2. У оквиру ове наставне теме
изучаваћемо:
систем од две линеарне једначине са
две непознате
графички приказ система
еквивалентност система
решавање система методом замене
решавање система методом
супротних коефицијената
3. Деф: Линеарна једначина сa две непознате
x и y је свака једначина еквивалентна
једначини облика аx+by+c = 0, где су а, b, c
реални бројеви, а коефицијенти а и b не
могу истовремено бити једнаки 0 (а 0 или
b 0).
Нпр. једначине 3x+2y–1 = 0, –x+y–2 = 0 јесу
линеарне једначине сa две непознате.
4. Деф: Решење линеарне једначине с две
непознате аx+by+c = 0 је сваки уређени пар
(x0
,y0
) који заменом x са x0
и y са y0
ту
једначину преводи у тачну бројевну
једнакост.
Нпр. уређени парови (1,–1) и (3,–4) јесу
решења једначине 3x+2y–1 = 0, јер је
Уређени парови (0, 0) и (–5, 3) нису решења
једначине 3x+2y–1 = 0, јер је
5. Пример: Колико решења има једначина
5x–y–2 = 0?
Решење: Провером лако утврђујемо да
уређени парови (0,–2), (1,3), (–1,–7) јесу
решења дате једначине. Међутим, она има
још (бесконачно много) решења. За свако x
важи y = 5x–2, па је сваки уређен пар
облика (x, 5x–2) решење дате једначине.
Закључак: Једначина аx+by+c=0, за а 0 и
b 0, има бесконачно много решења, тј.
онолико решења колико права аx+by+c=0,
где је а 0 и b 0, има тачака.
6. Деф: Општи облик система од две
линеарне једначине сa две непознате је
а1
x + b1
y = c1
а2
x + b2
y = c2
,
где су а1
,b1
,c1
,а2
,b2
,c2
дати реални бројеви.
Деф: Решење система од две линеарне
једначине с две непознате x и y је сваки
уређен пар реалних бројева (x0
,y0
) који је
решење обе једначине тог система.
8. Графички приказ система од две линеарне
једначине с две непознате
а1
x + b1
y = c1
а2
x + b2
y = c2
чине две праве које су графици линераних
функција а1
x+b1
y = c1
и а2
x+b2
y = c2
.
У каквом се међусобном односу могу наћи
две праве једне равни?
1. случај - праве се секу
2. случај - праве су паралелне
3. случај - праве се поклапају
9. Пример: Графички приказ система
3x–y = 4
2x+y = 6
чине две праве које се секу
у тачки (2,2), па дати систем
има јединствено решење
x=2, y=2.
Закључак: Ако графички приказ система од
две линеарне једначине са две непознате
чине две праве које се секу, тада тај систем
има јединствено решење.
10. Пример: Графички приказ система
x+y = 1
x+y = 5
чине две паралелне праве
(немају заједничку тачку),
па дати систем нема решење.
Закључак: Ако графички приказ система од
две линеарне једначине са две непознате
чине две паралелне праве, тада тај систем
нема решење – немогућ је.
11. Пример: Графички приказ система
x–y = 2
2x–2y = 4
чине праве које се
поклапају, јер су једначине
система еквивалентне,
па дати систем има
бесконачно много решења.
Закључак: Ако графички приказ система од
две линеарне једначине са две непознате
чине две праве које се поклапају, систем
има бесконачно много решења–неодређен је.
13. Деф: Два система једначина су
еквивалентна ако је свако решење једног
од њих уједно решење и другог, или ако
оба система немају решење.
Посматрајмо следеће системе:
2x – 2y = 0 x – y = 0
x + y = 2 x + y = 2
Прве једначине ових система су
еквивалентне и њима одговара права y = x.
Друга једначина им је заједничка и њој
одговара права y = –x+2.
14. Дакле, оба система
имају исти графички
приказ. Закључујемо да
су посматрани системи
еквивалентни и да је
њихово једино решење
уређени пар (1, 1).
Закључујемо: Ако једначину система
заменимо њој еквивалентном, добијамо
нови систем еквивалентан полазном.
15. Посматрајмо како добијамо следећи низ
система једначина.
На основу графичких приказа првог и
последњег система видимо да оба имају по
једно решење, уређени пар (1, 1).
Замењујемо прву једначину њој
еквивалентном - на основу
претходног правила, ова два система
су еквивалентна.
Израз y у другој једначини замењујемо
изразом x, јер су они на основу прве
једначине (y=x) једнаки.
Другу једначину замењујемо
њој еквивалентним
једначинама и тако долазимо
до последњег система.
16. Закључујемо: Ако у једначини датог
система заменимо једну од непознатих
изразом који је једнак тој непознатој на
основу друге једначине, добијамо нови
систем еквивалентан полазном.
17. Уочимо трансформације помоћу којих
добијамо следећи низ система.
Замењујуемо другу
једначину једначином која
представља збир једначина
првог система.
Замењујуемо другу
једначину њом
еквивалентном.
Израз x у првој једначини
замењујемо бројем 1, јер су
они на основу друге
једначине (x=1) једнаки.
Читамо
решење.
18. Закључујемо: Ако једну једначину датог
система заменимо једначином која је збир
или разлика једначина датог система,
добијамо нови систем еквивалентан
полазном.
20. Метод замене:
Суштина методе замене је у следећем: из
једне једначине изразимо једну непознату
помоћу друге, а онда у другој једначини
дату непознату замењујемо добијеним
изразом. На тај начин добијамо једначину
са једном непознатом. Када ту једначину
решимо лако ћемо доћи до вредности друге
непознате.
21. Пример: Реши систем методом замене.
x+2y = 8
2x–y = 1
x = 8–2y
2x–y = 1
x = 8–2y
2(8–2y)–y = 1
x = 8–2y
16–4y–y = 1
Непознату x
изразимо преко
непознате y на
основу прве
једначине.
Другу једначину
замењујемо њој
еквивалентном
применом
правила о
замени.
Непознату x у другој
једначини замењујемо
изразом 8–2y
добијеним из прве
једначине.
22. x = 8–2y
16–4y–y = 1
x = 8–2y
–5y = –15
x = 8–2y
y = 3
x = 2
y = 3
Увек је корисно урадити и проверу.
2+2 3 = 8‧
2 2–3 = 1‧
Непознату y у
првој једначини
замењујемо са 3.
Другу једначину
замењујемо њој
еквивалентном
применом правила о
додавању и правила о
замени.
Другу једначину
замењујемо њој
еквивалентном
применом правила о
множењу.
23. Пример: Реши систем методом замене.
4x+2y = 5
2x+y = 1
4x+2y = 5
y = –2x+1
4x + 2(–2x+1) = 5
y = –2x+1
4x–4x+2 = 5
y = –2x+1
0 x+2 = 5‧
y = –2x+1
Закључак: Систем еквивалентан систему
чија бар једна једначина нема решење
такође нема решење.
Једначина 0‧x+2=5
нема решење, па га
нема ни дати
систем.
24. Пример: Реши систем методом замене.
x+2y = 5
5x+10y = 25
x = 5–2y
5(5–2y)+10y = 25
x = 5–2y
0 y = 0‧
Закључак: Једначина је идентитет
(сваки реалан број је решење ове
једначине), па су решења датог система иста
као и решења његове прве једначине.
Једначина 0‧y = 0 је
идентитет, па су
решења датог система
у ствари решења
његове прве једначине.
26. Метод супротних коефицијената:
Ако су коефицијенти уз исту променљиву у
датим једначинама супротни бројеви, онда
једну једначину система еквивалентног
датом систему добијамо сабирањем
једначина датог система, док друга
једначина новог система остаје иста као
једна од једначина датог система.
27. Пример: Реши систем методом супротних
коефицијената.
3x + 2y = 9
2x – 2y = 1
5x = 10
2x – 2y = 1
x = 2
2x – 2y = 1
x = 2
4 – 2y = 1
x = 2
–2y = –3
x = 2
y =
Прву једначину
замењујемо њој
еквивалентном
применом правила о
множењу.
Саберемо једначине
система и тако добијамо
једначину у којој више не
учествује непозната y.
Овом једначином
замењујемо прву
једначину система.
Непознату x у
другој једначини
замењујемо са 2.
Другу једначину
замењујемо њој
еквивалентном применом
правила о додавању.
Другу једначину
замењујемо њој
еквивалентном
применом правила о
множењу.
28. Ако у систему једначина, ни уз једну
непознату коефицијенти нису супротни
бројеви, онда се најпре начини систем
еквивалентан датом систему, такав да
коефицијенти уз једну непознату буду
супротни бројеви, а затим се систем реши
на већ познат начин.
29. Пример: Реши систем:
x + y = -6 /
x – 2y = 24
2x + 2y = -12
x – 2y = 24
3x = 12
x – 2y = 24
x = 4
4 – 2y = 24
x = 4
–2y = 20
x = 4
y = -10
