Вектор, тэдгээр дээр хийх шугаман үйлдлүүд

1. ЛЕКЦ -12
СЭДЭВ : Вектор,тэдгээр дээр хийх шугаман
үйлдлүүд,векторуудын шугаман хамаарал,векторын тэнхлэг
дээрх проекц,векторын тэгш өнцөгт координат,векторыг
тэнхлэгүүдийн ортуудаар задлах,хэрчмийг өгөгдсөн харьцаагаар
хуваах
ЗОРИЛГО: Ýíý õè÷ýýëýýð àíàëèòèê ãåîìåòðèéí ¿íäñýí îéëãîëòóóä áîëîõ
âåêòîðûí òóõàé, âåêòîð äýýð õèéõ ¿éëäë¿¿ä, âåêòîðûí ÷àíàðóóä,векторын тэгш
өнцөгт координат, êîîðäèíàò, векторыг тэнхлэгүүдийн ортуудаар задлах, õî¸ð
öýãèéí õîîðîíäîõ çàé, õýð÷ìèéí äóíäàæ öýãèéí êîîðäèíàò ,õýð÷ìèéã ºãñºí
õàðüöààãààð õóâààõ тухай ойлголтыг өгөх
ХИЧЭЭЛИЙН ЯВЦ : Âåêòîð
- Ǻâõºí òîîí óòãààð òîäîðõîéëîãäîõ õýìæèãäýõ¿¿íèéã ñêàëÿð õýìæèãäýõ¿¿í ãýíý.
Жишээлбэл хугацаа,температур гэх мэт
- Òîîí óòãààñ ãàäàíà ÷èãëýë òîäîðõîéëäîã õýìæèãäýõ¿¿íèéã âåêòîð õýìæèãëýõ¿¿í
ãýíý.
Жишээлбэл хүч, хурдатгал гэх мэт
Âåêòîð õýìæèãäýõ¿¿íèéã âåêòîðîîð á¿ðýí òîäîðõîéëíî.
- ×èãëýëòýé õýð÷ìèéã âåêòîð ãýíý.
Âåêòîðûã ¿ç¿¿ðèéí õî¸ð öýãýýð òýìäýãëýõýýñ ãàäàíà ëàòèí öàãààí òîëãîéí Æèæèã
¿ñãýýð òýìäýãëýíý.
Âåêòîðûí ¿ç¿¿ðèéí öýã¿¿äèéí êîîðäèíàò ºãñºí áîë âåêòîðûí êîîðäèíàòûã îëîõäîî
òºãñãºëèéí öýãèéí êîîðäèíàòààñ ýõëýëèéí öýãèéí êîîðäèíàòûã õàñàæ îëäîã.
Жишээлбэл 𝑨𝑨( 𝟐𝟐; −𝟏𝟏; 𝟑𝟑) 𝑩𝑩( 𝟏𝟏; 𝟑𝟑; −𝟏𝟏)
𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ векторын координатыг ол. 𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ = (−1; 4; −4)
Âåêòîð íü
1. ÷èãëýë èæèë áºãººä óðò íü èæèë áîë òýíö¿¿ âåêòîð ãýíý.
2. Âåêòîðûí óðòòàé òýíö¿¿ òîîã ìîäóëü ãýíý.
3. ìîäóëü íü íýãòýé òýíö¿¿ áîë íýãæ âåêòîð.

2. 4. ìîäóëü íü òýã áîë òýã âåêòîð ãýíý.
5. Ïàðàëëåëü âåêòîðûã êàëèíåàð âåêòîð ãýíý.
6. ºãñºí âåêòîðòîé èæèë ÷èãëýëòýé íýãæ âåêòîðûã îðò ãýíý.
7. Íýã õàâòãàé äýýð îðøèõ âåêòîðûã êîìïëàíàð âåêòîð ãýíý.
8. Äóðûí âåêòîð äýýð íýìýõýä íèéëáýð íü 0 áîëäîã âåêòîðóóä îëäîæ áàéâàë
ò¿¿íèéã ýñðýã âåêòîð ãýíý.
Âåêòîðûí шугаман ¿éëäë¿¿ä
Векторуудын нэмэх, хасах, тоогоор үржүүлэх үйлдлүүдийг векторын шугаман
үйлдэл гэнэ.
Âåêòîðûã íýìýõ, õàñàõ. a

, b

õî¸ð âåêòîð àâúÿ. Òýäãýýðèéã ïàðàëëåëèàð
纺æ íýã O öýãò ýõòýé áîëãîîä a

-èéí òºãñãºëèéã äàéðóóëàí b

-òýé ïàðàëëåëü,
b

-èéí òºãñãºëèéã äàéðóóëàí a

-òàé ïàðàëëåëü øóëóóí òàòàæ ïàðàëëåëîãðàìì
áàéãóóëúÿ. Ýíý ïàðàëëåëãðàììûí O öýã äýýð ýõòýé äèàãîíàëü âåêòîðûã a

,b

õî¸ð âåêòîðûí íèéëáýð ãýæ íýðëýíý.
параллелограммын дүрэм гэнэ.
Õî¸ð âåêòîðûã íýìýõ ä¿ðìýýñ õýä õýäýí âåêòîðûã íýìýõ äàðààõ ä¿ðýì ìºðäëºã
áîëæ ãàðíà.
a

,b

, c

, … d

âåêòîðóóäûã íýìýõäýý I âåêòîðûí òºãñãºëä II âåêòîðûã ïàðàëëåëèàð
纺æ àâàà÷ààä, äàðàà íü II âåêòîðûí òºãñãºëä III âåêòîðûã ïàðàëëåëèàð 纺æ
àâàà÷èõ ãýõ÷èëýí, ýöýñò íü d

âåêòîðûã ìºí ïàðàëëåëèàð 纺æ ò¿¿íèé ºìíºõ
âåêòîðûí òºãñãºëä çàëãàæ áàéðëóóëààä I âåêòîðûí ýõèéã ýöñèéí d

âåêòîðûí
òºãñãºëòýé õîëáîñîí âåêòîð áàéãóóëíà. Ñ¿¿ë÷èéí áàéãóóëñàí âåêòîð íü a

,b

, c

, …
d

âåêòîðóóäûí íèéëáýð áîëíî.
Âåêòîðûã õàñàõ ¿éëäýë íü íýìýõèéí óðâóó ¿éëäýë ãýæ òîäîðõîéëîãäîíî. Æèøýý íü
a

-b

ÿëãàâàð ãýæ b

äýýð íýìýõýä a

-òàé òýíöýõ ãóðàâäàõü âåêòîðûã õýëíý. Ýíý
ä¿ðìýýñ ¿çýõýä a

-b

ÿëãàâàð íü a

,b

õî¸ð âåêòîð äýýð áàéãóóëñàí
O
a
b ba +

3. ïàðàëëåëîãðàìûí íºãºº íýã äèàãîíàëü âåêòîð áàéõ áºãººä ÷èãëýë íü ÿìàãò
õàñàãäàã÷ âåêòîðûí òºãñãºëð¿¿ õàíäñàí áàéíà.
Âåêòîðóóäûí ìîäóëèéí õóâüä | a

+b

+c

+ …+ d

| ≤ | a

|+|b

|+|c

|+ …+| d

| тэнцэтгэл
биш биелэнэ.
𝒂𝒂��⃗ векторыг ⋋ гэсэн тоогоор үржүүлэхдээ
1. �𝑏𝑏�⃗� =⋋∙ |𝑎𝑎⃗|
2. 0λ áîë 𝑎𝑎⃗ âåêòîðтой 𝑏𝑏�⃗ вектор èæèë ÷èãëýëòýé 0λ áîë 𝑎𝑎⃗ âåêòîðтой
𝑏𝑏�⃗ вектор ýñðýã ÷èãëýëòýé áàéíà.
Вектор дээр хийх шугаман үйлдлүүдийн хувьд дараах чанарууд хүчинтэй.
1. 𝑎𝑎⃗ + 𝑏𝑏�⃗ = 𝑏𝑏�⃗ + 𝑎𝑎⃗
2. �𝑎𝑎⃗ + 𝑏𝑏�⃗� + 𝑐𝑐⃗ = 𝑎𝑎⃗ + �𝑏𝑏�⃗ + 𝑐𝑐⃗�
3. 𝑎𝑎⃗ + 0 = 𝑎𝑎⃗
4. 𝑎𝑎⃗ + (−𝑎𝑎⃗) = 0�⃗
5. ⋋∙ �𝑎𝑎⃗ + 𝑏𝑏�⃗� =⋋∙ 𝑎𝑎⃗ +⋋∙ 𝑏𝑏�⃗
6. 1 ∙ 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎⃗
Хэрвээ 𝑎𝑎⃗(𝑎𝑎1; 𝑎𝑎2; 𝑎𝑎3) 𝑏𝑏�⃗(𝑏𝑏1; 𝑏𝑏2; 𝑏𝑏3) хоёр вектор координатаар өгсөн бол шугаман
үйлдлийг дараах байдлаар хийнэ
1. 𝑎𝑎⃗ ± 𝑏𝑏�⃗ = (𝑎𝑎1 ± 𝑏𝑏1; 𝑎𝑎2 ± 𝑏𝑏2; 𝑎𝑎3 ± 𝑏𝑏3)
2. ( )321 ;; aaaa λλλλ =⋅
→
0λ
3. 332211 babababa ⋅+⋅+⋅=⋅
→→
4. 2
3
2
2
2
1 aaaa ++=
→
Жишээлбэл a

{3;-2;4} , b

{5; 2 ,-7} áîë ba + -ã îë.
Áîäîëò. c

= a

+b

= {5+3; -2+ 2 ; 4+(-7)} áóþó c

{8;-2+ 2 ;-3}
Векторын шугаман хамаарал,тэнхлэг дээрх проекц
- ⋋1∙ 𝑒𝑒⃗1 +⋋2∙ 𝑒𝑒⃗2 + ⋯ +⋋𝑛𝑛∙ 𝑒𝑒⃗𝑛𝑛 = 0 тэнцэтгэл ⋋1=⋋2= ⋯ =⋋𝑛𝑛= 0 байхад биелэгдэж
байвал
𝑒𝑒⃗1 ; 𝑒𝑒⃗2 … 𝑒𝑒⃗𝑛𝑛 векторуудыг шугаман хамааралгүй векторууд гэнэ.
a
b ba −

4. - Хавтгай дээрх шугаман хамааралгүй дурын хоёр векторыг хавтгайн суурь вектор
гэнэ. 𝑒𝑒⃗1 ; 𝑒𝑒⃗2 сууриар задалж бичвэл 𝑎𝑎⃗ =⋋1∙ 𝑒𝑒1���⃗ +⋋2 𝑒𝑒2���⃗ ⋋1 ; ⋋2 ийг 𝑎𝑎⃗
векторын аффин координат гэнэ. 𝑎𝑎⃗ = (⋋1;⋋2)
- Огторгуйд : 𝑎𝑎⃗ =⋋1∙ 𝑒𝑒1���⃗ +⋋2 𝑒𝑒2���⃗ +⋋3 𝑒𝑒3���⃗ ⋋1 ; ⋋2 ; ⋋3 ийг 𝑎𝑎⃗ векторын
аффин координат гэнэ. 𝑎𝑎⃗ = (⋋1;⋋2;⋋3)
- Векторын 𝑒𝑒⃗ тэнхлэг дээрх проекцыг пр𝑒𝑒⃗ 𝑎𝑎⃗ = |𝑎𝑎⃗| ∙ cos 𝜑𝜑 томъёогоор олно. 𝜑𝜑 - нь
𝑒𝑒⃗ ; 𝑎𝑎⃗ хоорондох өнцөг.
Проекцийн хувьд дараах чанарууд хүчинтэй
1. пр𝑒𝑒⃗�𝑎𝑎⃗ + 𝑏𝑏�⃗� = пр𝑒𝑒⃗ 𝑎𝑎⃗ + пр𝑒𝑒⃗ 𝑏𝑏�⃗
2. пр𝑒𝑒⃗ ⋋∙ 𝑎𝑎⃗ =⋋∙ пр𝑒𝑒⃗ 𝑎𝑎⃗
Тэгш өнцөгт координат,векторыг тэнхлэгүүдийн ортоор задлах
𝚤𝚤⃗ ; 𝚥𝚥⃗ ; 𝑘𝑘�⃗ нь координатын OX ; OY ; OZ тэнхлэгүүдтэй харгалзан ижил чиглэлтэй,
нэгж урттай векторууд бол дурын 𝑎𝑎⃗ векторыг координатын сууриар 𝑎𝑎⃗ = 𝑥𝑥 ∙ 𝚤𝚤⃗+ 𝑦𝑦 ∙
𝚥𝚥⃗+ 𝑧𝑧 ∙ 𝑘𝑘�⃗ задалж болно.
x;y;z ийг 𝑎𝑎⃗- векторын тэгш өнцөгт координат гэнэ. 𝑎𝑎⃗ = (𝑥𝑥; 𝑦𝑦; 𝑧𝑧)
Эдгээр нь координатын тэнхлэгүүд дээрх проекцууд болдог.
прох 𝑎𝑎⃗ = 𝑥𝑥 проу = 𝑦𝑦 пр𝑜𝑜𝑜𝑜 = 𝑧𝑧
𝑎𝑎⃗- векторын хувьд урт нь нэгтэй тэнцүү 𝑎𝑎⃗- вектортэй ижил чиглэлтэЙ векторыг 𝑎𝑎⃗-
векторын нэгж вектор буюу орт гэнэ. 𝑎𝑎⃗0
=
𝑎𝑎�⃗
|𝑎𝑎�⃗|
орт вектор
a

– âåêòîðûí ÎÕ ÎÓ ÎZ - òýíõëýãòýé ¿¿ñýõ ºíöãèéã γβα ;; ãýâýë
γβα cos;cos;cos -èéã
→
à -âåêòîðûí ÷èãë¿¿ëýã÷ cos ãýæ íýðëýýä
222
222
222
cos
cos
cos
zyx
z
a
z
zyx
y
a
y
zyx
x
a
x
++
==
++
==
++
==
→
→
→
γ
β
α
Âåêòîðûí ÷àíàðóóä
1. 𝑎𝑎����⃗(𝑎𝑎1; 𝑎𝑎2; 𝑎𝑎3) 𝑏𝑏�⃗(𝑏𝑏1; 𝑏𝑏2; 𝑏𝑏3)
→→
ba// áàéâàë λ===
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a

5. 2.
→→
⊥ ba áàéâàë 0=⋅
→→
ba
3. ϕ=⋅
→→
ba хоорондох өнцөг 𝜑𝜑 áàéâàë
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
cos
zyxzyx
zzyyxx
++⋅++
++
=ϕ
1. 0
→→
⋅ ba бол ϕ - ºíöºã õóðö
2. 0
→→
⋅ ba áîë ϕ - ºíöºã ìîõîî
3. 0=⋅
→→
ba áîë ϕ - ºíöºã òýãø байна.
Хэрчмийг өгсөн харьцаанд хуваах,хоёр цэгийн хоорондох зай
1. 𝐴𝐴(𝑥𝑥1; 𝑦𝑦1) 𝐵𝐵(𝑥𝑥2; 𝑦𝑦2) xî¸ð öýãèéí õîîðîíäîõ çàé ( ) ( )2
12
2
12 yyxxd −+−=
2. 𝐴𝐴(𝑥𝑥1; 𝑦𝑦1) 𝐵𝐵(𝑥𝑥2; 𝑦𝑦2) цэгүүдийг холбосон хýð÷ìèéã АМ : MB = ⋋ õàðüöààнд
õóâààõ
𝑀𝑀(𝑥𝑥 ; 𝑦𝑦) цэгийн координат нь
λ
λ
λ
λ
+
+
=
+
+
=
1
y
y
1
2121 yxx
x
Тухайн тохиолдолд ⋋=1 буюу АВ хэрчмийг таллан хуваах 𝑀𝑀(𝑥𝑥 ; 𝑦𝑦) цэгийн
координат нь
𝑥𝑥 =
𝑥𝑥1+𝑥𝑥2
2
; 𝑦𝑦 =
𝑦𝑦1+𝑦𝑦2
2
Âåêòîðûí ñêàëÿð ¿ðæâýð
Òîäîðõîéëîëò -Õî¸ð âåêòîðûí ìîäóëèéí ¿ðæâýðèéã õîîðîíäîõ ºíöãèéí
êîñèíóñààð ¿ðæ¿¿ëýõýä ãàðàõ òîîã óóë õî¸ð âåêòîðûí ñêàëÿð ¿ðæâýð ãýíý.
Òîìú¸îëáîë ϕcos⋅⋅=⋅
→→→→
baba ϕ нь a

; b

õî¸ð âåêòîðûí õîîðîíäîõ
ºíöөг
Ñêàëÿð ¿ðæâýðèéí ÷àíàðóóä.
1. 𝑎𝑎⃗ ∙ 𝑏𝑏�⃗ = 𝑏𝑏�⃗ ∙ 𝑎𝑎⃗
2. 𝑎𝑎⃗ ∙ �⋋∙ 𝑏𝑏�⃗� = (⋋∙ 𝑎𝑎⃗) ∙ �𝑏𝑏�⃗� =⋋∙ �𝑎𝑎⃗ ∙ 𝑏𝑏�⃗�
3 . |b

|cosϕ ¿ðæâýð íü b

âåêòîðûí a

äýýðõ ïðîåêö ïð a

b

òóë
. 𝑎𝑎⃗ ∙ 𝑏𝑏�⃗ = |𝑎𝑎⃗| ∙ пр𝑎𝑎�⃗ 𝑏𝑏�⃗ = �𝑏𝑏�⃗� ∙ пр𝑏𝑏�⃗ 𝑎𝑎⃗
ººðººð õýëáýë ( a

b

) ñêàëÿð ¿ðæâýð íü íýã âåêòîðûí ìîäóëèéã íºãººãèéí íýãä¿ãýýð
äýýðõ ïðîåêöîîð ¿ðæ¿¿ëñýíòýé òýíö¿¿.

6. 4. )(||)(cos||||)( anpbnpacbnpacbacba baa
  +=+⋅=+⋅=+ ϕ =
)()(|||| cabacnpabnpa aa
  +=+
𝑎𝑎⃗ ∙ �𝑏𝑏�⃗ + 𝑐𝑐⃗� = 𝑎𝑎⃗ ∙ 𝑏𝑏�⃗ + 𝑎𝑎⃗ ∙ 𝑐𝑐⃗
6. Õýðýâ a

=b

áîë 𝑎𝑎⃗ ∙ 𝑎𝑎⃗ = |𝑎𝑎⃗||𝑎𝑎⃗|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = |𝑎𝑎⃗| ∙ |𝑎𝑎⃗|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐00
= |𝑎𝑎⃗|2
22 →→→→
==⋅ aaaa
ñêàëÿð êâàäðàò
àëèâàà âåêòîðûí ñêàëÿð êâàäðàò íü ò¿¿íèé ìîäóëèéí êâàäðàòòàé òýíöýíý.
- Õýðýâ âåêòîð êîîðäèíàòààð ºãñºí бол ( ) ( )22211 ;;b;; zyxzyxa
→→
a

=X1 i

+Y1 j

+Z1 k

, b

=X2 i

+Y2 j

+Z2 k

áîëîõ áà (i

⋅i

)=( j

⋅ j

)=( k

⋅ k

)=1⋅1⋅cos00
=1
,( i

, j

)= cos900
=0 ( j

, k

)=0, ( i

, k

)=0 òóë
Скаляр үржвэр нь 𝑎𝑎⃗ ∙ 𝑏𝑏�⃗ = 𝑥𝑥1∙ 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦1 ∙ 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧1 ∙ 𝑧𝑧2 болно..
Èéíõ¿¿ êîîðäèíàòààð ºãºãäñºí õî¸ð âåêòîðûí ñêàëÿð ¿ðæâýð íü òýäãýýðèéí èæèë
íýðòýé êîîðäèíàòóóäûí ¿ðæâýðèéí íèéëáýðòýé òýíöýíý.
Жишээлбэл |𝑎𝑎⃗| = 3 �𝑏𝑏�⃗� = 6 𝜑𝜑 = 600
𝑐𝑐⃗ = 3𝑎𝑎⃗ − 2𝑏𝑏�⃗ 𝑑𝑑⃗ = 5𝑎𝑎⃗ − 6𝑏𝑏�⃗ 𝑐𝑐⃗ ∙ 𝑑𝑑⃗ = ол.
Ýíý ä¿ðìýýñ àëèâàà âåêòîðûí ìîäóëü (óðò)-èéã êîîðäèíàòààð íü áîäîõ ä¿ðýì ,
Мөн косинусын теорем, параллелограмын хоёр диагоналын квадратуудын
нийлбэрийн теорем гарна.
Жишээлбэл
1. a

=b

áàéõàä äýýð ºã¿¿ëñýí ¸ñîîð a

âåêòîðûã kji

,, 3 òààð çàäàëñàí
çàäàðãàà çºâõºí ãàíö áàéõ òóë X1=X2,Y1=Y2,Z1=Z2 áîëæ (a

a

)=| a

|2
=X1
2
+Y1
2
+Z1
2
¯¿íýýñ | a

|= 2
1
2
1
2
1 ZYX ++
2.Ñêàëÿð ¿ðæâýð àøèãëàæ êîñèíóñûí òåîðîìûã ãàðãà. Õýðýâ ãóðâàëæèí à,b õî¸ð
òàë áà òýäãýýðèéí õîîðîíäîõ ϕ ºíö㺺ð ºãºãäñºí áàéâàë ãóðàâ äàõü òàëûã íü ñ ãýæ
òýìäýãëýõýä bac

−=

7. a

b

a

-b

a

+b

b

a

Êâàäðàò çýðýãò äýâø¿¿ëáýë 222
)(2 bbaac

+−= áóþó ϕcos2222
abbac −+=
3. Ïàðàëåëüãðàììûí õî¸ð äèîãíàëóóäûí êâàäðàòóóäûí íèéëáýðèéí òåîðîìûã
áàòàë.
2222
2222
2||)(
2||)(
bbaabaab
bbaababa


+−=−=−
++=+=+
Õîîðîíä íü íýìáýë
)(2|||| 2222
bababa +=−++

Õî¸ð âåêòîðûí âåêòîð ¿ðæâýð
Òîäîðõîéëîëò- Äàðààõ 3- í íºõöºëººð òîäîðõîéëîãäîõ âåêòîðûã хоёр
âåêòîðûí âåêòîð ¿ðæâýð ãýíý.
1.
2. Õî¸ð âåêòîðûí ¿ðæâýð âåêòîð íü - èéí îðøèõ õàâòãàéä ïåðïåíäèêóëÿð
áàéíà.
3. ¯ðæâýð âåêòîðûí ¿ç¿¿ðýýñ õàðàõàä -ýýñ - ð¿¿ öàãèéí ç¿¿íèé ýñðýã
÷èãëýëòýé õàðàãäàíà ººðººð õýëáýë áàðóóí ãàðûí ä¿ðýì.үүнийг баруун гарын
дүрэм гэнэ.
- Âåêòîðóóäûí âåêòîð ¿ðæâýðèéí ìîäóëü íü -âåêòîðîîð áàéãóóëàãäñàí
ïàðàëåëîãðàììûí òàëáàéòàé òýíö¿¿.
Õýðýâ âåêòîð êîîðäèíàòààð ºãñºí áîë вектор үржвэр нь
ϕsin⋅⋅=×
→→→→
baba
→→
b;a
→
a
→
b
→→
b;a
sbaba =⋅⋅=×
→→→→
ϕsin
( ) ( )22211 ;;b;; zyxzyxa
→→

8. ýñâýë
Âåêòîðûã êîîðäèíàòûí ñóóðèàð çàäàëæ áîëíî. 𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏�⃗ = �
𝑦𝑦1 𝑧𝑧1
𝑦𝑦2 𝑧𝑧2
� ∙ 𝚤𝚤⃗ − �
𝑥𝑥1 𝑧𝑧1
𝑥𝑥2 𝑧𝑧2
� ∙ 𝚥𝚥⃗+
�
𝑥𝑥1 𝑦𝑦1
𝑥𝑥2 𝑦𝑦2
� ∙ 𝑘𝑘�⃗
→→→
kji - íýãæ âåêòîð ãýíý. 𝚤𝚤⃗ × 𝚤𝚤⃗ = 0 𝚥𝚥⃗× 𝚥𝚥⃗ = 0 𝑘𝑘�⃗ × 𝑘𝑘�⃗ = 0 𝚤𝚤⃗ × 𝚥𝚥⃗ = 1 𝚥𝚥⃗× 𝑘𝑘�⃗ =
1 𝑘𝑘�⃗ × 𝚤𝚤⃗ = 1
Жишээлбэл
-âåêòîðîîð áàéãóóëàãäñàí ïàðàëåëîãðàììûí òàëáàéòàéг ол.
𝑎𝑎⃗ = 𝑝𝑝⃗ + 𝑞𝑞⃗ 𝑏𝑏�⃗ = 𝑝𝑝⃗ − 2𝑞𝑞⃗ |𝑝𝑝|�����⃗ = 2 |𝑞𝑞⃗| = 3 𝜑𝜑 =
𝜋𝜋
4
Вектор үржвэр нь дараах чанаруудтай
1. 𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏�⃗ = −�𝑏𝑏�⃗ × 𝑎𝑎⃗� âåêòîðûí áàéð ñîëèõîä òýìäýã ýñðýãýýð ñîëèãäîíî
2. 𝑎𝑎⃗ × �𝑏𝑏�⃗ + 𝑐𝑐⃗� = �𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏�⃗� + (𝑎𝑎⃗ × 𝑐𝑐⃗)
3. (⋋∙ 𝑎𝑎⃗) × 𝑏𝑏�⃗ = 𝑎𝑎⃗ × �⋋∙ 𝑏𝑏�⃗� =⋋∙ �𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏�⃗�
4. 𝑎𝑎⃗ × 𝑎𝑎⃗ = 0
5. a

≠0, b

≠0 êîëëèíåàð áîë ñ

= a

xb

=0
Âåêòîðûí õîëèìîã ¿ðæâýð
-
→→→
cba ;; ãóðâàí âåêòîðîîñ çîõèîñîí
→→→
⋅





× cba ¿ðæâýðèéã ººðººð õýëâýë
→→
× ba -
âåêòîр
¿ðæâýðèéã
→
c - âåêòîðîîð ñêàëÿð ¿ðæ¿¿ëñýíèéã ãóðâàí âåêòîðûí хîëèìîã ¿ðæâýð
ãýíý.
Ýíý ¿ðæâýð íü óóë ãóðâàí âåêòîðîîð áàéãóóëàãäñàí ïàðàëëåëîïèïåäèéí
ýçýëõ¿¿íòýé òýíö¿¿.
ϕcos⋅⋅×=⋅





×
→→→→→→
cbacba
-íü ïàðàëåëîãðàìèéí òàëáàé
- íü ºíäºð








=×
→→
22
11
22
11
22
11
;;
yx
yx
zx
zx
zy
zy
ba
222
111
zyx
zyx
kji
ba =×
→→
→→
b;a






×
→→
ba
ϕcos⋅
→
c

9. -íü -âåêòîð - èéí õîîðîíäîõ ºíöºã.
0=⋅





×
→→→
cba áîë ýíý ãóðван вектор êîìïëàíàð áàéíà.
Âåêòîð êîîðäèíàòààð ºãñºí áîë õîëèмог үржвэр
333
222
111
zyx
zyx
zyx
cba =⋅





×
→→→
áàéíà.
Жишээлбэл
𝑎𝑎⃗ = (2; −1; 3) 𝑏𝑏�⃗ = (−2; 1; 4) 𝑐𝑐⃗ = (0; 3; −3) бол
→→→
⋅





× cba
ϕ 





×
→→
ba
→
c