pdf 兆は0が8個→兆は0が12個

1. 100 兆の階乗の右から数えて 25 兆番目にある数字は偶数であるか奇数であるか。
by @yudai214
◆まず最初に思うことは 100 兆の階乗の末尾に続く 0 の個数である。調べてみよう。
末尾に続く 0 の個数とはつまり 10 の何乗で割れるのかということです。
100 兆の階乗を総因数分解して 2 の個数、5 の個数を調べた場合、明らかに 2 の個数の方が
多いので、ちょうど 5 の個数分だけ 10 で割れます。5 が何個含まれているかを調べます。
ガウス記号を用いて表すと（以下便宜上 0 が 8 個を兆と表現している）
兆 兆
･･････
兆
である。
一般に N の階乗の中に素数 P は次の個数含まれる。
－
（ただし N を P 進法展開した時の各位の和を S とする）
※ガウス記号をなくしてしまうと
－
になる。（無限等比級数の和）
ガウス記号による切り捨て分の総和が
－
の部分である。
例えば、素因数 5 の数がちょうど 1 増える時には 5 進法では各位の和が 4 減少します。
素因数 5 の数がちょうど 2 増える時には 5 進法では各位の和が 8 減少します。
※計算過程は紙面の都合上次のページ参照
100 兆(10 進法)=101101400 兆(5 進法)
なので
100 兆の階乗の末尾には
兆－（ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋･･････＋ ）
－
で 25 兆－2 個の 0 が続く。

2. ◆計算過程
5) 100000000000000 …0
5) 20000000000000 …0
5) 4000000000000 …0
5) 800000000000 …0
5) 160000000000 …0
5) 32000000000 …0
5) 6400000000 …0
5) 1280000000 …0
5) 256000000 …0
5) 51200000 …0
5) 10240000 …0
5) 2048000 …0
5) 409600 …0
5) 81920 …0
5) 16384 …4
5) 3276 …1
5) 655 …0
5) 131 …1
5) 26 …1
5) 5 …0
5) 1 …1
（数が小さい場合は左側を全て足し算した方が早い）

3. さて 25 兆－2 個の 0 が続くことが分かった。
ここで「n!は 10^k の倍数である」これをみたす自然数 k のうち最大のものを p として
f(n)=10^p とする。
・n を素因数分解すると 2 の個数＞5 の個数なので n!÷f(n)は偶数
・2 の累乗の一の位の変化は、2→4→8→6→2→…
・k!に(k+1)をかけた時の変化を考える。
1 をかけると 0 つ進む
2 をかけると 1 つ進む
3 をかけると 1 つ戻る
4 をかけると 2 つ進む
5 をかけ（ると 0 が生まれ）て 10 で割ると 1 つ戻る（つまり 2 で割ってる）
6 をかけると 0 つ進む
7 をかけると 1 つ進む
8 をかけると 1 つ戻る
9 をかけると 2 つ進む
10 をかけ（ると 0 が生まれ）て 10 で割ると 0 つ進む（2 で割って 2 をかける）
11 をかけると 0 つ進む
12 をかけると 1 つ進む
13 をかけると 1 つ戻る
14 をかけると 2 つ進む
15 をかけ（ると 0 が生まれ）て 10 で割ると 2 つ戻る（2 で割って 3 をかける）
16 をかけると 0 つ進む
17 をかけると 1 つ進む
18 をかけると 1 つ戻る
19 をかけると 2 つ進む
20 をかけ（ると 0 が生まれ）て 10 で割ると 1 つ進む（2 で割って 4 をかける）
21 をかけると 0 つ進む
22 をかけると 1 つ進む
23 をかけると 1 つ戻る
24 をかけると 2 つ進む
25 をかけ（ると 00 が生まれ）て 100 で割ると 2 つ戻る（2 で割って 2 で割ってる）

4. さて、5 つを塊にして考える。以下の合同式の法は 10 とする。
5!÷10≡2×1
10!÷5!÷10≡2×2
15!÷10!÷10≡2×3
20!÷15!÷10≡2×4
2×(25!÷20!÷100)≡2×(2×5÷10)
※左辺は 6、右辺は 1 になるので補正。
（2×の環境において、6 と 1 はともに 2 に進むので同じ）
30!÷25!÷10≡2×6
・
・
・
塊をくっつけるとこうなる。
30!÷10^7≡2^6×6!÷10（≡2^7×6≡8）
つまり 30!が 6!へと次数下げもどきができた。
100 兆!÷10^(25 兆-2)≡2^20 兆×20 兆!÷10^(5 兆-2)
……≡2^(25 兆-2)×4!1!1!1!1!
≡6
※ここでも 5 進法への計算と同じ
n!÷f(n)は 4 の倍数でもあるので、下二桁は 16、36、56、76、96 のどれか。
以上より、
100 兆の階乗の右から数えて 25 兆番目にある数字は奇数である。