More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
Spodnie Talesa
1. Prezentacja projektu „Spodnie Talesa”
zrealizowanego w ramach programu
Edukacja z Internetem TP
Uczestnicy: 16 uczniów klasy II a
z Zespołu Szkół i Placówek Oświatowych BSTO
im. Zbigniewa Herberta w Bełchatowie
Opiekun: mgr Magdalena Kapsa-Olejnik
2. Spodnie Talesa
„Długości odcinka, wysokości
i odległości – koncepcja spodni
Talesa, która w życiu naszym gości.”
4. Grupa II
Twierdzenie Talesa
oraz Twierdzenie odwrotne
do twierdzenia Talesa.
5. Twierdzenie Talesa
Jeżeli dwie proste równoległe przecinają oba ramiona
pewnego kąta, to odcinki wyznaczone przez te proste
na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do
odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.
6. 1 krok
Rysujemy kąt oraz dwie proste równoległe
przecinające oba ramiona tego kąta.
7. 2 krok
Z wierzchołka kąta prowadzimy odcinek
równoległy do prostych przecinających
ramiona kąta.
8. 3 krok
Z końców odcinka rysujemy dwie półproste, które są
równoległe wzajemnie do siebie. Narysowane półproste
tworzą cztery równoległoboki, w któych:
10. Twierdzenie odwrotne do
twierdzenia Talesa
Jeśli na jednym ramieniu kąta o wierzchołku O
wybierzemy punkty A i B, a na drugim ramieniu punkty
C i D w taki sposób, że zachodzi proporcja
to proste AC i BD są równoległe.
11. Dowód
Załóżmy, że punkty A i B leżą na jednym ramieniu kąta
o wierzchołku O, a punkty C i D leżą na drugim ramieniu
tego kąta oraz zachodzi równość
Jeśli przez punkt B poprowadzimy prostą równoległą
do prostej AC i przetnie ona ramię kąta w punkcie
B’, to z twierdzenia Talesa wynika, że
12. Z równości wynika,
że |OB’| = |OD|, zatem B’ = D, czyli prosta BD jest
równoległa do prostej AC.
13. Prawdopodobnie Tales nie nosił spodni, tylko
chiton coś w rodzaju koszuli bez rękawów,
czy wobec tego ubranie Talesa w spodnie ma
szanse powodzenia?
14. Grupa III
Różne sposoby mierzenia
wysokości drzewa wg mistrza
z Miletu.
15. Różne sposoby wyznaczania
wysokości drzewa…
SPOSÓB I
Pewnego słonecznego dnia wraz ze wszystkimi członkami naszej grupy
wybrałyśmy się na interesującą wycieczkę...
16. …to właśnie wtedy sfotografowałyśmy drzewo oraz jego cień...
x- wysokość drzewa
a- długość cienia drzewa
w- wzrost Patrycji
b- długość cienia Patrycji
17. Następnie zmierzyłyśmy długość cienia drzewa, wysokość Patrycji
oraz długość jej cienia. Te dane pozwoliły nam na obliczenie
wysokości drzewa. Skorzystałyśmy z twierdzenia Talesa.
x- wysokość drzewa
a= 3,89 m
a- długość cienia drzewa
w= 1,72 m
w- wzrost Patrycji
b= 2,4 m
b- długość cienia Patrycji
Za pomocą tych danych i twierdzenia Talesa obliczyłyśmy, że wysokość
drzewa wynosi 2,8 m.
18. Sposób II
Tym razem postanowiłyśmy spróbować
czegoś bardziej odważnego, jedna z
nas położyła się w pewnej odległości od
drzewa...
19. ...ta druga naprowadzana przez
osobę leżącą ustawiła się tak, aby z
punktu widzenia leżącej, czubek
głowy i czubek drzewa pokryły się
ze sobą. Zmierzyłyśmy odległości od
drzewa do osoby stojącej,
następnie od osoby stojącej do stóp
osoby leżącej. Były nam również
potrzebne wzrosty uczestników.
x- wysokość drzewa
a=14,28 m
a- odległość od drzewa do stóp osoby stojącej
b= 2,9 m
b- odległość od stóp osoby stojącej do stóp osoby leżącej
w1= 1,60 m
w1- wzrost osoby leżącej
w2= 1,72 m
w2- wzrost osoby stojącej
Za pomocą tych danych i twierdzenia Talesa obliczyłyśmy, że wysokość
drzewa wynosi 5,5 m
20. Sposób III
Pomiar drzewa można przeprowadzić bez konieczności czołgania się po
trawie.
Jedna z osób staje na stołku, druga zaś staje w takiej odległości, aby z
jej punktu widzenia głowa osoby stojącej na stołku pokrywała się z końcem
drzewa. Mierzymy wtedy wysokość osoby wraz z wysokością stołka
i odległości od drzewa do stołka i od stołka do osoby obserwującej.
21. Za pomocą odpowiednich wielkości i twierdzenia Talesa możemy
wyznaczyć wysokości drzewa.
x - wysokość drzewa
y+g - odległość osoby
stojącej na podłożu
z - wysokość osoby stojącej
na stołku
g - odległość osoby stojącej
na stołku do osoby stojącej
na podłożu
z = 2,10 m
y = 1,63 m
g = 1,48 m
Wysokość naszego drzewa
wynosi 4,41 metra.
22. Sposób IV
Jak wyznaczyć odległość
drzewa, które znajduje się
na przeciwległym brzegu
rzeki ?
23. y - szukana odległość
a - odległość drugiej osoby od
startu pierwszej osoby
b - odległość przebyta
prostopadle do brzegu rzeki
c - odległość przebyta równolegle
do brzegu rzeki
a= 6,50 m
b= 6,50 m
c= 13 m
Odległość drzewa, które znajdowało się na przeciwległym brzegu drogi
wynosi 6,5 metra.
24. Podział odcinka na równe części
Konstrukcja krok po kroku:
1. Rysujemy dowolną półprostą o początku w punkcie
A, nachyloną do odcinka AB pod kątem różnym od 180 °.
25. 2. Na półprostej p, z
punktu A, odkładamy
odcinek o dowolnej
długości.
3.Na półprostej p
odkładamy kolejne odcinki
o tej samej długości.
Powtarzamy to tyle razy na
ile dzielimy odcinek(w tym
wypadku 5).
26. 4. Teraz kreślimy prostą
przechodzącą przez punkt
B i punkt, który
narysowaliśmy jako ostatni
na półprostej p.
5. Kreślimy proste
równoległe do narysowanej
prostej, przechodzące
przez punkty znajdujące
się na półprostej p. Dzielą
one odcinek AB na pięć
równych części.
28. Podział odcinka w stosunku 1:√2.
Konstrukcja krok po kroku:
1. Rysujemy dowolną
półprostą o początku w
punkcie A, nachyloną do
odcinka AB pod kątem
różnym od 180 °.
2.Następnie konstruujemy
kwadrat o boku mającym
długość 1 , wówczas jego
przekątna będzie
wynosiła √2.
29. 3.Na półprostej p, z punktu A, odkładamy odcinek mający
długość 1 .
4. Na półprostej p odkładamy kolejny odcinek o długości √2.
30. 5. Teraz kreślimy prostą przechodzącą przez punkt B
i punkt, który narysowaliśmy jako ostatni na półprostej p.
6. Kreślimy prostą równoległą do narysowanej prostej,
która przechodzi przez punkt znajdujący się na półprostej
p. Proste te dzielą odcinek w stosunku 1:√2.
a:b = 1:√2
32. GRUPA V
Jak geodeta oraz fotograf
wykorzystują Twierdzenie Talesa?
33. Obraz i fotografia
Dom o szerokości 15 m sfotografowano aparatem, którego
odległość soczewki od błony fotograficznej jest równa 8 cm.
Oblicz odległość aparatu od domu, jeżeli szerokość domu na
zdjęciu jest równa 10 cm.
Odległość aparatu
od domu wynosi 12
metrów.
34. Jakiej wielkości jest obraz na ekranie?
b-odległość aparatu projekcyjnego od ekranu
c-wielkość obrazu w aparacie projekcyjnym
a-odległość obrazu na slajdzie od środka soczewki
x-szukana wielkość obrazu na ekranie
35. Stacja Napędowa
Stacja napędowa napędza
przenośnik służący do transportu
węgla i w tym celu trzeba ją
ustawić w odpowiedniej pozycji. To
potężne urządzenie jest
przesuwane za pomocą pojazdu
gąsienicowego TUR.
Przenośnik taśmowy –
urządzenie transportowe, które
służy do transportu materiałów
sypkich.
37. Dalmierz
Dalmierz – przyrząd służący do
obliczania odległości bez
konieczności jej przebywania.
Łata niwelacyjna (geodezyjna) –
przyrząd geodezyjny stosowany w
niwelacji. Na przedniej stronie łaty
umieszczony jest opis - grafika
ułatwiająca odczyt. Jest ona
wykonana w kontrastowych kolorach
(białe tło i czerwone / czarne -
kolejne metry).
Krzyż kresek – dwie proste
prostopadłe do siebie, gdzie na
prostej pionowej znajdują się dwie
krótkie kreski. Patrząc przez lunetę
widzimy krzyż kresek. Krzyż ten
wyznacza nam na łacie niwelacyjnej
pewne wartości.
