1. Lecţia de astăzi se numeşte
„Rezolvarea problemelor de
programare liniară în două
variabile”
şi reprezintă partea aplicativă
a rezolvării sistemelor de
inecuaţii liniare cu două
necunoscute.
2. Până la sfârşitul orei vom învăţa:
• să modelăm matematic o problemă cu ajutorul
sistemelor de inecuaţii liniare
• să rezolvăm o astfel de problemă
• să interpretăm datele obţinute şi să formulăm
soluţiile problemei
• să cunoaştem şi să înţelegem domeniile de
aplicabilitate ale programării liniare în două
variabile şi ale matematicii, în general
6. Soluţia unui sistem de inecuaţii liniare în două variabile
este suprafaţa care rezultă din intersecţia tuturor
semiplanelor soluţii ale inecuaţiilor sistemului.
7. O funcţie liniară, neconstantă, în două variabile, admite
diferite valori în punctele unei suprafeţe poligonale
convexe, dar îşi atinge valoarea minimă, respectiv maximă,
în cel puţin unul dintre vârfurile poligonului.
8. De reţinut:
Pentru a determina o valoare extremă
(minimă sau maximă) a unei funcţii
liniare neconstante în două variabile
pe o suprafaţă poligonală convexă,
calculăm valorile funcţiei în fiecare
dintre vârfurile poligonului, apoi le
comparăm între ele.
9. 4) Aplicaţii – rezolvarea
problemelor de programare
liniară în două variabile
Problemele de programare
liniară în două variabile sunt
probleme care se pot modela
matematic prin expresii liniare
(de gradul I) în două variabile.
10. Cum aţi rezolva următoarea
problemă?
• Un fermier deţine 100 ha de teren agricol pe
care poate cultiva grâu şi lucernă. Este necesar
ca fermierul să cultive cel puţin 10 ha cu grâu şi
cel puţin 20 ha cu lucernă, dispunând de maxim
6000 €, ca investiţie iniţială. Ştiind că pentru 1
ha de grâu se cheltuie 100 € şi se obţin 125 € ,
iar pentru 1 ha de lucernă se cheltuie 50 € şi se
obţin 60 €, să se calculeze: investiţia minimă,
profitul maxim, cât şi cel mai bun raport
investiţie/profit.
11. • Vom folosi sistemele de inecuaţii
liniare şi optimizarea funcţiilor
liniare în două variabile.
12. Etapa I – modelarea matematică
Notăm cu xnumărul de ha cultivate cu grâu şi cu ynumărul
de ha cultivate cu lucernă. Atunci:
„cel puţin 10 ha cu grâu” implică x ≥ 10
„cel puţin 20 ha lucernă” implică y ≥ 20
„în total cel mult 100 ha” implică x + y ≤ 100
„investiţia maximă de 6000 €” implică 100 x + 50 y ≤ 6000
Cum profitul este de 25 € la ha de grâu şi 10 € la ha de lucernă,
rezultă următoarele funcţii obiectiv:
( )
Profitul f : ¡ → ¡ , f x, y = 25 x + 10 y
2
Investiţia g : ¡ 2 → ¡ , g ( x, y ) = 100 x + 50 y
13. Deci problema revine la a optimiza funcţiile:
f ( x, y ) = 25 x + 10 y şi g ( x, y ) = 100 x + 50 y
în condiţiile sistemului de restricţii:
x ≥ 10
y ≥ 20
x + y ≤ 100
2 x + y ≤ 120
Deoarece toate expresiile care intervin sunt liniare în două
variabile, o astfel de problemă se numeşte problemă de
programare liniară în două variabile.
14. Etapa II – rezolvarea propriu-zisă
Calculăm coordonatele punctelor de intersecţie a dreptelor implicate şi
efectuăm reprezentarea grafică. Intersectând semiplanele soluţii
rezultă suprafaţa poligonală convexă[ABCD ]
16. Etapa III – interpretarea rezultatelor şi soluţia
problemei:
• Profitul maxim este de 1750 €, cu o
investiţie iniţială de 6000 €, cultivând 50
ha cu grâu şi 20 ha cu lucernă.
• Investiţia minimă este de 2000 €, la care
se obţine un profit de 450 €, cultivând 10
ha cu grâu şi 20 cu lucernă.
• Cel mai bun raport profit / investiţie este
0,29, la 50 ha grâu şi 20 ha lucernă.
17. Să recapitulăm!
Rezolvarea unei probleme de programare liniară în
două variabile implică, în general, trei etape:
• Etapa I – modelarea matematică
• Etapa II – rezolvarea propriu-zisă
• Etapa III – interpretarea datelor şi
soluţiile problemei
18. Etapa I – modelarea matematică
• Identificarea variabilelor, a
restricţiilor şi a funcţiilor obiectiv
19. Etapa II – rezolvarea propriu-zisă
• Rezolvarea sistemului restricţiilor–
reprezentarea grafică;
• Calcularea valorilor funcţiilor obiectiv
în vârfurile poligonului restricţiilor;
• Compararea valorilor funcţiilor
obiectiv, determinarea valorilor
optime.
20. Etapa III – interpretarea datelor şi
soluţiile problemei
• Interpretarea datelor obţinute
• Formularea soluţiilor problemei.
21. În continuare vă invit să participaţi la un concurs pe echipe,
în urma căruia voi desemna: “Cea mai unită echipă”, “Cea
mai rapidă rezolvare” şi “Cea mai frumoasă prezentare”
• Fiecare echipă dispune de: fişa cu problema-model, fişa
de lucru, planşa de desen, markere, riglă. Rezolvaţi
problema pe fişa de lucru şi apoi treceţi rezultatele pe
planşă, astfel încât să puteţi prezenta cât mai clar
rezolvarea problemei în faţa clasei.
• După ce finalizaţi rezolvarea problemei, trebuie să vă
autoevaluaţi. În funcţie de contribuţiile la rezolvare, şeful
echipei vă va acorda şi el câte o notă. Eu o să vă acord
nota finală, câştigătorii primind câte un punct în plus.
• Puteţi să vă folosiţi de manuale şi de calculatoare. Veţi
beneficia de tot sprijinul meu, dar trebuie să ştiţi că voi
ţine cont de aceasta la acordarea notelor finale.
24. Problema echipei inginerilor constructori
• O firmă de construcţii trebuie să realizeze un complex
format din cel mult 16 blocuri de locuinţe care să includă
cel puţin 160 de garsoniere şi cel puţin 160 de
apartamente cu două camere, dispunând de două tipuri
de proiecte: primul cu 10 etaje, având două garsoniere şi
un apartament cu două camere pe nivel cu un cost de
producţie de 700000 €, şi al doilea cu 8 etaje, având o
garsonieră şi două apartamente cu două camere pe
nivel cu un cost de producţie de 640000 €. Fiecare dintre
blocuri aduce un profit de 400000 €. Stabiliţi câte blocuri
de fiecare fel trebuie construite astfel încât: a) investiţia
să fie minimă; b) profitul să fie maxim; c) să se obţină cel
mai bună rată a profitului.
25. Problema echipei informaticienilor
• Un elev care are media de absolvire 7,50 se
pregăteşte să urmeze facultatea de informatică.
Media de admitere se calculează astfel: 40%
media de absolvire a liceului, 40% nota de la
bacalaureat la examenul de informatică şi 20%
nota de la bacalaureat la examenul de
matematică. Fiind înainte de examenul de
bacalaureat şi ştiind că media minimă de
admitere în anul precedent a fost 8,00, elevul îşi
calculează ce note ar trebui să obţină la
bacalaureat pentru a fi admis. La ce concluzie
ajunge elevul? Ce notă minimă poate obţine la
matematică în cazul în care ia 10 la informatică.
26. Problema echipei întreprinzătorilor
• Într-o fabrică de pâine se produc două tipuri de
pâine: tip franzelă – produs din 600 g făină şi tip
colac – produs din 800 g făină. Fabrica are prin
contract obligaţia să achiziţioneze zilnic 480 kg
de făină şi are o capacitate de producţie de cel
mult 1000 de pâini pe zi. Ştiind că preţul de
producţie al unui produs tip franzelă este de 1
leu, iar al unui produs tip colac este de 1,5 lei, şi
zilnic există pe piaţă o cerere de cel puţin 320
produse tip franzelă şi 150 produse tip colac, să
se determine combinaţia optimă între cele două
tipuri de produse astfel încât cheltuielile să fie
minime.
27. Problema echipei nutriţioniştilor
• Un nutriţionist trebuie să conceapă o salată de
legume cu brânzeturi care să cântărească cel
mult 400 g şi cel puţin 200 g. Pentru ca salata să
fie una sănătoasă, cantitatea de legume trebuie
să depăşească de cel puţin 3 ori cantitatea de
brânzeturi, iar nutriţionistul vrea să adauge cel
puţin 25 g de brânzeturi. Calculaţi numărul
minim şi numărul maxim de kcal pe care îl poate
avea salata, ştiind că brânzeturile au în medie
300 kcal, iar legumele au în medie 20 kcal.
Dintre combinaţiile obţinute, care este cea mai
dietetică (cu cel mai mic număr de calorii la 100
g)?
28. • - Echipele câştigătoare sunt…
• - Felicitări tuturor pentru activitatea
depusă!
29. Recapitularea finală şi tema
pentru acasă
• Rezolvarea problemelor de programare liniară
presupune parcurgerea a trei etape. Care sunt
acestea?
• În ce alte domenii credeţi că s-ar putea aplica
programarea liniară în două variabile?
• Ca temă pentru acasă vă propun să construiţi
fiecare câte o problemă de programare liniară,
pe care să o şi rezolvaţi.
• Vă mulţumesc tuturor pentru participarea la
această lecţie!
