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Polinomio de interpolación
1.
República Bolivariana de
Venezuela Ministerio de Educación Superior Universidad Fermín Toro Cabudare, Edo-Lara Facultad de Ingeniería Interpolación Integrantes: Hernán Álvarez C.I: 17.306.522 Cabudare, septiembre 2015
2.
1. Obtener el
polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Lagrange con la siguiente tabla de valores, e interpolar en el punto x = 1. xi -4 -3 2 -6 yi -16 -5 - 10 -50 𝑙 𝑖( 𝑥) = Π 𝑖 ≠ 𝑗 𝑥 − 𝑥 𝑖 𝑥𝑗 − 𝑥 𝑖 𝑝( 𝑥) = ∑ 𝑦𝑖 𝑛 𝑗=0 ∙ 𝑙 𝑖( 𝑥) 𝑙0( 𝑥) = ( 𝑥 − 𝑥1)( 𝑥 − 𝑥2)( 𝑥 − 𝑥3) ( 𝑥0 − 𝑥1)( 𝑥0 − 𝑥2)( 𝑥0 − 𝑥3) = ( 𝑥 + 3)( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 6) (−4 + 3)(−4 − 2)(−4 + 6) 𝑙0( 𝑥) = 1 12 𝑥3 + 7 12 𝑥2 − 3 𝑙1( 𝑥) = ( 𝑥 − 𝑥0)( 𝑥 − 𝑥2)( 𝑥 − 𝑥3) ( 𝑥1 − 𝑥0)( 𝑥1 − 𝑥2)( 𝑥1 − 𝑥3) = ( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 6) (−3 + 4)(−3− 2)(−3+ 6) 𝑙1( 𝑥) = − 1 15 𝑥3 − 8 15 𝑥2 − 4 15 𝑥 + 16 5 𝑙2( 𝑥) = ( 𝑥 − 𝑥0)( 𝑥 − 𝑥1)( 𝑥 − 𝑥3) ( 𝑥2 − 𝑥0)( 𝑥2 − 𝑥1)( 𝑥2 − 𝑥3) = ( 𝑥 + 4)( 𝑥 + 3)( 𝑥 + 6) (2 + 4)(2 + 3)(2 + 6) 𝑙2( 𝑥) = 1 240 𝑥3 + 13 240 𝑥2 + 9 40 𝑥 + 3 10 𝑙3( 𝑥) = ( 𝑥 − 𝑥0)( 𝑥 − 𝑥1)( 𝑥 − 𝑥2) ( 𝑥3 − 𝑥0)( 𝑥3 − 𝑥1)( 𝑥3 − 𝑥2) = ( 𝑥 + 4)( 𝑥 + 3)( 𝑥 − 2) (−6 + 4)(−6 + 3)(−6 − 2) 𝑙3( 𝑥) = − 1 48 𝑥3 − 5 48 𝑥2 + 1 24 𝑥 + 1 2 𝑝( 𝑥) = 𝑦0 𝑙0( 𝑥) + 𝑦1 𝑙1( 𝑥)+ 𝑦2 𝑙2( 𝑥) + 𝑦3 𝑙3( 𝑥)
3.
Sustituyendo: 𝑝( 𝑥) =
−16 ∙ ( 1 12 𝑥3 + 7 12 𝑥2 − 3) − 5 ∙ (− 1 15 𝑥3 − 8 15 𝑥2 − 4 15 𝑥 + 16 5 ) − 10 ∙ ( 1 240 𝑥3 + 13 240 𝑥2 + 9 40 𝑥 + 3 10 ) − 50 ∙ (− 1 48 𝑥3 − 5 48 𝑥2 + 1 24 𝑥 + 1 2 ) 𝑝( 𝑥) = −2𝑥2 − 3𝑥 + 4 2. Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Newton en diferencias divididas con los datos de la tabla que aparece a continuación, e interpolar en el punto x= 3 (DIFERENCIAS DIVIDIDAS) xi -4 6 2 yi -20 -30 - 2 Por diferencias divididas: xi f(xi) f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2] -4 -20 -1 6 -30 -1 -7 2 -2 Luego: 𝑃2( 𝑥) = 𝑓[ 𝑥0] + 𝑓[ 𝑥0, 𝑥1] ∙ ( 𝑥 − 𝑥0) + 𝑓[ 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2] ∙ ( 𝑥 − 𝑥0) ∙ ( 𝑥 − 𝑥1) 𝑃2( 𝑥) = −20 − 1 ∙ ( 𝑥 + 4) − 1 ∙ ( 𝑥 + 4) ∙ ( 𝑥 − 6) 𝑃2( 𝑥) = 𝑥 − 𝑥2 3. Se quiere aproximar la función f(x) = −seno( 6 x ) en el intervalo [−1,1] utilizando interpolación polinómica con 5 puntos dados por el vector x=[ .8,.5, .3, .9, -.9]. ¿Cuál es el error máximo teórico que se cometería en el punto −0.5? ¿Y cuál el error real? Por diferencias divididas:
4.
x 𝑓[𝑥0] f[xi, xi+1]
f[xi, xi+1, xi+2] f[xi, xi+1, xi+2, xi+] f[xi, xi+1, xi+2, xi+3, xi+4] 0,8 0,99616461 3,79094872 0,5 - 0,14112001 18,9547436 - 5,68642308 -56,6951974 0,3 0,99616461 13,2852239 -39,3631516 - 0,37233354 10,2221604 0,9 0,77276449 - 1,02580062 0,85862721 - 0,9 - 0,77276449 Luego: 𝑃4( 𝑥) = 𝑓[ 𝑥0]+ 𝑓[ 𝑥0, 𝑥1]∙ ( 𝑥 − 𝑥0) + 𝑓[ 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2] ∙ ( 𝑥 − 𝑥0) ∙ ( 𝑥 − 𝑥1) + 𝑓[ 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] ∙ ( 𝑥 − 𝑥0) ∙ ( 𝑥 − 𝑥1)∙ ( 𝑥 − 𝑥2)+ 𝑓[ 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4] ∙ ( 𝑥 − 𝑥0)∙ ( 𝑥 − 𝑥1)∙ ( 𝑥 − 𝑥2) ∙ ( 𝑥 − 𝑥3) 𝑃4( 𝑥) = 0,99616461+ 3,79094872∙ ( 𝑥 − 0,8) + 18,9547436 ∙ ( 𝑥 − 0,8) ∙ ( 𝑥 − 0,5) − 56,6951974 ∙ ( 𝑥 − 0,8) ∙ ( 𝑥 − 0,5) ∙ ( 𝑥 − 0,3) − 39,3631516 ∙ ( 𝑥 − 0,8) ∙ ( 𝑥 − 0,5) ∙ ( 𝑥 − 0,3) ∙ ( 𝑥 − 0,9) Para x = - 0,5 𝑃4( − 0,5) = 0,99616461 + 3,79094872 ∙ ( − 0,5− 0,8) + 18,9547436∙ ( − 0,5 − 0,8) ∙ ( − 0,5 − 0,5) − 56,6951974 ∙ ( − 0,5− 0,8) ∙ ( − 0,5 − 0,5) ∙ ( − 0,5 − 0,3) − 39,3631516 ∙ ( − 0,5− 0,8) ∙ ( − 0,5 − 0,5) ∙ ( − 0,5 − 0,3) ∙ ( − 0,5− 0,9) 𝑃4( − 0,5) = 22,35935452 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = | 𝑉𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝑉𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑉𝑟𝑒𝑎𝑙 | 𝑒 𝑟 = | 𝑠𝑒𝑛(−0.5 ∙ 6) + 22,35935452 𝑠𝑒𝑛(−0.5) | 𝑒 𝑟 = 46,932156
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