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Leistungen/Auswirkungen
● Brief vom 6 Januar 1819 schrieb er:
„ Für mich wenigstens sind und bleiben die Untersuchungen der höheren
Arithmetik, bei weitem das Allerschönste der Mathematik, und der
Genuss, den ich auch an de schönsten astronomischen Untersuchung
finde, ist gar nichts, verglichen mit dem, welchen die höhere Arithmetik
gewährt.“
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Lineares Gleichungssystem
● Teil der linearen Algebra
● Aus linearen Gleichungen aufgebaut
● Lineare Gleichungen bestehen aus Summen von Termen wie:
● Allgemeine Form a1 x1 + a1 x1 … + an xn = b
● Enstehung durch mehrere lineare Gleichungen
● Drei unterschiedliche Verfahren lösbar:
● Einsetzungs-, Additions- & Gleichsetzungsverfahren
● Eine, mehrere oder garkeine Lösung
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Eliminationsverfahren
● größten Mathematiker überhaupt
● Gaußsches Algorithmus
● Gaußsche Glockenkurve oder Gaußsche
Normalverteilung
● Wichtigsten nummerisches Verfahren
● Vor 2000 Jahren im chinesichen Mathebuch
angewendet
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Eliminationsverfahren
● Eliminationsverfahren besteht aus 2 Etappen:
● → Vorwärtselimination
● → Rückwärsteinsetzen
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Eliminationsverfahren
● Eliminationsverfahren besteht aus 2 Etappen:
● → Vorwärtselimination
– Das Gleichungssystem auf Stufenform
– (Dreiecksform) zu bringen
● → Rückwärsteinsetzen
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Eliminationsverfahren
1x + 4y + 3z = 1
1y + 2z = 4
1Z = 2
Stufenform auch Dreiecksform genannt
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Eliminationsverfahren
● Eliminationsverfahren besteht aus 2 Etappen:
● → Vorwärtselimination
– Das Gleichungssystem auf Stufenform
– (Dreiecksform) zu bringen
● → Rückwärsteinsetzen
– Die Unbekannten durch
– Rückwärtseinsetzen lösen
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Eliminationsverfahren
● Umformungen von der Matrix auf die Dreiecksform
● 1. eine der Gleichungen mit einem Faktor k ≠ 0
durchmultiplizieren und subtrahieren
● 2. eine Gleichung des Systems zu einer anderen
addieren oder
● 3. die Reihenfolge der Gleichungen vertauschen
Durch die Umformungen wird
die
Lösungsmenge nicht verändert!
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Eliminationsverfahren
● Von der Form (1) zu einem System der Form (2) zu
● kommen, beachtet man die zwei Hauptschritte.
1.Schritt: Die erste Zahl aus der zweiten, dritten
und Gleichung zu
eliminieren.
*x1 +*x2 + *x3 =*
*x2 + *x3 =*
*x2 + *x3 =*
Die erste Zahl soll nur in der ersten Gleichung vorkommen
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Eliminationsverfahren
● 2.Schritt: Die Zweite Zahl aus der dritten
Gleichung zu eliminieren.
*x1 +*x2 + *x3 = *
*x2 + *x3 = *
*x4 = *
Die zweite Zahl soll nur in der 1& 2 Gleichung vorkommen
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Anwendung
● Nicht nur für LGS angewendet sondern auch als Hilfsmittel der
linearen Algebra z.B:
– Determinante einer Matrix zu berechnen
– Berechnung der Inversen
● Heutige Anwendung:
– GTR anwendbar
– Das Verfahren wird heutzutage nicht
angewendet
