sdfg zsdfgxdfg x gasdrg st ghsedr

1. 9
9
Особенности учебника
Интернет-поддержка позволит:
• выполнить онлайн-тестирование по каждой теме
• воспользоваться видеоуроками по темам курса
• ознакомиться с темами сообщений и рефератов,
источниками информации для их подготовки
• многоуровневое построение учебного материала
• авторская система устных, графических и письменных
упражнений
• тематическое обобщение и систематизация материала
• доступность изложения, удобство пользования
• наличие тем учебных проектов
9
Геометрия
ÈÇÄÀÒÅËÜÑÒÂÎ
ÐÀÍÎÊ
Геометрия
Интернет-поддержка
interactive.ranok.com.ua
Интернет-
поддержка
ÈÇÄÀÒÅËÜÑÒÂÎ
ÐÀÍÎÊ

2. УДК [37.016:514](075.3)
Г36
Авторский коллектив:
А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов
Рекомендовано Министерством образования и науки Украины
(приказ Министерства образования и науки Украины от 20.03.2017 № 417)
Издано за счет государственных средств. Продажа запрещена
Эксперты, осуществившие экспертизу учебника в ходе проведения конкурсного отбора
проектов учебников для 9 класса общеобразовательных учебных заведений
и давшие заключение о целесообразности присвоения учебнику грифа
«Рекомендовано Министерством образования и науки Украины»:
Л. И. Невидома, учитель Королевской ООШ І–ІІІ ступеней Макаровского района
Киевской области, учитель-методист;
Н. М. Федив, методист ММК Новораздельского отдела образования
исполнительного комитета Новораздельского городского совета,
учитель-методист Новораздельского УВК им. В. Труша;
Т. В. Трачук, доцент кафедры теории и методик преподавания школьных предметов
Волынского института последипломного педагогического образования,
учитель-методист, кандидат педагогических наук
Р е ц е н з е н т:
Е. П. Нелин, профессор кафедры математики Харьковского национального
педагогического университета им. Г. С. Сковороды, кандидат педагогических наук
Переведенопоизданию:Геометрія:підруч.для9кл.загальноосвіт.навч.закл.
/ [А. П. Єршова, В. В. Голо­бородько, О. Ф. Кри­жа­нов­ський, С. В. Єршов]. —
Харків : Вид-во «Ранок», 2017. — 256 c. : іл.
Перевод с украинского И. А. Кожановой
Иллюстрации художника Владимира Хорошенко
Г36 Геометрия : учеб. для 9 кл. общеобразоват. учеб. заведений с обучением
на рус. яз. : [пер. с укр.] /[ А. П. Ершова, В. В. Голо­бородько, А. Ф. Кри­жа­
нов­ский, С. В. Ер­шов]. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2017. — 256 c. : ил.
ISBN 978-617-09-3505-2
УДК [37.016:514](075.3)
Интернет-поддержка
Электронные материалы
к учебнику размещены на сайте
interactive.ranok.com.ua
© Ершова А. П., Голобородько В. В.,
Крижановский А. Ф., Ершов С. В., 2017
ISBN 978-617-09-3505-2 (рус.) © Хорошенко В. Д., иллюстрации, 2017
ISBN 978-617-09-3353-9 (укр.) © ООО Издательство «Ранок», 2017

3. 3

Дорогие друзья!
В этом учебном году завершается изучение планиметрии — геометрии
на плоскости. Прежде чем приступить к занятиям, повторите основные по-
нятия и теоремы, которые изучались в 7–8 классах. Все они известны со
времен Древней Греции и относятся к элементарной (евклидовой) геометрии.
В 9 классе вы ознакомитесь с геометрическими методами, которые были
открыты значительно позже, в XIV–XX вв., — координатным, векторным
и методом геометрических преобразований. Эти методы широко применяются
в технике и естественных науках, прежде всего в физике. Их изучение помо-
жет вам лучше понять некоторые физические законы. В сущности, геометрию
9 класса можно без преувеличения назвать геометрией методов.
С помощью этого учебника вы научитесь решать любые, а не только
прямоугольные, треугольники, расширите представление о фигурах на пло-
скости, усовершенствуете логическое мышление, а также ­узнаете о жизни
и достижениях выдающихся ученых прошлого. Практически в каждом па-
раграфе вам предлагается доказать математическое ­утверждение, привести
пример, провести аналогию, то есть двигаться вперед самостоятельно.
Итак, геометрия ждет вдумчивых и наблюдательных исследователей,
которые смогут не только обрести геометрические знания, но и оценить их
красоту и утонченность. Мы очень надеемся, что такими исследователями
станете именно вы.
Желаем вам успехов!
Как пользоваться учебником
В учебнике пять глав, каждая из которых состоит из параграфов,
а параграфы — из пунктов. В тексте наряду с теоретическим материалом
приведены примеры решения задач. Важнейшие понятия и факты выделены
полужирным шрифтом.
Упражнения и задачи, представленные в учебнике, делятся на несколь-
ко групп. Устные упражнения помогут вам понять, насколько успешно вы
усвоили теоретический материал. Эти упражнения не обязательно выполнять
«в уме» — для их решения вы можете использовать чертежи, производить
необходимые расчеты в черновике. После устных можно переходить к графи-
ческим упражнениям, которые выполняются в тетради или на компьютере.
Далее приведены письменные упражнения. Сначала следует выполнить за-
дачи уровня А, затем — более сложные ­задачи ­уровня Б. И наконец, если

4. 4
вы хорошо усвоили материал и готовы проявить свои творческие способности,
приступайте к решению задач уровня В. Значки и возле номеров
упражнений обозначают, что эти упражнения по усмотрению учителя могут
быть использованы соответственно для работы в парах и группах. Для само-
стоятельной работы дома предназначены задачи, номера которых обозначены
значком . В конце учебника приведены ответы для большинства задач.
По­сле каждого параграфа в рубрике «Повторение» указано, какие
именно понятия и факты необходимо вспомнить для успешного изучения по-
следующего материала (рядом даны ссылки, в частности, на соответствующие
параграфы в учебниках для 7 и 8 классов1*
), и приведены задачи, которые
подготовят вас к восприятию новой темы.
В конце каждой главы помещены контрольные вопросы, типовые
задачи для контрольных работ и дополнительные задачи к главам, с по-
мощью которых вы сможете обобщить изученное, систематизировать свои
знания, усовершенствовать умения и навыки. Решение задач повышенной
сложности, которые завершают каждую главу, поможет вам увидеть новые
грани геометрии, открыть для себя красоту нестандартного мышления. Осу-
ществить самоконтроль вы можете, пройдя онлайн-тестирование на сайте
interactive.ranok.com.ua. На этом же сайте вы сможете ознакомиться с видео­
материалами к каждой главе. О возможности воспользоваться материалами
сайта вам будет напоминать значок .
Обратите внимание также на материалы рубрики «Готовимся к ГИА»,
в частности на задачи для повторения курса геометрии 7–9 классов, при-
веденные после главы V, благодаря которым вы сможете лучше подготовиться
к итоговой аттестации.
Итоги в конце каждой главы послужат своеобразным геометриче­ским
компасом и помогут ориентироваться в изученном материале. Сведения рубри-
ки «Для тех, кто хочет знать больше», обозначенные значком , позволят
расширить и углубить знания по отдельным темам. А рубрики «Историче-
ская справка» и «Математические олимпиады» ознакомят вас с инте-
ресными ­фактами о развитии геометрии и математического олимпиадного
движения, с деятельностью известных украинских и зарубежных ученых.
1*
Ершова, А. П. Геометрия : учеб. для 7 кл. общеобразоват. учеб. завед. [Текст] /
А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский. — Харьков : Изд-во «Ра-
нок». — 2015. — 224 с. : ил.; Ершова, А.П.Геометрия : Учеб. для 8 кл. общеобразо-
ват. учеб. завед. [Текст] / А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский,
С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

5. Глава I
Решение треугольников
§ 1. Тригонометрические функции углов
от 0° до 180°
§ 2. Теорема косинусов и следствия из нее
§ 3. Теорема синусов и следствия из нее
§ 4. Решение треугольников
§ 5. Применение тригонометрических
функций к нахождению площадей
§ 2. Теорема косинусов и следствия из нее§ 2. Теорема косинусов и следствия из нее
§ 3. Теорема синусов и следствия из нее§ 3. Теорема синусов и следствия из нее
§ 4. Решение треугольников§ 4. Решение треугольников
§ 5. Применение тригонометрических§ 5. Применение тригонометрических

6. Треугольник является первой фигурой, которую
нельзя разложить на более простые фигуры...
и потому считается фундаментом любой вещи,
имеющей границу и форму.
Джордано Бруно, итальянский ученый
В восьмом классе вы научились решать прямоугольные тре-
угольники, т.е. находить их неизвестные элементы по известным.
Теоретической основой для решения прямоугольных треугольников
были теорема Пифагора и свойства тригонометрических функций
острого угла прямоугольного треугольника — синуса, косинуса, тан-
генса и котангенса. С помощью теорем и соотношений, которые будут
рассматриваться в этой главе, можно решить не только прямоуголь-
ный, но и вообще любой треугольник.
Применение тригонометрических функций позволяет получить
новые формулы для нахождения отдельных элементов и площадей
многоугольников и значительно расширяет возможности использова-
ния алгебры в процессе решения геометрических задач.

7. 7
Тригонометрические функции
углов от 0° до 180°§1
1.1. Определение тригонометрических
функций на окружности
Напомним, что в прямоугольном треуголь-
нике с катетами a и b, гипотенузой c и острым
углом α (рис. 1) согласно ранее данному определению
sinα =
a
c
, cosα =
b
c
, tgα =
a
b
, ctgα =
b
a
.
Дадим определение тригонометрических
функций для любого угла от 0° до 180°. Для это-
го в прямоугольной системе координат, с которой
вы хорошо знакомы, построим окружность ради-
уса 1 с центром в начале координат (рис. 2). Та-
кая окружность называется тригонометрической.
От положительной полуоси оси Ox отложим в на-
правлении против часовой стрелки острый угол α.
Пусть M(x; y) — точка, в которой сторона этого
угла пересекает данную окружность (рис. 2, а).
Проведем перпендикуляр MN к оси Ox. Образо-
вался прямоугольный треугольник OMN с острым
углом α, гипотенузой OM = 1 и катетами, длины
которых равны координатам точки M: ON = x,
MN = y. Из треугольника OMN имеем:
sinα = = =
MN
OM
y
y
1
, cosα = = =
ON
OM
x
x
1
,
tgα = =
MN
ON
y
x
, ctgα = =
ON
MN
x
y
.
Итак, в тригонометрической окружности
синус и косинус острого угла равны соответственно
ординате и абсциссе точки, в которой сторона
данного угла пересекает окружность, а тангенс и ко-
тангенс этого угла равны отношениям ординаты
к абсциссе и абсциссы к ординате соответственно:
sinα = y, cosα = x, tgα =
y
x
, ctgα =
x
y
.
a
c
b
Рис. 1. К определению
тригонометрических
функций острого
угла прямоугольного
треугольника
–
а
Рис. 2. К определению
тригонометрических
функций углов от 0°
до 180° [См. также с. 8]

8. 8
Глава I. Решение треугольников
Отметим, что значения тригонометрических функций зависят толь-
ко от градусной меры угла. Используем полученные равенства для опре-
деления тригонометрических функций любого угла от 0° до 180°.
Определение
Для любого угла α из промежутка 0° α 180° sinα = y, cos α = x,
tgα =
y
x
(α ≠ 90°), ctgα =
x
y
(α ≠ 0°, α ≠ 180°), где x, y — координаты
соответствующей точки M тригонометрической окружности (рис. 2).
Для любого угла α из промежутка 0° α 180° sinα = y, cosy, cosy α = x,x,x
tgα =
y
x
(α ≠ 90°), ctgα =
x
y
(α ≠ 0°, α ≠ 180°), где x,x,x y — координаты— координаты—
соответствующей точки M тригонометрической окружности (рис. 2).
Итак, если угол α тупой (90° α 180°,
рис. 2, б), то ордината точки M положительна
(т. е. sin α 0), а абсцисса отрицательна
(т.е. cosα 0). Очевидно, что отношения координат
в этом случае также отрицательны, т. е. tgα 0,
ctgα 0. Вообще, косинусы, тангенсы и котан-
генсы тупых углов являются отрицательными
числами. И наоборот, если косинус, тангенс или
котангенс угла α (α 180°) отрицательны, то
угол α тупой.
Определим значения тригонометрических
функций углов 0°, 90°, 180° (рис. 2, в). Если α = 0°,
то точка M1
имеет координаты (1; 0). Отсюда
sin0° = 0, cos0° = 1, tg0° = 0. Поскольку деление
на ноль не определено, то ctg0° не существует.
Если α = 90°, то точка M2
имеет
координаты (0; 1). Отсюда sin90° = 1, cos90° = 0,
ctg90° = 0. Поскольку деление на ноль не опре-
делено, то tg90° не существует.
И наконец, если α = 180°, то точка M3
имеет координаты (–1; 0). Отсюда sin 180° = 0,
cos 180° = −1, tg 180° = 0. Поскольку деление на
ноль не определено, то ctg180° не существует.
Заметим также, что абсциссы точек M для
углов от 0° до 180° изменяются в пределах от –1
до 1, т. е. −1 cosα 1, а ординаты — в пределах
от 0 до 1, т. е. 0 sinα 1.
–
б
M1
(1;0)
M2
(0;1)
M3
(–1;0)
в
Рис. 2. [Окончание]

9. 9
§ 1. Тригонометрические функции углов от 0° до 180°
1.2. Тригонометрические тождества
Напомним, что для любого острого угла α пря-
моугольного треугольника было доказано основное
тригонометрическое тождество sin2
α + cos2
α = 1.
Покажем, что это соотношение выполняется для
любого угла от 0° до 180°.
Действительно, если угол α тупой (см. рис. 2, б),
то из прямоугольного треугольника OMN (∠N = 90°,
ON x= , MN = y, OM = 1) по теореме Пифагора име-
ем MN2
+ ON2
= OM2
, т. е. x2
+ y2
= 1, и, с учетом
определений синуса и косинуса, sin2
α + cos2
α = 1.
В случае, когда угол α равен 0°, 90° или 180°, это
тождество легко проверить непосредственной под-
становкой значений синуса и косинуса соответ-
ствующего угла (сделайте это самостоятельно).
Итак, для любого угла α из промежутка
0° α 180°
sin2
α + cos2
α = 1.
Из основного тригонометрического тождества
с учетом знаков тригонометрических функций для
углов от 0° до 180° следует, что
sin cos ,α = −1 2
α cos sin .α α= ± −1 2
Знак cosα выбирается в зависимости от то-
го, является угол α острым (знак «+») или тупым
(знак «–»).
Непосредственно из определений тригономе-
трических функций следуют такие тождества:
tg
sin
cos
α
α
α
= (α ≠ 90°), ctg
cos
sin
α
α
α
= (0° α 180°),
tgα ⋅ ctgα = 1 (α ≠ 0°, α ≠ 90°, α ≠ 180°).
В восьмом классе для острого угла α были
доказаны формулы дополнения, которые выража-
ют функции угла (90° – α) через функции угла α:
sin(90° − α) = cosα, cos(90° − α) = sinα,
tg(90° − α) = ctgα, ctg(90° − α) = tgα.
Докажем формулы, позволяющие све-
сти рассмотрение тригонометрических функций
углов (180° – α) к рассмотрению функций угла α.
sin2
α 1cos2
α

10. 10
Глава I. Решение треугольников
Теорема (формулы приведения для углов 180° –α)
Для любого угла α из промежутка 0° α 180°
sin(180° − α) = sinα, cos(180° − α) = –cosα.
Доказательство
 Пусть от положительной полуоси оси Ox
отложены углы α и 180° − α, причем стороны этих
углов пересекают тригонометрическую окруж-
ность в точках M и M1
соответственно (рис. 3).
Рассмотрим случай, когда угол α острый (для
тупых углов доказательство аналогично). Проведем
из точек M и M1
перпендикуляры MN и M1
N1
к оси Ox. Поскольку угол N1
OM1
дополняет угол
180° − α до развернутого, то ∠ N1
OM1
= 180° −
− (180° − α) = α, а прямоугольные треугольни-
ки OMN и OM1
N1
равны по гипотенузе и острому
углу. Из равенства катетов MN и M1
N1
следует, что
точки M и M1
имеют одинаковые ординаты, т. е.
sin(180° − α) = y1
= y = sinα.
Кроме того, из равенства катетов ON и ON1
следует, что абсциссы точек M и M1
противо-
положны, т. е.
cos(180° − α) = x1
= –x = −cosα.
Для случаев, когда угол α равен 0°, 90°
и 180°, проверьте правильность формул приведе-
ния самостоятельно. 
°
Рис. 3. К доказательству
формул приведения
для углов от 0° до 180°
Задача
Вычислите значения тригонометрических функций угла 150°.
Решение
sin sin ( ) sin ,150 180 30 30
1
2
° = ° − ° = ° = cos cos ( ) cos ,150 180 30 30
3
2
° = ° − ° = − ° = −
tg tg ( ) tg ,150 180 30 30
3
3
° = ° − ° = − ° = − ctg ctg ( ) ctg .150 180 30 30 3° = ° − ° = − ° = −
Ответ: sin ,150
1
2
° = cos ,150
3
2
° = − tg ,150
3
3
° = − ctg .150 3° = −
Следствие
tg(180° − α) = −tgα (0° α 180°, α ≠ 90°), ctg(180° − α) = −ctgα (0° α 180°).tg(180° − α)α)α = −tgα (0° α 180°,180°, α ≠ 90°), ctg(180° − α)α)α = −ctgα (0° α 180°).

11. 11
§ 1. Тригонометрические функции углов от 0° до 180°
Приведем значения тригонометрических функций некоторых углов
в виде таблицы.
α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
sin α 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos α 1
3
2
2
2
1
2
0 -
1
2
-
2
2
-
3
2
–1
tg α 0
3
3
1 3 — - 3 –1 -
3
3
0
ctg α — 3 1
3
3
0 -
3
3
–1 - 3 —
Вопросы и задачи
Устные упражнения
1. Сторона угла α, отложенного от положительной полуоси оси Ox
в направлении против часовой стрелки, пересекает тригонометриче­
скую окружность в точке M.
а) Назовите координаты точки M, если α = 90°.
б) Определите величину угла α, если M
2
2
2
2
;






.
2. Определите, является ли угол α (0° α 180°) острым, прямым или
тупым, если:
а) cos α = 0;
б) sin α ⋅ cos α 0;
в) tg α 0.
3. Может ли косинус тупого угла быть равным 0,01; -0,8; -3? Может ли
косинус тупого угла быть равным синусу того же угла?
4. Дан острый угол β, причем sin β = n, cos β = m. Найдите синус и ко-
синус угла (180° − β).
5. Верно ли, что:
а) синусы смежных углов — противоположные числа;
б) тангенсы смежных углов — противоположные числа?

12. 12
Глава I. Решение треугольников
Графические упражнения
6. В прямоугольной системе координат на тригонометрической окруж-
ности отметьте точку M, соответствующую углу 120°.
а) Проведите из точки М перпендикуляры к осям координат. Опре­
делите координаты оснований этих перпендикуляров.
б) Отметьте на тригонометрической окружности точку M1
, соответ­
ствующую острому углу, синус которого равен синусу 120°. Измерьте
этот острый угол и обоснуйте полученный результат.
7. В прямоугольной системе координат на тригонометрической окруж-
ности отметьте точку M, соответствующую углу 150°.
а) Определите координаты x и y точки M. Какая из координат больше?
б) Вычислите значение выражения x2
+ y2
. Обоснуйте полученный
результат.
Aa Письменные упражнения
Уровень А
8. С помощью формул приведения для углов (180° – a) вычислите си-
нус, косинус и тангенс углов 120° и 135°.
9. С помощью формул приведения и тригонометрических таблиц (каль-
кулятора) вычислите:
а) sin 160°; б) cos 115°; в) tg 95°.
10. Определите все значения α от 0° до 180°, для которых выполняется
равенство:
а) sin ;α =
3
2
б) cos α = −0,5; в) tg α = −1.
11. С помощью формул приведения и таблиц значений тригонометриче-
ских функций (см. Справочные материалы на с. 237–238) найдите:
а) sin α и tg α, если α = 170°;
б) острый и тупой углы, синусы которых равны 0,643.
12. Найдите:
а) sin α, если cos α = −0,8;
б) cos α, если sin ,α =
1
5
90° α 180°;
в) tg α, если cos α = −1.
13. Найдите cos α и tg α, если sin α = 0,6 и угол α тупой.

13. 13
§ 1. Тригонометрические функции углов от 0° до 180°
14. Сравните:
а) cos65° и cos115°; б) tg48° и tg148°; в) sin35° и sin145°.
15. Докажите тождество:
а) − °−( )⋅ =tg cos sin180 α α α ;
б) cos sin sin2
180 1α α α+ °−( )= .
16. Докажите тождество:
а)
−
° −( )
=
sin
cos
tg
α
α
α
180
; в)
sin
sin
180
1
° −( ) =
α
α
.
б) 1 1802
− = °−( )cos sin sinα α α ;
Уровень Б
17. Найдите тангенс и котангенс угла α, если:
а) cos ;α = −
5
13
в) sinα = − cosα.
б) sin ,α =
8
17
90° α 180°;
18. Найдите:
а) tgα, если cosα = −0,28;
б) ctgα, если sinα =
12
13
и угол α тупой.
19 (опорная). Докажите, что:
а) 1 2 1
2
+ =tg
cos
α
α
(0° α 180°, α ≠ 90°);
б) 1
12
2
+ =ctg
sin
α
α
(0° α 180°).
20. Упростите выражение:
а) 1 180 180 180− °−( ) °−( ) °−( )sin cos tgα α α ; б) 1 180− °−( )tg tgα α .
21. Упростите выражение:
а) tg ctg cos cosα α α α+ °−( )180 ; б) sin cos tg cosα α α α−( ) − °−( )
2 2
2 180 .
22. Известно, что tgα = −0,75. Найдите sinα и cosα.
23. Найдите sinα и cosα, если ctgα = −2,4.
тупой.
°);

14. 14
Глава I. Решение треугольников
24. Докажите, что синусы любых двух углов параллелограмма равны.
25. Докажите, что сумма косинусов всех углов трапеции равна нулю.
26. Постройте угол α, если:
а) sin ;α =
4
5
и угол α острый; б) cos .α = −
3
5
27. Постройте угол α, если tg .α = −
1
3
Уровень В
28. Найдите sinα и cosα, если tgα + ctgα = -2,5. Сколько решений име-
ет задача?
29. Найдите tgα, если cos2
α - sin2
α = 0,5. Сколько решений имеет задача?
30. Расположите углы 50°, 120°, 170° в порядке возрастания значений
их тригонометрических функций:
а) косинусов; б) синусов; в) тангенсов.
31. Известно, что α и β — тупые углы, причем cosα cosβ. Сравните:
а) sinα и sinβ; б) tgα и tgβ; в) ctgα и ctgβ.
Повторение перед изучением § 2
Теоретический материал
• решение прямоугольных
треугольников;
• теорема Пифагора.
Задачи
32. В прямоугольном треугольнике с острым углом 30° гипотенуза рав-
на 6 см. Найдите катеты треугольника.
33. Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону
ромба на отрезки длиной 8 см и 9 см. Найдите площадь ромба. Сколько
решений имеет задача?
8 класс, § 19–21
8 класс, § 13

15. 15
2.1. Теорема косинусов
В процессе решения задач часто возника­
ет необходимость вычислить неизвестную сторону
треугольника по двум известным сторонам и углу
между ними. Теорема Пифагора позволяет сделать
это в том случае, если данный угол прямой. Приве­
денная ниже теорема является обобщением теоремы
Пифагора и позволяет находить неизвестную сторо­
ну в любом треугольнике.
Теорема (косинусов)
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон без удвоенного про-
изведения этих сторон на косинус угла между ними:
c2
= a2
+ b2
– 2abcosC,
где a, b, c — стороны треугольника, угол C — угол
между сторонами a и b.
Доказательство
 Пусть в треугольнике ABC BC = a, AC = b,
AB = c. Рассмотрим одновременно два случая, когда
углы A и C оба острые (рис. 4, а) и когда угол A
тупой, а угол C острый (рис. 4, б). Проведем высо­
ту BD. Из прямоугольного треугольника BDC имеем:
BD = asinC, CD = acosC.
Тогда AD =  b − acosC. Из прямоугольного тре­
угольника ABD по теореме Пифагора:
AB2
= BD2
+ AD2
, c2
= (a sin C)2
+ (b − a cos C)2
,
c2
= a2
sin2
C + b2
− 2abcosC + a2
cos2
C,
c2
= a2
(sin2
C + cos2
C) + b2
− 2abcosC,
c2
= a2
+ b2
− 2abcosC.
В случае, когда угол C прямой, имеем cosC =
= cos90° = 0. Тогда утверждение теоремы приобре­
тает вид c2
= a2
+ b2
, т. е. совпадает с утверждением
уже доказанной теоремы Пифагора.
Доказательство для случая, когда угол C тупой
(рис. 4, в), проведите самостоятельно. 
между сторонами
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон без удвоенного про-
изведения этих сторон на косинус угла между ними:
c2
= a2
+ b2
–– 2abcosC,C,C
где a, b, c — стороны треугольника, уголc — стороны треугольника, уголc C — уголC — уголC
между сторонами a иa иa b. а
б
в
Рис. 4. К доказа­
тельству теоремы
косинусов
Теорема косинусов и следствия
из нее
§2

16. 16
Глава I. Решение треугольников
Задача
Найдите стороны параллелограмма, если его диаго-
нали длиной 10 см и 16 см пересекаются под углом 60°.
Решение
Пусть диагонали параллелограмма ABCD пересекаются
в точке O, AC = 16 см, BD = 10 см, ∠AOB = 60° (рис. 5). По-
скольку диагонали параллелограмма точкой пересечения
делятся пополам, то AO = OC = 8 см, BO = OD = 5 см.
По теореме косинусов из треугольника AOB имеем:
AB2
= AO2
+ OB2
− 2AO ⋅ OBcos∠ AOB,
AB2
= 82
+ 52
− 2 ⋅ 8 ⋅ 5cos60°.
Поскольку cos ,60
1
2
° = то AB2
= 49, AB = 7 (см).
Так как ∠ AOD = 120° как смежный с углом AOB,
то из треугольника AOD по теореме косинусов имеем:
AD2
= AO2
+ OD2
− 2AO ⋅ ODcos∠ AOD,
AD2
= 82
+ 52
− 2 ⋅ 8 ⋅ 5cos120°.
Поскольку cos cos ,120 60
1
2
° = − ° = − то AD2
= 129,
AD = 129 (см).
Ответ: 7 см и 129 см.
2.2. Следствия из теоремы косинусов
Благодаря своим следствиям теорема косину­
сов дает возможность не только находить неизвест­
ную сторону треугольника, но и определять углы
треугольника по известным сторонам (см. рис. 4).
Следствие 1
В треугольнике ABC cosC
a b c
ab
=
+ −2 2 2
2
.
Следствие 2
Если в треугольнике со сторонами a, b, c выпол-
няется неравенство a2
+ b2
c2
, то угол, противо-
лежащий стороне c, острый; если a2
+ b2
c2
, то
угол, противолежащий стороне c, тупой.
Рис. 5
Если в треугольнике со сторонами a, b, c выпол-c выпол-c
няется неравенство a2
+ b2
c2
, то угол, противо-
лежащий стороне c, острый; если a2
+ b2
c2
, то
угол, противолежащий стороне c, тупой.

17. 17
§ 2. Теорема косинусов и следствия из нее
Действительно, если в формуле, приведен­
ной в случае 1, a2
+ b2
c2
, то cos C 0, значит,
угол C острый, если a2
+ b2
c2
, то cos C 0, зна­
чит, угол С тупой.
Напомним, что в случае, когда a2
+ b2
= c2
,
по теореме, обратной теореме Пифагора, угол, про­
тиволежащий стороне c, прямой.
Таким образом, с помощью теоремы косину­
сов можно однозначно установить, явля­ет­ся ли
треуголь­ник с заданными сторонами остро­уголь­
ным, прямо­угольным или тупоугольным.
Следствием теоремы косинусов можно также
считать следующее свойство параллелограмма.
Опорная задача
(о соотношении диагоналей и сторон параллелограмма)
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна
сумме квадратов всех его сторон: d d a b1
2
2
2 2 2
2+ = +( ),
где d1
и d2
— диагонали параллелограмма, a и b —
соседние стороны параллелограмма.
Докажите.
Решение
Пусть в параллелограмме ABCD AB = CD = a,
AD = BC = b, BD = d1
, AC = d2
, ∠ BAD = γ (рис. 6). Поскольку
сумма соседних углов параллелограмма равна 180°, то
∠ ABC = 180 ° − γ. Выразим квадраты диагоналей парал-
лелограмма с помощью теоремы косинусов.
Из треугольника ABD имеем:
BD2
= AB2
+ AD2
− 2AB ⋅ AD cos γ, d1
2
= a2
+ b2
− 2ab cos γ.
Из треугольника ABC имеем:
AC2
= AB2
+ BC2
− 2AB ⋅ BC cos (180 ° − γ),
или, учитывая, что cos (180 ° − γ) = −cos γ,
d2
2
= a2
+ b2
+ 2ab cos γ.
Складывая правые и левые части полученных ра-
венств, получим: d d a b1
2
2
2 2 2
2+ = +( ), что и требовалось
доказать.
Рис. 6

18. 18
Глава I. Решение треугольников
Вопросы и задачи
Устные упражнения
34. В треугольнике со сторонами a, b, c определите, является ли угол,
противолежащий стороне a, острым, прямым или тупым, если:
а) a2
b2
+ c2
; б) a2
b2
+ c2
; в) a2
= b2
+ c2
.
35. Могут ли два угла треугольника иметь отрицательные косинусы?
36. Назовите наибольший угол треугольника ABC, если AB2
BC2
+ AC2
.
Графические упражнения
37. Начертите треугольник со сторонами
3 см и 5 см и углом между ними 120°. По
теореме косинусов вычислите длину наи­
большей стороны треугольника. Проверьте
полученный результат измерением.
38. Начертите разносторонний треугольник и измерьте его стороны.
а) Вычислите значение выражения a2
+ b2
− c2
, где a, b, c — длины
сторон треугольника, причем a b c.
б) По результату вычисления определите, является ли наибольший
угол треугольника острым, прямым или тупым. Проверьте полу­
ченный результат измерением.
Aa Письменные упражнения
Уровень А
39. Найдите неизвестную сторону треугольника, если две его стороны
и угол между ними равны соответственно:
а) 3 3 см, 11 см и 30°; в) 5 см, 16 см и 120°.
б) 8 см, 15 см и 60°;
40. Найдите периметр треугольника, если его стороны длиной 7 см
и 15 см образуют угол 60°.
41. Стороны треугольника равны 3 2 , 1 и 5. Определите градусную
меру наибольшего угла треугольника.
42. Докажите, что равнобедренный треугольник с основанием 7 см и бо­
ковой стороной 4 см является тупоугольным.

19. 19
§ 2. Теорема косинусов и следствия из нее
43. Две стороны треугольника равны 4 и 8. Какое наименьшее целое
значение должна иметь длина третьей стороны, чтобы угол между двумя
данными сторонами был тупым?
44. Две стороны треугольника равны 4 2 см и 1 см, а синус угла между
ними равен
2
2
. Найдите третью сторону треугольника. Сколько реше­
ний имеет задача?
45. В треугольнике ABC AB = 6 см, BC = 5 см, а косинус внешнего угла
при вершине B равен –0,2. Найдите сторону AC.
Уровень Б
46. В параллелограмме найдите длины:
а) сторон, если диагонали длиной 6 2 см и 14 см пересекаются под
углом 45°;
б) диагоналей, если стороны равны 10 см и 16 см, а один из углов
параллелограмма в 2 раза больше другого.
47. Найдите диагонали ромба с периметром 4a и острым углом α. Ре­
шите задачу двумя способами.
48. Диагональ параллелограмма равна 6 см и образует со стороной
длиной 8 см угол 60°. Найдите неизвестную сторону и неизвестную диа­
гональ параллелограмма.
49. Не вычисляя углов треугольника, определите его вид (по величине
углов), если стороны треугольника равны:
а) 2, 3 и 4; б) 7, 24 и 25; в) 6, 10 и 11.
50. Стороны треугольника равны 5 м, 6 м и 7 м. Найдите косинусы
углов треугольника и определите его вид (по величине углов).
51. В параллелограмме найдите:
а) периметр, если диагонали равны 11 см и 17 см, а одна из сто­
рон 13 см;
б) диагонали, если их длины относятся как 4 : 7, а стороны рав­
ны 7 см и 9 см.
52. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 34 см,
а диагонали 11 см и 13 см.
Уровень В
53. В треугольнике ABC ∠ A = 90°, AC = 4 см, BC = 8 см. На катете AC
вне данного треугольника построен равносторонний треугольник ACD.
Найдите длину отрезка BD.

20. 20
Глава I. Решение треугольников
54. В параллелограмме ABCD ∠ A = 60°, AB = 2, BC = 4. Точки M и N —
середины сторон BC и CD соответственно. Найдите косинус угла MAN.
55. Стороны треугольника длиной 10 см и 42 см образуют угол 120°.
Найдите длину медианы, проведенной из вершины данного угла.
56 (опорная). В треугольнике со сторонами a, b, c медиана, проведенная
к стороне c, вычисляется по формуле m a b cc = + −
1
2
2 2 2 2
( ) . Докажите.
57. Если для медиан треугольника ma
, mb
и mc
выполняется равенство
ma
2
+ mb
2
= 5mc
2
, то данный треугольник — прямоугольный с гипотену­
зой c. Докажите. Верно ли обратное утверждение?
58. В трапеции ABCD AD CB , ADAB = 8 см, CD = 4 3 см. Окружность,
проходящая через точки A, B и C, пересекает отрезок AD в точке K,
причем ∠ AKB = 60°. Найдите BK.
Повторение перед изучением § 3
Теоретический материал
• пропорции;
• решение прямоугольных
треугольников;
• окружность, описанная около
треугольника.
Задачи
59. В треугольнике ABC ∠ A = 60°, ∠ C = 45°, BD = 4 см — высота тре­
угольника. Найдите длины сторон AB и BC.
60. На окружности отмечены точки A, B, C и D так, что угол ABC
в 3 раза меньше угла ADC. Найдите градусные меры этих углов.
6 класс
8 класс, § 19–21
7 класс, п. 23.1

21. 21
Теорема синусов и следствия
из нее
§3
3.1. Теорема синусов
Рассмотрим еще одну теорему, с помощью ко­
торой можно находить неизвестные стороны и углы
треугольника.
Теорема (синусов)
Стороны треугольника пропорциональны сину­
сам противолежащих углов:
a
A
b
B
c
Csin sin sin
= = ,
где a, b, c — стороны треугольника, противоле­
жащие углам A, B, C соответственно.
Доказательство
 Пусть в треугольнике ABC BC = a, AC = b,
AB = c. Проведем высоту CD.
Если угол A острый (рис. 7, а), то из прямо­
угольного треугольника ACD имеем CD = bsinA; ес­
ли угол A тупой (рис. 7, б), то CD = bsin(180° − A) =
= bsinA. Аналогично из треугольника BCD имеем
CD = asinB. Приравняем полученные выражения:
bsinA = asinB, или
a
A
b
Bsin sin
= .
Аналогично доказывается равенство
b
B
c
Csin sin
= . В случае, когда угол A прямой,
утверждение теоремы следует из определения си­
нусов углов треугольника ABC (обоснуйте это само­
стоятельно). 
Задача
Диагональ параллелограмма равна d и образует
со сторонами параллелограмма углы α и β. Найдите
стороны параллелограмма.
Стороны треугольника пропорциональны сину­
сам противолежащих углов:
a
A
b
B
c
Csin sAn sA in sin
= == = ,
где a, b, c — стороны треугольника, противоле­
жащие углам A, B, C соответственно.C соответственно.C
а
б
Рис. 7. К доказатель­
ству теоремы синусов

22. 22
Глава I. Решение треугольников
Решение
Пусть в параллелограмме ABCD AC = d, ∠ BAC = α,
∠ CAD = β (рис. 8). Найдем стороны параллело­грамма.
Углы CAD и ACB — внутренние накрест лежащие при
параллельных прямых AD и BC и секущей AC, поэтому
∠ ACB = β. Тогда в треугольнике ABC ∠ B = 180° − (α + β).
Применив теорему синусов для этого треугольника, получим:
AC AB BC
sin ( ( )) sin sin
,
180° − +
= =
α β β α
или
d AB BC
sin ( ) sin sin
.
α β β α+
= =
Отсюда AB
d
=
+
sin
sin ( )
,
β
α β
BC
d
=
+
sin
sin ( )
.
α
α β
Ответ:
d sin
sin ( )
,
β
α β+
d sin
sin ( )
.
α
α β+
3.2. Связь между пропорциональными
отношениями теоремы синусов
и диаметром описанной окружности
Опорная задача
(полная формулировка теоремы синусов)
Отношение стороны треугольника к синусу противо-
лежащего угла равно диаметру окружности, описанной
около треугольника:
a
A
b
B
c
C
R
sin sin sin
,= == 2
где a, b, c — стороны треугольника, противолежащие
углам A, B, C соответственно, R — радиус описанной
окружности. Докажите.
Решение
Пусть около треугольника ABC (BC = a) описа-
на окружность радиуса R. Учитывая имеющиеся
пропорциональные соотношения теоремы синусов,
достаточно доказать, что
a
A
R
sin
,= 2 или a = 2R sin A.
Рис. 8
а
б
Рис. 9. [См. также с. 23]

23. 23
§ 3. Теорема синусов и следствияиз нее
1) Пусть ∠ A = 90° (рис. 9, а). Тогда вписанный угол A
опирается на полуокружность, т. е. a = BC = 2R = 2R ⋅ 1 =
= 2R sin 90° = 2R sin A.
2) Пусть ∠ A 90° (рис. 9, б). Проведем диаметр BA1
и рассмотрим треугольник A1
BC. В этом треугольнике
∠ BCA1
= 90° как угол, опирающийся на полуокружность,
т. е. BC = BA1
sin A1
. Поскольку вписанные углы A и A1
опираются на одну и ту же дугу, то ∠ A = ∠ A1
. Тогда
BC = BA1
sin A = 2R sin A, или a = 2R sin A.
3) Пусть ∠ A 90° (рис. 9, в). Проведем диа­метр BA1
.
Тогда ∠ A + ∠ A1
= 180°, откуда sin A1
= sin (180° − A) =
= sin A. Итак, BC = BA1
sin A, или a = 2R sin A, что и тре-
бовалось доказать.
Задача
Найдите радиус окружности, описанной около рав-
нобедренной трапеции с основаниями 1 и 3 и боковой
стороной 2.
Решение
Пусть в трапеции ABCD AD BC , AD = 3, BC = 1,
AB = CD = 2 (рис. 10). Проведем из вершин тупых углов
трапеции высоты BB1
и CC1
. Тогда AB1
= B1
C1
= C1
D = 1 (до-
кажите это самостоятельно).
В прямоугольном треугольнике ABB1
cos ,A
AB
AB
=
1
cos ,A =
1
2
откуда ∠ A = 60°, sin .A =
3
2
Из треуголь-
ника ABD по теореме косинусов имеем:
BD2
= AB2
+ AD2
− 2AB ⋅ AD cos A,
BD2 2 2
2 3 2 2 3
1
2
= + − ⋅ ⋅ ⋅ , BD2
= 7, BD = 7 .
Окружность, описанная около трапеции, является
также описанной около треугольника ABD. По
доказанной выше формуле
BD
A
R
sin
,= 2 значит,
R
BD
A
=
2 sin
, R= =
7
3
21
3
.
Ответ:
21
3
.
в
Рис. 9. [Окончание]
Рис. 10

24. 24
Глава I. Решение треугольников
Вопросы и задачи
Устные упражнения
61. С помощью теоремы синусов восстановите отношения синусов углов
треугольника ABC в правой части равенства BC : AC : AB = ... .
62. Назовите наибольшую и наименьшую стороны треугольника ABC,
если sin B sin A sin C.
63. В треугольнике ABC sin A = sin C. Может ли один из углов A и C быть
тупым? Есть ли в данном треугольнике равные стороны?
64. В треугольнике ABC AB = 6, BC = 3. Возможно ли, что sin A = 1?
Графические упражнения
65. Начертите равнобедренный треугольник с углом при основании 30°.
Измерьте длины сторон треугольника и вычислите их отношения к си­
нусам противолежащих углов. Сравните полученные результаты.
66. Начертите окружность радиуса 2 см и впишите в нее треугольник
с углом 30°. Измерьте сторону, противолежащую этому углу, и сравните
ее длину с радиусом окружности. Объясните полученный результат.
Aa Письменные упражнения
Уровень А
67. В треугольнике ABC найдите отношения сторон AB : AC и BC : AC,
если ∠ A = 120°, ∠ B = 30°.
68. В треугольнике ABC найдите:
а) сторону BC, если AB = 2 2 см, ∠ B = 105°, ∠ C = 30°;
б) угол A, если AB = 4 2 см, BC = 4 см, ∠ C = 45°.
69. В треугольнике ABC найдите:
а) сторону AC, если AB = 6 2 см, ∠ B = 30°, ∠ C = 45°;
б) угол B, если AB = 3 см, AC = 2 см, ∠ C = 60°.
70. В треугольнике MNK сторона MN вдвое меньше стороны NK, sin K =
1
4
.
Найдите угол M. Сколько решений имеет задача?
71. В треугольнике MNK sin N : sin K = 1 : 3. Найдите сторону MN, если
MK = 3 м.
72. С помощью теоремы синусов найдите отношение основания равно­
бедренного прямоугольного треугольника к боковой стороне.
73. С помощью теоремы синусов докажите, что в прямоугольном тре­
угольнике катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.

25. 25
§ 3. Теорема синусов и следствияиз нее
Уровень Б
74. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC найдите
биссектрису BD, если ∠ C = 30°, CD = 8 2 см.
75. Найдите стороны треугольника ABC, если ∠ A = 45°, ∠ C = 30°, а вы­
сота AD равна 6 м.
76. В треугольнике ABC ∠ C = 90°, ∠ B = 75°, CD — биссектриса. Найди­
те AD, если AC = 2 3 .
77. Одна из сторон треугольника равна a, а углы, прилежащие к ней,
равны α и β. Найдите длины биссектрис этих углов.
78. Диагональ параллелограмма образует с его сторонами углы α и β.
Найдите эту диагональ, если сторона, прилежащая к углу α, равна a.
79. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника
с углом 120°, равен 8 3 см. Найдите стороны треугольника.
80. Радиус окружности, описанной около треугольника, равен 4 см.
Найдите углы треугольника, если две его стороны равны 4 см и 4 3 см.
Сколько решений имеет задача?
Уровень В
81. Найдите длины двух сторон треугольника, лежащих против углов 60°
и 45°, если разность этих длин равна m.
82. Найдите стороны треугольника, периметр которого равен P, а два
угла — α и β.
83. Докажите, что окружность, описанная около треугольника, и окруж­
ность, проходящая через ортоцентр и две вершины этого треугольника,
имеют равные радиусы.
84. Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 21 см, а высота 8 см.
Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.
Повторение перед изучением § 4
Теоретический материал
• решение прямоугольных треугольников;
• определение тригонометрических функций.
Задачи
85. Найдите углы ромба, диагонали которого равны 4 и 4 3 .
86. В треугольнике ABC ∠ C = 90°, CD — высота. Сравните отрезки AD
и DB, если sin A sin B.
9 класс, п. 1.1
8 класс, § 19–21

26. 26
Решение треугольников§4
4.1. Основные задачи на решение
треугольников
С помощью теорем косинусов и синусов мож­
но решить произвольный треугольник по трем
основным элементам, если хотя бы один из них
является стороной треугольника. Рассмотрим че­
тыре основные задачи на решение треугольников.
Задача 1 (решение треугольника
по стороне и двум углам)
Дано: a, ∠ B, ∠ C (рис. 11). Найти: b, c, ∠ A.
Решение
1) По теореме о сумме углов треугольника
∠ A = 180° − (∠ B + ∠ C).
2) По теореме синусов
a
A
b
B
c
Csin sin sin
,= =
откуда b
a B
A
=
sin
sin
, c
a C
A
=
sin
sin
.
Задача 2 (решение треугольника
по двум сторонам и углу между ними)
Дано: a, b, ∠ C. Найти: c, ∠ A, ∠ B.
Решение
1) По теореме косинусов c a b ab C= + −2 2
2 cos .
2) По следствию из теоремы косинусов cos .A
b c a
bc
=
+ −
2 2 2
2
С помощью калькулятора или таблиц находим
угол A.
3) По теореме о сумме углов треугольника
∠ B = 180° − (∠ A + ∠ C).
Задача 3 (решение треугольника по трем сторонам)
Дано: a, b, c. Найти: ∠ A, ∠ B, ∠ C.
Решение
1) По следствию из теоремы косинусов cos .A
b c a
bc
=
+ −
2 2 2
2
b
ac
Рис. 11. К задачам
на решение треуголь­
ников

27. 27
§ 4. Решение треугольников
С помощью калькулятора или таблиц находим угол A.
2) Аналогично cos .B
a c b
ac
=
+ −
2 2 2
2
С помощью калькулятора или таблиц находим угол B.
3) По теореме о сумме углов треугольника ∠ C = 180 ° − (∠ A + ∠ B).
Заметим, что для нахождения углов в задачах 2 и 3 можно
воспользоваться также теоремой синусов. Но при этом следует
помнить, что любому значению sin A, меньшему, чем единица, будут
соответствовать два угла — острый и тупой. Во избежание ошибки
рекомендуется обозначить через a наименьшую из сторон. В таком
случае угол A, противолежащий стороне a, обязательно должен быть
острым. Обоснуйте это самостоятельно.
Задача 4 (решение треугольника по двум
сторонам и углу, противолежащему одной из них)
Дано: a, b, ∠ A. Найти: c, ∠ B, ∠ C.
Решение
1) По теореме синусов
a
A
b
Bsin sin
,= откуда sin .
sin
B
b A
a
=
С помощью калькулятора или таблиц находим угол B,
учитывая, что против большей стороны треугольника лежит
больший угол (если a b, то угол B острый).
2) По теореме о сумме углов треугольника
∠ C = 180 ° − (∠ A + ∠ B).
3) По теореме синусов
a
A
c
Csin sin
,= откуда c
a C
A
=
sin
sin
.
b
ac
[Рис. 11]
Задачу 4 можно решить и другим способом, составив квадратное
уравнение относительно переменной c на основании теоремы косинусов:
a2
= b2
+ c2
− 2bc cos A. Это уравнение может иметь один или два корня
либо не иметь корней. Поэтому задача 4 в зависимости от значений a, b
и угла A может иметь одно или два решения либо не иметь решений.
Обратим внимание, что задачи 1–3 всегда имеют не более одного
решения. Подумайте, как это связано с признаками равенства тре­
угольников.
Договоримся при решении треугольников округлять длины сто-
рон до сотых, а градусные меры углов — до единиц.

28. 28
Глава I. Решение треугольников
4.2. Применение решения треуголь­
ников в задачах
Рассмотренные задачи на решение треуголь-
ников часто являются фрагментами более слож-
ных геометрических задач. В таких случаях стоит
при­держиваться следующего плана.
1. Определить элемент данной фигуры (отрезок
или угол), который необходимо найти.
2. Выделить на рисунке вспомогательный тре­
угольник, который содержит искомый элемент
и может быть решен по имеющимся данным
задачи.
Если на рисунке такого треугольника нет, его
можно получить, выполнив дополнительные
построения. Иногда для поиска необходимого
отрезка или угла надо последовательно решить
несколько вспомогательных треугольников
с общими элементами.
3. Решив вспомогательный треугольник (тре­уголь­
ники), найти искомый элемент и исполь­зовать
его для дальнейшего решения исходной задачи.
Задача
По данным рис. 12, а найдите среднюю линию
трапеции ABCD.
Решение
Пусть в трапеции ABCD AD BC , AB = a, BC = b, ∠ B = β,
∠ D = α (рис. 12, а). Найдем среднюю линию тра­пеции.
Проведем через вершину C прямую, параллельную
стороне AB. Пусть она пересекает основание AD в точке E
(рис. 12, б). Тогда ABCE — параллелограмм, CE = AB = a,
AE = BC = b, ∠ AEC = ∠ B = β. Отсюда в треугольнике ECD
∠ CED = 180° − β как смежный с углом β парал­ле­ло-
грамма. Из треугольника ECD по теореме синусов
EC
D
ED
ECDsin sin
,=
∠
т. е.
a ED
sin sin ( )
.
α β α
=
−
а
180°
б
Рис. 12

29. 29
§ 4. Решение треугольников
Отсюда ED
a
=
−sin ( )
sin
.
β α
α
Тогда в данной трапеции
AD b
a
= +
−sin ( )
sin
.
β α
α
Поскольку средняя линия
трапеции равна полусумме ее оснований, то ее длина
равна
1
2
b b
a
+ +
−





sin ( )
sin
,
β α
α
т. е. b
a
+
−sin ( )
sin
.
β α
α2
Ответ: b
a
+
−sin ( )
sin
.
β α
α2
.
Заметим, что эту задачу можно решить
и без применения теоремы синусов, проведя высо-
ты трапеции из вершин B и C. Попробуйте само-
стоятельно решить задачу этим способом и опре-
делить, какой из способов более удобен.
Решение треугольников широко применяется
на практике, в частности при проведении изме-
рений на местности. Пусть, например, необходимо
измерить расстояние от точки A до некоторой
недоступной точки B (рис. 13). Выберем
на местности точку C, проход от которой до
точки A возможен, и измерим расстояние AC. Потом
с помощью специальных приборов для измерения
углов на местности определим градусные меры
углов BAC и BCA. Итак, пусть AC = b, ∠BAC = α,
∠BCA = γ. Эти данные позволяют найти искомое
расстояние AB (см. задачу 1, п. 4.1).
По теореме о сумме углов треугольника
∠B = 180° - (α + γ);
по теореме синусов
AC
B
AB
Csin sin
= , т. е.
b AB
sin( ( )) sin
,
180° − +
=
α γ γ
откуда AB
b
=
+
sin
sin( )
.
γ
α γ
A С
B
Рис. 13

30. 30
Глава I. Решение треугольников
Вопросы и задачи
Устные упражнения
87. По какой теореме можно найти неизвестную сторону треугольника,
в котором заданы:
а) две стороны и угол между ними;
б) две стороны и угол, противолежащий одной из них;
в) сторона и прилежащие к ней углы?
88. Можно ли найти:
а) углы треугольника, в котором заданы три стороны;
б) стороны треугольника, в котором заданы три угла?
89. Сколько решений может иметь задача на решение треугольника:
а) по трем сторонам;
б) по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них;
в) по стороне и двум углам?
Графические упражнения
90. Начертите треугольник ABC, в котором ∠ A = 20°, ∠ B = 100°,
∠C = 60°. Найдите на стороне AC точку C1
такую, чтобы треугольники ABC
и ABC1
были двумя результатами решения треугольника по двум сторо-
нам и углу 20°, противолежащему одной из них. Соедините точки B
и C1
и измерьте угол AC1
B.
91. Начертите треугольник со стороной 4 см и прилежащими к ней угла-
ми 45° и 60°. Вычислите длины сторон треугольника, противолежащих
заданным углам. Проверьте полученные результаты измерением.
Aa Письменные упражнения
Уровень А
92. Решите равнобедренный треугольник по ос-
нованию 6 см и углу при основании 15°.
93. Решите треугольник по стороне 10 см и при-
лежащим к ней углам 30° и 60°.
94. Решите треугольник (см. рис. 11) по стороне
и двум углам:
а) a = 10, β = 45°, γ = 30°;
б) b = 6, α = 100°, β = 50°.
b
ac
[Рис. 11]

31. 31
§ 4. Решение треугольников
95. Решите треугольник (см. рис. 11) по двум сторонам и углу между
ними:
а) a = 5, b = 21, γ = 60°; б) b = 7, c = 8, α = 120°.
96. Дороги между поселками Липовое,
Веселое и Семеновка решили заасфаль-
тировать. Расстояние между Липовым
и Ве­селым равно 1 км, между Веселым
и Семеновкой ­— 4,2 км, а отрезок доро-
ги между Липовым и Семеновкой видно
из Веселого под углом 60°. Бригада ре-
монтников асфальтирует 0,5 км дороги
за день. Успеют ли ремонтники выпол-
нить работу до приезда комиссии, ес-
ли работы начаты 21 июня, а комиссия
приезжает 7 июля?
97. Решите треугольник (см. рис. 11), если:
а) a = 12, α = 40°, β = 64°; б) a = 5b =5 2 , b = 7, γ = 135°.
98. Решите треугольник (см. рис. 11) по трем сторонам:
а) a = 3 3 , b = 2, c = 7; б) a = 8, b = 15, c = 17.
99. Решите треугольник (см. рис. 11) по двум сторонам и углу, противо-
лежащему одной из них:
а) a = 12, b = 5, α = 120°; в) a = 1, c = 2, α = 45°.
б) b = 2, c = 10, β = 6°;
100. Решите треугольник (см. рис. 11), если:
а) a = 5, b = 21, c = 19; б) a = 6, b = 8, α = 22°.
Уровень Б
101. Решите треугольник2*
(см. рис. 11), если:
а) c = 3, γ = 30°, hb
= 2; б) a = 17, b =5 2 , ha
= 5.
102. В треугольнике ABC ∠ C = 90°, ∠ A = 30°, BC = 2 см, AD — биссектриса.
Решите треугольник ABD.
103. Какой вид (по величине углов) может иметь треугольник ABC, если:
а) BC = 8 см, AC = 6 см, ∠ = °A 60 ;
б) BC = 8 см, AC = 4 см, ∠ = °A 60 ;
в) BC = 8 см, AC = 9 см, ∠ = °A 60 ?
2*
Здесь и далее медиану, биссектрису и высоту треугольника, проведенные к сто­
роне a, будем обозначать ma
, la
и ha
соответственно.

32. 32
Глава I. Решение треугольников
104. По данным рис. 14 найдите AD.
105. По данным рис. 15 найдите sinD.
Рис. 14 Рис. 15
106. Склон горы образует угол α с горизонтом (рис. 16). На горе растет
дерево. Его тень длиной l падает вниз по склону, при этом солнце видно
под углом β над горизонтом. Найдите высоту дерева.
107. Вершину холма из точки A видно под углом α, а при приближении
к холму на расстояние a — под углом β (рис. 17). Найдите высоту холма.
α
β
l
β
a
A α
Рис. 16 Рис. 17
108. Наблюдательная вышка высотой
100 м расположена на горе (рис. 18).
Объект наблюдения A виден с вершины
вышки под углом 60°, а от основания
вышки — под углом 30° к горизонту.
Найдите высоту горы.
60°
30°
A
H100м
Рис. 18

33. 33
§ 4. Решение треугольников
109. Большее основание равнобокой трапеции равно 10 см, а меньшее
основание равно боковой стороне. Найдите периметр трапеции, если один
из ее углов равен 110°. Ответ округлите до сантиметров.
110. Большее основание и боковые стороны равнобокой трапеции рав-
ны 10 см, а диагональ трапеции образует с основанием угол 50°. Найдите
среднюю линию трапеции.
Уровень В
111. Исследуйте зависимость количества решений задачи на решение
треугольника по двум сторонам a и b и углу α, противолежащему одной
из них, от значений a, b и α.
112. Решите треугольник (см. рис. 11), если:
а) α = 30°, β = 45°, a + b = 24,14;
б) b = 9, c = 19, ma
= 11.
113. Найдите стороны треугольника (см.
рис. 11), если:
а) α = 47°, β = 120°, a - c = 11;
б) ma
= 12, mb
= 15, mc
= 9.
114. По данным рис. 19 найдите сторо-
ны треугольника AOB.
115. Стороны треугольника длиной a и b
образуют угол 120°. Найдите биссектрису
треугольника, проведенную из вершины
этого угла.
Повторение перед изучением § 5
Теоретический материал
• площадь параллелограмма;
• площадь треугольника;
• вписанная и описанная окружности
треугольника.
Задачи
116. Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними
составляет 30°. Найдите площадь треугольника.
117. Найдите площадь параллелограмма с высотами 6 2 см и 8 см
и острым углом 45°.
Рис. 19
8 класс, п. 16.1
8 класс, п. 17.1
7 класс, § 23

34. 34
Применение тригонометрических
функций к нахождению площадей
Применение тригонометрических
§5
5.1. Площади треугольника
и четырехугольника
До сих пор в формулах площадей многоугольников
использовались только длины их линейных элемен­
тов (сторон, высот, диагоналей). Тригонометрические
функции позволяют задействовать для нахожде­
ния площади многоугольника величины его углов.
Теорема (формула вычисления площади треуголь-
ника по двум сторонам и углу между ними)
Площадь треугольника равна половине произ-
ведения его сторон на синус угла между ними:
S ab=
1
2
sin ,γ
где a и b — стороны треугольника, γ — угол
между ними.
Доказательство
 Пусть в треугольнике ABC BC = a, AC = b,
AB = c, ∠ C = γ. Проведем высоту BH. По известной
формуле площади треугольника S AC BH= ⋅
1
2
. Но
из прямоугольного треугольника BCH (∠ H = 90°)
имеем BH = BCsin∠ BCH. При этом в случае, когда
угол γ острый (рис. 20, а), ∠ BCH = γ, а когда угол γ
тупой (рис. 20, б), ∠ BCH = 180° − γ, sin ∠ BCH =
= sin(180° − γ) = sinγ. Итак, BH = BCsinγ. Тогда
S AC BC ab= ⋅ ⋅ =
1
2
1
2
sin sin .γ γ
Случай, когда угол γ прямой, рассмотрите
самостоятельно. 
Следствие
Площадь параллелограмма равна произведению
его сторон на синус угла между ними:
S = absinγ ,
где a и b — стороны параллелограмма, γ — угол
между ними.
Площадь треугольника равна половине произ-
ведения его сторон на синус угла между ними:
S aS abS a=S a
1
ведения его сторон на синус угла между ними:
1
ведения его сторон на синус угла между ними:
S a
1
S a
2
sin ,γn ,γn ,
где a и b — стороны треугольника, γ — угол
между ними.
а
б
Рис. 20. К доказатель­
ству формулы площади
треугольника Площадь параллелограмма равна произведению
его сторон на синус угла между ними:
S = absinγ ,
где a иa иa b — стороны параллелограмма,b — стороны параллелограмма,b γ — уголγ — уголγ
между ними.между ними.

35. 35
§ 5. Применение тригонометрических функций к нахождению площадей
Задача
Найдите наименьшую сторону треугольника, пло�
щадь которого равна 8 3 см2
, наибольшая сторона —
8 см, а один из углов — 30°.
Решение
Пусть дан треугольник ABC, AC = 8 см, SABC = 8 3 см2
(рис. 21). Из теоремы о сумме углов тре­угольника сле�
дует, что угол 30° не может быть наибольшим углом,
следовательно, он не является противолежащим дан�
ной стороне. Пусть ∠ A = 30°. По формуле площади
тре­угольника S AB AC A= ⋅ ⋅
1
2
sin , т. е. 8 3 8
1
2
1
2
= ⋅ ⋅AB ,
откуда AB = 4 3 (см).
По теореме косинусов BC2
= AB2
+ AC2
− 2AB ⋅ AC cos A,
BC2
48 64 2 4 3 8
3
2
= + − ⋅ ⋅ ⋅ , откуда BC = 4 (см).
Итак, BC — наименьшая сторона данного треугольника.
Ответ: 4 см.
Формула площади треугольника применяет-
ся и для доказательства формулы площади четы-
рехугольника с заданными диагоналями и углом
между ними.
Опорная задача (формула площади четырехугольника)
Площадь выпуклого четырехугольника равна полови�
не произведения диагоналей на синус угла между ними:
S d d=
1
2
1 2 sin ,γ
где d1
, d2
— диагонали четырехугольника, γ — угол
между ними. Докажите.
Решение
Пусть диагонали четырехугольника ABCD �����������пересекают�
ся в точке O под углом γ (рис. 22). Площадь четырехуголь�
ника ABCD равна сумме площадей четырех треугольников:
S AO BOAOB = ⋅ ⋅
1
2
sin ,γ S BO OCBOC = ⋅ ⋅ ° −( )
1
2
180sin ,γ
S OC ODCOD = ⋅ ⋅
1
2
sin ,γ S AO ODAOD = ⋅ ⋅ ° −( )
1
2
180sin .γ
°
Рис. 21
Рис. 22. К доказа­тель­
ству формулы площади
четырехугольника

36. 36
Глава I. Решение треугольников
5.2. Формула Герона
Еще одна формула площади треугольника,
для доказательства которой можно использовать
тригонометрические функции, была предложена
древнегреческим математиком Героном Алексан-
дрийским и названа в его честь. Лишь в ХХ в.
выяснилось, что раньше Герона эту формулу вы-
вел Архимед.
Теорема (формула Герона)
Площадь треугольника вычисляется по формуле
S p p a p b p c= −( ) −( ) −( ),
где a, b, c — стороны треугольника, p
a b c
=
+ +
2
—
его полупериметр.
Площадь треугольника вычисляется по формуле
S pS p= −S p= −S pS p= −S p( )p a( )p a= −( )= −p a= −p a( )p a= −p a ( )p b( )p bp b−p b( )p b−p b ( )p c( )p cp c−p c( )p c−p c ,
где a, b,b,b c — стороны треугольника,c — стороны треугольника,c p
a b c
=
+ +a b+ +a b
2
—
его полупериметр.
Учитывая, что sin sin ,180° −( ) =γ γ имеем:
S BO AO OC OD AO OCABCD = ⋅ +( ) + ⋅ +( )( ) =
1
2
sin γ = ⋅ ⋅ =
1
2
1
2
1 2sin sin .γ γAC BD d d
Следствие
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле S d=
1
2
2
sin ,γ где
d — диагональ прямоугольника, γ — угол между диагоналями. В частно�
сти, площадь квадрата с диагональю d вычисляется по формуле S
d
=
2
2
.
Напомним также, что площадь ромба с диагоналями d1
и d2
вычисляется по формуле S
d d
= 1 2
2
.
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле S dS dS d=S d
1
S d
1
S d
2
2
sin ,γn ,γn , где
d — диагональ прямоугольника, γ — угол между диагоналями. В частно�
сти, площадь квадрата с диагональю d вычисляется по формулеd вычисляется по формулеd S
d
=
2
2
.
Дано: a, b, c — стороны треугольника.
Доказать: S p p a p b p c= −( ) −( ) −( ) , где p
a b c
=
+ +
2
.
Доказательство
 S ab=
1
2
sin γ ; cos γ =
+ −a b c
ab
2 2 2
2
(по следствию из теоремы косинусов).

37. 37
§ 5. Применение тригонометрических функций к нахождению площадей
Из основного тригонометрического тождества имеем:
sin cos cos cos2 2
1 1 1
2
2
22 2 2 2 2
γ γ γ γ= − = −( ) +( ) = ⋅
− − + + + −ab a b c
ab
ab a b c22
2ab
=
=
( )
⋅
( ) −
= − +( ) + −( ) + −( ) + +
− − +c a b
ab
a b c
ab a b
c a b c a b a b c a b
2 2 2 2
2 2
2 2
1
4
cc( ) .
Поскольку p
a b c
=
+ +
2
, то a b c p+ + = 2 , c a b p a− + = −2 2 , c a b p b+ − = −2 2 ,
a b c p c+ − = −2 2 . Тогда sin2 16
4 2 2
γ =
( )( )( )− − −p p a p b p c
a b
, sin γ =
( )( )( )− − −2 p p a p b p c
ab
.
Подставив полученное выражение в формулу S ab=
1
2
sin γ , получаем:
S p p a p b p c= −( ) −( ) −( ) , что и требовалось доказать. 
Задача
Найдите наибольшую высоту треугольника со сторонами 12, 39 и 45.
Решение
Поскольку наибольшая высота треугольника перпендикулярна его наи�
меньшей стороне, найдем высоту, проведенную к стороне a = 12. Восполь�
зуемся методом площадей. По формуле Герона S p p a p b p c= − − −( )( )( ) .
В нашем случае p = =
+ +12 39 45
2
48, S = − − − =48 48 12 48 39 48 45 216( )( )( ) .
С другой стороны, S aha=
1
2
, т. е. 216 12
1
2
= ⋅ ⋅ha, откуда ha
= 36.
Ответ: 36.
5.3. Формулы радиусов вписанной и описанной
окружностей треугольника
Теорема (формулы радиусов вписанной и описанной окружностей
треугольника)
Радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника вычис�
ляются по формулам
r
S
p
S
a b c
= =
+ +
2
, R
abc
S
=
4
,
где r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окруж�
ности, S — площадь треугольника, a, b, c — стороны треугольника,
p
a b c
=
+ +
2
— полупериметр.
Радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника вычис�
ляются по формулам
r
S
p
S
a b c
= == =
+ +a b+ +a b
2
, R
abc
S
=
4
,
где r — радиус вписанной окружности,r — радиус вписанной окружности,r R — радиус описанной окруж�R — радиус описанной окруж�R
ности, S — площадьS — площадьS треугольника, a, b, c — стороны треугольника,c — стороны треугольника,c
p
a b c
=
+ +a b+ +a b
2
— полупериметр.

38. 38
Глава I. Решение треугольников
Доказательство
 Докажем сначала формулу для вычисле-
ния r. Пусть в треугольнике ABC со сторонами
BC = a, AC = b, AB = c точка O — центр впи-
санной окружности (рис. 23). Тогда площадь
данного треугольника равна сумме площадей тре-
угольников BOC, AOC и AOB:
S ar br cr a b c r pr= + + = + + =
1
2
1
2
1
2
1
2
( ) .
Отсюда r
S
p
S
a b c
= =
+ +
2
.
c
a
b
Рис. 23. К доказа-
тельству формулы
радиуса вписанной
окружности
Для доказательства формулы R воспользуемся полной фор-
мулировкой теоремы синусов, согласно которой
a
A
R
sin
,= 2 отку-
да R
a
A
=
2sin
. Поскольку S bc A=
1
2
sin , то sin .A
S
bc
=
2
Подставив это
выражение в формулу для R, имеем: R
abc
S
=
4
. Теорема доказана. 
Напомним:
1) для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c
часто применяют ранее полученные формулы r
a b c
=
+ −
2
и R
c
=
2
;
2) центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пере-
сечения биссектрис треугольника; центр окружности, описанной око-
ло треугольника, является точкой пересечения серединных перпен-
дикуляров к сторонам треугольника;
3) для вычисления радиуса окружности, описанной около треугольника
со стороной a и противолежащим углом α, удобно пользоваться фор-
мулой R
a
=
2sin
.
α
Задача
Основание равнобедренного треугольника рав�
но 48 см, а проведенная к нему высота — 32 см. Найди�
те радиус окружности, описанной около треугольника.
Решение
Пусть в треугольнике ABC AB = BC, AC = 48 см, BD =
= 32 см — высота (рис. 24). Поскольку высота BD
является также медианой треугольника ABC, тоРис. 24

39. 39
§ 5. Применение тригонометрических функций к нахождению площадей
AD = DC = 24 см. Из треугольника ABD (∠D = 90°) по теореме Пифагора
AB = + =24 32 402 2
AB = + =24 32 402 2
(см). По формуле радиуса описанной окружности
R
AB BC AC
S
AB AC
AC BD
AB
BD
= = =
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅4 4 0 5 2
2 2
,
, R = =
⋅
40
2 32
2
25 (см).
Ответ: 25 см.
Заметим, что эту задачу можно решить и без применения форму-
лы радиуса описанной окружности. Но такой способ может оказаться
более сложным, особенно в том случае, когда необходимо обосновать
расположение центра описанной окружности в данном треугольнике.
Вопросы и задачи
Устные упражнения
118. Две стороны треугольника равны 5 см и 6 см. Может ли площадь
этого треугольника быть равной 10 см2
; 15 см2
; 30 см2
?
119. Среди всех параллелограммов с заданными сторонами a и b опре­
делите тот, площадь которого наибольшая. Ответ обоснуйте.
120. Два треугольника описаны около одной окружности. Известно, что
периметр первого треугольника меньше, чем периметр второго. Какой из
этих треугольников имеет большую площадь?
Графические упражнения
121. Начертите параллелограмм с углом 30° и измерьте его стороны.
а) Вычислите площадь построенного параллелограмма.
б) Начертите прямоугольник, стороны которого равны сторонам
­построенного параллелограмма. Во сколько раз площадь прямо­
угольника больше площади параллелограмма?
122. Начертите остроугольный треугольник, площадь которого рав-
на 12 см2
. Начертите тупоугольный треугольник, равновеликий остро­
угольному, так, чтобы построенные треугольники имели общую сторону.
Aa Письменные упражнения
Уровень А
123. Найдите площадь треугольника ABC, если:
а) AB = 10, BC = 12, ∠ B = 30°; в) AC = 5 2,BC = 8,∠ A = 100°,∠ B = 35°.
б) AB = AC = 6, ∠ A = 120°;