1. Teoria numerelor *
1. Algoritmul lui Euclid
Alegeți varianta/variantele corectă/corecte de calcul al celui mai mare divizor comun:
x, y = 0
a. gcd x, y = x
gcd y, x − y , y>0
y
x, y = 0
b. gcd x, y =
gcd y, x mod y , y > 0
2. Ciurul lui Eratostene
Scrieți numerele de la 1 la 50. Exemplificați apoi algoritmul de identificare a numerelor
compuse, subliniind diferit fiecare număr neprim identificat cu ajutorul unui număr
prim, în funcție de acesta din urmă.
3. Suma și numărul divizorilor
Se consideră numărul n reprezentat ca în formula de mai jos:
d d
n = p1 1 + ⋯ + pk k
Demonstrați că numărul de divizori ai acestui număr este:
k
σn = (1 + di )
i=1
4. Elementul majoritar
Problema a fost evaluată la temă. Se va considera media primelor trei întrebări.
i. Vlad Apetroaei, Andrei Burlică, Dan Cuciureanu
ii. Călin Buzilă, Claudiu Chiuaru, Vlad Pătrașcu
iii. Bogdan Ailincăi, Valentin Pașcău
iv. Bogdan Dutcă
v. Valentin Popa
vi. Daniel Burghelea
vii. Victor Filimon

2. Grafuri ***
1. Parcurgerea în lățime a unui graf
Să presupunem că vrem să afișăm toate vârfurile dintr-un graf care se află la distanța
minimă k de un vârf fixat. În acest sens, parcurgem în lățime graful. Propuneți un model
de a reține datele, astfel încât spațiul suplimentar să fie O(1). Spre exemplu, reținerea
distanței k pentru fiecare vârf adaugă un spațiu suplimentar O(n).
2. Parcurgerea în adâncime a unui graf
Să presupunem că avem un arbore cu număr infinit de noduri și o rădăcină cunoscută.
Să se decidă care din următoarele parcurgeri garantează vizitarea unui nod oarecare,
dar fixat, în timp finit. Argumentați alegerea/alegerile.
a. parcurgerea în adâncime
b. parcurgerea în lățime
3. Sortarea topologică a unui graf
Grafurile asupra cărora se poate realiza sortarea topologică au o proprietate aparte.
a) definiți această proprietate,
b) construiți un exemplu și un contraexemplu,
c) pe contraexemplu, motivați alegerea proprietății.
4. Componentele tare conexe ale unui graf
Descrieți un algoritm pentru un graf cu minim 7 noduri și 15 muchii.
i. Florentina Barcan, Andreea Mazilu, Gabriela Neagu
ii. Nicolaie Airini
iii. Bety Hapău, Magdalena Roca
iv. Iulian Gherasim
v. Lavinia Gherasim, Lidia Lupașcu, Veronica Miron
vi. Alexandra Andrei, Alina Cocalia, Veronica Rotar
vii. Ciprian Boiciuc, Claudiu Darie
viii. Dorin Petroiu, Ramona Zaharia
ix. Vlad Băeșu, Ștefan Dospinescu, Daniel Stoian

3. Programare dinamică *****
1. Subsecvența de sumă maximă
Secvența dată la intrare este reținută într-un tablou S de n numere întregi. Definim prin
C[i] costul subsecvenței de sumă maximă care începe pe poziția i a tabloului. Descrieți
relația de recurență.
2. Parantezare optimă de matrici
Considerăm n matrice notate M 1, ..., Mn de dimensiuni (Li, Ci). Se dorește aflarea
numărului minim de înmulțiri scalare ale produsului matriceal Mi,j = Mi × … × Mj , unde
i și j sunt date de intrare. Descrieți relația de recurență pentru calculul acestui număr,
verificând și proprietățile necesare înmulțirii matricelor. Verificarea se va face a priori,
în complexitate timp O(j-i). Dacă Mi, j nu se poate calcula, se va considera ∞.
3. Ciclu hamiltonian de cost minim
Recurenţa descrisă în explicația soluției este dată de formula
Mi,j = min Mi⊗2j ,v + Cv,j v ∈ i}
Explicați această formulă, folosind reprezentarea unui lanț într-un graf la alegere.
4. Interogări de minim pe intervale
Descrieți pe un exemplu netrivial legătura dintre minimul pe un interval și cel mai
apropiat strămoș comun. Aveți în vedere etapa de preprocesare prin parcurgerea Euler
și etapa de întrebare, cu minim 2 înterogări.
i. Bogdan Cernat, Andreea Hurjui, Adrian Schipor
ii. Cristian Gafița, Emil Grigore, Cosmin Tarsichi
iii. Radu Cârjan
iv. Raluca Chiroșcă, Daniel Irimia
v. Irinel Bogdan, Mihai Pricop
vi. Ciprian Roșculescu