решение задания 18 из тренировочной работы МИОО 18.12.2015

1. Тренировочная работа
МИОО
18 декабря 2015 года
по материалам Фельдман И.
ПОДГОТОВИЛА МЕДВЕДЕВА Г.А.

2. ЗАДАНИЕ 16
 В треугольник ABC вписана окружность радиуса R,
касающаяся стороны AC в точке M , причём AM=2R и CM=3R.
 а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
 б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и
описанной окружностей, если известно, что R=2.
 Точка O - центр вписанной окружности, это
точка пересечения биссектрис.

Обозначим равные углы одинаковыми буквами:
 Так как касательная перпендикулярна радиусу,
проведенному к точке касания, то OM ⊥ АС.
 Из прямоугольного ∆ AOM получим
2
1
==
AM
OM
tgα
3
1
==⇒∆
MC
OM
tgÎCĚČç β

3. tg∠A = tg2α , tg∠C = tg2β
 tg2α
 tg2β 4
3
83
92
9
8
:
3
2
3
1
1
3
1
2
1
2
2 22
=
⋅
⋅
==






−
⋅
=
−
=
β
β
β
tg
tg
tg
3
4
4/3
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2 22
==






−
⋅
=
−
=
α
α
α
tg
tg
tg
Значит , ctg∠A = tg∠C = ¾
ctg∠A = ¾
CACA
C
C
A
A
sinsincoscos
cos
sin
sin
cos
⋅=⋅⇒=

900)cos(sinsincoscos =∠+∠⇒=+⇒⋅−⋅ CACACACA
Поэтому ∠В = 90º и ∆ АВС – прямоугольный , что и требовалось доказать.

4. ДРУГОЙ СПОСОБ
 Докажем , синус угла А равен косинусу угла В(а тогда угол С
прямой)
 В самом деле из ∆ АОМ :
10
1
)3(
sin
22
=
+
==⇒∆
RR
R
OC
OM
ÎĚCČç β
5
1
)2(
sin
22
=
+
==
RR
R
OA
OM
α
;
5
4
5
2
5
1
2cossin22sin =⋅⋅==
R
R
ααα
;
5
4
10
8
10
1
10
9
sincos2cos 22
==−=−= βββ
 Итак, синус угла А равен
 косинусу угла С,
 тогда угол В прямой.

5.  У Фельдман И. свой способ решения а)
 Решение части б) смотрите далее…

7.  «б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и
описанной окружностей, если известно, что R=2.»
 Сделаем новый чертёж ,зная, что угол В 90º.
 Кроме того , центр описанной окружности О1 –середина АС , т.к.
угол опирающийся на гипотенузу всегда прямой.
 Из ∆ ОМО1 по теореме Пифагора:
;2
1
2
1 MOOMOO +=
МО1 = (АС:2 ) – АМ = 5 – 4 = 1
;512 22
1 =+=OO
.5