1. Ôn tập các dạng phương trình vi phân
Nguyễn Tiến Trình
1/1/2012
1 Dạng thi GK
Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2 ay + by + cy = 0
Giải phương trình đặc trưng
ar2 + br + c = 0
1) Nếu ∆ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt r1 , r2 :
y = c1 er1 x + c2 er2 x
2) Nếu ∆ = 0 : Phương trình có 1 nghiệm duy nhất r :
y = c1 erx + c2 xerx
3) Nếu ∆ < 0: Phương trình có hai nghiệm phức
y = c1 eαx cos(βx) + c2 eαx sin(βx)
trong đó
−b
α=
2a
√
−∆
β=
2a
Phương trình vi phân toàn phần dạng M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
∂M ∂N
=
∂y ∂x
Bước 1:
Tìm biểu thức F(x,y) dựa vào
∂F
= M (x, y)
∂x
∂F
= N (x, y)
∂y
1

2. Bước 2:
Tìm liên hệ giữa x,y nhờ vào
F (x, y) = C
C là hằng số.
Phương pháp đưa về dạng phương trình vi phân toàn phần :M (x, y)dx +
N (x, y)dy = 0
∂M ∂N
=
∂y ∂x
Ta tìm thừa số tích phân µ(x) hoặc µ(y) để đưa về trường hợp toàn phần:
Bước 1: Tìm thừa số tích phân
Tính các biểu thức :
My − Nx
N
và
Nx − My
M
Nếu biểu thức đầu chỉ phụ thuộc x thì chọn
ˆ
My − Nx
µ(x) = exp( dx)
N
Nếu biểu thức sau chỉ phụ thuộc y thì chọn
ˆ
Nx − My
µ(y) = exp( dy)
M
Bước 2: Nhân thừa số tích phân vào hai vế và đưa về trường hợp vi phân toàn phần.
Phương trình tuyến tính dạng y + p(x)y = q(x) Bước 1: Tìm nguyên hàm của p
ˆ
P (x) = p(x)dx
Bước 2: Chọn thừa số tích phân :
µ(x) = eP (x)
Bước 3: Nhân hai vế cho µ(x) , ta sẽ có dạng :
(µ(x)y) = µ(x)q(x)
ˆ
1
=⇒ y = ( µ(x)q(x)dx + C)
µ(x)
Với C=const.
y
Phương trình vi phân đẳng cấp:y = h( x )
2

3. Bước 1: Đặt
y
u=
x
=⇒ y = ux
=⇒ y = u x + u
Bước 2: Thay vào pt vi phân ban đầu, rồi giải bình thường.
Phương trình dạng y = h(ax + by)
Cách làm : Đặt
u = ax + by
=⇒ u = a + by
Thay y’ theo u’,ax+by theo u rồi giải bình thường.
a1 x+b1 y+c1
Phương trình đưa về dạng đẳng cấp y = a2 x+b2 y+c2
Bước 1 : Kiểm tra nếu a1 = b1 thì đưa về dạng 6 .
a2 b2
Bước 2: Kiểm tra nếu
c1 = c2 = 0
Thì đưa về dạng 5 (đẳng cấp)
Bước 3: Giải hệ phương trình
a1 h + b 1 k + c 1 = 0
a2 h + b 2 k + c 2 = 0
Bước 4:
Đặt
X =x−h
Y =y−k
Thay vào rồi tìm X,Y dựa vào dạng pt đẳng cấp.
Bước 5: Tìm x,y.
Phương trình Bernoulli :y + P (x)y = Q(x)y n
Cách giải:
Bước 1:
Chia hai vế cho y n ta có
y y −n + P (x)y 1−n = Q(x)
Đặt
u = y 1−n
3

4. =⇒ u = (1 − n)y −n y
Do đó ptvp được viết lại như sau :
u
+ P (x)u = Q(x)
1−n
=⇒ u + (1 − n)P (x)u = (1 − n)Q(x)
Bước 2:
Dựa vào cách giải ở (dạng 4) tìm u.
Bước 3:
Tìm y dựa vào đẳng thức u = y 1−n .
Phương trình Riccati y + P (x)y = Q(x)y 2 + R(x)
Nếu R(x)=0 thì đây chính là phương trình Bernoulli và ta giải như trên.
Xét R(x) khác 0.
Bước 1: Tìm một hàm số y1 bất kì thỏa đề bài.
Bước 2: Gọi u là hàm số thỏa
1
y = y1 +
u
Đưa về dạng phương trình theo u, ta sẽ có :
u + (2Q(x)y1 (x) − P (x))u = −Q(x)
Bước 3:
Tiếp tục giải bằng cách như phương trình tuyến tính (phần 4)
2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP
2
Nguyên lý tổ hợp nghiệm
Gọi y1 , y2 là 2 nghiệm của phương trình thuần nhất y + a(x)y + b(x)y = 0
Khi đó y3 = c1 y1 + c2 y2 cũng là nghiệm của ptvp.
Định lý về độc lập tuyến tính :
Giả sử y1 , y2 là 2 nghiệm của phương trình thuần nhất
y + a(x)y + b(x)y = 0
Hai hàm số này độc lập tuyến tính trên I khi và chì khi
∃x0 ∈ I : W (y1 , y2 )(x0 ) = 0
Nghiệm tổng quát :
Giả sử y1 , y2 là 2 nghiệm của phương trình thuần nhất
y + a(x)y + b(x)y = 0
4

5. và y1 , y2 độc lập tuyến tính trên I.
Khi đó tất cả các nghiệm của ptvp sẽ có dạng
y = c1 y1 + c2 y2
5