea de mişcare:

15. 15
ktzjtyitxtr

)()()()(  .
Prin eliminarea timpului din ecuaţiile parametrice ale traiectoriei x=x(t),
y=y(t), z=z(t) se obţin ecuaţiile traiectoriei.
Vectorul viteză momentană este derivata vectorului de poziţie în raport cu
timpul, iar prin derivarea legii de mişcare se obţine legea vitezei:
dt
rd


v ,   kjik
dt
tdz
j
dt
tdy
i
dt
tdx
t zyx

vvv
)()()(
v  .
Vectorul acceleraţie momentană este derivata întâi a vectorului viteză în
raport cu timpul, sau derivata a doua a vectorului de poziţie în raport cu timpul:
2
2
v
dt
rd
dt
d
a


 ,   kajaiak
dt
d
j
dt
d
i
dt
d
ta zyx
zyx


vvv
.
Impulsul este: v

 mp .
Principiul fundamental al mecanicii:
dt
pd
F

 ;
Pentru masă constantă, principiul fundamental al mecanicii se scrie: amF

 .
Legea de mişcare, legea vitezei, acceleraţia ca funcţii de timp, ecuaţiile
traiectoriei descriu, ceea ce se numeşte, mişcarea unui mobil. Aceste relaţii nu sunt
independente. Cunoscându-se condiţiile iniţiale (poziţia şi viteza la momentul iniţial),
prin calcule matematice se obţine una din aceste legi din alta, adică se cunoaşte
mişcarea mobilului.
Cunoscând legea de mişcare a unui corp )(tr

, prin operaţia de derivare se află legea
vitezei )(v t

, iar apoi derivând legea vitezei se află acceleraţia ca funcţie de timp )(ta

,
respectiv forţa ce acţionează asupra corpului dacă acesta are masă con
. Vectorul viteza momentana este tangent la traiectorie, aa cum se vede în fig.2.2.
)(tr

-legea de mişcare  derivare
)(v t

-legea vitezei  derivare
)(ta

-acceleraţie

16. 16
Fig. 2.2. Vectorul viteza momentana.
Din legea de mişcare )(tr

eliminând timpul se pot scrie ecuaţiile explicite ale traiectoriei.
1. Aflaţi viteza şi acceleraţia punctelor materiale descrise de următorii vectori de poziţie:
a) kjtitr

11157 2
 (m);
b)   kejtitr t
 4
123sin5  (m);
c)     ktjttittr

ln5tan6sin 2
1
2
 (m);
d)   kejtitr t
 
 722cos5 (m).
2. Ecuaţiile mişcării unui mobil sunt următoarele:
x = r cos ωt (m), y = r sin ωt (m), z = α t (m), unde r, ω, α sunt constante pozitive. Să se afle:
a) vectorul viteză, modulul vitezei;
b) vectorul acceleraţie, modulul acceleraţiei.
R: a) 222
v   r

m/s; b) 2
ra 

m/s2.
3. O particulă de masă m se mişcă după legea:
x = α cos ωt (m), y = β sin ωt (m), unde α, β, ω sunt constante pozitive.
a) Precizaţi unităţile de măsură ale constantelor α, β şi ω;
b) Determinaţi forţa care acţionează asupra particulei în funcţie de poziţia particulei.
R: .2
rmF


)(tr

- legea de mişcare   pulelimin tim
ec. traiectoriei

17. 17
4. Mişcarea unui punct material în planul xOy este descrisă de legea:
x = α sin ωt (m), y = α (1 - cos ωt) (m), unde α şi ω sunt constante pozitive. Determinaţi unghiul
dintre vectorul viteză şi vectorul acceleraţie al punctului material.
R: π/2.
Din legea de mişcare )(tr

eliminând timpul se pot scrie ecuaţiile explicite ale traiectoriei.
5. Vectorul de poziţie al unui punct material A variază după legea:
jtitr
 2
  (m), unde α, β sunt constante pozitive. Determinaţi:
a) ecuaţia traiectoriei punctului; reprezentaţi grafic;
b) vectorii viteză şi acceleraţie şi modulele acestora;
c) unghiul θ între vectorii acceleraţie şi viteză în funcţie de timp.
Rezolvare:
a) 2
2
xy


 - ecuaţia traiectoriei;
Traiectoria este o parabolă cu vârful V(0,0), iar punctul A se mişcă pe jumătate din această
parabolă ( x 0).
b) jti

 2v  , vectorul viteză este tangent la traiectorie în fiecare punct al acesteia;
ja

2 , în acest caz vectorul acceleraţie este paralel cu direcţia axei Oy şi în sens opus
acesteia în fiecare punct al traiectoriei;
c) Unghiul pe care vectorul viteză îl face cu axa Oy este (π – θ),
  
t
tg
y
x



2v
v
 
t
tg



2

sau dacă se calculează cu ajutorul produsului scalar dintre vectorii a

şi v

:
2
2
2
4
cos
t
t




 .
6. Mişcarea unei particule în plan este descrisă de legea:
x = β t (m), y = α t (1- β t) (m), unde α, β sunt constante pozitive. Determinaţi:
a) ecuaţia traiectoriei particulei; reprezentaţi grafic;
b) vectorii viteză şi acceleraţie şi modulele acestora;
)(tr

- legea de mişcare   pulelimin tim
ec. traiectoriei

18. 18
c) momentul t0 la care vectorul viteză face un unghi de π/4 cu vectorul acceleraţie.
R: a) xxy




 2
; c)


2
0

t .
7. Să se scrie ecuaţia traiectoriei, precizând forma acesteia pentru particula care se mişcă după
legea:
a) problemei 5;
b) problemei 6.
8. Două particule se deplasează cu vitezele ji

32v1  m/s, respectiv ji

2v m/s. La
momentul t0=0 particulele se găsesc în poziţiile jir

210  m, respectiv jr

320  m. Să se
determine momentul la care distanţa dintre particule este minimă.
R: t = 0,6 s.
9. Două particule se deplasează cu vitezele jit

1v m/s, respectiv jti

2v m/s. La
momentul t0 =0 particulele se găsesc în poziţiile ir

310  m, respectiv jr

320  m. Să se determine
momentul la care distanţa dintre particule este minimă.
Rezolvare:
dt
rd


v  
t
t
dttrtr
0
)(v)( 10

,
 jti
t
tr







 3
2
)(
2
1 , j
t
ittr







 3
2
)(
2
2 ,
 jt
t
it
t
r













 3
2
3
2
22
,
 





 3
2
23
2
2
22
t
t
t
t
r

;
.minr

 0

dt
rd

şi 02
2


dt
rd

;
 t=1 s.
Operaţia inversă derivării fiind integrarea, din legea vitezei )(v t

se
obţine prin integrare legea de mişcare )(tr

. Cunoscându-se acceleraţia (sau
forţa) ca funcţie de viteză )v(

a (de obicei forţele rezistente depind de

19. 19
viteză), prin integrare se poate afla legea vitezei )(v t

şi, mai departe, printr-
o nouă integrare, se poate descrie mişcarea prin legea de mişcare )(tr

.
10. Un corp de masă m porneşte la momentul t0 = 0 de la x0 = 0 cu viteza v0 într-un mediu
vîscos de-a lungul axei Ox. Corpul întâmpină din partea mediului o forţă de rezistenţă proporţională
cu viteza (F = - α v). Să se determine:
a) legea vitezei;
b) legea de mişcare;
c) după cât timp viteza iniţială a corpului, v0, se micşorează de n ori.
Rezolvare:
a) amF

 
dt
d
m
v
v   dt
d
m 
v
v
  
t
dt
d
m
0
v
v0
v
v
  tm 
0v
v
ln
 m
t
et


 0v)(v ;
b) dtedx
t
m
tx



0
0
0
v

 









1
v
)( 0 m
t
e
m
tx


;
c) Se înlocuieşte v cu
n
0v
în legea vitezei şi se obţine: n
m
t ln

 .
11. Un corp de masă m întâmpină, din partea mediului în care se mişcă de-a lungul axei Ox, o
forţă de rezistenţă proporţională cu pătratul vitezei; constanta de proporţionalitate este α (F = - α
v2). Presupunând că la momentul t0 = 0 corpul se găseşte la x0 = 0 şi are viteza v0 să se determine:
a) legea vitezei;
b) legea de mişcare;
c) după cât timp viteza iniţială a corpului, v0, se micşorează de n ori.
R: a)  
0v
v
m
t
m
t



; b)   1
v
ln 0
 t
m
m
tx


; c)  1
v0
 n
m
t

.
12. Un corp de masă m, care se mişcă în lungul axei Ox, întâmpină din partea mediului în care
se mişcă o forţă de rezistenţă proporţională cu cubul vitezei (F = - α v3). Presupunând că la
)(tr

-legea de mişcare  integrare
)(v t

-legea vitezei  integrare
)v(

a -acceleraţie

20. 20
momentul t0 = 0 corpul pleacă de la x0=0 şi are viteza v0 şi neglijând restul interacţiunilor, să se
determine:
a) legea vitezei;
b) legea de mişcare;
c) după cât timp viteza iniţială a corpului, v0, se micşorează de n ori.
R: a)
t
m
t
2
v
1
1
)(v
2
0

 ; b)  
0
2
0 v
2
v
1



m
t
m
m
tx  ; c)  1
v2
2
2
0
 n
m
t

.
.
13. O particulă se mişcă încetinit în sensul pozitiv al axei Ox cu acceleraţia va , unde α
constantă pozitivă. Ştiind că la momentul t0 = 0, x0 = 0, iar viteza este v0, determinaţi:
a) legea vitezei;
b) legea de mişcare;
c) drumul parcurs până la oprire şi intervalul de timp corespunzător.
R: a)
2
0
2
v)(v 






t
t

; b)  















3
0
3
0 v
2
v
3
2
)(
t
tx


;
c)

0v2
t , 2
3
0v
3
2

x .
Cunoscându-se viteza ca funcţie de poziţie )(v r

, prin integrare se poate afla legea de mişcare
)(tr

şi, mai departe, se poate descrie mişcarea prin legea dorită, folosind operaţiile matematice
amintite mai sus.
14. O particulă se deplasează în planul xOy cu viteza jxi

 2v  , unde α, β sunt
constante. La momentul iniţial t0 = 0 particula se găseşte în punctul x0 = y0 = 0. Determinaţi:
a) legea de mişcare;
b) legea vitezei;
c) ecuaţia traiectoriei;
d) acceleraţia.
R: a) jtittr
 2
)(   .
    

  trr integrare
v

21. 21
15. O particulă de masă m se deplasează în sensul pozitiv al axei Ox cu o viteză xv ,
unde α constantă pozitivă. Ştiind că la momentul t0 = 0 particula se găseşte în punctul x0 = 0
determinaţi:
a) legea de mişcare;
b) legea vitezei;
c) acceleraţia;
d) lucrul mecanic al tuturor forţelor ce acţionează asupra particulei în primele t secunde ale
mişcării.
R: a) 2
2
4
)( ttx

 ; d) 2
4
8
)( tmtL

 .
16. Aceeaşi problemă pentru 3
v x .
R: a)
2
3
3
2
)( 





 ttx  ; d) t
m
tL
3
)(
3

 .
Atunci când se cunosc ecuaţiile traiectoriei, prin derivări succesive ale
acestora, şi folosind condiţiile iniţiale se poate deduce acceleraţia ca funcţie
de poziţie  ra

.
17. O particulă de masă m se mişcă pe traiectoria 12
2
2
2


yx
cu o
acceleraţie paralelă cu axa Oy. La t0 = 0 particula se găseşte în punctul
de coordonate x0 = 0, y0 =  şi are viteza v0. Determinaţi forţa care
acţionează asupra particulei în fiecare punct al traiectoriei.
Rezolvare:
1
)()(
2
2
2
2


tytx
- ecuaţia traiectoriei;
Derivând ecuaţia traiectoriei în raport cu timpul se obţine:
0
22
22

dt
dyy
dt
dxx

sau 0
)(v)()(v)(
22





ttyttx yx
Condiţiile iniţiale:
t0 = 0, x0 = 0, y0 = , v0 ,
ec. traiectoriei   

  raderivare

22. 22
ay 0 , ax = 0  vx = const.
se înlocuiesc în (1) şi 0
v0


y
 v0y = 0 şi deci v0x = v0  vx = const = v0
Derivând (1) încă o dată în raport cu timpul şi utilizând, din nou,
condiţiile iniţiale, se obţine:
0
vv
22
2
2
2
0


yy ay
Înlocuind vy din (1) şi folosind ecuaţia traiectoriei se obţine:
ay = 











 2
2
2
4
2
0
2
2
2
2
0
2
1
vv




 y
yy
 ay = 3
2
0
2
4
v
y


Astfel Fy = 3
2
0
2
4
v
y
m


 , iar 0xF  j
y
m
yF

3
2
0
2
4
v
)(


 .
18. O particulă se deplasează pe o traiectorie plană cu viteza constantă în modul (v).
Determinaţi acceleraţia particulei în punctul x0 = 0 pentru o traiectorie descrisă de ecuaţia:
a) 2
xy  ;
b) xy  .
Rezolvare:
a) 2
xy    .deriv
vy = 2α x vx (1)
Dar vx
2+ vy
2 = v2 = const.  vx
2 ( 1+4 α2x2 ) = v2 (2)
  .)2( deriv
22
22
41
v4
x
x
a x
x



 
 222
22
41
v4
x
x
ax



 ;
  .)1( deriv
ay = 2 α vx
2+2 α x ax 
 222
2
41
v2
x
ay



 ;
Pentru x0 = 0  y0 =0 





0v
vv
0
0
y
x






2
0
0
v2
0
y
x
a
a
;
b) R:






0
v
2
0
2
0
y
x
a
a
 .
)(tr

-legea de mişcare  integrare
)(v t

-legea vitezei  integrare
)(ta

-acceleraţie
)(tF

-forţă

23. 23
19. Un corp de masă m se află în repaus pe un plan orizontal. La momentul t0 = 0 asupra lui
începe să acţioneze o forţă dată de legea F = α t, unde α este o constantă. Forţa face un unghi θ cu
orizontala. Neglijînd frecarea să se determine:
a) legea vitezei, până la părăsirea planului orizontal;
b) viteza v1 a corpului în momentul în care acesta părăseşte planul;
c) legea de mişcare, până la părăsirea planului;
d) drumul parcurs de corp din momentul iniţial până la părăsirea planului.
Rezolvare:
a) Până la părăsirea planului orizontal acceleraţia corpului este:
F cos θ = m a 
m
t
a
 cos
 ,

m
t
dt
d  cosv
   egrareint 2
2
cos
v t
m

 ;
b) În momentul desprinderii componenta verticală a forţei este egală cu greutatea, astfel încât:
F sin θ =G  α t1 sin θ = mg 
 sin
1
mg
t  ,



2
2
1
sin2
cos
v
mg
 ;
c) R: 3
6
cos
)( t
m
tx

 ; d) R:


32
32
01
sin6
cosgm
xx  .
20. Un corp de masă m se află în repaus pe un plan orizontal. La momentul t0 = 0 asupra lui
începe să acţioneze o forţă dată de legea F = α t , unde α este o constantă. Forţa face un unghi θ
cu orizontala. Neglijînd frecarea, să se determine:
a) viteza v1 a corpului în momentul în care acesta părăseşte planul;
b) drumul parcurs de corp din momentul iniţial până la părăsirea planului.
R: a)


32
32
1
sin3
cos2
v
gm
 ; b)


54
54
01
sin15
cos4 gm
xx  .

24. 24
2.2. Principiile fundamentale ale dinamicii
Rezolvarea problemelor de mecanica clasica se bazeaza pe câteva principii
fundamentale, obtinute prin generalizarea observatiilor experimentale. Cele trei
principii, ce au fost formulate de Galilei si de Newton, sunt suficiente pentru a explica
toate miscarile mecanice clasice, adica miscarile ce se desfasoara cu viteze mult mai
mici decât viteza luminii în vid, c = 3 108 m/s. Daca vitezele punctelor materiale se
apropie de viteza luminii în vid, atunci micarile lor se supun principiilor relativitatii
restrânse ale lui Einstein.
Principiul inertiei
Principiul inertiei a fost formulat prima data de Galilei si este cunoscut sub forma
urmatoare:
"Un corp îi pastreaza starea de repaus sau de micare rectilinie si uniforma atâta timp
cât asuprea lui nu se exercita nici o forta, sau daca rezultanta tuturor fortelor este zero".
Principiul inertiei introduce notiunea de forta. Forta este o marime vectoriala,
având ca unitate de masura în SI 1 newton, [F]SI = 1 N. Prin intermediul fortelor,
corpurile actioneaza unele asupra altora, transmitând micarea mecanica. Câmpurile
de forte sunt si ele raspunzatoare de transmiterea interactiunilor mecanice.
Conform acestui principiu, rezultanta egala cu zero a unui numar oarecare
de forte este echivalenta cu inexistenta fortei. Miscarea unui corp asupra caruia
actioneaza mai multe forte a caror rezultanta este nula sau asupra caruia nu actioneaza
nici o forta se numeste micare inertiala.
Asa cum stim, micarea este caracterizata în raport cu un sistem de referinta ales
arbitrar, de aceea micarea are caracter relativ. În acest sens, Galilei a formulat
principiul relativitatii miscarii mecanice. Sa consideram un calator aezat într-un vagon
de tren, ce se deplaseaza rectiliniu si uniform. Calatorul se poate gasi într-una din starile
mecanice urmatoare: (i) este în repaus, în raport cu sistemul de referinta legat de tren,
(ii) este în miscare rectilinie uniforma cu o viteza egala cu viteza trenului fata de un
sistem de referinta legat de Pamânt, (iii) este în miscare accelerata, în raport cu un
sistem de referinta legat de Soare, deoarece Pamântul este în micare accelerata fata de

25. 25
Soare. Toate sistemele de referinta ce se misca rectiliniu si uniform se numesc sisteme
de referinta inertiale. In aceste sisteme de referinta este valabil principiul inertiei.
Principiul fortei sau a doua lege a dinamicii.
Newton a descoperit faptul ca o forta care actioneaza asupra unui corp îi
imprima acestuia o acceleratie, proportionala cu forta si invers proportionala cu masa
corpului.
Derivata impulsului p = mv al unui punct material in raport cu timpul ,
reprezintă rezultanta F a forţelor care acţionează asupra punctului vectorial ca
urmare a interacţiunilor cu alte corpuri. Forţa este direct proporţională cu produsul
dintre masa şi acceleraţia corpului.
 
dp d
mv F
dt dt
 
 
2
2
d dv d r
m ct mv m m ma F
dt dt dt
      sau
xF
dt
xd
m 2
2
yF
dt
yd
m 2
2 2
2
x xdv Fd x
dt dt m
 
zF
dt
zd
m 2
2
1ct
m
F
dt
m
F
v xx
x  
2
1 1 2
2
x x
x x
F F t
d v dt x vdt tdt c dt c t c
n m
         
2
3 3 4
2
y y
y
F F t
v t c y c t c
m m
     
2
5 5 6
2
z z
z
F F t
v t c z c t c
m m
     
 
 
 65
43
21
,,
,,
,,
cctzz
cctyy
cctxx


  
timpult
cccccctr

 654321 ,,,,,,
 61 cc constanta de integrare

26. 26
dp Fdt
dtFdp xx 
dtFdp
dtFdp
Z
Yy


   0
0
tptpdtF xx
t
t
X  aria suprafetei masurate este egala cu variatia
componentei impulsului pe axa Ox Δt= t- t0
Masa este o masura a cantitatii de materie continuta în corp. Cantitatea de micare
sau impulsul unui corp se definete ca produsul dintre masa si vectorul viteza al corpului:
Unitatea de masura pentru impulsul mecanic este [p]SI =1 kg m s-1.
Principiul actiunii si reactiunii.
" Oricarei actiuni i se opune întotdeauna o reactiune egala în modul si de sens
contrar." Cele doua forte, actiunea si reactiunea, sunt aplicate simultan si la corpuri
diferite, de-a lungul dreptei care unete cele doua corpuri. În acest caz este vorba de
interactiunea mutuala simultana si nu de o cauza si un efect.
Principiul independentei actiunii fortelor
Experimental, se constata ca fiecare dintre fortele la care este supus un corp
actioneaza independent de celelalte forte aplicate corpului. Din acest principiu rezulta
posibilitatea înlocuirii unui ansamblu de forte, F1 , F2 , ..., Fn , prin rezultanta lor, egala
cu suma vectoriala a acestora.
Principiul relativitatii din mecanica clasica.
Micarea mecanica este raportata la sisteme de referinta. Din acest punct de
vedere, micarea este relativa. Sistemele de referinta pot fi în repaus, în micare rectilinie
si uniforma (sisteme de referinta inertiale), sau în micare accelerata (sisteme de
referinta neinertiale). În anul 1632 Galilei enunta principiul relativitatii în mecanica
clasica, afirmând ca toate legile mecanicii ramân neschimbate fata de orice sistem de
referinta inertial. Din punct de vedere mecanic, toate sistemele de referinta inertiale sunt

27. 27
absolut echivalente. Nici un sistem de referinta inertial nu poate fi considerat absolut,
toate fiind egal îndreptatite. Prin urmare, nici o experienta mecanica efectuata în
interiorul unui sistem de referinta inertial nu ne permite sa determinam miscarea
rectilinie si uniforma sau starea de repaus a sistemului de referinta fata de stelele fixe
(adica fata de alte sisteme de referinta inertiale). Din interiorul vagonului de tren din
exemplul anterior nu ne putem da seama daca acesta merge uniform si rectiliniu sau sta
pe loc, deoarece orice experienta mecanica da acelai rezultat în ambele cazuri.Lucrurile
se schimba radical atunci când avem de-a face cu sisteme de referinta neinertiale, adica
aflate în micare accelerata. În acest caz legile lui Newton nu mai sunt valabile
si cu ajutorul experientelor mecanice efectuate în interiorul sistemului putem
determina acceleratia acestuia. În sistemele de referinta neinertiale se excercita fortele
de inertie. Cel mai simplu exemplu de forta de inertie este forta centrifuga din
micarea circulara.
2.3. Teoreme generale în dinamica punctului material
Ca o consecinta a principiilor fundamentale ale dinamicii, se obtin legile ce
guverneaza unele marimi fizice ale punctului material (impuls mecanic, energie,
moment cinetic). Aceste legi se mai numesc si teoremele generale în dinamica
punctului material.
Energia
Lucrul mecanic elementar, respectiv lucrul mecanic total la trecerea din starea
1 în starea 2 sunt:
đ rdFL

 , rdFL

 
2
1
.
Observaţie: đL reprezintă lucrul mecanic elementar şi nu diferenţiala lucrului
mecanic.
Dacă forţa este constantă pe tot parcursul deplasării: rFL

 .
dt
Ld
P  - puterea mecanică; v

 FP .

28. 28
đL = dEc - teorema variaţiei energiei cinetice;
Lucrul mecanic al forţelor care derivă din potenţial este: đL= - dU, iar forţele câmpului
potenţial se exprimă:
UF 

= - grad U,
unde U = U( x, y, z ) – potenţialul sau energia potenţială este funcţie de poziţie;
z
k
y
j
x
i










- operatorul nabla.
E = Ec + U – energia totală.
21. Forţele constante kjiF

2321  (N) şi kjiF

532  (N) acţionează
simultan asupra unei particule în timpul deplasării acesteia din punctul A(4, 7, 5) (m) în
punctul B(9, 0, 8) (m). Care este lucrul mecanic efectuat asupra particulei?
R: 30 J
22. O particulă se deplasează pe o traiectorie în planul xOy din punctul de vector
de poziţie jir

531  m, în punctul de vector de poziţie jir

 42 m. Ea se deplasează
sub acţiunea unei forţe jiF

72  N. Calculaţi lucrul mecanic efectuat de forţa F

.
R: - 40 J.
23. Un corp de masă m = 4 kg se mişcă după legea  jtttr
 3
3)(  m. Să se
calculeze lucrul mecanic efectuat asupra corpului în intervalul de timp t0 = 0, t1 = 2 s.
Rezolvare:
 jtttr
 3
3)(    jt(t)
 2
91v  ,
 jt(t)

18a  , jt(t)

72F  ;
v

 FP   2
9172 ttP  ;
  
2
0
2
9172 dtttL  2736L J.
24. Un corp de masă m = 1 kg se mişcă după legea jtittr
 32
2)(  m. Să se
calculeze lucrul mecanic efectuat asupra corpului în intervalul de timp t0 = 0, t1 = 1 s.
R: L = 20 J.

29. 29
25. Asupra unui corp de masă m aflat pe un plan orizontal acţionează o forţă
constantă în modul F = mg/2. Pe parcursul deplasării forţa face cu orizontala un unghi
care variază după legea θ = α x, unde α este o constantă, iar x este drumul parcurs (x0 =
0). Să se calculeze viteza v1 a corpului în momentul în care unghiul θ = π/2.
Rezolvare:
F sin θ < G , pentru orice x  pe tot parcursul deplasării corpul rămâne pe planul
orizontal;
Lucrul mecanic, al forţelor care acţionează asupra corpului, se reduce la lucrul
mecanic al componentei forţei F

de-a lungul planului orizontal :
   x
F
dxxFL
x


 sincos
0
  ;
Folosind teorema variaţiei energiei cinetice:
L = ∆Ec  )(sin)(v x
g
x 

 

g
1v .
Dacă se cunoaşte forţa, sau acceleraţia, ca funcţii de poziţie, legea vitezei
se poate obţine folosind teorema variaţiei energiei cinetice şi definiţia lucrului mecanic,
iar legea de mişcare rezultă prin integrarea legii vitezei. O altă modalitate de a obţine
legea de mişcare este rezolvarea ecuaţiei diferenţiale la care conduce principiul
fundamental al mecanicii.
26. U
n corp de masă m se mişcă în lungul axei Ox sub acţiunea unei forţe care variază după
legea F = α x, unde α este o constantă pozitivă. Ştiind că, la momentul t0 = 0, corpul se
găseşte în x0 şi are viteza v0 = 0, să se determine:
a) legea de mişcare;
b) legea vitezei.
R: a)
m
t
extx

0)(  ; b)
m
t
e
m
xt


0)(v  .
)(tr

-legea de mişcare  integrare
)(v t

-legea vitezei  integrare
)(ra

-acceleraţie
)(rF

-forţă

30. 30
27. Un corp de masă m se mişcă în lungul axei Ox sub acţiunea unei forţe care
variază după legea F = α x, unde α este o constantă pozitivă. Ştiind că, la momentul t0 =
0, corpul se găseşte în x0 = 0 şi are viteza v0 , să se determine:
a) legea de mişcare;
b) legea vitezei.
Rezolvare:
a) Folosind teorema variaţiei energiei cinetice: L = ∆Ec şi definiţia lucrului mecanic:
 dxxFL
x

0
,
se obţine lucrul mecanic
2
2
x
L

 şi deci 22
0v)(v x
m
x

 ;
Prin integrare se obţine legea de mişcare implicită:
m
t
m
xx
m





















2
02
0
v
v
1
ln ,
care, prin câteva artificii matematice duce la legea de mişcare explicită.
Dacă se abordează problema rezolvând ecuaţia diferenţială ce rezultă în urma aplicării
principiului fundamental al mecanicii:
02
2
 x
mdt
xd 
,
atunci legea de mişcare rezultă în mod explicit şi este:








 t
m
m
tx


sinhv)( 0 ;
b) R: 







 t
m
t

coshv)(v 0 .
28. Un corp de masă m este ridicat de la suprafaţa Pământului cu ajutorul unei
forţe care depinde de altitudinea y după legea  jymgF

12   , unde α este o
constantă pozitivă. Calculaţi lucrul mecanic al acestei forţe şi variaţia energiei potenţiale
a corpului pe porţiunea y = 0, y = 1/2α.
R:
4
3mg
L  ;
2
mg
U  .

31. 31
29. Un resort special are legea forţei F = - α x3. Care este energia potenţială în
punctul x, presupunând Ep = 0 la x0 = 0.
R: Ep = α x4 / 4.
30. Ştiind că potenţialul forţei este dat de expresia
r
U

 , unde α este o
constantă pozitivă, să se determine expresia forţei ce derivă din acesta.
Rezolvare:
UF 


z
U
k
y
U
j
x
U
iF










;
Pentru a lucra în coordonate carteziene se foloseşte expresia potenţialului scrisă cu
aceste coordonate:
  2
1
222
),,(
zyx
zyxU




  2
3
222
zyx
x
x
U
Fx






,
  2
3
222
zyx
y
y
U
Fy






,
  2
3
222
zyx
z
z
U
Fz






,

 
  2
3
222
zyx
kzjyix
F




 
 r
r
F

3

 .
31. Potenţialul unui câmp are expresia
rr
U

 2
, unde α şi β sunt constante
pozitive, iar r este distanţa faţă de centrul câmpului. Să se determine:
a) expresia forţei ce derivă din acest potenţial;
b) valoarea maximă a forţei de atracţie pe care acest câmp o exercită asupra unei
particule.
R: a) r
rr
F







 34
2 
; b) 2
3
max
27

F .
Momentul forţei şi momentul cinetic

32. 32
FrM

 - momentul forţei;
prJ

 - momentul cinetic;
M
dt
Jd 

 - teorema mometului cinetic;
Pentru forţe centrale momentul forţei este nul în raport cu centrul câmpului şi momentul
cinetic se conservă.
32. O planetă de masă m evoluează în jurul Soarelui, de masă M, pe o elipsă.
Distanţa minimă (periheliu) şi maximă (afeliu) faţă de Soare este r1, respectiv r2.
Calculaţi momentul cinetic al acestei planete în raport cu centrul Soarelui.
Rezolvare:
Forţa de interacţiune gravitaţională între planetă şi Soare este:
r
r
mM
KF

3
 ,
iar energia potenţială a planetei în câmpul gravitaţional al Soarelui este:
r
mM
KEp  ;
Mişcarea planetei fiind în câmp central, energia totală şi momentul cinetic se conservă.
În punctele în care distanţa planetei faţă de Soare este minimă, respectiv maximă,
aceste legi de conservare se scriu:
2
v
2
v 2
2
2
2
1
1
m
r
mM
K
m
r
mM
K  ,
2211 vv mrmrJ  .
Rezolvând sistemul format din aceste două ecuaţii care au necunoscutele v1 şi v2 se
obţine:
21
212
rr
rrKM
mJ

 .
33. Să se exprime, în funcţie de momentul cinetic J, energia cinetică, energia
potenţială şi energia totală a unui satelit de masă m pe o orbită circulară.
R: 2
2
2mr
J
Ec  ; ; 2
2
2mr
J
E  .
2
2
mr
J
Ep 

33. 33
O deplasare infinit mica a punctului material pe traiectorie.
Traiectorii ale punctului material între doua puncte în spatiu.

34. 34
3. Oscilatii si unde
3.1. Notiuni generale
Se numeste oscilatie fenomenul fizic în decursul caruia o anumita marime fizica a
procesului prezinta o variatie periodica sau pseudo-periodica. Un sistem fizic izolat, care
este pus în oscilatie printr- un impuls, efectueaza oscilatii libere sau proprii, cu o
frecventa numita frecventa proprie a sistemului oscilant. Oscilatiile pot fi clasificate în
functie de mai multe criterii.
Din punct de vedere al formei de energie dezvoltata în timpul oscilatiei, putem
întâlni: (i) oscilatii elastice, mecanice (au loc prin transformarea reciproca a energiei
cinetice în energie potentiala); (ii) oscilatii electromagnetice (au loc prin transformarea
reciproca a energiei electrice în energie magnetica);
(iii) oscilatii electromecanice (au loc prin transformarea reciproca a energiei
mecanice în energie electrom agnetica).
Din punct de vedere al conservarii energiei sistemului oscilant, putem clasifica
oscilatiile în: (i) oscilatii nedisipative, ideale sau neamortizate (energia totala se
conserva); (ii) oscilatii disipative sau amortizate (energia se consuma în timp); (iii)
oscilatii fortate sau întretinute (se furnizeaza energie din afara sistemului, pentru
compensarea pierderilor).
Marimi caracteristice oscilatiilor periodice.
Sa notam cu S(t) marimea fizica ce caracterizeaza o oscilatie. Atunci, daca T este
perioada oscilatiei, marimea S are aceai valoare la momentul t si la un moment ulterior, t
+ T:
S(t) = S(t+T )
Oscilatiile armonice reprezinta acel tip de oscilatii în care marimile caracteristice
se pot exprima prin functii trigonometrice (sinus, cosinus ) sau prin functii exponentiale
de argument complex. Acele oscilatii care nu sunt armonice, se pot descompune în serii
Fourier de functii. Reamintim, de asemenea, formulele lui Euler, care vor fi utile în
calculele urmatoare:
Miscarea oscilatorie armonica apare foarte des în situatiile practice. Un

35. 35
exemplu foarte la îndemâna îl constituie bataile inimii. Se spune ca Galilei folosea
bataile inimii sale pentru a cronometra miscarile pe care le studia.
3.2. Micarea oscilatorie armonica ideala
În absenta unor forte de frecare sau de disipare a energiei, miscarea oscilatorie
este o miscare ideala, deoarece energia totala a oscilatorului ramâne constanta în timp.
Micarea este reversibila, astfel ca dupa o perioada oscilatorul revine în pozitia initiala si
procesul se reia. Forta care determina revenirea oscilatorului în pozitia initiala si care
permite continuarea oscilatiei se numete forta de revenire. Aceasta forta de revenire
poate fi forta elastica dint-o lama metalica, presiunea dintr-un tub si, în general, orice
forta care produce o deformare elastica.
Sa consideram un oscilator mecanic format dintr-un resort elastic si un corp
punctiform, de masa m, legat la capatul liber al resortului, ca în fig.3.1.a. Daca se pune
corpul în miscare prin intermediul unei forte si daca nu exista frecari, sistemul va efectua
o micare periodica în jurul pozitiei de echilibru, numita oscilatie ideala.
Forta elastica din resort, eF , este singura forta din sistemul mecanic, aa ca putem
scrie formula fudamentala a dinamicii sub forma:
ma = - k y
unde k este constanta elastica a resortului, iar y este alungirea acestuia (y se numete
elongatia miscarii) .
Ecuatia de micare a corpului devine:
m a + k y = 0

36. 36
Fig. 3.1. Oscilator mecanic ideal: a) momentul initial; b) alungirea y produce forta de
revenire eF ;
c) amplitudinea micarii oscilatorii.
Acceleratia corpului reprezinta derivata de ordinul doi la timp a vectorului
deplasare, de aceea ecuatia de micare devine:
Reprezentarea marimilor vectoriale periodice se poate realiza si prin
intermediul fazorilor. Fazorul este un vector rotitor în sens trigonometric pozitiv într-un
plan Oxy, care are vitexa unghiulara
0 . Lungimea fazorului este egala cu modulul vectorului pe care îl reprezinta, adica
fazorul este egal cu amplitudimea micarii oscilatorii. Faza vectorului reprezentat este
egala cu unghiul format de fazor cu axa orizontala, Ox. Vectorul reprezentat este egal cu
proiectia fazorului pe axa verticala Oy. Fazorul din fig. 3.2 reprezinta elongatia
oscilatorului ideal, în diferite momente de timp.
Fig. 3.2. Reprezentarea fazoriala a oscilatiei.
Marimile fizice caracteristice ale oscilatorului ideal pot fi reprezentate grafic în
functie de timp. Daca faza initiala este nula, se obtin graficele functiilor y = f(t), v = f(t)
si a = f(t) din fig.3.3.

37. 37
Fig. 3.3. Elongatia, viteza si acceleratia oscilatorului ideal în functie de timp.
Energia mecanica a oscilatorului ideal este constanta, ceea ce constitue legea
conservarii energiei mecanice a oscilatorului ideal.
În decursul oscilatiei ideale, energiile cinetica si potentiala elastica ale oscilatorului
ideal sunt variabile în timp, transformându-se una în alta, în aa fel încât suma lor
sa ramâna constanta. În fig.3.4 sunt reprezentate energiile cinetica, potentiala si
totala în functie de elongatia y. Se poate observa ca desi energia potentiala este
variabila, fiind reprezentata de parabola din figura, totusi energia mecanica a
oscilatorului ideal este constanta.
Fig.3.4. Energiile cinetica, potentiala si totala în functie de elongatia oscilatorului
ideal.
Conservarea energiei mecanice a oscilatorului constituie efectul direct al
faptului ca fortele elastice sunt forte conservative. Caracterul oscilant al miscarii se
poate constata si din transformarea periodica a energiei cinetice în energie potentiala si
reciproc.

38. 38
3.3. Compunerea miscarilor oscilatorii armonice
Pe baza legilor micarii oscilatorii armonice ideale se pot studia miscari oscilatorii
mai complexe, care rezulta din compunerea a doua sau mai multe oscilatii armonice,
care se desfasoara pe directii paralele sau pe directii perpendiculare.
3.3.1. Compunerea oscilatiilor armonice paralele de aceeasi pulsatie
Sa presupunem ca un punct material de masa m este legat de doua resorturi
elastice, aa cum se vede în fig.3.5, fiind supus simultan la doua forte elastice pe aceeai
directie dar în sensuri diferite. Cele doua resorturi elastice sunt identice, adica au aceeai
constanta elastica, k 1 = k 2 = k.
Fig.3.5. Oscilatie armonica sub actiunea a doua forte elastice paralele.

39. 39
Fig. 3.6. Reprezentarea fazoriala a compunerii oscilatiilor paralele.
3.3.2. Compunerea oscilatiilor armonice paralele de frecventa diferita
Consideram doua oscilatii armonice individuale ale punctului material de masa m.
Una dintre oscilatii are pulsatia proprie 1 iar cealalta are pulsatia proprie 2. Diferenta
dintre cele doua frecvente de oscilatie nu este însa prea mare. Elongatiile celor doua
oscilatii armonice independente sunt de forma:
Punctul material este supus simultan ambelor oscilatii, asa cum se poate vedea în fig.
3.7, si ne propunem sa determinam ecuatia oscilatiei rezultante.
Fig. 3.7. Compunerea a doua oscilatii paralele de frecvente diferite.

40. 40
Tb mai este numita si perioada batailor.
Fig. 3.8. Fenomenul de batai.
Faza oscilatiei are perioada T, mult mai mica decât Tb:
Oscilatia rezultanta este reprezentata, în fig.3.7, cu linie continua.
Perioada batailor este intervalul de timp între doua treceri succesive ale
amplitudinii rezultante prin valoarea minima sau maxima.
3.3.3. Compunerea oscilatiilor perpendiculare
Consideram un punct material de masa m, care care este solicitat simultan sa
oscileze armonic sub actiunea a doua resorturi elastice identice legate pe doua directii
perpendiculare, ca în fig. 3.9.

41. 41
Fig. 3.9. Compunerea oscilatiilor perpendiculare
Cele doua miscari oscilatorii armonice sunt perpendiculare, având ecuatiile
elongatiilor pe cele doua directii de forma:
Fig. 3.10. Traiectorie eliptica rotita fata de axe.
Fig. 3.11. Traiectorie particulara în cazul compunerii oscilatiilor perpendiculare în
faza,
Elipsa care descrie traiectoria particulei nu mai este rotita fata de axele de
coordonate (vezi fig.3.12).

42. 42
Fig.3.12. Traiectoria rezultata din compunerea a doua oscilatii perpendiculare în
cuadratura de faza,
Micarea punctului material se defasoara pe elipsa, într-un sens sau în altul.
3.4. Miscarea oscilatorie amortizata
Sistemele oscilante reale sunt supuse unor forte de frânare, sau de disipare a
energiei pe care-o au la începutul miscarii. Acea parte a energiei ce se pierde prin
frecare se transforma în caldura. Ampltudinea micarii oscilatorii amortizate este
scazatoare în timp. Un caz interesant de forte de frânare îl constituie fortele
proportionale cu viteza de oscilatie. Micarea este neperiodica, aa cum se vede în fig.
3.13. Elongatia tinde la zero când timpul tinde la infinit, fara ca punctul material sa
oscileze.
Fig. 3.13. Elongatia micarii cu forta de amortizare mare, 0 .

43. 43
Fig. 3.14. Elongatia si amplitudinea oscilatorului armonic amortizat în functie de
timp.
Observam ca oscilatia amortizata este modulata în amplitudine. Elongatia tinde la
zero când timpul tinde la infinit, punctul material oscilând în jurul pozitiei de echilibru
cu o amplitudine din ce în ce mai mica.
Descreterea amplitudinii micarii oscilatorii amortizate este caracterizata de
marimea numita decrement logaritmic. Decrementul logaritmic este egal cu logaritmul
natural al raportului dintre doua amplitudini succesive:
Fig.3.15. Dependenta de timp a energiei mecanice si a amplitudinii oscilatorului
amortizat.
3.5. Analogie între oscilatiile mecanice si cele electromagnetice
Examinând oscilatiile elastice (ale unui sistem format dintr-un resort elastic si

44. 44
un corp punctiform) si oscilatiile electromagnetice (dintr-un circuit serie RLC de
curent alternativ), constatam o serie de asemanari (similitudini). Aceste asemanari au
condus la stabilirea unor corespondente între marimile electrice si cele mecanice,
adica la stabilirea unor analogii între aceste marimi. Cunoaterea analogiilor dintre
marimile electrictromagnetice si cele mecanice permite transpunerea rezultatelor
obtinute pentru oscilatiile elastice armonice (ideale sau amortizate) la cazul
oscilatiilor electrice. Consideram un circuit serie RLC, format dintr-un rezistor cu
rezistenta electrica R, o bobina ideala cu inductanta L, si un condensator de capacitate
electrica C (vezi fig. 3.16).
Fig. 3.16. Circuit RLC parcurs de un curent electric variabil în timp.
Consideram ca bobina constituie secundarul unui transformator. În bobina se
induce o tensiune electromotoare, uL, prin inductie electromagnetica între primarul si
secundarul transformatorului. Similitudinile dintre cele doua tipuri de oscilatii sunt
prezentate în Tabelul 3.1. Astfel, putem observa ca toate marimile fizice
corespunzatoare oscilatiei electromagnetice au un corespondent în marimi
corespunzatoare oscilatiei elastice. Folosind analogia dintre oscilatiile amortizate ale
resortului elastic si oscilatiile electromagnetice amortizate din circuitul RLC, se poate
scrie intensitatea instantanee a curentului electric din circuit, care este data de relatia:
În fig. 3.17 se prezinta intensitatea instantanee a curentului electric din circuit si
amplitudinea oscilatiilor sale în functie de timp.

45. 45
Fig. 3.17. Intensitatea instantanee a curentului electric din circuitul oscilant
amortizat.
3.6. Oscilatii fortate. Rezonanta
Sa consideram un oscilator mecanic format dintr-un resort elastic si un corp de
dimensiuni neglijabile. Datorita fortei de frecare, energia mecanica a oscilatorului se
consuma în timp, astfel încât oscilatia este amortizata, aa cum am vazut în paragraful
3.4. Pentru a întretine miscarea oscilatorie,trebuie sa se aplice forte exterioare (numite

46. 46
forte de fortare), care sa compenseze pierderile de energie din sistem. În acest caz,
punctul material va efectua o miscare oscilatorie fortata. Dintre tipurile de forte de
fortare (sau perturbatoare) ce se pot aplica sistemului oscilant, un caz interesant
pentru aplicatiilepractice este cel în care fortele perturbatoare sunt periodice.
Experienta arata ca o miscare periodica întretinuta prezinta un regim tranzitoriu,
dupa trecerea caruia se instaleaza regimul permanent. Regimul tranzitoriu este de scurta
durata, iar regimul permanent se manifesta prin oscilatii întretinute.
3.6.1. Rezonanta
Aa cum am vazut în paragraful anterior, dupa stabilirea regimului permanent
al oscilatiei întretinute, frecventa de oscilatie este egala cu frecventa fortei
perturbatoare. Sistemul oscilant adopta pulsatia fortei perturbatoare, care este diferita de
pulsatia sa proprie de oscilatie ca sistem
Rezonanta este fenomenul fizic de aparitie a maximului amplitudinii oscilatiei
întretinute. Sistemul fizic aflat la rezonanta oscileaza cu amplitudine maxima. Deci,din
punct de vedere fizic, este ideal sa amplificam la maxim o oscilatie armonica, totusi în
practica trebuie evitate situatiile în care frecventa fortei de întretinere coincide cu
frecventa proprie a oscilatorului,deoarece în acest caz amplitudinea tinde la infinit.
Rezonanta mecanica are multiple aplicatii în tehnica.

47. 47
Fig. 3.18. Curbe de rezonanta pentru diferite valori ale coeficientului de amortizare:
Astfel, în acest paragraf am constatat ca în cazul oscilatiilor întretinute, sau
fortate, forta exterioara produce un lucru mecanic ce compenseaza pierderile de
energie din sistemul oscilant. În paragraful urmator vom vedea cum se caracterizeaza
din punct de vedere energetic oscilatiile întretinute.
Fig. 3.19. Variatia modulului fazei intiale a oscilatiei permanente în
3.6.2. Consideratii energetice ale oscilatiilor fortate
În continuare vom defini câteva marimi fizice care caracterizeaza transferul
energiei mecanice în sistemul ce efectueaza oscilatii fortate, sau întretinute.
1. Puterea instantanee absorbita de sistemul oscilant întretinut reprezinta derivata la
timp a lucrului mecanic efectuat de forta de fortare.
2. Puterea medie absorbita în decursul unei perioade reprezinta integrala pe o
perioada a puterii instantanee absorbite Pa (t).
3. Puterea instantanee disipata sub forma de caldura de catre forta de frecare
reprezinta derivata la timp a lucrului mecanic efectuat de forta de frecare.
4.Puterea medie disipata într-o perioada reprezinta integrala pe o perioda a
puterii instantanee disipate.

48. 48
Fig. 3.20. Puterile medii absorbita si disipata
Oscilaţiimecanice ,aplicatii
Oscilaţii armonice:
Un corp efectuează oscilaţii armonice atunci când asupra lui acţionează o forţă de tip
elastic:
F = - k x,
k –constanta elastică; x –elongaţie; m –masa;
m
k
2
0 , ω0 – pulsaţie proprie;
0
0
2
T

  , T0 –perioadă proprie;
x(t) = A sin (ω0 t + φ);
Oscilaţii amortizate:
Oscilaţiile unui corp sunt amortizate atunci cănd asupra lui acţionează, pe lângă forţa de
tip elastic (- k x) şi o forţă rezistentă proporţională cu viteza (– α v):
F = - k x – α v, α –coeficient de rezistenţă;


2
m
, 22
0   , ω –pulsaţia oscilaţiei amortizate;
β –factor de amortizare;
Observaţie: Avem de-a face cu mişcare de oscilaţie numai dacă 22
0   .
x(t) = A e - β t sin (ω t + φ);
T  - decrement logaritmic;
T – perioada mişcării oscilatorii amortizate.

49. 49
Oscilaţii forţate:
Forţa care întreţine oscilaţia este sinusoidală de amplitudine F0 şi pulsaţie ω1:
F = - k x – α v + F0 sin (ω1 t);
x(t) = A1 sin (ω1 t - φ1 ) ,
   2
1
22
1
2
0
0
1
2 

mF
A , 2
1
2
0
1
1
2




tg ;
A1 (ω1) = maximă  ω1= ωrez = 22
0 2  .
34. O particulă efectuează oscilaţii sinusoidale de-a lungul axei Ox în jurul poziţiei
de echilibru. Pulsaţia oscilaţiilor este ω = 5 rad/s. La momentul t0=0 particula se
găseşte în poziţia x0 = 12 cm şi are viteza 0v =0,6 m/s. Determinaţi legea de mişcare şi
legea vitezei.
R: 






4
5sin212)(

ttx cm; 






4
5cos260v
π
t,(t) m/s.
35. Determinaţi pulsaţia şi amplitudinea oscilaţiilor sinusoidale efectuate de o
particulă dacă la distanţele x1 şi x2 de la poziţia de echilibru viteza particulei are valorile
v1 şi v2.
R: 2
2
2
1
2
1
2
2 vv
xx 

 , 2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
vv
vv



xx
A .
36. Un corp de masă m = 0,05 kg fixat de capătul unui resort de constantă elastică
k = 20 N/m execută o mişcare oscilatorie armonică de-a lungul axei Ox. Ştiind că la
momentul t0 = 0 corpul are doar energie cinetică, iar energia cinetică maximă a corpului
este de 9·10 -3 J, să se determine:
a) legea de mişcare;
b) energia totală a corpului.
R: a) x(t) = 0,03 sin(20 t) m; b) Et = 9·10 -3 J.
37. Un corp de masă m = 0,05 kg fixat de capătul unui resort execută o mişcare
oscilatorie armonică de-a lungul axei Ox după legea:

50. 50
)10(sin050 t,x(t)  m. Să se determine:
a) constanta elastică a resortului şi perioada oscilaţiilor;
b) energia totală a corpului;
c) momentele de timp la care energia cinetică este egală cu energia potenţială.
R: a) k = 5 N/m,
5

T s; b) Et = 6.25·10 -3 J; c)  
40
12

 ntn s, unde n=număr
natural.
38. Un punct material efectuează o mişcare oscilatorie amortizată de-a lungul axei
Ox. Perioada mişcării este T=3 s, iar decrementul logaritmic δ=0,6. Să se scrie legea de
mişcare, ştiind că la momentul iniţial t0 = 0, x0 = 0, v0 = 0,5 m/s.
R: 







tetx
t
3
2
sin
4
3
)( 5


.
39. Să se scrie expresia vitezei oscilaţiilor amortizate.
Rezolvare:
x(t) = A0 e - β t sin (ω t + φ),
        
 
teteAt tt
cossinv 0 ,
      



 



 
tteAt t
sincosv 0 ;
      











 



 
tarctgtgteAt t
sincosv 0 ,
   



















 
arctgt
arctg
eA
t
t
cos
cos
v 0
.
40. Un punct material execută oscilaţii amortizate cu pulsaţia ω. Să se determine
coeficientul de amortizare β dacă la momentul t0 = 0 viteza punctului material este nulă,
iar elongaţia este de n ori mai mică decât amplitudinea.
R: 12
 n .
41. Un corp oscilează într-un mediu cu decrementul logaritmic δ1. Care este
decrementul logaritmic δ2 dacă coeficientul de rezistenţă al mediului creşte de n ori?

51. 51
Rezolvare:
12  n  12  n ;



2
 T , 22
0   ,

2
22
0 



 
22
0
4



 ;
 22
1
01
22
2
02
44 






n
,

  11
4
2
2
2
1
1
2


n
n



 .
42. Un corp oscilează într-un mediu cu decrementul logaritmic δ1. De câte ori
trebuie să crească rezistenţa mediului pentru ca oscilaţia amortizată să devină mişcare
amortizată aperiodică (β2 = ω0).
R: 1
2
2
1









n .
43. Un corp de masă m=250 g execută o mişcare de oscilaţie amortizată cu factorul de
amortizare β = π/4 s – 1, perioada oscilaţiilor proprii fiind 320 T s. Oscilaţiile corpului
devin forţate în urma acţiunii unei forţe exterioare periodice )2(sin1,0 tF  N. Să se
scrie elongaţia oscilaţiilor forţate.
R:   






4
2sin
22,0
2



ttx m.
44. Amplitudinea oscilaţiilor forţate este aceeaşi pentru două frecvenţe ν1 şi ν2. Să
se afle frecvenţa de rezonanţă a oscilaţiilor.
R:
2
2
2
2
1 


rez .
45. Asupra unui corp, care efectuează o mişcare oscilatorie amortizată cu perioada
oscilaţiilor proprii T0, acţionează o forţă exterioară sinusoidală de amplitudine F0. La

52. 52
rezonanţa vitezelor, amplitudinea oscilaţiilor este A0. Să se afle coeficientul de
rezistenţă.
Rezolvare:
x(t)=A1 sin (ω1 t - φ1 ) - legea de oscilaţie în cazul oscilaţiilor forţate;
   2
1
22
1
2
0
0
1
2 

mF
A ,
v(t)=A1 ω1 cos (ω1 t - φ1 )
Rezonanţa vitezelor se realizează atunci când :
ω1 A1= maximă 
   
0
2
2
1
22
1
2
0
0
1
1











 


mF
d
d
 ω1 = ω0

0
0
0
2 m
F
A  ;
Dar
0
0
2
T

  , iar 

2
m

0
00
2 A
TF

  .
46. Un corp care efectuează o mişcare oscilatorie forţată are amplitudinea vitezei
egală cu 1/3 din amplitudinea vitezei la rezonanţa vitezelor, pentru două pulsaţii ω1 şi
ω2. Să se afle:
a) pulsaţia proprie a oscilatorului ω0;
b) factorul de amortizare β.
R: a) 210   ; b)
24
12 


 .
Compunerea oscilaţiilor armonice paralele
a) Oscilaţii cu aceeaşi pulsaţie
x1 (t) = A1 sin (ω t + φ1),
x2 (t) = A2 sin (ω t + φ2);
Rezultatul compunerii a două oscilaţii armonice paralele de aceeaşi pulsaţie este
tot o oscilaţie armonică de aceeaşi pulsaţie pe aceeaşi direcţie.
x (t) = x1 (t) + x2 (t)  x (t) = A sin (ω t + φ)
 1221
2
2
2
1 cos2   AAAAA ,
2211
2211
coscos
sinsin



AA
AA
tg


 .

53. 53
b) Oscilaţii cu pulsaţii puţin diferite
Rezultatul compunerii a două oscilaţii armonice paralele de pulsaţii diferite nu
mai este o oscilaţie armonică.
x1 (t) = A sin (ω1 t + φ1),
x2 (t) = A sin (ω2 t + φ2),
x (t) = x1 (t) + x2 (t) ;
Dacă pulsaţiile sunt foarte apropiate între ele, iar amplitudinile oscilaţiilor care se
compun sunt egale, oscilaţia rezultantă este aproape sinusoidală:
  




 







 



22
sin
22
cos2 12121212 
ttAtx .
În cazul frecvenţelor acustice sunetul de pulsaţie
2
12  
se aude succesiv,
întărindu-se şi slăbindu-se cu pulsaţia şi perioada bătăilor:
12
2



bT .
Compunerea oscilaţiilor armonice perpendiculare
a) Oscilaţii cu aceeaşi pulsaţie
x (t) = A1 sin (ω t + φ1),
y (t) = A2 sin (ω t + φ2);
Traiectoria unui punct material supus simultan la două oscilaţii armonice
perpendiculare de aceeaşi pulsaţie este o elipsă a cărei formă depinde de  12   :
   12
2
12
21
2
2
2
2
1
2
sincos
2
 
AA
xy
A
y
A
x
.
b) Oscilaţii cu pulsaţii diferite
Un punct material supus simultan la două oscilaţii armonice perpendiculare de
pulsaţii diferite are o traiectorie complicată. Dacă raportul pulsaţiilor este un număr
raţional traiectoria este una din figurile Lissajous, forma traiectoriei depinzând şi de
diferenţa de fază  12   .

54. 54
47. Un punct material este supus simultan la două mişcări oscilatorii armonice
descrise de legile:
x1 (t) = 1,2 sin 






3
2
t
7
2 
m, respectiv x2 (t) = 1,6 sin 






6
t
7
2 
m.
Să se scrie legea de mişcare rezultantă.
R: x (t) = 2 sin (
7
2
t + 0,37 π) m.
48. Un punct material este supus simultan la două mişcări oscilatorii armonice
descrise de legile:
a)   






35
sin5

ttx m,   






3
2
5
sin4

tty m;
b)   






14
9
sin2

 ttx m,   






7
sin5

 tty m;
c)   






63
2
sin3

ttx m,   






3
2
3
2
sin3

tty m.
Să se determine ecuaţia traiectoriei punctului material, precizându-se forma acesteia.
R: a) xy
5
4
 , traiectoria este o dreaptă; b) 1
254
22

yx
, traiectoria este o elipsă
având drept axe chiar axele de coordonate; c) 922
 yx , traiectoria este un cerc.
49. Să se determine ecuaţia traiectoriei unui punct material supus simultan la două
mişcări oscilatorii:
a) x (t) = A sin (ω t), y (t) = A sin (2ω t);
b) x (t) = A sin (ω t), y (t) = A cos (2ω t).
Rezolvare:
a) x = A sin (ω t)  
A
x
t sin ;
y = Asin(2ωt)  y = 2A sin (ω t) cos (ω t),
     ttAy  2222
sin1sin4 






 2
2
22
14
A
x
xy - traiectoria este una din figurile
Lissajous:

55. 55
b) Cele două oscilaţii care se compun au acelaşi raport al pulsaţiilor ca şi la punctul
a), dar defazajul este altul şi deci forma traiectoriei este alta.






 2
2
2
1
A
x
Ay .
3.7. Unde elastice
Mediile continue, cum sunt solidele, lichidele si gazele, sunt medii formate din
particule (atomi, molecule sau ioni) care interactioneaza între ele. De aceea, daca una
dintre particule oscileaza (vibreaza), atunci vor oscila (vor vibra) si particulele vecine;
în felul acesta oscilatiile (perturbatiile) se propaga prin mediu de la o particula la alta.
Prin propagarea oscilatiilor se genereaza undele.
Unda reprezinta fenomenul de extindere si propagare din aproape în aproape a
unei perturbatii periodice produse într-un anumit punct din mediul de propagare.
Propagarea undei se face cu o viteza finita, numita viteza undei. Unda nu reprezinta
transport de materie, ci numai transport de energie.
Dupa tipul de energie pe care-l transporta unda, putem deosebi: (i) unde elastice
(se transporta energie mecanica, undele fiind generate de perturbatiile mecanice ale
mediilor elastice), (ii) unde electromagnetice (se transporta energie
electromagnetica) (ii) unde magneto-hidrodinamice (sunt generate prin perturbatii
electromagnetice si elastice ale mediului de propagare).
Dupa natura perturbatiei si modul de propagare al acesteia, putem clasifica
undele în: (1) unde
longitudinale (directia de propagare a undei coincide cu directia de oscilatie); (2)
unde transversale
(directia de propagare a undei este perpendiculara pe directia de oscilatie).
O marime deosebit de importanta pentru descrierea undei este functia de unda, pe
care o putem nota în mod generic cu ,y,z,t). Functia de unda reprezina functia
matematica ce descrie marimea perturbata.
Suprafata de unda reprezinta multimea punctelor din spatiu ce oscileaza având la
un moment dat aceeai valoare a functiei de unda, (x,y,z,t) = constant = a. Dupa forma

56. 56
suprafetelor de unda, putem întâlni unde plane, unde sferice, unde cilindrice, etc.
Frontul de unda reprezinta suprafata de unda cea mai avansata la un moment dat.
3.7.1. Unde armonice unidimensionale
Fig. 3.21. Oscilatia generata în originea axei Ox se propaga pâna în punctul M.
Constam ca ecuatia elongatiei yM(x, t) a oscilatiei dintr-un punct oarecare M, aflat
pe directia de propagare a undei, are o întârziere de faza, dependenta de pozitia sa fata
de sursa undei. Cu cât punctul M se afla mai departe de originea undei, cu atât mai
târziu va intra în oscilatie; oscilatia din punctul considerat va avea o întârziere de faza
mai mare, daca punctul este mai departe de sursa undei.
Vectorul de unda este marimea fizica vectoriala orientata în sensul propagarii undei.
Vectorul de unda materializeaza directia în care se propaga energia undei. Utilizând
vectorul de unda, putem scrie ecuatia elongatiei oscilatiei din punctul M sub forma:
3.7.2. Consideratii energetice asupra propagarii undei
Propagarea unei unde elastice într-un anumit mediu genereaza o serie de miscari
de oscilatie ale particulelor mediului; punctele materiale îi încep micarea oscilatorie, în
jurul pozitiiilor lor de echilibru, pe masura ce energia undei ajunge pâna la ele.

57. 57
Fig. 3.22. Densitatea volumica de energie într-un punct al mediului de propagare si densitatea
volumica medie de energie.
Alte marimi ce sunt utilizate pentru a descrie energia transportata de unda sunt
urmatoarele:
a). Fluxul de energie. Fluxul de energie reprezinta cantitatea de energie
transmisa printr-o suprafata în unitatea de timp, fiind dat de derivata energiei la timp.
b). Densitatea flluxului de energie reprezinta fluxul de energie transportat prin
unitatea de suprafata, în directie perpendiculara pe aceasta suprafata.
3.7.3. Reflexia si refractia undelor elastice
Când o unda întâlnete suprafata de separare dintre doua medii diferite se produc
simultan reflexia (întoarcerea undei în mediul din care a venit) si refractia (transmisia
undei în mediul al doilea). Se constata de asemenea ca prin reflexie si refractie se
schimba directia de propagare a undei.
Consideram o unda elastica longitudinala plana ce se propaga prin mediul (1), care
are densitatea d1 si unde viteza undei este u1 (vezi fig.3.23). La întâlnirea suprafetei
de separare, dintre mediul (1) si mediul (2) unda se va împarti într-o unda reflectata ce
se propaga în mediul (1) si o unda transmisa ce se propaga în mediul (2).

58. 58
Definim impedanta mediului de propagare prin produsul dintre densitatea
mediului si viteza undei. Impedanta exprima viteza cu care se propaga energia undei
prin mediul repectiv.
Fig. 3.23. Reflexia si refractia unei unde plane.
Observam ca amplitudinea undei transmise, At are acelai semn cu amplitudinea
undei incidente, Ai, indiferent de impedantele celor doua medii. De aceea unda
transmisa este totdeauna în faza cu unda incidenta.
În ceea ce privete amplitudinea undei reflectate se pot întâlni doua cazuri:
a). Mediul (1) mai dens decât mediul (2), Z1>Z2. În acest caz amplitudinea
undei reflectate, Ar, are acelai semn cu amplitudinea undei incidente, Ai. Cele doua
unde sunt în faza, de asemenea.
b). Mediul (1) mai putin dens decât mediul (2), Z1<Z2. În acest caz amplitudinea
undei reflectate, Ar, are semn opus fata de amplitudinea undei incidente, Ai. Cele doua
unde sunt în opozitie de faza. Unda reflectata este defazata cu radiani în urma undei
incidente.
Definim coeficientii de reflexie si de transmisie ai mediilor de propagare.
Coeficientul de reflexie este raportul dintre intensitatea undei reflectate si cea a undei
incidente.
Coeficientul de transmisie este dintre intensitatea undei transmise si cea a undei
incidente:
3.7.4. Unde stationare
Daca în mediul de propagare al undei se suprapun unda incidenta si unda

59. 59
reflectata, atunci se obtin unde stationare. Mai general, fenomenul de compunere
a doua unde coerente se numeste interferenta. Compunerea undei incidente si a
undei reflectate constituie un caz interesant de interferenta a undelor. Conform
rezultatelor obtinute la reflexia undelor, se pot întâlni doua cazuri, în functie de
impedantele celor doua medii.
I. Daca mediul al doilea este mai putin dens decât primul, Z2<Z1, atunci unda
reflectata este în faza cu unda incidenta. Sa consideram o unda liniara ce se
propaga în mediul (1), pe o directie perpendiculara pe suprafata de separare dintre
mediul (1)i mediul (2), ca în fig. 3.24. În punctul P se întâlnesc unda incidenta si unda
reflectata. Distanta dintre sursa undei si suprafata de separare dintre medii este l.
Fig. 3.24. Formarea undei stationare.
Fazele celor doua unde ce se întâlnesc în punctul P depind de distantele (l-x) si
reprectix (l+x) pe care le-a parcurs fiecare unda.
Fig. 3.25. Unda stationara obtinuta în cazul Z2<Z1.

60. 60
Fig. 3.26. Unda stationara obtinuta în cazul Z2>Z1.
3.7.5. Interferenta undelor
Fenomenul general de compunere a undelor coerente se numeste interferenta.
Asa dupa cum stim, intensitatea undei reprezinta cantitatea de energie ce trece prin
unitatea de suprafata în unitatea de timp.
Conditia de coerenta este ca diferenta de faza dintre cele doua unde, ϕ∆ , sa
fie independenta de timp. Aceasta conditie este îndeplinita de unde care au pulsatii
egale si diferenta de faza constanta în timp:
ϕ1 ϕ2 ≠ f (t)
Interferenta undelor longitudinale. Cu ajutorul a doua difuzoare plasate pe
aceeai verticala si conectate la acelai amplificator se poate obtine un dispozitiv de
inteferenta a undelor longitudinale, aa cum se vede în fig.3.26. Distanta dintre cele
doua difuzoare (surse) este 2l. Presupunând ca ambele difuzoare emit simultan, ele se
comporta ca doua surse de unda, S1 si S2. De la ele se propaga doua unde coerente,
care parcurg drumuri diferite pâna în punctul P, aflat la distanta y de axa de simetrie
(vezi fig. 3.27). În punctul P cele doua unde se suprapun si, fiind coerente, produc o
figura de interferenta.

61. 61
Fig. 3.27. Dispozitiv de interferenta a undelor longitudinale.
Fig. 3.28. Figura de interferenta obtinuta.
3.7.6. Difractia undelor
Consideram o unda plana care se propaga pe suprafata apei. Un obstacol de
forma unui perete vertical cu o fanta de largime L se afla în calea undei, aa cum se vede
în fig. 3.29.

62. 62
Fig. 3.29. Un obstacol pe care se produce difractia undei plane.
Se constata ca unda care trece dincolo de obstacolul întâlnit are frontul de unda
de forma sferica, dei unda incidenta avea fronturi de unda plane. Spunem ca unda a
suferit fenomenul de difractie pe fanta de largime L.
Difractia este fenomenul de ocolire a obstacolelor de catre unde. Efectul
difractiei este cu atât mai evident cu cât dimensiunea fantei (sau a obstacolului din
calea undei) este de ordinul de marime al lungimii de unda a undei incidente.
În momentul când frontul plan o atinge, fanta devine sediul unei infinitati de
surse punctiforme infinitezimale, care genereaza la rândul lor unde sferice în spatele
fantei. Aceste unde se compun între ele si formeaza o unda sferica ce se propaga în
spatele obstacolului. Din punct de vedere fizic nu exista deosebiri între difractie si
interferenta. Ambele fenomene fizice presupun compunerea (adunarea) a doua sau mai
multor unde coerente (difractia consta din interferenta unei infinitati de unde
infinitezimale).
3.7.7. Polarizarea undelor elastice transversale
Consideram o unda elastica liniara transversala ce poate traversa spatiul dintre doi
pereti verticali ce formeaza o fanta, asa cum se poate vedea în fig. 3.30. Am notat prin
A i vectorul ce reprezinta amplitudinea oscilatiei din unda incidenta. Putem constata ca
amplitudinea undei ce trece dincolo de fanta depinde de unghiul pe care-l formeaza
vectorii A i cu directia fantei. Procesul prin care fanta filtreaza si lasa sa treaca numai
componenta vectorului amplitudine care este în planul fantei constituie fenomenul de

63. 63
polarizare
Fig. 3.30. Trecerea unei unde tarnsversale printr-o fanta.
a). vedere generala; b) directia de vibratie paralela cu fanta.
a) Daca amplitudinea undei este paralela cu fanta, unda se transmite prin fanta, iar
unda transmisa are aceeai amplitudine ca cea incidenta (vezi fig. 3.30.b).
b) Daca directia de vibratie din unda incidenta este perpendiculara pe directia
fantei, dincolo de fanta nu se mai propaga nici un fel de vibratie (vezi fig. 3.31.a).
c) Daca directia de vibratie face un anumit unghi cu fanta, atunci vectorul
caracteristic al undei se decompune dupa doua directii perpendiculare, una din ele fiind
directia fantei (vezi fig. 3.31.b).
Fig. 3.31. Polarizarea la trecerea unei unde transversale printr-o fanta:
a) directia de vibratie este perpendiculara pe fanta;
b) descompunerea vectorului caracteristic pe doua directii.

64. 64




Polarizarea este fenomenul prin care se poate filtra dintr-o unda numai
componenta într-un anumit plan a vectorului de vibratie caracteristic undei.
Dispozitivul prin care se realizeaza polarizarea se numete polarizor. Unda al carei
vector de vibratie pastreaza aceeai directie în spatiu se numete unda liniar polarizata. În
fig. 3.32.a) si b) se pot vedea doua exemple de unde liniar polarizate la ieirea din
polarizor.
b) Fig. 3.32. Unde liniar polarizate dupa trecerea prin polarizor.

65. 65
Unde elastice-aplicatii
Mediile continue (gazele, lichidele, solidele) sunt medii de particule care
interacţionează între ele şi care, dacă una din particule oscilează, vor propaga oscilaţia
de la particulă la particulă sub formă de unde, numite unde elastice. Mediile de acest fel
se numesc medii elastice.
Atunci când oscilaţiile în fiecare punct sunt armonice de o anumită frecvenţă,



2
 ( -pulsaţia), unda este o undă monocromatică ce se propagă fără atenuare.
 xktAtx   sin),( 0 - elongaţia în cazul undei plane monocromatice care se
propagă (fără atenuare) pe direcţia axei Ox;
A0 – amplitudinea, care este constantă pentru unda plană; x – distanţa faţă de sursă;
k – număr de undă, adică numărul de unde, de lungime de undă λ, care se cuprind în
2π unităţi de lungime.
Elongaţia ψ este periodică în timp, cu perioada T, şi periodică în spaţiu (în raport cu
coordonata x), cu perioada λ:

2
k ,
T


2
 , Tu ,
u –viteza de propagare a undei sau viteza de fază;
 xkt  - faza undei care se propagă pe direcţia axei Ox;
Suprafeţele de undă sunt suprafeţe de fază constantă. Viteza de deplasare a fazei se
numeşte viteză de fază.
0
1
2
2
22
2






tux

- ecuaţia diferenţială a undelor care se propagă pe direcţia
axei Ox;
 rktAtr

  sin),( 0 - elongaţia în cazul undei plane monocromatice care se
propagă în spaţiu (fără atenuare) în direcţia şi sensul lui k

;

66. 66
k

-vector de undă care are modulul

2
k şi este orientat în direcţia şi sensul de
propagare a undei.
 rkt
r
A
tr   sin),( 0
- elongaţia în cazul undei sferice monocromatice;
Observaţie: În cazul undei sferice amplitudinea de oscilaţie a punctelor mediului
depinde de distanţa faţă de sursă :  
r
A
rA 0
 , unde A0 este constantă.
0
1
2
2
2




tu

 - ecuaţia diferenţială a undelor care se propagă în spaţiu,
2
2
2
2
2
2
zyx 







 - operatorul lui Laplace (laplacean).
50. Într-un mediu elastic se propagă, de-a lungul axei Ox, undele longitudinale
descrise de legea:  xttx 2,0100sin103),( 3
 
 m. Să se determine:
a) frecvenţa oscilaţiilor punctelor mediului elastic;
b) viteza maximă de oscilaţie a punctelor mediului elastic;
c) viteza de propagare a undei.
R: a) ν = 50 Hz, b)
t
tx
oscil



),(
v .

, vmax.= 0,3π m/s, c) u = 500π m/s.
51. O undă plană sonoră se propagă de-a lungul axei Ox după legea:
   xttx 41360sin108, 5
 
 m. Să se determine:
a) raportul dintre amplitudinea de vibraţie a particulelor mediului şi lungimea de undă;
b) raportul dintre amplitudinea vitezei de vibraţie a particulelor mediului şi viteza de
propagare a undei.
R: a) 5
1009,5 


A
; b) 4max
102,3
v 

u
.
52. O sursă de oscilaţii armonice oscilează după legea:    tty 750sin03,0 m.
Pentru unda plană care se propagă în lungul axei Ox, să se determine deplasarea faţă de
poziţia de echilibru a unui punct aflat la distanţa de x1 = 25 cm faţă de sursa de oscilaţii

67. 67
la t1 =0,04 s după începerea oscilaţiei. Viteza cu care se propagă oscilaţiile este de 250
m/s.
R:   25,1, 11 tx cm.
53. Să se determine raportul amplitudinilor şi defazajul dintre oscilaţiile a două
puncte aflate la 10 m, respectiv 16 m faţă de o sursă punctiformă de oscilaţii, ştiind că
perioada oscilaţiilor este de 0,08 s, iar viteza de propagare a undei sferice este de 300
m/s.
R: 6,1
1
2
2
1

r
r
A
A
;  
2
2
12

  rr
uT
.
54. Să se determine, în cazul undei plane, elongaţia unui punct aflat la distanţa de
λ/4 faţă de sursa de oscilaţii pentru momentul T/3. Amplitudinea oscilaţiilor este de 7
cm.
R: 3,5 cm.
55. Pentru o undă plană, la momentul T/3, distanţa faţă de poziţia de echilibru a
unui punct aflat la 5 cm faţă de sursa de oscilaţii este de 23 din amplitudine. Să se
determine lungimea de undă.
R: 30 cm.
56. O undă plană descrisă de legea    xktAetx x
 
 
sin, , unde A, γ, ω şi k
sunt constante, se propagă într-un mediu omogen. Să se calculeze defazajul dintre
punctele în care amplitudinile diferă de n=2,5 ori, ştiind γ =0,458 m– 1 şi λ = 50 cm.
R: 


 8ln
2
 n .
57. O sursă punctiformă produce oscilaţii sonore de frecvenţă ν=1,4 kHz. Unda
sferică propagându-se cu atenuare, la distanţa r1 =3 m de la sursă amplitudinea de
oscilaţie a particulelor mediului este A1 = 30 μm, iar la distanţa r2 = 8 m amplitudinea
este de n = 4 ori mai mică. Să se determine:
a) coeficientul γ de amortizare al undei;
b) viteza maximă de oscilaţie a particulelor mediului la distanţa r2.
Rezolvare:

68. 68
a)    rkt
r
Ae
tr
r




sin,   
r
Ae
rA
r
 ;
21 AnA  
21
21
r
e
n
r
e rr  
  081,0ln
1
2
1
12



r
nr
rr
 m – 1;
b)
t
tr
osc



),(
v


r
eA r
 
maxv ;
La distanţa r2 de sursa de oscilaţii
n
A
A 1
2   066,02v 1
max 
n
A
 m/s.

69. 69
4. Introducere în electromagnetism
4.1. Câmpul electromagnetic
4.1.1. Actiunea câmpului electromagnetic asupra sarcinilor electrice
Fig. 4.1. Traiectoria unei sarcini electrice în câmp electric si magnetic.
Câmpurile electric si magnetic sunt forme de manifestare ale unui unic câmp
fizic, numit câmpul electromagnetic. Câmpul electromagnetic este forma de
existenta a materiei care se manifesta prin actiunea asupra sarcinilor electrice si
asupra curentilor electrici. Maxwell a demonstrat pentru prima data ca cele doua
câmpuri, electric si magnetic, formeaza un singur câmp, cel electromagnetic.În anul
1864 Maxwell scrie cele patru ecuatii ce-i poarta numele, prin unificarea legilor
cunoscute ale electricitatii si magnetismului, si afirma ca ansamblul celor doua
câmpuri (electric si magnetic) formeaza un unic câmp si numai în cazuri particulare se
manifesta numai una din componentele sale.De exemplu, sa consideram mai multe
sarcini electrice care sunt fixe. Atunci între ele se manifesta numai câmpul lor
electric, numit câmp electrostatic.Daca un magnet în forma de bara este fix, atunci

70. 70
câmpul pe care îl genereaza este un câmp magnetic numit câmp magnetostatic.
Doua exemple semnificative de câmpuri create în jurul unor corpuri sunt redate
în fig. 4.2. Câmpurile vectoriale se pot reprezenta atât prin vectorii de câmp, E si B ,
cât si prin liniile de câmp. Liniile de câmp sunt curbe continue care au proprietatea ca
în orice punct al lor vectorii de câmp corespunzatori sunt tangenti la curba. Liniile de
câmp nu se intersecteaza între ele. Astfel, liniile de câmp din jurul unui corp punctiform
încarcat electric sunt radiale, aa cum se poate vedea în fig. 4.2.a). În fig.4.2.b) se pot
vedea linile de câmp magnetic din jurul unui magnet în forma de bara
a)
b)
Fig. 4.2. Vectori si linii de câmp:
a) liniile de câmp electric din jurul unei sarcini electrice;
b) liniile de câmp magnetic din jurul unui magnet în forma de bara.

71. 71
4.1.2. Legea conservarii sarcinii electrice
Cauza atractiei gravitationale o reprezinta masa corpurilor. Analog, sarcina electrica
este cauza interactiunilor culombiene. Se noteaza cu q sau Q si este ireductibila la alte
marimi fizice, adica interactiile electromagnetice nu pot fi reduse la alte tipuri de
interactii. Fortele dintre corpurile incarcate cu sarcina electrica sunt de atractie sau de
respingere. Aceasta a condus la concluzia ca exista doua tipuri de sarcini: pozitive si
negative. Sarcina electrica este un numar intreg de sarcini elementare, Ce 19
106,1 
 .
Sarcina electrica macroscopica a unui corp este suma algebrica a sarcinilor electrice
pozitive si negative
    NeNNeNeeNq  
Daca   NN , corpul nu este incarcat cu sarcina electrica . Din experimente rezulta
ca sarcina negativa este egala in valoare absoluta cu sarcina pozitiva, eroarea relativa
fiind:
21
10




e
ee
Legea conservarii sarcinii electrice
Intr-un sistem izolat de corpuri, suma algebrica a sarcinilor electrice ramane
constanta.
În conceptia moderna asupra materiei se considera ca substantele sunt alcatuite
din atomi. Atomul este format din electroni si nucleu. Electronii sunt încarcati electric
cu sarcina electrica si ocupa o regiune din spatiu în vecinatatea nucleului. Nucleul este
format din neutroni, neutri din punct de vedere electric, si din protoni, care sunt sarcini
electrice de semn opus celor ale electronilor. Prin conventie, sarcina electrica a
electronului se numete sarcina negativa, iar cea a protonului se numeste sarcina
pozitiva. Sarcina electrica a protonului este egala în modul cu sarcina electrica a
electronului, având valoarea e = 1,6 10 –19 C (unitatea de sarcina electrica este 1

72. 72
Coulomb = 1 C).
În mod normal un atom este neutru din punct de vedere electric, adica numarul
electronilor este egal cu cel al protonilor. Daca un atom pierde unul sau mai multi
electroni, el devine ion pozitiv. Daca înveliul electronic al atomului contine mai multi
electroni decât numarul protonilor din nucleu, atomul este un ion negativ. Pentru un
corp fizic se generalizeaza aceasta conventie: Daca numarul protonilor este egal cu al
electronilor din corp, el este neutru din punct de vedere electric. Daca în corp numarul
electronilor este mai mare decât numarul protonilor, el este încarcat electric negativ.
Daca în corp numarul protonilor este mai mare decât numarul electronilor, el este
încarcat electric pozitiv.
Într-o aproximatie satisfacatoare pentru scopurile noastre, consideram
sarcinile electrice ale electronilor si protonilor ca fiind indivizibile. Astfel, un corp
poate fi încarcat electric cu un numar întreg de sarcini electrice elementare, e. Sarcinile
electrice nu se creaza si nu se distrug. Ele se transmit de la un corp la altul sau se
redistribuie în cadrul aceluiai corp. Starea de neutralitate electrica a unui corp
reprezinta numai faptul ca numarul protonilor sai este egal cu numarul electronilor sai.
Legea conservarii sarcinii electrice: într-un sistem izolat, suma algebrica a
sarcinilor electrice ramâne constanta.
Sa consideram, ca exemplu, un sistem format din doua sfere identice din sticla
care au fost electrizate astfel încât sarcina electrica de pe fiecare sfera este Q1 si
respectiv, Q2, unde Q1=7 e, Q2 = 5 e. Sarcina initiala din sistem este Q1+ Q2 = 7 e + 5
e= 12 e.Daca se ating cele doua sfere, ele vor face un schimb de sarcini electrice, dar
suma totala a sarcinii electrice este tot 12 e: Q1`= 6 e, Q2` = 6 e.Sa presupunem ca cele
doua sarcini electrice intiale sunt : Q1=7 e, Q2 = -5 e.În acest caz suma algebrica a
sarcinii electrice din sistem este: Q1+ Q2 = 7 e - 5 e = 2 e.De ce se întâmpla asa ?
Sarcina electrica de 7e reprezinta un deficit de 7 electroni pentru primul corp. Sarcina
electrica de -5e reprezinta un surplus de 5 electroni pentru al doilea corp. Când se ating
sferele ele vor efectua un schimb de electroni, în sensul ca cei 5e de pe al doilea corp
vor trece pe primul corp. Deficitul general de 2 e al sistemului se va pastra deci. Cele
doua sfere, fiind identice, vor avea în final sarcinile: Q1`= 1e, Q2` = 1e.
4.2. Electrostatica
În 1785 Coulomb deduce legea interactiunii dintre doua sarcini electrice fixe, aa

73. 73
cum se vede în fig. 4.3. El deduce ca doua sarcini electrice interactioneaza cu o forta
direct proportionala cu produsul sarcinilor electrice si invers proportionala cu patratul
distantei dintre ele.
Fig. 4.3. Doua sarcini electrice stationare.
Se constata experimental ca doua sarcini electrice de acelasi semn se resping,
iar doua sarcini electrice de semn opus se atrag. În fig. 4.4 se pot vedea fortele de
interactiune pentru sarcini de acelai semn si pentru sarcini electrice de semn opus.
a)
b)
Fig. 4.4. Fortele de interactiune dintre sarcinile electrice :
a) sarcini electrice de acelai semn; b) sarcini electrie de semn opus.
4.2.1. Câmpul electric
Sarcinile electrice interactioneaza între ele. Forma prin care se transmite la
distanta interactiunea lor se numeste câmp electric. Daca un corp este încarcat electric,
în spatiul din jurul lui se manifesta un câmp electric pe care el l-a generat. Acest câmp
reprezinta capacitatea corpului electrizat de a atrage si de a respinge alte corpuri
electrizate. Experimental se arata ca sarcinile electrice de acelai semn se resping, iar cele
de semn contrar se atrag.Consideram un corp încarcat electric cu sarcina Q. În jurul lui
se manifesta un câmp electric. Dacaîn aceasta zona patrunde o sarcina q (corp de proba),
ea va fi actionata de forta coulombiana. Aceasta marime caracterizeaza taria câmpului
vectorial creat de sarcina electrica Q în punctul unde se afla q. Marimea vectoriala se
numete intensitatea câmpului electric,

74. 74
Prin conventie, sensul liniilor de câmp electric este de la sarcinile pozitive catre
cele negative, aa cum se vede în fig. 4.5. Tot prin conventie, intensitatea câmpului
electric este orientata de la sarcinile pozitive catre cele negative.
Fig. 4.5. Liniile câmpului electric.
Prin generalizare se obtine ca rezultanta câmpurilor electrice produse de sarcinile
punctiforme q1, q2, q3, ..., qn într-un punct din spatiu este egala cu suma vectoriala a
vectorilor intensitate a câmpului electric, E1 , E 2 , E 3 , , E n , al fiecarei sarcini
electrice în parte.
O marime frecvent utilizata în descrierea câmpului electric într-un mediu oarecare
este inductia electrica, D . Prin inductie electrica se întelege producerea unui câmp
electric stationar în interiorul unui mediu cu ajutorul unui alt câmp electric exterior, de
asemenea stationar.
Câmpul electric al Pamântului. În atmosfera terestra se manifesta un câmp
electric creat de ionii rezultati din fenomenul de ionizare a moleculelor de gaz
bombardate de radiatiile cosmice. Astfel se formeaza o patura sferica conductoare de
electricitate la altitudini înalte în jurul Pamântului. Chiar Pamântul contine o anumita
cantitate de sarcini electrice, fiind totodata si un destul de bun conducator de
electricitate. Ne putem imagina Pamântul si straturile joase ale atmosferei ca
formând o sfera conductoare. Între sfera conductoare formata de Pamânt si patura
sferica a ionilor de la altitudini înalte exista o patura sferica de circa 50 km grosime,
ce nu este un bun conductor electric. La suprafata Pamântului se poate masura un
câmp electrostatic având intensitatea de circa E= 100V/m. Considerând raza sferei
terestre de 5000 km, se poate determina sarcina electrica superficiala pe care o are
Pamântul, si anume aceasta sarcina electrica este de circa 3 105 C.
Daca se introduce un conductor într-un câmp electric stationar se produce,
prin influenta, o separare de sarcini electrice, iar la atingerea starii de echilibru
sarcinile se afla numai pe suprafata conductorului, aa cum se poate vedea în fig. 4.6.

75. 75
a)
b)
Fig. 4.6. Conductor în câmp electric extern:
a) la început; b) dupa stabilirea echilibrului.
Daca se introduce un dielectric (izolator electric) în într-un câmp electric
acesta sufera o polarizare dielectrica. Inductia electrica reprezinta câmpul electric din
interiorul dielectricului si se poate caracteriza prin vectorul inductie electrica.
a)
b)
Fig. 4.7. Polarizarea dielectricului în câmp electric exterior:
a) izolatorul la început; b) dupa stabilirea echililbrului.