Toegepaste Wiskunde

2018 - 2019
Departement Wetenschap en Techniek
Docent: Filip Van de Peer TOEGEPASTE WISKUNDE
TOEGEPASTE WISKUNDE
Auteur: Rudi Geubels
Aanpassingen: Filip van de Peer
Docent: Filip Van de Peer

INLEIDING
Docent: Filip Van de Peer Toegepaste Wiskunde 2
Inhoudstafel
Inleiding..........................................................................................................2
Hoofdstuk 1 – Goniometrie ............................................................................9
1.1. Overzicht..............................................................................................9
1.1.1. De goniometrische cirkel..............................................................9
1.1.2. Hoekeenheden – afspraken.........................................................10
1.2. De grondformules ..............................................................................10
1.3. Graden en radialen.............................................................................11
1.4. Overgangstabel ..................................................................................12
1.5. Waardetabel .......................................................................................13
1.6. Goniometrische vergelijkingen..........................................................13
1.7. Tijdsverloop.......................................................................................14
1.8. Benadering voor ‘kleine’ hoeken ......................................................15
1.9. Basisoefeningen goniometrie I..........................................................15
1.10. Som- en verschilformules................................................................17
1.11. Basisoefeningen goniometrie II.......................................................18
1.12. Formules van Simpson ....................................................................19
1.13. Driehoeksmeting..............................................................................19
1.13.1. Rechthoekige driehoeken..........................................................19
1.13.2. Willekeurige driehoeken...........................................................20
1.14. Basisoefeninen goniometrie III .......................................................21
Hoofdstuk 2 - Exponentiële en logaritmische functies.................................22
2.1. Exponentiële functies.........................................................................22
2.1.1 Voorbeelden.................................................................................23
2.2. Logaritmische functies.......................................................................24
2.2.1. Definitie ......................................................................................24
2.2.2. Eigenschappen van logaritmen met een zelfde grondtal............24
2.2.3. Eigenschappen van logaritmen met verschillende grondtallen .24
2.2.4. Verloop van de functie................................................................25
2.2.5. Basisoefeningen logaritmen I.....................................................26
2.2.6. Oplossen van logaritmische vergelijkingen................................27
2.2.7. Basisoefeningen logaritmen II....................................................28
2.2.8. Toepassingen ..............................................................................29
Hoofdstuk 3 - Complexe getallen.................................................................35
3.1. Inleiding.............................................................................................35
3.2. Definities............................................................................................35
3.3. Bewerkingen......................................................................................37
3.3.1. Optelling .....................................................................................37
3.3.2. Vermenigvuldiging......................................................................37
3.4. Rekenregels........................................................................................38
3.5. Complex toegevoegde getallen..........................................................38

INLEIDING
3.6. Formule van De Moivre.....................................................................39
3.7. Worteltrekking bij complexe getallen ...............................................40
3.8. Basisoefeningen complexe getallen...................................................41
3.9. Toepassingen .....................................................................................42
Hoofdstuk 4 - Afgeleiden .............................................................................45
4.1. Inleiding.............................................................................................45
4.2. Afgeleide............................................................................................47
4.3. Andere eigenschappen van afgeleiden ..............................................48
4.4. Formules ............................................................................................49
4.5. Basisoefeningen afgeleiden ...............................................................50
4.6. Toepassingen .....................................................................................51
Oplossingen van de Basisoefeningen ...........................................................59
Bibliografie ...................................................................................................61
Formularium Toegepaste Wiskunde.............................................................63

INLEIDING
Inleiding
De bedoeling van deze cursus is zeker niet om zomaar wat wiskunde te
geven, maar om die wiskunde te geven die in de andere vakken van
onze opleiding gebruikt wordt.
Gezien de relatief korte tijd die we daarvoor ter beschikking hebben,
zullen we deze cursus beperken tot de theoretische achtergrond die
nodig is om de praktische problemen die in de andere vakken
voorkomen op te lossen.
Lange bewijzen en uitgebreide theoretische verklaringen van
wiskundige stellingen zal je dan ook niet terugvinden.
Wel wordt er tijdens de lessen intensief gewerkt op het vergroten van
het abstractievermogen, om een standaard formule (met letter-
variabelen) toe te leren passen op een concreet probleem, m.a.w op
een oefening in getallen.
Dat vraagt –en ik leg hierop de nadruk– veel oefening, dikwijls met
nietszeggende opgaven waarvan je je in eerste instantie kan afvragen
wat je daar later in hemelsnaam nog mee zult aanvangen. Laat deze
vraag los: wij zijn ons daar immers terdege van bewust, maar gebruiken
die –op het eerste zicht– onzinnige oefeningen om een methodiek aan
te leren in het oplossen van concrete problemen, en –nogmaals– om
het abstractievermogen te vergroten.
De chronologische volgorde van de hoofdstukken wordt bepaald door
de toepasbaarheid in de andere vakken. In elk hoofdstuk vind je een
aantal basisoefeningen om de leerstof in te oefenen. De oplossingen van
deze basisoefeningen werden achteraan in de cursus opgenomen. Aan
het einde van elk hoofdstuk vind je tevens toepassingen uit de fysica,
mechanica, elektriciteit of elektronica. Dit om de toepasbaarheid van de
wiskunde uit deze cursus aan te tonen en de link te leggen naar de
andere vakken van de opleiding Bachelor Elektromechanica.
De vereiste voorkennis beslaat de wiskundeleerstof zoals die in de
middelbare opleiding (TSO, ASO) werd gezien. Een samenvatting van
de voor ons belangrijkste vaardigheden vind je op de volgende
bladzijden. Indien je nog niet vertrouwd bent met een of meer van deze
onderwerpen, raden we je aan deze zelf terug in te oefenen. De eerste
lessen wordt zelfs deze basiskennis intensief heropgefrist.

VEREISTE VOORKENNIS
Samenvatting van de vereiste voorkennis
– algebraïsche vaardigheden
Hoofdbewerkingen
Verklaring Voorbeeld
1
2
Optelling
a + b = c
Aftrekking
a – b = z
a,b termen
c som
z verschil
5 + 12 + 3 + 9 = 29
70 – 15 – 3 = 52
3 Gelijknamige termen (uitdrukkingen)
worden samengeteld (resp.
afgetrokken) door de 'coëfficiënten
samen te tellen' (resp. af te trekken).
2a + 5a + a = 8a
20a – 5a – 3a = 12a
1m + 2,5m + 3,2m = 6,7m
4 Ongelijknamige termen worden
geordend en dan samengeteld, resp.
afgetrokken.
15a + 7b - 5a -9b = 10a – 2b
5 Een plusteken voor de haakjes brengt
geen tekenverandering mee. Een
minteken voor de haakjes brengt een
tekenverandering mee.
a + (b + c) = a + b + c
a – (b + c) = a – b – c
6
7
Product
a · b = c
Deling
z
b
a
=
of a : b = z
a,b factoren
c product
z quotiënt
7 · 5 · 4 · 2 = 280
150 : 5 : 6 = 4
2m · 3m · 5m = 30m³
8 Factoren kan men verwisselen. a · b · c = c · b · a
9 Bij het vermenigvuldigen kan men
coëfficiënten en variabelen tot
deelproducten samenvoegen.
5a · 2b · 3c = 30abc
10 Breuken vereenvoudigt men door
getallen en variabelen uit teller en
noemer onderling te delen.
c
ab
abc
5
3
15
=
11 Het product (quotiënt) van twee
getallen met hetzelfde teken is positief,
met verschillend teken negatief. 1)1()1(
1)1()1(
−=+⋅−
+=−⋅−
)1(
)1(
)1(
)1(
)1(
)1(
+=
−
−
−=
+
−
12 Buiten de haken
brengen
Gemeenschappelijke factoren (delers)
in sommen of verschillen plaatst men
voor de haken.
ax + bx = x·(a+b)
)(
1
ba
xx
b
x
a
+=+
13 Haken wegwerken
Vermenigvuldiging
Sommen (verschillen) worden
vermenigvuldigd door elke term van de
eerste haken met elke term van de
tweede haken te vermenigvuldigen.
(a-b)·(c+d) = ac+ad-bc-bd
14 Deling Sommen (verschillen) worden gedeeld
door elk lid van de teller te delen door
de noemer.
dc
b
dc
a
dc
ba
+
+
+
=
+
+
15 Merkwaardige producten Bovenstaande regels leiden tot enkele
veel voorkomende merkwaardige
producten.
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a+b)·(a-b) = a² - b²
16 Rekenregels Multiplicatieve bewerkingen (·, :)
hebben voorrang op additieve
bewerkingen (-,+).
a + b · c = a + bc
c
b
acba +=+ :
17 Als de optelling (resp. aftrekking)
voorrang moet krijgen, plaatst men
(a + b) · c = ac + bc
c
b
c
a
c
ba
cba +=
+
=+ :)(

VEREISTE VOORKENNIS
deze termen tussen haakjes. Een
breukstreep kan de haakjes vervangen.
18 Een term van een som (verschil) mag
men niet vereenvoudigen. a
ca
a
ca 2525 +
≠
+
Breuken
19 Omzetten Teller en noemer met hetzelfde getal
vermenigvuldigen. bc
ac
cb
ca
b
a
=
⋅
⋅
=
20 Vereenvoudigen Teller en noemer door hetzelfde getal
delen. c
a
bbc
bab
bc
ab
==
:
:
21 Optellen
Aftrekken
Bij gelijknamige breuken de tellers
optellen resp. aftrekken.
Ongelijknamige breuken eerst
gelijknamig maken, d.w.z. op gelijke
noemer brengen.
cba
bacbca
c
b
ab
a
a
yx
a
y
a
x
⋅⋅
⋅+⋅⋅+⋅
=++
+
=+
²2²2
22 Vermenigvuldigen
Breuk met geheel getal Teller met het getal vermenigvuldigen.
c
ba
c
b
a
⋅
=⋅
23 Breuk met breuk Teller met teller en noemer met
noemer vermenigvuldigen. by
ax
y
x
b
a
=⋅
24 Delen
Breuk door geheel getal Teller door het getal delen of noemer
met het getal vermenigvuldigen.
bx
a
b
x
a
x
b
a
==:
25 Breuk door breuk De eerste breuk vermenigvuldigen met
de inverse van de tweede breuk
(tweede breuk omkeren).
bx
ay
x
y
b
a
y
x
b
a
=⋅=:
26 Geheel getal door breuk Het geheel getal met de inverse breuk
vermenigvuldigen. a
xb
b
a
x
b
a
x ==:
Evenredigheden
27 Quotiëntvergelijking Evenredigheden kunnen behandeld
worden als vergelijkingen met breuken.
In elke evenredigheid mogen
verwisseld worden:
1. de buitenste termen a en d
2. de binnenste termen b en c
3. de binnenste termen met de
buitenste termen
d
c
b
a
= geeft:
c
d
a
b
d
b
c
a
a
c
b
d
=
=
=
28 Productvergelijking In een evenredigheid is het product
van de buitenste termen gelijk aan het
product van de binnenste termen.
d
c
b
a
= geeft:
cbda ⋅=⋅
Vergelijkingen
29 Zijden verwisselen Rechter- en linkerzijde zijn
verwisselbaar.
bayx
yxba
+=+
+=+
30 Inverse waarde Beide zijden kunnen omgekeerd
worden.
y
cb
x
a +
=
cb
y
a
x
+
=

VEREISTE VOORKENNIS
31 Zijden veranderen Elke verandering moet aan beide zijden
tegelijk plaatsvinden (vergelijk met een
weegschaal). y
z
y
x
yzyx
=
+
+=+
2
Machten
32 ab
= c a grondtal
b exponent
c resultaat
Producten van gelijke factoren worden
vaak als machten geschreven. De
exponent geeft aan hoe vaak het
grondtal voorkomt als factor.
4
aaaaa =⋅⋅⋅
33 Optellen, aftrekken Gelijke machten, d.w.z. met hetzelfde
grondtal en dezelfde exponent, worden
als gelijksoortige getallen behandeld.
2222
11285 aaaa =−+
34 Vermenigvuldigen,
delen
Machten met hetzelfde grondtal
worden vermenigvuldigd (resp.
gedeeld) door hun exponenten op te
tellen (resp. af te trekken).
2
3
5
532
3
5
15
623
a
a
a
aaa
=
=⋅
35 Machtsverheffing Een macht verheft men tot een macht,
door het grondtal te verheffen tot het
product van de exponenten.
623
9)3(
)(
xx
aa bccb
=
=
36 Machten met gebroken
exponenten
Machten met gebroken exponenten
kunnen als wortels geschreven worden.
32
3
aa
aa n mn
m
=
=
37 Machten met negatieve
exponenten
De inverse waarden van machten
kunnen d.m.v. negatieve exponenten
geschreven worden.
3
3 1
a
a =−
min
1
min 1
=−
38 Machten met exponent
nul
Een willekeurig grondtal met exponent
nul, geeft als resultaat steeds 1.
13
1
0
0
=
=a
Wortels
39 ban
= a wortelgetal
b resultaat
n wortelexponent (n-de wortel)
40 De wortelexponent geeft aan in
hoeveel gelijke factoren het wortelgetal
moet opgedeeld worden.
Wortelexponent 2 wordt niet
geschreven.
41 Teken Wortels met even wortelexponenten
geven positieve waarden als het
wortelgetal positief is. Bij negatieve
wortelgetallen is de wortel een
imaginair getal (zie hoofdstuk
complexe getallen verder in deze
cursus)
Wortels met oneven wortelexponenten
geven positieve waarden als het
wortelgetal positief is en negatieve
waarden als het wortelgetal negatief is.
42 Optellen, aftrekken Gelijke wortels kunnen opgeteld (resp.
afgetrokken) worden.
aaaa
aaaa
3524
1072
−=−−
=++
98181
333327
2
33
==
=⋅⋅=
j6)36(
636
=−
=
3)27(
327
3
3
−=−
=

VEREISTE VOORKENNIS
43 Vermenigvuldigen,
delen
Wortels met dezelfde exponenten
worden vermenigvuldigd (resp.
gedeeld) door de wortel te trekken van
het product (resp. quotiënt) van de
wortelgetallen.
n
n
n
nnn
b
a
b
a
baba
=
⋅=⋅
44 Machtsverheffing Een wortel verheft men tot een macht
door het wortelgetal tot die macht te
verheffen en van deze macht de wortel
te trekken.
n
m
n mmn
aaa ==)(
45 Worteltrekking De wortel van een wortel wordt
getrokken door de wortel te trekken
van het wortelgetal. De nieuwe
wortelexponent is het product van de
afzonderlijke wortelexponenten.
nmm n
aa ⋅
=
Constanten
Verklaring Symbool
46 pi 3,141592654… π
47 e 2,718281828… e
Functies
48 Functies met één
variabele y = f(x)
y afhankelijke variabele
x onafhankelijke variabele
y = 3x³ + 7x² + 4x -12
y = sin(x) + 3log(2x+1)
49 Lineaire functies Het verband tussen y en x wordt
beschreven door een rechte.
y = 3x – 5
y = 12x + 8
50 Een rechte wordt bepaald door twee
punten: (x1,y1) en (x2,y2) 
a noemt men de richtingscoëfficient.
)( 11 xxayy −=− waarbij
12
12
xx
yy
a
−
−
=
51 Kwadratische functies Het verband tussen y en x wordt
beschreven door een parabool.
y = 3x² - 4x + 7
algemeen : y = ax² + bx + c
52 De snijpunten met de horizontale as
worden als volgt bekomen 
D noemt men de discriminant.
acbD
a
Db
x
4
2
2
2,1
−=
±−
=
53 Functies met meerdere
variabelen
y = f(x1, x2, … xn)
y afhankelijke variabele
x1, x2, … xn onafhankelijke variabelen 3
22
2
1
3211
212
)log(953
xxxy
xxxxy
−+=
−+=
Oefeningen – test jezelf
1. Bereken: 93/2 =
2. Vereenvoudig: y = (x - 2)² - 2x + 5
3. Bereken b uit de volgende vergelijking: ( ) 28026:
18
200000
=−b
4. Bepaal de vergelijking van de rechte door de punten (1;5) en (6;0)
5. Bepaal de nulpunten van de volgende kromme: y = 2x² + 2x - 12

GONIOMETRIE
Hoofdstuk 1 – Goniometrie
Goniometrie is een onderdeel van de wiskunde dat in bijna elk ander
technisch vak van onze opleiding gebruikt wordt! Goniometrie is immers
vooral een vertaling van sinusoïdaal evoluerende signalen of
natuurkundige fenomenen. Licht, geluid, elektromagnetisme, allen
hebben een golfkarakter. Maar ook de door de mens in het leven
geroepen fenomenen als onze dagdagelijkse wisselspanning, is
sinusoidaal. Door deze fenomenen door middel van goniometrie voor te
stellen als een roterende vektor in een goniometrische cirkel, kunnen
bewerkingen sterk vereenvoudigd en geabstraheerd worden. Een
technische opleiding zonder goniometrie is dan ook ondenkbaar.
1.1. Overzicht
1.1.1. De goniometrische cirkel
Y
X(cos µ, 0)
10
- +
- +
cosµ
µ
0
X
Y
(0,sinµ)
µ
+
- -
+
sinµ 1
µ
Y
X
(1,tgµ)tgµ
-
-+
+
Y
X
µ
(cotgµ,1)cotgµ
-
-+
+

GONIOMETRIE
• Een georiënteerde cirkel is een cirkel waarbij de tegenwijzerzin
de positieve is.
• Een goniometrische cirkel is een georiënteerde cirkel waarvan de
straal(vector) als eenheid optreedt.
• De sinus is de projectie van de vector op de verticale as (Y-
as).
• De cosinus is de projectie van de vector op de horizontale as
(X-as).
1.1.2. Hoekeenheden – afspraken
π rad = 180° = 200 grad
α rad = (180°/π)· α = (200/π)· α grad
Voor reële α : sin α = sin (α rad)
cos α = cos (α rad)
tg α = tg (α rad)
cotg α = cotg (α rad)
1.2. De grondformules
Volgende formules worden beschouwd als de basis van de
goniometrie:
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
αα
sin
1
cos
cos
1
sec
sin
cos
cot
cos
sin
1²cos²sin
=
=
=
=
=+
ec
g
tg
1cot =⋅ αα gtg
α
α
α 2
2
2
sec
cos
11 ==+ tg
α
α
α
²1
sin
tg
tg
+
±
=
α
α
²1
1
cos
tg+
±
=
gevolgen

GONIOMETRIE
1.3. Graden en radialen
Een cirkel kan onderverdeeld worden in graden en radialen.
Bij de onderverdeling in graden kan er nog een onderscheid gemaakt
worden tussen een cirkel van 400 graden (GRAD) en een cirkel van 360
graden (DEG).
Wij zullen ons beperken tot de meest voorkomende vormen van
onderverdeling, namelijk een onderverdeling in 360 graden of in 2π
radialen.
De onderstaande figuur geeft het verband duidelijk weer:
0 = 2π (radialen)
0 = 360° (graden DEG)
0 = 400° (graden GRAD)
π/2 (radialen)
90° (graden DEG)
100° (graden GRAD)
π (radialen)
180° (graden DEG)
200° (graden GRAD)
3π/2 (radialen)
270° (graden DEG)
300° (graden GRAD)
α
1

GONIOMETRIE
1.4. Overgangstabel
sinµ
-sinµ
cosµ
cos(-µ)
µµ
Tegengesteldehoeken Supplementairehoeken
µ¶- µ
Anti-complementairehoeken Anti-supplementairehoeken
µ
¶/2+µ
µ
¶+µ
Tegenge-
stelde hoeken
Supplemen-
taire hoeken
Anti-supplem.
hoeken
Complemen-
taire hoeken
Anti-
compl.
hoeken
α - α π - α π + α π/2 - α π/2 + α
sin sinα - sinα sinα - sinα cosα cosα
cos cosα cosα - cosα - cosα sinα - sinα
tg tgα - tgα - tgα tgα cotgα - cotgα
cotg cotgα - cotgα - cotgα cotgα tgα - tgα
Tegengestelde hoeken Supplementaire hoeken
Anti-complementaire hoeken Anti-supplementaire hoeken

GONIOMETRIE
1.5. Waardetabel
0 π/6 π/4 π/3 π/2 π
sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 0
cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1
tg 0 √3/3 1 √3 +∞↔−∞ 0
cotg −∞↔+∞ √3 1 √3/3 0 −∞↔+∞
1.6. Goniometrische vergelijkingen
• sin x = sin α ⇔ x = α + 2kπ
of
x= π-α + 2kπ = -α + (2k+1)π
• cos x = cos α ⇔ x = ± α + 2kπ
• tg x = tg α ⇔ x = α + kπ
waarbij k = geheel getal
¶/2- µ
µ
ComplementairehoekenComplementaire hoeken

GONIOMETRIE
1.7. Tijdsverloop
Onderzoek en begrijp het verloop in de tijd van volgende functies:
a. y = sin(x) met x = ω·t = 2πf·t waarbij f = frequentie
b. y = cos(x)
c. y = tg(x)

GONIOMETRIE
1.8. Benadering voor ‘kleine’ hoeken
Voor kleine hoeken kunnen we volgende benaderingen toepassen:
2
1cos
sin
αα
αα
αα
−≈
≈
≈tg
1.9. Basisoefeningen goniometrie I
1. Vereenvoudig door gebruik te maken van de goniometrische
cirkel:
1. )
2
sin( πα −
2. )
2
3sin( απ −
3. )
2
3cos( απ +
4. )
4
sin()
4
cos( απαπ +−−
5.
)(
)
2
cos(
απ
α
π
+
−
tg
6.
)(
)().sin(
α
απαπ
−
−+
tg
tg
7.
)cos().(cot).4(
)
2
(cot).2cos().
2
sin(
απααπ
α
π
απα
π
−+−
−+−
gtg
g
Controleer de juistheid van deze benaderingen
m.b.v. de goniometrische cirkel!

GONIOMETRIE
2. Druk 36° uit in radialen.
Druk
5
7π
− rad uit in 360-delige graden.
3. Los op
a)
2
3
5cos
−
=x
b) 3)23( =+xtg

GONIOMETRIE
1.10. Som- en verschilformules
cos (α - β) = cos α·cos β + sin α·sin β
cos (α + β) = cos α·cos β - sin α·sin β
sin (α - β) = sin α·cos β - cos α·sin β
sin (α + β) = sin α·cos β + cos α·sin β
βα
βα
βα
βα
βα
βα
tgtg
tgtg
tg
tgtg
tgtg
tg
.1
)(
.1
)(
−
+
=+
+
−
=−
Gevolgen:
• sin(2α) = 2sin α·cos α
• cos(2α) = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 – 2sin²α
• sin(3α) = 3sin α - 4sin³α
• cos(3α) = 4cos³α - 3cos α
• sin²α = ½(1 – cos 2α)
• cos²α = ½(1 + cos 2α)
•
α
α
α
α
α
α
α
α
α
²1
2
2
²1
²1
2cos
²1
2
2sin
tg
tg
tg
tg
tg
tg
tg
−
=
+
−
=
+
=

GONIOMETRIE
1.11. Basisoefeningen goniometrie II
Vereenvoudig onderstaande uitdrukkingen
1. sin(π/15)·cos(π/10) + cos(π/15)·sin(π/10)
2. cos(2π/21)·cos(π/14) – sin(5π/21)·sin(π/14) –
sin(2π/21)·sin(π/14) – cos(5π/21)·cos(π/14)
3. cos(α + β)·cos(α - β) + sin²(α) + sin²(β)
4. sin²(π/4 + α) – ½ - sin α·cos α
5. cos²α + cos²(2π/3 + α) + cos²(2π/3 - α)
6. sin²α + cos²(3π/2 + α) + sin²(3π/2 - α)

GONIOMETRIE
1.12. Formules van Simpson
2sin α·cos β = sin(α - β) + sin(α + β)
2cos α·cos β = cos(α - β) + cos(α + β)
2sin α·sin β = cos(α - β) – cos(α + β)
sin α + sin β = 2sin(α/2 + β/2)·cos(α/2 - β/2)
sin α - sin β = 2cos(α/2 + β/2)·sin(α/2 - β/2)
cos α + cos β = 2cos(α/2 + β/2)·cos(α/2 - β/2)
cos α - cos β = -2sin(α/2 + β/2)·sin(α/2 - β/2)
1.13. Driehoeksmeting
1.13.1. Rechthoekige driehoeken
B A
C
α + γ = 90°
B² + C² = A²
sin(scherpe hoek) = overstaande rechthoekzijde/schuine zijde
cos(scherpe hoek) = aanliggende rechthoekzijde/schuine zijde
tg(scherpe hoek) = overstaande rechthoekzijde/aanliggende
rechthoekzijde
α
β γ

GONIOMETRIE
Dus:
• sin α = C/A en sin γ = B/A
• cos α = B/A en cos γ = C/A
• tg α = C/B en tg γ = B/C
1.13.2. Willekeurige driehoeken
B A
C
Hiervoor bestaan er speciale regels die ook op een rechthoekige
driehoek mogen toegepast worden.
Omgekeerd is dit echter niet het geval!!!
• sinusregel: A/sin γ = C/sin α = B/sinβ
• cosinusregel: A² = B² + C² - 2·B·C·cos γ
α
βγ

GONIOMETRIE
1.14. Basisoefeninen goniometrie III
Bereken direct de ontbrekende waarden:
1.
2.
3.
4. Een ladder, 7 meter lang, staat tegen een muur onder een hoek van
60° met de grond. Op welke hoogte raakt de ladder de muur? Op
welke afstand van de muur raakt de ladder de grond?
5. Een verkeersbord geeft het volgende weer:
6. Een kerktoren werpt een schaduw van 60 meter op de grond.
Geef een methode aan om de hoogte van deze kerktoren te
berekenen?
35
49
θ
δ
L
θ =
δ =
L =
2
C
β
α
5
β =
α =
C =
A
B
35°
α
3
α =
A =
B =
4%
Hoeveel graden stijgt deze helling?
(Gebruik geen rekenmachine.)

EXPONENTIELE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
Hoofdstuk 2 - Exponentiële en logaritmische functies
Zeer veel fenomenen in de natuur voltrekken zich op een exponentiele
manier. De exponentiele curve is een natuurkundig verschijnsel dat in
alle vakgebieden terug te vinden is, en –net zoals bij goniometrie–
zelfs in menselijke fenomenen opduikt. Niet alleen de oplading van
een condensator of de toename bij een bacteriele groei verlopen op
een exponentiele manier, ook de financiele beursevolutie op lange
termijn, net zoals de prijsindex, lijken op een exponentiële manier te
evolueren. En wat mooi is: wanneer een exponentiële functie wordt
weergegeven op een logaritmische schaal, wordt de curve een
eenvoudige rechte, waardoor een veel betere interpretatie mogelijk
wordt. Maar meer daarover tijdens de les…
2.1. Exponentiële functies
Een exponentiële functie is een functie in de vorm van:
F(x) = ax met a Є
Waarom a Є ?
• Als a Є dan is de functie discontinu; bijvoorbeeld bij x even
is ax
positief en bij x oneven is ax negatief
• Als a = 0 dan is ax = 0 voor x > 0 en ax is zinledig voor x < 0
• Als a = 1 dan is ax = 1
10 ≠+
R
10 ≠+
R
−
0R

2.1.1 Voorbeelden
f(x) = ax en a = 2 (a>1)
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8
Besluiten:
• F is stijgend
• F is continu (vloeiend)
• De negatieve limiet is 0
• De positieve limiet is +∞
f(x) = ax met a = 0,5 (a<1)
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 8 4 2 1 0,5 0,25 0,125
Besluiten:
•F is dalend
•F is continu (vloeiend)
•De negatieve limiet is +∞
•De positieve limiet is 0
0
-1-2-3 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
x
0
-1-2-3 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y

2.2. Logaritmische functies
2.2.1. Definitie
2³ = 8 ⇔ 2 log 8 = 3
De a-logaritme van een reëel getal b is de exponent x van de macht
ax, waarvoor geldt ax = b met a een positief reëel getal en ≠ 1.
a log b = x ⇔ ax = b
Dus is: a log ax = x
Vermits de logaritme de exponent van het grondtal weergeeft, noemt
men de log-functie ook wel eens ‘exponent picker’.
a noemt men het grondtal
 enkele veelgebruikte grondtallen:
• grondtal 10: de 10-delige logaritme;
notatie: y = log(x)
• grondtal e: de natuurlijke of neperiaanse logaritme;
notatie: y = ln(x)
2.2.2. Eigenschappen van logaritmen met een zelfde grondtal
• a log (x·y) = a log x + a log y
• a log x/y = a log x – a log y
• a log xn = n· a log x
2.2.3. Eigenschappen van logaritmen met verschillende grondtallen
• a log b · b log c = a log c
• a log b = 1/(b log a)
• a log c = b log c · 1/(b log a)

2.2.4. Verloop van de functie
Omdat:
y = a log x ⇔ ay = x
en omdat we de exponentiële functie reeds onderzocht hebben, kunnen
we de eigenschappen van de exponentiële functie overdragen op de
logaritmische functie door x en y te verwisselen.
Bijvoorbeeld:
a = 2 (a > 1)
x 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8
y -3 -2 -1 0 1 2 3
a = 0,5 (a < 1)
x 8 4 2 1 0,5 0,25 0,125
y -3 -2 -1 0 1 2 3
0
1
2
3
-1
-2
-3
y
1 2 3 4 5 6 7 x
0
1
2
3
-1
-2
-3
y
1 2 3 4 5 6 7 x

2.2.5. Basisoefeningen logaritmen I
1. Bereken
• 4 log 16
• 2 log 16
• 10 log 0,1
• 9 log 3√3
• √2 log 3
2
2. Bereken het grondtal a in de volgende betrekkingen
a. a log 25 = 2
b. a log 250 = 3 + a log 2
c. a log 16 = 2 4 log 16
d. 4 + a log √2 – a log√32 = 0

2.2.6. Oplossen van logaritmische vergelijkingen
Een logaritmische vergelijking is een vergelijking waarbij de
onbekenden ook voorkomen als grondtallen of achter het
logaritmeteken. De strategie bij het oplossen van oefeningen:
1. zet eerst alle termen om naar hetzelfde grondtal. Maak
eventueel gepast gebruik van constanten zoals bvb:
• 2log4, 3log9 (=> = 2)
• xlogx (=> =1)
2. groepeer dan de termen, gebruikmakend van de rekenregels
voor logaritmen met eenzelfde grondtal.
Voorbeeld 1
Los op: 2 log x · x log6 = 2 log x + 2 log (7 – x²)
Oplossing:
2 log 6 = 2 log [x (7 – x²)]
6 = 7x – x³
x³ - 7x + 6 = 0
x1 = 1 en x² + x – 6 = 0
(x + 3)(x – 2) = 0
x2 = -3 en x3 = 2
x1 en x2 zijn te verwerpen (x moet een positief getal,
verschillend van 1 zijn!) dus de oplossing is x = 2!
Voorbeeld 2
Los op: 5 log x + 4x log 5 = 5
Oplossing:
We stellen y = 5 log x en dan wordt de vergelijking:
y + 4/y = 5
y² + 4 = 5y
y² - 5y + 4 = 0
(y – 4)(y – 1) = 0
y1 = 1 en y2 = 4
 5 log x =1 of 5 log x = 4
 x = 51 of x = 54
 x1 = 5 en x2 = 625
Beide oplossingen voldoen aan de voorwaarden!

2.2.7. Basisoefeningen logaritmen II
Los de volgende logaritmische vergelijkingen op!
1. 2 log 3· 3 log 4· 4 log 5· 5 log x = 3
2. 3 log (x + 4) + 3 log (x – 2) = 2· 3 log x
3. 2/( 5 log x) + √x log 3 = 2
4. 2( 2 log (x – 1) – 4 log (x² + 1))= 1 – 4 log 25
5. 2 log x = x log 2
6. 1/(x log 2) + 2· 4 log (x² - 6x + 11) = 3· 8 log 6
7. 2· 4 log x + 1/((x-4)log 2) = 2 + 1/(2· (x – 3) log √2
8. 5 log (6 – x) + 25 log x² · x log (x + 2) = x log x + 5 log x
9. 3x = 25
10. 15 · 3x-1 – 6 · 9x = 1
11. 64 log[ (x log 16)³] = 1
12. 2· log x + 1 = log (19x+2)

2.2.8. Toepassingen
2.2.8.1. Elektriciteit - Opladen van een condensator op gelijkspanning
Theorie
Op t = t0 sluiten we de schakelaar.
Het opladen van de condensator gebeurt niet ogenblikkelijk.
Hiervoor gelden de volgende formules:
• i = U/R ·
τ/)( 0tt
e −−
• UC = U·(1 -
τ/)( 0tt
e −−
)
• UR = U·
τ/)( 0tt
e −−
met τ = R·C
R I
UR
UC C
U
S
+
-
1
2

Grafisch betekent dit:
Oefening
Gegeven: R = 1kΩ
C = 1µF
U = 100V
UC(t = 0) = 0V
Bereken i en UC op t = τ , t = 2τ , t = 3τ , t = 4τ en t = 5τ.
Schets het verloop van i en UC in functie van de tijd.
tt
0
Sττ
0,37t
0
i
I
tt 0 Sττ
0,37U
0
tt
0
Sττ0
U
R
U
0,63U
U
UC

2.2.8.2. Elektriciteit - Ontladen van een condensator op gelijkspanning
Theorie
Op t = t1 (C is reeds geladen tot U) schakelen we de schakelaar van
stand 1 naar stand 2.
Het ontladen van de condensator gebeurt niet ogenblikkelijk.
Hiervoor gelden volgende formules:
RCmet
eUU
eUU
e
R
U
i
tt
R
tt
C
tt
=
−=
=
−=
−−
−−
−−
τ
τ
τ
τ
/)(
/)(
/)(
1
1
1
.
.
.
R I
UR
UC C
U
S
+
-
1
2

Grafisch betekent dit:
De rest kan je zelf wel uittekenen.
Oefening 1
Gegeven: R = 1kΩ
C = 1µF
U = 100V
UC(t = 0) = 100V
Gevraagd:
Bereken i en UC op t = τ , t = 2τ , t = 3τ , t = 4τ en t = 5τ
Schets het verloop van i en UC in functie van de tijd.
Oefening 2
Gegeven: Een condensator is opgeladen tot een spanning van 325V.
Middels het parallel schakelen van een weerstand R wil men deze
condensator ontladen na 1 minuut tot een veilige spanning van 50V.
Gevraagd: Bepaal de grootte van de weerstand R?
0
i
-1
-0,37i
t1 Sτ
t

2.2.8.3. Regeltechniek - Demping
In een regelsysteem wordt bij een responsie het verband tussen
doorschot D en dempingsfactor β als volgt beschreven:
2
1
(%) 100 β
πβ
−
−
⋅= eD
Wanneer het max. doorschot op 16,3% wordt gesteld, bereken dan de
bijhorende β?
2.2.8.4. Fysica - Barometrische hoogteformule
Tussen de luchtdruk p en de hoogte h (gemeten t.o.v. het zeeniveau)
bestaat bij constante luchttemperatuur het volgende verband, genaamd
de barometrische hoogteformule:
7991
0
h
epp
−
⋅=
waarbij h wordt uitgedrukt in m en p0 = 1,013 bar, zijnde de luchtdruk
aan het aardoppervlak.
Gevraagd
a) Bepaal de hoogte h
als functie van de
luchtdruk p en teken
deze functie.
b) Op welke hoogte is de
luchtdruk afgenomen tot
de helft van de waarde
aan het aardoppervlak?

2.2.8.5. Elektronica - Elektronische filters
Bij een elektronisch filter wordt de versterking gegeven door de
volgende functie:






⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
=





= −
−
3
3
1021
102
fj
fj
V
V
T
In
Uit
π
π
Merk op dat T een complex getal is, afhankelijk van de frequentie f.
Gevraagd
Bepaal voor f= 159Hz de volgende grootheden:
a) versterking uitgedrukt in decibel en gegeven door: TT dB log2010
)( ⋅=
b) de hoekverschuiving tussen Vuit en Vin
Vin VUitHDF-filter

COMPLEXE GETALLEN
Hoofdstuk 3 - Complexe getallen
3.1. Inleiding
De benaming complexe getallen lijkt op het eerste gezicht ingewikkeld.
Het is echter de bedoeling een rekentechniek aan te beiden om
bewerkingen op punten in een vlak (vectoren) eenvoudiger te kunnen
uitvoeren. Zo wordt een complexe operatie als een vermenigvuldiging
van 2 vectoren, een eenvoudige bewerking wanneer je complexe
getallen hiervoor gebruikt. En berekeningen op vektoren hebben we
hard nodig, want –om een voorbeeld te geven– alleen al ons elektrisch
wisselspanningsnet kan weergegeven worden als een ronddraaiende
vektor. Complexe getallen laten dus zeer eenvoudig toe om
berekeningen te maken en interpretaties te doen van golfvormige
fenomenen.
3.2. Definities
Je hebt vroeger gezien dat je punten in een vlak kunt voorstellen met
behulp van hun x-y coördinaten. De horizontale as noemden we de X-
as; de verticale de Y-as.
Bij complexe getallen noemen we deze assen de reële as (horizontaal)
en de imaginaire as (verticaal).
Een complex getal bestaat uit twee delen; het reële gedeelte en het
imaginaire gedeelte en kan op 4 wijzen voorgesteld worden (zie
tekening).
In het complexe vlak wordt een complex getal grafisch voorgesteld:
Reële as
Imaginaire as
P = (a,b) (1)
= a + jb (2)
= r(cos α + j·sin α) (3)
= r·ejα
(4)
met en
a
b
r
α

COMPLEXE GETALLEN
1. Cartesische coördinaten: P = (a,b) waarbij a en b reële getallen zijn.
a leest men af op de horizontale as (a is het reële deel)
b leest men af op de verticale as (b is het imaginaire deel)
2. Ortogonale vorm: P = a + jb waarbij a en b reële getallen zijn.
a leest men af op de horizontale as (a is het reële deel)
b leest men af op de verticale as (b is het imaginaire deel)
3. Goniometrische vorm: P = r(cos α + j·sin α)
In deze vorm wordt P voorgesteld als een vector met beginpunt
O(0,0) en het eindpunt P(a,b). Deze vector heeft een grootte: r en
vormt een hoek met de reële as: α. Men noemt r de modulus en α
het argument.
Voor modulus en argument wordt ook soms de volgende notatie
gebruikt:
 modulus r = P en argument α = P∠
Vermits al deze notaties hetzelfde complex getal P beschrijven, volgt
direct uit bovenstaande en onze goniometrische vergelijkingen:
a = r·cos α en b = r·sin α en dus ook r² = a² + b² (Pythagoras).
4. Exponentiële vorm: P = r·ejα waarbij r en α bepaald worden als
onder 3. Het getal e is hier de constante 2,718…..
Het complexe getal j = (0,1) wordt de imaginaire eenheid genoemd.
P.S.: In de wiskunde wordt meestal de letter i gebruikt voor de
imaginaire
eenheid. In de toegepaste wetenschappen is het echter
gebruikelijk
hiervoor het symbool j te kiezen; dit om verwarring met de
stroomsterkte i te voorkomen.
Gelijkheid van twee complexe getallen
 Twee complexe getallen zijn slechts aan elkaar gelijk als hun reële
delen gelijk zijn én hun imaginaire delen gelijk zijn:
a + jb = c + jd  a = c én b = d

COMPLEXE GETALLEN
3.3. Bewerkingen
3.3.1. Optelling
(a1,b1) + (a2,b2) = (a1 + a2 ; b1 + b2)
De som komt overeen met de vectorsom van de beeldvectoren.
of
(a1+jb1) + (a2+jb2) = (a1 + a2)+j(b1 + b2)
De som van twee complexe getallen is opnieuw een complex getal
waarvan het reële gedeelte bestaat uit de som van de reële gedeelten
en het imaginaire gedeelte bestaat uit de som van de imaginaire
gedeelten.
3.3.2. Vermenigvuldiging
(a1,b1)·(a2,b2) = (a1a2 – b1b2 ; a1b2 + a2b1)
Het product komt overeen met een rotatie en een homothetie van de
beeldvector van de ene factor door respectievelijk het argument en de
modulus van de andere factor.
Merk op: c1 · c2 = (a1a2 – b1b2 ; a1b2 + a2b1)
= (r1r2cos(α1 + α2) ; r1r2sin(α1 + α2))
Het is duidelijk dat voor de vermenigvuldiging van twee complexe
getallen, de goniometrische notatie beter te begrijpen valt: men
verkrijgt een nieuw complex getal met een modulus (=grootte)
gelijk aan het product van de moduli van de individuele complexe
getallen en een argument (=hoek met de reële as) gelijk aan de som
van de argumenten van de individuele complexe getallen.
Im.
Re
c2=(a2,b2) c1=(a1,b1)
c1+c2=(a1+a2,b1+b2)

COMPLEXE GETALLEN
3.4. Rekenregels
Daar : (a,0) = a
(b,0) = b
(0,1) = j
kunnen we noteren dat: (a,0) + (b,0)·(0,1) = (a,0) + (0,b)
= (a,b)
Dus is (a,b) = a +bj waarbij: a = reële gedeelte
b = imaginaire gedeelte
Dit betekent onder andere dat we met de vorm a + bj kunnen rekenen
met dezelfde rekenregels als bij de reële getallen. Let erop dat je steeds
de reële gedeelten en imaginaire gedeelten telkens bij elkaar groepeert.
Verder houden we rekening met de machten van j
j² = -1 , j4n = 1 , j4n+1 = j, j4n+2 = -1, j4n+3 = -j
om het resultaat terug in de klassieke vorm te verkrijgen.
Voorbeelden : * (a + bj) · (c + dj) = ac + adj + bjc + bdj²
= (ac – bd) + (ad + bc)j
* (2 - j)³ = 2³ - 3·2²·j + 3·2·j² - j³
= 2 – 11j
3.5. Complex toegevoegde getallen
z = a + bj en z’ = a – bj zijn complex toegevoegde getallen.
Twee complexe getallen zijn toegevoegd als, en alleen als, de reële
delen gelijk zijn en de imaginaire delen tegengesteld.
Eigenschappen:
1. de som van twee toegevoegde complexe getallen is een
reëel getal!
z + z’ = a + bj + a – bj = 2a
2. het product van twee toegevoegde complexe getallen is
een reëel getal!
z·z’ = (a + bj) · (a – bj)
= a² - b²j²
= a² + b²

COMPLEXE GETALLEN
3. het toegevoegde van een som van complexe getallen is
gelijk aan de som van de toegevoegde complexe getallen:
(z1+z2)’ = z1’ + z2’
4. het toegevoegde van een product van twee complexe
getallen is gelijk aan het product van de twee toegevoegde
complexe getallen:
(z1·z2)’= z1’·z2’
5. het omgekeerde van (a + bj) is 1/(a + bj)
j
ba
b
ba
a
ba
bja
bjabja
bja
bja ²²²²²²)).((
).(11
+
−
+
+
=
+
−
=
−+
−
=
+
Tip: we hebben de teller en noemer vermenigvuldigd met
de toegevoegde complexe tweeterm van de noemer.
Hierdoor maak je de noemer vrij van j.
3.6. Formule van De Moivre
De goniometrische vorm van een complex getal is handig bij
vermenigvuldiging, deling en machtsverheffing.
z1 · z2 = r1(cosα1 + jsinα1) · r2(cosα2 + jsinα2)
= r1r2(cos(α1 + α2) + jsin(α1 + α2))
))sin()(cos( 2121
2
1
2
1
αααα −+−= j
r
r
z
z
zn = rn (cos(nα) + jsin(nα))
De formule van De Moivre is hier een variant op:
(cos α + jsin α)n = cos(nα) + jsin(nα)

COMPLEXE GETALLEN
3.7. Worteltrekking bij complexe getallen
De nde machtswortels uit c = r0(cos α0 + jsin α0) zijn de wortels van de
vergelijking: zn = c
Stel: z = r(cos α + jsin α)
Dan is:
(r(cos α + jsin α))n = r0(cos α0 + jsin α0)
rn(cos nα + jsin nα) = r0(cos α0 + jsin α0)
Daaruit volgt:
rn = r0 en nα = α0 + k2π
n rr 0= en
n
k
n
πα
α
20
+=
We krijgen n verschillende wortels voor k = (0, 1, 2, 3, 4, …, n-1)
De beeldpunten van de n wortels zijn de hoekpunten van een
regelmatige convexe n-hoek gelegen op de cirkel met middelpunt o en
straal n rr 0=

COMPLEXE GETALLEN
3.8. Basisoefeningen complexe getallen
A) Bereken
1. (7 + j)·(j – 7)
2. (5 – 6j)·(5 + 6j)
3. (cosα + jsin α)·(cos α - jsin α)
4. (2 + j)²
5. (1 – j)³
6. (1 + j)³
7. z² + 3z – 1 + 21j = 0
8. z² + (-17 – 15j)z –4 + 123j = 0
B) Bereken met goniometrische vorm én stel ook grafisch voor
1. (1+j)·(2-j)
2. (1+j)³
3. z + z’ = 2a (waarbij z = a + jb)
4. z·z’ = a² + b² (waarbij z = a + jb)
5. z·z-1 = 1 (waarbij z = a + jb)

COMPLEXE GETALLEN
3.9. Toepassingen
3.9.1. Elektriciteit – De gemengde schakeling op wisselspanning
Gegeven
Voor een serieschakeling gelden
∑=
i
iTot ZZ en
TotZ
U
I =
Voor een parallelschakeling gelden
∑=
i iTot ZZ
11
en
TotZ
U
I =
Gevraagd
Bereken de stroom I en de hoekverschuiving ϕ tussen stroom en spanning:
a)
b)
Cj
Z
LjZ
RZ
C
L
R
ω
ω
1
=
=
=
en f⋅= πω 2

COMPLEXE GETALLEN
Bereken de totale impedantie, de takstromen en de fazeverschuiving
tussen de hoofdstroom en de aangelegde spanning van volgende
kringen:
c)
d)
e)

COMPLEXE GETALLEN
3.9.2. - Elektriciteit – De wisselstroomparadox
De afgebeelde wisselstroomkring bevat de weerstanden R en Rx en een
capaciteit C. Bij het aanleggen van een wisselspanning loopt er een
totale stroom I waarvan de effectieve waarde gemeten wordt door de
ampèremeter A.
Gevraagd
Voor welke waarde van Rx is de aanwijzing van de stroommeter
onafhankelijk van de positie (gesloten of open) van de schakelaar S?
Tip: stel
22
'ZZ = waarbij Z = impedantie bij open schakelaar
Z’= impedantie bij gesloten schakelaar

AFGELEIDEN
Hoofdstuk 4 - Afgeleiden
4.1. Inleiding
Elk fysisch (of menselijk geinspireerd) proces, of dat nu het verloop van
een natuurlijke temperatuursverandering, de toename van bacteriële
groei, of het verloop van de verhouding tussen Euro en Dollar betreft,
steeds vallen deze evoluties in curves uit te vertalen.
Afgeleiden zijn o.a. zeer interessante hulpmiddelen om grafieken te
onderzoeken. Ze tonen ons de stijging of toename van de betreffende
variabele. Ze tonen ons de toppen en dalen in curves, waarmee
processen snel geinterpreteerd kunnen worden.
In onze technische opleiding worden we in nagenoeg alle vakken
geconfronteerd met evoluerende signalen, of dat nu elektronica,
chemie, procesautomatisering of klimatisatie betreft. Het is dus
uitermate belangrijk om een goed begrip te bekomen van welk belang
afgeleiden in de wetenschap hebben, en hoe ze ons kunnen helpen bij
Met andere woorden, vooraleer we de afgeleide zelf bespreken is het
van belang om eerst even aan te duiden wat we bedoelen met de
aangroei van argument (x-waarde) en beeld (y-waarde).
De aangroei van het argument noemen we de h-waarde: h = x2 – x1
De aangroei van het beeld noemen we de k-waarde: k = y2 – y1
Bijvoorbeeld:  f(x) = 2x + 1 met x1 = 10 en x2 = 12
h = x2 – x1 = 12 – 10 = 2
y
xx1 x2
y1
y2
h
k

AFGELEIDEN
k = f(x2) – f(x1) = f(12) – f(10) = 25 – 21 = 4
 f(x) = x² met x1 = 2 en x2 = 1
h = x2 – x1 = 1 – 2 = -1
k = f(x2) – f(x1) = 1 – 4 = -3
Merk op dat zowel de aangroei van het argument als van het beeld
negatief kan zijn!

AFGELEIDEN
4.2. Afgeleide
De meetkundige betekenis van een afgeleide is de richtingscoëfficiënt
van de raaklijn aan een kromme te bepalen in een door ons gekozen
punt a.
k/h = tg α = de richtingscoëfficiënt van de snijlijn ab.
Naarmate h kleiner wordt komen we dichter bij punt a en zal de snijlijn
ab steeds dichter bij de raaklijn in a komen te liggen.
Wanneer h = 0 zal punt b samenvallen met punt a en zal de snijlijn ab
samenvallen met de raaklijn in a.
Dit is nu juist wat we gaan berekenen met de afgeleide.
De afgeleide van f(x) in x is
h
xfhxf
h
k
hh
)()(
limlim
00
−+
=
→→
als de limiet
bestaat en eindig is!
Notatie:
dx
xdf
DyyxDfxf
h
k
h
)(
')()('lim
0
=====
→
Men zegt: de afgeleide van f naar x.
(waarbij men de verandering van f bedoelt voor een oneindig kleine verandering van x).
y
xx x+h
f(x)
f(x+h)
a
b
k
hα

AFGELEIDEN
Voorbeeld: f(x) = x³ - x + 5 en x = 0
h
hh
h
k
h
)50³0(5)0()³0(
limlim
0
+−−++−+
=
→
1)1²lim(
³
lim −=−=
−
= h
h
hh
-1 is de afgeleide van f(x) = x³ - x + 5 in 0
Dus tg α = -1 ⇔ α = -45° of α = 315°. Dit is de hoek die de raaklijn
maakt in het punt x = 0 aan de curve beschreven door de functie
f(x) = x³ - x + 5
Test: bereken f(x) voor x in het interval [0,1] met een stapgrootte van
0,1. Teken vervolgens de curve op een lineaire schaal en teken de
raaklijn in het punt x = 0. Meet nu de hoek van deze raaklijn met de
horizontale schaal; deze zou ongeveer –45° moeten bedragen (niet
exact want h is in uw geval 0,1 en niet 0!)
4.3. Andere eigenschappen van afgeleiden
1. Is de functie stijgend in een interval dan is de afgeleide
van de functie groter of gelijk aan 0 in dat interval.
Als f(x) ↑ => f’(x) ≥ 0
2. Is een functie dalend in een interval dan is de afgeleide
van die functie kleiner of gelijk aan 0 in dat interval.
Als f(x) ↓ => f’(x) ≤ 0
3. Is de afgeleide van een functie gelijk aan 0 dan bereikt
deze functie een minimum of een maximum.
4. De functie bereikt een minimum als de afgeleide van –
naar 0 naar + overgaat.
5. De functie bereikt een maximum als de afgeleide van +
naar 0 naar – overgaat.

AFGELEIDEN
4.4. Formules
• D(u + v) = Du + Dv
• D(u·v) = uDv + vDu
•
²v
uDvvDu
v
u
D
−
=
• D cte = 0 (α = 0° omdat tg α = 0)
• D(x) = 1 (α = 45° omdat tg α = 1)
• D xn = n xn-1
• D f(x)n = n f(x)n-1.Df(x)
• D(a·f(x)) = a·Df(x)
• Dsin x = cos x
• Dsin(f(x)) = cos(f(x)).Df(x)
• Dcos x = - sin x
• Dcos(f(x)) = - sin(f(x)).Df(x)
• D(ln x) = 1/x
• D(ln(f(x))) =
)(
)(
xf
xDf
• D(a log x) =
x
ea
log
• D(a log f(x)) = )(
)(
log
xDf
xf
ea
• D ex = ex
• D ef(x) = ef(x) Df(x)
• D ax = ax · ln a
• D af(x) = af(x) ln a Df(x)

AFGELEIDEN
4.5. Basisoefeningen afgeleiden
A) Bereken
1. D(x² + x)
2. D(sin x + √x)
3. D(x·sin x)
4. D((x² + 1)√x)
5. D(7x³)
6. D(√x/4)
7.
1²
3
+
+
x
x
D
8. D
x
xsin
9. D ln (x² + 1)
10. D 5x
11. D
x
xln
12. Als f(x) = 2x² - 1 bereken dan de raaklijn in x = 5
13. Als f(x) = x² + x + 5 bereken dan de raaklijn in x = 2
14. Als f(x) = x·cos x bereken dan de raaklijn in x = 4
15. Als f(x) = (x + 1)² bereken dan de raaklijn in x = 5
16. Als f(x) = 56 +x bereken dan de raaklijn in x = 2
17. Als f(x) = x³ - 3x + 6 bepaal een maximum en een
minimum
18. Als f(x) = x4 – 5x³ + 9x² -7x + 2 bepaal dan de extrema in [0,
+∞[

AFGELEIDEN
B) Interpreteer en teken
Gegeven: het verloop van f(x) tussen a en b zoals voorgesteld.
Gevraagd: schets het verloop van f’(x) tussen a en b.
C) Bepaal het optimum
Gegeven: lijnstuk [a,d] = 16cm; [a,b] = 4cm; [c,d] = 6cm
Gevraagd: bepaal de ligging van het punt p (tussen b en c) zodat de
totale oppervlakte van de getekende vierkanten maximaal is?
X
X
45°
f(x)
f’(x)
ba
a b
f(x)
f’(x)
ba
a b
2
f(x)
f’(x)
ba
a b
1
3
2
a b c dp

AFGELEIDEN
4.6. Toepassingen
4.6.1. Fysica - Kinematica
Theorie
Snelheid = wijziging van plaats in functie van de tijd
v(t) = x’(t) =
dt
dx
Versnelling = wijziging van snelheid in functie van de tijd
a(t) = v’(t) = dv/dt = 2
2
dt
xd
Bijvoorbeeld vrije val:
x(t) = gt²/2 waarbij g = 9,81m/s² (de valversnelling)
v(t) =
a(t) =
Oefening 1
Als de plaats van een voorwerp in functie van de tijd
gegeven is door: x(t) = t³/3 – 2t² + 3t
Bepaal dan:
• De snelheid en de versnelling in functie van de tijd
• De snelheid en de versnelling na 4s
• Het tijdstip wanneer het voorwerp stil staat
• Het tijdstip wanneer de versnelling nul is
Oefening 2
Als de plaats van een voorwerp in functie van de tijd
gegeven is door: x(t) = t4/12 – 2t³/3 + 3t²/2 + 7t + 8
Bepaal dan de tijdstippen waarop de kracht die op het
voorwerp wordt uitgeoefend van teken verandert.

AFGELEIDEN
Oefening 3
Door een woestijngebied loopt een rechtlijnige spoorweg. Langs de
spoorweg ligt een stad. Op 130km van deze stad en op 50km van de
spoorweg ligt een oase. De lokale overheid wil een treinstation bouwen
en een weg met busverbinding aanleggen van de oase naar het
treinstation. De treinen rijden gemiddeld aan 100km/u; de bussen aan
60km/u. Op welke afstand dient het station geplaatst te worden om de
snelste verbinding tussen de stad en de oase te bekomen?
130km
50km
oase
stad
station

AFGELEIDEN
4.6.2. Elektriciteit - Kipkoppel bij 3f asynchrone motoren
Theorie
De formule voor het koppel (M) in functie van de slip (j) wordt
gegeven door:
[ ])²²(²2
²60
)(
212
12
XXjRn
UjR
jM
s ++
=
π
Grafisch
Bepaal Mk
Opm.: je kan de eerste en de tweede afgeleiden gebruiken om
functies te onderzoeken:
• f’(x) > 0: stijgend verloop
• f’(x) < 0: dalend verloop
• f’(x) = 0: horizontaal verloop (min of max)
• f’’(x) > 0: hol verloop
• f’’(x) < 0: bol verloop
• f’’(x) = 0: buigpunt
M(Nm)
Mk
Jk j

AFGELEIDEN
4.6.3. Sterkteleer – Dwarskracht en moment bij een belaste balk
Een balk is aan één zijde ingeklemd en wordt belast met een
constante belasting per lengte-eenheid q(x) = q0 en een kracht F op
het uiteinde.
Deze balk vertoont een doorbuiging volgens formule:
( ) ( )[ ]232234
0 3464
24
1
)( lxxFxllxxq
EI
xy −−+−=
met E = elasticiteitsmodulus en I = lineair traagheidsmoment
Gegeven uit de sterkteleer
 Buigend moment Mb(x) = -
EI·y’’(x)
 Dwarskracht D(x) = M’b(x)
Gevraagd
a) Bepaal en teken Mb(x)
b) Bepaal en teken D(x)

AFGELEIDEN
R = 3Ω
II
n batterijen per keten
1ste
keten
2e
keten
me
keten
4.6.4. Elektriciteit – Groepschakeling van batterijen
Een groepschakeling bevat 32 identieke batterijen met elk een bronspanning
van 2V en een inwendige weerstand Ri van 4Ω. De 32 batterijen zijn zo
geschakeld dat er telkens n batterijen in serie staan en dat er m zulke
serieketens parallel staan (zie figuur). In totaal zijn er m·n=32 batterijen.
Gegeven uit elektriciteit
RIU ⋅=
∑=
i
itot RR voor serieschakeling
∑=
i itot RR
11
voor parallelschakeling
Gevraagd: Bepaal m en n opdat de stroom I maximaal zou zijn.
(Het volgende verband geldt voor dit voorbeeld zoals je kan narekenen
in de cursus elektriciteit:
²496
64
n
n
I
+
= )

AFGELEIDEN
4.6.5. Fysica – Paraboolbaan van een waterstraal
Een cylinder is tot een hoogte H gevuld met water. Het wateroppervlak
wordt onveranderlijk gehouden. Op een diepte h bevindt zich in de
zijkant een opening van waaruit het water stroomt met een
beginsnelheid in horizontale richting van ghv 20 = .
Hoe diep moeten we h leggen opdat het uitstromende water de grond
zou raken in punt B, zo ver als mogelijk verwijderd van de cylinder?
in de cursus fysica:
h
X
hH W
4
²
=− )

AFGELEIDEN
4.6.6. Elektriciteit – Vermogensaanpassing van een
belastingsweerstand
Over een spanningsbron U0 van 50V met een inwendige weerstand Ri
van 6Ω wordt een variabele weerstand Ra aangesloten.
Gevraagd: Hoe groot moet Ra ingesteld worden opdat het door Ra
opgenomen vermogen maximaal zou zijn?
in de cursus elektriciteit:
( )²
²0
ia
a
RR
R
UP
+
⋅= )
4.6.7. Fysica – Optimale verlichting van een punt door een lichtbron
Punt A bevindt zich op een vlak podium en wordt verlicht door een in de
hoogte verstelbare lichtbron L met een constante lichtsterkte I0. De
verlichtingssterkte B in punt A wordt beschreven door de wet van
Lambert:
Gevraagd: Op welke hoogte h moeten we de lichtbron aanbrengen
opdat punt A optimaal belicht wordt (d.w.z. belichtingssterkte B in punt
A maximaal)?
2
0 cos
r
I
B
α⋅
=
RIU ⋅=
IUP ⋅=Vermogen:

OPLOSSINGEN
Oplossingen van de Basisoefeningen
Basisoefeningen goniometrie I
1.1 -cosα 2.1 0,628
1.2 -cosα 2.2 108°
1.3 sinα
1.4 0 3.a
5
2
6
10...1
ππ k
x +±= en k = 0,1,2,3,4
1.5 cosα 3.b
39
6
6...1
ππ k
x +
−
= en k = 0,1,2,3,4,5
1.6 -sinα
1.7 -sinα
Basisoefeningen goniometrie II
1. 0,5
2. 0
3. 1
4. 0
5. 1,5
6. 1 + sin²α
Basisoefeningen goniometrie III
1. θ = 44,4° / δ = 45,6° / L = 34,3
2. β = 68,2° / α = 21,8° / C = 5,4
3. α = 55° / A = 4,3 / B = 5,2
4. H = 6,1m / d = 3,5m
5. α = 2,3°
6. monitoraat
Basisoefeningen logaritmen I
1.a: 2 2.a: 5
1.b: 4 2.b: 5
1.c: -1 2.c: 2
1.d: 3/4 2.d: 2
1.e: 2/3
Basisoefeningen logaritmen II
1. x=8 7. x1=2; x2=6
2. x=4 8. x=3
3. x=15 9. x=2,93
4. x1=8/3; x2=2/3 10. x1=-1; x2= 3log(½)
5. x1=2; x2=1/2 11. x=2
6. x1=2; x2=3 12. x=2

OPLOSSINGEN
Basisoefeningen complexe getallen
1. –50
2. 61
3. 1
4. 3 + 4j
5. –2 - 2j
6. –2 + 2j
7. z1 = (2 – 3j) en z2 = (-5 + 3j)
8. z1 = (13 + 8j) en z2 = (4 + 7j)
Basisoefeningen afgeleiden
A)
1. 2x + 1 12. y = 20x – 51
2. cosx +
x.2
1
13. y = 5x + 1
3. sinx + x.cosx 14. y = 2,37x - 12,09
4.
x
x
xx
2
1²
2
+
+ 15. y = 12x – 24
5. 21·x² 16. y = 1,46x + 1,20
6.
x.8
1
17. min. voor x=1 ; max. voor x=-1
7.
)²1²(
1.6²
+
+−−
x
xx
18. x1=1; x2=1; x3=7/4
8.
²
sincos.
x
xxx −
9.
1²
2
+x
x
10. 5x·ln 5
11.
²
ln1
x
x−
B) monitoraat
C) punt P ligt op 8cm (rechts van punt a)

BIBLIOGRAFIE
Bibliografie
 Cursus Wiskunde Blok I, Academiejaar 2002-2003,
Plantijnhogeschool, Jo Van den Broeck
 Cursus Wiskunde Blok IV, Academiejaar 2002-2003,
Plantijnhogeschool, Jo Van den Broeck
 Tabellenboek voor metaaltechniek – W. De Clippeleer, Wolters-
Plantyn, ISBN 9030156953
 Oefenboek “Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs” – Lothar
Papula, Academic Service – ISBN 90 6233 905 0
 Inoefenen van de basisprincipes – oefeningen op het internet:
a) Gricha’s wiskundige vragenbank
Surf naar http://home.pi.be/ursula/linkwi9.htm
Klik door naar oefeningen voor 5e en 6e jaar.
 goniometrie – complementaire hoeken, …
 afgeleiden
 complexe getallen
 logaritmen
 exponentiele functies
b) Het digitale wiskundelokaal
Surf naar http://www.digischool.nl/wi/animaties.php
Diverse animaties rond
 stelling van Pythagoras
 goniometrie
 determinanten
c) Vakkenhoek
Surf naar http://www.xs4all.nl/~wjsn/wiskunde.htm
Diverse oefeningen rond
 hoeken, getallen, radialen
 ontbinden in factoren
 parabolen, nulpunten
d) 25 topsites voor wiskunde (engels en nederlandstalig)
Surf naar http://users.pandora.be/wiskunde/top_25.htm
. complexe getallen
a. goniometrie (trigonometrie)
b. poolcoördinaten

BIBLIOGRAFIE
e) Wiskundehoekje Guy Gijbels
Surf naar http://www.ping.be/ursula/wiskunde.htm
Oefeningen rond
o Driehoeksmeting, stelling van Pythagoras
o Vierkantsvergelijkingen
o Ontbinden in factoren, regel van Horner
f) Oefeningen en theorie Kinematica (x, v, a):
Surf naar
http://www.khk.be/khk/labos/mechanica/eerstejaar/rechtlbew/defa
ult.htm
RLC-keten op DC en AC – gedrag grafisch:
http://www.walburgcollege.nl/vakken/natuurkunde/ntnujava/electr
onics/vrlc.html
Opladen en ontladen van een condensator:
http://www.walburgcollege.nl/vakken/natuurkunde/ntnujava/rc_nl/
rc_nl.html
Oefeningen op exponentiële functies (groeifactor, …)
http://home.planet.nl/~Philip.van.Egmond/index-n.htm

FORMULARIUM
2sin α.cos β = sin(α - β) + sin(α + β)
2cos α.cos β = cos(α - β) + cos(α + β)
2sin α.sin β = cos(α - β) – cos(α + β)
sin α + sin β = 2sin(α/2 + β/2).cos(α/2 - β/2)
sin α - sin β = 2cos(α/2 + β/2).sin(α/2 - β/2)
cos α + cos β = 2cos(α/2 + β/2).cos(α/2 - β/2)
cos α - cos β = -2sin(α/2 + β/2).sin(α/2 - β/2)
A/sin γ = C/sin α = B/sinβ
A² = B² + C² - 2.B.C.cos γ
sin 2α = 2.sin α.cosα
cos 2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 – 2sin²α
sin 3α = 3sin α - 4sin³α
cos 3α = 4cos³α - 3cos α
sin²α = ½(1 – cos 2α)
cos²α = ½(1 + cos 2α)
α
α
α
α
α
α
α
α
α
²1
2
2
²1
²1
2cos
²1
2
2sin
tg
tg
tg
tg
tg
tg
tg
−
=
+
−
=
+
=
Formularium Toegepaste Wiskunde
Goniometrie
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
αα
sin
1
cos
cos
1
sec
sin
cos
cot
cos
sin
1²cos²sin
=
=
=
=
=+
ec
g
tg
α
α
α
²1
sin
tg
tg
+
±
=
α
α
²1
1
cos
tg+
±
=
cos (α - β) = cos α.cos β + sin α.sin β
cos (α + β) = cos α.cos β - sin α.sin β
sin (α - β) = sin α.cos β - cos α.sin β
sin (α + β) = sin α.cos β + cos α.sin β
βα
βα
βα
βα
βα
βα
tgtg
tgtg
tg
tgtg
tgtg
tg
.1
)(
.1
)(
−
+
=+
+
−
=−
tgα.cotgα = 1
1 + tg²α = 1/cos²α = sec²α

FORMULARIUM
Logaritmische functies
a
log b = x ⇔ ax
= b
a
log (x.y) = a
log x + a
log y
a
log x/y = a
log x – a
log y
a
log xn
= n a
log x
a
log b . b
log c = a
log c
a
log b = 1/(b
log a)
a
log c = b
log c . 1/(b
log a)
Afgeleiden
D(u + v) = Du + Dv
D(u·v) = uDv + vDu
²v
uDvvDu
v
u
D
−
=
D cte
= 0 (α = 0° omdat tg α = 0)
D(x) = 1 (α = 45° omdat tg α = 1)
D xn
= n xn-1
D f(x)n
= n f(x)n-1
.Df(x)
D(a·f(x)) = a·Df(x)
Dsin x = cos x
Dsin(f(x)) = cos(f(x)).Df(x)
Dcos x = - sin x
Dcos(f(x)) = - sin(f(x)).Df(x)
D(ln x) = 1/x
D(ln(f(x))) =
)(
)(
xf
xDf
D(a
log x) =
x
ea
log
D(a
log f(x)) = )(
)(
log
xDf
xf
ea
D ex
= ex
D ef(x)
= ef(x)
Df(x)
D ax
= ax
· ln a
D af(x)
= af(x)
ln a Df(x)

Toegepaste Wiskunde

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (15)

More from APSlides

More from APSlides (11)

Toegepaste Wiskunde