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GEB読書会 第2回 「無伴奏アキレスのためのソナタ 」
- 1. 前回までのあらすじ
- 4. 形式システムの紹介 ● MUシステムとpqシステム ○ 形だけによる「生成規則」を使って、「公理」から「定理」を作る。 ● 決定手続き ○ ある「定理」みたいなものがあった時、それが本当に「定理」か確かめる手続き。 ○ 「公理」からボトムアップで目的の「定理」に向かうか、 ○ 目的の「定理」からトップダウンでより小さな「定理」に分解し、「公理」に戻れることを確認する。 ● 同型対応により意味が獲得される ○ 形式システムは現実世界などとは独立だが、解釈され同型対応を見つけられることで「意味が吹き 込まれる」。
- 5. G
- 6. Gödel
- 7. E
- 8. Escher
- 9. B
- 10. Bach
- 11. ゲーデル, エッシャー, バッハ あるいは不思議の環 Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid 第2回 「無伴奏アキレスのためのソナタ」
- 13. 図と地 ● tqシステム ○ pqシステムと似た、乗算を表す形式システム。 ○ 乗算を元に、合成数を定義できる。 ○ 合成数「ではないもの」として素数を定義できる。 ■ 「図」である合成数の「地」として定義できる。 ● 「筆記的」と「再記的」 ○ 「筆記的」とは、手で描いていける「図」のこと。 ■ 「地」については何も言えない。 ○ 「再記的」とは、「地」も「図」になるような「図」のこと。
- 14. 「地」を「図」として描けるか？ ● 素数についてはできる。⇨DNDシステム ● しかし、形式システム一般に対してはそうではない！ 「再帰的に加算であるが、再帰的ではない集合が存在する」 ● 「地」を「図」として捉えられない形式システムが存在する。 ○ 正しい定理を言い尽くせない。 ○ 誤った定理を否定し尽くせない。 ● しかも、役に立つような形式システムほどそうである！
- 16. 無矛盾性と完全性 ● 無矛盾性とは、矛盾した定理が形式システムから出てこないこと。 ● だが、そもそも矛盾とは何か？ ● 矛盾は、解釈された結果の意味の世界で発生する！ ○ 一見矛盾しているように見えても、解釈を修正することで無矛盾性は回復される。 ○ 非ユークリッド幾何学参照。 ● 完全性とは、正しい定理がすべて形式システムで作れること。 ○ 形式的に合っていて、しかも意味としても「正しい」文字列がすべて公理から作れること。
- 17. ゲーデルの不完全性定理 ● 数論を表現できるほど強力な形式システムであれば、 ● 正しいが、公理から辿り着けない定理が存在する。⇨不完全性 ● 「記号とその解釈の間にズレがある」 ● 「そのシステムはそのような解釈を正当化する力がない」 不完全性定理についてはこれからの章でどんどんやります！
- 19. 再帰性 ● 先ほどの「再帰的集合」「再帰的」とはまた別の概念であることに注意！ ● 大雑把に言って、木構造のことです。 ○ プログラミングの世界では非常によく使う。 ■ 処理の呼び出し・戻りの順序関係。 ■ フォルダー構造。 ● スタックを使った押し込み（プッシュ）・取り出し（ポップ） ○ 再帰性のあるものは、だいたいスタックで扱えます。
- 20. 自分自身を含むループ ● 内部に自分自身を含むような構造が定義できる。 ○ フォルダーの中にフォルダーがあり、その中にさらにフォルダーがある。 ○ だけど、いつかは子のないファイルにたどり着くので、無限に続くことはない。 ■ ファイルの存在⇨「底入れ」 ○ 自然言語もそうなっている。 ● 再帰性があると、予測不能な振る舞いが生じる。 ○ フィボナッチ数 ○ 物理法則 ○ G図 ● しかも、そういった予測不能性は「美しい」！