Download luận văn thạc sĩ với đề tài: Lý thuyết cực trị và ứng dụng trong đo lường rủi ro tài chính, cho các bạn tham khảo Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620 Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://baocaothuctap.net

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Lê Đức Thọ
LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐO
LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2011

2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Lê Đức Thọ
LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐO
LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.15
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. Trần Trọng Nguyên
Hà Nội - 2011

3. Mục lục
Lời mở đầu 3
Lời cảm ơn 5
Chương 1. Tổng quan về lý thuyết cực trị 6
1.1. Phân phối cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Miền hấp dẫn cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Hàm phân phối vượt ngưỡng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4. Phân phối Pareto tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5. Hàm phân vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6. Biểu đồ Q-Q và P-P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7. Ước lượng các mô hình cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8. Một số mô hình cực trị mở rộng và mối liên hệ các mô hình . . . . . . . . . 29
Chương 2. Ứng dụng lý thuyết cực trị trong đo lường rủi ro tài
chính 32
2.1. Rủi ro tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2. Mô hình đo lường rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1. Mô hình độ đo rủi ro chặt chẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2. Mô hình VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1

4. 2.2.3. Mô hình ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.4. Phương pháp ước lượng thực nghiệm cho ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.5. Một số độ đo rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.6. Một số công thức tính cho các độ đo rủi ro cho các phân phối
thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3. Tham số hóa biến lợi nhuận, biến thua lỗ và biến rủi ro . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.1. Biểu diễn biến lợi nhuận và biến thua lỗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.2. Sự thua lỗ với tài sản đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.3. Sự thua lỗ với danh mục đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4. Một số phương pháp tính các độ rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.1. Phương pháp tính Varq từ phân phối thua lỗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5. Phương pháp tính giá trị trong rủi ro đầu tư vốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.1. Giá trị rủi ro trong đầu tư vốn với danh mục tài sản đơn . . . . . . . . . . 49
2.5.2. Giá trị rủi ro trong đầu tư vốn cho một tập hợp các danh mục
đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6. Ứng dụng lý thuyết cực trị trong mô hình hóa đuôi của chuỗi lợi
suất chứng khoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7. Áp dụng EVT để đo lường rủi ro trong đầu tư cổ phiếu ACB . . . . . . . . . 54
2.7.1. Số liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.7.2. Ước lượng phân phối vượt ngưỡng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.7.3. Ước lượng giá trị rủi ro Varq và mức tổn thất kỳ vọng ESq . . . . . . . 60
Kết luận 63
Tài liệu tham khảo 64
2

5. LỜI MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, thị trường tài chính thế giới đã chứng kiến nhiều
sự đổ vỡ của các định chế và tổ chức lớn, chẳng hạn: cuộc khủng hoảng thị
trường chứng khoán thế giới (1987), khủng hoảng thị trường trái phiếu Mỹ
(1990), khủng hoảng tài chính châu Á (1997),... và mới đây là cuộc khủng hoảng
thị trường vay thế chấp của Mỹ, hậu quả là gây ra khủng hoảng tài chính và suy
giảm kinh tế toàn cầu. Các sự kiện trên tưởng như hiếm khi xảy ra nhưng gần
đây lại xảy ra thường xuyên và có những ảnh hưởng tiêu cực cho thị trường tài
chính cả về quy mô lẫn mức độ tổn thất. Nguyên nhân chủ yếu là nghiệp vụ
quản lý rủi ro chưa được tốt. Do đó, việc nhận diện, đo lường và phòng hộ rủi
ro để giảm thiểu tổn thất, nhằm đảm bảo sự hoạt động an toàn cho các tổ chức
tài chính là một việc rất quan trọng.
Rủi ro tài chính có thể chia thành các loại: rủi ro thị trường, rủi ro tín dụng,
rủi ro lãi suất, rủi ro thanh khoản, rủi ro hoạt động,...trong đó rủi ro thị trường
đóng một vai trò quan trọng. Trong đo lường rủi ro tài chính nếu chỉ dựa vào
các phân tích định tính thì thì chưa đủ, mà quan trọng hơn là phải hình thành và
phát triến các phương pháp lượng hóa mức rủi ro và tổn thất tài chính.
Lý thuyết cực trị (Extreme Value Theory - EVT) là một công cụ giúp ta mô
tả được các biến cố hiếm trong các lĩnh vực của kinh tế, xã hội, ... những biến
cố này xảy ra thường gây nên những hậu quả đáng kể như một số ví dụ nêu trên.
Với mong muốn tìm hiểu về vấn đề trên, em chọn đề tài luận văn thạc sỹ là:
Lý thuyết cực trị và ứng dụng trong đo lường rủi ro tài chính
Nội dung của luận văn bao gồm 2 chương:
• Chương 1: Tổng quan về lý thuyết cực trị. Chương này trình bày định lý
của Fisher, Tippet (1928) và Gnedeko (1943) về phân loại hàm cực trị, khái
niệm về miền hấp dẫn cực đại, điều kiện cần và đủ để một hàm phân phối
F nằm trong miền hấp dẫn của G, biểu đồ Q−Q và P−P, ...vv.
• Chương 2: Ứng dụng lý thuyết cực trị trong đo lường rủi ro thị trường tài
chính. Chương này tập trung làm rõ các khái niệm và công thức tính của
các độ rủi ro như VaRq, ESq là các thước đo thông dụng trong quản trị rủi
ro. Áp dụng lý thuyết EVT để mô hình hóa đuôi của chuỗi lợi suất chứng
khoán RACB. Từ đó ước lượng mức độ tổn thất có thể xảy ra khi đầu tư vaò
cổ phiếu này.
3

6. Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên nội
dung không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự
góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn hoàn
chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011
Học viên
Lê Đức Thọ
4

7. LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Trọng Nguyên người đã tận tình hướng dẫn để em có thể
hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc
Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn
bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và
thực hiện luận văn tốt nghiệp cao học .
Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011
Học viên
Lê Đức Thọ
5

8. Chương 1
Tổng quan về lý thuyết cực trị
1.1 Phân phối cực trị
Cho X1,X2,...,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với hàm
phân phối là F và x∗ là điểm phải của F, tức là
x∗
= sup{x : F(x) < 1},x∗
có thể là vô hạn
Khi đó, max(X1,X2,...,Xn)
P
→ x∗, khi n → ∞, trong đó ký hiệu
P
→ là hội tụ
theo xác suất, vì
P(max(X1,X2,...,Xn) ≤ x) = P(X1 ≤ x,X2 ≤ x,...,Xn ≤ x) = Fn
(x)
hội tụ theo xác suất đến 0 nếu x < x∗ và 1 nếu x ≥ x∗.
Giả sử tồn tại dãy hằng số an > 0 và bn thực n = 1,2,··· sao cho:
max(X1,X2,...,Xn)−bn
an
có giới hạn là một hàm phân phối không suy biến khi n → ∞, nghĩa là:
lim
n→∞
Fn
(anx+bn) = G(x). (1.1)
Trong chương này, chúng ta sẽ đi tìm tất cả các hàm phân phối G có thể xảy
ra trong giới hạn (1.1) và các hàm này được gọi là các hàm phân phối giá trị cực
6

9. trị.
Tiếp theo với mỗi phân phối giới hạn trên, chúng ta sẽ tìm điều kiện cần và
đủ cho hàm phân phối F ban đầu sao cho (1.1) được thỏa mãn. Lớp các hàm
phân phối F thỏa mãn (1.1) được gọi là miền hấp dẫn cực đại hay đơn giản là
miền hấp dẫn của G.
Từ (1.1) với mỗi x sao cho 0 < G(x) < 1, lấy logarit hai vế, ta có
lim
n→∞
nlogF(anx+bn) = logG(x). (1.2)
Rõ ràng rằng F(anx+bn) → 1, với mỗi x. Do đó:
lim
n→∞
−
logF(anx+bn)
1−F(anx+bn)
= 1,
và (1.2) tương đương với:
lim
n→∞
n[1−F(anx+bn)] = −logG(x),
hoặc
lim
n→∞
1
n[1−F(anx+bn)]
= −
1
logG(x)
. (1.3)
Với mỗi hàm không giảm f, kí hiệu: f←(x) := inf{y : f(y) ≥ x}, ta có bổ
đề sau.
Bổ đề 1.1.1. Giả sử fn là một dãy các hàm không giảm và g là một hàm không
giảm. Giả sử rằng mỗi x trong khoảng (a,b) là điểm liên tục của g:
lim
n→∞
fn(x) = g(x). (1.4)
Khi đó với mỗi x ∈ (g(a),g(b)) là điểm liên tục của g← thì:
lim
n→∞
f←
n (x) = g←
(x). (1.5)
Chứng minh. Cho x là một điểm liên tục của g←. Cố định ε > 0, ta chứng minh
với n,n0 ∈ N, n ≥ n0 :
f←
n (x)−ε ≤ g←
(x) ≤ f←
(x)+ε.
Ta chứng minh vế phải còn vế trái chứng minh tương tự. Chọn 0 < ε1 < ε
sao cho g←(x)−ε1 là điểm liên tục của g, điều này là chọn được vì tập các điểm
7

10. liên tục của g là trù mật. Do g← là liên tục tại x, g←(x) là một điểm của hàm
tăng g, do đó g(g←(x)− ε1) < x. Chọn σ < x− g(g←(x)− ε1). Do g←(x)− ε1
là điểm liên tục của g, do đó tồn tại n0 sao cho:
fn(g←
(x)−ε1) < g(g←
(x)−ε1)+σ < x (∀ n ≥ n0).
Từ định nghĩa của hàm f←
n suy ra: g←(x)−ε1 ≤ f←
n (x).
Chúng ta áp dụng bổ đề 1.1.1 cho (1.3). Cho U =
1
1−F
←
, chú ý U(t)
xác định với mọi t > 1, khi đó (1.3) tương đương với
lim
n→∞
U(nx)−bn
an
= G←
(e−1
x ) =: D(x) (1.6)
với mỗi x > 0.
Định lý 1.1.2. Cho an > 0 và bn là dãy hằng số thực, G là một hàm phân phối
không suy biến. Các mệnh đề sau là tương đương:
1. lim
n→∞
Fn
(anx+bn) = G(x), tại mỗi điểm liên tục x của G.
2.
lim
t→∞
t[1−F(a(t)x+b(t))] = −logG(x), (1.7)
với mỗi điểm liên tục x của G sao cho 0 < G(x) < 1, a(t) := a[t],
b(t) := b[t] ([t] là phần nguyên của t).
3.
lim
t→∞
U(tx)−b(t)
a(t)
= D(x) (1.8)
với mỗi x > 0 là điểm liên tục của D(x) = G←
(e−1
x ).
Chứng minh. Tính tương đương của 2. và 3. được suy ra từ bổ đề 1.1.1. Ta đã
kiểm tra là 1. tương đương (1.6). Do đó, ta chỉ cần chứng minh (1.6) suy ra 3.
Cho x là điểm liên tục của D. Với mọi t ≥ 1,
U([t]x)−b[t]
a[t]
≤
U(tx)−b[t]
a[t]
≤
U [t]x 1+
1
[t]
−b[t]
a[t]
.
8

11. Vế phải trong bất đẳng thức trên nhỏ hơn D(x ), với mọi điểm liên tục x > x
và D(x ) > D(x). Do D là liên tục tại x, ta có:
lim
t→∞
U(tx)−b[t]
a[t]
= D(x).
Chúng ta cần xác định lớp các hàm phân phối không suy biến có trong giới
hạn ở (1.1). Lớp các phân phối này gọi là lớp các phân phối cực trị, kí hiệu là
EV.
Định lý 1.1.3. (Fisher, Tippet (1928) và Gnedenko (1943)) Lớp các hàm phân
phối cực trị là Gγ(ax+b) với a > 0, b ∈ R, ở đây:
Gγ(x) = exp −(1+γx)−1
γ , 1+γx > 0 (1.9)
γ là số thực khác 0; trường hợp γ = 0 thì vế phải (1.9) được coi là hàm số
exp(−e−x).
Chứng minh. Xét lớp các phân phối giới hạn D trong (1.8). Đầu tiên, giả sử rằng
1 là điểm liên tục của D. Khi đó với mọi điểm liên tục x > 0,
lim
t→∞
U(tx)−U(t)
a(t)
= D(x)−D(1) := E(x). (1.10)
Lấy y > 0 và viết
U(txy)−U(t)
a(t)
=
U(txy)−U(ty)
a(ty)
·
a(ty)
a(t)
+
U(ty)−U(t)
a(t)
. (1.11)
Với điều kiện lim
t→∞
U(ty)−U(t)
a(t)
và lim
t→∞
a(ty)
a(t)
cùng tồn tại.
Giả sử không đúng, thì tồn tại A1,A2,B1,B2 với A1 khác A2 hoặc B1 khác
B2, ở đây Bi là các điểm giới hạn của
U(ty)−U(t)
a(t)
và Ai là các điểm giới hạn
của
a(ty)
a(t)
, i = 1,2 khi t → ∞. Ta tìm từ (1.11) để
E(xy) = E(x)Ai +Bi, i = 1,2, (1.12)
9

12. với tất cả các điểm liên tục x của E(·) và E(·y). Cho x tùy ý, lấy một dãy các
điểm xn sao cho xn → x khi n → ∞, thì E(xny) → E(xy) và E(xn) → E(x), vì E
là liên tục trái. Do (1.12) thỏa mãn với mọi x và y > 0.
Trừ các biểu thức cho nhau với i = 1,2, ta có được
E(x)(A1 −A2) = B2 −B1, với mọi x > 0.
Vì E không thể là hằng số (hàm G là không suy biến) nên A1 = A2 và do đó
B1 = B2. Cuối cùng :
A(y) := lim
t→∞
a(ty)
a(t)
tồn tại với mọi y > 0, và với x,y > 0,
E(xy) = E(x)A(y)+E(y).
Từ đó với s = logx, t := logy ( x,y khác 1 ), và H(x) := E(ex), ta có
H(t +s) = H(s)A(et
)+H(t). (1.13)
Ta có thể viết lại như sau (do H(0) = 0):
H(t +s)−H(t)
s
=
H(s)−H(0)
s
A(et
). (1.14)
Tồn tại t sao cho tại đó hàm H là khả vi (do H đơn điệu); vì vậy từ (1.14) H
khả vi tại mọi điểm và
H (t) := H (0)A(et
). (1.15)
Đặt Q(t) :=
H(t)
H (0)
. Chú ý rằng H (0) khác 0: H không là hằng số do G
không suy biến, khi đó Q(0) = 0, Q (0) = 1.
Từ (1.13):
Q(t +s)−Q(t) = Q(s)A(et
),
và từ (1.15):
Q(t +s)−Q(t) = Q(s)Q (t). (1.16)
Trừ các biểu thức trên cho nhau ta có:
Q(t)·
Q (s)−1
s
=
Q(s)
s
[Q (t)−1].
10

13. Cho s → 0, ta có,
Q(t)Q (0) = Q (t)−1.
Từ đó suy ra Q khả vi cấp 2 và ta có,
Q (0)Q (t) = Q (t).
Do đó
(logQ ) (t) = Q (0) := γ ∈ R, ∀ t.
Từ đó suy ra Q (t) = eγt, (Q (0) = 1) và:
Q(t) =
t
0
eγs
ds, (Q(0) = 0).
Điều này nghĩa là:
H(t) = H (0)·
eγt −1
γ
,
và
D(t) = D(1)+H (0)·
tγ −1
γ
.
Do đó
D←
(x) = 1+γ ·
x−D(1)
H (0)
1
γ
. (1.17)
Bây giờ D(x) = G←
(e−1
x ), và do đó
D←
(x) = −
1
logG(x)
. (1.18)
Từ (1.17) và (1.18), ta có kết luận của định lý.
Nếu 1 không phải điểm liên tục của D thì ta chứng minh với hàm số U(tx0),
với x0 là điểm liên tục của D.
Định nghĩa 1.1.4. Cho X1,X2,...,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân
phối, với hàm phân phối F. Hàm phân phối F được gọi là max-ổn định nếu chọn
được dãy an > 0 và bn sao cho:
P
max(X1,X2,...,Xn)−bn
an
≤ x = P(X1 ≤ x)
với mọi x và n = 1,2....
11

14. Hình 1.1: Họ các phân phối cực trị Gγ
Định nghĩa 1.1.5. Tham số γ trong (1.9) gọi là chỉ số cực trị.
Chú ý 1.1.6. Bằng cách tham số hóa chỉ số cực trị trong (1.9), ta có:
• Với γ > 0, sử dụng hàm Gγ(x−1
γ ), đặt α =
1
γ
> 0,
Φα(x) =



0, x ≤ 0
exp(−x−α), x > 0.
Lớp phân phối này gọi là lớp phân phối Fr´echet, còn kí hiệu là EV1 :
G1,α(x).
• Với γ = 0, G0(x) = exp(−e−x) với mọi x ∈ R. Phân phối này gọi phân phối
Gumbel, còn kí hiệu là (EV0).
• Với γ < 0, dùng hàm Gγ −
1+x
γ
,và với α = −
1
γ
> 0,
Ψα(x) =



exp(−(−xα)), x < 0
1, x ≥ 0.
12

15. Lớp phân phối này gọi là lớp phân phối Weibull, còn kí hiệu là EV2 :
G2,α(x).
Nhắc lại là nếu (1.1) được thỏa mãn với G = Gγ, với γ ∈ R, ta nói rằng phân
phối F nằm trong miền hấp dẫn của Gγ. Kí hiệu là: F ∈ D(Gγ).
Định lý 1.1.7. Cho γ ∈ R. Các mệnh đề sau là tương đương:
1. Tồn tại các hằng số thực an > 0 và bn thực sao cho
lim
n→∞
Fn
(anx+bn) = Gγ(x) = exp −(1+γx)
−1
γ , ∀x với 1+γx > 0.
(1.19)
2. Tồn tại một hàm dương a sao cho với x > 0,
lim
t→∞
U(tx)−U(t)
a(t)
= Dγ(x) =
xγ −1
γ
, (1.20)
ở đây với γ = 0 thì vế phải được coi là logx.
3. Có một hàm dương a sao cho
lim
t→∞
t[1−F(a(t)x+U(t))] = (1+γx)
−1
γ , ∀x với 1+γx > 0. (1.21)
4. Có một hàm dương f sao cho:
lim
t→x∗
1−F[t +xf(t)]
1−F(t)
= (1+γx)
−1
γ , ∀xvới 1+γx > 0, (1.22)
ở đây x∗ = sup{x : F(x) < 1}.
Ngoài ra (1.19) thỏa mãn với bn := U(n) và an := a(n). Tương tự, (1.22) thỏa
mãn với f(t) =
a
1−F(t)
.
Chứng minh. Chứng minh tính tương đương của 1., 2. và 3. được suy ra từ định
lý 1.1.2.
Ta chứng minh 2. ⇒ 4.: Với mọi ε > 0, dễ nhận thấy rằng
g(h←
(t)−ε) ≤ t ≤ g(h←
(t)+ε),
13

16. Với g là một hàm không giảm và h← là hàm ngược liên tục phải của nó. Từ đó
suy ra
(1−ε)γ −1
γ
←
U
1−ε
1−F(t)
−U
1
1−F(t)
a 1
1−F(t)
<
t −U 1
1−F(t)
a 1
1−F(t)
<
U
1+ε
1−F(t)
−U
1
1−F(t)
a 1
1−F(t)
→
(1+ε)γ −1
γ
.
khi t → x∗, và suy ra
lim
t→x∗
t −U 1
1−F(t)
a 1
1−F(t)
= 0.
Từ 2., với mọi x > 0,
lim
t→x∗
U 1
1−F(t) −t
a 1
1−F(t)
=
xγ −1
γ
,
và từ bổ đề 1.1.1,
lim
t→x∗
1−F(t)
1−F t +xa
1
1−F(t)
= (1+γx)
1
γ ,
nghĩa là 4. thỏa mãn. Ngược lại 4. ⇒ 2. được chứng minh tương tự.
Ví dụ 1.1.8. Cho F là hàm phân phối chuẩn tắc. Ta sẽ chứng minh (1.3) đúng:
với mọi x > 0,
lim
n→∞
n[1−F(anx+bn)] = e−x
(1.23)
với
bn := (2logn−loglogn−log(4π))1/2
(1.24)
và
an :=
1
bn
. (1.25)
14

17. Đầu tiên, chú ý rằng bn/(2logn)1/2 → 1 khi n → ∞; vì vậy
logbn −2−1
loglogn−2−1
log2 → 0
và do đó
b2
n
2
+logbn −logn+
1
2
log(2π) → 0, (1.26)
khi n → ∞. Bây giờ do (1.25),
−
d
dx
n[1−F(anx+bn)] =
n
bn
√
2π
exp −
x
bn
+bn
2
/2
= exp −
b2
n
2
+logbn −logn+
1
2
log(2π) e−x2/(2b2
n)
e−x
→ e−x
với x ∈ R. Vì vậy
n[1−F(anx+bn)] =
n
bn
√
2π
∞
x
exp −
u
bn
+bn
2
/2 du
= exp −
b2
n
2
+logbn −logn+
1
2
log(2π)
∞
x
e−u2/(2b2
n)
e−u
du → e−x
bởi định lý Lebesgue về hội tụ trội. Vì vậy (1.23) đúng.
Do trong giới hạn (1.23), chúng ta có thể thay an bởi an, bn bởi bn với điều
kiện là an/an → 1, (bn − bn)/an → 0, chúng ta có thể thay an, bn từ (1.24) và
(1.25) bởi
bn = (2logn)1/2
−
loglogn+log(4π)
(2logn)1/2
và an = (2logn)−1/2
.
1.2 Miền hấp dẫn cực đại
Trong phần này, ta sẽ chỉ ra điều kiện cần và đủ cho hàm phân phân phối
F nằm trong miền hấp dẫn của G.
Ta xác định điều kiện miền hấp dẫn từ (1.8) với
D(x) =
xγ −1
γ
, lim
t→∞
U(tx)−U(t)
a(t)
=
xγ −1
γ
(1.27)
với mọi x > 0, γ là tham số thực, a là một hàm dương.
15

18. Định lý 1.2.1. Hàm phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của phân phối cực
trị Gγ nếu và chỉ nếu
1. Với mọi γ > 0, x∗ := sup{x : F(x) < 1} là vô hạn và
lim
t→∞
1−F(tx)
1−F(t)
= x
−
1
γ , với mọi x > 0. (1.28)
Điều này có nghĩa là hàm 1−F là biến đổi chính tắc tại vô hạn với chỉ số −1
γ
2. Với mọi γ < 0, x∗ là hữu hạn và
lim
t→0
1−F(x∗ −tx)
1−F(x∗ −t)
= x
−1
γ , với mọi x > 0. (1.29)
3. Với γ = 0, x∗ có thể là hữu hạn hoặc vô hạn và
lim
t→x∗
1−F(t +xf(t))
1−F(t)
= e−x
(1.30)
với mọi x ∈ R, ở đây f là một hàm hợp lý dương. Nếu (1.30) thỏa mãn với hàm
f thì
x∗
t
(1−F(s))ds < ∞, với mọi t < x∗
.
và (1.30) thỏa mãn với
f(t) =
x∗
t
(1−F(s))ds
1−F(t)
. (1.31)
Định lý 1.2.2. Hàm phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của phân phối cực
trị Gγ nếu và chỉ nếu
1. Với γ > 0: F(x) < 1 với mọi x,
∞
1
1−F(x)
x
dx < ∞ và
lim
t→∞
∞
t
(1−F(x))dx
1−F(t)
= γ. (1.32)
16

19. 2. Với γ < 0: tồn tại x∗ < ∞ sao cho
x∗
x∗−t
1−F(x)
x∗ −x
dx < ∞ và
lim
t→0
x∗
x∗−t
1−F(x)
x∗ −x
dx
1−F(x∗ −t)
= −γ. (1.33)
3. Với γ = 0 (x∗ có thể hữu hạn hoặc vô hạn):
x∗
x
x∗
t
[1−F(s)]dsdt < ∞ và hàm
h xác định bởi:
h(x) =
(1−F(x))
x∗
x
x∗
t
[1−F(s)]dsdt
x∗
x
(1−F(s))ds
2
(1.34)
thỏa mãn
lim
t→x∗
h(t) = 1. (1.35)
Chú ý 1.2.3. Giới hạn (1.32) tương đương với: lim
t→∞
E(logX −logt|X > t) = γ.
Thật vậy
∞
t
1−F(x)
x
dx
1−F(t)
= E(logX −logt|X > t),từ đó
∞
t
(logx−logt)dF(x) =
∞
t
1−F(x)
x
dx.
Hệ thức (1.32) và (1.33) là cơ sở cho ước lượng Hill của γ. Tương tự (1.33)
biểu diễn như:
lim
t→0
E(log(x∗
−X)−logt|X > x∗
−t) = γ.
17

20. Hệ quả 1.2.4. Nếu F nằm trong miền hấp dẫn của Gγ thì
1. Với γ > 0:
lim
n→∞
Fn
(anx) = exp −x
−1
γ ,
với mọi x > 0 và an := U(n);
2. Với γ < 0:
lim
n→∞
Fn
(anx+x∗
) = exp −(−x)
−1
γ ,
với mọi x < 0 và an := x∗ −U(n);
3. Với γ = 0:
lim
n→∞
Fn
(anx+bn) = exp(−e−x
),
với mọi x và an = f(U(n)), bn = U(n), hàm f như trong định lý 1.2.1 ý 3.
Định lý 1.2.5. Hàm phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của phân phối cực
trị Gγ nếu và chỉ nếu với một hàm dương f,
lim
t→x∗
1−F(t +xf(t))
1−F(t)
= (1+γx)
−1
γ (1.36)
với mọi x, 1+γx > 0. Nếu (1.36) thỏa mãn với f > 0 thì nó thỏa mãn với
f(t) =



γt, γ > 0
−γ(x∗ −t), γ < 0
x∗
t
1−F(x)
1−F(t)
dx, γ = 0.
Hơn nữa nếu f thỏa mãn (1.36) thì thỏa mãn
lim
t→∞
f(t)
t
= γ, γ > 0,
lim
t→x∗
f(t)
x∗ −t
= −γ, γ < 0,
f(t) ∼ f1(t),với f1(t) là hàm nào đó mà lim
t→x∗
f1(t) = 0, γ = 0.
(1.37)
18

21. Định lý 1.2.6. Hàm phân phối F nằm trong D(Gγ) nếu và chỉ nếu tồn tại các
hàm dương c và f, f liên tục, sao cho với mọi t ∈ (t0,x∗), t0 < x∗,
1−F(t) = c(t)exp −
t
t0
ds
f(s)
với lim
t→x∗
c(t) = c ∈ (0,∞).
lim
t→∞
f(t)
t
= γ, γ > 0
lim
t→x∗
f(t)
x∗ −t
= −γ, γ < 0,
lim
t→x∗
f (t) = 0 và lim
t→x∗
f(t) = 0 nếu x∗
< ∞, γ = 0.
Để chứng minh các định lý trên chúng ta cần một số kết quả của các bổ đề
sau :
Bổ đề 1.2.7. Giả sử (1.27) thỏa mãn.
1. Nếu γ > 0, thì
lim
t→∞
U(t) = ∞ và lim
t→∞
U(t)
a(t)
=
1
γ
. (1.38)
2. Nếu γ < 0, thì lim
t→∞
U(t) < ∞ và U(∞) := lim
t→∞
U(t),
lim
U(∞)−U(t)
a(t)
= −
1
γ
. (1.39)
Đặc biệt điều này suy ra lim
t→∞
a(t) = 0.
3. Nếu γ = 0, thì
lim
t→∞
U(tx)
U(t)
= 1 (1.40)
với mọi x > 0 và lim
t→∞
a(t)
U(t)
= 0. Hơn nữa nếu U(∞) < ∞,
lim
t→∞
U(∞)−U(tx)
U(∞)−U(t)
= 1 (1.41)
19

22. với mọi x > 0 và lim
t→∞
a(t)
U(∞)−U(t)
= 0. Hơn nữa,
lim
t→∞
a(tx)
a(t)
= 1. ∀x > 0 (1.42)
Hệ quả 1.2.8. 1. Với γ > 0 thì (1.27) tương đương với
lim
t→∞
U(tx)
U(t)
= xγ
, với x > 0. (1.43)
2. Với γ < 0 thì (1.27) tương đương với U(∞) < ∞ và
lim
t→∞
U(∞)−U(tx)
U(∞)−U(t)
= xγ
, với x > 0. (1.44)
Bổ đề 1.2.9. Cho F1 và F2 là hai hàm phân phối có chung x∗. Cho F1 nằm trong
miền hấp dẫn của Gγ, tức là,
lim
t→∞
U1(tx)−U1(t)
a(t)
=
xγ −1
γ
, x > 0, (1.45)
ở đây a là hàm hợp lý dương và Ui =
1
1−Fi
←
, i = 1,2. Các mệnh đề sau là
tương đương:
1. lim
t→x∗
1−F2(t)
1−F1(t)
= 1.
2. lim
t→∞
U2(t)−U1(t)
a(t)
= 0.
Hơn nữa, từ mỗi mệnh đề trên suy ra là F2 nằm trong miền hấp dẫn của Gγ.
Chứng minh định lý 1.2.1 cho γ > 0: Từ định nghĩa hàm U(x), với mọi ε > 0,
U
1−ε
1−F(t)
≤ t ≤ U
1+ε
1−F(t)
hay
U
x
1−F(t)
U
1+ε
1−F(t)
≤ t−1
U
x
1−F(t)
≤
U
x
1−F(t)
U
1−ε
1−F(t)
. (1.46)
20

23. Giả sử (1.27) thỏa mãn, tức là ta có (1.43). Vế trái và vế phải hội tụ lần lượt
tới
x
1+ε
γ
và
x
1−ε
γ
, mệnh đề thỏa mãn với mọi ε > 0, tức là
lim
t→∞
t−1
U
x
1−F(t)
= xγ
. (1.47)
Áp dụng bổ đề 1.1.1 và (1.47), ta có kết quả của định lý
lim
t→∞
1−F(t)
1−F(tx)
= x
1
γ .
Chứng minh định lý 1.2.2 cho γ > 0: Từ (1.28) với ε > 0, t đủ lớn,
1−F(te)
1−F(t)
≤ e
ε − 1
γ ,
do đó,
1−F(ten)
1−F(t)
=
n
∏
k=1
1−F(tek)
1−F(tek−1)
≤ e
ε − 1
γ n
,
với mọi x > 1,
1−F(tx)
1−F(t)
≤
1−F(te[logx])
1−F(t)
≤ e
ε − 1
γ [logx]
≤ e
ε − 1
γ (1+logx)
= e
−1
γ +ε
·x
−1
γ +ε
.
Từ (1.28),
lim
t→∞
∞
1
1−F(tx)
1−F(t)
dx
x
=
∞
1
x
−1
γ
dx
x
= γ,
đó là (1.32). Mặt khác
∞
1
1−F(x)
x
dx < ∞, từ tính hội tụ, giả sử rằng
lim
t→∞
a(t) =
1
γ
21

24. với a(t) :=
1−F(t)
∞
t
1−F(x)
x dx
.
Chú ý rằng
−log
∞
t
1−F(x)
x
dx+log
∞
1
1−F(x)
x
dx =
t
1
a(x)
dx
x
.
Sử dụng định nghĩa của hàm a, ta có:
1−F(t) = a(t)
∞
t
1−F(x)
x
dx = a(t)
∞
1
1−F(x)
x
dxexp −
t
1
a(x)
x
dx ,
với mọi x > 0, t → ∞,
1−F(tx)
1−F(t)
=
a(tx)
a(t)
exp −
x
1
a(tγ)
dγ
γ
→ exp −
1
γ
x
1
dγ
γ
= x
−1
γ .
1.3 Hàm phân phối vượt ngưỡng
Cho F là một hàm phân phối và x∗ := sup{x : F(x) < 1}. Xét u là một
ngưỡng nhỏ hơn điểm bên phải x∗ của hàm F. Ta gọi F[u] là phân phối điều kiện
vượt ngưỡng tại u, nếu X là một biến ngẫu nhiên với phân phối F thì:
F[u]
(x) = P(X ≤ x|X > u) =
P(X ≤ x,X > u)
P(X > u)
=
F(x)−F(u)
1−F(u)
, (x ≥ u)
F[u](x) =
F(x)
F(u)
, (x ≥ u).
Với: F(x) = 1−F(x) được gọi là đuôi của phân phối F.
Điểm trái của F tại u là α(F[u]) = inf{x : F[u](x) > 0}. Ta có α(F[u]) = u.
1.4 Phân phối Pareto tổng quát
Ta có mối liên hệ giữa phân phối Pareto, kí hiệu là GPD và phân phối cực trị
EV:
W(x) = 1+logG(x) nếu logG(x) > −1.
22

25. Các dạng biểu diễn của hàm phân phối GPD thông qua hàm phân phối cực
trị EV ở chú ý 1.1.6 là:
• Phân phối mũ GP0: W0(x) =



0, x < 0
1−e−x, x ≥ 0
• Phân phối GP1, α > 0: W1,α(x) =



0, x < 1
1−x−α, x ≥ 1
• Phân phối GP2, α < 0: W2,α(x) =



1, x > 0
1−(−x)−α, −1 < x ≤ 0
0, x ≤ −1
Ta có các hàm mật độ tương ứng là:
• Mật độ mũ (GP0): w0 = e−x với x ≥ 0.
• Pareto (GP1), α > 0: w1,α(x) = αx−(1+α)
với x ≥ 1.
• Beta (GP2), α < 0: w2,α(x) = |α|(−x)−(1+α)
với −1 ≤ x ≤ 0.
Chúng ta phải thêm vào các hàm phân phối GPD hai tham số µ và σ để có được
một họ các thống kê đủ GPD, kí hiệu W1,α,µ,σ (x) = W1,α
x− µ
σ
.
Hàm phân phối GPD được gọi là liên tục đối với phân phối F, nếu ta chọn
được các hằng số bu và au thỏa mãn:
F[u]
(bu +aux) = F(x).
Ở đây F[u](x) =
F(x)−F(u)
1−F(u) là hàm phân phối vượt ngưỡng tại u.
• Hàm phân phối vượt ngưỡng của W0 có điểm trái bằng 0,
W
[u]
0,0,σ = W0,µ,σ
23

26. • Hàm phân phối vượt ngưỡng của W1,α,µ,σ với µ +σ < µ:
W
[u]
1,α,µ,σ = W1,α,µ,u−µ
• Hàm phân phối vượt ngưỡng Wγ,µ,σ với µ < u và σ +γ(u− µ) > 0,
W
[u]
γ,µ,σ = Wγ,u,σ+γ(u−µ)
2 4
0,5
1
2 4
0,5
1
Hình 1.2: Hình vẽ bên trái: mật độ mũ (nét đứt) và mật độ Pareto với γ = 0,5;
γ = 1. Hình vẽ bên phải: mật độ mũ (nét đứt) và mật độ beta với γ = −0,3;
γ = −0,5.
1 2 3
0,5
1
Hình 1.3: Hàm phân phối beta W−0,3 (nét liền) và phân phối vượt ngưỡng
W
[1]
−0,3 = W−0,3,1,0,7 (nét đứt).
24

27. 1.5 Hàm phân vị
Nếu hàm phân phối F là liên tục và tăng ngặt trên (α(F);x∗) thì hàm F←
sẽ là hàm ngược của F và để đơn giản ta kí hiệu là F−1:
F−1
(q) := inf{x : F(x) ≥ q} (0 < q < 1).
Chú ý: F−1(q) là q-phân vị của F. Khi đó, nếu Fµ,σ là phân phối có trung
bình là µ và độ lệch chuẩn σ thì:
F−1
µ,σ = µ +σF−1
ở đây F = F0,1 là phân phối chuẩn.
Hàm phân vị của phân phối cực trị EV với biểu diễn tham số α:
• Gumbel (EV0): G−1
0 (q) = −log(−log(q)).
• Fr´echet (EV1), α > 0: Φ−1
α (q) = (−log(q))− 1
α .
• Weibull (EV2), α < 0: Ψ−1
α (q) = −(−log(q))− 1
α .
Hàm phân vị của phân phối cực trị EV với biểu diễn tham số γ:
G−1
γ (q) =
(−log(q))−γ
−1
γ
, γ = 0
trường hợp γ = 0 ta có hàm phân vị Gumbel là G−1
0 .
Hàm phân vị của phân phối GPD với biểu diễn tham số α:
• dạng mũ (GP0): W−1
0 (q) = −log(1−q),
• Pareto (GP1), α > 0: W−1
1,α(q) = (1−q)− 1
α ,
• Beta (GP2), α < 0: W−1
2,α(q) = −(1−q)− 1
α .
25

28. 1.6 Biểu đồ Q-Q và P-P
• Biểu đồ Q-Q: Giả sử dãy dữ liệu x1,x2,...,xn có hàm phân phối Fµ,σ (x) =
F
x− µ
σ
với các tham số trung bình µ và độ lệch chuẩn σ > 0. Kí hiệu :
ˆFn(x) :=
1
n ∑
i≤n
I(xi ≤ x)
F = F0,1 là phân phối chuẩn, thống kê thứ tự của x1,...,xn kí hiệu là
x1:n ≤ x2:n ≤ ··· ≤ xn:n.
Giá trị của hàm phân vị ˆF−1
n (q) sẽ được vẽ tương ứng với F−1(q). Biểu đồ
Q−Q được vẽ bởi các điểm:
(F−1
(qi); ˆF−1
n (qi)), i = 1,n, qi =
i
n+1
.
Vì ˆF−1
n (qi) = xi:n, do đó
ˆF−1
n (qi) ≈ F−1
µ,σ (qi) = µ +σF−1
(qi).
Do đó, biểu đồ Q-Q là tập các điểm: (F−1(qi);xi:n), i = 1,n. Nó sẽ xấp xỉ
đồ thị (x;µ + σx). Hiển nhiên hệ số chặn và hệ số góc của biểu đồ Q-Q là ước
lượng của µ và σ, thông thường chọn qi =
i−0,5
n
.
•Biểu đồ P-P được cho bởi:
qi;F
xi:n − µn
σn
, i = 1,n
ở đây µn và σn là các ước lượng. Ta có
F
xi:n − µn
σn
= Fµn,σn( ˆF−1
n (qi)).
1.7 Ước lượng các mô hình cực trị
• Mô hình Gumbel (EV0): Đây là một mô hình truyền thống trong phân tích
giá trị cực trị. Nó được coi là mô hình chuẩn trong việc áp dụng vào các
26

29. lĩnh vực khác.
Phân phối chuẩn Gumbel là G0(x) = exp(−e−x). Bằng cách thêm vào các
tham số µ, σ có mô hình Gumbel (EV0):
EV0 : {G0,µ,σ , µ thực , σ > 0}
Các giá trị ước lượng cho µ và σ:
MLE (EV0): ước lượng MLEs cho µn và σn. Đầu tiên σn là nghiệm của
phương trình:
σn −n−1
∑
i≤n
xi +
∑xi exp −
xi
σ
∑exp −
xi
σ
= 0
dùng phương pháp ước lượng bình phương tối thiểu cho σ và các giá trị ban
đầu:
µn = −σn log n−1
∑
i≤n
exp −
xi
σn
.
Moment (EV0): ước lượng µ và σ được suy từ trung bình mẫu và phương
sai mẫu. Nhắc lại
λ =
∞
0
(−logx)e−x
dx
là hằng số Euler’s và Var G0 = π2/6.
σn =
√
6sn
π
, µn = x−σnλ
là ước lượng của µ, σ trong mô hình Gumbel. Ở đây, x là trung bình mẫu,
s2
n là phương sai mẫu.
• Mô hình Fr´echet (EV1): Phân phối chuẩn Fr´echet với tham số α > 0 được
cho bởi Φα = exp(−x−α) với x > 0. Với việc thêm tham số σ có mô hình
EV1:
EV1 : {G1,α,0,σ : α,σ > 0}.
Điểm α G
[u]
1,α,0,σ = 0.
27

30. • Mô hình Weibull (EV2): Phân phối chuẩn Weibull với tham số α < 0 được
cho bởi Ψα(x) = exp(−(−x)−α) với x ≤ 0. Mô hình:
EV2 : {G2,α,0,σ : α > 0,σ > 0}.
• Mô hình cực trị đồng nhất: Mô hình EV đồng nhất là mô hình cực đại quan
trọng nhất với các tham số µ,σ thì ta có:
EV : {Gγ,µ,σ : µ,γ thực ,σ > 0}.
•
Một số mục liên quan đến quá trình ước lượng:
• MLE (EV): Ước lượng MLE trong mô hình EV là ước lượng bằng số và
là nghiệm của phương trình hợp lý. MLE xác định cực đại địa phương của
phương trình hợp lý với γ > −1.
• MDE (EV): cho d là một khoảng cách trên tập các hàm phân phối thì
(γn,µn,σn) là một MDE nếu
d( ˆFn,Gγn,µn,σn) = inf
γ,µ,σ
d( ˆFn,Gγ,µ,σ )
Hơn nữa, MDE được thiết lập dựa trên khoảng cách giữa các hàm mật độ.
• LRSE (EV): đây là ước lượng tổ hợp tuyến tính của tỉ số khoảng cách:
ˆr =
x[nq2]:n −x[nq1]:n
x[nq1]:n −γ[nq0]:n
ở đây q0 < q1 < q2. Thống kê này phụ thuộc vào tham số trong phân phối
ˆr ≈
G−1
γ (q2)−G−1
γ (q1)
G−1
γ (q1)−G−1
γ (q0)
= −
logq2
logq0
−γ
2
.
Nếu q0,q1 và q2 thỏa mãn: (−logq1)2 = (−logq2)(−logq0), từ đây ta có:
γn =
2log(ˆr)
log
logq0
logq1
28

31. là ước lượng của γ. Nếu q0 = q, q1 = qa, q2 = qa2
(0 < q,a < 1) thì:
γn =
log(ˆr)
log 1
a
= −
log ˆr
loga
1.8 Một số mô hình cực trị mở rộng và mối liên hệ
các mô hình
• Phân phối Log-Gamma và GP-Gamma: Nếu log(X) có mật độ
hr
x
σ
σ
với
σ > 0 và hàm hr(x) được xác định bởi
hr(x) =
1
Γ(r)
·xr−1
·e−x
thì X có mật độ Log-Gamma:
f1,r,α(x) =
αr
Γ(r)
·(logx)r−1
·x−(1+α)
, (x > 1)
với α =
1
σ
. Ta thấy rằng phân phối Log-Gamma có các tham số r,α > 0.
Nếu r = 1 thì ta có mật độ chuẩn Pareto với tham số α.
Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối Log - Gamma thì −
1
X
có mật độ là:
GP-Gamma 2 : f2,r,α(x) =
|α|r
Γ(r)
(−log|x|)r−1
(−x)−(1+α)
, (−1 < x < 0), α < 0.
Chú ý mật độ chuẩn beta (GP2) là trường hợp đặc biệt, với r = 1. Kí hiệu
mật độ gamma là f0,r.
29

32. Gamma
exponential (GPO)
log-Gamma
Pareto (GP1)
GP-Gamma 2
Beta (GP2)
-1/X
log (X)
Hình 1.4: Mối liên hệ giữa các mô hình.
Với r > 0 và γ = 0, ta có:
GP-Gamma : fr,γ(x) =
1
Γ(r)
log(1+γ)
γ
r−1
(1+γx)
− 1+ 1
γ
.
Với x > 0 và γ > 0, hoặc 0 < x <
1
|γ|
nếu γ < 0, mật độ fr,0 có được bởi
lim
γ→0
fr,γ.
• Phân phối Gamma đủ và Log-Gamma đối với max: Nếu r < 1 và γ < −1
thì mật độ GP-Gamma có cực điểm tại 0 và đơn điệu giảm. Nếu r > 1 thì
có một điều tương tự mật độ EV.
– Mật độ gamma có đuôi trên loại mũ và gần 0 bởi trung bình của thừa số
xr−1.
– Log-Gamma mật độ với µ = −1 có đuôi trên loại Pareto và gần 0 bởi
log(1+x)r−1
≈ xr−1
Vì vậy, mật độ gamma và Log-Gamma có hình dáng gần với mật độ Fr´echet
nếu r > 1.
• Phân phối Gamma tổng quát: Nếu X là biến ngẫu nhiên gamma với r > 0
thì X1/β là gamma tổng quát và mật độ
hr,β (x) =
β
Γ(r)
xβr−1
exp(−xβ
), x ≥ 0, β > 0.
30

33. Mô hình gamma tổng quát gồm có mô hình Weibull ngược (r = 1); β = 2
và r =
1
2
ta có phân phối nửa chuẩn. Phân phối gamma bội tổng quát bao
gồm phân phối chuẩn nếu mật độ dạng:
hr,β (|x|)
2
.
• Họ hai tham số Beta: Ta có phân phối beta với hai tham số được cho bởi
fa,b(x) =
xa−1(1−x)b−1
B(a,b)
, 0 ≤ x ≤ 1, a,b > 0
ở đây B(a,b) =
1
0
xa−1
(1−x)b−1
dx gọi là hàm beta. Hàm mật độ beta trong
mô hình GP2 tạo nên một trường hợp đặc biệt: W1,α,1,1 = f1,−α.
31

34. Chương 2
Ứng dụng lý thuyết cực trị
trong đo lường rủi ro tài
chính
2.1 Rủi ro tài chính
Trong lĩnh vực tài chính những biến cố cực trị như các vụ phá sản lớn, các
cuộc khủng hoảng trong kinh tế, tài chính và những cú sốc thị trường ... được
nhiều người quan tâm, đặc biệt là các nhà đầu tư. Đây là lĩnh vực liên quan đến
quản lý rủi ro.
Trong vòng 24 năm từ 1987 đến 2011, khoảng thời gian không lớn so với
tiến trình phát triển của thị trường tài chính thế giới, chúng ta đã chứng kiến
nhiều sự kiện với hệ lụy dẫn tới sự đổ vỡ của các định chế, tổ chức tài chính lớn
gây ra khủng hoảng tài chính quy mô khu vực cũng như toàn cầu. Bảng dưới
đây liệt kê, tóm tắt các sự kiện và hậu quả đối với thị trường tài chính thế giới.
Bảng 1: Sự kiện và hậu quả đối với thị trường tài chính thế giới giai đoạn
1987-2011
32

35. Năm Sự kiện Hậu quả
1987 Khủng hoảng thị trường Chỉ số Dow Jones giảm 31 % sau một
chứng khoán thế giới tuần, thị trường chứng khoán toàn cầu
sụt giảm
1990 Khủng hoảng thị trường Sự phá sản của Drexel Burnham
trái phiếu Mỹ Lambert US S&L và sụp đổ thị trường
jumkbond
1991 Chiến tranh vùng vịnh Giá dầu thô biến động bất thường
lần thứ nhất
1994 Lãi xuất cơ bản của Mỹ Tổn thất lớn đối với các nhà đầu tư, đặc
tăng cao biệt trong lĩnh vực sử dụng phát sinh và
đòn bẩy
1994 Khủng hoảng tại Mexicô Thị trường Mexiccô sụp đổ kéo theo
khủng hoảng thanh khoản đối với các
thị trường mới nổi
1997 Khủng hoảng tài chính Khủng hoảng nợ của nhiều tổ chức tài
Châu Á chính, sự đổ vỡ của thị trường cổ phiếu
và tiền tệ Châu Á
1998 Khủng hoảng nợ tại Nga Khủng hoảng tại thị trường mới nổi
1998 Sụp đổ quỹ LTCM Khủng hoảng thanh khoản và tín dụng
1999 Thị trường vàng biến động Tổn thất lớn cho các quỹ phòng hộ
vàng
2000 Sự mất giá của cổ phiếu Chỉ số NASDAQ giảm gần 50 % sau
TMT một thời gian ngắn
33

36. 2001 Khủng hoảng nợ của Khủng hoảng trên các thị trường mới
Argentina nổi
2002 Khủng hoảng thị trường Sự phá sản của Enron, WorldCom và
trái phiếu công ty Mỹ một số công ty lớn khác
2003 Chiến tranh vùng vịnh Giá dầu thô tăng kỷ lục
lần thứ hai
2007 Khủng hoảng thị trường Khủng hoảng tài chính và suy giảm
vay thế chấp ở Mỹ dẫn đến kinh tễ toàn cầu, lạm phát tăng cao tại
sự đổ vỡ của các ngân hàng, nhiều quốc gia
mất giá tiền tệ tại
nhiều quốc gia
2011 Sự kiện động đất và sóng Thiệt hại ước chừng khoảng 15 ngàn tỉ
thần tại Nhật Bản yên-tức là vào khoảng 3 % GDP của
ngày 11/3/2011 Nhật, đồng yên và các chỉ số khác giảm
mạnh như FTSE 100 (2,7 %), DAX
(4,9 %) và Dow Jones (1,15 %), Nikke
giảm kỷ lục 17 % trong 2 ngày. Trong
lĩnh vực bảo hiểm thiệt hại từ 12-35 tỉ
USD
Có thể nhận thấy hai đặc điểm của các sự kiện trên:
• Các sự kiện tưởng như "trăm năm mới có một lần" lại diễn ra tương đối
thường xuyên, gần như hàng năm!
• Ảnh hưởng tiêu cực tới thị trường tài chính ngày càng mở rộng cả về quy
mô lẫn mức độ tổn thất.
Như vậy với quy mô phát triển và xu hướng toàn cầu hóa, trong quá trình vận
hành, thị trường tài chính thế giới hàm chứa nhiều yếu tố bất định, rủi ro. Để hỗ
34

37. trợ công tác quản trị rủi ro tài chính, cần có phương pháp tiếp cận, công cụ phân
tích định lượng đáng tin cậy về lý thuyết lẫn thực hành.
Hiện nay, lý thuyết cực trị được sử dụng trong lĩnh vực quản lý rủi ro, đặc biệt đo
lường rủi ro thị trường. Rủi ro thực chất là phản ánh tính không chắc chắn của
kết quả nên người ta sử dụng phân phối xác suất để đo lường rủi ro. Lý thuyết
EVT đưa ra những phương pháp để ước lượng các phân phối xác suất, đặc biệt
là đuôi phân phối. Nó giúp ta đánh giá và phân tích được các độ rủi ro như giá trị
rủi ro (The Value at Risk – VaR); mức tổn thất kỳ vọng (The Expected shortfall
–ES); giá trị rủi ro trong đầu tư vốn (The Capital – at –Risk) là các thước đo
trong nghiên cứu.
2.2 Mô hình đo lường rủi ro
2.2.1 Mô hình độ đo rủi ro chặt chẽ
Ta xét một nhà đầu tư (cá nhân hoặc tổ chức) nắm giữ một danh mục. Đặt
t: thời điểm hiện tại, (t +1): thời điểm cuối của kỳ đầu tư (thời điểm trong tương
lai), Vt, Vt+1: giá trị của danh mục tại t và (t + 1). Giá trị Vt đã biết, Vt+1 chưa
biết và là biến ngẫu nhiên do đó khi nắm giữ danh mục nhà đầu tư sẽ đối mặt
với rủi ro: nhà đầu tư sẽ bị thua lỗ (tổn thất) nếu Vt+1 < Vt và mức thua lỗ:
X = Vt+1 −Vt cũng là biến ngẫu nhiên. Vấn đề đặt ra là:
• Có thể tìm ra một thước đo chung, khái quát (độ đo rủi ro), một chỉ tiêu
định lượng vừa thể hiện mức độ rủi ro của danh mục (mức thua lỗ) – bất kể
nguồn gốc phát sinh (biến động của thị trường, tỷ giá, lãi suất, vỡ nợ. . . ) –
vừa thuận tiện cho yêu cầu giám sát, quản trị?
• Độ đo rủi ro cần phải đáp ứng những yêu cầu cơ bản nào (những tiên đề) để
phù hợp logic và thực tiễn?
Vào giữa những năm 90 của thế kỷ trước, P. Artzner, F. Delbaen, D. Heath và
một số tác giả khác (tham khảo trong [1], [2]) đã nghiên cứu vấn đề trên và đề
xuất một mô hình lý thuyết về độ đo rủi ro và được gọi là “Độ đo rủi ro chặt
chẽ” để đo lường rủi ro của danh mục. Hoạt động của thị trường tài chính diễn
ra trong môi trường bất định, môi trường này được mô hình hóa bởi không gian
xác suất (Ω,F,P). Gọi X0 là tập các biến ngẫu nhiên hữu hạn hầu chắc chắn
35

38. trong không gian trên. Cho X ⊆ X0 là một nón lồi. Các nhà đầu tư tham gia
thị trường thông qua việc nắm giữ danh mục. Rủi ro tài chính của việc nắm giữ
danh mục biểu hiện bởi mức thua lỗ tiềm ẩn sau kỳ đầu tư và được mô hình hóa
bởi biến ngẫu nhiên X ∈ X .
Định nghĩa 2.2.1. Độ đo rủi ro chặt trẽ của danh mục: Ánh xạ ρ : X → R gọi
là độ đo rủi ro của danh mục. Danh mục với mức thua lỗ X có mức rủi ro ρ(X).
Trong quản trị, giám sát rủi ro có thể xem ρ(X) như khoản dự phòng, khoản thế
chấp ...
Định nghĩa 2.2.2. Độ đo rủi ro ρ(X) gọi là độ đo rủi ro chặt chẽ nếu thỏa mãn
các điều kiện (tiên đề) sau:
T1: Bất biến theo phép tịnh tiến: Với mọi X ∈ X , với mọi a ∈ R:
ρ(X +a) = ρ(X)−a.
T2: Cộng tính dưới: Với mọi X1,X2 ∈ X ta có: ρ(X1 +X2) ≤ ρ(X1)+ρ(X2).
T3: Thuần nhất dương: Với mọi X ∈ X và với mọi λ > 0: ρ(λX) = λρ(X).
T4: Đơn điệu tăng: Với X1,X2 ∈ X mà X1 ≤ X2 hầu chắc chắn, ta có: ρ(X1) ≤
ρ(X2).
Ta có thể giải thích tính logic của các tiên đề như sau:
T1: Với danh mục có độ rủi ro ρ(X), khi bổ sung tài sản phi rủi ro có giá trị a
thì mức độ rủi ro của danh mục giảm còn ρ(X)−a.
T2: Rủi ro của danh mục tổng hợp (ứng với X1 +X2) không lớn hơn tổng rủi ro
của các danh mục thành phần. Yêu cầu này phù hợp với nguyên lý Đa dạng hóa
đầu tư.
T3: Danh mục có quy mô lớn thì rủi ro cũng lớn.
T4: Danh mục có mức thua lỗ tiềm ẩn cao thì rủi ro cũng cao.
Như vậy tất cả các yêu cầu (các tiên đề) đối với độ đo rủi ro đều hợp lý
và phù hợp với thực tiễn.
Độ đo rủi ro của danh mục theo cách tiếp cận trên rất tổng quát. Người làm
công tác quản trị rủi ro có thể căn cứ vào nguồn gốc của rủi ro mà xây dựng các
độ đo cụ thể. Kết quả sau sẽ cung cấp tiêu chuẩn để đánh giá một độ đo rủi ro
36

39. cụ thể có phải là độ đo rủi ro chặt chẽ hay không.
Ký hiệu A là tập các hàm φ(p), xác định trên [0,1], φ(p) ≥ 0, đơn điệu giảm
và
1
0
φ(x)dx = 1. Ta có thể xem φ(p) như một dạng hàm mật độ xác suất.
Gọi F(x) là hàm phân phối của mức tổn thất X. Ta xây dựng độ đo rủi ro
như sau:
ρ(X) = −
1
0
F−1
(p)φ(p)dp (2.1)
với φ(p): xác định trên [0,1], φ(p) ≥ 0 và
1
0
φ(x)dx = 1. Có thể coi φ(p) là
hàm tỷ trọng.
Định lý 2.2.3. (Định lý biểu diễn độ đo rủi ro chặt chẽ) Độ đo rủi ro (2.1) là
chặt chẽ khi và chỉ khi φ(p) ∈ A.
Với công thức biểu diễn (2.1) của độ đo rủi ro chặt chẽ ta có thể xây dựng
các độ đo cụ thể phù hợp với nguồn gốc phát sinh rủi ro thông qua việc chọn
hàm φ(p). Đây là gợi ý rất quan trọng trong đo lường rủi ro.
2.2.2 Mô hình VaR
Định nghĩa 2.2.4. Xét danh mục có mức thua lỗ tiềm ẩn X trong chu kỳ k
(đơn vị thời gian) có hàm phân phối F(x). VaR của danh mục với độ tin cậy
(1−q)100%-ký hiệu là VaRq- là phân vị mức q của hàm F(x):
VaRq = F−1
(q) (2.2)
Theo thông lệ quốc tế, độ tin cậy thường được chọn là 99% hoặc 95%. Chu
kỳ tính VaR-chu kỳ k-thường là 1 ngày, 5 ngày hay 10 ngày. Dấu âm của VaR
biểu thị tổn thất (thua lỗ).
Ý nghĩa của VaRq: Nếu nhà đầu tư nắm giữ danh mục sau chu kỳ k, trong
điều kiện thị trường hoạt động bình thường, với xác suất (1 − q)100% mức tổn
thất (nếu có) sẽ không vượt quá khoản |VaRq|.
Để thuận tiện trong ước lượng và tính toán, thay vì trực tiếp xét mức thua lỗ
X người ta thường xét qua lợi suất r của danh mục.
37

40. Sau đây là ưu điểm và hạn chế của độ đo rủi ro VaR.
Ưu điểm:
1. VaRq của danh mục được tính toán và biểu thị bằng một số lượng tiền nên
dễ hình dung và so sánh mức rủi ro giữa các danh mục và chu kỳ khác nhau.
2. Về phương diện ước lượng, do VaRq có cấu trúc tương đối đơn giản nên có
thể sử dụng nhiều phương pháp ước lượng trong thống kê, kinh tế lượng.
Hạn chế về phương diện lý thuyết: VaRq là độ đo rủi ro của danh mục, thỏa mãn
các tiên đề T1, T3 và T4. Tuy nhiên do không thỏa mãn tiên đề T2: cộng tính
dưới, nên VaR không phải là độ đo chặt chẽ. Trong [4], [7] các tác giả đã đưa ra
những ví dụ minh chứng. Mặt khác, nếu mức thua lỗ X có phân phối chuẩn thì
độ đo VaRq sẽ thỏa mãn cả 4 tiên đề nên khi này VaRq là độ đo rủi ro chặt chẽ.
Hạn chế về phương diện thực tiễn: Nhiều bằng chứng thực nghiệm chỉ ra
rằng giả định X có phân phối chuẩn tỏ ra chưa phù hợp kể cả đối với thị trường
chứng khoán Việt nam (xem [9]). Các phân phối của lợi suất danh mục thuộc
dạng có đuôi dày, điều này chứng tỏ rằng khả năng thị trường có những biến
động lớn và mức tổn thất cao là đáng kể. Với tình huống này VaRq không phải
là độ đo chặt chẽ. Nếu tiếp tục sử dụng VaRq như công cụ quản trị rủi ro rất có
thể sẽ gánh chịu các hậu quả:
• Tổn thất thực tế sẽ lớn hơn nhiều so với ước tính theo VaRq.
• Do VaRq không có tính chất cộng tính dưới (tiên đề T2) nên quy tắc đa dạng
hóa bị phá vỡ và nguyên lý phân cấp quản trị rủi ro có thể bị vô hiệu hóa và
lợi dụng.
Một số nghiên cứu mới đây về nguyên nhân của khủng hoảng tài chính toàn cầu
năm 2008 cho thấy rất có thể những hậu quả trên có vai trò nhất định.
Trong tình huống độ đo VaRq là chặt chẽ thì VaRq cũng chỉ giúp ta trả lời
câu hỏi: “Ta có thể bị mất tối đa bao nhiêu trong phần lớn các tình huống?”
Tuy nhiên độ đo VaRq không trả lời được câu hỏi: “Trong một phần nhỏ các
tình huống còn lại (1% hay 5% tình huống xấu - tương ứng với diễn biến bất
thường của thị trường), khi xảy ra tổn thất, mức tổn thất có thể dự tính được là
bao nhiêu?”. Như tổng kết thực tế đã nêu trong bảng 1, các sự kiện, tình huống
tưởng chừng hiếm khi xảy ra lại xuất hiện khá thường xuyên, nên 1% hay 5%
tình huống xấu cũng đáng để quan tâm và câu hỏi trên rất cần lời giải để hỗ trợ
công tác quản trị và giám sát rủi ro tài chính. Mô hình ES sẽ giúp ta tìm câu trả
lời.
38

41. 2.2.3 Mô hình ES
Theo logic, sau khi đã tính VaRq của danh mục chúng ta quan tâm tới
những trường hợp tổn thất thực tế của danh mục vượt ngưỡng VaRq và tính
trung bình (kỳ vọng) của các mức tổn thất này. Như vậy ta có:
Định nghĩa 2.2.5. Tổn thất kỳ vọng của danh mục với độ tin cậy (1−q)100%-
ký hiệu là ESq-là đại lượng kỳ vọng có điều kiện:
ESq = E(X|X > VaRq) (2.3)
Một số tính chất của ESq:
• ESq là độ đo rủi ro chặt chẽ của danh mục.
• Mọi độ đo rủi ro chặt chẽ ρ(X) khác của danh mục có thể biểu diễn như
một tổ hợp lồi của ESq với các tham số q phù hợp và ESq ≤ ρ(X).
Như vậy việc xác định, tính toán ESq của danh mục vừa thay thế VaRq trong vai
trò đo lường rủi ro đầy đủ hơn vừa chỉ ra đây là thước đo rủi ro ưu việt.
2.2.4 Phương pháp ước lượng thực nghiệm cho ES
Để thuận tiện trong phân tích thống kê và tính toán ước lượng, thay vì xét
mức lỗ/lãi X của danh mục ta xét lợi suất (loga lợi suất) của danh mục. Ta định
nghĩa: rt = ln
Vt
Vt+1
là lợi suất của danh mục. Nếu tính được VaRq, ESq của
lợi suất rt sẽ dễ dàng suy ra VaRq, ESq của danh mục.
Cũng tương tự như khi ước lượng VaRq từ số liệu quá khứ, có hai phương
pháp chính ước lượng ESq: phương pháp tham số và phi tham số.
Phương pháp tham số dựa trên giả định về phân phối của lợi suất r: chẳng
hạn phân phối chuẩn, T- Student, Pareto tổng quát. . . Sau đó từ số liệu quá khứ
của r, sử dụng các phương pháp ước lượng trong thống kê, kinh tế lượng (hợp
lý tối đa, moment tổng quát, ARCH, GARCH. . . ) để ước lượng các tham số đặc
trưng của phân phối và suy ra các ước lượng của VaRq (tham khảo trong [9] và
ESq tương ứng (tham khảo trong [3],[4],[6],[7]).
Phương pháp phi tham số không đưa ra giả định về phân phối của lợi suất r
mà chỉ dùng các phương pháp ước lượng thực nghiệm, mô phỏng và bootstraps
cùng các kỹ thuật tính toán xấp xỉ (phương pháp ngoại suy, mạng nơron. . . ) để
39

42. ước lượng (tham khảo trong [5], [8]).
Công thức ước lượng: Cho mức ý nghĩa q ∈ (0,1), theo thông lệ thường chọn
q = 0,01 (1%) hoặc 5%. Lập mẫu kích thước n: (X1,X2,...,Xn). Ký hiệu Xi:n là
thống kê thứ tự thứ i của mẫu, tức là: X1:n ≤ X2:n ≤ ··· ≤ Xi:n ≤ ··· ≤ Xn:n. Gọi
k là phần nguyên của nq, đặt p = nq−k. Nếu nq là số nguyên thì p = 0. Ta tính
thống kê trung bình mẫu của các thống kê thứ tự từ 1 đến k:
Xk:n =
X1:n +X2:n +···+Xk:n
k
(2.4)
Ta có các công thức ước lượng thực nghiệm cho VaRq và ES (chi tiết tham
khảo trong [5], [8]):
VaRq = −Xk:n (2.5)
ESq =



−Xk:n (nq: nguyên)
−(1− p)Xk:n − pXk+1:n (nq: không nguyên)
(2.6)
Đây là ví dụ Phương pháp thực nghiệm ước lượng ESq cho thị trường chứng
khoán Việt Nam. Trong khuôn khổ luận văn, tác giả sẽ giới thiệu phương pháp
ước lượng thực nghiệm cho ESq áp dụng cho thị trường chứng khoán Việt Nam
thông qua chuỗi VnIndex trên sàn HOSE.
Diễn biến của lợi suất thị trường-lợi suất chỉ số VnIndex: Chuỗi VnIndex
(giá trị đóng cửa theo ngày) được thu thập từ phiên giao dịch đầu tiên ngày
28/7/2000 đến phiên giao dịch ngày 30/6/2010 (2320 phiên) từ nguồn VnDirect.
Tính lợi suất (theo ngày) của chỉ số VnIndex (để thuận tiện trong tính toán và
giải thích theo tỷ lệ %, lợi suất sẽ được nhân với 100). Công thức tính lợi suất
VnIndex:
LsVnindext = ln
VnIndext
VnIndext+1
·100 (2.7)
Có thể thấy trong khoảng thời gian trên phân phối của LSVNINDEX không
phải là phân phối chuẩn và thuộc dạng có đuôi dầy (Kurtosis = 5.143954 > 3).
Để ước lượng theo kinh nghiệm thực tế của nhiều tác giả, không nên chọn chuỗi
thời gian quá dài vì với thời gian dài các điều kiện, môi trường hoạt động của
thị trường sẽ có sự thay đổi lớn. Ta chọn số liệu trong khoảng thời gian từ tháng
1/2006 đến 6/2010 để ước lượng vì các lý do sau:
40

43. Hình 2.1: Biểu đồ chuỗi lợi suất VnIndex
Hình 2.2: Một số thống kê mô tả
• Số lượng quan sát cũng đủ lớn (1116 quan sát) để thực hiện phân tích thống
kê, kinh tế lượng.
• Trong giai đoạn này thị trường chứng khoán Việt nam phát triển tăng nhanh
số lượng công ty niêm yết và với đủ sắc thái: bùng nổ (cuối 2006 đầu 2007),
41

44. trầm lắng, suy giảm (cuối 2007, 2008), phục hồi, khởi sắc (2009)
Trong giai đoạn này ta có kết quả:
Hình 2.3: Biểu đồ chuỗi lợi suất VnIndex
Có thể thấy trong giai đoạn này thị trường ổn định hơn thể hiện bởi đặc tính
phân phối chuẩn của lợi suất. Với n = 1116, q = 1% và 5%, ta có nq = 11,6 và
55,8 suy ra k1 = 11, k2 = 55 và p1 = 0,6, p2 = 0,8.
Sử dụng công thức ước lượng (2.5), (2.6), ta được ước lượng thực nghiệm
của VaRq và ESq cho lợi suất thị trường sàn HOSE:
VaRVnIndex(1%) = 4,604(%); VaRVnIndex(5%) = 3,686(%)
ESVnIndex(1%) = 4,731(%); ESVnIndex(5%) = 4,249(%)
Theo kết quả trên, ta có thể rút ra một số nhận xét:
• Sau mỗi phiên giao dịch tại sàn HOSE:
42

45. Hình 2.4: Một số thống kê mô tả
– Nếu lợi suất thị trường giảm thì với khả năng 95% mức giảm này không
quá 3,686%; còn với 99% khả năng mức này không quá 4,604%.
– Trong tình huống xấu, nếu lợi suất thị trường giảm sâu vượt các ngưỡng
trên thì 95% khả năng mức giảm dự tính sẽ là 4,249 % và 99% khả năng
mức giảm dự tính sẽ là 4,731 %.
• Với giới hạn cho phép của biên độ giá cổ phiếu là ±5%, các mức giảm ước
tính ở trên đều nằm trong giới hạn này điều đó chứng tỏ rằng trong một
phiên giao dịch, dù trong hoàn cảnh xấu, không thuận lợi thì hiện tượng tất
cả các cổ phiếu đồng loạt giảm giá kịch sàn hầu như không xảy ra.
• Do trong giai đoạn trên lợi suất thị trường có phân phối chuẩn vì vậy sau
khi ước lượng VaRq, ESq cho ngày, ta có thể sử dụng “Quy tắc căn bậc 2
theo thời gian” để tính VaRq, ESq cho các chu kỳ dài hơn. Nếu chu kỳ tính
là: tuần (5 ngày giao dịch) hoặc 10 ngày, ta có:
VaRVnIndex−tuần
(1%) = 10,294(%); VaRVnIndex−tuần
(5%) = 8,242(%)
ESVnIndex−10 ngày
(1%) = 14,96(%); ESVnIndex−10 ngày
(5%) = 13,43(%)
43

46. 2.2.5 Một số độ đo rủi ro
• Độ đo rủi ro biến dạng Độ đo rủi ro biến dạng được xác định như sau:
ρ(X) =
∞
0
g(1−FX(t))dt +
0
−∞
[g(1−FX(t))−1]dt
Trong đó g : [0,1] → [0,1] là hàm không giảm và g(0) = 0, g(1) = 1. Hàm
g như vậy gọi là hàm biến dạng. Ví dụ, gọi X là đại lượng ngẫu nhiên biểu
thị cho số tiền phải trả trong một hợp đồng bảo hiểm, khi đó người ta cần
chọn một hàm g để định mức phí bảo hiểm sao cho:
ρg(X) =
∞
0
g(1−F(t))dt ≥ EX =
∞
0
(1−F(t))dt
Điều này xảy ra khi g thỏa mãn g(t) ≥ t với mọi t ∈ [0,1].
• Độ đo TVaR (Tail-at-risk): VaR(X) được sử dụng nhiều trong quản trị tài
chính, tuy nhiên nó không cho ta thông tin về độ dày của đuôi (upper tail)
của phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X. Do đó, người ta sử dụng một độ
đo khác, đó là Tail Value -at-risk, ký hiệu là TVaRq(·). Với q ∈ (0,1), F là
hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X, TVaRq mức q được định nghĩa
như sau:
TVaRq(X) =
1
1−q
1
q
F−1
(t)dt
TVaRq(X) là trung bình của VaR lấy trên q-upper tail. Với X là đại lượng
ngẫu nhiên không âm, ta chứng minh được rằng
TVaRq(X) =
∞
0
g(P(X > t))dt với g(x) = min 1;
1−x
1−q
TVaRq(X) thỏa mãn cả 4 tiên đề của độ đo rủi ro chặt chẽ.
44

47. • Độ đo phổ (Spectral risk measure): Một hàm tỷ trọng là một hàm
φ : [0,1] → [0,+∞) không giảm và
1
0
φ(t)dt = 1. Một độ đo rủi ro phổ với
hàm tỷ trọng φ được xác định như sau:
ρφ (X) =
1
0
F−1
X (t)φ(t)dt.
• Độ đo CTEq(X) (Conditional tail Epectation) được định nghĩa như sau:
CTEq(X) = E(X|X > VaRq(X)).
• Độ đo CVaRq(X) được định nghĩa như sau:
CVaRq(X) = E(X −VaRq(X)|X > VaRq(X)) = CTEq(X)−VaRq(X).
2.2.6 Một số công thức tính các độ đo rủi ro cho các phân
phối thường gặp
• X có phân phối chuẩn N(µ,σ2):
1. VaRq(X) = µ +δΦ−1
(q)
2. TVaRq(X) = µ +
δϕ(Φ−1(q))
1−q
3. CTEq(X) = µ +
δϕ(Φ−1(q))
1−q
4. CVaRq(X) = δ
ϕ(Φ−1(q))
1−q
−Φ−1
(q)
5. ESq(X) = δϕ(Φ−1
(q))−δΦ−1
(q)(1−q)
• X phân phối loga chuẩn: lnX ∼ N(µ,σ2):
1. VaRq(X) = exp(µ +δΦ−1
(q))
45

48. 2. TVaRq(X) = exp µ +
δ2
2
Φ(δ −Φ−1(q))
1−q
3. CTEq(X) = exp µ +
δ2
2
Φ(δ −Φ−1(q))
1−q
4. CVaRq(X) = µ +
δ2
2
Φ(δ −Φ−1(q))
1−q
−exp(µ +δΦ−1
(q))
5. ESq(X) = exp µ +
δ2
2
Φ(δ −Φ−1
(q))−(1−q)exp(µ +δΦ−1
(q)).
2.3 Tham số hóa biến lợi nhuận, biến thua lỗ và
biến rủi ro
2.3.1 Biểu diễn biến lợi nhuận và biến thua lỗ
Cho VT là giá thị trường của danh mục cổ phiếu đơn hoặc danh mục đầu tư
ở thời điểm t = 0 hoặc t = T (thời gian được tính là ngày hay là tháng).
Lợi nhuận hoặc thua lỗ trong đầu tư được biểu diễn bởi trung bình của lợi
suất trong T - ngày:
LT = −(VT −V0)
LT > 0 : biểu thị sự thua lỗ
LT < 0 : biểu thị lợi nhuận.
Giá trị thua lỗ LT trong T− ngày được biểu diễn bởi
R(T) = ∑
t≤T
−Rt (2.8)
2.3.2 Sự thua lỗ với tài sản đơn
Tổng số giá trị theo thị trường của Vt của một danh mục ở thời điểm t được
biểu diễn bởi: Vt = hSt, trong đó h là hằng số được chọn không đổi trong suốt
46

49. thời gian T− ngày, St giá tại thời điểm t. Xuất phát từ
ST = V0 exp( ∑
t≤T
RT ), (2.9)
ta có
LT = V0(1−exp(−R(T))) ≈ V0R(T).
2.3.3 Sự thua lỗ với danh mục đầu tư
Cho Vt, j = hjSt, j là giá thị trường của danh mục thứ j trong danh mục đầu
tư ở thời điểm t. St, j là giá ở thời điểm t của danh mục j.
Vt = ∑
j
Vt, j là giá thị trường của danh mục ở thời điểm t.
Vectơ W = (W1,W2,...,Wd), với Wj =
V0, j
V0
, gọi là vectơ trọng lượng.
Vt = V0 ∑
j
WjSt, j = V0WSt (2.10)
ở đây St là vector biến đổi về giá, St = (St,1,...,St,d). Ta có
LT = V0 ∑
j
Wj(1−exp(−R(T, j))) ≈ V0 ∑
j
WjR(T, j) = V0WR(T) (2.11)
R(T) = (R(T,1),...,R(T,d)) là vector ngẫu nhiên lợi nhuận của T− ngày cho các
danh mục đơn khác nhau.
Lợi nhuận logarit của danh mục cho bởi:
R∗
t = logVt −logVt−1, với Vt = ∑
j
Vt, j.
2.4 Một số phương pháp tính các độ rủi ro
2.4.1 Phương pháp tính VaRq từ phân phối thua lỗ
Var là q−phân vị của phân phối thua lỗ, VaR với xác suất q thỏa mãn
phương trình:
P(LT ≤ VaRq) = q (2.12)
47

50. trong đó LT là biến thua lỗ, VaR tại 99 % hay 95 % nếu q = 99% hoặc q = 95%.
Va phụ thuộc vào phân phối của lợi suất.
VaR cho danh mục đơn:
Cho FT là phân phối trong T−ngày của lợi nhuận logarit: R(T) = ∑
t≤T
(−Rt). Do
đó, ta có
FT (x) = P(R(T) ≤ x) (2.13)
VaRq = V0(1−exp(−F−1
T (q)))
(2.17)
≈ V0F−1
T (q) (2.14)
trong đó V0 là giá thị trường ở thời điểm t = 0. VaR trong công thức (2.12) được
xấp xỉ tốt vì 1−exp(−x) ≤ x, với q−phân vị F−1
T (q) là không quá lớn.
VaR cho một danh mục đầu tư:
VaRq là q−phân vị. Nó được tính xấp xỉ từ q−phân vị của các biến ngẫu nhiên
trong danh mục đơn trong (2.3). Giả sử lợi nhuận logarit trong T−ngày là
R(T, j) = ∑
t≤T
−Rt, j
của danh mục thứ j ở thời điểm t là biến ngẫu nhiên Gauss với trung bình là
0, phương sai δ2
T, j > 0. Thêm nữa R(T, j) có ma trận covariance ∑
T
= (δT,i, j) với
δT,i, j = δ2
T, j. Cho V0, j là giá thị trường ban đầu của danh mục thứ j trong hệ
thống danh mục ở thời điểm t = 0. Giá trị thua lỗ LT của danh mục ở thời điểm
t = T, được xấp xỉ bởi:
LT ≈ V0WR(T) (2.15)
R(T) là vector lợi nhuận logarit trong T−ngày, WR(T) là biến ngẫu nhiên Gaus-
sian với trung bình 0 và độ lệch chuẩn
δT = W ∑
T
W (2.16)
Do đó từ (2.13) và (2.14), ta có: VaRq = V0δT φ−1(q), với φ−1 là hàm phân
vị của phân phối chuẩn Gauss.
48

51. 2.5 Phương pháp tính giá trị trong rủi ro đầu tư
vốn
2.5.1 Giá trị rủi ro trong đầu tư vốn cho danh mục tài sản
đơn
Định nghĩa 2.5.1. Giá trị thua lỗ trong đầu tư vốn (CaR) là số vốn có thể đầu
tư sao cho khả năng thua lỗ vượt qua một giới hạn L cho trước với một xác suất
thấp.
CaRq =
L
(1−exp(−F−1(q)))
(2.17)
Định nghĩa 2.5.2. Nếu H là phân phối của các quan sát cực đại trên những
khoảng thời gian liên tiếp không trùng nhau có cùng thời gian, mức lợi suất
Rk
n = H−1
1−
1
k
(2.18)
là mức kỳ vọng vượt quá k chu kỳ có độ dài quan sát là n.
Như phần trước ta thấy VaRq là giới hạn l, sao cho P(LT ≤ l) = q, trong đó
LT là biến lợi suất hoặc thua lỗ ở thời điểm T.
Ngược lại, cố định l và tìm CaR(T,q,l), là số vốn để đầu tư sao cho lượng
thua lỗ LT không vượt qua giới hạn cho trước l với xác suất q cho trước. VaRq =
V0(1−exp(−F−1
T (q))), thay V0 = CaR(T,q,l) ta có :
P(LT ≤ l) = P(CaR(T,q,l)(1−exp( ∑
t≤T
−Rt)) ≤ l) = q
Vì với ∀x > 0 đủ nhỏ thì ta có 1−e−x ≈ x và từ (2.17) nê ta có
CaR(T,q,l) ≈
1
F−1
T (q)
FT là phân phối lợi nhuận logarit trong T ngày.
49

52. 2.5.2 Giá trị rủi ro trong đầu tư vốn cho một tập hợp các
danh mục đầu tư
Cho H0 là một chiến lược kinh doanh. Nó xác định tỷ lệ tài sản đơn khác
nhau. Nhắc lại Vt, j = H0, jPt, j; Vt = ∑
j
Vt, j tương ứng là giá của danh mục tài sản
đơn và của danh mục đầu tư liên quan tới H0.
Tìm hằng số b sao cho biến lợi nhuận hoặc thua lỗ LT trong chu kỳ thời gian
từ t = 0 đến t = T nằm trong chiến lược bH0 ban đầu, phương trình đầy đủ là :
P(LT ≤ l) = P(b∑V0, j(1−exp( ∑
t≤T
Rt, j)) ≤ l) = q
Để có được điều này, ta chọn b =
l
F−1
T,H0
(q)
, với F−1
T,H0
(q) là phân phối của
∑
j
V0, j(1−exp( ∑
t≤T
Rt, j)). Do đó, CaR(T,q,l) = bV0 =
lV0
F−1
T,H0
(q)
là rủi ro về đầu
tư vốn với xác suất q.
2.6 Ứng dụng lý thuyết cực trị trong mô hình hóa
đuôi của chuỗi lợi suất chứng khoán
Chúng ta có hai cách để tiếp cận lý thuyết cực trị: Mô hình hóa maximum
của các khối (Phương pháp Block Maximum-BM) và Mô hình hóa các giá trị
vượt ngưỡng (Phương pháp Peaks over Threshold-POT).
Từ hình 2.5 bên trái, ta thấy các quan sát X2,X5,X7 và X11 biểu diễn cho
các khối cực đại trong chu kỳ thời gian tương ứng với 3 quan sát trong mỗi chu
kỳ. Hình vẽ bên phải các quan sát X1,X2,X7,X8,X9,X11 đều vượt ngưỡng u và
kiến tạo nên các sự kiện cực trị.
Giả sử biến ngẫu nhiên X đặc trưng cho lợi suất của một tài sản, có phân phối
F. Khi đó lợi suất của n ngày được mô tả bởi các biến ngẫu nhiên X1,X2,...,Xn,
trong đó Xi là lợi suất của ngày thứ i nào đó. Nội dung của phương pháp BM là
mô hình hóa lợi suất lớn nhất của một tập hợp gồm n lợi suất trên.
50

53. Hình 2.5: Bên trái sơ đồ các khối cực đại và bên phải các giá trị vượt ngưỡng u
Theo kết quả của Fisher, Tippett (1928) và Gnedenko (1943), khi n đủ lớn
thì phân phối chuẩn hóa của lợi suất lớn nhất của n ngày
Mn = max(X1,X2,...,Xn)
sẽ xấp xỉ với một trong các phân phối: Fréchet, Weibull hay Gumbel.
Tuy nhiên trong thực hành, phương pháp này gặp nhiều hạn chế khi số liệu
không đủ lớn. Do vậy, chúng ta sẽ tiếp cận lý thuyết cực trị theo một cách khác
hiệu quả hơn, cách tiếp cận thứ hai của lý thuyết này cho phép chúng ta mô hình
hóa mức lợi suất vượt một ngưỡng u nào đó, đây chính là nội dung của phương
pháp POT.
Xét biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối là F. Vấn đề đặt ra là với các giá
trị x lớn hơn u, ta phải đi ước lượng hàm phân phối vượt ngưỡng F[u] như giới
thiệu ở phần kiến thức trước.
Hình 2.6: Hàm phân phối F và phân phối điều kiện F[u]
Hàm phân phối vượt ngưỡng
F[u]
(y) = P(X −u ≤ y|X > u), 0 ≤ y ≤ xF −u (2.19)
51

54. ở đây u là một ngưỡng cho trước, y = x−u là giá trị vượt quá ngưỡng u và
xF = x∗
= sup(x : F(x) < 1).
Hàm phân phối vượt ngưỡng
F[u]
(y) =
F(u+y)
1−F(u)
=
F(x)−F(u)
1−F(u)
(2.20)
Theo kết quả của Pickands (1975), Balkema và Haan (1974) (xem [2]): Với
một lớp khá rộng các hàm phân phối F (các phân phối này thường gặp khi
nghiên cứu trong lĩnh vực tài chính, bảo hiểm,. . . ), khi ngưỡng u đủ lớn thì
hàm phân phối vượt ngưỡng F[u](y) = P(X −u ≤ y|X > u) sẽ xấp xỉ phân phối
Gξ,σ(y), trong đó
Gξ,σ (y) =



1− 1+
ξ
σ
·y
−
1
ξ
nếu ξ = 0
1−e− y
σ nếu ξ = 0
Gξ,σ(y) được gọi là phân phối Pareto tổng quát (GPD). Nếu x = u+y thì GPD
là một hàm số của x nghĩa là Gξ,σ = 1− 1+ξ ·
x−u
δ
−1
ξ
.
52

55. Hình 2.7: Hàm phân phối Pareto Gξ,σ với σ = 1
Tham số ξ đặc trưng cho đuôi của GPD gọi là chỉ số đuôi, từ hình vẽ ta thấy
với ξ > 0 thì Gξ,σ(y) là phân phối có đuôi nặng, đây là đối tượng có liên quan
nhiều tới mục tiêu quản lý rủi ro.
Các hàm rủi ro VaRq và ESq xét ở đây chủ yếu liên quan đến phần đuôi của
phân phối xác suất, ở đây chúng ta sẽ sử dụng GPD để xấp xỉ phân phối vượt
ngưỡng u, còn phần nhỏ hơn ngưỡng u thì chúng ta sử dụng phân phối thực
nghiệm để ước lượng. Khi đó nếu giả sử Nu là số quan sát vượt ngưỡng u, n là
tổng số quan sát thì ta tìm công thức tính các độ đo rủi ro như sau: Từ
ESq = E(X|X > VaRq)
suy ra F(x) = (1 − F(u))F[u](y)+ F(u), thay F[u] bởi GPD và F(u) bởi giá trị
ước lượng
n−Nu
n
, ta có hàm phân phối:
F(x) =
Nu
n
· 1− 1+
ξ
δ
(x−u)
−1
ξ
+ 1−
Nu
n
(2.21)
Từ (2.17) với xác suất p ta tính được:
VaRp = u+
ξ
δ
n
Nu
·q
−ξ
−1 (2.22)
Mức tổn thất kỳ vọng:
ESq = VaRq +E(X −VaRq|X > VaRq) (2.23)
Mặt khác, hàm trung bình vượt ngưỡng của phân phối GPD với tham số
ξ < 1 là:
e(z) = E(X −z|X > z) =
δ +ξz
1−ξ
, δ +ξz > 0 (2.24)
53

56. Từ định nghĩa của ESp, ta thay z = VaRq −u vào (2.24) có được
ESq = VaRq +
δ +ξ(VaRq −u)
1−ξ
=
VaRq
1−ξ
+
δ −ξu
1−ξ
Giá trị rủi ro:
VaRq = u+
σ
ξ
n
Nu
(1−q)
−ξ
−1 (2.25)
Mức tổn thất kỳ vọng:
ESq =
VaRq
1−ξ
+
σ −ξu
1−ξ
(2.26)
Do đó để ước lượng giá trị rủi ro VaRq và mức tổn thất kỳ vọng ESq, trước
tiên chúng ta cần chọn một ngưỡng u, sau đó chúng ta đi ước lượng các tham số
ξ và σ.
Trong phương pháp POT thì việc chọn một ngưỡng u là quan trọng, người ta
có thể dựa trên một số cách khác nhau, nhưng thông thường dựa vào đặc điểm
của hàm trung bình vượt ngưỡng của GPD. Với biến ngẫu nhiên X đặc trưng cho
lợi suất của một tài sản, nếu phần lợi suất vượt ngưỡng X −u là GPD với ξ < 1
thì hàm trung bình vượt ngưỡng
e(u) = E(X −u|X > u) =
σ +ξu
1−ξ
, σ +ξu > 0
Hơn nữa, ta có hàm trung bình vượt ngưỡng của một phân phối đuôi nặng
(đuôi béo) nằm giữa hàm trung bình vượt ngưỡng hằng số của phân phối mũ
(nếu X − u có phân phối mũ với tham số λ thì e(u) = λ−1) và hàm trung bình
vượt ngưỡng có dạng tuyến tính (hệ số góc dương) của GPD.
2.7 Ứng dụng EVT để đo lường rủi ro trong đầu
tư cổ phiếu ACB
2.7.1 Số liệu
Trong phần này, chúng ta áp dụng phương pháp POT để phân tích chuỗi lợi
suất RACB = ln
Pt
Pt−1
của giá đóng cửa của cổ phiếu ACB từ ngày 05-01-2009
54

57. đến 27-11-2011, các kết quả tính toán được dựa trên phần mềm S-plus.
Hình 2.8: Đồ thị chuỗi lợi suất RACB của giá cổ phiếu ACB
Kiểm định tính phân phối chuẩn của RACB với S-plus, ta được kết quả sau:
Test for Normality: Jarque-Bera
Null Hypothesis: data is normally distributed
Test Statistics: RACB ; Test Stat 253.8864; p.value 0.00
Dist. under Null: chi-square with 2 degrees of freedom; Total Observ.: 725
Như vậy theo tiêu chuẩn Jarque-Bera với mức ý nghĩa 5% thì chuỗi lợi suất
RACB không có phân phối chuẩn.
55

58. Hình 2.9: Đồ thị Q-Q
Dựa vào đồ thị Q-Q để xác định các giá trị lệch so với đường chuẩn khi ít
biết về phân phối gốc của dữ liệu, từ đó chọn được dạng của đuôi phân phối.
Dựa vào đây chúng ta thấy phân phối của RACB có đuôi nặng hơn so với phân
phối chuẩn.
2.7.2 Ước lượng phân phối vượt ngưỡng
Chúng ta tập trung nghiên cứu phần lợi suất thua lỗ, hay chính là việc mô
tả đuôi trái của phân phối của chuỗi lợi suất nhưng để cho thuận lợi ta sẽ đi
nghiên cứu đuôi phải của phân phối – RACB.
Ước lượng GPD có hai bước: Chọn ngưỡng u và ước lượng các tham số của
phân phối GPD.
56

59. 2.7.2.1 Chọn ngưỡng u
a. Hàm trung bình vượt ngưỡng mẫu
en(u) =
n
∑
i=k
(xn
i −u)
n−k +1
, k = min{i|xn
i > u}, (u,en(u));xn
1 < u < xn
n
Dựa vào đồ thị hàm trung bình vượt ngưỡng mẫu en(x), ta chọn u sao cho
en(x) tuyến tính khi x > u.
Hình 2.10: Đồ thị hàm trung bình vượt ngưỡng mẫu
b. Dùng đồ thị Hill
Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên X1,X2,...,Xn. Ký hiệu X(1) ≥ X(2) ≥ ... ≥ X(n)
là các thống kê thứ tự được lập từ mẫu ngẫu nhiên trên. Với mỗi số nguyên dương
k, đồ thị Hill là tập hợp các điểm {(k,H−1
k,n )}, trong đó Hk,n =
1
k
k
∑
i=1
ln
X(i)
X(k)
.
Hơn nữa, ta có Hk,n =
1
k
k
∑
i=1
ln
X(i)
X(k)
sẽ hội tụ theo xác suất đến ξ khi k → +∞.
Dựa vào đồ thị Hill, chúng ta sẽ chọn các giá trị k trong miền có chỉ số đuôi ξ
(ước lượng) ổn định.
57

60. Hình 2.11: Đồ thị Hill
Dựa vào đồ thị Hill, ta chọn ngưỡng u cao trong miền giá trị ổn định của ξ. Căn
cứ vào đồ thị của hàm trung bình vượt ngưỡng mẫu và đồ thị Hill, ta có thể chọn
u từ 0.025 đến 0.027. Chẳng hạn nếu chọn ngưỡng u = 0,025, bước tiếp theo
chúng ta đi ước lượng các tham số của GPD.
2.7.2.2 Ước lượng các tham số của GPD
Để ước lượng các tham số của GPD chúng ta có thể áp dụng một số phương
pháp: ước lượng hợp lý cực đại, ước lượng Pickands, ước lượng Drees-Pickands,
ước lượng Hill. . . ở đây chúng ta sử dụng phương pháp ước lượng hợp lý cực đại.
Giả sử ta có một mẫu cụ thể (x1,x2,...,xn), với một ngưỡng u cao đã chọn,
ký hiệu x(1),x(2),...,x(k) là các quan sát vượt ngưỡng u.
Ta đặt yi = x(i) − u, i = 1,2,...,k, theo kết quả của định lý Haan thì với
ngưỡng u đủ lớn, ta có thể xem (y1,y2,...,yk) là một mẫu độc lập nên từ GPD
với các tham số chưa biết ξ và σ = σ(u). Khi đó, ta có
• Log-hàm hợp lý trong trường hợp ξ khác 0
L(y1,y2,...,yk,ξ,σ) = −klnσ−
1
ξ
+1
k
∑
i=1
ln 1+
ξ
σ
yi
58

61. • Log-hàm hợp lý trong trường hợp ξ = 0
L(y1,y2,...,yk,σ) = −klogσ −
1
σ
k
∑
i=1
yi
Ta có ước lượng cho ξ và σ như sau:
Generalized Pareto Distribution Fit –Total of 725 observations
Upper Tail Estimated with ml –Upper Threshold at 0.025 or 9.379 % of the data
ML estimation converged. Log-likelihood value: 216.6
Parameter Estimates, Standard Errors and t-ratios:
Value Std.Error t value
xi 0.0578 0.1712 0.3379
sigma 0.0144 0.0030 4.7694.
Như vậy, nếu chọn ngưỡng u = 0.025, thì chúng ta có 9.379% mức lợi suất
vượt trên ngưỡng này. Sử dụng phương pháp ước lượng hợp lý cực đại, chúng
ta thu được các ước lượng của các tham số của GPD: ˆξ = 0,0578, ˆσ = 0,0144.
Dưới đây ta có đồ thị hàm phân phối vượt ngưỡng ước lượng ( hình 2.12) và đồ
thị đuôi của phân phối ước lượng (hình 2.13).
Hình 2.12: Hàm phân phối vượt ngưỡng ước lượng
59

62. Hình 2.13: Đuôi của phân phối
2.7.3 Ước lượng giá trị rủi ro VaRq và mức tổn thất kỳ vọng
ESq
2.7.3.1 Ước lượng điểm
Như vậy sau khi ước lượng được các tham số ξ, σ của GPD, thì chúng ta
ước lượng được VaRq và ESq. Ta có kết quả ước lượng:
q quantile sfall
[1,]0.90 0.02408088 0.03927679
[2,]0.95 0.03420630 0.05002377
[3,]0.99 0.05934294 0.07670347
Dựa vào kết quả ước lượng ta thấy, chẳng hạn với độ tin cậy 95 % (q=0,95)
chúng ta ước lượng được VaRq = 0.03420630 và ESq = 0.05002377. Như vậy
với độ tin cậy 95 %, phần mất đi có thể có của ngày tiếp theo đối với người sở
hữu một số cổ phiếu ACB có giá trị 10 triệu đồng là 342063 đồng và mức tổn
thất kỳ vọng vượt trên giá trị VaRq là 500237.7 đồng.
60

63. 2.7.3.2 Ước lượng khoảng
Chúng ta có thể tìm khoảng tin cậy đồng thời cho các tham số ξ và σ dựa
trên thống kê: L(ξ,σ)− L( ˆξ , ˆσ) : χ2(2), hơn nữa ta có thể tìm khoảng tin cậy
riêng cho từng tham số dựa trên thống kê 2(L( ˆξ, ˆσ)− L∗(ξ)) : χ2(1), trong đó
L∗(ξ) = max
σ
L(ξ,σ).
Hình 2.14: Đồ thị ước lượng khoảng cho ξ
Để tìm khoảng tin cậy cho VaRq, ta biếu diễn hàm phân phối của GPD như một
hàm của ξ,VaRq:
Gξ,VaRq
(y) =



1− 1+
n
Nu
(1−q)
−ξ
−1
VaRq −u
·y
−1
ξ
nếu ξ = 0
1−
n
Nu
(1−q)e
y
VaRq−u nếu ξ = 0
Từ đây, chúng ta xác định được hàm mật độ xác suất và xây dựng được
khoảng tin cậy cho VaRq. Vì khó tìm được dạng cụ thể của các khoảng tin cậy
nên người ta thường dùng phương pháp mẫu lặp để tìm khoảng tin cậy cho các
tham số nói trên.
61

64. Hình 2.15: Đồ thị khoảng tin cậy cho giá trị rủi ro VaRq và mức tổn thất kỳ vọng
ESq ở mức q = 0,99
Ta có thể đưa ra khoảng tin cậy 99 % của VaRq và ESq ở mức 0,99 tương
ứng như sau:
VaRq Lower CI Estimate Upper CI
0.05215449 0.05934294 0.07237078
ESq Lower CI Estimate Upper CI
0.06425435 0.07670347 0.1280827
Theo kết quả ước lượng ở trên với độ tin cậy 99 %, thì phần mất đi ở mức
0,99 có thể có của ngày tiếp theo đối với người sở hữu một số cổ phiếu RACB
có giá trị 10 triệu đồng là từ 521544,9 đồng đến 723707,8 đồng và mức tổn thất
kỳ vọng vượt trên VaRq ở mức 0,99 là từ 642543,5 đồng đến 1280827 đồng.
62

65. KẾT LUẬN
Trong luận văn này em đã trình bày những kết quả chính của lý thuyết cực
trị và áp dụng lý thuyết này để đo lường rủi ro tài chính. Đóng góp chính của
luận văn bao gồm:
1. Tổng quan về lý thuyết cực trị bao gồm các khái niệm và các định lý cơ bản
trong lý thuyết cực trị .
2. Ứng dụng lý thuyết cực trị với phần mềm S − PLUS để đo lường rủi ro tài
chính.
Tuy nhiên do thời gian thực hiện luận văn không nhiều còn có những sai sót em
rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh
hơn.
63

66. Tài liệu tham khảo
1. Acerbi, C., Nordio, C., Sirtori, C.(2001), Expected Shortfall as a Tool for
Financial Risk Management, AbaxBank – Working Paper.
2. Danielsson, J.&de Vries, C. (1997), Tail index and quantile estimation with
wery high frequency data, Journal of Empirical Finance 4, 241-257.
3. Danniel De Waal (2004), Statistics of Extremes- Theory and Applications,
John Wiley& Sons, Ltd.
4. Feter F. Christoffersen (2003), Elements of Financial.Risk.Management.
5. Fotios C. Harmantzis, Linyan Miao, Yifan Chien, Empirical Study of Value-
at-Risk and Expected Shortfall Models with Heavy Tails, Working Paper -
Financial Analytics Group, Stevens Institute of Technology, August 2005.
6. Hull, J. and A. White, Value at Risk When Daily Changes in Market Vari-
ables Are Not Normally Distributed, Journal of Derivatives, (1998) 5.
7. Koji Inui, Masaaki Kijima, On the significance of expected shortfall as a
coherent risk measure, Journal of Banking & Finance 29 (2005) 853–864p
8. Longgin. M (2000), From value at risk to stress testing: The extreme value
approach, Journal of Banking and Finance 24, pp.1097-1130.
64

67. 9. Manfred Gilli, Evis Kellezi (2003), An Application of Extremme Value The-
ory for Measuring Risk.
10. McNeil. A. (1998), Calculating Quantile Risk Measures for Financial Re-
turn Series using Extreme Value Theory
11. McNeil. A. (1999), Extreme Value Theory for Risk Managers
12. Neftci, S., Value at Risk Calculations, Extreme Events, and Tail Estimation,
The Journal of Derivatives, (2000)
13. R¨udiger Frey, Alexander J. McNeil, VaR and expected shortfall in portfo-
lios of dependent credit risks: Conceptual and practical insights, Journal of
Banking & Finance 26 (2002) 1317–1334p.
14. R.-D. Reiss & M. Thomas, Statistics Analysis of Extreme Values, with Ap-
plications to Insurance, Finance, Hydrology and Other Fields
15. Yasuhiro Yamai, Toshinao Yoshiba, Value-at-risk versus expected shortfall:
A practical perspective, Journal of Banking & Finance 29 (2005) 997 –
1015p.
65