บทความทางคณิตศาสตร์

1. 22 1 22 1
− <π < −
7 630 7 1260
เปนที่ทราบกันดีวาผลลัพธที่ไดจากการหาปริพันธไมจํากัดเขต (infinite integral) จะอยูในรูปของ
ฟงกชั่นที่ขึ้นอยูกับคาคงที่ในการหาปริพันธ (constant of integration) ซึ่งแตกตางกับผลลัพธของปริพันธจํากัด
เขต (finite integral) ที่มีคาออกมาเปนจํานวนจริง นอกจากนั้น การหาคาปริพันธจํากัดเขตของบางฟงกชั่น ได
ใหผลลัพธที่นาสนใจ ในลักษณะที่เราสามารถนําผลลัพธนั้นมาประยุกตใชได
บทความนี้ผูเขียนขอนําเสนอวิธีการประมาณคาขอบเขตของ π โดยอาศัยความรูเบื้องตนทางแคลคูลัส
เชิงปริพันธ (integral calculus) ซึ่งตัวถูกปริพันธในที่นี้เปนฟงกชั่นตรรกยะ
พิจารณาฟงกชั่น f , g และ h ซึ่งกําหนดโดย
t 4 (1 − t )
4
f (t ) =
1+ t2
t 4 (1 − t )
4
g (t ) =
2
h (t ) = t 4 (1 − t )
4
ฟงกชั่นดังกลาวเปนฟงกชั่นตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง ในการเปรียบเทียบฟงกชั่นนั้น เราสามารถ
ทําไดโดยพิจารณาที่ตัวสวนของฟงกชั่นตรรกยะ เนื่องจาก 1 ≤ 1 + t 2 ≤ 2 ∀t ∈ [0,1] ดังนั้น ฟงกชั่น
ดังกลาวมีความสัมพันธโดย
t 4 (1 − t ) t 4 (1 − t )
4 4
≤ ≤ t 4 (1 − t ) ∀t ∈ [0,1]
4
2 1+ t2
หรือ g (t ) ≤ f (t ) ≤ h(t ) ∀t ∈ [0,1]
เมื่อพิจารณาคาปริพันธจํากัดเขต บนโดเมน t ∈ [0,1] ของอสมการขางตน เราจําเปนตองอาศัยสมบัติการ
เปรียบเทียบ (comparison property) ของฟงกชั่น ดังทฤษฎีบทตอไปนี้ (โดยไมขอพิสูจน)
ทฤษฎีบท 1 ถา f และ g เปนฟงกชั่นที่สามารถหาปริพันธไดบนชวง [a, b] และ f (x ) ≤ g (x ) สําหรับทุก
คา x ∈ [a, b] แลว ∫a f (x ) dx ≤ ∫a g (x ) dx □
b b

2. จะไดวา อสมการขางตนสามารถเขียนไดในรูป
t 4 (1 − t ) t 4 (1 − t )
1 4 1 4 1
∫ 2 dt ≤ ∫ dt ≤ ∫ t 4 (1 − t ) dt (1)
4
0 0 1+ t 2
0
พิจารณาคาปริพันธจํากัดเขต ของแตละพจนในอสมการ (1) ดังตอไปนี้
t 4 (1 − t )
1 4
พจนแรก กําหนดให I1 = ∫ dt
0
2
( )
1
1
= ∫ t 4 1 − 2t + t 2 dt
2
20
( )
1
1 4 4
= ∫ t t − 4t + 6t − 4t + 1 dt
3 2
20
( )
1
1 8
2∫
= t − 4t 7 + 6t 6 − 4t 5 + t 4 dt
0
1
1⎛1 1 6 2 4 ⎞
= ⎜ t9 − t8 + t7 − t6 + t5 ⎟
2⎝9 2 7 3 5 ⎠ t =0
1⎛1 1 6 2 4⎞
= ⎜ − + − + ⎟
2⎝9 2 7 3 5⎠
t 4 (1 − t )
1 4
1
ดังนั้น I1 = ∫ dt = (2)
0
2 1260
t 4 (1 − t )
1 4
พจนกลาง พิจารณา I2 = ∫ dt การหาปริพันธนี้สามารถทําไดอยางนอย 2 วิธีคือ
0 1+ t2
วิธีที่ 1 : โดยเทคนิคการหาปริพันธ ดวยการแทนคาฟงกชั่นตรีโกณมิติ และใชสูตรลดทอน (reduction formula)
เริ่มจากสมมติให t = tan θ ⇒ dt = d (tan θ ) = sec 2 θ dθ
tan 4 θ (1 − tan θ )
1 4
แทนคา I2 = ∫ sec 2 θ dθ
0 1 + tan θ2
1
= ∫ tan 4 θ (1 − tan θ ) dθ {จากเอกลักษณ 1 + tan 2 θ = sec 2 θ }
4
0
( )
1
= ∫ tan 4 θ 1 − 2 tan θ + tan 2 θ dθ
2
0
( )
1
= ∫ tan 4 θ 1 − 4 tan θ + 6 tan 2 θ − 4 tan 3 θ + tan 4 θ dθ
2
0
( )
1
= ∫ tan 8 θ − 4 tan 7 θ + 6 tan 6 θ − 4 tan 5 θ + tan 4 θ dθ
0

3. 1 1 1 1 1
= ∫ tan 8 θ dθ − 4∫ tan 7 θ dθ + 6∫ tan 6 θ dθ − 4∫ tan 5 θ dθ + ∫ tan 4 θ dθ
0 0 0 0 0
= I 21 − 4 I 22 + 6 I 23 − 4 I 24 + I 25 (3)
การหาคาปริพันธของฟงกชั่น tan k θ เมื่อ k เปนจํานวนเต็มบวก และ k > 1 โดยอาศัยสูตรลดทอน
(โดยไมขอพิสูจน และหากผูอานตองการทราบขั้นตอนการพิสูจน สามารถทําโดยอาศัยเทคนิคการหาปริพันธที
ละสวน (integration by parts) หรือศึกษาจากเอกสารอางอิงทายบทความ)
tan k −1 θ
จาก ∫ tan θ dθ =
k
− ∫ tan k − 2 θ dθ + c เมื่อ c เปนคาคงที่ของการหาปริพันธ และ k ≠ 1
k −1
จากสมการ (3) โดยพิจารณาปริพันธไมจํากัดเขต ดังตอไปนี้
⎛ ⎛ ⎞⎞
I 21 = ∫ tan 8 θ dθ = 1 tan 7 θ − ⎜ 1 tan 5 θ − ⎜ 1 tan 3 θ − ∫ tan 2 θ dθ ⎟ ⎟
7
⎜5 ⎜3 ⎟⎟
⎝ ⎝ ⎠⎠
⎛ ⎛ ⎞⎞
7
⎜5 ⎜3
(
= 1 tan 7 θ − ⎜ 1 tan 5 θ − ⎜ 1 tan 3 θ − ∫ sec 2 θ − 1 dθ ⎟ ⎟
⎟⎟
)
⎝ ⎝ ⎠⎠
7 5 3
(
= 1 tan 7 θ − 1 tan 5 θ + 1 tan 3 θ − ∫ sec 2 θ − 1 dθ )
= 1 tan 7 θ − 1 tan 5 θ + 1 tan 3 θ − tan θ + θ + c1
7 5 3
(3.1)
⎛ ⎛ ⎞⎞
I 22 = ∫ tan 7 θ dθ = 1 tan 6 θ − ⎜ 1 tan 4 θ − ⎜ 1 tan 2 θ − ∫ tan θ dθ ⎟ ⎟
6
⎜4 ⎜2 ⎟⎟
⎝ ⎝ ⎠⎠
= 1 tan 6 θ − 1 tan 4 θ + 1 tan 2 θ − ln secθ + c 2
6 4 2 (3.2)
⎛ ⎞
I 23 = ∫ tan 6 θ dθ = 1 tan 5 θ − ⎜ 1 tan 3 θ − ∫ tan 2 θ dθ ⎟
5
⎜3 ⎟
⎝ ⎠
= 1 tan 5 θ − 1 tan 3 θ + tan θ − θ + c3
5 3
(3.3)
⎛ ⎞
I 24 = ∫ tan 5 θ dθ = 1 tan 4 θ − ⎜ 1 tan 2 θ − ∫ tan θ dθ ⎟
4
⎜ 2
⎟
⎝ ⎠
= 1 tan 4 θ − 1 tan 2 θ + ln secθ + c 4
4 2 (3.4)
I 25 = ∫ tan 4 θ dθ = 1 tan 3 θ − ∫ tan 2 θ dθ
3
= 1 tan 3 θ − tan θ + θ + c5
3
(3.5)
แทนคาสมการ (3.1) ถึง (3.5) ในสมการ (3) แลวจัดรูปจะได
I 2 = 1 tan 7 θ − 2 tan 6 θ + tan 5 θ − 4 tan 3 θ + 4 tan θ − 4θ + c
7 3 3
เมื่อ c = c1 + c 2 + c3 + c 4 + c5 (3.6)

4. โดยแทนคาตัวแปรเดิม t = tan θ ⇒ θ = arctan t และพิจารณาปริพันธจํากัดเขตที่มีขอบเขต t = 0
ถึง t = 1 จากสมการ (3.6) จะได
1
⎛1 2 4 ⎞
I 2 = ⎜ t 7 − t 6 + t 5 − t 3 + 4t − 4 arctan t ⎟
⎝7 3 3 ⎠ t =0
⎛1 2 ⎞
= ⎜ − + 1 − + 4 − 4 arctan 1⎟ − (4 arctan 0 ) =
4 22
−π
⎝7 3 3 ⎠ 7
ดังนั้น
t 4 (1 − t )
1 4
22
I2 = ∫ dt = −π (3.7)
0 1+ t 2
7
วิธีที่ 2 : โดยการกระจายฟงกชั่นตรรกยะของตัวถูกปริพันธ (integrand)
I2 = ∫
t 4 (1 − t )
1 4 1
⎛
dt = ∫ ⎜ t 4 ⋅
(
t 4 − 4t 3 + 6t 2 − 4t + 1 ) ⎞ dt = 1
( ) ⎞ dt
⎛ 4 t 4 − 4t 3 + 6t 2 − 4t + 1
0 1+ t 2 0⎝
⎜ t2 +1 ⎟
⎠
⎟ ∫ ⎜t ⋅
0⎝
⎜ t2 +1
⎟ ⎟
⎠
หารยาวพหุนาม t 4 − 4t 3 + 6t 2 − 4t + 1 ดวย t 2 + 1 จะได
t 2 − 4t + 5
t + 1 t − 4t + 6t 2 − 4t + 1
2 4 3
t4 + t2
− 4t 3 + 5t 2 − 4t
− 4t 3 − 4t
5t 2 +1
5t 2
+5
−4
นั่นคือ
⎛ 4⎛ 2
1
4 ⎞⎞
1
⎛ 6 4t 4 ⎞
I 2 = ∫ ⎜ t ⎜ t − 4t + 5 − 2
⎜ ⎟ ⎟ dt = ∫ ⎜
⎜ t − 4t 5 + 5t 4 − 2 ⎟ dt
0⎝ ⎝ t + 1⎠⎟⎠ 0⎝ t + 1⎟⎠
( )
1 1
4t 4
= ∫ t 6 − 4t 5 + 5t 4 dt − ∫ dt
0 t +1
2
0
1
⎛1 ⎞ tan 4 θ
1
d (tan θ )
2
= ⎜ t 7 − t 6 + t 5 ⎟ − 4∫ { เปลี่ยนเปนตัวแปรเดิม t = tan θ }
⎝7 ⎠ t =0 0 tan θ + 1
2
3
⎛1 2 ⎞
1
= ⎜ − + 1⎟ − 4∫ tan 4 θ dθ
⎝7 3 ⎠ 0
− 4(1 tan 3 θ − tan θ + θ )
10 tan −1 1
=
21 3 θ = tan −1 0

5. 1
10 ⎛1 ⎞
= − 4⎜ t 3 − t + arctan t ⎟
21 ⎝ 3 ⎠ t =0
10 ⎛ 4 ⎞
= − ⎜ − 4 + 4 arctan 1⎟ − (4 arctan 0 )
21 ⎝ 3 ⎠
22
จะไดวา I2 = −π เชนเดียวกับสมการ (3.7)
7
และ พจนสดทาย
ุ
1
I 3 = ∫ t 4 (1 − t ) dt = 2 I 1 =
1
พิจารณา 4
(4)
0
630
แทนคาสมการ (2) ถึง (4) ในสมการ (1) จะได
1 22 1
≤ −π ≤
1260 7 630
1 22 1 22
− ≤ −π ≤ −
1260 7 630 7
เนื่องจาก คาพาย ( π ) เปนคาคงที่ ซึ่งมีอยูเพียงคาเดียว
22 1 22 1
ดังนั้น − <π < −
7 630 7 1260
หรือ สามารถประมาณไดวา 3.1412 < π < 3.1421
ในบทความนี้ เราจะเห็นวาความรูทางแคลคูลัสเชิงปริพันธ นอกจากการประยุกตในดานเรขาคณิต
ฟสิกส หรือปญหาทางกายภาพอื่นๆ ที่เรามักพบไดบอยแลว ยังสามารถนํามาใชแกปญหาในคณิตศาสตร
บริสุทธิ์ ตัวอยางเชน การประมาณคาขอบเขตของ π ในบทความนี้ ซึ่งพบวาใหคาการประมาณมีความถูกตอง
ถึงทศนิยมตําแหนงที่สอง
หมายเหตุ บทความนี้ผูเขียนตั้งใจทีจะนําเอาคําวา “ ปริพันธ ” มาใชแทนคําเดิมคือ “ อินทิเกรต ” ที่มีใชกันอยู
่
กอนซึ่งเปนทับศัพทมาจากภาษาอังกฤษ คือ integrate และคําวา “ ตัวถูกปริพันธ ” ในความหมายเดิมคือ ตัวถูก
อินทิเกรต (integrand) โดยตองการใหเกิดความคุนเคย และมีการนําคําดังกลาวไปใชกันมากขึ้น
เอกสารอางอิง
1. James Stewart, Single Variable Calculus: Early Transcendentals (6th edition), Thomson
Brooks/Cole, USA, 2008.

6. ขอมูลผูเขียน : นายอิทธิเดช มูลมั่งมี นักศึกษาปริญญาโท ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล
คณะวิศวกรรมศาสตร มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลาธนบุรี
ชื่อบัญชี นายอิทธิเดช มูลมั่งมี เลขที่บัญชี 029-0-06107-5 ประเภทออมทรัพย ธนาคารกรุงไทย
สาขา ถนนสุขสวัสดิ์ ที่อยู 53/463 หมูบานสามัคคี (นวมินทร 105) ถนนนวมินทร ตําบลคลองกุม

เขตบึงกุม กทม. 10240 เบอรโทรศัพท 08-6579-4040 หรือ 02-5108103