严蔚敏 - 数据结构

1. 7.6 两点之间的最短路径问题
l 求从某个源点到其余各点的
最短路径 Dijkstra 算法
l 每一对顶点之间的最短路径
Floyd 算法

2. 求从源点到其余各点的最短
路径的算法的基本思想 :
依最短路径的长度递增的次序求
得各条路径
v1 其中，从源点到
v2
… 顶点 v 的最短路
源点 径是所有最短路
径中长度最短者
。

3. 路径长度最短的最短路径的特点
：
这条路径必定是直接从源点到该点
v 1 只含一条弧，并且这条弧的权值最
小。 v1
23
源点

4. 再下一条路径长度次短的最短路径的特
点:
它可能有三种情
v1
况：或者是直接从源
点到该点 v3( 只含一
条弧 ) ； 或者是从源 源点 v3
点经过顶点 v1 ，再到 v2
达该顶点 ( 由两条弧
组成 ) ；或者是从源
点经过顶点 v2 ，再到
达该顶点 v3 。

5. 其余最短路径的特点：
它或者是直接
从源点到该点 ( 只 v1
20
含一条弧 ) ； 或 1
者是从源点经过 源点 15 v3
10
已求得最短路径 v2 3
的顶点，再到达
该顶点。 的最短路径 Min(20+1,15,10+13)=13
源点到 v3

6. 求最短路径的迪杰斯特拉算法：
设置辅助数组 Dist ，其中每个分量
Dist[k] 表示当前所求得的从源点到其余各顶
点 k 的最短路径。
一般情况下，
Dist[k] = < 源点到顶点 k 的弧上的权值 > 或者
= < 源点到已求出最短路径的顶点的路径长度 >
+ < 已求出最短路径的顶点 到顶点 k 的弧上的
权值 > 。

7. 1 ）在所有从源点出发的弧中选取一条
权值最小的弧，即为第一条最短路径
。
G.arcs[v 0][k ] V0 和 k 之间存在弧
Dist[k ] = 
 INFINITY V0 和 k 之间不存在弧
其中的最小值即为最短路径的长度
。

8. 2 ）修改其它各顶点的 Dist[k] 值。
假设求得最短路径的顶点为 u ，
若 Dist[u]+G.arcs[u][k]<Dist[k]
则将 Dist[k] 改为 Dist[u]+G.arcs[u]
[k] 。

9. v5 60 0 1 2 3 4 5
100
v0 30
v4 D ∞ 10 50
60
∞ 30 100
30 90
60
10 20 0 1 2 3 4 5
10
v1 5 50 v3 final TF F F
T F
T F
T F
T
v2 P
0 1 2 3 4 5 D[i] 表示当前所找到的
0 0 ∞ 10 ∞ 30 100 从始点 v 到每个终点 vi
邻 1 ∞ 0 5 ∞ ∞ ∞ 的最短路径的长度
接 2 ∞ ∞ 0 50 ∞ ∞ Final[v] 为 true 表示 v
进入到 S 集 . 即找到了
矩 3 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 10
v0 到 v 的最短路径 .v0-
阵 4 ∞ ∞ ∞ 20 0 60
v 的距离为 D[v], 路径
5 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 保存在 P[v] 中 .

10. v5 60 0 1 2 3 4 5
100
30 D ∞ 10 50
60
∞ 30 100
30 90
60
v0 v4
10 0 1 2 3 4 5
20
10
final F
T F F
T F
T F
T F
T
v1 5 50 v3
v2
起点 - 距离 路径 Path
终点 D Path v0 v1 v2 v3 v4 v5
v0-v1 ∞ P[v1 v0 T F F F F F
v0-v2 10 ]
P[v2 v0-v2 T F T F F F
v0-v3 50 ]
P[v3 v0-v4-v3 T F F T T F
v0-v4 30 ]
P[v4 v0-v4 T F F F T F
v0-v5 60 ]
P[v5 v0-v4-v3-v5 T F F T T T
]

11. void ShortestPath_DIJ(MGraph G,int v0,PathMatrix
&P,ShortPathTable &D) {
// 用 Dijkstr 算法求有向网 G 的 v0 顶点到其余顶点 v 的最短
路径 P[v]
及其带权长度 D[v]
// 若 P[v][w] 为 true, 则 w 是从 v0 到 v 当前求得最短路径上
的顶点
//final[v] 为 true 当且仅当 v∈S, 即已经求得从 v0 到 v 的最短
路径
for(v=0;v<G.vexnum;++v) {
final[v]=FALSE; D[v]=G.arcs[v0][v];
// 设空路径
for(w=0;w<G.vexnum;++w) P[v][w]=FALSE;
if(D[v]<INFINITY) {
P[v][v0]=TRUE;P[v][v]=TRUE;}

12. D[v0]=0; final[v0]=TRUE; // 初始化 ,v0 顶点属于 S 集
for(i=1;i<G.vexnum;++i){ // 其余 G.vexnum-1 个顶点
min= INFINITY; // 当前所知离 v0 顶点的最近距离
for(w=0;w<G.vexnum;++w)
if(!final[w]) //w 顶点不在 S 中
if(D[w]<min) {v=w; min=D[w];} // 选离 v0 最近的
点v
final[v]=TRUE; //v 加入 S 集合
// 更新当前最短路径及距离
for(w=0;w<G.vexnum;++w)
// 修改 D[w] 和 P[w],w∈V-S
if(!final[w]&&(min+G.arcs[v][w]<D[w])) {
D[w]=min+G.arcs[v][w];
P[w]=P[v]; P[w][w]=TRUE; //P[w]=P[v]+P[w]
} //end if
} } //shortestPath

13. 时间复杂度分析
l 第一个 For 循环的时间复杂度为 O(n)
l 第二个 For 循环共进行了 n-1 次 , 每次
执行的时间是 O(n)
l 总的时间复杂度为 O(n2)

14. 求每一对顶点之间的最短路径
每次以一个顶点为源
点 , 重复执行 Diskstra 算法 n 次 .
便可得到每一对顶点之间的最短
路径 . 总的执行时间为 O(n3).

15. 求每一对顶点之间的最短路
径
弗洛伊德 Floy 算法的基本思想是：
从 vi 到 vj 的所有可能存在的
路径中，选出一条长度最短的路径
。

16. 若 <vi,vj> 存在，则存在路径 {vi,vj}
// 路径中不含其它顶点
若 <vi,v1>,<v1,vj> 存在，则存在路径 {vi,v1,vj}
// 路径中所含顶点序号不大于 1
若 {vi,…,v2}, {v2,…,vj} 存在，则存在一条路径 {vi,
…, v2, …vj} // 路径中所含顶点序号不大于 2
…
依次类推，则 vi 至 vj 的最短路径应
是上述这些路径中，路径长度最小者。

17. 算法实现
l 定义一个 n 阶方阵序列
D(-1) , D(0) , D (1) , ...,D (k) , ...,D (k-1)
其中 D (-1) [i][j] = G.arcs[i][j]
D (k) [i][j] = Min{ D (k-1) [i][j],
D(k-1)[i][k]+D (k-1) [k][j] } 0≤k ≤n-1

18. 算法实现
l 分析看出 D (1) [i][j] 为从 vi 到 vj 的中间
顶点的序号不大于 1 的最短路径的长
度.
l D (k) [i][j] 为从 vi 到 vj 的中间顶点的序
号不大于 k 的最短路径的长度 .
l D (n-1) [i][j] 就是从 vi 到 vj 的最短路径
的长度 .

19. 6 A B C
0 1
A 4 B A 0 4 11
11 B 6 0 2
3 2
C C 3 ∞ 0
2
D D(-1) D(0) D(1) D(2)
0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2
0 0 4 11 0 4 11 0 4 6 0 4 6
1 6 0 2 6 0 2 6 0 2 5 0 2
2 3 ∞ 0 3 7 0 3 7 0 3 7 0
Min(CB,CAB) Min(BAC,BC) Min(AC,ABC)
=Min(∞,7)=7 =Min(17,2)=2 =Min(11,6)=2

20. 6 A B C
0 1
A 4 B A 0 4 11
11 B 6 0 2
3 2
3 ∞ 0
2C
C
D D(-1) D(0) D(1) D(2)
0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2
0 0 4 11 0 4 11 0 4 6 0 4 6
1 6 0 2 6 0 2 6 0 2 5 0 2
2 3 ∞ 0 3 7 0 3 7 0 3 7 0
P P(-1) P(0) P(1) P(2)
0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2
0 AB AC AB AC AB ABC AB ABC
1 BA BC BA BC BA BC BAC BC
2 CA CA CAB CA CAB CA CAB

21. 算法
void ShortestPath_FLOYD(MGraph G,
PathMatrix &P[],DistancMatrix &D) {
// 用 Floyd 算法求有向网各对顶点 v 和 w
之间的最短路径 P[v][w] 及其带权长度
D[v][w]. 若 P[v][w][u]=true, 则 u 是从 v
到 w 当前求得最短路径上的顶点 .

22. // 对各对结点之间初始已知路径及距离
For (v=0; v<G.vexnum; ++v)
for(w=0; w<G.vexnum; ++w)
D[v][w] = G.arcs[v][w];
for(u=0; u<G.vexnum;++u)
P[v][w][u] = FALSE;
if (D[v][w]<INFINITY){ // 从 v 到 w 有直接
路径
P[v][w][v] = TRUE; P[v][w][w] = TRUE;
} //end if
} //end for

23. for (u = 0; u<G.vexnum;++u)
for(v=0; v<G.vexnum;++v)
for(w=0; w<G.vexnum;++w)
// 如果从 v 经 u 到 w 的一条路径更短
if (D[v][u]+D[u][w] < D[v][w] ) {
D[v][w] = D[v][u]+D[u][w];
for (i=0; i < G.vexnum; ++i)
P[v][w][i] = P[v][u][i] || P[u][w][i];
} //end if
} //ShortestPath_FLOYD
该算法的时间复杂度为 O ( n 3 ) , 该算法对
负权值也适用 .

24. 最短路径问题的应用
l 交通咨询系统
交通咨询系统可以采用
图的结构来表示实际的交通网络 . 图
中的顶点为城市 , 边表示城市之间的
交通联系 . 交通咨询系统可以回答旅
客提出的各种问题 . 见书 P186.