บทความทางคณิตศาสตร์

1. “
”
! #
"
$ % & (& $ ' &
' )'
* + ,,# # '%
$ ) .$ &
* / *
- 0 - # )1 $
, - & ) -
2 *# 3
$ 3 4 $ )'
- 3 *
*
! $
$ # 3 " # + & (
5 5 ( ''
*
) ! "
#$ %
-4 ' 2*
&67 ( # , 0 $
& ( - $ 8) 82 # -$ ' "
$9 &'
# ( % ( ' )*+ '
, * '-.
" $ & ( , -0
4 82#
4
- &* 1 / 0 '3 ,
# &* * '
3 : '0 9 + & ; < *
+$ - # 0' , ; * - ++ & , 4 $
< 82# &1
*/ $3 = - 2 '% , & ) *
>5 567?
@ # 4 ( ' 1 ! ! "! # 0 +
+ .
$ / $ " " $ &) . *
*2 / $ $ '&
$8 0 %
$ & ' (# ( ) * (#
+
& # 1!0 - >5 567? -4 '
@ 43
* /
-( $ % (- #
*
) # ; 2A*

2. # '3$ 4 0 +
$ 4 2
* =0
2 B >5 56?@ ,
- ?
& ' (
# $ &2
=C 1! 1 $
' & (
( + 8 2
*
)$ ! 4&
. ** (
# -
, 8# -#
8 , , *# ,! 4
.* -
(
# . #
&2
=C +/ ' *
-
) * &2
2 =C / #
8 &* # ' -/
$'
, & 0 ' # &-
+ 0 +$ $ ' ' $38 -
4 -
# 8 *+/ '$ )* +)3
*
& , '
, , , // '% - ' '1 -
'
, 4 $ ) ''* ) '0'
+ ' * -04 -& , '/ / 3! 4.*
// 9 1,
0 (0246: ;>A, C D .
* 3 596 <? 3B
) 0 7 8 7@
1 8 =B
C 9A D HJ 9<HM # N 6>A, 4D=O49. 5N KE F G 3 M E F G
8E F G I?: KLA
F 8 4 DB
D 5=? @:M ?< I @9A D N QA A D
8@ B 0P DF 7R F
9
8 ST? BP
3 8 @
7 B<?
6 M
; V <X5D; L 3 =R 4D30? D1 N0X5DC 9^ : ^ 8
U WE <YZ <0 83 ; @: < 3 ZI ] D <YZ 8HE B C 9
0P 7E
3D [ 0 F EP
3 B O
M K4 5R _Z J 5: 8: R 5DBP -. 1234678, 9
O@6 I R Q U `5C 9A 5PP? )*+, /0 53 ) *6
D8 7 M
9 3 @
:*; 1. 3
. )<
/0 8KTM D ; V <X5DBM KE:5
P95a: U WE <YZ AO@ DDX
D J 0P 9D
1 I^ b? NM 5R 0` 3
5PJM ] DA I R>0?
M c1 R
F 9E T? BP
B<?
8 @
M
Z DG 5R TK` ? :1 < c OJ:@D
H
`5 DI R :>03 KO3 1 9D0
09 T0 7
E P O
x f x
&x n # f : D
* n
( '
*
) , D n
0 n
DE
F '
0 (-=>>:*; B3D?@1E, F@,
. C
?@A *. ( ! G *
3,
DED
F ' 0') '4 #,
, '' xe n
; $3
DE
F
f xe t 0, t 0

3. $ , 83
8 (*
) * &* # , '
1
&*
' 0' * #
0
, , 8
8
x1 x1 2 x13 x2
x2 x1 x2
- xe1 #
$ xe 2 ;8 8
, , , x f xe 0 ,0 0 xe1 3
2 xe1 #
xe 2
0 xe1 xe 2 xe 2 xe1 # '
& - # 0 2 xe1 xe21 1 *
3# # ,0
xe1 G , 6 # H6 , 8I , 8 3DG,GF , d # d
8 8 ‡
, ' ' 8 8xe
, $3 +1
" G + -
$ $ 0 #, 0 (&-
*
)+$
x0 xe xt xe , t 0
J , ' ' 8 8xe / .
,
, ,$ '
9 8xe , * $, xe 0 9 D 3* -
'- xe F # ' & '
* '
1%
- xe D * 3 '
1
-
'- xe F # 1*
&
!" #
' 1 ! '$
00 'x t xe 3t
* -&
B 1! , '
0 ,) &*
' / 1! ' 3 20 " ( ' )
*
)
3 + $ 38 *
,&# ' 8
1 $, 8

4. $ , ' ' 8 8xe
, 20 "
65 , 8xe
8 1!
@5 , 8xe ;
8 3+ G ( +
. G '3
0 (&-
*
)+$
x0 xe im x t xe
t
4 + ; **
& ' -/
$' ; ' # '3,
* 4
+ 0'
0 ) 9- ' '
1 1 8 #
,
8 ,
)
& ')
* (* '
1 ( #
% , ' ' 8 8xe
, 20 45'
6 2 $ H !
'& k #
* (*
) x0 xe #
t
xt xe k x0 xe e , t 0
$ 04 ', 8 *
9 8 & 4 9( 4 , ; 4 + #'
-& 0', 0 4 9( 4 & 0 # ; 3 0& '
* * *
4 +
# '% & ' & $
* # '; $
& -#' ' *
&* - '- , 8# ' J &$ ' 0'
8 * 0
0 * = *
3 * $ , , 8 % (- $
' 8 *
) **
&
& 93
& # '% , 8 ;
8 , 0' , * &
' * --
1 , '' 8
*
3+
& -&
,* # & 2 =C 1! , *&
3 *
1 '' ## -# ' 1 *, '
&@ * *
3&
1 ,# ' , 8 0
8 - & '
* #
0 1 ,# '
, 8 *0 0' 8# - & #
8 3 $ * ,&-
+$ 1 # ' , $ 8 '
4 # -

5. &8
* -#' , K - & '* #
0
1 ,0' 1/ $3 ' &# - & #
* *
, ' , 1 ; 1 $ 8 '& 8 8
# *
,
0 *
J
friction
weight
"' '
# 7&8 +1 " G ( 0 6
9
+1 " G’ , '- &
*
3% , 1 ' 8 &8 *3
- * 1 0, *#
, '
! &* ;1 3 8
@5 1 !$ )' '&*
@5 4 + $ )' , ;1
I5 * ) 3%
* ,0'
)2 < 1 !&0 $ ! 4
+ . &*
&+ ! 4
.* - & # , *# ! 4 &
.*
$)* 3< ! 4 & '' 3# 0'; -&
. ** *
! 4& 2 4
. ** ' '0
( - V :D
$ n
; .4 ' 3 , ' '
! * *
65 V ; .4
! * ,. G I V 0 0 #
V x 0, x D,x 0
e! V ; .4
! * 3, . G I V 0 0 #

6. V x 0, x D,x 0
f V ; .4 , .
! ! * G I V ; .4 # '
! *
! * 3, .
L5 V ; .4 G I V ; .4
! *
*
) '
#
D n
, ' ' $' ; J , ''
$' ; $
' # ' $ '! 4 . * #' !! ! 4
. * * ' !!! 3
)
#
! 4 #' ! ! , ' ; 10
.* ,8 3 * 0 & - & .4
&x ' * * )
! *
# ' ! ! ! , ' ; 1 0 *x 0
3
-x
$ 2
,, ! 4 '
.* 0
x12
65 f1 x 2
x2
1 x14
*
3, f1 0 0 # f1 x 0 + & 'x$ 8 {0} f1 ; .4 # '
! * !!
@5 f 2 x x12 x 24
3, f 2 0 0 # f 2 x 0 + & 'x
* $ 8 {0} ' 3f2 x 0 x1 0
$ 3x2 0 f 2 ; .4
! * ) ' !!!
*
#
I5 f 3 x x1 x2 2 x1 x 2 2
; .4 # ' ! !
! * $8
: 6 ‡
) - V :D
$ # f :D n
; .4 & 8 < ' ' 3
! **$ 0 * ##
(
( D n
(*
) 88 + x 0
, 9' V , 0 f
G G V K f +$
n n
V V
V x xi fi x
i 1 xi i 1 xi
f1 x
V V V f2 x V
, , ..., f x
x1 x2 xn x
fn x
' 8< V # ) x f x V '
# ' #'

7. *-x
$ ;8 8
0, D6F # D n
; & * 8x 0 ,
' 'V : D ;1 '2 +1 " G g
65 V x ; .4 & 8 < ' ' 3 ' 3V x ; .4 ' 3 #
! ** $ 0 * ! * *
8 <* 3 - D
&' *
@5 V x ; .4 # ' ! ! J & D ' 3
! * -
*
V 0 0# V x 0, x D !0"
f V x ; .4 ) ' ! ! ! J & D ' 3
! ! * * # -
*
V x # 0, x D
*
3
dV ) V&
V x ' $f x
dt ( x%
3 8<& V x # D6F
+/ ! 4 1 ! $ 0, & 2 & '
.* , 9 =B 0
+- .
, - x 0 ;8 8
$ ,
DE # D
F n
; &* 8x 0 V :D ( ; .4
*
) ! * 1
! ,0 '8 + x
, 0 ( +1
! Vx )1 '
2 ,. $ : D . -(
V x 0, x D !0"
/ " 0 1$
- 0 # 3 r (0, ] (&-
*
)+$
n
Br {x : x #r} D
-
$
* min V x
x r
3,
* V ; .4
! * 1 !, & 7 ,0 '* 0 ' 3
0 + 0, * #-
$
,+ {x Br : V x # + }
,0 ', + '
1- ' - Br ' 3 8 ,- , + , ; 8 -
&% 8 , Br
#
V xt #0 V x t #V x 0 # + , t 0

8. * 3# -% & * - , + &t 0 , 1 , + + & '
* * -
' $ 8 t 0
3,
* V x ; .4 ' 3 # V 0 0 ,0 ' 0 ( x
! * * *
) # V x +
D
Br
B
,+
$ 2 3 '
4 ! 57/ " 0 1 , .
65 +8
B ,+ Br
#
x0 B x0 ,+ xt ,+ xt Br
*3
x0 xt r# , t 0
(#
*
) '8+ x 0
, 1!
' , 1
0 , 4 + '3+ & ' 0,
$ 8 T 0 ( &-
*
) +$
xt & ' T
8 t ' x 0 , x D !0" ;
V ,
- $ 8&
4 : + ,0 '+ & ' 0
$ 8 3 b 0
(&- , b B
*+$
) , ;
) , 1 ' xt
, V 0 3t
*
*
3, V 0 ,0 ' x t ; .4
V ! * & ,
V xt ' 30
V xt c 0 3t
*
, 1 'c 0
, 1#
, # h 'c 0 , '3*
V x t ,0 ' d 0 &- Bd , c , V x t
+$ c 0 ,0 '# xt '
1
Bd + & ' 0 -
$ 8 t $
- max V x
d # x #r

9. , M V x 0, x D !0" ,0 ' - 0 #
t
V xt vx0 /V
0
x . d. # V x 0 -t
3, , &
* 3 '
, '1 - & 8
* & , #
*
0 M &'
*
c 0 , 8 'c 0
) 0
+/ & 2 &
=C 1! 3 $! 4
. * 1 ! 0 9
1
, 1! # * '
0 V x ; .4 # ' D0''
! * -
4
#' ) ' F # , 8
*
# 8 , 4 +
c3
c2
V x c1
c1 c2 c3
% "9 ' #/
:1
6 #
$ & &2 &
=C 1 ! , 0, 3 : #(
V x c +$ 'c 0 -&* ' (;0 + 1 "
! G 1*
&L
4 + , , 3 0 V 0 # - $ '#
* $ 9 , 3: 1!
V x c , 1 - ( , c ! x n : V x c " ( 'c
' *
) ' ,0'
#
, ( - &c '
* 3: 1! , 9 , ; 1 - & 8# #
*
, 3 & $, 8 3t
* * 8 * - & 10 ' # 0 #
*, V ,
, 1 '
,8
8 $3 1 % &
' ' ' # ' 3'8 +
9 , *
3,
# &* -
* B , 1-
' B B
&2 &
=C 1! $ 0 0' , , : J
4 8 < ' , 3& 2 & '0'
# + =C 0 ' ,$! 4 1 !V x 0
.*
'0 - , -< :
4 1 * .*
3 ! 4 1! *
$ &$ #'
$ 8) ! 4
, . * 1 ! * 3 ) 34
&1 * &
- ', # (#

10. .
, &2 & ;
=C *
30 #(
( '3 $
! 4 1! 9
.* 0 , 1
, 0 # ' $! 4 1 ! ' 0 '
.* 00 0
$ ' 0' #''- * 3 $! 4 1 !$ ' 34< 3
.* - $ - *-
)2
,
x1 x2 x1 x12 2
x2 a
2 2
, a
x2 x1 x2 x 1 x 2 a
1 2 1 2
3! 4
.* 1! V x x1 x2 D# 1*
&NF & 7
2 2
2
& / # #/
:1
6 #V x 1
2 x 2
5$
, '
V x x1 x1 x2 x2
x1 x 2 x1 x12 2
x2 a x 2 x1 x 2 x12 2
x2 a
x12 2
x2 a x12 2
x2
(V
)
* x ; .4 # ' J & -
! * *
D { x1 , x 2 : x12 2
x2 a, a }

11. x2
a
D
a x1
& 2 D { x : x12 x 2
2
a, a }
* 3, +
8 4 + * -( D ‡
& 2 &?-0
=C 4 1
, J &&
*' 1
,
* &+ ; 9
# *
, 3 D -& 2 &
=C ' 0 ; 1 n
&$ #'
&' 0' &* * 3V x ; .4 / .
! * , *
(,0 + <
*
) ' -J $
0
/ 7
65 i j j d
! ! / " # df ! k & ) d m$
lh i d e!
e
@5 && d
! " # $ % !
# &' ( lno -&
h p dqq q!
f m! &
! !m r! d$ & " ' ( s n ' (d m$
( lh i dq !
q
L5 "! p d" # $ %e !$ i !lnm dqfq!
) + +. 3P; `>: :: 3 v V1 ` D;Y4`@@5:46M
- / D8 t u A< A Q D5 F w D@D`M5059O
*, ) ` 0 O 7 MM F
B 9 >v 8
7
4 I`M5vE 5: D` DA 43 O< I8 0Ot R <
G @@5: DJbN@ PO0 w wP 5H:M ?3 ^
v ; P; Z D 5
s h ( x !

12. 1 3 3P` `> u A< ) . eq
0 2 . D8 tB : :: , 4 2 .
* ;0 O7 9 13 y 5 6 8 : 5 P 88:;4
4 8 ;A b 9
Z7 /
88 3 E E A `.+ { f : ?E: 4 3 : ; b y X 3 @` 5 LO O 9^
) X 3 ^ @ B4 /
C E z1 yf N u3 DA < @` 5
* R
KD 4 3 3 3 : ; bD 4 8M
3 JR K
:
0J Q^M : e *< > 4 y q N 6 e y
C RM ; !
9K: = 2<
4 ? 58 f