Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Math101 lecture 8
1. Ä
ÙÒ
Ò ÖÕÐ ÐØ
• ÙÒ
Ò ÖÕÐ ÐØ
• ÙÒ
Ò Ø ×Ö ÐØ
ÕÒÖ
• Ì ×Ö ÐØ
ÙÒ
ÖÜ Ü Ð Ð
• Ì ×Ö ÐØ
ÙÒ
Ò Õ Ò ÖÙÙ
•Â
Ø ×Ö ÐØ Õ Ò Ö
• Ì ×Ö ÐØÝÒ
Ø
Ö Ò Ò ÐÜ
½
2. ÙÒ
Ò ÖÕÐ ÐØ
D(f ) = X
x0
Ü
x0 + ∆x ∈ X
ÙÒ
Ò ÙØ Òð
ÓÐÒÓº
Â
ÙñÙ
ÛÕ Þð
y = f (x)
y = x2
Ü Ö
∆x
ÖÕÐ ÐØ Û Ð
Ò Ö ×× Ò
Ø Ü Ö ÐÞ Ü
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0)
ÙÒ
Ò
x0 = 1
ÖÜ ÖÕÐ ÐØ Óк
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) = (x0 + ∆x)2 − x2 = (1 + ∆x)2 − 12
0
∆y = 2∆x + (∆x)2.
¾
3. ÙÒ
Ò Ø ×Ö ÐØ
y = f (x)
ÙÒ
Òð
x = x0
Ò ÓÖÕ Ò ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ ÓÓ
ÕÒÖ
¸
lim [f (x0 + ∆x) − f (x)] = lim ∆y = 0
∆x→0
Ð Ü ÓÐ
y = f (x)
Ö ÙÑ ÒØÝÒ
×
ÖÕÐ ÐØ Ü Ö ÐÞ
ÙÒ
Ò
ÖÛ
∆x→0
ÙÒ
Ö
ÛÐ
y = f (x) ÙÒ
f (x) → f (x0) ÓÐ ÙÙÐ
ÖÕÐ ÐØ
y = f (x) ÙÒ
Òð x0
ÙÒ
lim f (x) = f (x0).
x→x0
x = x0
Ö Ø ×Ö ÐØ
ÙÒ
Ò
x = x0
ÙÒ
Ò º
×
Ö
Ö Ø ×Ö ÐØ
Ò ÓÖÕ Ò ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ ÓÓ x → x0
x = x0
Ö Ø ×Ö ÐØ
ÙÒ
Ò º
∆x = x − x0 → 0 ⇔ x → x0.
¿
4. Ö Û ∀ε > 0 ØÓÓ Û Ü |x − x0| < δ ØÓÜ ÖÓÜ x¹ Ò ÜÙÛð
|f (x) − f (x0)| < ε Ø Ò
Ø Ð
Ð
Ü Ö ∃δ(ε) > 0 ÓÐ
ÙÒ
x = x0
Ö Ø ×Ö ÐØ
ÙÒ
Ò º
Â
y = x2
ÙÒ
Ò
∆y = f (x0 +∆x)−f (x0) = (x0 +∆x)2 −x2 == ∆x(2x0 +∆x)
0
ØÙÐ ÙÖÝÒ
Ö Ø ×Ö ÐØ
Ð
ÛÐ
Ø Ò
Ø Ð Ð
Ö Þ Ò Ø Ð × Ø ×Ö ÐØ
ÙÒ
Ò º
ÛÐ
lim f (x) = f (x0 − 0) = f (x0)
x→x0−0
Ö ÖÙÙÒ Ø Ð ×
=⇒
lim ∆y = 0.
∆x→0
º
lim f (x) = f (x0 + 0) = f (x0)
x→x0+0
y = f (x)
Ø Ò
Ø Ð
f (x)¹
f (x)¹
x = x0
x = x0
5. lim f (x) = f (x0 + 0) = f (x0 − 0) = f (x0)
x→x0
ÙÒ
]a; b[¹ÝÒ Ü
Ö Ø ×Ö ÐØ
Û ÐØ Ò
]a; b[
Ö Ø ×Ö ÐØ
ÙÒ
¸ Ñ Ò ]a; b[ Ö Ø ×Ö ÐØ
x=a
Ö
ÖÙÙÒ Ø Ð × ¸ x = b
Ö Þ Ò Ø Ð × Ø ×Ö ÐØ
Û Ð Ù ÙÒ
[a; b] Þ Û× Ö
Ö Ø ×Ö ÐØ
ÙÒ
Ò º
y = f (x)
6. Ì ×Ö ÐØ
Ì Ö½
ÖÛ
f (x), g(x)
f (x) ± g(x), f (x) · g(x),
Ø ×Ö ÐØ
Ò
º
ÙÒ
Òð
ÙÒ
x = x0
f (x)
, g(x) = 0
g(x)
Ò T hr Òð Ø × Ð ØÓÓÒÝ ÙÒ
ÒÓ ÛÓÖÝÒ ÜÙÛð Ñ Ò Ü Õ ÒØ º
ÙÒ
ÖÜ Ü Ð Ð
Ö Ø ×Ö ÐØ
Òð x = x0
ÛÐ
ÖÑ Ò
Ò Ò Ð Ö¸ òÐ Û Ö¸ Ö Û Ö¸
ÖÛ X ÑÙ
Ö ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ ×ÓÒ y = ϕ(x) ÙÒ
Òð x = x0
Ö
Ö ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ ×ÓÒ u = f (y) ÙÒ
Òð y0 = ϕ(x0)
Ø ×Ö ÐØ ¸ Y ÑÙ
Ö Ø ×Ö ÐØ
Û Ð u = f [ϕ(x)] ÛÜ Ö ÙÒ
Òð x = x0
Ö
Ø ×Ö ÐØ
Òº
Ì Ö¾
7. Ì ×Ö ÐØ
ÙÒ
Ò Õ Ò ÖÙÙ
Ò Á Ì Öº
Ö Û [a; b]
Ö ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ ×ÓÒ ÙÒ
Òð Ò Þ Û× Ö Ö Ø ×Ö ÐØ
Þ Û×ÖÝÒ Ø × Ð Ò
ÖÜ ÙØ ÙÙ Òð ×Ö Ø Ñ Ø
ÛÐ
a, b
Ò ÜÓÓÖÓÒ ÓÖ Ó ¸ Ñ Ò ÙØ Ý Òð Ø Ø Ø Ò
ÓÐ Ó Ó c
ò Ò ÓÐ ÓÒÓº
Ì Ö½
Ðð
ÓÒÓ¹ÃÓ
Ðð
ÓÒÓ¹ÃÓ Ò ÁÁ Ì Öº
Ö Û y = f (x) Òð ∀x ∈ [a; b] Þ Û× Ö Ö Ø ×Ö ÐØ
Þ Û×ÖÝÒ Ø × Ð Ò
ÖÜ ÙØ ÙÙ Òð ÜÓÓÖÓÒ ÓÓ Ø Ò
Û Ð f (a), f (b) ÜÓ ÖÝÒ
ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ ÙØ Ý [a; b]¹ÝÒ òÑ Ö Ò c
Ö Þ Û Ð Ü Ð Ò ÛÒ º
Ì Ö¾
8. Ï Ö ØÖ ××ÝÒ Á Ì Öº
Ö Û [a; b] Ö ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ ×ÓÒ y = f (x) ÙÒ
Òð Ø ×Ö ÐØ
Ø Ö Ö Ò Þ Û× Ö Ö Þ Ð × Ò ÙÒ
Ò º ºÜº
ÛÐ
Ï Ö ØÖ ××ÝÒ ÁÁ Ì Öº
Ö Û [a; b] Ö ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ ×ÓÒ y = f (x) ÙÒ
Òð Ø ×Ö ÐØ
Ø Ö Ö Ò Þ Û× Ö Ö Á͸ ͹ Þ Û Ð Ü ÖÒ º
ÛÐ
Ì Ö¿
∃m, M , m ≤ f (x) ≤ M
Ì Ö
a ≤ x ≤ b.
9. Â
Ø ×Ö ÐØ
ÕÒÖ
Ö Û ∀ε > 0 ØÓÓ Û Ü X ÑÙ Ò Ü x0
|f (x) − f (x0)| < ε
Ø Ò
Ø Ð
Ð
Ü Ö ∃δ(ε) > 0 ÓÐ y = f (x) ÙÒ
X ÑÙ
Ö
Ø ×Ö ÐØ
ÙÒ
Ò º |x − x0| < δ.
Ì Ö
à ÒØÓÖÝÒ Ì Öº
Ø Þ Û× Ö Ö ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ ×ÓÒ Ø ×Ö ÐØ
Ø ×Ö ÐØ
Òº
ÙÒ
Ü Ò Ù Þ Û× Ö
Ö
10. Ì ×Ö ÐØÝÒ
Ö Û x = x0
ÐÜ
ÛÐ
½º
×
Ö
¸
Ø
Ö
Ò ÐÜ
ÙñÙ x→x f (x) = f (x0) Ò Ü
Ð
lim
0
ÙÒ
Ò Ø ×Ö ÐØÝÒ
Ò º
|f (x) − f (x0)| < ε
x = x0
Ñ Ö Ø ×Ö ÐØÝÒ
f (x)
(x0)
f (x0 − 0) = f (x0 + 0) = f (x0).
¾º Ì
× Ð
×Ö ÐØØ Ø ×Ö ÐØÝÒ
(x0)
f (x0 − 0) = f (x0 + 0).
¿º f (x0 − 0), f (x0 + 0)
ÜòÞ ÖÙÙ ÝÒ Ðð Ò Òð ÓÐÓÒ ÜÓ ÙÐ ÓÖ Ü
ܺ
ÓÖ Ó Õ Ø × Ð
´x 0
f (x) ÙÒ
Òµ
´
µ
f (x)
ÙÒ
Ò
|f (x0 − 0) − f (x0 + 0)|
x = x0
ÖÜ ×Ö ÐØ
½¼
Òº
×Û Ð
´½µ