3. este o secvenţa de numere în care fiecare număr se obţine
din suma precedentelor două din şir. Astfel, primele 11
numere ale şirului lui Fibonacci sunt:
0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
(primele 3 numere sunt predefinite, iar restul se obţin în mod
recursiv, din suma precedentelor două:
2 = 1 + 1
3 = 2 + 1
5 = 3 + 2
8 = 5 + 3
13 = 5 + 8
21 = 13 + 8 ş.a.m.d...
Şirul lui Fibonacci
4. Istoria şirului lui Fibonacci
Şirul lui Fibonacci a fost folosit pentru
prima oara pentru a rezolva
PROBLEMA IEPURILOR.
Se pare ca pe vremea lui Fibonacci
se organizau concursuri de
matematica. In Pisa, a participat si
Fibonacci la un astfel de concurs care
a fost condus de insusi imparatul
Frederik al II-lea. Problema propusa
concurentilor suna astfel:
Plecand de la o singura pereche de iepuri si stiind ca fiecare pereche de iepuri
produce in fiecare luna o noua pereche de iepuri, care devine "productiva" la varsta
de 1 luna, calculati cate perechi de iepuri vor fi dupa n luni. (De asemenea se
considera ca iepurii nu mor in decursul respectivei perioade de n luni)
5. Fibonacci şi natura
Plantele nu au cum să cunoască numerele lui Fibonacci, dar
ele se dezvoltă în cel mai eficient mod. Astfel, multe plante au
aranjamentul frunzelor dispus într-o secvenţa Fibonacci în
jurul tulpinei.
Conurile de pin respectă o dispunere dată de numerele lui
Fibonacci şi de asemeni şi floarea soarelui. Inelele de pe
trunchiurile palmierilor respectă numerele lui Fibonacci etc.
Motivul pentru toate acestea
este realizarea unui optim, a
unei eficiente maxime. Astfel,
de exemplu, urmând secvenţa
lui Fibonacci, frunzele unor
plante pot fi dispuse astfel
încât să ocupe un spaţiu cât
mai mic şi să obţină cât mai
mult soare.
15. Cochilia melcului este o spirală a cărei design
urmăreşte dimensiunile date de şirul lui
Fibonacci.
Raţiunea şi motivaţia pentru această dispunere este
simplă: în acest fel cochilia îi creează melcului, în
interior, un maxim de spaţiu şi de siguranţă.
16. Şirul lui Fibonacci şi spirala
logaritmică
Galaxia noastrăSpirala
logaritmică a unei
cochilii de melc
Spirala logaritmică
vizibilă în forma urechii
umane. Ea se
întâlneşte şi în
interiorul aparatului
auditiv.
17. Spirala logaritmică s-a născut din pulsaţia vieţii,
din creştere regulată prin adăugarea de
elemente asemenea şi are proprietatea că e
asemenea cu ea însăşi.
Şi ochiurile unui păun, când acesta îşi desface
coada în toata splendoarea ei, se aşează după
două spirale logaritmice. Construcţia spiralei are
la baza raportul de aur.
Fibonacci şi natura
18. Şirul lui Fibonacci
şi corpul uman
Mâna umană are 5 degete, fiecare deget având 3 falange
separate prin 2 încheieturi. În medie, dimensiunile falangelor
sunt: 2 cm, 3 cm, 5 cm. In continuarea lor este un os al
palmei care are în medie 8 cm.
Segmentele mâinii respectă
şi ele proporţia de aur
19. Fibonacci şi literatura
Exemple se întâlnesc şi în literatură.
Astfel, în povestea „Cinci pâini” a lui Ion
Creangă, relatarea are o structură
fibonaciană, Creangă alegând cu mult
discernământ numerele puse în joc; un
om, încă un om, două pâini, trei pâini, cinci
lei, numere care formează secvenţa
fibonaciană, 1, 1, 2, 3, 5.
20. Ombilicul împarte corpul
omenesc în proporţia de aur.
Şi alte dimensiuni ale
componentelor corpului se află
în acelaşi raport.
Şirul lui Fibonacci
şi corpul uman
21. Şirul lui Fibonacci
şi corpul uman
Faţa umană este caracterizată, din punct de vedere estetic prin câteva
dimensiuni principale: distanta între ochi, distanţa dintre gura şi ochi şi
distanţa dintre nas şi ochi, dimensiunea gurii. În ştiinţa esteticii se
apreciază că faţa este considerata cu atât mai plăcuta ochiului cu cât aceste
dimensiuni respectă secvenţa lui Fibonacci mai bine.
Chipul Monalisei, pictat de Leonardo da Vinci este
un astfel de exemplu, fiind considerată o faţă umană
perfectă
Masca unei feţe umane perfecte
22. Şirul lui Fibonacci şi
matematica
Între numerele din şirul lui
Fibonacci este stabilit un raport,
numit şi raportul de aur. El este
un număr iraţional, 1,618033...,
notat cu litera Φ după numele lui
Fidias, cel ce a construit
Parthenonul. El poate fi definit în
mai multe moduri, cel mai
important concept matematic
asociat cu regula de aur fiind
şirul lui Fibonacci. Împărţind
orice număr la predecesorul
său, se obţine aproximativ
numărul de aur.
Parthenonul ce poate fi încadrat
intr-un dreptunghi de aur
23. Dreptunghiul de aur şi spirala logaritmică ce se construieşte din el
Şirul lui Fibonacci şi
matematica
Dreptunghiul de aur are
proprietatea că
AB=BC⋅Φ
sau
AB/BC=Φ
A B
C
D
24. Formula prin care
se calculează
elementele şirului
lui Fibonacci este
f(n)=f(n-2)+f(n-1)
Presupunem că f(n)
are forma λn
.
Relaţia se va scrie
sub forma:
( )
( )
01
01
0
11
1
01
01
0
2
2
2
12
12
12
12
=−−
=−−
⇒=−−
⇒=−−
⇒=−−
⇒=−−
⇒+=
−−
−−
−−
−−
λλ
λλ
λλ
λλ
λλλ
λλλ
λλλ
sau
n
nnn
nnn
Şirul lui Fibonacci şi
matematica
25. Şirul lui Fibonacci şi
matematica
Valoarea aproximativă a raportului de aur este
2
51+
Soluţiile ecuaţiei λ2
-λ-1=0 sunt:
Soluţiile sunt diferenţiate tocmai de cifra 1
1/Φ - inversul lui Φ şi Φ fiind soluţiile acestei ecuaţii.
...618,0
2
51
...618,1
2
51
2
51
2
4
2
1
2
2,1
=
−
=
=
+
=
⇒
±
=
−±−
=
λ
λ
λ
a
acbb
26. Şirul lui Fibonacci şi
matematica
Dacă împărţim un segment astfel încât raportul dintre întreg şi latura
mai mare să fie egal cu raportul dintre latura mai mare şi latura mai
mică, obţinem proporţia de aur.
Aceasta e exprimată prin "numărul de aur" (Φ) = 1,61803398874...,
cu un număr infinit de zecimale (ca şi "π").
Inversul lui Φ, adică 1/ Φ, are exact aceleaşi zecimale:
0,61803398874...
A B C
Φ==
BC
AB
AB
AC
27. O altă proprietate oarecum ciudată a raportului de aur e că dacă scădem
din primul segment pe cel de al doilea, segmentul obţinut se află şi el în
raport de aur.
Astfel rezultă un şir de segmente ce se scad unele din altele la nesfârşit
şi de aici proprietatea de incomensurabilitate a segmentelor aflate in
tăietura de aur.
Scriem proporţia de aur sub forma a/b=b/c si alegem ca unitate de
măsura a acestor segmente segmentul cel mai mic si anume c . Raportul
b/c dintre partea cea mai mare si partea cea mai mica a segmentului a,
se numeşte număr de aur si se notează cu ∅. Rezulta atunci ca :
a/b=b/c=∅ si pentru ca a=b+c rezulta ca
(b+c)/b=1+c/b=b/c adică 1+1/∅=∅
De aici considerând numai rădăcina pozitivă avem
∅=(1+√5)/2=1,61803398875 … care se aproximează la 1,618
1/∅’= (1-√5)/2=0,61803398875 … care se aproximează la 0,618
Şirul lui Fibonacci şi
matematica
28. Şirul lui Fibonacci şi
matematica
Bisectoarele (de ex.: DB) unui
triunghi isoscel de aur (adică unul
în care baza reprezintă 0,618... faţă
de laturi) generează, la rândul lor,
proporţia de aur, iar arcele de cerc
trasate din punctele unde ele
intersectează laturile "triunghiurilor
de aur" ce se formează succesiv
generează spirala logaritmică.
Triunghiul de aur se mai cunoaşte
sub denumirea de “triunghiul de
aur al lui Pitagoga”
29. Şirul lui Fibonacci şi muzica
Arpegiul – care stă la baza construirii armoniei,
este constituit din treptele 1,3,5,8 ale gamei.
Gama însăşi are 8 trepte (toate - numere din
şirul lui Fibonacci).
De asemenea, există câte 8 game majore şi
minore cu diezi şi cu bemoli .
Explicaţia nu este neapărat aceea că 1, 3, 5 şi
8 sunt în şirul lui Fibonacci cât aceea că
raportul între 3 şi 5 şi între 5 şi 8 este Φ.
30. Do Major
La minor
0 #
Fa # Major
Re # minor
6 #
Do # Major
La # minor
7 #
Sol Major
Mi minor
1#
Re Major
Si minor
2 #
La Major
Fa # minor
3 #
Mi Major
Do # minor
4 #
Si Major
Sol # minor
5 #
Gamele majore cu diezi
se succed din cvinta
în cvintă suitoare, iar
relativele minore ale gamelor
majore se află la o terţă de
relativa lor majora.
31. Fa Major
Re minor
1 b
Si b Major
Sol minor
2 b
Mi b Major
Do minor
3 b
La b Major
Fa minor
4 b
Re b Major
Si b minor
5 b
Sol b Major
Mi b minor
6 b
Do b Major
Fa b minor
7 b
Do Major
La minor
0 b
Gamele majore cu becari
se succed din cvinta
în cvintă coborâtoare, iar
relativele minore ale gamelor
majore se află la o terţă de
relativa lor majora.
32. Termenul al n-lea din şirul lui Fibonacci
este dat prin formula de recurenţă:
Şirul lui Fibonacci şi informatica
+
=
=
=
−
altfel,x
1ndacă1,
0ndacă,0
21-n n
n
x
x
33. formulă care se traduce în limbajul C++ în:
long fibo(int n)
{
if(n==0) return 0
else
if(n==1))return 1;
else return fibo(n-1)+fibo(n-2);
}
Şirul lui Fibonacci şi informatica
34. Şirul lui Fibonacci şi informatica
Programul recursiv care afişează primele n elemente
al şirului lui Fibonacci este:
#include<iostream.h>
int n;
long fibo(int i)
{
if(i==0) return 0;
else
if(i==1) return 1;
else return (fibo(i-1)+fibo(i-2));
}
int main(void)
{
int i;
cout<<"n=";
cin>>n;
for(i=0;i<=n;i++)
cout<<fibo(i)<<" ";
}
35. Dacă analizăm execuţia funcţiei fibo(n) pentru
n=5, schema apelurilor recursive, observăm că
numărul de apeluri ale funcţiei fibo formează o
serie Fibonacci
Şirul lui Fibonacci şi informatica
37. Pentru n=6, numărul de
apeluri ale funcţiei fibo
este:
fibo(6)=1
fibo(5)=1
fibo(4)=2
fibo(3)=3
fibo(2)=5
fibo(1)=8
fibo(0)=2
Şirul lui Fibonacci şi informatica
Pentru n=7, numărul de
apeluri ale funcţiei fibo
este:
fibo(7)=1
fibo(6)=1
fibo(5)=2
fibo(4)=3
fibo(3)=5
fibo(2)=8
fibo(1)=13
fibo(0)=8
38. Se observă că pentru a calcula cel de-al cincilea
termen al şirului a fost calculat al treilea
termen de două ori, al doilea termen de trei ori.
În general, pentru a calcula fibo(n) trebuie să
calculăm fibo(n-1) şi fibo(n-2). Pentru fibo(n-1)
trebuie să calculăm fibo(n-2) şi fibo(n-3)
ş.a.m.d. Varianta recursivă a şirului lui
Fibonacci este dezavantajoasă pentru că se
recalculează de mai multe ori aceleaşi valori.
Acest tip de recursivitate se numeşte
recursivitate în cascadă.
Şirul lui Fibonacci şi informatica
39. Dezavantajul de a calcula aceeaşi valoare de
mai multe ori ar putea fi eliminat dacă s-ar
reţine valorile deja calculate. Pentru ca calcula
un termen sunt necesari doar doi termeni
precedenţi. Sunt suficiente deci trei variabile:
f2 – termenul care se calculează, f0 şi f1 – cei
doi termeni care precedă termenul curent.
Astfel se poate obţine varianta iterativă de
calcul a termenilor şirului lui Fibonacci.
Şirul lui Fibonacci şi informatica
40. Şirul lui Fibonacci şi informatica
#include<iostream.h>
int n,i,j;
long fibo[100];
int main(void)
{
cout<<"n=";
cin>>n;
fibo[0]=0;
fibo[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
fibo[i]=fibo[i-
1]+fibo[i-2];
for(j=0;j<=n;j++)
cout<<fibo[j]<<" ";
}
Dacă se compară cei doi algoritmi,
algoritmul recursiv este mai lent
pentru că nu stochează valorile
parţiale şi nu calculează pe rând
valorile şirului. El calculează valoarea
finală fibo(n) iar cele intermediare:
fibo(0), fibo(1)...fibo(n-1) sunt
calculate dinamic, atunci când este
nevoie de ele.
41. Cunoscut în antichitate de vechii înţelepţi, iar apoi în evul mediu de marii
învăţaţi filozofi, preoţi, alchimişti sau ocultişti, numărul de aur a ascuns
întotdeauna mari mistere. Astăzi cercetări complexe au ajuns la concluzia că
întreaga natura şi chiar întreg universul este structurat respectând fidel
proporţia perfecta şi exactă a numărului de aur. Marile construcţii antice
precum piramidele sau temple şi catedrale respecta de asemenea proporţia
fidela a acestui număr de aur. El reprezintă armonia şi perfecţiunea în
creaţie.
Numărul de aur reprezentat prin Φ = 1,618… este dedus fie din triunghiul de
aur (isoscel) al lui Pitagora, fie din elipsa de aur din tradiţia hindusa sau din
spirala de aur care, prin şirul lui Fibonacci demonstrează creşterea naturala a
plantelor păstrând aceasta proporţie.
In natura spirala generată de apă (vârtejurile), mişcarea curenţilor de aer în
spirală, cochilia melcilor, dispunerea petalelor de trandafir sau a frunzelor şi
seminţelor din regnul vegetal păstrează aceasta proporţie perfectă arătând că
în întreaga creaţie se manifesta armonia şi perfecţiunea divină
reprezentată prin aceasta proporţie.
